设有两块曲面 S1, S2, 它们的方程依次为 :

S1: F (x, y, z) = 0

S2: G (x, y, z) = 0

S1 , S2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程 , 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程 . 因此

0),,(

0),,(

zyxG

zyxF

即为交线 C 的方程 , 称为空间曲线 C 的一般方程 .

(2)

x y

z

o

S1 S2

C

二、空间曲线及其方程1. 空间曲线的一般方程

x2+y2=1

x+y+z=2.

yx

z

0

例 5: 柱面 x 2 + y 2 = 1 与平面 x+y+z=2

的交线是一个圆 , 它的一般方程是

2. 空间曲线的参数方程将曲线 C 上动点的坐标 x, y, z 都表示成一

个参数 t 的函数 .

x = x (t)

y = y (t) (3)

z = z (t)

当给定 t = t1 时 , 就得到 C 上一个点 (x, y, z),

随着 t 的变动便可得曲线 C 上的全部点 . 方程组 (2) 叫做空间曲线的参数方程 .

例 6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转 , 同时又以线速度 v

沿平行于 z 轴的正方向上升 ( 其中 ,v 都是常数 ), 那末点 M 构成的图形叫做螺旋线 ,

试建立其参数方程 .

解 : 取时间 t 为参数 , 设当 t =

0 时 , 动点位于 x 轴上的一点 A(a, 0, 0) 处 , 经过时间 t, 由 A 运动到 M(x, y, z),

M 在 xOy 面上的投影为 M

(x, y, 0).x y

z

hA

OMt

M

　　 (1) 动点在圆柱面上以角速度 绕 z 轴旋转 ,

所以经过时间 t, AOM = t. 从而x = |OM | ·cosAOM = acos t

y = |OM | ·sinAOM = asin t

　　 (2) 动点同时以线速度 v 沿 z 轴向上升 . 因而 z = MM = vt

得螺旋线的参数方程

x = acos ty = asin tz = vt

注 : 还可以用其它变量作参数 . x y

z

A

OMtM

yx

z

A

OMt

M

例如 : 令 = t. 为参数 ;

螺旋线的参数方程为 :

x = acos y = asin z = b

.vb 这里

当从 0 变到 0 + 是 , z 由 b 0 变到 b 0+ b ,即 M 点上升的高度与 OM 转过的角度成正比 .特别 , 当 = 2 时 , M 点上升高度 h = 2 b,

h

在工程上称 h = 2 b 为螺距 .

3. 空间曲线在坐标面上投影

设空间曲线 C 的一般方程 F (x, y, z) = 0

G (x, y, z) = 0 (4)

由方程组 (4) 消去 z 后得方程H (x, y) = 0 (5)

方程 (5) 表示一个母线平行于 z 轴的柱面 ,

曲线 C 一定在柱面上 .

x

y

z

ooC

空间曲线 C 在 x O y 面上的曲线必定包含于 :投影

H (x, y) = 0z = 0

注 : 同理可得曲线在 yOz 面或 xOz 面上

的投影曲线方程 .

例 7: 已知两个球面的方程分别为 :

x2 + y2 + z2 = 1

和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线 C 在 xOy 面上的投影曲线的方

程 .

解 : 联立两个方程消去 z ,得

0

1)21(42 22

z

yx

1)21(42 22 yx

两球面的交线 C 在 x O y 面上的投影曲线方程为

椭圆柱面

设一个立体由上半球面　　　　　　　　和锥面224 yxz )(3 22 yxz 所围成 , 求它在 xoy 面上的投

影 .解 : 半球面与锥面的交线为

)(3

4:

22

22

yxz

yxzC

由方程消去 z , 得 x2 + y2 =

1

y

x

z

O

x2 + y2 1

于是交线 C 在 xoy 面上的投影曲线为x2 + y2 = 1z = 0

这是 xoy 面上的一个圆 .

所以 , 所求立体在 xoy 面上的投影为 : x2 + y2 1

例 8:

圆柱面 )(

研究方法是采用平面截痕法 .

§6 二次曲面的标准方程

1. 定义 由 x, y, z 的二次方程 :

ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0

所表示的曲面 , 称为二次曲面 .

其中 a, b, …, i, j 为常数且 a, b, 不全为零 .c, d,e, f

z

o

x

y

O

2 用平面 z = k 去截割 ( 要求 |k | c), 得椭圆

kzc

k

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

1

当 |k | c 时 , |k | 越大 , 椭圆越小 ;

当 |k | = c 时 , 椭圆退缩成点 .

2. 几种常见二次曲面 .

(1) 椭球面

1 用平面 z = 0 去截割 , 得椭圆

0

12

2

2

2

zb

y

a

x

12

2

2

2

2

2

C

z

b

y

a

x

　　 3 类似地 , 依次用平面 x = 0, 平面 y =

0 截割 , 得椭圆 :

,

0

12

2

2

2

xc

z

b

y.

0

12

2

2

2

yc

z

a

x

　　特别 : 当 a=b=c 时 , 方程 x2 + y2 + z2 = a2 ,

表示球心在原点 o, 半径为 a 的球面 .

(2) 椭圆抛物面 : zb

y

a

x 2

2

2

2

1 平面 z = k ,(k 0) 截割 , 截线是平面 z = k 上的椭圆 .

kz

kb

y

a

x2

2

2

2

k = 0 时 , 为一点 O(0,0,0); 随着 k 增大 , 椭圆也增大 .

z

y

xo

2 用平面 y = k 去截割 , 截线是抛物线

,2

2

2

2

ky

zb

k

a

x. ,0

2

2

a

xzk 为时当

3 类似地，用平面 x = k 去截割 , 截线是抛物线 .

kx

zb

y

a

k2

2

2

2

. ,02

2

b

yzk 为时当

一、二阶行列式的概念

设有数表a11

　　称数 a11 a22 － a12 a21 为对应于数表 (1) 的二阶行列式，记为：

(1)(1)

2221

1211

aa

aa

副对角线主对角线

1. 定义 1a12

a21 a22

21122211 aaaa

( ＋ )( － )

§1 n 阶行列式的定义

当 a11 a22 － a12 a21 0 时，

,21122211

1222211 aaaa

ababx

21122211

2111122 aaaa

ababx

得唯一解

对于a11 x1+ a12 x2 = b1

a21 x1+ a22 x2 = b2

(1)(1)

2 、二元一次 方程组的求解公式

记

1D

2D

D

方程组 (1) 的解可以表示为：

,D

Dx 1

1 D

Dx 2

2

—— 克莱姆 (Gramer) 法则

(2)(2)

,122221 abab

,211112 abab

2221

1211

aa

aa时0

22

12

a

a

2

1

b

b

21

11

a

a

2

1

b

b

,21122211

1222211 aaaa

ababx

21122211

2111122 aaaa

ababx

a11 x1+ a12 x2 = b1

a21 x1+ a22 x2 = b2

引进记号：

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

(+)

(+)

(+)( － )( － )

( － )

312312 aaa

322113 aaa 312213 aaa

332112 aaa 322311 aaa

称为对应于数表 (3) 的三阶行列式

D 332211 aaa

二、三阶行列式

1. 定义 2 设有数表

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

(3)(3)

主对角线 副对角线

例 如：

315

214

132

511

75

312 5)2()3( 141

34)3( 1)2(2 －

易证： 对于线性方程组

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

(4)

当

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D 时0

方程组有唯一解，记

则方程组 (4) 的解为：,

D

Dx 1

1 ,D

Dx 2

2 D

Dx 3

3

,

3332

2322

1312

1

aa

aa

aa

D

3

2

1

b

b

b

,

3331

2321

1311

2

aa

aa

aa

D

3

2

1

b

b

b

3231

2221

1211

3

aa

aa

aa

D

3

2

1

b

b

b

—— 克莱姆法则

三、排列与逆序数

<1> 由自然数 1, 2, …, n 组成的一个有序数组 i1, i2, …, in 称为一个 n 级排列。

　　例如，由 1 ， 2 ， 3 可组成的三级排列共有 3!

＝ 6 个，它们是

n 级排列的总数为 n! 个。

定义 3

3 2 1;1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2;

<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 i

t 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。

记为 (i1, i2, … in) ，简记为 。 1 3 2

(1 2 3)=0,

(3 1 2)=2,

(4 5 2 1 3)=7,

例如：2 1 3

3 1 2

(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列

(4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。

6 5 3 1 2 4 6 2 3 1 5 4( =11) ( = 8)

1 2 3 4 1 4 3 2

例如：

( =0) ( = 3)

定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性

结论：在 n ( 2) 级排列中，奇偶排列各有　个。2!n

四、 n 阶行列式的定义

分析：

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D 312312322113332211 aaaaaaaaa

332112322311312213 aaaaaaaaa =0 =2 =2

=3 =1 =1

)( 321)1( jjj 321 321 jjj aaa

类似地：

2221

1211

aa

aaD 21122211 aaaa

21

21211 jj

)j(jτ aa)(

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

n

nnjjj

jjj aaa 21

2121

)()1(

n 阶行列式定义 4

例 1 计算下列 n 阶行列式

nna

a

a

D

22

11

1 0

0nnaaa 2211

nnnn aaa

aa

a

D

21

2221

11

2 0nnaaa 2211

nnnnn

nn

n

aaa

aa

a

D

11

212

1

3

0)1(

)1 21 ( nn

1121 nnn aaa

12)2()1( nn

)1(2

)11( nn

nnnnn

nn

n

aaa

aa

a

D

11

212

1

3

0)1(

)1 21 ( nn

1121 nnn aaa

11212

)1(

)1( nnn

nn

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

332211 aaa 322113 aaa 312312 aaa

312213 aaa 322311 aaa 332112 aaa

行排列

列排列

2 1 3

( =1)

1 3 2

( =1)

( = 0)

1 2 3

( = 2)

3 1 2

考察： 2113 aa 1321 aa 3232 aa

定理 2 n 阶行列式的定义也可写成

D )( 21)1( niii niii naaa 21 21

nn jijiji aaa 2211

)1()( 21 niii )( 21 njjj

推论：

D

例 2 ： 选择 i 和 k ，使53254321 aaaaa ki

成为 5 阶行列式中一个带负号的项解 :

其列标所构成的排列为： i 5 2 k 3

若取 i = 1 ， k ＝ 4 ，

故 i = 4 ， k = 1 时该项带负号。

可将给定的项改为行标按自然顺序，即53432251 aaaaa ki

则 (1 5 2 4 3) = 4 ，是偶排列，该项则带正号，对换 1 ， 4 的位置，则 4 5 2 1 3 是奇排列。

一、行列式的性质

性质 1 ：将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：

,D

D = DT

行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。

§2 行列式的性质

则

naaa 11211

naaa 22221

nnnn aaa 21 na

a

a

1

12

11

TD

na

a

a

2

22

21

nn

n

n

a

a

a

2

1

证：

显然有 bij = aji (i, j=1, 2, …; n)

则n

nnjjj

jjjT bbbD 21

2121

)()1(

njjjjjj

n

n aaa 21

)(

21

21)1(

D

设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij

性质 2 互换行列式的两行 ( 列 ) ，行列式仅改变符号

,

21

11211

nnnn

n

aaa

aaa

M

qnqq aaa 21

pnpp aaa 21

则 D= － M

,

21

11211

nnnn

n

aaa

aaa

D

qnqq aaa 21

pnpp aaa 21

证：在 M 中第 p 行元素 ,aa jqjp

第 q 行元素 ,jpjq aa n.,,,j 21

n

nnjj

jj aaM 1

11

)()1( pj qj

ppjaqjqa

n

nnjj

jj aa 1

11

)()1( pj qj

qpjapjqa

n

nnjj

jj aa 1

11

)()1( pj qj

qpjapjqa

n

nnjj

jj aa 1

11

)()1( pjqj

qpjapjqa—

= – D

　　推论 1 ：若行列式中有两行 ( 列 ) 对应元素相同，则行列式为零。

证明 :交换行列式这两行，有 D = － D ，故 D = 0

　　性质 3 若行列式某一行 ( 列 ) 的所有元素都乘以数 k ，等于该行列式乘以数 k ，即：

kD

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

k

nnnn

n

aaa

aaa

21

11211

inii kakaka 211D

证明：

　　推论 2 ：若行列式中的某行 ( 列 ) 全为零，则行列式为零。　　推论 3 ：若行列式中有两行 ( 列 ) 的对应元素成比例，则该行列式为零。

ni

nnjijj

jjj akaaD )()1(1

211

)(1 k

ni

nnjijj

jjj aaak 1

211

)()1( k

kDk

　　性质 4 若行列式中某一行 ( 列 ) 的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。

21 DD

即 :

nnnn

n

aaa

aaa

21

11211

nnnn

n

aaa

aaa

21

11211

inii aaa 21 inii aaa 21

nnnn

n

aaa

aaa

21

11211

ininiiii aaaaaa 2211D

证明：

21 DD

n

nnjj

jjj aaD 1

211

)()1( )(ii jiji aa

n

nnjj

jjj aa 1

211

)()1(

n

nnjj

jjj aa 1

211

)()1( ijia

+ ijia

　　性质 5 把行列式的某一行 ( 列 ) 的各元素乘以数k 后加到另一行 ( 列 ) 的对应元素上去，行列式的值不变。即：

nnnn

n

aaa

aaa

21

11211

inii aaa 21

jnjj aaa 21

nnnn

n

aaa

aaa

21

11211

inii aaa 21

inii kakaka 211ja 2jajna

用 ri 表示 D 的第 i 行

cj 表示 D 的第 j 列

ri rj 表示交换 i 、 j 两行

ri × k 表示第 i 行乘以 k

ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行

ri k 表示第 i 行提出公因子 k

记号：

例 1 计算行列式20322

29734

30231

D

解：320022

330034

230031

D

322

334

231

20022

30034

30031

50 5

例 2 计算行列式

3351

1102

4315

2113

D

解：

Dc1 c2

3315

1120

4351

2131

3315

1120

6480

2131

r2 － r1

72160

1120

6480

2131

r4 ＋ 5r1 r2 r3

72160

6480

1120

2131

r3 + 4 r2

151000

10800

1120

2131

r4 － 8 r2

25

000

10800

1120

2131

34 4

5rr

4025

821

例 3 ：计算 .

321

321

321

321

nx

nx

nx

nx

D

解：

xx

xx

xx

nx

D

00

00

00

321

x

x

x

n

00

00

00

32

nx 21

x+ xx+ x

x+ x

).2

)1((1

nnxxn

x

x

x

nnn

x

000

000

000

322

)1(

在 n 阶行列式

余下的元素按原来顺序构成的一个 n － 1 阶行列式，

称为元素 aij 的余子式，记作 Mij ，

中，划去元素 aij 所在的行和列，

nnnjn

ini

nj

aaa

aa

aaa

D

1

1

1111

ija

ijji

ij MA )1(( － 1)i+j 称为 aij 的代数余子式，记作

余子式带上符号

§3 行列式按行 ( 列 ) 的展开 　　　与克莱姆法则

1. 定义 1

一 . 拉普拉斯展开定理

例如： 在四阶行列式

2014

3651

0310

7223

D 中， a23 的余子式 M23

和代数余子式 A23 ，

,

214

351

723

23

M

2332

23 )1( MA 214

351

723

分别为：

考察三阶行列式

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D 332211 aaa 312312 aaa 322113 aaa

312213 aaa 332112 aaa322311 aaa

3332

232211 aa

aaa )(

3331

232112 aa

aaa

3231

222113 aa

aaa

,131312121111 AaAaAa

其中： A11, A12， A13 分别为 a11, a12, a13 的代数余子式 .

三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。

考察三阶行列式

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D 332211 aaa 312312 aaa 322113 aaa

312213 aaa 332112 aaa322311 aaa

3332

232211 aa

aaa )(

3331

232112 aa

aaa

3231

222113 aa

aaa

,131312121111 AaAaAa

其中： A11, A12， A13 分别为 a11, a12, a13 的代数余子式 .

11A 12A 13A

三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。

再考察二阶行列式

211212112221

1211 aaaaaa

aa 12121111 AaAa

二阶行列式也可由其子式的组合表示 .

例 3. 计算三阶行列式

542

303

241

D

解：54

301

)4(

52

33

242

03

12 36 24 .72

D =

还可看出

232322222121 AaAaAa

354

240

52

21

)3(

42

41

+ 0= 84 12 =72 =D,

333332323131 AaAaAa

230

24

433

21

5

03

41

+36= 24 +60 =72 =D,

542

303

241

D

313121211111 AaAaAa

154

30 3

54

242

30

24

+84= 12 24 =72 =D .

以及542

303

241

D

　　定理 1 (Laplace展开定理 ) 行列式等于它的任一行 ( 列 ) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

),,2,1( 1

niAan

kkiki

或

),,2,1( 1

njAan

kjkjk

即： ininiiii AaAaAaD 2211

njnjjjjj AaAaAaD 2211

证明步骤：<1> 证

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

11211

22221

11211

nnnn

nn

Aa

a

00

<2> 证

nnnjnjnjn

njjj

aaaaa

aaaaa

111

11111111

ijijij Aaa 0000

<3>

ininiiii AaAaAa 2211

n

kikik Aa

1

nnnn

n

aaa

aaa

D

21

11211

inii aaa 0000000 21

nnnn

n

nnnn

n

nnnn

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

21

11211

21

11211

21

11211

00 2 ia ina00001 ia

解：

3351

1102

4315

2113

r2 － r1

r4 + 5 r1

72016

1102

6408

2113

按 c2 展开

7216

112

648

)1(1 21

r1 + 4 r2

r3 － 8 r2 15100

112

1080

例 4 用 Laplace展开定理求　　例2

§2

按 c1 展开

1510

108)1()2( 12

)100120(2

40

15100

112

1080

例 5 证明四阶范德蒙行列式

34

33

32

31

24

23

22

21

43214

1111

xxxx

xxxx

xxxxD

))()()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx

)(41

jiij

xx

证：

D4

r4 － x1r3

r3 － x1r2

r2 － x1r11

24

341

23

331

22

32

142413

2312

22

141312

0

0

0

1111

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

按 c1展开

)()()(

)()()(

142413

2312

22

144133122

141312

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

24

23

22

432141312

111

))()((

xxx

xxxxxxxxx

r3 － x2r2

r2 － x2r124

2423

23

2423141312

0

0

111

))()((

xxxxxx

xxxxxxxxxx

按 c1展开

)()())()((

244233

2423141312 xxxxxx

xxxxxxxxxx

432423141312

11))()()()((

xxxxxxxxxxxx

)())()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx

)(41

jiij

xx

推论： n 阶范德蒙 (Vandermonde) 行列式

112

11

222

21

21

111

nn

nn

n

n

n

xxx

xxx

xxx

D

)(1

jinij

xx

　　定理 2 行列式的任一行 ( 列 ) 的各元素与另一

行 ( 列 ) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

n

kkjki jiAa

1

)( 0

或

n

kjkik jiAa

1

)( 0

即：

综合定理 1 和定理 2 ，得：

ji

,0

n

kkjki Aa

1

n

kjkik Aa

1

或

,D

ji

ji

,0

,D

ji

定理 3 ( 克莱姆法则 )

11212111 bxaxaxa nn

22222121 bxaxaxa nn

nnnnnn bxaxaxa 2211

(1)(1)

的系数行列式

0

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

设线性方程组二 . 克莱姆法则

　　其中 Di(i=1, 2, …, n) 是用常数项 b1, b2…;bn代替 D 中第 i 列各元素而得到的 n 阶行列式，即：

,11 D

Dx ,2

2 DD

x ,D

Dx n

n (2)

则方程组 (1) 有唯一解，且解可表示为：

,

111

2121221

1111111

nnninin

nii

nii

aaaa

aaaa

aaaa

(i=1, 2,…,n)

iD

nb

b

b

2

1

例 3 解线性方程组

82 32 421 xxx

225 4321 xxxx

73 4321 xxxx

12224 4321 xxxx解：

2214

1113

1251

2032

D 06

方程组的系数行列式

所以方程组有唯一解。

又：

,18

22112

1117

1252

2038

1

D ,0

22124

1173

1221

2082

2

D

8 2 3 24 2 1 x x x

2 2 54 3 2 1 x x x x

7 34 3 2 1 x x x x

12 2 2 44 3 2 1 x x x x

,6

21214

1713

1251

2832

3

D6

12214

7113

2251

8082

4

D

所以： ,311

DD

x ,022

DD

x

,133

DD

x 144

DD

x

D= － 6, D1 ＝－ 18, D2= 0, D3= 6, D4= － 6

　　注：在方程组 (4.1) 中，若所有的常数项 b1= b

2 = … = bn = 0 ，则方程组称为 n 元齐次线性方程组。

01212111 nn xaxaxa

02222121 nn xaxaxa

02211 nnnnn xaxaxa

(3)

显然有零解 x1 = x2 = … = xn = 0

　　结论 1 ：若齐次线性方程组 (3) 的系数行列

式 D 0 ，则方程组只有零解。平凡解

　　结论 2 ：若齐次线性方程组 (3) 有非零解，

则系数行列式 D = 0 。非平凡解