Embed Size (px)
Citation preview
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
ةالهندسة التحليلي و الحساب الشعاعي
الدرسعناصر
.النفعي لألشعةالبعد -
. األشعة في المستوى-1
. المعالم للمستـوى-2
. معادلة المستقيــم-3
. معادلة الدائــرة-4
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
:البعد النفعي لألشعة
يعتبر مفهوم الشعاع من المفاهيم الرياضياتية الجديدة، بحيث ظهر في
تكـن فـي لـم القرن التاسع عشر، وهذا ليجيب على مسألة االتجاه التي
هـو B نحـو Aالمصطلح الرياضياتي، باعتبار أن االنطالق من النقطة
.Aنحو Bعاكس لالنطالق من م
وللتماشي مع الواقع الفيزيائي المتجدد بفرضياته ونظرياته، وضـعت
.القواعد، والصياغات، والعمليات المنظمة لهذا المفهوم الجديد
التبريـر وبهذا البعد، تمكنت الرياضيات من تطوير تواصلها، وأخـذَ
د الذي تدعمت به بقية نفَساً جديدا وحاسماً، إلى جانب النفس القوي، والسن
.العلوم وبخاصة الفيزيائية منها
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
األشعـة في المستـوى -1
البليدةمن كمتطلب مفهوم األشعة
: الحياة اليومية
إليك لوحة مرور معلقة عند قسنطينة الجزائر)1
مفترق الطرق
مسيلة. اشرح مدلول األسهم. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
: نرمز إلى هذه المدن بـ ) الخريطة مثال ( في تصميم مصغر )2
M , C , B , A B
C A
M
.طرقا مختلفة )A , B ( / ) A , C ( / ) A , M( تعين
ـُست: في الحياة العامة )3 .غل نوعا الحركة في المسار الواحدي
B قطري A B خط هاتفي A B تجارة دولية
A
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
تصدير إرسال انطالق
استيراداستقبال وصول :مفهوم الشعـاع
تعين ) A , B( الثنائية . نقطتان من المستوىB و A: تعريـف
شعاعا نرمز إليه بـ →
V ونكتب →BA=
→V
إذا كان : المسألة العكسية →
V شعاعا فإنه توجد نقطتان من المستــوى
B , Aحيث ب→BA=
→V ـّـلنا الشعاع ونقول بأننا مث
→V.
: الخواص
-أ→BA شعاع
طويلة )1→BA هي قطعة المستقيم ]A B[ ونكتب A B =||
→BA ||
كان إذا )2→BA منحى غير معدوم، فإن
→BA هو منحى المستقيم )A B(
.نقط متمايزة من المستوي في استقامية C , B , A -ب
C B A C A B
→BA و→
CA االتجاه لهما نفس →BA و
→CA اتجاهان متعاكسان لهما
B
A
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
ارسم أشعة لها نفس منحى→BA
A B
اتجاه ارسم أشعة لها نفس →BA
B A
طويلة ارسم أشعة لها نفس →BA
؟ى والطويلةتلك التي لها نفس االتجاه والمنحمن بين األشعة ما هي
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
:تساوي شعاعين
→: تعريف Uو
→Vمعدومين شعاعان غير .
→U ,
→V متساويان معناه :→
U , →V لهمـا نفـس المنحـى واالتجـاه
. ونكتب. والطويلة→V = →
U.
لتكمـل C بالنسبة إلى D و A نظيرتا F و E. معينA B C D: تطبيق
A )مع التعليل ( ما يلي
1( . . . . . . .= . . . . . . . .= →BA B
2( . . . . . . .= . . . . . . . .= →FE D
3( . . . . . . .= . . . . . . . = →ED
C. معينA B C D بما أن) : 1 حـل
فإن →CD =
→BA .F
وبما أن C منتصف ]D F[ فإن: →FC =
→CD E
ي فإنالتساوي متعد وحيث أن :→FC =
→BAوهو المطلوب .
2 (بما أن ]A E[ و ]D F[ لهما نفس المنتصف C الربـاعي فإن A D E F
وهـذا ) انظر الخواص المميزة لمتـوازي أضـالع (متوازي أضالع
) )1 بنفس الطريقة المستعملة في( .يوصلنا إلى المطلوب
. بإمكانك استغالل الفكرة السابقة من جديد)3
:خاصة مميزة
D , C , B , A أربع نقط من المستوي . →DC =
→BA يكافئ ]A D[ و ]B C[ لهما نفس المنتصف .
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
: يمكن أن نعبر عن هذه القضية كما يلي:ترقية التواصل
يكون →DC =
→BA إذا وفقط إذا ]A D[ و ]B C[ لهما نفس المنتصف .
B A O
B C D A
O
D C
.رباعي A B C D :نتيجة
A B C D متوازي أضالع يكافئ →CD =
→BA.
) انظر الخاصية المميزة الثانية لمتوازي األضالع (
:يمكنك أن تختار
A B C D يكافئ وازي أضالعمت :→BC =
→AD
B A
D C
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
K A M :إعادة استثمار
A B C مثلث كيفي .
M , L , K .علّم النقط
B C :التي تحقق →BC =
→KA ,
→CA =
→LB ,
→AB =
→MC
K تنتمي إلى المستقيم الذي يشمل A
C B . ( L ( ويوازي
A C B K لمتوازي األضالعهي الرأس الرابع K الحظ أن
)يفيةاإلنشاء ممكن بأكثر من ك (
L تنتمي إلى المستقيم الذي يشمل Bويوازي ( . . . . . )
L هي الرأس الرابع لمتوازي األضالع. . . . . . .
M تنتمي إلى المستقيم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . كمتطلبيالمجموع الشعاع
P يمثل الشكل : من الحياة اليومية
M مخطط الرحالت الجوية الجزائرية
A O عن طريق P نحو باريس Bمن بشار
T، C T ، تلمسان O كل من وهران
M ، G ، مرسيليا A ، الجزائر G غرداية
B .عبر باألشعة عن بعض تلك الرحالت
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
نتحصل في كل مرة على الشعاع : مالحظـة →PB المـسارات رغـم أن
. ألسباب تنظيمية)سعر التذكرة ال يتغير ( مختلفة
نكتب→PA +
→AB =
→PB
→PG +
→GB =
→PB وهكذا ،.
ونقول بأن →PB هـو مجمـوع
→AB و
→PA وهـو أيـضا مجمـوع
→GB و
→PG.
مجموع الشعاعين : تعريف→U و
→V هو الـشعاع الـذي نرمـز إليـه
→V +
→U إذا كان :بحيث
→BA =
→U و →
CB= →V فإن
→CA =
→V +
→U.
→U
→V
B
A C
→V +
→U
B C .[ A [ منتصف I .مثلث A B C :تطبيق
التي تحقق M أنشئ النقطة→
IA + →BA=
→MC.
ـــل ــة : ح ــم النقط ــث Dنعلّ →: حيIA =
→DB C I
B
→ :ومنه DA =
→DB +
→BA = →
IA + →BA .
→: هكذا DA =
→MC .نعلّم النقطة ثم M D
.حسب مبدأ التساوي M
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
.نقطتان من المستوي B و A :شالعالقة
: من المستوي لدينا M من أجل كل نقطة →
BM + →MA=
→BA.
.نقط من المستوي D , C , B , A: تطبيق
ن أنبي: →DC +
→BA =
→DE +
→BC+ →
EA
:1 طريقة : حـل
: لدينا →EC+
→CA=
→EA ,
→BA+
→AC=
→BC ,
→DC +
→CE =
→DE
: ومنه →DC+
→CE +
→BA+
→AC +
→EC+
→CA =
→DE +
→BC + →
EA →DC +
→BA + )
→CE+
→EC (+ )
→AC+
→CA ( =
→DC +
→BA+
→CC +
→AA =
→DC +
→BA=
→DC +
→BA +→
O +→O =
: 2 طريقة→BC + )
→DE+
→EA( =
→DE+
→BC+
→EA
→BC +
→DA =
)→BA+
→AC ( + )
→DC+
→CA( =
→BA +
→DC + )
→AC+
→CA ( =
→DC+
→BA=
→DC+
→BA+
→AA =
تطبيق عالقة شال كما ترى يتطلب الدقة والمالحظـة بهـدف : مالحظة
قد تتكـرر المحـاوالت . إدماج النقط المساعدة المالئمة لتحقيق المطلوب
.قبل العثور على النقط المساعدة
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
:مفاهيم مساعدة
1-→U الشعاع . شعاع
→V حيـث →
O = →V+ →
U يـسمى معـاكس →U
→ونرمز إليه بـ U - ونقول بأن →
U و →Vاًي مرتبطان خَطـ.
معاكس : نتيجة→BA هو
→AB ) ألن →
O = →AA =
→AB +
→BA (
الفرق بين الشعاعين -2→Vو →
U هو )→U-(+
→V ونكتب →
U- →V.
الحظ أن الفرق بين شعاعين يحمل فكرة الفرق بين عددين وهي إضـافة
.المعاكس
:جداء شعاع بعدد حقيقي
A B C متساوي الساقين A
قارن بين الشعاعين من حيث
M فيى واالتجاه والطويلةالمنح
: الجدول اآلتي
C H B
D
الشعاعـان المقارنـــة
ةـ الطويل اهـ االتج ى المنحـ
→MB و
→BA مختـلف نفسه ||
→BA ||
21
= ||→MB||
→CA و
→HM
→DC و
→HB
→BH و
→CH
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
:تعريف →Uو غير معدوم شعاعk عدد غير معدوم.
جداء الشعاع →U بالعدد k هو الشعاع
→Uk بحيث:
→U و→
Uk ى ، ونفس االتجاه إذا كانلهما نفس المنح > O k.
→U و→
Uk هـان متعاكسان إذا كانتجا وا، ىلهما نفس المنح
< O k.
|| →U || .| k| = ||
→Uk ||
→: اصطالح O =
→Uk يكافئ ) O = k أو
→O=
→U (
.لديك الشكل : إعادة استثمار
أكمل ما يلي بوضع األعداد المناسبة→CO . . . . . . .=
→CA B F A
→BF . . . . . . .=
→BA L
→CD . . . . . . . =
→DH O
→EH . . . . . . . =
→BA K
→DE . . . . . . . =
→BF
→EK . . . . . . . =
→DA C E H D
.أال تذكّرك الفكرة المقترحة بوضعية سابقة : مالحظة
.) تفحص اإلرسال واكتشف وجه الشبه (
:االرتباط الخطي
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
→ مثلث A B C : نشاط تمهيديUو
→V شعاعان حيث :
→CA6 +
→BA 2= →
U و →CA9+
→BA3=
→V.
→: بحيث kهل يوجد عدد حقيقي : السؤالUk=
→V.
→ : حـلUk=
→V يكافئ
→CAk 6 +
→BAk 2 =
→CA9 +
→BA3
)k 6 = 9 و k 2 = 3 ( : بالمقارنة
(: ومنه 23 = k و
69 = k ( أي
23 = k
هو k اذن يوجد عدد حقيقي23
→نقول عن Uو
→Vأنهما مرتبطان خطيا .
→ المصطلح السابق الملغى في االصالح هو (Uو
→V متوازيان (.
ان خطيا إذا كان أحدهما يساوي نقول عن شعاعين أنهما مرتبط : تعريف
. جداء اآلخر بعدد حقيقي
.الشعاع المعدوم مرتبط خطيا مع أي شعاع : اصطالح
:استثمار في ميدان آخر
بهذا المفهوم تصبح البرهنة على استقامية ثالث نقط أكثر سـهولة ممـا
.كانت عليه كما رأينا في الهندسة المستوية من خالل أحد التطبيقات
في C و B و A نقط متمايزة من المستوي C , B , A : خاصة مميزة
استقامية يكافئ →BA و
→CAمرتبطان خطيا .
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
:تمارين تطبيقية
1( A B C D متوازي أضالع مركزه O.
أثبت أن : →AC 2 = →
AD +→AB +
→DC +
→BC
معطيات في هذا التمرين قـد يـشير ال ضمن Oوجود النقطة : مالحظة
.إلى إمكانية استغاللها كنقطة مساعدة في عالقة شال
2( A B C مثلث E منتصف ]B C[ M و Nنقطتان متناظرتان بالنسبة
بين أنE . إلى →NA +
→MA =
→CA +
→BA.
زيادة على عالقة شال ، الحل ممكن العتبارات هندسية متعددة تتعلـق (
.) ي بمفهوم الجمع الشعاعأخراهاإحداها بمتوازي األضالع ، و
موضوع األشعة الرتباطه بمفـاهيم مجـردة ، ثـم لحساسيةنظرا ²
ة تتماشى مع مختلف فئات لك المفاهيم برؤية واقعي على أهم ت التركيز
، وهذا تجنبا للخوض فـي دقـائق خـصوصيات الموضـوع المعلمين
.واالكتفاء بما هو نفعي
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
: وضعية مشكلة A
B
E F
C
D
؟كيف تصف هذا الشكل لشخص آخر حتى يرسمه كما هو
:ما هي الهندسة التحليلية
هي مجموعة العالقات التي تربط بين اإلحداثيات، والتي نتمكن بواسطتها
.من تعريف مفهوم هندسي
...)معادلة مستقيم في المستوي أوفى الفضاء، معادلة دائرة في المستوي(
:حليلية البعد النفعي للهندسة الت
شكل جديد للتواصل، يتم بوسائل تبتعد إلى حد كبير عن تلك المـستعملة
. في الهندسة المستوية المرتكزة أساسا على األشكال المساعدة
غير أن التواصـل . تكسبنا الهندسة التحليلية تواصال أكثر مرونة وواقعية
عـن فيها استنتاجي تراكمي، وكل خطئ في الحساب يؤدي إلى االبتعاد
فتوخي الدقة طوال كل مراحل اإلنجاز الرياضياتي هو الكفيل . المطلوب
.بالوصول إلى االستنتاج المطلوب
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
:المعالـم للمستـوي -2
J→ و I→ ثالث نقط متمايزة وليست في استقامية J , I , O : تعريف
→ شعاعان بحيث IO = →I و →
JO = →J.
.معلما للمستوي) J ,→I , O→( تسمى الثالثية
.هو مبدأ المعلم: O: مصطلحات
→I , →J : شعاعا الوحدة.
) I O ( : محور الفواصل.
) J O ( : محور التراتيب.
. اذكر بعض أنواع المعالم للمستوي ومثلّـها
)3( شكل )2( شكل )1( شكل
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
: شعاعكبتا مر–إحداثيا نقطة
)→J,→I, O (معلم للمستوي.Mنقطة من المستوي →Uشعاع من
. المستوي
)(الثنائية: 1 تعريف y,x من األعداد الحقيقية حيث :
→Jy+→Ix= →MOى إحداثيي تسم M . ونكتب)( y,x M.
x : فاصلةM .y : ترتيبM.
)(الثنائية : 2 تعريف y,x من األعداد الحقيقية حيث :→Jy+→Ix=
→U.
→ تسمى مركبتيU . ونكتب y
x →U .
x : المركبة األولى لـ→U , y : المركبة الثانية لـ→
U.
:المرفق النقاط ) J ,→I , O→(علّم في المستوي : نشاط
)4 , 0 ( A , )0 , 4 ( C , )4 - , 0 ( E , )0 , 4 - ( G.
.) C (ولتكن . A وتمر بالنقطة Oارسم الدائرة التي مركزها
حتى يكون الثماني .) C ( على الدائرة H , F , D , Bعلّم النقط
A B C D E F G Hارسمه (. ثماني منتظم (
→j
→i
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
القـة بـين مركبتـي نقطتـين يمكن استغالل هذا النشاط في تخمين الع
محور الفواصـل أو بالنـسبة -محور التراتيب : متناظرتين بالنسبة لـ
همـا متناظرتـان 2- , 3- ( L( K ) 3 , 2( مثال النقطتان . Oللمركز
.علّمهما. O بالنسبة للمبدأ
.يمكنك العودة إلى الشكل المقترح في وضعية مشكلة : مالحظة
. والحظ مرونة التواصل بعد ذلكاستعمل معلما مناسبا
أصبح بإمكانك تبليغ الشكل بتوظيف إحداثيتي كل نقطة ورسم المـضلع (
) A B C D E Fالمقعر
: نشاط
األشعة ) J ,→I , O→(نعتبر في المعلم 23
→U ,
02−
→V ,
5,25,1
→T
.مثّل كال من هذه األشعة
→j
→i
من أجل تمثيل الشعاع : إرشاد79−
→L
=y9 -→x7→: يث نعود للتعريف ح→L
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
من المستوي حيث Mفإذا اعتبرنا النقطة →L = →
MO.
→يكون J9-→I7 = →
MOبالتعريف .Mي هي النقطة ذات اإلحداثي
ومنه. ),7 -9( →MO هو الممثل لـ
→L.
:خواص
)→J,→I, O ( معلم للمستويxy →
U , xy′′
→V , )( y,xA
,)( y,x ′′B.
1( →V =
→U يكافئ x′ = x و y′ = y
مركبتا الشعاع )2→V +
→U هما:
xxyy′+′+
3 (k مركبتا الشعاع. عدد حقيقي →Uk هما:
xkyk
الشعاعمركبتا) 4→BA هما:
x-xy-y
′′
:هما ]A B[ إحداثيا منتصف) 52
,2
yyxx ′+′+
6 (→U ,
→V 0 = مرتبطان خطيا يكافئyx′-y′x ويكافئ x′y=y′x
. في حالة المعلم المتعامد المتجانس
22: حيث A B هي B و A بين المسافة)7 )()( y-yx-x ′′= +BA
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
8 (→U ,
→V 0 متعامدان يكافئ= y′y+x′x
تكتب أيضا على شكل محدد x′y-y′x الكتابة :مالحظة
xy-yx ′′=
xxyy′′
=0: ومنه يمكن كتابة شرط االرتباط الخطي كما يلي xxyy′′
اتـــتطبيق
)→J,→I, O (معلم متعامد و متجانس للمستوي. 1 ( )4 , - 2 ( A , )2- , 1 ( B , )2 , 4 ( C
].A C[ منتصف H ياحسب إحداثي -أ
.H بالنسبة إلى B نظيرة E يب إحداثياحس -ب
احسب مركبتي -ج→
EC+ →BA .ماذا نستنتج ؟
)( ليكن ) أ حـل y,x يإحداثي H ) عادة نستعمل هذين الحرفين للداللـة
) نقطة مجهولة من المستوي يطلب تعيينها أييعلى إحداثي
:لدينا 2
42 +−=x و
224 +
=y حسب قاعدة المنتصف.
.y=3 و x=1 :ومنه
.H )3 ,1( . عادة تجمع النتائج المحصلة فنكتب هنا
].B E[ منتصف H معناه H بالنسبة إلى B نظيرة E )ب
)( y,x إحداثيا E يحققان:
2
11 x+ و =
223 y+−
=
=+x :ومنه =−+y و 12 2G
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
y=8 و x=1 نجد
.E )1,8( إذن
سب على التوالي مركبتي كـّل مـن نح) ج→BA و
→EC حـسب قاعـدة
.مركبتي شعاع
:لدينا 2142
+−−
→BA و
4128
−−
→EC
: ومنه 36−
→BA و
36
−
→EC
نجد 00
→EC +
→BA حسب قاعدة المجموع.
بما أن مركبتي : الستنتاجا→
EC + →
BA هما 0 فإن هذا الـشعاع هـو 0
كما يمكن استنتاج أن . الشعاع المعدوم→BA و
→ECمتعاكسان .
2 ( )4 , - 3 ( A , )0 , 5 ( B , )2 - , 5 ( C , )2 , - 3 ( D.
احسب مركبتي كل من) أ→BA ,
→DA ,
→BC , →
CD
. مركزهيواحسب إحداثي A B C D استنتج طبيعة الرباعي) ب
:وع نجد مبتطبيق قاعدة المج) أحـل
84−
→BA,
02−
→DA ,
02−
→CB ,
84−
→CD
→ :نالحظ أن )بCD =
→BA وبالتالي الرباعي A B C D متوازي أضالع
) حسب نتيجة الخاصة المميزة لمنتصف قطعتي مستقيمين (
يمكن استنتاج المطلوب من المساواة •→DA =
→BC
)( ليكن y,x O مركز متوازي أضالع.
نعلم أن O فهو منتصف من قطريه منتصف كلهو ، ]A C[ ومنه:
253+−
=x , 2
04 +=y 1,2 ( وبالتالي ( O .
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
3 ) (5 , 1( A , )4 , 3 ( B , )x ,2 ( C , )1 , - 1 ( D. ) x عدد حقيقي (
A B , A D , B D احسب األطوال -أ
تحقق من أن -ب→BA و
→DA متعامدان.
بحيث يكون x عين -ج→BC و
→DA مرتبطين خطيا.
:بتطبيق قاعدة المسافة بين نقطتين نجد: حـل 514)54()13( 22 =+== + --BA
5220164)51()11( 22 ==+=−−= + -DA
525916)41()31( 22 ==+=−−= + -DB
لنحسب مركبتي كل من -ب→BA و
→DA لتطبيق قاعدة تعامد شعاعين.
: لدينا 21−
→BA
24
−−
→DA
)2()2()4()1(0: شرط التعامد هو =−−+−
00وهو محقق ألن . فعال=
لنحسب مركبتي كّل من -ج→CB و
→DA لتطبيق قاعدة االرتباط الخطي
.عاعينلش
: لدينا 1
4−−x
→CB
24
−−
→DA ) حسب الفقرة ب (
2)4()1()4(: شرط االرتباط الخطي هو −−=−− x
482 وهو يكافئ =+− x
: ومنه 21
=x
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
.حيث المطلوب. الحل ممكن باستعمال التعريف فقط
التحقق من أن →DAk =
→BC )k عدد حقيقي (
لنحسب مركبتي →DAkلتطبيق قاعدة تساوي شعاعين .
مركبتا →DAk هما
kk
24
−−
k21: ومنه kx و −=− 44 −=−
: وبالتالي21
=k و kx 44 −=
24: نستنتج أن −=x 2 أي أن=x
4 ( )0 , -2( A , )2 , 2 ( B , ) 1 ,x( C ) x عدد حقيقي(
.في استقامية C , B , A بحيث تكون x عين -أ
التي تحقق H أوجد مركبتي النقطة -ب→BA3 =
→HA2
في استقامية تكافئ C , B , A - أ:حـل →
CA و→BA مرتبطان خطيا.
ي كّل منلنحسب مركبت→BAو
→CA لتطبيق قاعدة لالرتباط الخطي.
42
→BA ,
21+x
→
CA
)2()2()1()4( : شرط االرتباط هو =+x
442 وهو يكافئ =+x
02: ومنه =x0بالتالي و=x
),( ليكن)ب yx يإحداثي H.
لنحسب مركبتي كّل من→BA3 و
→HA2 يق قاعدة التساويلتطب.
:لدينا 42
→BA ومنه :
126
→BA3
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
: ولدينا 2+x
y →
HA ومنه :42
2+xy
→HA2
1242: ينتج =+x 62 و =y
82: ومنه =x 3 و=y
y=3 و x=4وبالتالي
.H )3 ,4( : إذن
كما ترى تغطي هذه التطبيقات البسيطة المباشرة : لفت انتباه
كّل الخواص المشار إليها سابقا و هي تكسبك كيفية التعامل مع
. غيرها من التطبيقات والتمارين
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
تماريـن)→J,→I, O ( معلم متعامد ومتجانس للمستوي حيث :
1cm= ||→J ||= ||→I|| 1 ( )2 , 4 ( A , )4 , 2- ( B C و H نقطتان حيث
→BH =
→AH3 و
→BA=
→CH.
.C و H من كالياحسب إحداثي -أ
احسب مركبتي -ب→
BC + →
AC .ماذا تستنتج ؟
].A B[ منتصف 1, 3 ( C , C ( , H ) 1 ,7 ( النتائج المنتظرة( 2 ) (-1, 3 ( A , ) 1, 1 ( B , ) 4, -2 ( C.
.في استقامية C , B , A نقطبين أن ال -أ
.A B , A C , B C احسب كالّ من -ب
3) (1, 3 ( A , ) 2, 2- ( B , ) 3, -2 ( C ., )21,2( H .
.متوازي أضالع A B C D علما أنD النقطة ياحسب إحداثي -أ
.هي مركز متوازي األضالع هذا H تحقق أن -ب
.D ) 1- ,6 ( لمنتظرةالنتائج ا( 4 ) (10, -2 ( A , ) 2, 7- ( B , ) 7, -5 ( C.
.هل هو قائم ؟ علل. متساوي الساقين A B C أثبت أن المثلث -
)A B = 15 , 23=CA , 225=CB النتائج المنتظرة(
5 ( )1- , 5( A , )7 , - 3( B , )1 , 5- ( C , )2 , - 2( D.
E و H نقطتان حيث→
DC2 = →
EC و →
DO4 = →CH
.H و E من كاليعين إحداثي -أ
].A B[ منتصفE تحقق أن -ب
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
حيث k أوجد العدد الحقيقي -ج→EAk =
→CH .ماذا تستنتج ؟
.3, -7 ( H , 2 = k ( , E ) 3 ,1 ( :النتائج المنتظرة ( 6) (8- , 7- ( A , ) 4, -2 ( B , )10 , 16( C
:حيث H و E ن م كالييعين إحداث -أ→CB +
→AB =
→EB و
→CB2 = A H
ـّل النقطة -ب ].A H[ بالنسبة إلى القطعة E ماذا تمث
) هي المنتصف 17, 19 ( H , E ( , E ) 7 ,5( :النتائج المنتظرة ( 7 ()2, 1- (A , ) 1, 4 ( B , ) 6, -1 ( C.
.B قائم في A B C بين أن المثلث -أ
.علّـم هذه النقط في معلمك -ب
واحسب A B C مركز الدائرة المحيطة بالمثلث يأوجد إحداثي -ج
.نصف قطرها
.نقطة من نفس الدائرة M ) 4 -,1 ( تحقق من أن -د
، نـصف ]A C[ وهـو منتـصف I ) 0 ,2 ( المركز :النتائج المنتظرة (
) IM=17 ، فعال r=17 هو القطر
8) (1, 2( A , )6 , - 2( B , )6 , 3 ( C , )2 , 6( D.
.معين A B C D أثبت أن -أ
. A C و B D احسب كالّ من -ب
. A B C D احسب محيط ومساحة المعين -ج
. وتحقق من صحة النتائج المطلوبةA B C D ارسم المعين -د
20A C = ,80=B D , P= 20cm , A= 20:النتائج المنتظـرة ( cm2
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
: البحث الفردي فضاء
. تمديد دائرة استغالل األطوال
.قط أمامك ورقة ملمترية، وبيدك مدور ف
.المطلوب أن تغير فتحة المدور في كّل حالة لتمثيل األطوال التالية
1 cm , 2,5 cm , cm45 , 7,60 cm.
<cm2 , cm22 , cm5 , cm10
: أمامك معلمان للمستوي
→I →J →i
→j
O
O
. . . . . .. . . . cm = ||→I|| . . . . . . . . . cm = ||→I||
|| = . . . . . . . . . cm →J || امأل الفراغات باستعمال بعض األطوال المقترحة في الجزء األول مـن
.النشاط
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
: معادلة المستقيم-3
. معلم للمستوي) J,→I, O→(: في كّل ما يلي
:وضعية مشكلة
.5, -1 ( B , ) -7016 , 2005( C( , A )1 ,2-( نعتبر النقط
) A B ( ) 3, -0,4 ( ثم ارسم المـستقيم B و A علّم النقطتين -1D.
إلى هذا المستقيم ؟ كيف ذلك ؟ D هل تنتمي النقطة -2
.C السؤال بالنسبة إلىنفس -3
A و B المستوين متمايزتان مننقطتا . ـُعين . . . . . . . . . . .∆)( أو) A B ( نرمز إليه بـ. مستقيما B و A ت
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
: ) A B ( مـن M من أجل كل نقطـة : مبدأ →MA و
→BA مرتبطـان
.خطيا
حيث ال ينفع االعتماد على . المطروحة ) وضعية مشكلة (هنا يكمن سر
؛ ألنBA ( (لتي تقع خارج المـستقيم ا Dالشكل حتى بالنسبة إلى النقطة
.التعليل البياني غير كاٍف
يسمى : تابع →BA شعاع توجيه ) A B (.
يـه جى مستقيم، يسمى شعاع تو ، كّل شعاع غير معدوم له منح عموما و
.لهذا المستقيم
:مبدأالتوظيف
.4, 2 ( B( , A )1 ,3-(لتكن
)(من أجل كل y,xM في المستوي لدينا.
M تنتمي إلى ) A B ( يكافئ →MA و
→BAمرتبطان خطيا .
: لدينا 31
+−
xy
→MA ,
71
→BA
)7)(1()1)(3(: إذن شرط االرتباط الخطي هو +=− xy
377: ومنه +=− xy 0107: ومنه =+− yx
)(عموما يحقق y,x إحداثيا أي نقطة من أي مستقيم )(∆
++=0 :عالقة من الشكل cybxa
. عدد كيفيc غير معدومين معا، وb وaحيث
.∆)(تسمى هذه المساواة معادلة ديكارتية للمستقيم
.∆)(كتفي بالقول بأنها معادلة للمستقيم نو
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
.∆)( ا، هي بالطبع معادلة لـكافئة لهكّل معادلة م
والشعاع ba
−
→V هو شعاع توجيه لـ )(∆.
0372: المعادلة هي : عودة إلى وضعية مشكلة =−+ yx
) استعمل ( فقط C يوهي محققة من أجل إحداثي
:إعادة استثمار
. 17,-15( B( , A )9,9-( علمـاً أن ) A B (اكتب معادلة المـستقيم
:باتباع نفس الخطوات عليك التوصل إلى المعادلة المطلوبة وهي
091312 =−+ yx : تطبيـق
)-16, 11( A , 65
−
→V
وشعاع توجيهه A الذي يشمل ∆)(أوجد معادلة المستقيم →V.
)( : حـل y,x Mنقطة كيفية من المستوي .
M يكافئ ∆)( تنتمي إلى →MAو
→Vمرتبطان خطيا .
) الحظ أن →V هنا يقوم مقام
→BA ألنّه غير معدوم (
: لدينا1611
+−
xy
→MA
)6)(11(5)16(: شرط االرتباط الخطي هو +=−− xy
805666: ومنه +=+− xy
01465: نجد =++ yx
.وهي المعادلة المطلوبة
:يتعين المستقيم: عموما
) وهي البديهية الشهيرة في الهندسة المستوية (إما بنقطتين متمايزتين
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
.وإما بنقطة وشعاع توجيه
:إعادة استثمار
)-20, -6( A , )12, 6 ( B.
.) A B (اكتب معادلة للمستقيم - أ
.ارسم هذا المستقيم - ب
:الذي معادلته ∆)(مع المستقيم ) A B ( نقطة تقاطعيعين إحداثي -ج
0441911 =++ yx و تحقق من ذلك بيانيا.
:حـل
0483212 :نجد . فقرة مكتسبة مبدئيا - أ =+− yx
01283: ونكتب أيضا =+− yx) . . . .1(
ولكن هذه القيم غيـر مناسـبة ) 1 (يحققان B و A من إحداثيا كلّ -ب
) A B ( مثال من Dو C لذلك نستعين بنقطتين. A بالنسبة إلى خاصة
.تكون قيمها أنسب للرسم المصغّر
)0, 1,5( C , )-4, 0( D هذا التطبيق نقطتا تقاطع وهما في) A B ( مع
.كّل من محوري اإلحداثيات
:محورنقطة التقاطع مع : عموماً
y=0 الفواصل ترتيبها
x=0التراتيب فاصلتها
)( لتكن -ج y,xM نقطة تقاطع المستقيمين.
بما أن M معايني إلى المستقيمتنتم .
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
:فإن إحداثييها يحققان جملة المعادلتين التالية
012830441911
=+−=++
yxyx
باستعمال إحدى الطرق الخاصة بحل جملة معادلتين من الدرجة األولـى
) المحدد – التعويض – الجمع (بمجهولين
),()0,4(نجد −=yx
وتظهر نقطة التقاطع – كما أشرنا –نختار نقطتين مناسبتين ∆)( لرسم
.جلية
++=0 : ∆)( : خواص cybxa )(∆′ 0=′+′+′ cybxa
: شرط توازي مستقيمين )1
′−′=0 يكافئ ′∆)( يوازي ∆)( baba ) أو abba ′=′ (
′′=0 نكتب baba أو . . . . . . .
. شرط تعامد مستقيمين في معلم متعامد و متجانس)2
′+′=0 يكافئ ′∆)( يعامد∆)( bbaa
اتـتطبيقـ
1( )(∆ : 0743 =+− yx ) D : ( 0205 =−+ yxa ) a حقيقي(
.متوازيين ) D( و ∆)( حتى يكون a عين العدد
)4()5)(3(: شرط التوازي هو : حـل =−×a
: ومنه 4
15−=a
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
2( )(∆ : 73 +−= xy ) D ( مستقيم يـشمل ) -5- ,1 ( A ويـوازي)(∆.
.سم هذين المستقيمينثم ار. ) D ( أوجد معادلة لـ
.لهما نفس شعاع التوجيه ∆)(و ) D ( :حـل
073 بالشكل ∆)(وبكتابة معادلة =−+ yx يكون 13
−
→V
) ةوهذه هي مفتاح اإلجاب ( شعاع توجيه لكّل منهما
)( y,xM نقطة كيفية من المستوي.
M يكافئ ∆)( تنتمي إلى→MAو
→Vمرتبطان خطيا .
)1)(5()3()1( ويكافئ +=+− xy
D : ( 083 ( :ومنه =++ yx
والشعاع A ممكن باستعمال النقطة ) D ( بالنسبة إلى الرسم، إنشاء •→V
ى وله منحAهو المستقيم الذي يشمل ) D ( حيث أن→V.
.نفذ الفكرة. األقلاإلنشاء بنقطة واحدة علىفيتم ∆)( لـ أما بالنسبة
التمثيل البياني
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
3 ()(∆ : 091312 =−+ yx
) D : ( 01826)4( =−++∝ yx )∝ عدد حقيقي (
).D( يوازي ∆)( حتى يكون ∝ عين - أL : ( 03986( - ب =+− yx
- نحقق أن 43
−−
→V ـ شعاع توجيه وأن النقطة ) L( ل
29,
91
−A
).L ( تنتمي إلى
). L( و∆)( نقطة تقاطعيعين إحداثي -ج
:حـل
)4)(13()26)(12( :شرط التوازي هو - أ =+∝.
∝=20 نجد بعد الحساب
0182624: هي ) D( وتكون معادلة =−+ yx
)بالضرب في نصف ( ∆)( لـ وهي معادلة أخرى مكافئة
.من أجل هذه القيمة ∆)( و ) D( نستنتج تطابقومنه
الشعاع -ب86
→U هو شعاع توجيه لـ ) L.(
نالحظ أن: →V 2 −=
→U
فالشعاعان→Uو
→V مرتبطان خطيا.
وبالتالي→V هو كذلك شعاع توجيه لـ ) L ) .( كما أشرنا سابقا (
).L ( إذا وفقط إذا حقق إحداثياها معادلة ) L ( إلى A تنتمي
039يعني أن وهذا =+ 298−
216 −×
039363: فعال لدينا =+−−
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
.وهذا يثبت المطلوب
:يحقق إحداثياها الجملة M نقطة التقاطع -ج
)1(___091312)2(___03986
=−+
=+−
yx
yx
:نجد ) -2 ( في ) 2 ( بضرب طرفي المعادلة
091312
0781612
=−+
=−+−
yx
yx
: طرفاً إلى طرف نتحصل على.وبالجمع
091312
08729
=−+
=−
yx
y
:ومنه 091312
3
=−+
=
yx
y
:وأخيرا 09)3(1312
3
=−+
=
x
y
,3 إذن 25
−M
لكيفية حّل جملة معـادلتين مـن الدرجـة األولـى هذا نموذج مفّصل
. بمجهولين
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
تماريـن
1 ( )0, 8 ( A , 23
−
→V
و A الذي يشمل ∆)(اكتب معادلة للمستقيم -أ→V شعاع توجيه له.
.مع كّل من محوري اإلحداثيات ∆)( احسب إحداثيات نقط تقاطع -ب
.∆)( ويوازي B ) 1 ,2 ( الذي يشمل ) D ( اكتب معادلة للمستقيم - ج
).D( و ∆)( ارسم - د
,)0,8(/01623: ∆)( :النتائج المنتظرة ( 3
16,0/ =−+ yx
) D : ( 0823 =−+ yx
.B ) 8 ,20 ( و A ) 7- ,20- ( مستقيم يشمل النقطتين ∆)() 2 ) D : ( 052 =− yx
.يقبل معادلة من الشكل ∆)( بين أن -أ ) D : ( 0483 =+− yx
الذي معادلته ) L ( نعتبر المستقيم ∝ كل عدد حقيقي من أجل -ب
08)15(6 =∝−−∝+ yx ) ∝ حقيقيعدد .(
C ) 20 ,8 ( يتقاطعان في النقطة ) L ( و ∆)( تحقق أن المستقيم
متضمنة في التعليمة وهذا نمط شائع فـي المدرسـة : النتائج المنتظرة (
الجديدة، اإلصالحية حيث يعطى للمتعلّم من حين إلى آخر وقفات للتقيـيم
)م في استعمال المعلومة وتوظيفها الذاتي وهنا تظهر كفاءة المتعلّ
الهدف من وراء النتائج المنتظرة تنبهك إلـى إمكانيـة تعـديل المـسار
.االستداللي في حالة اإلخفاق األول3 ( )-3, 7( A , )2, -8( B , )2, -2 ( C
حيث H النقطة ي عين إحداثي-أ→
HA5 = →BA
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
وله منحى C مستقيم يشمل ∆)( -ب→BA
.ثم ارسمه ∆)(اكتب معادلة لـ
:حـل الجملة -ج043
0223
=−+
=−+
yx
yx
.فسر النتيجة هندسيا
/043 : ∆)( / H )4 ,2-( النتائج المنتظرة ( =−+ yx
)2,2(),( −=yx )2,2(التفسير −M ( مـع المـستقيم ∆)( هي نقطة تقاطعL ( الـذي
معادلته
0223 =−+ yx وهو يشمل H .
4( )(∆ :0132)3( =+∝+−−∝ yx) ∝ عدد حقيقي ( )D ( : 0123 =−+ yx
: التي من أجلها ∝ عين قيم
)2,3(يشمل النقطة التي إحداثياها ∆)( -أ ∝−∝
.متوازيان ) D( و ∆)( -ب
∝=1 من أجل ∆)( ثم ارسم ) D( ارسم-ج
∝=0 / ) ∝=5 أو ∝=2 ( النتائج المنتظرة(
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
: معادلـة الدائـرة-4
.المستوي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس
),( مركزهاالتي ) C ( الدائرة : تعريف βω هي r ونصف قطرها ∝
M)( مجموعة النقط y,x من المستوي التي تحقق: r M = ω.
: المعادلة
M)( لدينا y,x تنتمي إلى )(C يكافئ r-y-x =∝ + 22 )()( β
222: ويكافئ بتربيع الطرفين )()( r-y-x =∝ + β
C)( هذه المساواة تسّمى معادلة الدائرة
)3()2(100 :مثال 22 =++ y-x
)2,3( هذه المعادلة للدائرة التي مركزها −ω 10ونصف قطرها.
: علما أنA B [ [ اكتب معادلة للدائرة التي قطرها: طبيقت
)-3, 2( A , )-7, -4( B ),( مركزها C)(الدائرة المطلوبة : حـل βω ] A B [ هو منتـصف ∝
] .A B[ هو نصف rونصف قطرها
:لدينا 2
73−− و ∝=
224 +−
=β
β=−1 و ∝=−5 :ومنه
)37()24(523616 :ولدينا 222 =+=−−++−=BA
==132 :ومنه 52BA
:وتكون المعادلة هي r=13 وهكذا
13)1()5( 22 =+++ yx
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
M)( مجموعة النقط E: تطبيـق y,x حيث :
086422 =++−+ yxyx أثبت أنEدائرة يطلب تعيين مركزها ونصف قطرها .
:شكل نحول المعادلة المعطاة إلى كتابة من ال : حـل
222 )-y ()( rx =∝− + β . ويتم هذا بفكرة اإلكمال إلى مربع والتجميع المناسب
224)44(4 لدينا 222 −+−=×−=− xxxxxx
42)2( −−= x 326)96(9: كذلك 222 −++=×+=+ yyyyyy
9)3( 2 −+= y
)2()3(0894: تصبح المعادلة من الشكل 22 =+−−+− + yx
)2()3(5: ومنه 22 =+− + yx
E 3- ,2 ( الدائرة ذات المركز - إذن– هي ( ω 5ونصف القطر.
:ادالت مثّل في نفس المعلم الدوائر ذات المع: نشاط
4)3( 22 =+− yx
1)4( 22 =−+ yx
2522 =+ yx
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
)9()5(C :17)(: تطبيـق 22 =+− + yx
)(∆ :0144 =++ yx
ن أن(ماس لـ هو الم∆)(بي(C في النقطة ) 5- ,6 ( A.
ω ) 9- ,5( مركز الدائرة هو : حـل
) ωA( دـيعام ∆)(وC)( نقطة من A( يكافئ Aفي C)(مماس لـ∆)(
)56()95(17 :هو C)( إلى Aشرط انتماء 22 =+−− +
17161 أي =+
وهو محقق
لدينا 41
− →V و∆)( شعاع توجيه لـ
14−− →ωA
)1)(4()4)(1(0: شرط التعامد هو =−+−−
0 = 0 أي
. ومنه المطلوب
.لمطلوب بيانياتحقق من صحة ا: نشاط تكميلي
)1(_____C :0824)(: تطبيق 22 =−−−+ yxyx
)(∆ :02______________)2( =−− yx
.∆)( و C)(ادرس تقاطع
M)( نقطة التقاطع: لـح y,x– 2( و )1( دلتين تحقق المع–إذا وجدت(
=+2 نستخرج )2( من yx نجد )1( وبالتعويض في :
01222 2 =−− yy 062 ومنه =−− yy
y=3 أو y=−2: نجد باستعمال المميز
اإلرسال الثالث الرياضيات السنة األولى تكوين المعلمين
في نقطتين ∆)( و C)( ومنه يتقاطع x تقابلها قيمة لـ yكّل قيمة لـ
)5 ,3 ) . ( 0 ,2-( :هما تإحداثيا
. تحقق من صحة المطلوب بيانيا: نشاط تكميلي
:بالنسبة إلى كّل دائرة يكون مستقيم : عموما
. وإما خارجا عنها– وإما مماسا لها –إما قاطعا لها
.عبر عن الوضع النسبي لدائرتين في المخططات الثالثة
.منفصلتان. متقاطعتان. متماستان
