2018 Spring SE101 Final (2018/6/13)

• 본 시험은 총 4페이지이고, 계산형 6문제, 서술형 2문제로 이루어져 있다. (총점 100점)

• 계산형 문제와 서술형 문제의 답은 모두 하나의 답안지에 작성하여야 한다.

• 모든 풀이는 명확한 논리와 완전한 문장과 수식으로 작성하여야 한다.

• 일체의 부정행위는 용납하지 않으며, 적발시 퇴실조치 되며 최종 학점은 F처리된다.

계산형 문제

1. (5점) 크래머 법칙(Cramer’s rule)을 사용하여 아래 연립방정식의 y의 값을 구하시오.

x+ 2y − z = 1

3x+ y − z = 0

−x− 2y + 2z = 2

2. (5점) 순서대로 나열된 n명의 학생과 m개의 과목리스트가 있다. n×m 행렬 A = (aij)를 아래와 같이 정의하자.

aij =

{1 i번째 학생이 j번째 과목을 수강하는 경우

0 그 외의 경우

m× n 행렬 B = (bij)을 아래와 같이 정의하자.

bij = aji, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

n× n 행렬 C = (cij)를 C = AB로 정의할 때, cij의 의미를 설명하시오.

3. (5점) 다음 급수의 수렴 발산 여부를 판별하시오. (사용한 모든 판별법을 분명히 명시해야 함.)

∞∑n=1

n2 +√n

nln(n+3)

4. (5점) 다음 급수의 수렴값을 구하시오.∞∑

n=0

2n+ 1

2n(2n)!

5. (각 10점) 아래의 미분방정식에 대해 물음에 답하시오.

y′′ + y = f(t)

(a) f(t) = 1/ sin t일 때 매개변수 변환법을 사용하여 특수해 yp를 구하시오.

(b) f(t) = cos(t)U(t− 1)이고, 초기값이 y(0) = y′(0) = 0일 때 미분방정식의 해를 구하시오.

(c) f(t) = 1/(t − 1)일 때 t = 0에서의 급수해를 구하시오. (일반항을 구하기 힘든 경우, 0이 아닌 최초 3번째항까지 구하시오.)

6. (10점)증류수가가득채워진부피가 2(l)인세탱크가아래와같이연결되어있다.첫번째탱크에농도가 f(t)(g/l)인소금물이 1(l/min)의속도로유입되면,연결된파이프를통해소금물이섞이면서 (유입된소금물은즉시희석된다고가정한다)마지막세번째탱크로에서 1(l/min)의속도로희석된소금물이빠져나온다.이소금물의농도를 g(t)(g/l)

라 할때, 두 농도함수 간의 전달함수(transfer function) H(s) =G(s)

F (s)를 구하시오.

A1 A2

2l/min

1l/min

2l/min

1l/min

A3

1l/min

1l/min

f(t)(g/l)

g(t)(g/l)

2018 Spring SE101 Final (2018/6/13)

무한급수 판정법

판정법 an의 조건 계산할 것 판정 결과

n번째 항 판정법 없음 limn→∞

an limn→∞

an 6= 0⇒∞∑

n=1

an 발산

비율판정법 없음 limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = r r > 1 또는 ∞⇒∞∑

n=1

an 발산

r < 1⇒∞∑

n=1

an 수렴

r = 1⇒ 비율판정법으로 알 수 없음

근판정법 an ≥ 0 limn→∞

n√an = ρ ρ > 1 또는 ∞⇒

∞∑n=1

an 발산

ρ < 1⇒∞∑

n=1

an 수렴

ρ = 1⇒ 근판정법으로 알 수 없음

기하급수판정법 an = axn−1 |x| |x| < 1⇒∞∑

n=1

an 수렴

극한비교판정법 an ≥ 0 limn→∞

anbn

= c c > 0 이고

∞∑n=1

bn 수렴⇒∞∑

n=1

an 수렴

bn > 0 c > 0 이고

∞∑n=1

bn 발산⇒∞∑

n=1

an 발산

c = 0 이고

∞∑n=1

bn 수렴⇒∞∑

n=1

an 수렴

c =∞ 이고∞∑

n=1

bn 발산⇒∞∑

n=1

an 발산

비교판정법 an ≥ 0 bn ≥ an ≥ 0

∞∑n=1

bn 수렴⇒∞∑

n=1

an 수렴

an ≥ bn ≥ 0

∞∑n=1

bn 발산⇒∞∑

n=1

an 발산

교대급수판정법 an = (−1)nbn, bn > 0 limn→∞

bn limn→∞

bn = 0⇒∞∑

n=1

an 수렴

bn ≥ bn+1

적분판정법 an > 0, an ≥ an+1

∫ ∞N

f(x)dx = R R <∞⇒∞∑

n=1

an 수렴

f(n) = an R =∞⇒∞∑

n=1

an 발산

멱급수판정법 an = 1np , p > 0 p p > 1⇒

∞∑n=1

an 수렴

p ≤ 1⇒∞∑

n=1

an 발산

2018 Spring SE101 Final (2018/6/13)

• 본 시험은 총 4페이지이고, 계산형 6문제, 서술형 2문제로 이루어져 있다.

• 시험 시작 후 20분 동안 서술형 문제에 대한 토론이 가능하며, 이후로는 일체의 의견 교환이 불가하다.

• 20분 이후에 배부되는 계산형 문제와 함께 답안지에 서술형 문제의 답을 적으면 된다.

• 일체의 부정행위는 용납하지 않으며, 적발시 퇴실조치 되며 최종 학점은 F처리된다.

서술형 문제

우리는 다음과 같이 여러가지 미분방정식의 해법에 대해 알아보았다.

• 변수분리법(separation of variable)

• 완전미분방정식(exact differential equation), 적분인수(integral factor)

• 특성방정식(characteristic equation), 코시–오일러 방정식

• 미정계수법(method of undertermined coefficients)

• 변수분리법(method of variation of parameters)

• 라플라스 변환(Laplace transform)을 이용한 미분방정식의 해법

• 급수해(series solution)를 구하는 방법

이를 바탕으로 아래의 문항에 대한 견해를 서술하시오.

7. (20점) 라플라스 변환을 이용해야만 해를 구할 수 있는 미분방정식으로 모델링되는 서로 다른 두 가지 예시상황(용수철 운동, 전자회로 등)을 만드시오. (구체적인계수,변수를사용하여상황을서술하고,그에해당하는미분방정식을 분명하게 기술하여야 한다. 제시한 미분방정식을 풀 필요는 없다!)

8. (20점) 급수해를 이용하여 미분방정식의 해를 구할 때, 보통점(ordinary point)을 찾는 것이 중요한 이유를두 가지 이상 서술하시오. (세 가지 이상의 타당한 이유를 제시할 경우 추가점수 5점 부여함!)

주의 사항

• 완전한 문장과 수식으로 작성하여야 하며, 단답형 또는 개조식 서술은 0점 처리 한다.

• 구체적인 수학적 근거(정의,정리,예제 등)를 충분히 사용하여야 한다.

• 각 문항에 대한 명확한 결론을 제시하여야 한다.

2018 Spring SE101 Final (2018/6/13)

라플라스 변환표

1. L[af(t) + bg(t)] = aF (s) + bG(s)

2. L[tn] =n!

sn+1for n = 0, 1, 2, · · ·

3. L[eat] =1

s− a

4. L[sin kt] =k

s2 + k2

5. L[cos kt] =s

s2 + k2

6. L[sinh kt] =k

s2 − k2

7. L[cosh kt] =s

s2 − k2

8. For the unit step function U(t− a) =

{0 t < a

1 t ≥ a,

L[f(t− a)U(t− a)] = e−asF (s)

9. For the Dirac delta function δ(t− t0) = lima→0

δa(t− t0),

L[δ(t− t0)] = e−st0

10. L[eatf(t)] = F (s− a)

11. L[tnf(t)] = (−1)ndn

dsnF (s)

12. L[f (n)(t)] = snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − f (n−1)(0)

13. For the convolution (f ∗ g)(t) =

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ ,

L[(f ∗ g)(t)] = F (s)G(s)

14. If f(t) = f(t+ T ), then

L[f(t)] =1

1− e−sT

∫ T

0

e−stf(t)dt

15. L[∫ t

0

f(τ)dτ

]=F (s)

s

16. L [f(at)] =1

aF( sa

)