ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ульяновский государственный технический университет

С. Г. Валеев

С. В. Куркина

Тестовые задания

по теории вероятностей

и математической статистике

Методические указания для студентов специальностей

08010565, 08010965

Ульяновск

2008

3

УДК 519.2 (076) ББК 22.17я7

Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Сокушева М. Р.

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Валеев, С. Г. Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике : методические указания для студентов специальностей 08010565, 08010965 / С. Г. Валеев, С. В. Куркина. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 28 с.

Указания составлены в соответствии с учебным планом специальностей, содер-

жат тестовые задания по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». Подробно рассматриваются методы решения тестовых заданий различной сложности с указанием необходимого теоретического материала.

Методические указания включают упражнения, выполнение которых позволит студентам самостоятельно овладеть соответствующими навыками расчета вероятностей появления события и характеристик случайных величин.

Предназначены для студентов вузов дневной формы обучения. Разработаны на кафедре «Прикладная математика и информатика».

УДК 519.2 (076)

ББК 22.17я7

Валеев С. Г., Куркина С. В., 2008 Оформление. УлГТУ, 2008

4

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение................................................................................................................ 5

1. Алгебра событий .............................................................................................. 6

2. Вычисление вероятностей событий ............................................................... 7

3. Случайные величины и их распределения .................................................. 14

4. Выборочные случайные величины и их оценки ......................................... 21

5. Тестовые задания для самопроверки ........................................................... 25

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................. 29

5

Введение

Основу настоящих методических указаний составляет содержание лекций для студентов специальностей 08010565 (Финансы и кредит), 08010965 (Бухгалтерский учет, анализ и аудит).

Значение курса теории вероятностей и математической статистики очевидно: во-первых, это неотъемлемая часть современного университетского образования; во-вторых, в профессиональной деятельности будущих специа-листов не обойтись без статистической обработки массивов экономических данных, получаемых в результате наблюдений экономических процессов и явлений. Методические указания должны помочь студентам овладеть основами теории вероятностей в такой степени, чтобы они могли не только осознанно применять полученные знания в процессе обучения и работы, но и по мере необходимости углублять и расширять их путем дальнейшего само-образования. В тексте имеется большое число обязательных упражнений, кото-рые должны служить элементом контроля (или самоконтроля) над усвоением материала.

На лекционных и практических занятиях студент должен ознакомиться с основными вероятностными закономерностями, статистическими идеями и подходами, а также приобрести базовые навыки обращения с вероятностным материалом. Тестовые задания, приведенные в методических указаниях в простой и доступной форме, позволят студентам закрепить пройденный материал. Кроме того, подробно рассмотренные задания могут послужить основой при подготовке к практическим семинарским занятиям, а также при решении домашних задач.

6

1. Алгебра событий

1.1. Что означает операция А+В? а) событие А влечет за собой событие В; б) произошло хотя бы одно из двух событий А или В; в) совместно осуществились события А и В. По определению, результатом операции суммы двух событий С = А + В

является событие, состоящее в том, что происходит по крайней мере одно из событий А или В. Верный ответ: (б). 1.2. Выберите неверное утверждение:

а) Событие, противоположное достоверному, является невозможным; б) Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице; в) Если два события единственно возможны и несовместны, то они

называются противоположными; г) Вероятность появления одного из противоположных событий всегда

больше вероятности другого. Рассмотрим каждый из вариантов ответов. Событие называется

невозможным, если оно никогда не может наступить в условиях данного эксперимента. Противоположное событие A происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А, причем A A+ = Ω , (в) верно. Вариант (а) верный – событие, противоположное невозможному событию, есть досто-

верное. Найдем вероятность ( ) ( ) 1;p A A p+ = Ω = следовательно, по третьей ак-сиоме аксиоматического определения вероятностей – вероятность суммы двух

несовместных событий равна сумме их вероятностей, имеем: ( ) ( ) 1p A p A+ = , (б) верно. Вероятность наступления любого события может быть в интервале [0; 1]. Из этого не следует верность (г). Неверное утверждение: (г). 1.3. Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной игральной кости. События А=выпало число очков больше трех; В =выпало четное число очков. Тогда множество, соответствующее событию А+В, есть:

а) А+В = 6; б) А+В = 4; 6; в) А+В = 2; 4; 5; 6; г) А+В = 3; 4; 5; 6.

7

Множество, соответствующее сумме двух событий А+В, есть объединение множеств А∪В. Множество А включает элементарные исходы А = 4; 5; 6, множество В = 2; 4; 6. Объединение множеств А∪В = 4, 5, 6; 2, 4, 6 = 2; 4; 5; 6. Верный ответ: (в). 1.4. Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной игральной кости. При каких событиях А, В верно: А влечет за собой В?

а) А = выпало нечетное число очков, B =выпало число 3; б) А = выпало число 2, B = выпало четное число очков; в) А = выпало число 6, B = выпало число очков, меньше 6.

Операции над событиями «А влечет за собой В» в терминах теории множеств соответствует операция включения множеств. Для каждого варианта ответа определим множества А, В.

(а) А = 1, 3, 5; В = 3 ⇒ условие А ⊂ В не выполнено; (б) А = 2; В = 2, 4, 6 ⇒ условие А ⊂ В выполнено; (в) А = 6; В = 1, 2, 3, 4, 5 ⇒ условие А ⊂ В не выполнено.

Верный ответ: (б).

1.5. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта. Что представляет

собой событие: CA+ ? а) деталь первого или третьего сорта; б) деталь второго сорта; в) деталь первого и третьего сорта. Сначала выполним операцию суммы событий. Результат А + С = деталь

первого или третьего сорта. Теперь запишем противоположное событие CA+ = деталь не первого, не третьего сорта = деталь второго сорта = В.

Верный ответ: (б).

2. Вычисление вероятностей событий

2.1. Игральный кубик подбрасывается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков больше трех, равно:

а) 1/3; б) 1/2; в) 2/3.

8

Определим множество всех возможных исходов эксперимента

1 2 3 4 5 6 , , , , , , , 1,6.k X k kω ω ω ω ω ω ωΩ = = = = Количество исходов N(Ω) = 6. Соответствующее событию А = выпадет число очков больше трех множество включает исходы А = ω4, ω5, ω6, N(A) = 3. Согласно классическому определе-нию вероятности, вероятность события А есть отношение числа N(А) благопри-ятствующих исходов данному событию к общему числу N(Ω) всех возможных

исходов данного эксперимента ( ) 3 1( ) .( ) 6 2

N Ap AN

= = =Ω Верный ответ: (б).

2.2. В урне 5 белых, 3 черных, 4 красных шаров. Вероятность того, что из урны вынут белый или черный шар равна

а) 1/4; б) 15/8; в) 2/3.

Всего в урне находится (5 + 3 + 4) шаров. Общее число возможных исходов в данном эксперименте N(Ω) = 12. Благоприятствующих исходов интересующему событию А = вынутый шар белого или черного цвета N(А) = 5 (белых) + 3 (черных) = 8 шаров. Вероятность события А, согласно класси-

ческому определению вероятности, равна ( ) 8 2( ) .( ) 12 3

N Ap AN

= = =Ω

Верный ответ: (в). 2.3. В группе 7 юношей и 5 девушек. На конференцию выбирают трех студентов случайным образом (без возвращения). Определить вероятность того, что на конференцию поедут двое юношей и одна девушка.

а) 11/28; б) 21/44; в) 21/110.

Представим множество студентов группы в виде занумерованного множества 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; 8, 9, 10, 11, 12, где первые 7 элементов множества – юноши, последние 5 элементов – девушки.

Выбор студентов на конференцию осуществляется случайным образом без возвращения и без упорядочивания. Число таких всевозможных вариантов выбора трех студентов из группы (12 человек) определяется с помощью

формулы числа сочетаний 312

12! 12! 9! 10 11 12( ) 220.3! (12 3)! 3! 9! 9! 1 2 3

N C ⋅ ⋅ ⋅Ω = = = = =

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

9

Рассмотрим событие А = отобрано двое юношей и одна девушка, т. е. из множества элементов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 выбираем 2 элемента, таких способов

27

7! 7! 5! 6 7 212! (7 2)! 2! 5! 5! 1 2

C ⋅ ⋅= = = =

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ; из множества 8, 9, 10, 11, 12 выбираем

один элемент 15

5! 5! 51! (5 1)! 1! 4!

C = = =⋅ − ⋅ способами.

Необходимо одновременно выбрать трех студентов (в соответствии с событием А), поэтому число исходов, благоприятствующих данному событию А, равно 2 1

7 5( ) 21 5 105.N A C C= ⋅ = ⋅ = Согласно классическому определению

вероятности, ( ) 105 21( ) .( ) 220 44

N Ap AN

= = =Ω Верный ответ: (б).

2.4. В урне 6 белых и 4 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Вероятность того, что оба шара черные, равна

а) 2/5; б) 2/15; в) 1/4.

Всего в урне N(Ω) = 6 + 4 =10 шаров. Введем два события А = первый вынутый шар черный, В = второй вынутый шар черный. Необходимо вычис-лить вероятность одновременного появления двух событий А и В, т. е. р(АВ).

События А, В зависимые: если происходит событие А (изменится общее количество шаров в урне и число оставшихся шаров черного цвета), то вероятность события В изменится. Поэтому по теореме умножения вероятностей р (АВ) = р(А) ⋅ р (В | A). Вероятность события А, согласно классическому определению вероятности, р(А) = 4/10 = 2/5.

Если событие А произошло, количество шаров в урне уменьшилось на один: (10 – 1) = 9. Число благоприятствующих исходов также уменьшилось – в урне осталось (4 – 1) = 3 черных шаров. Условная вероятность р (В | A) = 3/9 =

= 1/3. Искомая вероятность 2 1 2( ) .5 3 15

p A = ⋅ = Верный ответ: (б).

2.5. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого и второго стрелков равна 0,6 и 0,9 соответственно. Тогда вероятность того, что цель будет поражена, равна:

а) 0,54; б) 0,96; в) 0,996.

10

Первый способ. Рассмотрим события А = первый стрелок попадет в мишень, В = второй стрелок попадет в мишень. Вероятности попадания соответственно первого и второго стрелков р (А) = 0,6; р (В) = 0,9, вероятности

промаха для первого и второго стрелка соответственно ( ) 1 ( )p A p A= − =

1 0,6 0,4;= − = ( ) 0,1.p B = Необходимо найти вероятность наступления собы-тия С = цель будет поражена = хотя бы один из стрелков попадет в мишень, т. е. возможны следующие события: С1 = попадет первый и не попадет второй, С2 = не попадет первый и попадет второй, С3 = оба стрелка попадут. В алгебре событий А, В интересующее нас событие С запишется в

виде 1 2 3 .C C C C AB A B AB= + + = + + Найдем вероятность события С: ( )p C =

( )p AB AB AB= + + = [события , ,AB AB AB попарно несовместны, если проис-

ходит А и В, то не могут осуществиться è , è A B A B , значит вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей]

( ) ( ) ( )p A B P A B P AB= + + = [события А, В независимы, т. к. стрелки производят выстрелы независимо друг от друга: попадание или промах одного стрелка

производится независимо от другого стрелка] ( ) ( ) ( ) ( )p A p B p A p B= ⋅ + ⋅ + ( ) ( ) 0.6 0.1 0.4 0.9 0.6 0.9 0.96.p A p B+ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = Второй способ. Проще при определении вероятности события С = хотя

бы один из стрелков попадет в мишень рассмотреть противоположное событие C = первый и второй стрелок не попадут в мишень: C A B= ⋅ и вычислить его вероятность. По теореме умножения вероятностей для независимых

событий ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 0,1 0,04.p C p A B p A p B= ⋅ = ⋅ = ⋅ = Вероятность противопо-ложного события р(С) = 1 – 0,04 = 0,96. Верный ответ: (б). 2.6. Количество перестановок в слове «ТВМС» равно:

а) 4; б) 16; в) 24.

Таких перестановок будет 4! = 24. Первая буква «Т» может быть переставлена на любое из четырех мест; вторая буква «В» – на любое из оставшихся трех мест; «М» – на любое из оставшихся двух мест; наконец, «С» может занять только одно оставшееся место, т. е. 1⋅2⋅3⋅4 = 24.

Верный отве:т (в).

11

2.7. Сколько различных двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, если все цифры в числе разные?

а) 25; б) 60; в) 20. Первый способ. Множество всех возможных двузначных чисел, состоящих

из цифр 1, 2, 3, 4, 5, запишем в виде ( , ) | 1,5, 1,5a b a bΩ = = = . Таких чисел N(Ω) = 5⋅5 = 25. Рассмотрим событие А = цифры в числе разные. Из мно-жества Ω выбираем исходы, благоприятствующие заданному событию А:

( , ) | 1,5, 1,5, A a b a b a b= = = ≠ , т.е. из множества Ω исключаем исходы (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5). Таким образом, N(А)= 25 – 5 = 20.

Второй способ. Рассмотрим другой вариант подсчета числа элементов в множестве А. Первая цифра может быть любой: 1, 2, 3, 4, 5 (5 вариантов); вто-рая цифра может быть любой от 1 до 5, кроме цифры, которая уже записана первой (5 – 1 = 4 варианта). Число составляется одновременно из двух цифр, т. е. таких двузначных чисел N(А) = 5⋅4 = 20 исходов. Верный ответ: (в). 2.8. Игральную кость бросают 5 раз. Вероятность того, что ровно 3 раза появится нечетная грань, равна:

а) 1/32; б) 1/16; в) 5/16.

В данном эксперименте бросание одной игральной кости 5 раз интересующее нас событие А = выпадет нечетная грань появится ровно три

раза, значит, противоположное событие A = выпадет четная грань появится два раза. Условие эксперимента можно интерпретировать как появление успеха нечетная грань или неудачи четная грань в серии п испытаний.

Вероятность появления успеха при одном подбрасывании р1 = р (А) = 3/6 =

= 1/2, вероятность неудачи при одном подбрасывании р2 = р ( A ) = 3/6 = 1/2. Общее число испытаний п = 5, в которых наблюдается m = 3 успехов и (n – m) = 2 неудач. Вероятность появления m = 3 успехов определяется по

формуле биномиальных вероятностей: 5 1 2( 3) m m n mn nP m C p p −= = = ⋅ ⋅ =

3 2 535

1 1 5! 1 10 5 .2 2 3! 2! 2 32 16

C = ⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅ Верный ответ: (в).

12

2.9. В магазин поступило 30% телевизоров фирмы L, остальное – фирмы N. В продукции фирмы L брак составляет 20% телевизоров; фирмы N – 15 %. Вероятность наудачу выбрать исправный телевизор составляет:

а) 0,835; б) 0,65; в) 0,105.

Определим интересующее нас событие А = наудачу выбран исправный телевизор. Поступили телевизоры от двух фирм. Примем в качестве гипотез события H1 = телевизор фирмы L, H2 = телевизор фирмы N. Событие А наступит только при совместном осуществлении с одной из гипотез H1 или H2. События H1, H2 образуют полную группу событий, никаких других возможных предположений нет.

Необходимо вычислить вероятность события А = будет приобретен исправный телевизор. Для расчета применим формулу полной вероятности р(А) = р(H1) ⋅ р(А|H1) + р(H2) ⋅ р(А|H2). Товара фирмы L поступило 30%, т.е. ве-

роятность приобрести телевизор фирмы L составляет 130%( ) 0,3;

100%p H = =

с фирмы N поступило (100 – 30)%, т.е. р(H2) = 0,7. Вероятность брака известна, вычислим процент надежных телевизоров

фирмы L (100 – 20)% = 80%, фирмы N – (100 – 15)%=85%. Вероятность приобрести исправный телевизор, если он фирмы L, есть

условная вероятность р(А|H1) = 0,8; фирмы N – р(А|H2) = 0,85. Вычислим вероятность р(А) = 0,3⋅0,8 + 0,7⋅0,85 = 0,24 + 0,595 = 0,835. Верный ответ: (а).

2.10. Каково наивероятнейшее число годных деталей среди 15 проверен-ных отделом технического контроля, если вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,7?

а) 9; б) 10;. в) 11

Число k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p) называют наивероят-нейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возмож-ных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства np – q ≤ k0 ≤ np + p, причем

13

(1) – если число np – q дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0;

(2) – если число np – q целое, то существует два наивероятнейших числа k0 и k0+1;

(3) – если число np целое, то наивероятнейшее число k0= np. Вероятность появления события А = наудачу выбранная деталь годная

р(А) = р = 0,7; вероятность противоположного события q = 1 – p=0,3. Количество проверяемых деталей – число испытаний – n = 15. Определим np = 15⋅0,7 = 10,5 – дробное. Вычислим np – q = 15⋅0,7 – 0,3 = 10,5 – 0,3 = 10,2 – дробное, значит, применяем правило (1). Верхняя граница интервала np + p = 15⋅0,7 + 0,7 = 11,2. Наивероятнейшее число определим из интервала 10,2 ≤ k0 ≤ 11,2 ⇒ k0 = 11. Верный ответ: (в). 2.11. Чему равна вероятность отказа устройства, состоящего из трех независимо работающих элементов с соответствующими вероятностями отказа элементов 0,1; 0,2; 0,05, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент?

а) 0,316; б) 0,35; в) 0,001.

Работу устройства удобно представить в виде схемы. Соединение элементов последовательное: если откажет хотя бы один элемент, то схема не работает (рис. 1).

1 2 3

Рис. 1. Схема устройства

Найдем вероятность события В = устройство откажет Рассмотрим события А1 = первый элемент откажет; А2 = второй элемент откажет; А3 = третий элемент откажет и соответственно противоположные события

kA = элемент с номером k работает, k =1, 2, 3. Известны вероятности отказа каждого элемента р(А1) = 0,1; р(А2) = 0,2; р(А3) = 0,05. Надежности элементов

р( 1A ) = 1 – 0,1 = 0,9; р( 2A ) = 1 – 0,2 = 0,8; р( 3A ) = 1 – 0,05 = 0,95. Могут выйти из строя только первый элемент, только второй элемент,

первый и третий элемент, и т. д. Проще рассмотреть противоположное событие

B = устройство работает. Запишем B в алгебре событий А1, А2, А3.

14

Устройство работает, если все три элемента одновременно работают:

1 2 3B A A A= ⋅ ⋅ .

Вероятность события равна 1 2 3( ) ( )p B p A A A= ⋅ ⋅ = т. к. элементы работают независимо, по теореме умножения вероятностей получим=

1 2 3( ) ( ) ( ) 0,9 0,8 0,95 = 0,684.p A p A p A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Искомая вероятность р(В) =

= 1 – р( B ) = 1 – 0,684 = 0,316. Верный ответ: (а). 2.12. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых нет

цифр 5 и 6? а) 296; б) 448; в) 1024. Множество возможных трехзначных чисел запишем в виде

( , , ) | 1,9, 0,9, 0,9.a b c a b cΩ = = = = Всего трехзначных чисел N(Ω) = = 9⋅10⋅10 = 900. Рассмотрим событие А = в записи числа нет цифр 5 и 6. Из множества Ω выбираем исходы, благоприятствующие данному событию А:

( , , ) | 1, 2,3,4,7,8,9; 0,1,2,3,4,7,8,9; 0,1,2,3,4,7,8,9.A a b c a b c= = = = Количество таких исходов определятся N(А) = 7⋅8⋅8=448. Верный ответ (б).

3. Случайные величины и их распределения

3.1. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х xi 1 2 3 4 5

pi= PX=xi 0,14 0,28 0,17 0,32 p5 Чему равно значение вероятности p5?

а) 0,1; б) 0; в) 0,09.

Законом распределения СВ Х дискретного типа называется перечень всех возможных значений случайной величины и соответствующих этим значениям вероятностей. События X=x1, X=x2,… образуют полную группу событий, т.е. Ω. Сумма вероятностей PX=x1+ PX=x2+…=1. Необходимо вычислить

15

неизвестное значение p5 из уравнения: 5

11i

ip

=

=∑ ; p5 = 1 – (0,14 + 0,28 + 0,17 +

+ 0,32) = 0,09. Верный ответ: (в). 3.2. Пусть X - случайная величина с функцией распределения:

0, 00,2, 0 2

( ) 0, 4, 2 4.0,9, 4 61, 6

xx

F x xx

x

< ≤ <= ≤ < ≤ <

≥

Чему равна мода случайной величины Х? а) 2; б) 4; в) 6.

Случайная величина Х – дискретного типа. Мода СВ Х дискретного типа определяется как такое возможное значение xm, для которого

max .m kkP X x P X x= = = Мода есть наиболее вероятное значение СВ Х в

случае, если такое значение единственно. Для определения моды СВ Х опишем закон распределения в виде таблицы 1.

F(x) = P X < x = Σ P X = xi, где i : xi < x. F(0) = 0 = PX < 0 . F(2) = 0,2 = PX < 2 = P X = 0. F(4) = 0,4 = PX < 4 = P X = 0 + P X = 2 ⇒ P X = 2 = 0,4 – 0,2=0,2. F(6) = 0,9 = PX < 6 = P X = 0 + P X= 2 + P X= 4 = 0,2 + 0,2+PX= 4

⇒ P X = 4 = 0,9 – 0,4 = 0,5. F(8) = 1 = PX < 8 = P X = 0 + P X = 2 + P X = 4 + P X = 6 =

= 0,2 + 0,2 + 0,5 + P X = 6 ⇒ P X = 6 = 1 – 0,9 = 0,1. Таблица 1. Закон распределения СВ Х

xi 0 2 4 6 pi= PX=xi 0,2 0,2 0,5 0,1

Мода случайной величины Х равна x3 = 4, т. к. наибольшая вероятность

PX = 4 = 0,5. Верный ответ: (б).

16

3.3. Закон распределения СВ Х задан в виде таблицы xi 1 2 3 4 5

pi= PX=xi 0,1 0,4 0,2 0,1 0,2 Чему равно математическое ожидание СВ Х?

а) 2,9; б) 3,5; в) 4. Математическим ожиданием СВ Х дискретного типа называется

действительное число, определяемое формулой [ ] .k kk

M X x P X x= ⋅ =∑

М[X] = 1⋅0,1 + 2⋅0,4 + 3⋅0,2 + 4⋅0,1 + 5⋅0,2 = 2,9. Верный ответ: (а). 3.4. СВ Х задана таблично

xi 2 3 4 pi= PX=xi 0,2 0,5 0,3

Чему равно математическое ожидание величины M[Х2 + 1]?

а) 11,1; б) 21; в) 22,1. Запишем закон распределения для новой СВ Y = Х2 + 1:

yi = xi2+1 5 10 17

pi= PY=yi 0,2 0,5 0,3 Вычислим математическое ожидание СВ Y: M[Y] = M[Х2 + 1] = 5⋅0,2 +

+10⋅0,5 + 17⋅0,3 = 11,1. Верный ответ (а).

3.5. Закон распределения СВ Х задан в виде таблицы xi 1 3 5

pi= PX=xi 0,3 0,5 0,2 Чему равна дисперсия СВ Х?

а) 2,8; б) 1,96; в) 1,51. Дисперсией СВ Х называется неотрицательное число D[X] = DX, опреде-

ляемое формулой ( ) ( )2 2[ [ ] ] [ ] [ ] .XD M X M X M X M X= − = −

17

Для дискретной СВ Х дисперсия вычисляется по формуле

( ) ( ) ( )2 2 2 .X k X k k k Xk k

D x m p x p m= − ⋅ = ⋅ −∑ ∑

Вычислим сначала математическое ожидание СВ Х: М[X] = 1⋅0,3 + 3⋅0,5 + + 5⋅0,2 = 2,8.

Дисперсия DX = (12⋅0,3 + 32⋅0,5+ 52⋅0,2) – (2,8)2 = (1⋅0,3 + 9⋅0,5+ 25⋅0,2) – – 7,84 = 9,8 – 7,84 = 1,96. Верный ответ: (б).

3.6. При проведении контроля качества среди 100 случайно отобранных деталей 2 оказалось бракованными. Среди 5000 деталей бракованными окажутся:

а) 250; б) 100; в) 50.

В данном эксперименте множество всех исходов включает два элемента Ω = ω1, ω2, где ω1 = деталь бракованная, ω2 = деталь годная. Вероятности исходов соответственно р(ω1) = р1 = 2/100 = 0,02; р(ω2) = р2 = 1 – р1 = 0,98. Таким образом, случайная величина Х имеет биномиальное распределение. Искомое количество бракованных деталей есть наиболее вероятное значение СВ X – математическое ожидание, которое определяется для такой СВ по формуле М[X] = n⋅p = 0,02⋅5000 = 100 деталей. Верный ответ: (б). 3.7. СВ Х равномерно распределена на отрезке [-7, 18]. Чему равна вероятность P(-3 < Х)?

а) 15/25; б) 21/25; в) 11/15.

Случайная величина называется равномерно распределенной, если ее

плотность распределения вероятности [ ]

[ ]

1 , ,( )

0, ,

x a bb af x

x a b

∈ −= ∉

. Длина отрезка

[-7, 18] составляет b – a = 18 – (–7) = 25. Запишем функцию плотности

[ ]

[ ]

1 , 7,1825( ) .0, 7,18

xf x

x

∈ −= ∉ −

Вероятность попадания СВ Х в заданный интервал

18

определяется по формуле ( ) ( ) .b

a

p a X b f x dx≤ < = ∫ Вероятность

3

( 3 ) ( ) .p X f x dx+∞

−

− ≤ < +∞ = ∫ Функция плотности ненулевая на отрезке [-7, 18],

поэтому интеграл

18 18

3 18 3

0

1( 3 ) ( ) ( )25

p X f x dx f x dx dx+∞

− −

=

− ≤ < +∞ = + = =∫ ∫ ∫14243

18

3

21.25 25x

−

= =

Другой способ решения основан на определении геометрической

вероятности.

Отрезок [-7; 18], соответствующий множеству возможных исходов, где функция плотности СВ Х ненулевая, представлен на рисунке 2. Отметим точку (-3) в соответствии с событием А = Точка попадет на отрезок [-3; 18]. Эта точка делит отрезок на две части [-7; -3] и [-3; 18].

-7 18 -3

Рис. 2. Определение вероятности попадания в заданный интервал

Событию А благоприятствуют исходы, включенные в больший отрезок (на

рисунке показано штриховкой). Согласно геометрическому определению вероятности, вероятность попадания точки в заданный отрезок есть отношение

[ 3;18] 21( ) .[ 7;18] 25

äëèí à î ò ðåçêàp Aäëèí à î ò ðåçêà

−= =

− Верный ответ: (б).

3.8. Чему равно значение неизвестного параметра а функции плотности

[ ]

[ ]

0, 4,6( ) 1 , 4,6

8

xf x

a x x

∉=

⋅ − ∈ ?

а) 1/2; б) 1/4;

19

в) 1/8. Параметр а можно найти из условия нормировки (свойство функции

плотности) ( ) 1.f x dx+∞

−∞

=∫ Функция плотности f(x) ненулевая на интервале [4; 6]

и обращается в нуль вне данного интервала. Поэтому интеграл можно разбить на три части:

64 6 6 2

4 6 4 4

1 1( ) 0 08 8 2 8

a x xf x dx dx a x dx dx a x dx+∞ +∞

−∞ −∞

⋅ = + ⋅ − + = ⋅ − = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫36 6 16 4 1 110 1 .

2 8 2 8 4 8a a a a⋅ ⋅ = − − − = − = ⇒ =

Верный ответ: (в).

3.9. Пусть X - случайная величина с функцией распределения:

0, 1

, 1 26( )

1 , 2 38 21, 3

xx x

F xx x

x

< ≤ <= + ≤ < ≥

.

Чему равна вероятность P X ≥ 1/2 ?

а) 11/12; б) 1/12; в) 5/6.

По определению, функция распределения СВ Х есть вероятность F(x) = PX < x. Поэтому рассмотрим противоположное событию А = X ≥ 1/2

событие 1 1\ \ .2 2A A X X= Ω = Ω ≥ = < Вероятность суммы противо-

положных событий равна единице: ( ) ( ) 1.P A P A+ = Искомая вероятность P X ≥ 1/2 = 1 – PX < 1/2 = 1 – F (1/2). На интервале [1; 2) функция распре-

деления F(x) = х/6, поэтому 1 1 1(1/ 2) .6 2 12

F = ⋅ = Тогда искомая вероятность

1 1 11 1 .2 12 12

P X ≥ = − = Верный ответ: (а).

20

3.10. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью

распределения вероятностей .

241)( 32

)5( 2−−

=X

eXfπ Чему равна дисперсия

этой нормально распределенной величины?

а) 4; б) 16; в) 5. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х

с математическим ожиданием mX и дисперсией DX= σX2 имеет вид

2

2( )

21( )2

X

X

X m

X

f X e σ

σ π

−−

⋅= ⋅⋅ , где σX – среднеквадратичное отклонение СВ Х.

Стандартное отклонение σX = 4; дисперсия СВ Х DX = σX2 = 42 = 16.

Верный ответ: (б). 3.11. Плотность вероятности случайной величины Х, распределенной по экспоненциальному закону с параметром λ = 2, имеет вид:

а) ( ) 2

0, 0,, 0 .x

xf x

e x−

<=

≥

б) ( ) 2

0, 0,2 , 0.x

xf x

e x−

<=

≥

в) ( ) 2

0, 0,1 , 0.2

x

xf x

e x

<=

≥

Случайная величина Х называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром λ > 0, если она непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей задается формулой

( )0, 0,

, 0 .x

xf x

e xλλ −

<=

≥ Параметр λ = 2. Верный ответ: (б).

21

4. Выборочные случайные величины и их оценки

4.1. По выборке n = 200 построена гистограмма частот

0 4 8 12 16 xi

ni / b

20

16

а 5

Чему равно значение а?

а) 9; б) 10; в) 11.

Гистограммой частот группированной выборки называется кусочно-постоянная функция, построенная на интервалах группировки и принимающая

на каждом из них значения inb , i = 1, 2, ..., k соответственно. Площадь ступен-

чатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки n. Сумма inb

равна объему выборки, деленному на длину интервала группировки. По рисунку видно, что длина интервала b = 4 – 0 = 4.

Просуммируем 20 + 16 + а + 5 = 200/4; 41+ а = 50; а = 9. Верный ответ: (а).

4.2. Чему равна оценка математического ожидания выборочной

случайной величины 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1 ?

а) 3; б) 2,3; в) 2. Математическое ожидание выборочной случайной величины или

выборочное среднее определяется по формуле *

1

1 ,n

X jj

m x xn =

= = ∑ где n – объем

выборки. n = 7, MX = (1 + 3 + 1 + 2 + 2 + 4 + 1)/7 = 2. Верный ответ: (в).

22

4.3. Для какой выборки, представленной в виде группированного статистического ряда, построен полигон частот?

0

2

4

6

8

12,5 17,5 22,5 27,510 15 20 25 30

а)

б)

в) нет правильного ответа.

Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках (zi, in

b ),

i = 1, 2, ..., k; zi – середина соответствующего интервала, inb – частота, деленная

на длину интервала. Длина интервала b = 17,5 – 12,5 = 5. Середины интервалов zi : 12,5; 17,5; 22,5; 27,5. Вариант (б) не подходит.

Определим частоты: для первого интервала (10; 15) 1 1 45

n nb= = , откуда

1 4 5 20;n = ⋅ = для второго интервала (15; 20) 2 2

17 7 5 35;5

n n nb= = ⇒ = ⋅ =

п3 = 3 ⋅5 = 15; п4 = 1⋅5=5. Вариант (а) не подходит. Ответ (в). 4.4. Как записывается эмпирическая функция распределения для

выборочной случайной величины, заданной в виде статистического ряда?

Варианта xi 2 3 6 Частота ni 2 5 3

Границы интервалов 10-15 15-20 20-25 25-30 Частоты 4 7 3 1

Границы интервалов 0-12,5 12,5-17,5 17,5-22,5 22,5-27,5 Частоты 20 35 15 5

23

0, 2,0, 2, 2 3,

à) ( )0,7, 3 6,1, 6.

xx

F xx

x

≤ < ≤= < ≤ >

0, 2,0,2, 2 3,

á) ( )0,5, 3 6,0,3, 6.

xx

F xx

x

≤ < ≤= < ≤ >

0, 0,0, 2 0,5 , 2 3,

â) ( )0,5 0,3 , 3 6,1, 6.

xx x

F xx x

x

< + < ≤= + < ≤ >

Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X< х: F*(x) = nx / n, где nx – число вариант, меньших х; n – объем выборки. Эмпирическая функция обладает следующими свойствами:

– значения F*(x) принадлежат отрезку [0; 1]; – F*(x) – неубывающая функция; – если х1 – наименьшая варианта, а хk – наибольшая, то F*(x)=0 при х ≤ х1 и

F*(x) = 1 при х > хk.

Найдем объем выборки 3

1

2 5 3 10.ii

n n=

= = + + =∑ Наименьшая варианта равна

двум, поэтому F*(x) = 0 при х ≤ 2. Значение X < 3, а именно х1 = 2, наблюдалось два раза, следовательно, F*(x) = 2/10 = 0,2 при 2 < х≤ 3. Значения X < 6, а именно х1 = 2 и х2 = 3, наблюдались 2 + 5 = 7 раз; следовательно, функция F*(x) = 7/10 = 0,7 при 4 < х≤ 6. Так как х3 = 6 – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > 6. Искомая эмпирическая функция распределения имеет вид

0, 1,0, 2, 2 3,

( )0,7, 3 6,1, 6.

xx

F xx

x

≤ < ≤= < ≤ >

Верный ответ: (а).

24

4.5. Какова несмещенная оценка дисперсии, если рассчитанная по выборке объемом 15 наблюдений выборочная дисперсия равна 28?

а) 25; б) 29; в) 30. Для выборки х1, х2, ..., хn, полученной из генеральной совокупности,

выборочная дисперсия, рассчитываемая по формуле ( )2

1

1 n

X ii

D x xn =

= −∑ , явля-

ется смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности путем умножении DХ на

коэффициент смещения * 15 28 30.

1 15 1X XnD D

n= ⋅ = ⋅ =

− − Верный ответ: (в).

4.6. Точечная оценка математического ожидания нормального

распределения равна 7. Тогда его интервальная оценка может быть: а) (6,7; 10,7); б) (7; 8,2); в) (5,7; 8,3). Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами –

концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью p покрывает заданный параметр. Доверительный интервал для математического ожидания

записывается в виде ,â âx xµ µµ− ∆ ≤ ≤ + ∆ где µ – оцениваемый параметр,

математическое ожидание генеральной совокупности; âx − выборочное среднее значение, точечная оценка математического ожидания; ∆µ – предельная ошибка доверительного интервала. Таким образом, доверительный интервал – симметричный относительно выборочного среднего, величина

отклонения равна ∆µ: âx µ± ∆ . Рассмотрим первый интервал (а), найдем величину ∆µ: 7 – 6,7 = 0,3; 10,7 – 7 = 3,7. Получили разные предельные ошибки, ответ (а) не подходит. Второй доверительный интервал (б) не подходит, т. к. нижняя граница доверительного интервала совпадает с выборочной оценкой параметра. Для третьего интервала (в) предельная ошибка ∆µ: 7 – 5,7 = 1,3; 8,3 – 7 = 1,3. Доверительный интервал можно представить в виде (7 ± 1,3).

Верный ответ: (в).

25

5. Тестовые задания для самопроверки

5.1. Заданы множества А = 1, 3, 4, В = 2, 3, 1, 4, тогда для них будет неверным утверждением

а) множество А есть подмножество множества В; б) множества А, В пересекаются; в) множество А не равно множеству В; г) А и В не имеют общих элементов. 5.2. Одновременно подбрасывают две монеты. События А = первый раз

выпал герб, В = оба раза выпали цифры. Тогда верным для этих событий будет утверждение

а) событие А тождественно событию В; б) А и В не имеют общих элементов; в) события А и В несовместны; г) А и В – пересекаются. 5.3. Вероятность, что кубик упадет на грань «4» при условии, что выпадет

число очков больше двух, равна: а) 1/6; б) 1/4; в) 1/3. 5.4. Электрическая цепь имеет вид, как на рисунке.

1 3

2

4

Событие Аk = элемент с номером k вышел из строя , k = 1, 2, 3, 4. Как

выражается событие В = разрыв цепи) в алгебре событий Аk? а) В = A1+A2+A3+A4; б) В = A1+A2⋅A3+A4; в) В = A1⋅(A2+A3)⋅A4. 5.5. Сколько различных двузначных чисел можно составить из шести цифр

1, 2, 3, 4, 5, 6, если все цифры различны? а) 20; б) 30; в) 36. 5.6. Урна содержит 3 белых и 5 черных шаров. Вероятность достать

первым черный шар, а вторым – белый а) 3/28;

26

б) 15/56; в) 8/15. 5.7. СВ Х задана на отрезке [-11, 27]. Чему равна вероятность P(-7 < Х)? а) 34/38; б) 20/37; в) 25/38. 5.8. Количество перестановок в слове «МИР» равно: а) 6; б) 9; в) 16. 5.9. Наиболее вероятным числом выпадений герба при 4 бросаниях монеты

является: а) 3 и 2; б) 4; в) 3. 5.10. Первый завод выпускает качественные станки с вероятностью 0,8;

второй завод – 0,7. На каждом заводе купили по одному станку. Вероятность того, что оба они качественные, равна:

а) 0,87; б) 1,5; в) 0,56. 5.11. Одновременно бросают четыре монеты. Какова вероятность, что все

монеты выпадут одной стороной? а) 0,0005; б) 0,125; в) 0,25. 5.12. Одновременно бросают 4 кубика. Какова вероятность, что сумма

очков на кубиках не меньше 4? а) 0; б) 0,895; в) 1. 5.13. Сколько существует способов выбора трех карт из колоды в 36 карт,

так чтобы среди них был один туз? а) 1244; б) 1984; в) 686. 5.14. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых нет

четных цифр? а) 294;

27

б) 625; в) 1584. 5.15. Сколько возможно различных исходов при одновременном

подбрасывании 4 игральных костей? а) 1024; б) 1296; в) 1684. 5.16. Чему равна вероятность, что из двух проверенных изделий хотя бы

одно окажется стандартным, если вероятность брака одного изделия составляет 0,1?

а) 0,2; б) 0,99; в) 0,96. 5.17. Имеются три партии деталей по 15 деталей в каждой. Число

стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 11, 13, 12. Какова вероятность, что наудачу извлеченная деталь окажется бракованной?

а) 4/15; б) 11/15; в) 12/15. 5.18. ДСВ Х имеет закон распределения вероятностей

Хi -5 3 6 Рi 0,3 0,2 0,5

Чему равно значение математического ожидания М(Х)? а) 2,1; б) 3,6; в) 5,1. 5.19. ДСВ Х имеет закон распределения вероятностей

Хi 1 3 6 7 Рi 0,4 0,3 0,2 0,1

Чему равно значение дисперсии D(Х)? а) 15,2; б) 10,24; в) 4,96. 5.20. Как записывается эмпирическая функция распределения для

выборочной случайной величины, заданной в виде статистического ряда?

Хi 1 2 5 6 Рi 0,2 0,4 0,3 0,1

28

0, 1,0, 2, 1 2,

à) ( ) 0,4, 2 5,0,6, 5 6,1, 6.

xx

F x xx

x

≤ < ≤= < ≤ < ≤

>

0, 1,0, 2, 1 2,

á) ( ) 0,6, 2 5,0,9, 5 6,1, 6.

xx

F x xx

x

≤ < ≤= < ≤ < ≤

>

0, 1,0, 2, 1 2,

â) ( ) 0, 4, 2 5,0,3, 5 6,0,1, 6.

xx

F x xx

x

≤ < ≤= < ≤ < ≤

>

5.21. Пусть X – случайная величина с функцией распределения:

0, 0,0,3, 0 2,

( ) 0,8, 2 5,0,9, 5 8,1, 8.

xx

F x xx

x

≤ < ≤= < ≤ < ≤

>

Как представить закон распределения СВ Х в виде таблицы?

xi 0 2 5 8 >8 а)

pi = PX = xi 0 0,3 0,8 0,9 1

xi 0 2 5 8 б)

pi = PX = xi 0,3 0,8 0,9 1

xi 0 2 5 8 в)

pi = PX = xi 0,3 0,5 0,1 0,1

29

Библиографический список

1. Валеев С. Г. Теория вероятностей и математическая статистика. Уч. пособие. – Ульяновск: изд-во УлГТУ, 2006. – 99 с.

2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман – М. : Высш. шк., 2004. – 404 с.

3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман – М. : Высш. шк., 2000 [и др. изд. по 2005 г.]. – 479 с.

4. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч.4 : учеб. пособие для втузов / под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. – М. : Изд-во Физматлит, 2004. – 432 с.

5. Теория вероятностей в примерах и задачах : учеб. пособие / В. Н. Калинина, В. А. Колемаев, В. И. Соловьев и др. – М. : ГУУ, 2001. – 87 с.

Учебное издание

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике

ВАЛЕЕВ Султан Галимзянович

КУРКИНА Светлана Владимировна

Редактор Штаева М.

Подписано в печать 29.12.2008. Формат 60х84/16. Тираж 100 экз.

Ульяновский государственный технический университет

432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32.

Типография УлГТУ, 432027, ул. Сев. Венец, 32.