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第 第 8 8 章章非線性規劃非線性規劃

學習目標 8.2

非線性規劃的挑戰（ 8.1 節） 8.3–8.16

有邊際報酬遞減特性的非線性規劃：偉伯公司問題 （ 8.2 節） 8.17–8.21

有邊際報酬遞減特性的非線性規劃：投資組合選擇 （ 8.2 節） 8.22–8.26

分割規劃（ 8.3 節） 8.27–8.39

困難的非線性規劃問題（ 8.4 節） 8.40–8.41

進化規劃求解與基因演算法（ 8.5 節） 8.42–8.55

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學習目標學習目標

在讀完本章後，你應該能夠：1. 描述非線性規劃與線性規劃有何不同。

2. 判斷問題何時需要用非線性規劃模式。

3. 根據問題陳述，建構非線性規劃模式。

4. 為非線性規劃模式建構非線性的公式。

5. 分辨非線性規劃問題中，哪些是容易求解的，哪些是難以求解的。

6. 用 Excel規劃求解求解簡單的非線性規劃問題。

7. 將 Excel規劃求解與規劃求解表結合，以求解更困難的非線性規劃問題。

8. 用進化規劃求解（ Evolutionary Solver）求解困難的非線性規劃問題。

9. 知道何時可使用分割規劃技巧建構具有非線性目標函數的線性規劃模式。

10.應用分割規劃技巧。

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線性公式與非線性公式之範例線性公式與非線性公式之範例

線性公式 非線性公式 SUMPRODUCT(D4:D6, C4:C6)[(D1 + D2) / D3] * C4IF(D2 >= 2, 2*C3, 3*C4)SUMIF(D1:D6, 4, C1:C6)SUM(D4:D6)2*C1 + 3*C4 + C6C1 + C2 + C3

SUMPRODUCT(C4:C6, C1:C3)[(C1 + C2) / C3] * D4IF(C2 >= 2, 2*C3, 3*C4)SUMIF(C1:C6, 4, D1:D6)ROUND(C1)MAX(C1, 0)MIN(C1, C2)ABS(C1)SQRT(C1)C1 * C2C1 / C2C1 ^2

註： D1:D6 為資料儲存格， C1:C6 為變動儲存格。

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非線性規劃的挑戰非線性規劃的挑戰

非線性規劃是用來建構活動水準與整體績效衡量之間的非比例關係（ nonproportional relationships ），而線性規劃則假設兩者成比例的關係。

非線性規劃模式須建構一個非線性公式這比在線性規劃模式中須建構線性公式更難。

求解非線性規劃模式通常是比求解線性規劃模式更困難。

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非比例關係的挑戰非比例關係的挑戰

線性規劃的比例假設：每個活動對於目標函數的值的貢獻是與活動水準成比例關係（ proportional relationship ）。也就是說，這個目標函數包含了係數乘上決策變數，其中的係數是每一單位活動的貢獻，決策變數是活動的水準。（例如，偉伯公司的每一個產品，係數是每一個產品的利潤，決策變數是產品的生產率。）

當違反這個假設的時候，就會生成非線性規劃問題。若活動對整體績效衡量的貢獻度與活動水準之間沒有比例關係，則我們稱活動與整體績效衡量具有非比例關係（ nonproportional relationship ），這時候就生成了非線性規劃問題。

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偉伯玻璃公司之利潤圖偉伯玻璃公司之利潤圖（比例關係）（比例關係）

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非比例關係之利潤圖非比例關係之利潤圖

邊際報酬遞減 分段線性之邊際報酬遞減

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非比例關係之利潤圖（續）非比例關係之利潤圖（續）

不連續性之邊際報酬遞減 邊際報酬遞增

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建構非線性公式建構非線性公式

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Format Trendline Format Trendline 對話方塊對話方塊

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The TrendlineThe Trendline （二次方程式）（二次方程式）

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求解非線性規劃模式求解非線性規劃模式

考慮以下代數形式的模式：

最大化 利潤 = 0.5x5 – 6x4 + 24.5x3 – 39x2 + 20x

受限於

x ≤ 5

x ≥ 0

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規劃求解所求出的解（起始值設為規劃求解所求出的解（起始值設為 xx = 0 = 0 ））

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規劃求解所求出的解（起始值設為規劃求解所求出的解（起始值設為 xx = 3 = 3 ））

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規劃求解所求出的解（起始值設為規劃求解所求出的解（起始值設為 xx = 4.7 = 4.7 ））

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利潤圖利潤圖

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原始偉伯公司問題之試算表模式原始偉伯公司問題之試算表模式

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考慮非線性行銷成本之偉伯玻璃公司問題考慮非線性行銷成本之偉伯玻璃公司問題

市場研究指出，如果沒有廣告的話，我們只能賣出一些新的門與窗戶。如果要賣出所有生產的產品，則需要擴大廣告活動。

曲線配適步驟（ curve-fitting procedure ）可以估計出每週維持 D 扇門與 W 個窗戶的生產量所需的行銷成本： – 門的行銷成本 = $25D2

– 窗戶的行銷成本 = ($662/3)W2

每扇門的毛利大約是 $375 , 每扇窗戶的毛利大約是 $700 。因此，淨利潤如下：– 門的淨利 = $375D – $25D2

– 窗戶的淨利 = $700W – ($662/3)W2

所以，修正的目標函數為 最大化 利潤 = $375D – 25D2 + $700W –($662/3)W2

問題：考慮非線性行銷成本，偉伯公司應該生產多少數量的門與窗戶？

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門與窗戶之利潤圖門與窗戶之利潤圖

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試算表模式試算表模式

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非線性模式之圖形顯示非線性模式之圖形顯示

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投資組合之選擇投資組合之選擇

專業經理人目前已普遍運用以非線性規劃為基礎的電腦模式來輔助選擇大規模的投資組合。

投資者關心的是期望報酬（ expected return ）與投資的風險（ risk ）。

有一個方法可以公式化此問題，就是建構成本效益取捨問題（ cost-benefit trade-off problem ）的非線性版模式：– 最小化 風險

受限於 期望報酬 ≥ 最小可以接收水準

考慮三檔股票的投資組合。

問題：若要達到至少 18% 的期望報酬時，應該選擇怎樣的投資組合可以使得風險最小？

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股票相關資料股票相關資料

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代數式代數式

最小化 風險 = (0.25S1)2+(0.45S2)2+(0.05S3)2+2(0.04)S1S2+2(–0.005)S1S3+2(–

0.01)S2S3

受限於 (21%)S1 + (30%)S2 + (8%)S3 ≥ 18%

S1 + S2 + S3 = 100%

且S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0.

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試算表模式試算表模式

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利用規劃求解表顯示出期望報酬與風險利用規劃求解表顯示出期望報酬與風險之間的取捨關係之間的取捨關係

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玻璃公司問題（考慮加班）玻璃公司問題（考慮加班）

公司接了一批手工藝品的訂單，在未來四個月期間將安排於工廠 1 與 2 生產。

為了完成這份訂單，必須要借調正規生產線上的人手。 所以正規生產線剩下的員工必須加班以使工廠的機器設備達到充分利用。

原始模式的限制式：使用時數 ≤ 可用時數仍然有效（亦即， HoursUsed ≤ HoursAvailable ）。

然而，由於有加班的額外成本，所以目標函數需要修改。 具體來說，由於加班增加了額外的成本，所以每單位產品所產

生的利潤因而減少了。

問題：考慮加班成本下，偉伯公司應該生產多少數量的門與窗戶？

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考慮加班之偉伯公司問題相關資料考慮加班之偉伯公司問題相關資料

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門與窗戶之利潤圖門與窗戶之利潤圖

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分割規劃技術分割規劃技術

當活動違反比例關係的假設時，可將利潤圖分割成數個部分，使得每部分約略成為一條線段。

然後，對於利潤圖中的每條線段導入個別的決策變數，這樣的方法可以使整個問題像偉伯公司的例子一樣，完全轉換成為線性規劃問題。

由於這些新的決策變數滿足比例關係的假設，可以這些決策變數來建構線性規劃模式。

在偉伯問題中，這些新的決策變數為：– DR = 正常班每週門的生產量– DO = 加班每週門的生產量– WR = 正常班每週窗戶的生產量– WO = 加班每週窗戶的生產量

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分割規劃試算表模式分割規劃試算表模式

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具有平滑利潤圖之分割規劃具有平滑利潤圖之分割規劃

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分割規劃之優點分割規劃之優點

Excel 中的 Solver 能夠輕易地求解具有邊際報酬遞減的非線性規劃問題，其優點是無須使用近似估計。

然而，分割規劃法也具有某些優點：– 將問題轉換成為線性規劃問題，將可使其被快速求解，這對

於大型問題特別有幫助。

– 轉換成為線性規劃模式後將可利用 Solver 中的敏感度報告。

– 分割規劃只需估計每項活動在某些點上的利潤值，因此，並不需要利用曲線配適法（ curve fitting method ）來估計利潤圖的方程式。

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偉伯公司問題（考慮加班成本與非線性行銷成本）偉伯公司問題（考慮加班成本與非線性行銷成本）

先前的試算表模式並沒有包含非線性行銷成本。

回顧曲線配適法被用來估計為維持 D 扇門與 W 扇窗戶的生產速率所需的行銷成本：– 門的行銷成本 = $25D2

– 窗戶的行銷成本 = ($662/3)W2

問題：考慮加班成本以及非線性行銷成本時，偉伯公司應該生產多少數量的門與窗戶？

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考慮加班成本與非線性行銷成本考慮加班成本與非線性行銷成本之偉伯公司問題相關資料之偉伯公司問題相關資料

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生產門的每週利潤生產門的每週利潤

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生產窗戶的每週利潤生產窗戶的每週利潤

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分割規劃試算表模式分割規劃試算表模式

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非線性規劃試算表模式非線性規劃試算表模式

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困難的非線性規劃問題困難的非線性規劃問題

只要模式具有某些特性（例如：線性的限制式和邊際報酬遞減的目標函數），即使模式是非線性目標函數， Solver還是可以輕易找到最佳解。

再者，我們從 8.3 節了解對於某些非線性問題，分割規劃可以將非線性規劃模式轉換成線性規劃模式，以利於有效率地找到最佳解。

然而，如果問題具有：遞增邊際報酬、非線性限制式、或是不連續利潤圖形的話，通常是不易求解的。 – 此類問題可能有許多區域最佳解（ local optima ）。– Solver 可能會陷入於區域最佳解，而無法找到全域最佳解（ global optim

a ）。 一個嘗試求解有多個區域最佳解的方法為，用 Solver多次求解，每

一次都以不同的起始解開始搜尋，然後朝改善目標函數的方向移動，直到找到區域最佳解。– 如果只有一個或兩個變數時，這個方法可以藉由規劃求解表來更有系統

的求解。

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利用規劃求解表來嘗試不同的起始解利用規劃求解表來嘗試不同的起始解

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進化規劃求解與基因演算法進化規劃求解與基因演算法

進化規劃求解（ Evolutionary Solver ）使用與標準Solver完全不同的方法尋找模式的最佳解。

進化 Solver 的原理是以基因、進化及適者生存為基礎，因此，這種類型的演算法也稱為基因演算法（ genetic algorithm ）。

標準 Solver從一個解（起始點）開始，然後慢慢改進這個解答。相反的，進化 Solver 是由隨機產生的許多起始解（稱為母體）開始。

在發展完母體之後，進化 Solver將現有解答的母體分割成對，來創造新的母體。依據基因進化的原則，新創的母體結合了前母體的一些要素。

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進化規劃求解與基因演算法（續）進化規劃求解與基因演算法（續）

在任何下一代的母體解答中，有些解答會是好的（或適合），有些也許是不好的（或不適合）。評估母體中每個解答的目標函數，來斷定合適水準。藉由進化原則和最適生存，母體中「合適」的成員可以再繁殖（創造更多的新母體），而不合適的成員將不能再繁殖。

演算法的另一個特徵就是突變（ mutation ），就像生物學中的基因突變一樣。進化 Solver偶爾會隨機改變母體中的成員。這項特性非常有用，因為如果陷入了區域最大值的陷阱，這可幫忙演算法解套（ unstuck ）。

進化 Solver 可以持續創造新母體解答直到沒有改善空間為止。

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選擇優於市場的投資組合選擇優於市場的投資組合

投資經理人通常想要達成的目標是績效優於市場。 若我們假設過去的績效對未來有一些指標作用，那麼

選擇一個可以在過去打敗市場最多次的投資組合也許在未來將最有可能打敗市場。

考慮五家在紐約證券交易所（ New York Stock Exchange, NYSE ）交易的大公司：– 迪士尼 Disney (DIS)– 波音 Boeing (BA)– 奇異 General Electric (GE)– 寶僑 Procter & Gamble (PG)– 麥當勞 McDonald’s (MCD)

問題：應該選擇這五檔股票怎樣的組合有可能在未來優於市場績效？

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試算表模式試算表模式

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高等規劃求解（高等規劃求解（ Premium SolverPremium Solver ）對話方塊）對話方塊

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進化 進化 Solver General OptionsSolver General Options 對話方塊對話方塊

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Limit OptionsLimit Options 對話方塊對話方塊

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進化 進化 Solver Solver 試算表解試算表解

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美國大聯盟球場之旅美國大聯盟球場之旅

貝琪剛完成了她在華盛頓大學商學院的 MBA 學位，想利用暑期開車到美國各地旅遊。

她想要到每個有美國聯盟球隊的城市去觀看大聯盟球賽。

然後回到家鄉西雅圖，以便於秋季時開始她的工作。

問題：何種旅遊的途徑可以使得旅行的距離為最短？

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美國大聯盟球場之旅（續）美國大聯盟球場之旅（續）

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美國大聯盟球場之旅問題美國大聯盟球場之旅問題尚未求解之試算表模式尚未求解之試算表模式

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alldifferent alldifferent 限制式限制式

進化 Solver 有一種類型的限制式，叫做 alldifferent，它會強迫 n 個變動儲存格從 1~n 中選擇不重複的整數。

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美國大聯盟球場之旅問題美國大聯盟球場之旅問題求解後之試算表模式求解後之試算表模式

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進化 進化 Solver Solver 的優勢與劣勢的優勢與劣勢 進化 Solver 在求解困難的非線性規劃問題中，與標準

Solver 相比有兩項優勢： – 複雜的目標函數不會影響進化 Solver 的求解，只要給定解後可以

求出函數值（為了確定合適性），無論函數有拗折、不連續，或是許多區域最佳解都無所謂。

– 藉由估計解答中全部的母體，有些可能不在目前最佳解附近，進化 Solver 會確保求解過程中不會陷入區域最佳解。再者，如果整個母體最後發展出的答案只是區域最佳解，突變也可能會解開這種受困的情況。

然而，進化 Solver 也並非萬靈丹。 – 進化 Solver 在找出最後的解答時，花的時間比標準 Solver久。 – 進化 Solver 對於限制式較多的問題，求解的效率不是很高。– 進化 Solver 是個隨機的求解過程，對同一個模式再執行進化

Solver 時，通常會產生不同的最後解答。– 所找到的最好解答不一定是最佳解（雖然也許非常靠近）。