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高中數理學科比賽
數學
日期：2013 年 5 月 1 日
時限：1 小時 15 分鐘
1. 在多項選擇題答題紙和乙部答題紙的適當位置填寫參賽者姓名（包括英文和中文）、學校
名稱、年級、日期、性別、卷別語言、科目和參賽編號。
2. 當宣布開卷後，考生須檢查試題有否缺漏，最後一題之後應有「試卷完」字樣。
3. 甲部所有試題均須作答。為便於修正答案，考生宜用 HB 鉛筆把答案填畫在多項選擇題
答題紙上。
4. 甲部每題只可填畫一個答案；若填畫兩個或多個答案，則該題不給分。
5. 乙部包括乙（一）部、乙（二）部 及乙（三）部。考生只需選答其中一部，並只需在該
部中選答四題。
6. 乙部：除特別指明外，答案須用真確值或數式表示。
7. 答案錯誤，不另扣分。
8. 本試卷的附圖不一定依比例繪成。
2
參考公式
)cos()cos(sinsin2
)cos()cos(coscos2
)sin()sin(cossin2
2sin
2sin2coscos
2cos
2cos2coscos
2sin
2cos2sinsin
2cos
2sin2sinsin
tantan1
tantan)tan(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
BA
BABA
BABABA
BABABA
3
甲部
本部各題均須作答。
選出每題最佳的答案。
1. 若 和 為二次方程 0125 xx 的根，求 的值。
A. 2
B. 0
C. 2
D. 2
或
2
2. 下列哪些方程有兩個不等實根？
I. 0)1( xx
II. )1()3)(1( xxx
III. 012 x
A. 只有 I 及 II
B. 只有 I 及 III
C. 只有 II 及 III
D. I、II 及 III
3. 設 xf 為立方多項式，首項係數為 2。若 215.01 fff ，則 xf
A. 2)12)(1)(1( xxx 。
B. 2)12)(1)(1( xxx 。
C. 2)12)(1)(1( xxx 。
D. 2)12)(1)(1( xxx 。
4
4. 圖示 cbxaxy 2 的圖像。下列哪項正確？
A. 0a 、 0c 、 042 acb
B. 0a 、 0c 、 042 acb
C. 0a 、 0c 、 042 acb
D. 0a 、 0c 、 042 acb
5. 設 f 為線性函數。已知 20142013 ff 、 20162015 ff 及 20182017 f ，
下列哪項正確？
A. 20182018 f
B. 20182018 f
C. 20192018 f
D. 20192018 f
6. 若 log 2 = a 和 log 3 = b，則 log 750 =
A. 3a – b + 2。
B. –3a + b + 2。
C. 2a – b + 3。
D. –2a + b + 3。
x
y
O
5
7. 下列哪個可以是 xy a a 的圖像，其中 0a 及 1a ？
A.
B.
C.
D.
O 1
1
x
y
O x
y
1
1
O 1
1
x
y
O 1
1
x
y
6
8. 若 1logloglog 201320142015 x ，則 x
A. 201320142015 。
B. 201520142013 。
C. 201520132014 。
D. 201420152013 。
9. 求多項式 3216842 xxxxxx 除以 1x 的餘數。
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
10. 設 xP 為一多項式。若 kx 是 xP 的因式。以下哪個多項式必有因式 kx ？
I. xP2
II. 2xP
III. xP 2
A. 只有 I
B. 只有 III
C. 只有 I 及 II
D. 只有 II 及 III
7
11. 已知 a 及 b 為常數。若多項式 2523 xbxax 除以 232 xx 的商式是 xQ ，餘式
是 112 x ，求 xQ 。
A. 1x
B. 1x
C. 72 x
D. 72 x
12. 若 a、b 和 c 均是有理數，以下那項必為正確？
I. 若 bcac ，則 ba 。
II. 若 22 ba ，則 ba 。
III. 若 33 ba ，則 ba 。
A. 只有 I
B. 只有 II
C. 只有 III
D. 只有 II 和 III
13. 方程 0223 mnxmxx 的其中兩個根是 4 及 7，第三個根是
A. 13
11。
B. 15
11。
C. 27
11。
D. 27
11 。
8
14. 若 a
bc 為非零的常數，則
A. a 隨 b 及 c 正變。
B. a 隨 b 及 c 反變。
C. a 隨 b 正變及隨 c 反變。
D. a 隨 c 正變及隨 b 反變。
15. 設 a、b、c 及 d 為非零實數。若 a : c = b : c = d : b = 2 : 1，則 d : a =
A. 1 : 1。
B. 2 : 1。
C. 4 : 1。
D. 8 : 1。
16. 圖中 O 是半圓的圓心，ABE 及 ACD 均為直線， 45EOD 。若 AB = OD，求 EAD 。
A. 15
B. 5.17
C. 20
D. 25
A
B
C D O
E
9
17. 圖中 O 是圓形的圓心，AB 與 CE 相交於 D。已知 OD = 2，OB = 6， 30CDB ，求 CE
的長度。
A. 12
B. 352
C. 28
D. 11
A
E
D
O
C
B
10
18. 圖中，兩個圓形內切於 P 點。 AC 與圓 PMBN 相切於 B 點， QR 與圓 APC 相切於
P 點。下列哪項正確？
I. APB CPB
II. PAC PCA
III. PMB PNB
A. 只有 I
B. 只有 III
C. 只有 I 及 III
D. 只有 II 及 III
19. 設 O 是直角坐標平面上的原點，A 點沿 y 軸反射至 B 點。若 OA 的斜率是 m，則
OB 的斜率是
A. m
1 。
B. m
1。
C. m 。
D. m。
C
A B
M
N
P
Q
R
11
20. 圖中，兩直線 0 cbyax 及 0 rqypx 相交於負 x 軸上。下列哪項必為正確？
I. 0bc
II. 0qr
III. cpar
IV. cqbr
A. 只有 I 和 III
B. 只有 I 和 IV
C. 只有 II 和 III
D. 只有 II 和 IV
21. 求兩條直線 02 yx 及 013 yx 間的銳角。
A. 30
B. 45
C. 60
D. 75
22. 現有 m 個數值 p 及 n 個數值 q。 若 p > q 及這 m + n 個數的平均值大於 2
qp ，
求這 m + n 個數的中位數。
A. p
B. q
C. 2
qp
D. 未能判斷
12
y
x
6
3
0 2 5
23. 圖示梯形 ABCD，其中 AB = 12.5、BC = 4、CD = 17.5、DA = 3。求 ABCD 的面積。
A. 33
B. 34
C. 35
D. 36
24. 某個菱形內接一個圓形，菱形的對角線的長度是 30 和 40。求圓形的半徑。
A. 10
B. 12
C. 15
D. 18
25. 圖示直角平面上的一個陰影區域，頂點為 (2, 0)、(5, 0)、(5, 6)、(0, 6)、(0, 3)，及(2, 3)。
現須繪畫某線 mxy 使陰影區域的面積分成兩等份，求 m 的值。
A. 2
3
B. 5
6
C. 6
7
D. 7
8
A B
C D
13
26. 圖中， ABCDEFGH 為一單位立方體， K 為對角線 BH 上的移動點使穿過 K 的直線垂
直 BH。 這直線與平面 BCGF 及 ADHE 分別相交於 P 及 Q 。 設 xBK 及
yPQ ， 求當 y 達致最大時 x 的值。
A. 2
2
B. 3
2
C. 1
2
D. 2
A
B C
D
E
F G
H
K P
Q
14
27. 圖中，標記為 A、B、C、D、E、F 及 G 的圓以直線連起組成一個星形。彼得以某一個次
序把數字 7、8、9、10、11、12 及 13 填在那些圓形內。他計算每條直線兩端數字之和，
發現沿着 AB、BC、CD、DE、EF、FG 及 GA 計算的每個和組成一個等差數列。求這數
列的和。
A. 35
B. 70
C. 140
D. 210
28. dcxbxaxxy 234 的圖像有四個相異的 x 軸截距，當 a、b、c、d 為實數。若其中
一個 x 軸截距是 0，下列哪個必定不等於零？
A. a
B. b
C. c
D. d
29. 設 n 為正整數。若 a2log18 ，則 nn 2log4log2log
393
A. na。
B. 2na。
C. a
na
1。
D. a
na
1
2。
甲部完
A
B
C
D E
F
G
15
乙部
只需選答乙（一）部、乙（二）部 或乙（三）部其中一部。
乙（一）部
選答四題。
31. 〔等差與等比數列〕
(a) 求等比級數
32 )12(
4
)12(
4
12
44 的無限項之和。
(答案以 2ba 形式表示，其中 a 及 b 均為整數。)
（2 分）
(b) 若等比級數
32 )2(
4
)2(
4
2
44
kkk無限項之和的值存在，求 k 的可
取值範圍。
（2 分）
32. 〔等差與等比數列〕
考慮等差數列 1a 、 2a 、 3a 、…、8a ，其中各項均不相等。 1a 、 5a 及
8a 組成等比數
列，且 148851 aaa 。設 d 為該等差數列的公差。
(a) 以 d 表 1a 。
（1 分）
(b) 求該等比數列的第五項。
（3 分）
33. 〔圓方程〕
已知某圓與 x 軸和 y 軸相切並通過點（4, 2）。求該圓可取的兩個方程。
（4 分）
16
34. 〔軌跡〕
在直角平面上，點 P 與直線 L : y = 1 及固定點 A (2, –1) 等距。
(a) 求點 P 軌跡的方程。
（2 分）
(b) 由此，求上列方程中 y 的可取值範圍。
（2 分）
35. 〔概率、排列與組合〕
(a) 投擲一枚勻稱的骰子六次。求擲得六個不同數值的概率。（答案以準確至三位有效數
字表示。）
（2分）
(b) 投擲一枚勻稱的骰子七次。求六個不同的數值均出現至少一次的概率。（答案以準確
至三位有效數字表示。）
（2分）
36. 〔概率、排列與組合〕
有大批平板電腦分批入口，每一批次的平板電腦將按以下的雙重抽樣檢驗計劃進行檢
驗：
I. 隨機抽樣 10 部平板電腦並進行檢驗。若沒有一部是有缺陷的，該批次將被訂
為合格。
II. 若 2 部或以上的平板電腦有缺陷，該批次將被訂為不合格。若有 1 部平板電
腦有缺陷，則從該批次中另取 10 部平板電腦進行檢驗。若第二次抽樣中沒有
一部平板電腦有缺陷，該批次將被訂為合格；否則，該批次將被訂為不合格。
已知這些入口的平板電腦中，5% 是有缺陷的。求下列概率：
(a) 某批次的平板電腦被訂為合格。 （答案以準確至四位有效數字表示。）
（2分）
(b) 若所有平板電腦是逐批次被檢驗，第一個被訂為不合格的批次是第四個批次。
（答案以準確至四位有效數字表示。）
（2分）
乙（一）部完
17
乙（二）部
選答四題。
37. 〔二項展式、指數函數及對數函數〕
設 n 為正整數。若
n
xx
2
3 1 的展開式有一個常數項，求 n 所有可能的值。
（4 分）
38. 〔二項展式、指數函數及對數函數〕
解下列方程：
(a) 0432 xx ee
（2 分）
(b) 22loglog2 33 xx
（2 分）
39. 〔微分法〕
下圖為 222
5 23 xxxy 的圖像。其中 A 及 B 為轉向點。
(a) 求 A 及 B 的坐標。
（2 分）
(b) 若方程 kxxx 452 23 有三個相異實根，求 k 的可取值範圍。
（2 分）
18
40. 〔微分法〕
某實心圓柱體的高為 h cm，半徑為 r cm。已知其總表面面積為 150 cm2，體積為 V cm
3。
(a) 以 r 表 V 。
（2 分）
(b) 求 V 的最大可能值。（答案以表示。）
（2 分）
41. 〔積分法〕
設
x
xxF
dx
d5
ln ，若 2013.01 F ，求 2F 的值。（答案以準確至四位小數表示。）
（4 分）
42. 〔積分法〕
設 22
2
11
1
x
B
x
A
xx
x。
(a) 求 A 及 B 的值。
（2 分）
(b) 由此，計算
3
2 2
2
)1(
1dx
xx
x。
（2 分）
乙（二）部完
19
乙（三）部
選答四題。
43. 〔二項展式、指數函數及對數函數〕
設 n 為正整數。若
n
xx
2
3 1 的展開式有一個常數項，求 n 所有可能的值。
（4 分）
44. 〔矩陣〕
考慮 x、y、z 的線性齊次方程組。
05
03
05
kzyx
zyx
zkyx
，
其中 k 為實數。若方程組有非平凡解，求 k 的值。
（4 分）
45. 〔微分法〕
某實心圓柱體的高為 h cm，半徑為 r cm。已知其總表面面積為 150 cm2，體積為 V cm
3。
(a) 以 r 表 V。
（2 分）
(b) 求 V 的最大可能值。（答案以 π表示。）
（2 分）
20
46. 〔微分法〕
一座高 30 m 的石像屹立在一個基座上。偉明站在距離石像基座底部 x m 的地方，並眺
望該石像。他想找出他應站在離開石像基座底部多少距離，使他看到的石像最大，即由
石像頂部與石像底部所形成視線的夾角 為最大。
已知偉明的視線在石像底部之下 6 m。
(a) 以 x 表 tan 。
（2 分）
(b) 求 tan 最大時 x 的值。（答案以根式表示。）
（2 分）
47. 〔積分法〕
設 xF 為 x
ex
的一個反導數，其中 0x 。若 7
2 )()(
2
aFbFcdxx
e x
，求 a、b、
及 c 的值。
（4 分）
30 m
6 m x m
21
48. 〔積分法〕
設 22
2
11
1
x
B
x
A
xx
x。
(a) 求 A 及 B 的值。
（2 分）
(b) 由此，計算
3
2 2
2
)1(
1dx
xx
x。
（2 分）
乙（三）部完
試卷完
