ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙold.bfigu.ru/books/Основы информацинных... · 4.1 Начало работы с Matlab. Элементарные

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2008

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2 55

2.1 55

2.2 56

2.3 56

2.4 . - 66

3 MICROSOFT EXCEL 77

3.1 Excel 77

3.2

Excel 77

3.3 Excel 87

3.4 Excel 89 3.5

89

3

4 MATLAB 93

4.1 Matlab.

Matlab 93

4.2 Matlab 95

4.3

Matlab 96

4.4 97

4.5 100

4.6 Matlab 104

4.7 109

4.8 111

4.9 112

4.10 113

4.11 114

4.12 117

4.13 119

4.14 Simulink 123

5 MATHEMATICA 132

5.1 Mathematica 132

5.2 Mathematica. Mathematica 133

5.3 . 137

5.4 138

5.5 139

5.6 140

5.7 142

5.8 143

5.9 146

5.10 149

5.11 150

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5.13 152

5.14 155

6 ++ 160

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6.2 ++ 163

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6.5 199

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r1 = 0,5353. r1 (r12 = 0,28654609)

. r2 = 0,6546. r22= 0,42850116,

r3 = 0,8501, r32 = 0,72267001, r4 = 0,2670 . . 1,r2,...

.

.

. . - .

2.4.5

X, . .

xi - ,

X:

X \ 2 n

P1 2 n

R - , a rj- , . .

. [0, 1) OR 1, 1+2,

1+2+3,...,1+2+3+...+n-1 n 1, 2 , . . . , n:

(2.8)

, i : i=pi.

. rj (0 rj 1), i, xi, X .

. ,

X 1

2 n

p1 p2 pn

.

70

1 [0, 1) OR n : 1 - [0,1),

2 - [1,1+2),

n - [1+2+...+n-1, 1).

2 rj R. rj i, xi.

. 8 X,

X 3 11 24

0,25 0,16 0,59

. 1 [0, 1) OR 0,25;

0,25 + 0,16 = 0,41 3 : i - [0; 0,25), 2 - [0,25; 0,41), 3 - [0,41; 1).

2 8 : r1 =0,10; r2 = 0,37; r3 = 0,08; r4 = 0,99; r5 = 0,12; r6 = 0,66; r7 = 0,31; r8 = 0,85.

r1 = 0,10 1, x1 = 3. r2 = 0,37 2, 2 = 11. : 3 = 3, 4 = 24, x5 = 3, 6 = 24, 7 = 11, x8 = 24.

2.4.6

, , , q = 1 - .

X p1 = , 2 = q. x1 = 1, 2 = 0. , X x1 = 1, ; X = 2 = 0, , . . .

, A X :

X 1 0

. ,

71

, 1 - , rj (j = 1,2,...) R; rj < , ; rj , .

. 6 , = 0,35.

. 6 , : r1 =0,10; r2 = 0,36; r3 = 0,08; r4 = 0,99 r5 = 0,12; r6 = 0,06. , rj < 0,35 , rj 0,35 , : , , , , , .

2.4.7

, A1,2,...,An , :

- ; -

. , 1,2,..., 6,

, . A1,2,...,An (n>2) ,

1,2,...,n , .

. , A1,2,...,n 1,2,...,n, X :

X 1 2 ... n 1 1 ... n

X i = i, i.

. , : p1 = (1) = 0,19; 2 = (A2) = 0,21; 3 = (3) = 0,34; 4 - (A4) = 0,26. , .

. X,

X 1 2 3 4

0,19 0,21 0,34 0,26 , [0, 1)

: 1 - [0; 0,19), 2 - [0,19; 0,40), 3 - [0,40; 0,74), 4 - [0,74; 1). , -

72

: r1 = 0,66; r2 = 0,31; r3 = 0,85; r4 = 0,63 r5 = 0,73. r1 = 0,66 3, = 3, , 3. . : A3, 2, A4, 3, 3.

2.4.8 .

X, F(x) ( 2.12).

2.12 - F(x)

Y=F(X), 0 < < 1. Y :

(2.9)

F(x) , Y [0, )

, X [0, x), . .

P(Y

. 3 X, (2, 10).

. X, (, b), :

(2.12)

= 2, b =10, ,

(2.13)

, i:

i= 8ri + 2. , ,

r1 = 0,11; r2 = 0,17; r3 = 0,66. , X: 1 = 8*0,11+2 = 2,88; 2 = 3,36; 3 = 7,28.

. X , :

F{x) = 1-e-x ( >0) ,

( ). X.

. , :

(2.14)

i:

(2.15)

:

(2.16)

ri [0, 1), , 1-rj . , R 1 - R . xi :

(2.17)

74

(2.17)

2.4.9 -

g(x), (, b). :

(2.19)

:

-. :

(2.22)

:

(2.23)

. X f() = 2/ (. . X (0, /2)). X :

(2.24)

= 0 b = /2:

(2.25)

I

:

(2.26)

75

(2.18)

X fix), (, b). X :

:

(2.20)

(2.21)

n = 10. ri- :

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ri 0,865 0,159 0,079 0,566 0,155 0,664 0,345 0,655 0,812 0,332

i 1,389 0,250 0,124 0,889 0,243 1,043 0,542 1,029 1,275 0,521

sin X/ 0,978 0,247 0,124 0,776 0,241 0,864 0,516 0,857 0,957 0,498

:

2.4.10 -

- :

- . , , ;

- ;

- , ;

- , , , .

, - .

1 . 2 ? 3 ? 4 . 5 , . 6 ? 7 . 8 ? 9 ? 10 . 11 . 12 ? 13 ? 14 -? 15 -. 16 ? 17 . 18 ? 19 ? 20 -?

76

3

MICROSOFT EXCEL

3.1 Excel

Microsoft Excel , .. . :

- ; - ; - ;

- ( );

- .

3.2 Excel

Excel , ( - ), .

- , .

3.2.1

Excel .

3.1 - 25 :

32 48 62 54 59 31 29 47 42 37 51 52 43

47 61 54 53 41 42 36 48 41 49 57 46

.

1 1 " ". 2:26 ( ).

2 1 ""; 2:7 (20, 30, 40, 50, 60, 70).

3 , . - , ( ).

77

4 . - . . : -1:26, - 1:7. ( 1 1 , ), ( ) ( ). , . .

3.2.2

Excel , - .

3.2 - 3.1 : , , , 95- .

1 C1, 2, 3 "", ". .",

"". Dl , D2, D3 ,

, ,

.

2 5 ". ". D5

: , -

, n - ( n=25).

D5 : =D2/KOPEH(25).

3 95-

: - ; - -

( = 0,05,

95- ) -1 ; -

. :

- F6 ,

- 0,05,

- 24;

- 6 " ", 7 -

" ";

- D6 ,

: =D1-F6*D5. D7

: =D1+F6*D5.

78

3.3 - 3.1, .

1 - . . : - 1:26, - . ( 1 ), ( ) ( ). : 95. . . , .

2 . , , , , - 16. " " -

(. 3.2). =+16. =3-16.

3.2.3

, , , : F- , - t- , t- .

3.4 - ( ). 25 (. 3.1) 19 :

48 29 37 32 47 52 38 34 41 32 47 53 42 35 37 29 51 42 53

, .

1 Excel. (. 3.1).

2 1 " ". ( 2-20) .

3 , ( - ) . F- .

79

- F- . : 1 - 1:26, 2 - 1:20, - 0,05. . . . (.. ) :

F - F- ;

P(F

3.2.4 Excel

, . . .

3.5 - . :

, % 13,5 17,0 11,5 16,0 23,0 18,0 9,0 21,0 15,0

, 200 320 290 200 170 230 280 300 260

,

6,2 8,7 11,2 4,9 3,1 4,5 9,7 4,2 5,1

, .

1 . Al, Bl, 1 " ", " ", " ". , , .

2 2 "R". F2 (r) , : -1 - 2:10, 2 - 2:10.

3 . . :

- "t". F3 t- :

r - , 1; n - ( n=9). F3 : =F2*KOPEH(7)/KOPEHb(l- F2^2);

- 4 "". F4 . : - 0,05, - 7;

- 5 "". F5 -

81

. : X - ABS(F3), - 7, - 2;

- ABS () - , X .

- t- , ( ). , 0, : . r

, . .

1 . 1 "X", 1 - "Y". 2:11 2:11 .

2 - . : Y - 1:11, X - 1:11. . , (, 14). . , 3.1.

- . , .

3.1 - 3.6

, , . 0, - 1. 0=3,79, 1=7,88 ( ). , X Y : Y = 3,79 + 7,88 X.

, F. , ( ).

83

( =0,05), (.. ). F () 0,015, , 0,05. , X Y . , : (Y =3,79 + 7,88 X) X (.. 2,2; 2,8; ...;3,5), , (21,4; 28,6;...; 21,2).

- ( F ), , X Y Y = A0 + A1, .. () .

, -. , . - 0 0,618 > 0,05, A1 - 0,015

. ;

- - . . .

2 ( ). :

- ; - ; - , , -

. - ; (R^2). . , , , ( , ).

3.7 - 3.5 : Y = 0 + 11 + 22 Y - ( ); X1 - , 2 - (1, 2 - ); A0, 1, 2 - , , . .

, 3.6. X , (.. ).

3.2. , (Y) (X1) (2) : Y = 13,543 -0,604X1 + 0,0082. : F 0,034, .. , 0,05. , -, , 0 2 , 1 - . , 1 , , . , - ( , ), 1 - . 2 , -

85

. , , ().

3.2 - 3.7

3.8 - (X ). , :

X 5 10 20 30 40 50 60 Y 48 32 17 14 9 5 2

X: , , , . .

1 . 1 "X", Bl - "Y". 2:8 2:8 .

2 , (. 3.6).

3 . ( ).

4 , , ( ), 3.6.

(R2)

.

86

3.3 Excel

Excel - , - - .

3.9 - : 60-2 = 0,1.

1 . , . . , , 1. 1 "X".

2 2 " ". 2 , : =60*2^1.

3 - . :

- , , - 2;

- . . 0,1;

- , , - 1;

- . .

, , . . 1. =-9,23.

3.10 - :

1 . , . , , z. , , 2, 2, D2. Bl, C1, D1 "X", "Y", "Z".

2 4 " ". 5, 6, 7 , : 5 - =7*B2+48*C2-2*D2, 6 - =17*B2+10*C2-8*D2, 7 - =B2*C2*D2.

3 D4 " ". D5, D6, D7 (20, 25 1). , 3.3.

- (X, Y, Z, " " ..), 3.3, . 0 5-7 , .

87

3.3 - - 3.4 - - 3.10 3.10

4 . :

- ; - , / 3.4.

- , : B2:D2;

- , . . . , , - ( , ). , 5. (=). D5. . . 6, =, D6. 7, =, D7. ;

- .

5 , , . , 3.4. B2:D2.

- Excel . , - . . , , (, ).

88

3.4 Excel

Excel - .

3.11 - = 5x2-8x+3.

1 . , . . , , 1. 1 "X".

2 2 "". 2 , : =5*1^2-8*1+3.

3 - . :

- , : 2;

- , ;

- , : 1;

- . 4 , ,

. 1 , 2 - . : =0,8, =-0,2.

3.5

, , , , . . , , . , , . , .

Excel - .

3.12 - 1, 2, 3, :

= 31 + 52 + 23

:

89

- , . : = 3x1 + 52 + 2x3 > max. , 1x2 + 213 + 23 >= 2500.

1 . 1, 2, 3. , , 2, 2, D2. B1, C1, D1 "X1", "2", "".

2 4 " ". 4 : =3*B2+5*C2+2*D2. D4 "max".

3 5 "". . , 5 : =8*B2+7*C2+2*D2. 5 ( ) , .. "

4 . :

- : 2;

- , ;

- , : B2:D2:

- . . . , , - ( , ). , , 5, (

3.13 - 3.12 : 1, 2, 3 .

- . , . B2:D2. "". . , 3.12.

: 1=20, 2=70, x3=10, E=430.

3.14 - :

3.15 - :

92

4

MATLAB

4.1 Matlab. Matlab

, Matlab.

Matlab 4.1. , Matlab :

- (Command Window) - . 4.1 : b;

- (Workspace) - , Matlab . 4.1 , , b, 91 ;

- (Command History) - , .

( ), , Current Directory: , .

4.1 - Matlab

93

Desktop, .

, , . ,

x=2*pi

:

=

6.2832.

, .

, . ,

x=2*pi;

, x=2*pi ( ), .

, , ans. ,

2*pi

:

ans =

6.2832.

, , . , .

, . , , . , , , ( ), " ".

. , , ( ) . , , .

94

, . , . , X -.

(, sin), (, pi, inf) .

. help. , sin : help sin.

clc.

4.1 - . 1 10 .

: 2*pi*10. ans .

2 "" . , 12 .

3 8,3. : =8.3. 4 20,

. : =20; ( , ).

5 . : =^(1/).

6 30.

7 , ans.

8 . : .

9 sin /4. : sin(pi/4). 10 sin 45. : sind(45).

4.2 Matlab

, Matlab - ( double). - 15 .

format. : format short - ( ); format long - ; format short , format long - , format short format long, ; format rat - .

, , :

95

format rat

,

format . fprintf,

. , fprintf('%6.2f\n',y) , , - . \n , .

4.2 - .

4.3 Matlab

4.3.1

(.. ) , File - Save Workspace As..., save . .mat. Matlab , , Matlab, .

File - Open load .

save load , : save d:\lab\ivanov\rab_oblast.mat.

, , Current Directory ( ).

4.3.2 Matlab

, Matlab ( ), , , . diary _ (, diary d:\lab\ivanov\seansl.txt).

diary off.

4.3 - .

1 diary , .

96

file://d:/lab/ivanov/seansl.txt

2 : - kor 5; - tg 45.

3 (diary off). 4 : kor

(kor=kor*2). 5 . 6 Matlab. 7 , diary. ,

diary off. 8 Matlab. 9 .

4.4

Matlab . "Matrix Laboratory" ( -" "). , Matlab . 1 x 1 .

- "" Matlab . ( ) "".

4.4.1

: - ; - ( ""); - .

4.4 - :

:

=[3 6 4]

b=[5 7 9; 6 2 1]

, . , ; . . , :

=[3,6,4]

b=[5,7,9; 6,2,1]

97

4.5 - (), 0 10 0,1.

: =0:0.1:10; , (

101 ) .

4.6 - 4 x 2 ( , ): , .

:

u=zeros(4,2)

v=ones(4,2)

w=rand(4,2)

zeros, ones rand - , , .

4.4.2 ,

Matlab , , , , .. , . .

4.7 - , .

1 , .

2 , :

3 , , . : (2,3). 2. , , - . .

4 : (2,3)=8. 5 : :(2,:). 6 : (:,3). 7 - v,

: v=c(:,3). 8 2-3 2-4 w:

w=c(2:3,2:4).

98

9 , d :

10 z, : z=[;].

, : () ( , ). [_1, _2] , _2 _1 ; [_1; _2] - _2 _1 . . , [, ] [; d] - . .

4.4.3

Matlab : . .

4.8 - . 1 ,

. 2 , :

3 b : b=b+l. 4 b, u: u=+b. 5 b ,

v: v=a.*b. . 6 b: sqrt(b). 7 : z=a*c.

- : .

8 b, .. :

9 : d=det(x). 10 , : xobr=inv(x). 11 , ,

xobr , . , .. , , - .

12 : eig(x).

k=[c,d].

b=b'.

99

13 . : [k,s]=eig(x). : - , ; s - , .

4.9 - : 6x1 + 14x2 + 7x3= 120 3x1 + 5x2 + 9x3 = 175 8x1 +3x2 + 5x3= 100.

: =

-1b, - (

-1 -

), b - . ; .

4.5

Matlab . .

y=f(x) lot(,,''), - (- ), , ; '' - , (). , .

4.10 - y=0,25*+sin(x)-1 * 0 10.

1 * 0 10 0,1. : =0:0.1:10; ( , ).

2 : y=0.25*x+sin(x)-l;.

3 : plot(x,y).

4.11 - , 4.10.

1 . 2 Edit - Axes Properties.

(Property Editor - Axes). X Y X Y ( Label), ( Grid).

3 Property Editor.

4 Edit Plot ( ), .

100

- Edit Plot , View Figure Toolbar.

5 X Y . 6 Y .

Y. Edit - Current Object Properties, Show Property Editor. Property Editor - Text. More Properties. Property Inspector Rotation 0. Property Inspector Property Editor.

7 Insert - Text Box, : Y=0,25X+sin(X)-l. , 4.2.

4.2 - 4.10

8 Edit - Copy Figure, . Word . Word.

9 , File - Save. .fig.

10 . .

4.12 - y=0,25x+sin(x)-l y=0,25x+cos(x)-l x: 0 10.

1 0 10 0,1, yl 2 , 4.10.

2 :

101

plot(x,yl,'b') hold on plot(x,y2,'r') grid on

'b' 'r' - ( ). hold on , , . grid on .

3 , .

4 . ( Edit Plot). . Line Style. Dash.

5 Y=0,25X+sin(X)-l Y=0,25X+cos(X)-l, 4.11.

6 : - Insert Legend; - : data1 da-

ta2 Y=0,25X+sin(X)-l Y=0,25X+cos(X)-l; - .

. Location - Best ( ).

7 Word, 4.11. . .

4.13 - y=0,25x+sin(x)-1 y=0,25x+cos(x)-l 0 10 .

:

subplot (1,2,1); plot(x,yl,'b'); text(0,0,'y=0,25x+sin(x)-l') grid on subplot (1,2,2); plot(x,y2,'r'); text(0,0,'y=0,25x+cos(x)-l') grid on

, .

subplot(a,b,n) . - , b - , n - , . text(x,y,'cpoa') .

.

4.14 - , : r=6cos(3t), t 0 2.

:

t=0:0.1:2*pi;

102

r=6*cos(3*t); poIar(t,r)

polar - . .

4.15 - :

x=6cos3t

y=6sin3t

t 0 2.

:

t=0:0.1:2*pi; x=6*(cos(t)).^3; y=6*(sin(t)).^3; pIot(x,y) grid on

.

z=f(x,y). :

- ; - ,

z=f(x,y) . meshgrid: [,] = meshgrid(_x, _); ( , , meshgrid, );

- z=f(x,y) ( z); - z=f(x,y): plot3(x,y,z).

4.16 - z=x2+y

2 0

4.3 - 4.16

4.6 Matlab

Matlab , , Matlab. Matlab . Matlab.

"", Matlab "-", Matlab .m. - File - New - M-file, - - File - Open.

Matlab -: - -.

4.6.1 -

- Matlab, .

, - , - -. - . - -

104

, , -, .

4.17 - - .

- - File - New -

M-file. -. - :

% [m,n]=size(a); b=a(:,n);

"%" - . size(_) .

, size () , - , - . m , , n - .

- . . . 4.4.2.

- File - Save. -, , stolbec.m.

- - .

-

-, , . , : =[4 ,8 ,5 ,7 ;3 ,1 ,9 ,5 ;5 ,9 ,6 ,1 ] .

, , -, , -.

, -, .. stolbec.

- : m=3, n=4, b=[7; 5; 1]. - , .

4.18 - - y=0,25x+sin(x)-l. , .

105

4.6.2 -

- , . - ( ), , , .

- , -. , - . , , - , - (, - ).

() - :

function [_] = (_)

function - . _ - -, .

4.19 - - . , . , . , : 1 - , 0 - , -1 - .

- -, -,

-. - :

function [x,kod]=quadur(a,b,c) % % : quadur(a,b,c), x=quadur(a,b,c), |x,k]=quadur(a,b,c) % a,b,c - % - % - (1 - , % 0 - , -1 - ) n=nargin; if n~=3

(' ') end d=b^2-4*a*c; if d~=0

x(1)=(-b+sqrt(d)/(2*a); x(2)=(-b-sqrt(d)/(2*a);

else x=-b/(2*a);

end

106

. .

4.20 - . : ( ) (-). , , "" ( ) . , , ( ) .

, , .

4.21 - . , , . , . , .

4.22 - . , , . , (). , .

4.6.3 Matlab

, Matlab.

: if _1 _1 elseif _2 _2 else 3 end

1, 2 _3 - Matlab, .

108

"": for =_::_ end

, .

"": while end

break.

: switch case _1 _1 case _2 _2

otherwise end

_1, _1; _2, __2 .. , , otherwise.

( x): =input(' :');

( ): disp(' Y '); disp(y)

4.7

f()=0 - fzero. :

fzero('', _)

fzero('', [ b]),

'' - f(x)=0 -, f(x);

_ - , ;

a, b - , , f(a) f(b) .

109

, fzero . , - ( b).

f()=0 f(x) , , roots(), - .

4.23 - 0,25x+sin(x)-l=0 0 10.

y=0,25x+sin(x)-l, , . , 4.2.

- (), :

function y=fun(x) y=0.25*x+sin(x)-l;

fun.m.

:

x=fzero('fun', 1)

: =0.8905. , 1 .

- :

x=fzero('0.25*x+sin(x)-l',1)

, :

x=fzero('fun', 3)

: =2.8500.

x=fzero('fun', 5)

: =5.8128. fzero

, :

[x,y,k]=fzero('fun', 1)

: =0,8905, =0, k=1. - y=0,25x+sin(x)-l (, , , ); - , fzero; r=1 , .

0,25x+sin(x)-l=0, fzero fzero('', [ b]). , , :

x=fzero('fun', [0 1])

110

http://fun.ni

4.24 - 5x3+8x

2+1 =0.

: roots([5,8,0,l]).

4.8

- fsolve('_', _), ' ' - - (), ; _ - , .

fsolve , .

4.25 - :

x12 x12 =

-X1

x22 x12 =

-X2.

:

x12 x12 -

-X1 = 0

x22 x12 -

-X2 = 0.

(-), :

function z=sist_ur(x)

z=[x(l)^2-x(1)*x(2)- (-(1)); (2)^2+(1)*(2)- exp(-x(2))];

:

[x,y,k]=fsolve('sist_ur',[0 0])

[0 0] - . :

=

0.9066 0.4611

= 1.0-011 * 0.2307 -0.0560

= 1

, : x1=0,9066, x2=0,4611. . ,

1ll

, . r - , fsolve; r=1 , .

- fsolve (, 4.23).

4.9

y=f(x) Matlab:

fminsearch('',x0)

fminsearch(', a, ),

'' - f(x), , -, ; x0 - , ; a, b - , .

y=f(x) , fminsearch fminbnd . , x0, b.

y=f(x), Matlab fminsearch fminbnd, f(x), -1.

- fminsearch (. 4.10).

4.26 - y=0,25x+sin(x)-l 0 10, fminbnd.

y=0,25x+sin(x)-l, , . 4.2.

, . :

[x,y,k]=fminbnd('fun',4,5)

- fun.m 4.23. 4 5 (, ). : =4,4597, =-0,8533, =1. , =4,4597, =-0,8533. =1 , .

-, , :

112

function y=fun_minus(x) y=-(0.25*x+sin(x)-l);

fun_minus.m.

, 1 2 :

[x,y,k]=fminbnd('fun_minus',l,2)

: =4,4597, =0,8533. : =8,1066, = 1,9945.

4.27 - y=0,25x+sin(x)-1 0 10, fminsearch.

, ( =4) :

[x,y,k]=fminsearch('fun_minus',2)

.

- - fminsearch fminbnd , , : [x,y,k]=fminsearch('-(0.25*x+sin(x)-l)',2).

4.28 - = 5 - 2/ - 2 + 10 sin

5 - 2/x - 2 + 10sin = 0 -10 10.

4.10

Matlab fminsearch('*, x0), x0 - , .

4.29 - : f(x1,2) = (1-5)

2(2-2)

2 - (1-5)(2-2).

-, :

function f=fun2(x)

f=(((1)-5)^2)*(((2)-2)^2)-((1)-5)*((2)-2);

- fun2.m.

:

[x,y,k]=fminsearch('fun2',[0 0])

. : 1=0,3534, 2=1,8924, =-0,2500.

113

4.11

3.4. Matlab . , - 4.12.

4.30 - :

= 51 + 42 + 123 > max

21 + 6x2+x3 >= 100 31 +22+ 43

Matlab

linprog(f, a, b, ar, br xmin, xmax)

f - - , ;

- -, " " ( );

b - - -; r - - (

); br - - -; Xmin - - ; m - - .

linprog , , - () linprog -. - ( File - New - M-file) :

f=[-5;-4;-12]; = [-2,-6,-1;3,2,4;3,2,0;1,0,0;0,-1,0]; b = [-100; 1000; 600; 20; -10]; r = [1, -2,0; 1,1,1]; br = [0; 1]; xmin = [0; 0; 0]; [, , k] = linprog(f, a, b, ar, br, xmin)

. (.. linprog) , .

linprog: - x, ; - ( , -1 ); - , linprog (k=l, ).

(, lp.m), - . 1.

: x1=20, x2=10, x3=70, E=980. - .

, , 2 >= 10 , x1

. - linprog :

f=[-5 ; -4; -12]; = [-2,-6, -1;3, 2, 4; 3,2,0]; b = [-100; 1000; 600]; r = [1,-2,0; 1,1,1]; br = [0; 1]; xmin = [0; 10; 0]; xmax = [20; inf; inf]; [x, e, k] = linprog(f, a, b, ar, br, xmin, xmax)

inf - . , 2 3 .

- -, linprog :

linprog(f, , b, [], [],xmin, xmax)

, - , ([]). linprog, Matlab.

4.31 - :

= 0,5x1 + 1,2x2 > min

x1>=200 2>= 100

25x1+40x1 >= 20000

2x1+7x2 = 0, 2 >= 0.

4.32 - :

= 20x1 + 252 + 173 -> min.

4x1 + 52 + 23 >= 400

x1 + 2 + 43 >= 250 x1 + 2+ 3 = 150

2x1 + 2+ 3 =0,i=1,...,3.

116

4.12

.

4.33 - :

1 +x2 + 3 >= 50 31 + 22 = 10 1 = 22

12 + 2x3 = 100

22+3

2 =1000

i>=0, i=1,...,3.

Matlab, :

- ; - ( , )

, (. 4.11);

- , -

Matlab :

fmincon('_', 0, a, b, ar, br,xmin, xmax, '_')

' _ ' - -, ; 0 - -, ; - - (

);

b - - -;

- - ( );

br - - -; xmin - -

; xmax - -

; '_' - - (),

.

-, :

function f=cel_fun(x) f=exp(x(l))/(x(2)*exp(x(3)));

- cel_fun.m.

-, . - , : - -, - - ( ):

function [ner, rav]=nel_ogr(x) ner=[(1)*(2)+(2)*(3)-2000; -(1)*(2)+100]; rav=[x(2)^2+x(3)^2-1000];

- nel_ogr.m.

- -, rav - -.

- - ( ), . , -, -, , :

function [ner, rav]=nel_ogr(x) ner=[(1)*(2)+(2)*(3)-2000; -(1)*(2)+100]; rav=[];

118

fmincon. linprog, . -:

0=[1,1,1]; =[-1, -1, -1; 3,2,0; 0,-1, 0]; b=[-50; 600; -10]; ar=[1,-2,0]; br=[0]; xmin=[0; 0; 0]; [x,e,k]=fmincon('cel_fun',x0,a,b,ar,br,xmin,[],

'nel_ogr')

x1 = x2 = 3 = 1 ( x0). fmincon ( , ) , .

-, , nlp.m. nlp.

: x1=20, 2=10, 3=30, E=4,5410-6

.

- fmincon (. 4.11). .

4.34 - :

= x1x2+2x13+223 > min

x123 = 100

xi>=0, i=l,...,3.

4.35 - :

=5]- 0,2x12 + 2x2 - 0,2x2

2 -> max

13x1 + 62= 0.

4.13

Matlab , . , . Matlab.

- ode45. ode45 - :

119

y1'=f1(x,y1,y2,..., yn)

y2'=f2(x,y1,y2,..., yn)

yn'=fn(x,y1,y2,..., yn)

1,2,...,yn.

ode45 :

[x,y]=ode45('',[xmin, xmax], 0);

'' - - (), ;

xmin, xmax - ; 0 - 1, 2,...,n.

ode45 : - - ; - n ,

1, 2,..., n, . .

4.36 - :

1 =2+0,12

2=-1,

- , : 1(0)=0, 2(0)=1. 1() 2() 0 20.

-, :

function f=primer_du1(x,y) f=[y(2)+0.1*x*x; -(1)];

primer_du1.m.

ode45. . -:

[x,y]=ode45(primer_dul',[0, 20], [0,1]); plot(x,y(:,l),'b') hold on plot(x,y(:,2),'r') grid on legend('y1','y2')

120

, ode45 ( 0 20) , : 1() 2(), . plot(x,y(:,l),'b') , .. 1(x). - ( 'b' plot). plot(x,y(:,2),'r') 2(), . , , 4.5.

-, , resh_du1.m. : resh_du1. , 4.4.

4.37 - :

" +0,5y + y3=10sinx,

- , (0)=0, '(0)=1. () 0 10.

,

, : 1=2, 2 = y' = 1'.

, ,

:

1 = 2

2 = -0.51 - 13 + l0sinx.

-, :

function f=primer_du2(x,y) f=[y(2);-0.5*y(l)-y(l)^3+10*sin(x)];

primer_du2.m.

- :

[x,y]=ode45('primer_du2,,[0,10], [0,1]);

plot(x,y(:,l)) grid on

, , : - 1(x), - 2(). , , 1(x)=y(x); 2() . ( 4.5).

- ode15s, .

121

4.4 - 4.36 4.5 - 4.37

4.38 - :

1 = 2

2 = -1 +1000(1- 02)2.

1, 2 - . 1(0)=2, 2(0)=0. 1() 2() 0 3000. odel5s.

-, :

function f= primer_du3(x,y) f=[y(2);-y(l)+1000*(l-y(l)^2)*y(2)];

:

[x,y]=odel5s('primer_du3',[0, 3000], [2,0]); plot(x,y(:,1),'b') grid on hold on plot(x,y(:,2),'r') grid on

, odel5s , ode45.

, 4.6. , . , , 1 2 . , , 4.5 subplot. , 4.7.

122

4.6 - 4.38 4.7 - 4.38 ( ) ( )

4.39 - :

" - = x

- , : (0)=5, '(0)=12. () 0 10.

4.14 Simulink

4.14.1 Simulink

Simulink , .. , . Simulink : , , , .. Simulink , . Simulink , .

Simulink simulink. Simulink (Simulink Library Browser).

Simulink ( Simulink) . Simulink .

Simulink , , . Simulink, .

123

Simulink . :

- Sources () - , , : Clock (, ), Constant ( ), Pulse Generator ( ), Random Number ( ), Sine Wave ( ), Step ( ), From File ( ), From Workspace ( Matlab) ..;

- Sinks () - , , : Display ( ), Scope (), File ( ), Workspace ( Matlab) ..;

- Continuous ( ): Derivative (), Integrator (), Delay () ..:

- Math Operations ( ): Add ( ), Divide ( ), Gain ( ), Sum ( , Add), Product ( , Divide), Math Function ( ) ..

, , Aerospace Blockset ( ), Communications Blockset ( ), Neural Network Toolbox ( ), SimMechanics (), SimPowerSystems ( ) ..

Simulink File - New - Model. . .

, , . , , , , ..

( , ), , Matlab. , Matlab.

File - Save. MDL.

4.14.2 Simulink

4.40 - , ,

124

0 10. . 5.

, 4.8.

. 1 Simulink Library Browser

File - New - Model. .

2 . Uniform random number ( ) Sources, Hit crossing ( ) - Discontinuities, Scope () - Sinks.

3 Uniform random number (.. ). . : Minimum - 0, Maximum - 10. .

4 Hit crossing: Hit crossing offset - 5 ( , 5 ) . Hit crossing direction - rising ( , 5 ).

5 Scope ( , ), . Scope. , ( , ). Parameters ( - ). Number of axes 2. . Scope. .

6 , 4.8. ( ) . ( 4.8 - Scope) Ctrl. -

4.8 - 4.40 4.9 - 4.40

125

, , , , Shift.

7 "Input signal" "Output signal", 4.8. , Signal Properties Signal Name. , Enter.

8 File - Save. 9 . Simulation ,

Start. 10 Scope.

, 4.9. 11 (

), Autoscale ( ). 12 Y ,

-1 3. . Axes Properties. Scope Properties Y-min -1, Y-max - 3. . , Scope .

13 Word. Edit - Copy Model to Clipboard. Word .

14 Word. , Scope. Alt -Print Screen, Word .

15 .

4.41 - 10 2 /. 0 3. 20 . . .

, 4.10.

4.10 - 4.41 4.11 - 4.41

126

.

1 File - New - Model . . Sine Wave Sources, Saturation - Discontinuities, Integrator - Continuous, Scope. Display ( ) Workspace ( Matlab) - Sinks.

2 : - Scope (. ); - Sine Wave: Amplitude - 10, Frequency - 2; - Saturation: Upper limit - 3, Lower limit - 0; - To Workspace: Variable name - integral (

. Matlab). Save format - Array ( Matlab ).

3 , 4.10. .

4 . Simulation Configuration Parameters. Simulation Time Start time 0, Stop time - 20.

5 (Simulation - Start). Display .

6 Scope, . (. 4.40), , Scope , 4.11.

7 Word. .

8 Matlab. , integral. , . . - .

4.42 - , . 15 3, - 10 2. , 5. 20 .

, 4.12.

127

4.12 - 4.42

. 1 File - New - Model .

. Random Number Constant Sources, Add. Abs ( ) Divide - Math Operations, Integrator - Continuous, Scope Display - Sinks, Mux ( Scope) - Signal Routing.

- Mux () , , Scope, , .

2 Add () , ( ) . Add . List of Signs ( Main) +- ( "" ""); , . .

3 : - Random Number: Mean - . Variance -

: - Constant: Constant value - 5. 4 , 4.12.

. . , Scope, . 4.13. Word.

4.43 - , (24 ) (100 ), .

4.14.

128

4.13 - 4.42

4.14 - 4.43

1 File - New - Model . 2 .

SimPowerSystems. Electrical Sources DC Voltage Source ( ), Elements - Parallel RLC Branch ( , ), Measurements - Current Measurement ( ).

- - , Format - Flip Block Format - Rotate Block.

3 (Simulink). Sinks Display.

4 DC Voltage Source. Amplitude 24 ( ). .

5 (.. ). Parallel RLC Branch : Resistance - 100, Inductance - Inf (), Capacitance - 0.

6 , 4.14. . . Display . , .

4.44 - 4.15. .

129

4.15 - 4.44

4.45 - , (220 , 50 ), (100 ), (5 ) (10 ), . .

- AC Voltage Source, - Series RLC Branch SimPowerSystems.

4.46 - :

" = + 2 - ' ,

- . () 0 5.

, 4.16.

4.16 - 4.46

.

1 File - New - Model . . Clock ( ) Sources, Fcn ( ) - User-Defined Functions, Add () Gain (

130

) - Math Operations. , , .

- Gain, 4.16, Format - Flip Block.

2 Fcn , . . Expression, Fcn . Expression : u*exp(u). .

3 Add , , . Add

+ 2 - '. Fcn

List of signs : ++- (.. "", "" ""). . 4 Gain Gain 2. ,

2. 5 , 4.16.

(. 4.40). . 6 ,

. Simulation Configuration Parameters. Simulation Time Start time 0, Stop time - 5.

7 . Scope , 4.17.

4.17 - 4.32

4.47 - :

" + 0,5 + 3 = 10sin ,

- . () 0 30.

- sin Sine Wave ( Sources).

131

5

MATHEMATICA

5.1 Mathematica

Mathema-tica, , 4 Matlab. - , . , .

: 5x3+3x

2-7+15=0.

Mathematica :

Solve[5^3 + 3 ^2 - 7 + 15==0, ]

:

, , - .

. :

Solve[5^3 + 3 ^2 - 7 + 15==0, x]//N

:

{{x -> -2.02401} , {x -> 0.712004 - 0.987551 i},

( -> 0 .712004 + 0.987551 i}}

SoIve[a ^3 + b ^2 + + d==0, ]

:

132

.. .

5.2 Mathematica. Mathematica

, Mathematica.

Mathematica 5.1. , Mathematica :

- ; - (Notepad) -

. 5.1 ;

- (Palettes) - . 5.1 (Startup Palette), .

133

5.1 - Mathematica

() , In[1], In[2] .. : Out[1], Out[2] .. , , .

Mathematica Shift - Enter.

, . , :

5*8

( 40) , - . (*) , 5*8 5 8 ( ).

:

=5*8

. ,

. , :

=5*8;

134

, . , , :

(8-3)/(15-4)

: 5/11. :

(8-3)/(15-4)//N

0.4555.

x=2P i

: 2, .. .

x=2Pi//N

6.28319. , Mathematica

, . , , , , . (, , ), , , .

- , . (, 3.2, 3.0, 3.), , - . , //N.

5.1 - . 1 10 . :

2*Pi*10, Shift-Enter ( Pi ). : 20.

2 , : 2*Pi*10//N.

Mathematica: - Mathematica .

Mathematica (, Sin), (, Pi, ) (, Infinity - ) .

, , Sin[x].

Mathematica , , Mathematica -

135

, . :

5.2 - ( Shift-Enter).

1 52+7-25=0. :

Solve[5*x^2+7*x-25==0, ]

.

- , , .. ( ) . (, ) =. lr[].

2 52+7-25=0 .

:

= 5*^2+7*-25==0

, 5*^2+7*-25==0 ( , - ).

3 :

Solve[u, ]

, , .

Mathematica . %, - % % ..

5.3 - ( Shift-Enter):

=50*2 Sqrt[%] % % + 1

Sqrt[%] 10, %%+1 - 101.

, Mathematica, : >> "_".

5.4 - .

1 f x2sin : f=x^2*Sin[x].

, .. - .

- , 5.2, , f x^2*Sin[x], - .

136

2 f, , 0 10 0,1. : Table[f,{x,0,10,0.1}]//N. . //N , ( ) .

- Mathematica . , Table 5.6.

3 . : bl[f,{,0,10,0.1}]//N>>"_". , rezlab1.txt, c:\_Users\Ivanov, :

Table[f,{x,0,10,0.1}]//N>>"c:\\_Users\\Ivanov\\rezlab1.txt"

4 Mathematica, , .

- bl[f,{,0,10,0.1}]//N>>"_" 3 : %"_". , - .

5.3 .

(.. ) File - Save. .nb. , . , , ( File - Open) Kernel - Evaluation - Evaluate Cells. , Kernel - Evaluation - Evaluate Notebook.

5.5 - .

1 , 5.1 - 5.4, File - Save. Mathematica.

2 Mathematica. File - Open. 3 ( )

f Shift-Enter. , f. , f ( f=x^2*Sin[x]).

4 f=x^2*Sin[x]. ( ) . Kernel - Evaluation - Evaluate Cells.

137

file://c:/_Users/Ivanov

5 f. , x^2*Sin[x]. , f .

6 Mathematica Word. Mathematica, . Word.

5.4

, Mathematica, .

5.6 - , c sin =2.

1 , f f=x^2*Sin[x]. 2 :

f/.x->2

=2 x^2*Sin[x], ( 4 Sin[2]). , f : , a f - x^2*Sin[x].

3 :

y=f/.x->2

- , 2, . f .

, .

5.7 - 52+7-25=0 z+1.

1 :

= 5*^2+7*-25==0

2 :

u=u/.x->z+1

: -25+7(l+z)+5(l+z)2==0.

(=) , . u/.x->z+l, , .

3 :

u=Simplify[u]

: z (17+5 z)==13.

138

5.5

. File - Palettes.

5.8 - Mathematica.

1 , , File - Palettes - Basic Input.

2 3 (..

). 4 .

() .

:

( - 2, Sin) *.

5 Shift-Enter. 6 , Mathematica.

:

Integrate[2 Sin[x]/Exp[x],x]

() , .

, , , .

5.9 - :

: , Mathematica.

, ( ), , Mathematica.

139

5.6

5.6.1 .

Mathematica . - .

, ={5, 3.5, 7, 8, 4} - . , .

Mathematica , - . ,

Mathematica : b={{5,2,7}, {4,6,2}, {1,9,4}, {3,7,2}}. b - , .

. , , - .

, , Mathematica b, . [[2]], 3.5. b[[2]], {4,6,2}, .. b. b[[3,2]], 9.

, Mathematica .

5.10 - 1 10 0.1, t

2+sin t t 1 10 0,1.

1 :

x=Range[l,10,0.1];

, 91 .

2 :

y=Table[t^2+Sin[t],{t,l,10,0.1}]//N;

-, , : y=x^2+Sin[x]//N.

. , ={5,{2,7,5}} - , - 5, - {2,7,5}.

140

5.6.2 ,

, (, ..) .

5.11 - , .

1 , :

2 elem , : elem=a[[l,3]].

3 : [[2]]. 4 a: Transpose[a][[2]]. Trans

pose [] - . 5 (5,7,5) :

a=Insert[a,{5,7,5},2]. 6 (1,1,1,1) .

: - : a=Transpose[a]; - (1,1,1,1),

: a=Insert[a,{l,l,l,l},{{2},{3}}]. {{2},{3}} - , . 2 3 ( 2 4), ;

- : a=Transpose[a]. 7 : MatrixForm[a]. 8 : TableForm[a].

5.6.3

Matlab : . .

5.12 - . 1 , :

2 b : b=b+l.

141

3 b, u: u=+b. 4 b ,

v: v=a*b ( v=a b). 5 b: Sqrt[b]. 6 a c : z=a.c. 7 b, .. :

b=Transpose[b]. 8 : d=Det[x]. 9 , : xobr=Inverse[x]. 10 , ,

xobr , . , .. , , - .

11 : Eigenvalues(x). 12 : Eigenvectors(x).

5.13 - : 61 + 142 + 73 = 120 1 +52 + 93 = 175 81 +32 + 53 = 100.

: x=a

-1b, - (a

-1 -

), b - . ; .

Mathematica LinearSolve[a,b].

5.7

(Add-on) Mathematica, ( Mathematica), . , (, , ..) (, ). . Mathematica. :

_'_'

, , , "~" ( "").

142

5.14 - .

, (, , ..). :

Miscellaneous'PhysicalConstants'

PhysicalConstants Miscellaneous. , :

SpeedOfLight

: 2 9 9 7 9 2 4 5 9 M e t e r

Second

(, ) .

5.8

Mathematica . Mathematica , - .

Mathematica - Plot[, {, , }, ]. -, (, Sin[x]). - , . - , . ( , ..). Plot .

Mathematica.

5.15 - y=0,25x+sin -1 0 10.

:

Plot[0.25 x+Sin[x]-l,{x,0,10}]

5.16 - y=0,25x+sin x - 1 y=0,25x+cos - 1 0 10.

:

Plot[{0.25 + Sin[x] - 1,0.25x + Cos[x] -1 } , {, 0,10}, AxesLabel ->{"X", "Y"},

PlotStyle -> {Dashing[{}], Dashing[{0.05,0.025}]}]

143

- , , .

AxesLabel . PlotStyle Dashing : , - ( 0,05 - , 0,025 - ). Plot Mathematica.

5.17 - y=0,25x+sin - 1 y=0,25x+cos - 1 0 10 .

1 Legend Graphics:

{Dashing[{0.15, 0.025}],

Dashing[{0.05, 0.025}]},

PlotLegend -> {"0.25 x+Sin[x]-1", "0.25 x+Cos[x] -1"} ,

LegendPosition -> {-1, -1 .2 } , IegendSize -> {2, 0.5}]

- LegendPosition . , - . , , -1 1. (LegendSize).

5.18 - , :

x=6cos3t

y=6sin3t

t 0 2. :

ParametricPlot[{6*Cos[t]^3,6*Sin[t]^3},{t,0,2*Pi}]

5.19 - , : r=6 cos 3t, f 0 2.

1 Graphics Graphics:

Plot3D[x^2+2y^2,{x,-5,5},{y,-5,5},PlotRange->{0,40}]

:

Plot3D[x^2+2y^2,{x,-5,5},{y,-5,5},PlotRange->{0,40},Mesh->False]

:

ContourPlot[x^2+2y^2,{x,-5,5},{y,-5,5},Axes->True,AxesLabel->{"X","Y"}]

5.21 - , :

x=(cos t)(+cos u) y=(sin t)(3+cos u) z=sin 2u

t 0 1,75, 0 2. : ParametricPlot3D[{Cos[t] (3+Cos[u]), S i n ( t ] ( 3 + Cos[u]),

Sin[2u]} , {t, 0, 1.75Pi}, {u, 0, 2P i } , Axes -> True, AxesLabel -> {"X", "Y", "Z"}]

5.22 - :

X 1,2 3,1 6,7 7,8 9,8 12,5 14,3 Y 15,7 12,2 10,4 6,2 6,1 5,9 5,8

. , X Y.

1 , , :

1.2 15.7 3.1 12.2 6.7 10.4 7.8 6.2 9.8 6.1 12.5 5.9 14.3 5.8

2 . 3 Mathematica. -

( - dan). :

d an=ReadL i s t [ " _ " , Number, RecordLists->True]

, 5.4. Number , ; Number, , , . RecordLists->True , ( , ). dan .

4 , : ListPlot[dan].

145

5 (, ), :

ListPlot[dan, PlotRange->{-l,15}, PlotStyle->PointSize[0.02]]

5.23 - , : (x

2+y

2)2-x

2+y

2=0, -2 2.

, , Mathematica.

- " " - implicit function.

5.24 - 5.22. (. 5.6), : X Y.

5.9

Mathematica :

Solve[ypa, ]

NSolve[ypa, ]

- ; - , .

Solve , NSolve - ( ).

- , , . 5.1 5.2.

, Solve NSolve . (, - , ), .

, Solve NSolve . . :

FindRoot[ypa, {, _}]

- ; - , ; _ - ,

.

146

, FindRoot ( ). , .

.

5.25 - sin + cos = 0.

1 :

Solve[Sin[x]+Cos[x]==0,x]

:

, .

, . 2 :

Sin[x]+Cos[x]==0/.%

: {true,true}. , .

- (/.) (%). . 5.2 5.4.

3 , 1 2, : (. 5.2). ( Shift-Enter):

ur=Sin[x]+Cos[x]==0 Solve[ur,x] ur/.%

(Sin[x]+Cos[x]==0) ur, . , 1 2.

4 sin + cos = 0 . :

NSolve[ur,x]

:

{{ -> - 0 . 7 8 5 3 9 8 } , { -> 2 . 3 5 6 1 9 } }

5 . :

Sin[x]+Cos[x]/.%

: {1.1102210-16

, 1.1102210

-16}, .. ().

147

- ur/.% ( , ) : {false, false}, . , , - .

6 sin + cos = 0 ( , ). :

rez=x/.NSoIve[ur,x]

, NSolve (.. , 4), , rez. rez {-0.785398,

1 x/.NSolve[ur,x], NSolve

, - .

2 rez=x/.NSolve[ur,x] ( - ), , , (. 3).

7 (.. ) :

Sin[x]+Cos[x]/.x->rez

, .

5.26 - 0,25 + sin - 1 = 0 0 10.

1 Solve. :

Solve[-1+0.25 x+Sin[x]==0,x]

, . .

2 , , y=0,25x+sin - 1 0 10, Plot. , 5.2.

2.35619}.

S.2 - =0,25 + sin -1

148

3 FindRoot (. ). , , :

FindRoot[0.25*x+Sin[x]-l=0,{x,0}]

, =0. : {->0.890487}.

4 :

0.25*x+Sin[x]-l/.%

, 0,890487. .

5 ( ). :

xl=x/.FindRoot[0.25*x+Sin[x]-l==0,{x,0}]

( 0,890487) , x1.

6 :

0.25*x+Sin[x]-l/.x->xl

. 7

2 3.

8 . : x={xl,x2,x3}.

5.10

Solve NSolve, - FindRoot. , , . . FindRoot :

FindRoot[{ypa}, {,x0},{,0},...]

- , ; , ,... - , ; x0, 0,... - .

5.27 - :

x12 - x1x2 =-X1

x22 - x1x2 =

-X2.

1 xl, 2, , , . , xl :

xl=.

Clear[x1]

2 , :

FindRoot[{xl^2-x1 x2=Exp[-xl] , 2^2+1 x2==Exp[-x2]},{xl,0},{x2,0}]

xl 2 .

:

{x1->0.906592, 2->0.461078}.

3 . , , :

{1^2-1 x2-Exp[-xl], 2^2+1 2-[-2]}/.%

( ), .

4 : ( , 2). :

x={xl,x2}/.FindRoot[{x1^2-xl x2=Exp[-xl], 2^2+1 2==[-2]}, {xl,0},{x2,0}]

, FindRoot (xl->0.906592, 2->0.461078), xl 2. ( ) .

5.11

y=f(x) :

FindMiniinum[, {, _}]

- fix), ; - ; _ - ,

.

FindMaximum, , FindMinimum.

, FindMinimum FindMaximum . , .

15

5.28 - =0.25 x+sin - 1 [0; 10].

, (. 5.2).

1 ( , =5), :

FindMinimum[0.25*x+Sin[x]-l,{x,5}]

: {-0.853319,{->4.45971}}. ( -0.853319) - ; ( ->4.45971) - .

2 ( ), , . ( Shift-Enter ):

rez=% y=rez[[l]] x=x/.rez[[2]]

(.. , 1) rez. , rez {-0.853319,{->4.45971}}. () . (), .

3 (. 5.2), FindMaximum.

5.12

FindMinimum :

FindMinimum[, {,x0},{,0},...]

- , ;

, ,... - ; x0, y0,... - .

FindMaximum, , FindMinimum.

5.29 - :f(x1, 2) = (x1-5)

2(2-2)

2- (15)(2-2).

1 :

FindMinimum[(xl-5)^2*(x2-2)^2-(xl-5)*(x2-2),{xl,0},{x2,0}]

151

:

{-0.25, {1 -> 1.09656, 2-> 1.87191}}.

( -0.25) - ; - ( ).

2 , . xl 2 :

rez=% (x1-5)^2*(x2-2)^2-(x1-5)*(x2-2)/.rez[[2]]

(.. , 1) rez. , rez {-0.25,{1->1.09656, 2->1.87191}}. rez[[2]], .. xl 2, . 0,25.

3 (f, xl 2), , 1 FindRoot. ( Shift-Enter ):

f=rez[[1]] x1=x1/.rez[[2]] x2=x2/.rez[[2]]

f=rez[[1]] f rez. - ( ). x1 2, .

5.30 - = 5 - 2/ - 2 + 10 sin

5 - 2/ - 2 + 10 sin = 0 -10 10.

5.13

(. 3.5) , , Mathematica :

ximize[ , {}, {}]

, , Minimize, , Maximize.

, Minimize Maximize NMinimize NMaximize.

152

5.31 - : E=3x1 + 52 + 2x3 > max 8x1 + 7x2 + 53 = 2500

xi>=0, i=1,...,3.

:

Maximze[3x1 + 5x2 + 2x3,

{81 + 72 + 5x3 = 2500, x1 >= 0, 2 >= 0, 3 >= 0},

{xl, 2, }] :

, - , .

, :

Maximize[3xl+ 5x2 + 23,

{8x1+ 7x2 + 5x3 = 0, 2 >= 0, 3 >=0},

{xl, 2, 3}]//N

:

{430.278, {x1->22.265, 2->69.3373, 3->8.39749}}

- , NMaximize Maximize.

5.32 - 5.31 : 1, 2, 3 .

:

153

Maximize [3 x1+ 5 x2 + 2 x3,

{8x1+ 1x2 + 5x3 = 2500, x1 >= 0, x2 >= 0,

x3 >= 0, xl Integers, x2 Integers, x3 Integers},

{xl, x2, x3}] // N

, , , , (Integers). . :

{430., {1->20.,2->70,,3->10.}} Minimize Maximize ( NMinimize NMaximize)

, .. , 5.11 5.12. Mathematica.

5.33 - : = 100x1+300x2 -> max 20x1 + 52 = 50 31 + 22 = 10 1 = 22

12 + 23 = 100

22 +3

2 = 1000

i>=0, i=l,...,3.

154

5.14

Mathematica :

DSo l v e [ ypa , y [x ] , ]

- ; [ ] - ,

; - .

DSolve : D S o l v e [ { y p a } , { y 1 [ x ] , y 2 [ ] , . . . , y n [ ] } , ] .

5.35 - : "- = x, -

.

:

DSolve[y"[] - [] == [], [], ]

( " [ ] ) ( ).

:

[1], [2] - .

5.36 - :

y1=2+0,12

y2 = -y1

- .

:

DSolve[{y1'[x] == 2[] + 0.1*^2, 2' [] == -y1[x]},

{y1[],y2[]},]

:

{{y1[] -> C[1] s[1 . ] + [2] Sin[l. x] + 0 .1 Sin[1. x]

( - 1 . ( - 2 . + 1. 2) s[1 . ] + 2. x Sin[1. ] ) + 0.1

Cos[1 . x] (2 . x C o s [ 1 . x] + 1. ( - 2 . + 1 . x2) S i n [ l . x]),

y 2 [ x ] -> [2] s[1 . x] - C[1] Sin[1. x] + 0.1 Cos[1 . X]

( - 1 . ( - 2 . + 1. x2) Cos [ l . x] + 2. x S i n [ l . x]) - 0 . 1 S in[

1. x] (2 . x s[1 . x] + 1. ( - 2 . + 1 . 2) Sin[1, x])}}

155

1() 2() , Simplify[], - , . :

Simplify[%]

:

{{y1[] ->

0 . 2 s[1. X]2 + Sin[1. ] ([2] + 0 .2 S i n [ l . ] ) +

Cos[ l . ] ([1] + (0. + 0. 2) Sin[1. ]) ,

2 [ ] -> ( 0 . 2 - 0 .1 2) s[1 . X]

2 +

s [ 1 . ] ([2] + 0. S i n [ l . ]) +

S i n [ l . x l ( -1 . [1] + ( 0 . 2 - 0 . 1 2) S i n [ 1 . x ] ) } }

Mathematica :

NDSo l v e [ { y p a , _}, {1, 2,..., n}, {, min, xmax}],

- ( ); _ - ,

, , ;

1, 2,..., n - , . ( ), ;

- ;

Xmim Xmax - .

5.37 - 5.35 : (0)=5, '(0)=12. () 0 10.

1 . :

NDSolve[{y"[x]-y[x]==x*Exp[x], [0]=5, '[0]==12}, , {,0,10}]

:

{{y-> lnterpolatingFunction[{{0., 10.}}, ]})

, () 0 10. ( 0 10) (). .

2 ():

Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,10},AxesLabel->{"x","y"}]

() 5.3.

156

Evaluate () , , .. NDSolve. Plot ( 0 10) , Evaluate, .. ().

- Evaluate[y[x]/.%] , []/.%. , , Evaluate. , Plot : Plot[y[x]/.%,{x,0,10}, AxesLabel->{"x","y"}]. []/.% (, ). Evaluate .

5.38 - :

1 =2+0,12

- , : 1(0)=0, 2(0)=1. 1() 2() 0 20.

1 Legend, Graphics (. 5.7, 5.8). :

Graphics'Legend'

Legend , : 1() 2(), .

2 . :

rez = NDSoIve[{yl'[x]==y2[x]+0.1*x^2, 2'[]== -yl[x], 1[0]==0, 2[0]==1}, {1,2},{,0,20}]

1() 2() 0 20. :

{{y1->InterpolatingFunction[{{0., 20.}}, ],

y2->InterpolatingFunction[{{0., 20.}}, ]}}

, .. 1() 2(),

rez.

3 :

Plot[Evaluate[{y1[], 2[])/ . r e z ] , {x, 0, 20}, PlotStyle -> {Dashing[{}], Dashing [{0.05, 0 .02}]} , PlotLegend-> {"yl", "y2" }, LegendPosition-> {1 , 0}, AxesLabel->{"X", "Y"}]

157

5.4.

4 y1(x) 2() . , y1() :

Plot[Evaluate[1[]/.rez], {, 0, 20},

AxesLabel -> {"X", "Y"}]

2().

- - . %, %% ..

5.3 - 5.37 5.4 - 5.38

, , (.. ), , , .

5.39 - y1(x), 5.38, .

1 1() =10:

yl[10]/.rez

2 y1(x) 0 10 0,1. . :

- 0 10 0,1:

x=Range[0,10,0.1];

( , );

- y1(x) :

1[]/.rz>>"_"

158

5.40 - :

'' + 0,5 + y3 = 10sin ,

- , (0)=0, '(0)=1. () 0 10. () =8.

5.41 - :

y1'= y2

2 '=-y1 +1000(1-y12)2

y1, 2 - . y1(0)=2, y2(0)=0. y1(x) 2() 0 3000.

159

6

++

6.1 -

: -> -> -> -> .

- , . .

- - , , . :

- - - ;

- , ( ) ( ) . - - .

- () - , , , . : 1) , ; 2) - ; 3) . - .

:

- ; - ; - -.

, .. , . (). , 60, , ..

. , , ,

160

. . () , . . ++ , . ++ .

- : , ; , () .

-

.

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