Embed Size (px)
Citation preview
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников
Высшая математика
Часть 1
Учебное пособие 2-е издание
Ульяновск УлГТУ
2011
УДК 51 (075)
ББК 22.311 я7
А67
Рецензенты: кафедра прикладной математики УлГУ (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, профессор А. А. Бутов); д-р физ.-мат. наук, профессор УлГУ А. С. Андреев.
Под общей редакцией д-ра физ.-мат. наук, профессора П. А. Вельмисова
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия.
A 67
Анкилов, А. В. Высшая математика : учебное пособие. В 2 ч. Ч. 1 / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников; под общей редакцией П. А. Вельмисова. – 2-е изд.– Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 250 с.
ISBN 978-5-9795-0898-6
Пособие предназначено для бакалавров всех специальностей, изучающих дисциплину «Математика».
Пособие является Лауреатом Первого Всероссийского конкурса Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки Российской Федерации «Лучшее учебное издание по математике» в номинации «Математика в технических вузах».
Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ. Печатается в авторской редакции.
УДК 51 (075)
ББК 22.311 я7
Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., 2008 Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., 2011
ISBN 978-5-9795-0898-6 Оформление. УлГТУ, 2011
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ……………………………..……………………………………………………….. 7
Глава 1. Элементы линейной алгебры …….……..………………………………… 81.1. Матрицы и действия над ними ……..………………………………………………. 8
1.1.1. Основные понятия …….………………………………………………………... 81.1.2. Действия с матрицами ..………………………………………………………... 10
1.2. Определители матриц ……………………………………………………………….. 121.2.1. Определители 2-го и 3-го порядков .…….……………………………………. 121.2.2. Определители n-го порядка …………..….…………………………………….. 141.2.3. Свойства определителей ….…………..….…………………………………..... 16
1.3. Ранг матрицы ………..……………………….……………….…………………….... 181.3.1. Метод окаймляющих миноров .………………………………………………... 191.3.2. Метод элементарных преобразований ………………………………………... 20
1.4. Обратная матрица …….………………………….……………….…………………. 211.4.1. Метод присоединенной матрицы …………………………………………...… 221.4.2. Решение матричных уравнений ………..……………………………………… 23
1.5. Пространство арифметических векторов ..…….……………….…………………... 241.6. Системы линейных уравнений …..…………..……………...…………….......…… 26
1.6.1. Основные понятия ……………………………………………………………… 261.6.2. Правило Крамера .…….………………………………………………………… 271.6.3. Матричный метод ……………………………………………………………… 281.6.4. Метод Гаусса …………………………………………………………………… 291.6.5. Однородные системы линейных уравнений …………………………………. 321.6.6. Структура общего решения неоднородной системы уравнений ……………. 34
1.7. Линейные пространства ……………..……………………...…………………….… 341.8. Линейные операторы …………….…..……………………...………………….…… 371.9. Квадратичные формы ……..………….…………………………………….……….. 421.10. Основные термины ……….……………………………………………….……….. 431.11. Вопросы для самоконтроля ………………………………………………………… 441.12. Задачи для самостоятельного решения .…………………………………………… 44
Глава 2. Векторная алгебра ………....……….……....………………………………… 48
2.1. Понятие вектора ………………..………………………………………………….… 482.2. Линейные операции над векторами …………..………………………………….… 482.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов …………………….. 502.4. Базис. Разложение по базису. Координаты вектора ……...……………………..… 502.5. Декартовы системы координат ……..……….……………….…………………..…. 532.6. Полярная система координат....……….……………….….…………………………. 532.7. Скалярное произведение векторов …….……………………..…………………….. 542.8. Направляющие косинусы вектора ……………………...……………………….…. 552.9. Векторное произведение векторов ……………..……….………………………….. 562.10. Смешанное произведение векторов ………………………………………………. 572.11. Основные термины …….….……………..………………………………………..... 592.12. Вопросы для самоконтроля ………………….…………………………………….. 592.13. Задачи для самостоятельного решения .……………………………….………….. 60
Глава 3. Аналитическая геометрия ….……………....……………………………… 61
3.1. Прямая линия на плоскости ..…..…..……………….…………………….………… 613.1.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости …………………………… 61
4
3.1.2. Расстояние от точки до прямой …………………………………………..……. 653.1.3. Угол между прямыми ………………………………………………………..…. 653.1.4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых ……………………………………. 66
3.2. Плоскость в пространстве ………….…………………………………..…………… 673.2.1. Различные виды уравнений плоскости ………………………………..……… 673.2.2. Угол между двумя плоскостями .……………………………………………… 693.2.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей …………………………………………………….. 703.2.4. Расстояние от точки до плоскости ..…………………………………………… 70
3.3. Прямая линия в пространстве ……………………...…….…………………………. 713.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве ……………...…… 723.5. Кривые второго порядка ……………..……….……………….…………………..… 74
3.5.1. Эллипс ………………………..……………………………………………….… 753.5.2. Гипербола ..…………………..……………………………………….………… 763.5.3. Парабола ………………………..………………………………………….……. 763.5.4. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду ……………………….……………………………………………………………. 79
3.6. Поверхности второго порядка …………………………………………....…………. 833.6.1. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатными осям …………………………………………………………………. 833.6.2. Поверхности вращения ..……..……………………………………………….... 853.6.3. Канонические уравнения поверхностей второго порядка ………………….... 85
3.7. Основные термины …….….………………………………………………………… 883.8. Вопросы для самоконтроля ……………………………………………………….… 883.9. Задачи для самостоятельного решения .……….…………………………………... 88
Глава 4. Ведение в математический анализ …......……………………………...... 90
4.1. Логическая символика ………………………………………………………………. 904.2. Множества ……..……………….………………………………………………….…. 904.3. Последовательности. Предел последовательности ……………………………….. 944.4. Функции. Предел функции ………………….……………….……………………... 96
4.4.1. Определение функции ……………………….…...………………………….… 964.4.2. Элементарные функции ..…………………….…...…………………………… 974.4.3. Обратная функция ………………………………..……………………………. 984.4.4. Способы задания функций ………………………..…………………………… 1014.4.5. Предел функции ………….………………………..……………………………. 1024.4.6. Основные теоремы о пределах функции ……………………………………… 1024.4.7. Теоремы о бесконечно больших и бесконечно малых функциях ...…………. 1034.4.8. Теоремы о предельном переходе …..………………………………………….. 1044.4.9. Некоторые методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов ……………………………………………………………………………….. 1044.4.10. Замечательные пределы …………….…………………………….……………1074.4.11. Асимптотическое сравнение функций …………………………………….… 109
4.5. Непрерывность функции. Точки разрыва .………………………….…...……….… 1124.5.1. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва ………….. 1124.5.2. Свойства функций, непрерывных на отрезке …...………………………….…. 114
4.6. Основные термины …….….……………………………………………………….... 1154.7. Вопросы для самоконтроля …….………………………………………………….... 1164.8. Задачи для самостоятельного решения .………………………………………...….. 116
5
Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной ….. 1215.1. Задачи, приводящие к понятию производной ……………………………………... 121
5.1.1. Скорость движения ………………………………...…………………………... 1215.1.2. Касательная к кривой ……………………………...…………………………… 121
5.2. Производная и дифференциал функции ..………………………………………..… 1225.2.1. Производная функции ..………………………………………………………... 1225.2.2. Дифференцируемость функций. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции …………………………………………………..…….….. 1235.2.3. Односторонние производные функции …………………………………….… 1245.2.4. Производные суммы, произведения и частного функций…………………… 1255.2.5. Производная обратной функции ………………………………………………. 1265.2.6. Таблица производных ………..………………………………………………… 1275.2.7. Производная сложной функции ……………………………………………….. 1285.2.8. Примеры вычисления производных ..…………………………………………. 1285.2.9. Логарифмическая производная. Производная сложно-показательной функции ……………………..…………………………….…………………………… 1305.2.10. Геометрический смысл производной ..………………………………………. 1315.2.11. Угол между кривыми ………………....………………………………………. 1325.2.12. Дифференциал и его связь с производной ..…………………………………. 1335.2.13. Использование дифференциала в приближенных вычислениях ……….…. 1345.2.14. Производные высших порядков ……………………………………………… 1355.2.15. Дифференциалы высших порядков …………………………..…………….… 1375.2.16. Производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически………………………………………………………………………… 1385.2.17. Производные первого и второго порядков от неявно заданной функции…. 1395.2.18. Механический смысл первой и второй производной ………………………. 140
5.3. Основные теоремы дифференцирования ……..……………………………………. 1405.3.1. Теорема Ферма ………………………....……………………………………….. 1405.3.2. Теорема Ролля ………………………....………………………………………... 1405.3.3. Теорема Лагранжа ………………....………………………………………….... 1415.3.4. Теорема Коши ………………………....………………………………………... 1415.3.5. Правило Лопиталя ….………………....……………………………………….. 1425.3.6. Формула Тейлора …..………………....……………………………………….. 143
5.4. Исследование функций и построение графиков .…………….…………………… 1475.4.1. Монотонность и экстремумы функции …………………..…………………… 1475.4.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ………………….. 1515.4.3. Исследование функций с помощью производных высших порядков. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. ……………………………… 1525.4.4. Асимптоты графика функции ………………….………..…………………….. 154
5.5. Общая схема построения графиков функций ……………………………………... 1565.6. Основные термины …….….……………………………………………..………….. 1605.7. Вопросы для самоконтроля …………………………………………………………. 1605.8. Задачи для самостоятельного решения .……………………………………………. 161
Глава 6. Элементы высшей алгебры .………………………………………………. 168
6.1. Комплексные числа ……………………….……………………………………….... 1686.1.1. Формы записи комплексных чисел …………………………………………… 1686.1.2. Операции над комплексными числами ………………………………………. 1706.1.3. Множества комплексных чисел ………………………………………………. 172
6.2. Многочлены ……………………………………………………………………….… 1736.2.1. Разложение многочлена на множители ………………….…………………… 173
6
6.2.2. Решение алгебраических уравнений ……………………………….…………. 1756.3. Основные термины …….….……………………………………………………….... 1756.4. Вопросы для самоконтроля ………………………………………………..……….. 1766.5. Задачи для самостоятельного решения .……………………………………..…….. 176
Глава 7. Интегральное исчисление функции одной переменной ………….. 178
7.1. Неопределенный интеграл ………………..………………………………………… 1787.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл ……………………………….… 1787.1.2. Методы интегрирования …………………………………………………….… 1807.1.3. Интегрирование рациональных дробей …………………………………….… 1887.1.4. Интегрирование тригонометрических выражений ………………………….. 1927.1.5. Интегрирование иррациональных выражений ……………………….……… 194
7.2. Определенный интеграл ……………..……………………………………………... 1977.2.1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм …………………… 1977.2.2. Основные свойства …………………………………………………………….. 1987.2.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница .. 1997.2.4. Методы интегрирования …………………………………………….…………. 2007.2.5. Геометрические приложения определенного интеграла…………………….. 2027.2.6. Механические приложения определенного интеграла ………………………. 2107.2.7. Несобственные интегралы …………………………………………………….. 2137.2.8. Приближенное вычисление определенных интегралов ……………………... 216
7.3. Основные термины …….….………………………………………………..……….. 2197.4. Вопросы для самоконтроля ………………………………………………..……….. 2197.5. Задачи для самостоятельного решения .…………………………………..……….. 219
Итоговый контроль ………………………………………………………………………. 226 Заключение ………………………………………………………………………………….. 250 Библиографический список …………………………………….…………………….... 250
7
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее учебное пособие содержит разделы курса «Высшая математика»: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, элементы высшей алгебры, соответствующие программе для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Предназначено для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Высшая математика».
В учебном пособии в каждом разделе приведены исторические и теоретические сведения, примеры решения практических задач и вопросы для самоконтроля, перечислены основные термины. Также даны задачи для самостоятельного решения и для самопроверки правильные ответы по каждой задаче.
В каждом разделе принята своя двойная нумерация формул (первая цифра номера формулы указывает номер раздела, вторая – номер формулы в разделе) и тройная нумерация определений, теорем и примеров решения задач (первая цифра указывает номер раздела, вторая – номер пункта в разделе, третья – номер определения в данном пункте).
В результате изучения пособия студент должен знать основные математические понятия, методы и факты, обеспечивающие широкий спектр их применения, разумную точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и использовать полученные знания для решения стандартных задач.
Изучение пособия базируется на основах математических знаний, полученных в средних общеобразовательных учебных заведениях.
В линейной алгебре изучаются внешне различные объекты: системы линейных уравнений, матрицы, арифметические пространства и линейные операторы в этих пространствах, квадратичные формы. Несмотря на внешнее различие, эти объекты тесно связаны между собой. Целью изучения данной темы и является формирование представлений об этих важных и имеющих многочисленные приложения объектах и их взаимосвязях.
В векторной алгебре изучаются геометрические векторы, линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, линейная зависимость и независимость системы векторов, взаимное расположение векторов, понятия базиса и декартовой системы координат.
Аналитическая геометрия занимается изучением линий на плоскости и в пространстве и поверхностей в пространстве с использованием понятий вектора и координат. Рассматриваются различные формы уравнений прямой и плоскости, канонические уравнения кривых второго порядка и взаимное расположение прямых и плоскостей.
Целью изучения раздела «Введения в математический анализ» является знакомство с логической символикой, методами рассуждений и такими математическими понятиями, как множество и функция, предел и непрерывность функции, асимптотическое сравнение функций. Важную роль при изучении этих понятий играют рассматриваемые примеры. Поэтому при изучении данной темы необходимо повторить свойства и графики основных элементарных функций.
В дифференциальном исчислении функции одной переменной изучаются понятия производной и дифференциала и их применения при исследовании функций.
Целью изучения элементов высшей алгебры является расширение понятия числа до множества комплексных чисел и применение теории комплексных чисел к отысканию корней многочленов.
В интегральном исчислении функции одной переменной изучаются понятия первообразной, неопределенного и определенного интеграла, с геометрическими и механическими приложениями определенного интеграла.
8
Глава 1. Элементы линейной алгебры
Исторически первым разделом линейной алгебры была теория линейных уравнений. В связи с решением линейных уравнений возникло понятие определителя. В 1750 г. было получено правило Крамера для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В 1849 г. был предложен метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
В связи с изучением систем линейных уравнений и их определителей появилось понятие матрицы. Понятие ранга матрицы, предложенное Г. Фробениусом в 1877 г., позволило получить условия совместности и определенности систем линейных уравнений. Тем самым в конце 19 в. было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.
Если в 18 и 19 вв. основное содержание линейной алгебры составляли системы линейных уравнений и теория определителей, то в 20 в. центральное положение занимает понятие арифметического пространства и связанные с ним понятия линейного оператора, квадратичной, билинейной и полилинейной функции на арифметическом пространстве, имеющие многочисленные приложения во многих областях науки.
1.1. Матрицы и действия над ними
1.1.1. Основные понятия
Определение 1.1.1. Матрицей размерности nm называется прямоугольная таблица чисел (или иных математических выражений) ),...,2,1,,...,2,1( njmiaij , состоящая из m
строк и n столбцов
njmia
aaa
aaa
aaa
A ij
mnmm
n
n
,1,,1||,||
...
...................
...
...
21
22221
11211
.
Числа ija , составляющие матрицу A , называются элементами матрицы. Первый индекс
i указывает номер строки, второй j – номер столбца, на пересечении которых расположен
элемент ija . Будем обозначать матрицы большими прописными буквами A, B, C и т. д.
Примеры 1.1.1.
1.
431
201A – матрица размерности 32 , а ее элементы равны:
4,3,1,2,0,1 232221131211 aaaaaa ;
2.
sincos
cossinB – матрица размерности 22 .
Определение 1.1.2. Матрицей-строкой называется матрица размерности n1 , матрицей-столбцом – матрица размерности 1m .
9
Примеры 1.1.2.
1. )4312( – матрица-строка размерности 41 ;
2.
2
1
x
x – матрица-столбец размерности 13 .
Определение 1.1.3. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов )( nm , называется квадратной матрицей порядка n . Для квадратной матрицы
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...................
...
...
21
22221
11211
вводятся понятия главной и побочной диагонали. Определение 1.1.4. Главной диагональю матрицы называется диагональ nnaaa ...2211 ,
соединяющая левый верхний угол матрицы с правым нижним. Побочной диагональю называется диагональ nnn aaa 12)1(1 ... , соединяющая правый верхний и левый нижний углы
данной матрицы.
Пример 1.1.3.
987
654
321
C – квадратная матрица третьего порядка.
Элементы 1,5,9 образуют главную диагональ, 3,5,7 – боковую диагональ. Определение 1.1.5. Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на
главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю:
1...000
...............
0...100
0...010
0...001
E . Например,
100
010
001
E – единичная матрица 3-го порядка.
Определение 1.1.6. Треугольной матрицей называется матрица, у которой ниже или выше главной диагонали стоят только нулевые элементы.
Определение 1.1.7. Элемент строки матрицы называется крайним, если он отличен от нуля, а все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю.
Определение 1.1.8. Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.
Пример 1.1.4.
0000
4000
1230
2101
A – ступенчатая матрица.
10
Определение 1.1.9. Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из одних нулей:
.
0...
.....
0...
0...
0
..
0
0
0
..
0
0
Определение 1.1.10. Матрицы A и B называются равными, если они одинаковой
размерности и их соответствующие элементы совпадают, т. е. ),1,,1( njmiba ijij .
Определение 1.1.11. Матрица ТA называется транспонированной к матрице A, если строками матрицы ТA являются столбцы матрицы A. Размерность матрицы ТA – mn .
Пример 1.1.5. Транспонировать матрицу
412
031A .
Решение. По определению, чтобы найти матрицу ТA , необходимо записать 1-ю и 2-ю строки матрицы A соответственно в 1-й и 2-й столбцы матрицы , ТA т. е.
40
13
21ТA .
1.1.2. Действия с матрицами Определение 1.1.12. Суммой матриц A и B размерности nm называется матрица
BAC размерности nm , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B :
).,1,,1( njmibac ijijij (1.1)
Определение 1.1.13. Произведением матрицы A на число называется матрица AC , полученная из матрицы A умножением всех ее элементов на число :
).,1,,1( njmiac ijij (1.2)
Пример 1.1.6. Даны матрицы
503
712
654
321
A ,
723
012
654
120
B .
Найти BA 43 .
Решение.
28812
048
242016
480
1509
2136
181512
963
723
012
654
120
4
503
712
654
321
343 BA
11
43821
2112
42528
5143
281580129
0214386
241820151612
498603
.
Определение 1.1.14. Произведением матрицы A размерности nm на матрицу B размерности pn называется матрица С = А × В размерности pm , каждый элемент
которой ijc , стоящий в i -й строке и j -м столбце, равен сумме попарных произведений
соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j -го столбца матрицы B :
).,1,,1(1
pjmibac kjik
n
kij
(1.3)
Пример 1.1.7. Найти BA .
,346
123
A
2345
5221
4764
B .
Решение. По определению, для произведения матриц необходимо, чтобы число столбцов левой матрицы было равно числу строк правой матрицы. Матрица A имеет размерность 32 (3 столбца), матрица B – 43 (3 строки), значит произведением этих матриц является матрица размерности 42 :
2345
5221
4764
346
123BA
2)3(54463)3(24)7(64)3(24665)3()1(446
2152433122)7(341226351)1(243
10414043
24142615.
Ответ:
10414043
24142615BA .
Свойства операций над матрицами: 1. ABBA – коммутативность сложения (переместительное свойство);
2. )()( CBACBA – ассоциативность сложения (сочетательное свойство); 3. )()( AA – сочетательное свойство; 4. AAA )( – распределительное свойство относительно сложения чисел; 5. BABA )( – распределительное свойство относительно сложения матриц; 6. )()( CBACBA – ассоциативность умножения (сочетательное свойство);
7. ACABCBA
BCACCBA
)(
)( – распределительное свойство.
Пример 1.1.8. Вычислить произведение матриц
1
3
22
11
22
206
343
232
111
.
12
Решение. Так как CBACBA )( или )( CBACBA , найдем произведение
.
88
44
33
11
2210)2(62210)2(6
2314)2(32314)2(3
2213)2(22213)2(2
2111)2(12111)2(1
22
11
22
206
343
232
111
Умножим полученную матрицу
88
44
33
11
на матрицу :1
3
32
16
12
4
1838
1434
1333
1131
1
3
88
44
33
11
.
Определение 1.1.15. Матрицы называются перестановочными, если BAAB . Замечание. Вообще говоря, ABBA (произведение матриц некоммутативно), т. е.
менять матрицы в произведении местами нельзя, т. к. может измениться результирующая матрица. Кроме того, часто бывает так, что произведение матриц AB определено, а произведение матриц ВА нет.
Пример 1.1.9. Даны матрицы
453
121A и
63
52
41
B . Найти произведение матриц
BA и AB .
1.
6125
208
645543342513
615241312211
63
52
41
453
121BA .
2.
273621
222917
172213
461356233613
451255223512
441154213411
453
121
63
52
41
AB .
Таким образом, в данном случае ABBA .
1.2. Определители матриц
1.2.1. Определители 2-го и 3-го порядков
Определение 1.2.1. Определителем второго порядка квадратной матрицы
2221
1211
aa
aaA называется число
211222112221
1211det aaaaaa
aaA . (1.4)
13
Эта формула представляет собой правило вычисления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы: определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на ее побочной диагонали.
Пример 1.2.1. Вычислить определитель .72
43
Решение.
29)8(212)4(7372
43
.
Пример 1.2.2. Вычислить определитель .sincos
cossin
Решение.
1cossincos)cos(sinsinsincos
cossin 22
.
Определение 1.2.2. Определителем третьего порядка квадратной матрицы
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A называется число
.det 332112113223312213312312133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A (1.5)
Определители 3-го порядка можно вычислять, используя правило треугольников (правило Саррюса). Одно из трех слагаемых, входящих в сумму со знаком плюс, есть произведение элементов главной диагонали матрицы A , каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемые, входящие в формулу со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно побочной диагонали (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Иллюстрация правила треугольников
Пример 1.2.3. Вычислить определитель
203
612
543
.
Решение.
.109016150726
3062)2(431)5()5(0)2(364213
203
612
543
14
1.2.2. Определители n-го порядка
Пусть даны n элементов naaa ,...,, 21 (например, это могут быть числа 1, 2, 3,…, n ).
Перестановкой этих элементов называется любое их расположение в определенном порядке. Всего из n элементов можно составить nn ...21! перестановок. Перестановку будем в дальнейшем обозначать одной буквой (например, ). Тогда )(k будет означать k -й элемент
перестановки. Если какая-нибудь пара ),( ki aa элементов перестановки расположена в ней
так, что элемент с большим номером стоит раньше элемента с меньшим номером, то говорят, что эти элементы образуют инверсию. Перестановки с четным числом инверсий называются четными, а перестановки с нечетным числом инверсий – нечетными перестановками. Например, перестановка )2,3,1,4( является четной, т. к. она имеет четыре инверсии:
),3,4(),1,4( )2,3(),2,4( . Определение 1.2.3. Определителем n -го порядка квадратной матрицы
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
..................
...
...
21
22221
11211
называется число
)()2(2)1(1)(
21
22221
11211
...)1(
...
.................
...
...
det nnS
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
, (1.6)
где )(S – число инверсий перестановки , а сумма берется по всем перестановкам из n элементов. Таким образом, в этой сумме !n слагаемых, каждое из которых является, с точностью до знака, произведением n элементов матрицы A . Причем в каждое произведение входит ровно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Каждое из этих произведений входит в указанную сумму со знаком, определяемым числом инверсий перестановки, составленной из вторых индексов (номеров столбцов) при условии, что первые индексы (номера строк) записаны в порядке возрастания (1, 2, 3,…, n ).
Определение 1.2.4. Пусть A – квадратная матрица n -го порядка:
.
...
..................
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Минором ijM элемента ija определителя Adet матрицы A называется определитель )1( n
порядка, полученный из определителя Adet вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент ija .
Определение 1.2.5. Алгебраическим дополнением элемента ija матрицы A n -го
порядка называется число .)1( ijji
ij MA
Пример 1.2.4. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов 131211 ,, aaa
матрицы
15
987
654
321
A .
Решение. 3)3(1)1(,3484598
6511
111111
MAM ,
66)1()1(,6423697
6412
211212
MAM ,
3)3(1)1(,3353287
5413
311313
MAM .
Теорема 1.2.1. (разложение определителя по элементам строки или столбца). Каков
бы ни был номер столбца ),1( njj , верна формула:
kjkj
n
kkjkj
n
k
jk
nnnn
n
n
AaMa
aaa
aaa
aaa
A
11
21
22221
11211
)1(
...
...................
...
...
det (1.7)
(это формула – разложение определителя по j -му столбцу).
Каков бы ни был номер строки ),1( nii , верна формула:
ikik
n
kikik
n
k
ki
nnnn
n
n
AaMa
aaa
aaa
aaa
A
11
21
22221
11211
)1(
...
...................
...
...
det (1.8)
(это формула – разложение определителя по i -ой строке).
Пример 1.2.5. Вычислить определитель .
1654
0312
4321
dcba
Решение. Разложим определитель по элементам 2-й строки:
24
4223
3222
2221
12 )1()1()1()1(
1654
0312
4321
MdMcMbMadcba
654
312
321
154
012
421
164
032
431
165
031
432
dcba
16
(Миноры 232221 ,, MMM и 24M получаются из исходного определителя вычеркиванием 2-й
строки и 1,2,3,4 столбца соответственно)
.51299993
)24151224306()40160401(
)60480483()30600246(
dcba
dc
ba
Ответ: .51299993 dcba
Пример 1.2.6. Вычислить определитель
03100
17000
11056
11021
25040
.
Решение. Найдем строку или столбец, содержащий больше всего нулевых элементов (для того, чтобы было как можно меньше вычислений) и разложим определитель по этой строке или столбцу. Видим, что 3-й столбец содержит только один ненулевой элемент, поэтому разложим определитель пятого порядка по 3-му столбцу:
1700
1156
1121
2540
1700
1156
1121
2540
)1()1(0000 5343332313
AAAA .
Вычисление алгебраических дополнений 43332313 ,,, AAAA не имеет смысла, так как умножение на 0 любого действительного числа дает 0.
После разложения определителя по 3-му столбцу получили один определитель 4-го порядка, т. е. понизили порядок определителя. В получившемся определителе 4-я строка содержит два нулевых элемента. Разложим определитель по этой строке:
.
156
121
540
156
121
240
7
156
121
540
)1(1
156
121
240
)1(700 44344241
AA
Получили два определителя 3-го порядка. Вычислим их по правилу треугольника.
.710598)046025240()402410240(7
Ответ: .7
1.2.3. Свойства определителей
1. Определитель матрицы A равен определителю транспонированной матрицы TA : ТAA detdet (это свойство означает равноправность строк и столбцов).
17
2. Если две строки (столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак.
3. Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны или равны, то определитель равен нулю.
4. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число (т. е. общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя), например,
333231
232221
131211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
k
kakaka
aaa
aaa
akaa
akaa
akaa
A .
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т. е. BABA detdet)det( .
7. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы какой-либо другой строки (столбца), умноженные на произвольное число, то определитель не изменится. Например,
33323231
23222221
13121211
333231
332332223121
131211
333231
232221
131211
det
aakaa
aakaa
aakaa
aaa
kaakaakaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
.
8. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т. е.
nn
nn
nn
nn
aaa
a
aaa
aaaa
A
...
0...00
.............................
...0
...
det 22112)1(222
1)1(11211
.
Замечание. Один из методов вычисления определителей основан на применении 2-го, 7-го и 8-го свойств. С помощью свойств 2 и 7 приводим определитель к треугольному виду и, применяя свойство 8, вычисляем его.
Пример 1.2.7. Вычислить определитель
2236
43516
2138
1124
det
A .
Вынесем по свойству 4 общий множитель 1-го столбца за знак определителя
2233
4358
2134
1122
2
.
18
Сначала получим нули в 1-м столбце. Для этого вычтем из первой строки четвертую:
.
2233
4358
2134
1111
2
Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на 4; к третьей строке первую строку, умноженную на 8; к четвертой строке первую строку, умноженную на 3:
.
1100
4530
2310
1111
2
Теперь получим нули во втором столбце ниже главной диагонали. Для этого прибавим к третьей строке вторую, умноженную на –3:
1100
2400
2310
1111
2
.
Поменяем местами третью и четвертую строки, при этом по свойству 2 необходимо поменять знак определителя на противоположный:
2400
1100
2310
1111
2
.
Получим нуль в третьем столбце ниже главной диагонали, для чего прибавим к четвертой строке третью, умноженную на 4:
2000
1100
2310
1111
2
.
Привели определитель к треугольному виду и по свойству 8 окончательно получим
4)2(1)1()1(2det A . Ответ: 4det A .
1.3. Ранг матрицы
Определение 1.3.1. Минором k-го порядка kM матрицы A называется определитель,
составленный из элементов матрицы A , расположенный на пересечении каких-либо k строк и k столбцов (не путать с минором ijM элемента ija ).
19
Пример 1.3.1. Найти все миноры второго порядка матрицы
654
321A .
Решение. Составим минор второго порядка из элементов, стоящих на пересечении 1-й и 2-й строк и 1-го и 2-го столбцов
38554
212 M .
Возьмем 1-ю и 2-ю строки и 1-й и 3-й столбцы
612664
312 M .
Составим последний минор второго порядка. Возьмем 1-ю и 2-ю строки и 2-й и 3-й столбцы
3151265
322 M .
Других миноров второго порядка нет, так как перебрали все возможные комбинации двух строк и двух столбцов.
Определение 1.3.2. Минор матрицы A , отличный от нуля, максимально возможного порядка называется базисным минором A .
Определение 1.3.3. Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными строками и столбцами.
Определение 1.3.4. Порядок r базисного минора матрицы A называется рангом матрицы A . Обозначается: rgA или rangA . Ранг нулевой матрицы равен 0.
Рассмотрим два метода нахождения ранга матрицы.
1.3.1. Метод окаймляющих миноров 1. Минор 1M – это некоторый элемент ija матрицы A . Если матрица A ненулевая
(т. е. не все ее элементы равны нулю), то 1rgA . 2. Находим миноры 2M второго порядка, содержащие 01 M (окаймляющие 1M ) до
тех пор, пока не найдется минор 02 M . Если такого минора нет, то 1rgA . Если есть, 2rgA и т. д.
3. Находим миноры k-го порядка, окаймляющие 1kM . Если таких миноров нет, или
они все равны нулю, то 1 krgA ; если есть, то krgA , и процесс продолжается. Замечание. Недостаток метода в том, что требуется вычисление большого числа
определителей. Пример 1.3.2. Найти ранг матрицы
51005
7421
3110
A .
Решение. В качестве минора первого порядка возьмем элемент
02221 aM .
Найдем минор второго порядка, окаймляющий 22a и отличный от нуля (если таковой найдется)
20
011021
102
M .
Найдем минор третьего порядка, окаймляющий 2M
0010100200
1005
421
110
3
M .
Находим следующий минор третьего порядка
005300350
505
721
310
3
M .
Других миноров третьего порядка, окаймляющих 2M , нет. Получили, что 02 M , а все
03 M , следовательно, 2rgA . 1-я и 2-я строки и 1-й и 2-й столбцы являются базисными,
так как на их пересечении стоят элементы, из которых составлен найденный минор 02 M . Ответ: 2rgA .
1.3.2. Метод элементарных преобразований Определение 1.3.5. Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы
называют: 1. Перестановку местами строк (столбцов) матрицы; 2. Умножение строки (столбца) на любое отличное от нуля число; 3. Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на
любое число. Теорема 1.3.1. Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы не меняют ее
ранг. Следствие. Если с помощью элементарных преобразований строк (столбцов) привести
матрицу к ступенчатому виду, то количество ненулевых строк (столбцов) равно рангу матрицы.
Пример 1.3.3. Найти ранг матрицы
51005
7421
3110
A .
Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Для этого сначала поменяем 1-ю и 2-ю строки местами и умножим 3-ю строку на 1/5
1201
3110
7421
.
Преобразуем первый столбец. Вычтем из 3-й строки 1-ю
6220
3110
7421
.
21
Умножим вторую строку на 1 , а третью на 2/1
3110
3110
7421
.
Вычтем из 3-й строки 2-ю
0000
3110
7421
.
Привели матрицу к ступенчатому виду. Получили две ненулевые строки (две ступени), 2rgA . Ответ: 2rgA .
1.4. Обратная матрица
Определение 1.4.1. Матрица 1A называется обратной к квадратной матрице A , если
EAAAA 11 , где E – единичная матрица.
Определение 1.4.2. Если 0det A , то матрица A называется невырожденной. Теорема 1.4.1. Если матрица A невырождена ( 0det A ), то существует единственная
матрица 1A , обратная к данной. Пример 1.4.1. Доказать, что матрица B является обратной к матрице A
242927
344138
111
,
325
436
752
BA .
Решение. Для доказательства, по определению, достаточно найти произведения BA и AB , и показать, что они равны E .
,
100
010
001
726858782581765
96102611612361081146
168170220320521891902
24)3()34()2(15)29()3(41)2()1(527)3()38()2(15
244)34(316)29(4413)1(6274)38(316
247)34(512)29(7415)1(2277)38(512
242927
344138
111
325
436
752
E
BA
22
.
100
010
001
72116189488713512017454
1021642666812319017024676
347235562
)3(244)29(727)2(243)29(5275246)29(227
)3()34(4417)38()2()34(3415)38(5)34(6412)38(
)3(14)1(71)2(13)1(51516)1(21
325
436
752
242927
344138
111
E
AB
Следовательно, EABBA и, таким образом, 1 AB – обратная к A матрица.
1.4.1. Метод присоединенной матрицы
Определение 1.4.3. Присоединенной матрицей A~
называется матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы, транспонированной к матрице A
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
...
.....................
...
...
~
21
22212
12111
,
где ijji
ij MA )1( – алгебраические дополнения элементов матрицы A .
Теорема 1.4.2. Если 0det A , то обратная матрица 1A находится по формуле:
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AA
AA
...
.....................
...
...
det
1~
det
1
21
22212
12111
1 . (1.9)
Пример 1.4.2. Найти матрицу, обратную к матрице .
351
493
372
A
Решение. Найдем определитель матрицы:
,01183514)915(3)49(7)2027(2
51
93)1(3
31
43)1(7
35
49)1(2
351
493
372
det 312111
A
следовательно, матрица A невырожденная и имеет обратную. Вычислим алгебраические дополнения:
,149
37)1(,6
35
37)1(,7
35
49)1( 4
313
212
11 AAA
23
,143
32)1(,3
31
32)1(,5
31
43)1( 5
324
223
12 AAA
.393
72)1(,3
51
72)1(,6
51
93)1( 6
335
234
13 AAA
Тогда согласно формуле (1.9)
.
336
135
167
336
135
167
1
11
332313
322212
312111
1
AAA
AAA
AAA
A
Для проверки правильности вычислений нужно найти произведение 1 AA и AA 1 . Если EAAAA 11 , то обратная матрица 1A найдена верно.
1.4.2. Решение матричных уравнений
Найдем решение матричных уравнений BXA и BAX , (1.10)
где A – данная квадратная матрица n-го порядка; B – данная матрица размерности mn для первого уравнения и размерности nm для второго, X – неизвестная матрица размерности mn для первого уравнения и размерности nm для второго.
Если 0det A , то существует единственная обратная матрица 1A . Так как по определению обратной матрицы EAAAA 11 , то умножая обе части первого уравнения слева, а второго уравнения справа на обратную матрицу 1A , получим
.
,1111
1111
ABXABEXABAAXBAX
BAXBAXEBAXAABXA (1.11)
Пример 1.4.3. Решить матричное уравнение
95
53
43
21X .
Решение. Найдем обратную к A матрицу уравнения BXA . Вычислим определитель матрицы:
,02324143
21det A
следовательно, матрица A невырожденная и имеет обратную. Вычислим алгебраические дополнения:
11)1(,33)1(,22)1(,44)1( 422
312
321
211 AAAA .
Тогда
.2/12/3
12
13
24
2
11~
2212
21111
AA
AAAA
Таким образом, применяя первую формулу (1.11), получим решение
32
119
2
15
2
35
2
13
2
391525132
95
53
2/12/3
121 BAX .
Ответ:
32
11X .
24
1.5. Пространство арифметических векторов
Определение 1.5.1. Всякая упорядоченная совокупность из n действительных чисел называется арифметическим вектором и обозначается
),...,,( 21 nxxxx .
Числа nxxx ...,,, 21 называются компонентами арифметического вектора x .
Определение 1.5.2. Cуммой двух арифметических векторов ),...,,( 21 nxxxx и
),...,,( 21 nyyyy называется вектор
),,...,,( 2211 nn yxyxyx yx
а произведением арифметического вектора ),...,,( 21 nxxxx на любое число называется
вектор ),...,,( 21 nxxx x .
Определение 1.5.3. Пространством арифметических векторов nR называется
множество всех арифметических n -компонентных векторов nixxxx in ,1,),...,,( 21 Rx ,
с введенными выше операциями сложения и умножения на число. Определение 1.5.4. Система арифметических векторов sxxx ...,,, 21 называется
линейно зависимой, если найдутся числа s ,...,, 21 не равные одновременно нулю, такие,
что 0 ss xxx ...2211 (где 0)0,...,,0(0 – нулевой вектор). В противном случае эта
система называется линейно независимой. Определение 1.5.5. Пусть Q – произвольное множество арифметических векторов.
Система векторов seee ...,,, 21Β называется базисом в Q , если выполнены следующие
условия: 1. Qe k , sk ,..,2,1 .
2. Система seee ...,,, 21Β линейно независима.
3. Для любого вектора Qx найдутся числа s ,...,, 21 такие, что
s
kk
1
ex k – разложение вектора x по базису Β .
Коэффициенты s ,...,, 21 однозначно определяются вектором x и называются
координатами этого вектора в базисе Β . Теорема 1.5.1. Всякая система векторов nRQ имеет по крайней мере один базис. Все
базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q и обозначаемого Qrang или Qrg . Ранг всего пространства nR равен n и называется размерностью пространства.
Каноническим базисом nR называется следующая система:
.1...,,0,0,0
.........................
,0...,,1,0,0
,0...,,0,1,0
,0...,,0,0,1
3
2
1
ne
e
e
e
25
Пусть neee ,...,, 21Β и neee ,...,, 21Β – два различных базиса пространства nR .
Каждый вектор второго базиса Β разложим по векторам первого базиса Β :
.....
.......................................
,...
,...
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
ttt
ttt
ttt
eeee
eeee
eeee
Определение 1.5.6. Матрица
,
...
............
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
ttt
ttt
ttt
T
k -м столбцом которой является координаты вектора ke в базисе Β , называется матрицей
перехода от первого базиса Β ко второму базису Β . Координаты ),...,,( 21 nxxx вектора x в базисе Β и его координаты ),...,,( 21 nxxx в базисе
Β связаны между собой соотношением
nn x
x
x
T
x
x
x
......2
1
2
1
,
которое в покоординатном виде запишется так:
....
........................................
,...
,...
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xtxtxtx
xtxtxtx
xtxtxtx
Пример 1.5.1. Найти координаты вектора x в базисе 321 ,, eee , если он задан в базисе
321 ,, eee :
).8,4,1(;
,4
3
,3
3213
212
3211
xeeee
eee
eeee
Решение. Координаты вектора в двух базисах связаны системой уравнений:
.83
,4
,14
3
31
321
321
xx
xxx
xxx
Решая эту систему (см. п. 1.6), получаем .8 12, 0, 321 xxx
Ответ: )80;12;( x .
26
1.6. Системы линейных уравнений
1.6.1. Основные понятия
Определение 1.6.1. Система уравнений вида
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
........................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
(1.12)
называется системой m линейных уравнений с n неизвестными nxxx ,...,, 21 .
Коэффициенты mnaaa ,...,, 1211 уравнений системы можно записать в виде матрицы
,
...
...................
...
...
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
которая называется главной матрицей системы. Числа mbbb ,...,, 21 , стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец свободных
элементов
mb
b
b
B....
2
1
;
nx
x
x
X....
2
1
– столбец неизвестных. Главная матрица системы,
дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и обозначается
.....
...
........
...
...
..........2
1
2
1
2
22
12
1
21
11
mmn
n
n
mm b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
Определение 1.6.2. Если все свободные элементы ),1( mibi равны нулю, то система
называется однородной, в противном случае неоднородной. Определение 1.6.3. Упорядоченный набор n чисел ),...,,( 21 n называется решением
системы (1.12), если каждое уравнение системы обращается в истинное равенство после
подстановки в него чисел i вместо соответствующих неизвестных nixi ,1, .
Определение 1.6.4. Система уравнений (1.12) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.
Определение 1.6.5. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают, т. е. каждое решение первой системы является решением второй и, наоборот, каждое решение второй системы является решением первой.
Определение 1.6.6. Если совместная система уравнений имеет единственное решение, то она называется определенной, если бесконечное множество решений, то неопределенной.
27
Критерием совместности системы линейных уравнений служит Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений (1.12)
была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ArgrgA . Замечание.
1. Если nArgrgA , где n – число неизвестных системы, то решение системы (1.12) единственно.
2. Если nArgrgA , то система (1.12) имеет бесчисленное множество решений. Определение 1.6.7. Переменные, соответствующие базисным столбцам матрицы A
совместной системы уравнений, называются базисными, а остальные свободными. Определение 1.6.8. Решение неопределенной системы уравнений, в котором базисные
переменные выражены через свободные, называется общим решением. Если подставить численные значения свободных переменных, то получим частное решение.
Решение систем линейных уравнений можно находить: по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); методом Гаусса.
1.6.2. Правило Крамера
Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными
....
......................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(1.13)
Если главный определитель системы (определитель главной матрицы системы A ) 0det A , то система (1.13) имеет единственное решение, которое по правилу Крамера
определяется формулами
),,1(, nix ii
(1.14)
где i – определители, получающиеся из главного определителя заменой i -го столбца
столбцом свободных членов.
Пример 1.6.1. Решить систему
52
,7623
,285
321
321
321
xxx
xxx
xxx
по правилу Крамера.
Решение. Вычислим главный определитель системы:
.0107)43()123(8)62(5
12
23)1(1
12
63)1(8
11
62)1(5
112
623
185432
Так как 0 , система линейных уравнений имеет единственное решение. Составим и вычислим вспомогательные определители: определитель 1 получается из главного заменой первого столбца столбцом свободных членов:
28
.321)107()307(8)62(2
15
27)1(1
15
67)1(8
11
62)1(2
115
627
182432
1
Определитель 2 получается из главного определителя заменой второго столбца столбцом свободных членов:
.214)1415()123(2)307(5
52
73)1(1
12
63)1(2
15
67)1(5
152
673
125432
2
Определитель 3 получается из главного определителя заменой третьего столбца
столбцом свободных членов:
.107)43(2)1415(8)710(5
12
23)1(2
52
73)1(8
51
72)1(5
512
723
285432
3
Тогда
.1107
107,2
107
214,3
107
321 33
22
11
xxx
Ответ: .
1
2
3
X
1.6.3. Матричный метод
Систему (1.13) n линейных уравнений с n неизвестными можно записать в матричном виде:
BAX . (1.15)
Если 0det A , то система (1.13) имеет единственное решение (см п. 1.4.2 формула (1.11))
BAX 1 , (1.16)
где 1A – матрица, обратная к матрице A .
Пример 1.6.2. Решить систему уравнений
54
,124
,732
21
321
321
xx
xxx
xxx
матричным методом. Решение. Вычислим главный определитель системы:
,0212100)14(4)46(1
41
32)1(0
21
12)1(4
24
13)1(1
041
241
132332313
29
следовательно, главная матрица системы A невырожденная и имеет обратную матрицу 1A . Значит, система имеет единственное решение, которое средствами матричного исчисления ищется в виде BAX 1 . Составим обратную матрицу 1A . Найдем алгебраические дополнения ijA элементов матрицы A :
.1141
32)1(,5
41
32)1(,8
41
41)1(
,321
12)1(,1
01
12)1(,2
01
21)1(
,1024
13)1(,4
04
13)1(,8
04
24)1(
633
523
413
532
422
312
431
321
211
AAA
AAA
AAA
Тогда
.
2
1
1
4
2
2
2
1
5115178
531127
5101478
2
1
5
1
7
1158
312
1048
2
1
,
1158
312
1048
2
11
1
332313
322212
3121111
BAX
AAA
AAA
AAA
A
Ответ: .
2
1
1
X
1.6.4. Метод Гаусса
Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для того чтобы решить систему уравнений (1.12) или (1.13), записывают расширенную матрицу этой системы:
mmn
n
n
mm b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A....
...
........
...
...
..........2
1
2
1
2
22
12
1
21
11
,
затем со строками матрицы A проводят элементарные преобразования: 1. Изменяют порядок строк (что соответствует изменению порядка уравнений); 2. Умножают строки на любые отличные от нуля числа (что соответствует
умножению соответствующих уравнений на эти числа); 3. Прибавляют к любой строке матрицы A любую другую ее строку, умноженную на
любое число (что соответствует прибавлению к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на это число).
При элементарных преобразованиях получается система, равносильная исходной. С помощью таких преобразований приводят матрицу к ступенчатому виду. Эта часть метода Гаусса называется прямым ходом. Затем записывают систему линейных уравнений, соответствующую ступенчатой матрице, и, начиная с последнего уравнения системы, находят ее решение. Это обратный ход метода Гаусса.
30
Нужно отметить, что элементарные преобразования со строками не меняют ранг матрицы; ранг ступенчатой матрицы, полученной в результате элементарных преобразований строк, равен максимальному числу ненулевых строк (см. п. 1.3.2).
Пример 1.6.3. Исследовать совместность системы уравнений
62233
,124358
,6234
,422
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
и решить ее методом Гаусса. Решение. Запишем расширенную матрицу системы, состоящую из коэффициентов при
неизвестных и столбца свободных членов
6
12
6
4
2233
4358
2134
1122
A .
С помощью элементарных преобразований со строками преобразуем A к треугольному виду. Сначала получим нули в первом столбце. Для этого вычтем из первой строки четвертую:
.
6
12
6
2
2233
4358
2134
1111
Умножим первую строку на 4 и прибавим полученную строку ко второй; умножим первую строку на 8 и прибавим к третьей строке; умножим первую строку на 3 и сложим с четвертой строкой:
.
0
4
2
2
1100
4530
2310
1111
Теперь получим нули во втором столбце ниже главной диагонали, для этого умножим вторую строку на –3 и сложим с третьей строкой:
0
2
2
2
1100
2400
2310
1111
.
Поменяем местами третью и четвертую строки:
2
0
2
2
2400
1100
2310
1111
.
31
Получим нуль в третьем столбце ниже главной диагонали, для чего умножим третью строку на 4 и сложим с четвертой строкой:
2
0
2
2
2000
1100
2310
1111
.
Ранг главной матрицы
2000
1100
2310
1111
равен 4, так как в матрице есть минор 4-го порядка,
отличный от нуля, а миноров более высокого порядка нет (иначе: максимальное число ненулевых строк этой матрицы равно четырем).
Итак, 4rgA .
Ранг расширенной матрицы
2
0
2
2
2000
1100
2310
1111
также равен 4.
Так как nArgrgA 4 , то по теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение. Найдем его. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной треугольной матрице:
.22
,0
,223
,2
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
Из последнего уравнения системы найдем 14 x . Подставим это значение в третье
уравнение системы: 1,01 33 xx . Подставим 4x и 3x во второе уравнение системы:
1,223 22 xx . Подставим 32 , xx и 4x в первое уравнение системы:
1,2111 11 xx .
Ответ: 1,1,1,1 X . Пример 1.6.4. Найти общее решение неоднородной системы уравнений
2. 2 263
,1 3
,0 32
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
Решение. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
1
2
1
54130
13130
11131
2
1
0
21263
11131
11132
32
.
1
2
1
41000
13130
11131
Из последней, ступенчатой матрицы видно, что 1, 2 и 4-й столбцы базисные, поэтому
421 ,, xxx – базисные переменные, а остальные 53 , xx – свободные. Найдем общее решение,
т. е. выразим базисные переменные через свободные. Перенося свободные переменные в правую часть, получим равносильную систему
.14
,233
,13
54
5342
53421
xx
xxxx
xxxxx
Положим 2513 , CxCx , где 21, CC – произвольные действительные числа. Тогда
.3811451113
,3
511
5112143233
,14
22122153421
212
212125342
24
CCCCCCxxxxx
CCx
CCCCCxxxx
Cx
Таким образом, общее решение имеет вид
.,14,,3
511,38 252413
21221 CxCxCx
CCxCx
Ответ: .,14,,3
511,38 221
212
CCC
CCC
1.6.5. Однородные системы линейных уравнений Однородная система 0 XA всегда совместна, так как имеет тривиальное решение
0X . Теорема 1.6.1. Для существования нетривиального решения однородной системы
необходимо и достаточно, чтобы nrgAr (при nm это условие означает, что 0det A ). Определение 1.6.9. Пусть Q – множество всех решений однородной системы. Всякий
базис в множестве Q состоит из ( rn ) векторов rneee ,...,, 21 . Соответствующая ему в
каноническом базисе (см. п. 1.5) система вектор-столбцов rnEEE ,...,, 21 называется
фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы имеет вид
rnrn ECECECX ...2211 . (1.17)
Замечание. Базисные решения rnEEE ,...,, 21 можно получить, если свободным
неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равным 0.
33
Пример 1.6.5. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы уравнений
.0 91253
,0 2 543
,0 5 432
,0 5432
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
Решение. Запишем основную матрицу системы (выписывать расширенную матрицу не имеет смысла, так как столбец свободных элементов нулевой и при элементарных преобразованиях строк свой вид не изменит) и приведем ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду
.
00000
55000
93210
54321
55000
55000
93210
54321
48210
1311420
93210
54321
912531
21543
15432
54321
Запишем систему уравнений, соответствующую полученной ступенчатой матрице,
.0 55
,0 932
,0 5432
54
5432
54321
xx
xxxx
xxxxx
Мы видим, что число свободных неизвестных равно 2=5–3. Следовательно, размерность пространства решений системы равна двум. Выражая базисные переменные 421 ,, xxx через
свободные 53 , xx , получим
.
,923
,5342
54
5342
53421
xx
xxxx
xxxxx
Положив 13 x и 05 x , найдем 1,2,0 124 xxx , следовательно, первым базисным
решением является решение .)0,0,1,2,1( Аналогично, положив 03 x и 15 x , получим
второе базисное решение: (15,–12,0,1,1). Таким образом, в качестве базиса можно взять решения: (1,–2,1,0,0) и (15,–12,0,1,1). Следовательно, фундаментальная система решений и общее решение имеют вид
2
2
1
21
21
221121
122
15
,
1
1
0
12
15
,
0
0
1
2
1
C
C
C
CC
CC
ECECXEE .
34
1.6.6. Структура общего решения неоднородной системы уравнений
Теорема 1.6.2. Если задана неоднородная система BAX , то ее общее решение может быть найдено как сумма общего решения соответствующей однородной системы 0AX и произвольного частного решения неоднородной системы
.... нчоо XXX . (1.18)
В примере 1.6.4 найдено общее решение
221
212 ,14,,
3
511,38 CCC
CCCX
неоднородной системы уравнений
2. 2 263
,1 3
,0 32
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
Представим его в виде
0,1,0,
3
5,3,4,,
3
11,8 221
212 CCC
CCCX .
По теореме 1.6.2 общее решение соответствующей однородной системы
221
212.. ,4,,
3
11,8 CCC
CCCX оо ,
частное решение неоднородной системы
0,1,0,
3
5,3..нчX .
1.7. Линейные пространства
Определение 1.7.1. Множество L называется линейным пространством, а его элементы векторами, если на этом множестве заданы операции сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие для любых Lyx z,, и любых чисел
и следующим свойствам: 1. xyyx .
2. )()( zyxzyx .
3. Существует нуль-элемент L0 такой, что для любого элемента Lx : xx 0 ; 4. Для любого Lx существует противоположный элемент – Lx такой, что
0 )( xx . 5. yxyx )( . 6. xxx )( . 7. xx )()( . 8. Произведение любого Lx на число 1 равно элементу x , т. е. xx 1 .
35
Пример 1.7.1. Проверить, являются ли следующие множества линейными пространствами:
а) множество nR всех арифметических n -компонентных векторов ),...,,( 21 nxxxx ,
nixi ,1, R ;
б) множество mnM , всех матриц размера nm ;
в) множество всех геометрических векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой.
Решение. а) На множестве nR операции сложения элементов и умножения элемента на число
определены в п. 1.5 данного пособия. Проверим выполнение свойств 1–8 из определения линейного пространства: 1. xyyx ),...,,(),...,,( 22112211 nnnn xyxyxyyxyxyx ;
2. ),...,,( 2211 nn yxyxyx yx ,
),...,,( 2211 nn zyzyzy zx ,
),,...,,()( 222111 nnn zyxzyxzyx zyx
),,...,,(( 222111 nnn zyxzyxzyx z)yx
Таким образом, ).()( zyxzyx
3. Нуль – элементом является 0=(0,0,...,0). Действительно, .)0,...,0,0( 21 xx nxxx0
4. Элемент ),...,,( 21 nxxx x является противоположным к элементу
),...,,( 21 nxxxx , так как ),...,,()( 21 nxxxxx .)0,...,0,0(),...,,( 21 0 nxxx
5. ),...,,()( 2211 nn yxyxyx yx ),...,,( 2211 nn yxyxyx
.),...,,(),...,,( 2121 yx nn yyyxxx
6. ))(,...,)(,)(()( 21 nxxx x
),...,,( 2211 nn xxxxxx xx ),...,,(),...,,( 2121 nn xxxxxx .
7. .)(),...,,(),...,,()( 2121 xx nn xxxxxx
8. .),...,,()1,...,1,1(1 2121 xx nn xxxxxx
Таким образом, множество nR является линейным пространством. б) Рассмотрим множество mnM , всех матриц размера nm ( m – строк и n – столбцов).
Пусть ,,, ,nmMBA – некоторые действительные числа.
1. Так как суммой двух матриц A и B размера nm является матрица BAC размера nm , то на множестве mnM , определена операция сложения элементов.
2. Произведением матрицы A размера nm на число является матрица AC размера nm , значит на множестве mnM , определена операция умножения элемента на
число. 3. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют свойствам 1–8 (см. п. 1.1). Итак, множество mnM , является линейным пространством.
в) Рассмотрим множество Q всех геометрических векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой l :
36
Рис. 1.2. Сумма векторов
Найдем сумму векторов x и y , принадлежащих этому множеству Q по правилу параллелограмма. Так как конец вектора yx не лежит на прямой l , то для
QyxQyx , . Следовательно, множество Q не является линейным пространством. Определение 1.7.2. Векторы uzyx ,...,,, линейного пространства L называются
линейно зависимыми, если найдутся такие числа ,,...,,, не равные нулю одновременно и такие, что линейная комбинация этих векторов с коэффициентами .... 0 uzyx
Если равенство 0 uzyx ... выполняется тогда и только тогда, когда 0... , то векторы uzyx ,...,,, называются линейно независимыми.
Определение 1.7.3. Упорядоченная система векторов ),...,,( 21 nlll называется базисом
линейного пространства L , если: 1. Векторы nlll ,...,, 21 линейно независимы;
2. Для любого Lx найдутся такие числа nxxx ,...,, 21 , что
ii
n
inn xxxx llllx
12211 ... (1.19)
Формула (1.19) называется разложением вектора x по базису ),...,,( 21 nlll , а числа
nxxx ,...,, 21 – координатами вектора x в указанном базисе.
Отметим, что в выбранном базисе координаты вектора x определяются однозначно. Определение 1.7.4. Линейное пространство L , в котором существует базис из n
векторов, называют n -мерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.
Пример 1.7.2. Доказать, что векторы ),...,0,...,0,1,0(),0,...,0,0,1( 21 ll )1,...,0,0,0(nl
образуют базис линейного пространства nR . Решение. а) Докажем, что векторы nlll ,...,, 21 – линейно независимы.
Рассмотрим линейную комбинацию этих векторов с коэффициентами n ,...,, 21 :
),0,...,0,0,0(),...,,(,),...,,(
)1,...0,0,0(...)0,...,0,1,0()0,...,0,0,1(...
2121
212211
nn
nnn
0
lll
.0
...........
,0
,0
2
1
n
Это означает, что nlll ,...,, 21 – линейно независимы.
37
б) Любой вектор ),...,,( 21 nxxxx пространства nR можно представить в виде
)0,...,0,1,0()0,...,0,0,1(),...,,( 2121 xxxxx nx ....)1,...,0,0,0(... 2211 nnn xxxx lll Таким
образом, любой вектор x представим в виде линейной комбинации векторов nlll ,...,, 21 .
Итак, векторы nlll ,...,, 21 образуют базис пространства nR . Этот базис называется
каноническим базисом в nR . Размерность пространства nR равна n .
1.8. Линейные операторы
Определение 1.8.1. Оператором (преобразованием) A линейного пространства L называется закон, по которому каждому элементу x пространства L ставится в соответствие некоторый элемент Ly .
Записывают это так: y AxLL ,:A или xy A .
Определение 1.8.2. Оператор (преобразование) LL :A называется линейным, если
для любых векторов Lyx, и любого числа выполняются условия: 1. yxyx AAA )( . 2. .)( xx AA Пример 1.8.1. Установить, какие из заданных операторов является линейными:
а) ),3,2,( 3213132 xxxxxxx xA где 3321 ),,( Rx xxx ;
б) ),,1,( 2321 xxx xB где ),,( 321 xxxx ;
с) xx C , где – фиксированное число, x – вектор линейного пространства. Решение.
а) ),,( 321 xxxx , 3321 ),,( Ry yyy , тогда
;;( 2211 yxyx yx ).,,(), 32133 xxxyx x
);()(2);()(()( 33113322 yxyxyxyx yxA ))()()(3 332211 yxyxyx
)33;22;( 32132131313232 yyyxxxyyxxyyxx
.)3;2;()3;2;( 32131323213132 yx AA yyyyyyyxxxxxxx
)3;2;()( 3213132 xxxxxxx xA xA )3;2;( 3213132 xxxxxxx .
Следовательно, A – линейный оператор.
б) ))(,1,()( 2332211 yxyxyxyxB ).2,1,( 2
333232211 yyxxyxyx
),1,(),1,( 2321
2321 yyyxxxyx BB ).,2;( 2
3232211 yxyxyx
.)( yxyx BBB Оператор B не является линейным.
с) ,)()( yxyxyxyx CCC ,)()()()( xxxxx CC
C – линейный оператор. Ответ: CA, – линейные операторы, оператор B линейным не является.
Пусть в n -мерном линейном пространстве L с базисом nlll ,...,, 21 задан линейный
оператор (преобразование) A . Так как nlll AAA ,...,, 21 – векторы пространства L , то каждый
из них можно разложить единственным образом по векторам базиса nlll ,...,, 21 :
38
nnnnnn
nn
nn
aaal
aaal
aaal
lll
lll
lll
...
.........................................
,...
,...
2211
22221122
12211111
A
A
A
(1.20)
Определение 1.8.3. Матрица
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
.....................
...
...
21
22221
11211
(1.21)
называется матрицей линейного оператора (преобразования) A в базисе nlll ,...,, 21 .
Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов при nll ,...,1 в формулах (1.20) преобразования базисных векторов. Возьмем в пространстве L какой-нибудь вектор
nnxxx lllx ...2211 . Так как LxA , то и вектор xA можно разложить по векторам базиса:
nnxxx lllx ...2211A .
Координаты ),...,,( 21 nxxx вектора xA выражаются через координаты ),...,,( 21 nxxx вектора x по формулам:
....
........................................
,...
,...
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
(1.22)
Система равенств (1.22) задает линейный оператор A в базисе nlll ,...,, 21 . Коэффициенты
при nxx ,...,1 в формулах этого оператора (преобразования) (1.22) являются элементами матрицы линейного оператора (преобразования) A (1.21).
Пример 1.8.2. 1. Составить матрицу линейного оператора
)3,2,( 3213132 xxxxxxx xA ;
2. Найти матрицу линейного оператора xx B в каноническом базисе n -мерного пространства.
Решение. 1. Координаты 21, xx и 3x вектора xA определяются формулами:
.1)1(33'
,1022'
,110'
3213213
321312
321321
xxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
Коэффициенты при 321 ,, xxx в этих формулах являются элементами матрицы оператора A :
113
102
110
A .
2. Канонический базис в nR ).1,...,0,0,0(,...),0,...,0,1,0(),0,...,0,0,1( 21 nlll
39
Найдем
).,...,0,0,0(
..................................
)0,...,0,,0(
)0,...,0,0,(
22
11
nn ll
ll
ll
B
B
B
Составим матрицу линейного оператора (преобразования) B .
.
...000
..................
0...00
0...00
0...00
B
Столбцами этой матрицы являются координаты вектора nlll BBB ,...,, 21 .
Линейный оператор (преобразование) полностью характеризуется его матрицей, поэтому действия над операторами сводятся к действиям над их матрицами. Например, если вектор x переводится в вектор y линейным оператором A , а вектор y переводится в вектор z линейным оператором B , то последовательное применение этих операторов равносильно линейному оператору C , переводящему вектор x в вектор z , которое называется произведением операторов B и A . Его матрица равна ABC .
Итак, произведением линейного оператора B на линейный оператор A называется оператор C , такой, что xx BAC . Обозначается ABC .
Аналогично, суммой линейных операторов A и B называется оператор C , такой, что xxx BAC . Обозначается BAC .
Произведением линейного оператора A на число называется оператор C , такой, что xx AC . Обозначается .AC
Определение 1.8.4. Оператор 1A называется обратным к линейному оператору A , если EAAAA 11 , где E – тождественный оператор, такой, что xx E . Матрица обратного оператора 1A является обратной к матрице A .
Перечислим некоторые свойства операций над линейными преобразованиями (операторами).
,)(,)(
;),()(,
CBCABACBCACCBA
AEAAEBCACABABBA
BAAB в общем случае. Пример 1.8.3. Даны два линейных оператора (преобразования):
),987,654,32( 321321321 xxxxxxxxx xA
).12,97,43( 2132321 xxxxxxx xB
Найти матрицы линейных операторов: .,,;23 2ABAABBA
Решение.
Линейный оператор A определяется матрицей
987
654
321
A .
40
Линейный оператор B определяется матрицей
0112
970
431
B .
Тогда
0112
970
431
2
987
654
321
323 BA ,
27223
36112
101
0272242421
18181415012
896623
0112
970
431
987
654
321
AB
0998471978371290817
0695441675341260514
0392411372311230211
.
4486115
295376
142037
422916
393735
574941
987
654
321
0112
970
431
BA ,
150126102
968166
423630
987
654
321
987
654
3212 AAA .
Определение 1.8.5. Пусть A – линейный оператор, действующий в пространстве L . Если существует ненулевой вектор Lx , такой, что
xx A ,
то вектор x называется собственным вектором оператора A , а число – собственным значением этого оператора.
Собственные значения линейного оператора являются корнями характеристического уравнения матрицы этого оператора.
Определение 1.8.6. Характеристическим уравнением линейного оператора с матрицей
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
..................
...
...
21
22221
11211
называется уравнение 0)det( EA , или
0
...
...............................
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
. (1.23)
Собственный вектор, соответствующий собственному значению , является решением системы линейных уравнений
41
.0)(...
...............................................
,0...)(
,0...)(
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
(1.24)
Если все собственные значения n ,...,, 21 линейного оператора (преобразования) A ,
являющиеся корнями характеристического уравнения (1.23), различны, то соответствующие им собственные векторы образуют базис линейного пространства L , и матрица линейного оператора A в этом базисе имеет диагональный вид:
n
A
...00
...............
0...0
0...0
2
1
. (1.25)
Пример 1.8.4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
оператора с матрицей
98
45A . Привести матрицу A к диагональному виду.
Решение. Составим характеристическое уравнение:
,084)9)(5(,098
45
.01314,0329545 22
.13,1,2
1214,14413414 212,1
2
D
Корни характеристического уравнения 13,1 21 являются собственными значениями
оператора A . Для нахождения собственных векторов составим систему линейных уравнений (1.24):
.0)9(8
,04)5(
21
21
xx
xx
При 11 система имеет вид:
.
,
;088
,044
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
Таким образом, координаты собственного вектора, соответствующего собственному значению 11 , удовлетворяют соотношению 21 xx . Тогда собственный вектор
1
12
2
21 x
x
xX ;
пусть 12 cx , тогда
.1
111
cX
При 132 система имеет вид:
42
,048
,048
21
21
xx
xx
т. е. 12 2xx . Пусть 21 cx , тогда 22 2cx , следовательно,
.2
1
22 22
2
1
12
c
c
c
x
xX
В базисе, состоящем из собственных векторов
1
11E и
2
12E , матрица линейного
оператора A имеет диагональный вид
130
01A .
1.9. Квадратичные формы
Определение 1.9.1. Квадратичной формой действительных переменных nxxx ,...,, 21
называется выражение вида
n
i
n
jjiijn xxaxxxФ
1 121 ),...,,( , где jiij aa .
Если ,2n то квадратичная форма имеет вид
.2),( 22222112
211121 xaxxaxaxxФ (1.26)
Если 3n , то .222),,( 322331132112
2333
2222
2111321 xxaxxaxxaxaxaxaxxxФ (1.27)
Определение 1.9.2. Матрица
2221
1211
aa
aaA , у которой ,2112 aa называется матрицей
квадратичной формы двух переменных в некотором базисе. Матрица
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , у
которой ,3,2,1,3,2,1, jiaa jiij называется матрицей квадратичной формы трех
переменных ),,( 321 xxxФ в некотором базисе. Аналогично можно определить матрицу квадратичной формы n переменных. Пусть nxxx ,,, 21 – координаты вектора x из линейного пространства L в некотором
базисе. Если в качестве нового базиса взять совокупность собственных векторов линейного оператора с матрицей A , то в таком базисе матрица A будет диагональной с собственными значениями на главной диагонали:
n
A
0
0
2
1
, где n ,...,, 21 – собственные значения.
Тогда в новом базисе квадратичная форма примет вид
,)(...)()(),...,,( 2222
21121 nnn xxxxxx
который называется каноническим видом квадратичной формы, где nxxx ,,, 21 –
координаты вектора x в новом базисе.
43
Теорема 1.9.1. Для всякой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет канонический вид.
Пример 1.9.1. Привести квадратичную форму 2221
2121 31027),( xxxxxx к
каноническому виду. Решение: Так как ,3,102,27 221211 aaa то матрица квадратичной формы имеет
вид
,2221
1211
aa
aa где .
35
5272112
aa
Найдем собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:
,05630,025)3)(27(,035
527 2
т. е. собственные значения 28,2 21 . Таким образом, матрица квадратичной формы в
базисе, состоящем из собственных векторов, соответствующих собственным значениям
,28,2 21 имеет диагональный вид ,280
02
следовательно, квадратичная форма имеет
канонический вид .)(28)(2),( 2
22
121 xxxx
Ответ: .)(28)(2),( 22
2121 xxxx
1.10. Основные термины
Матрица. Квадратная матрица. Порядок матрицы. Единичная матрица. Транспонированная матрица.
Операции над матрицами (сумма матриц, произведение на число, произведение матриц).
Определитель матрицы. Невырожденная матрица. Ранг матрицы. Обратная матрица. Миноры и алгебраические дополнения матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решение СЛАУ. Основная и расширенная матрица СЛАУ. Совместность и несовместность СЛАУ. Определенность и неопределенность СЛАУ. Метод Крамера, матричный метод, метод Гаусса решения СЛАУ. Однородные и неоднородные СЛАУ. Фундаментальная система решений. Арифметическое пространство. Базис и размерность арифметического пространства.
Канонический базис. Линейное пространство. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Собственный вектор и
собственное значение оператора. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Канонический вид квадратичной
формы.
44
1.11. Вопросы для самоконтроля
1. Что такое матрица и каковы операции над матрицами? 2. Для каких матриц определены операции сложения (умножения)? 3. Обладает ли сложение (умножение) матриц свойством коммутативности? 4. Что такое обратная матрица? Любая ли матрица имеет противоположную? 5. Почему не определена операция деления матриц? 6. Что такое определитель матрицы? Как связана обратимость матрицы с ее
определителем? 7. Опишите методы отыскания ранга матрицы. 8. Сформулируйте теорему о разложении определителя по строке (столбцу). 9. Перечислите основные свойства определителя.
10. Что такое арифметическое пространство векторов и его базис? 11. Как изменятся координаты вектора при переходе от старого базиса к новому? 12. Что такое система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и ее решение? 13. Что значит решить систему линейных уравнений? 14. Сколько решений может иметь СЛАУ? 15. В чем суть метода Гаусса? Что такое элементарные преобразования строк матрицы? 16. Любые ли системы можно решить методом Крамера и матричным методом? 17. Что такое линейный оператор и его матрица? 18. Опишите метод отыскания собственных векторов и собственных значений
оператора. 19. Что такое квадратичная форма и ее канонический вид? 20. Как составляется матрица квадратичной формы?
1.12. Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Вычислить произведения матриц AB , BA и матрицу BA 2
Ответы
AB BA BA 2
1 321 A , ;
1
4
0
B 5
321
1284
000
Не существует
2
512
304A
1432
5161
2013
B
1419195
5121318Не существует Не существует
3
314
123
221
A
246
421
335
B
1023
15111
11515
2226
8211
2126
1916
725
8411
45
Задание 2. Вычислить определители Ответы Вычислить определители Ответы
1
341
235
312
22
2
631
321
111
1
3
987
654
321
0
4
314
123
221
25
5
,
1111
1111
1111
1111
8
6
0111
1011
1101
1110
3
7
02100
11000
11030
11021
13020
6
8
20310
02230
10100
20114
00201
8
Задание 3. Найти обратные матрицы к матрицам
Ответы Найти обратные
матрицы к матрицам Ответы
1
43
21
2
1
2
312
2
75
43
35
47
3
325
436
752
242927
344138
111
4
121
421
312
534
1153
2710
29
1
Задание 4. Решить матричные уравнения BAX и BXA
Ответы
BAX BXA
1
95
53,
43
21BA
35,0
11X
5,05,3
5,05,3X
2
13
21,
64
12BA
62
113
8
1X
522
514
8
1X
3
012
321,
122
013
376
BA Не существует
321
66519
3
1X
46
Задание 5. Решить системы уравнений по правилу Крамера и матричным методом
Ответы Решить системы уравнений по правилу Крамера и матричным методом
Ответы
1
.273
,152
yx
yx
1
,3
y
x 2
.1054
,432
yx
yx
2
,5
y
x
3
.23
,12
,12
zyx
zyx
zyx
0
,1
,1
z
y
x
4
.18274
,1453
,1432
zyx
zyx
zyx
1
,1
,6
z
y
x
Задание 6. Решить системы уравнений методом Гаусса
Ответы
1
13232
445
14322
12223
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
или в векторной форме )1,3,2,1( X
2
3
5723
342
232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
CCCC
X ,9
32,
9
68,
3
65
3
1822
510135
1253
264
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
221
121 ,
4
5207,,
4
349C
CCC
CCX
4
15372
02324
43224
543236
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
2221
21 ,65,2,,2
33CCCC
CCX
Задание 7. Найти фундаментальную систему решений систем уравнений Ответы
1
.05341211
,027322
,0283
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
.1002/12/1
,0108/258/3
,0018/78/19
3
2
1
E
E
E
2
.054194
,02310
,022
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
.1007/17/3
,0107/17/4
,00121/821/17
3
2
1
E
E
E
3
.06112
,02472
,0332
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
.124/304/19
,00012
2
1
E
E
47
Задание 8. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
Ответы
Собственные значения
Собственные векторы
1
52
92
8
,1
2
1
2
3,
1
321 XX
2
72
24
8
,3
2
1
2
1,
1
221 XX
3
400
030
001
4
,3
,1
3
2
1
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
321 XXX
4
200
001
010
1
,2
,1
3
2
1
0
1
1
,
1
0
0
,
0
1
1
321 XXX
5
200
132
012
4
,2
,1
3
2
1
0
2
1
,
2
0
1
,
0
1
1
321 XXX
48
Глава 2. Векторная алгебра
Рассматривая различные физические процессы, мы встречаемся с объектами и величинами разной природы. Одни величины характеризуются числом – они называются скалярными величинами, или скалярами. Другие величины характеризуются еще и направлением в пространстве (например, сила F , скорость v , и т. д.), для таких величин вводится понятие вектора.
2.1. Понятие вектора
Определение 2.1.1. Геометрическим вектором, или просто вектором, называется
направленный отрезок AB с началом A и концом B и обозначается AB или a .
Определение 2.1.2. Длиной, или модулем, вектора AB называется длина отрезка AB и
обозначается aAB .
Определение 2.1.3. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым,
обозначается 0 и длина этого вектора равна нулю 00 .
Если поменять местами начало и конец вектора, то получим вектор BA
противоположный вектору AB , причем BAAB .
Определение 2.1.4. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.
Замечание. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, т. к. направление его не определено.
Определение 2.1.5. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости (здесь речь идет о трех и более векторах).
Определение 2.1.6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.
Из определения 2.1.6. непосредственно вытекает, что, выбрав любую точку 'A , мы можем построить (и притом только один) вектор '' BA , равный некоторому заданному вектору AB , или, как это говорят, перенести вектор AB в точку 'A (правило параллельного переноса).
2.2. Линейные операции над векторами
Определение 2.2.1. Линейными операциями над векторами называются: сложение векторов; вычитание векторов; умножение вектора на число. Определение 2.2.2. Пусть даны два
вектора a и b . Построим равные им векторы
AB и BC (т. е. перенесем конец вектора a и начало b в одну и ту же точку B ). Тогда
вектор AC называется суммой векторов a и b и обозначается ba .
Рис. 2.1. Правило треугольников сложения векторов
49
Это так называемое правило треугольника (рис. 2.1). Если перенести начала векторов a и b в одну и ту же точку, то из правила треугольника получим правило параллелограмма: складывая вектора a и b , имеющие общее начало, получим вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b (рис. 2.2)
Рис. 2.2. Правило паралеллограмма сложения векторов
Замечание. Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого количества
векторов. Пример 2.2.1. Найти сумму векторов cba ,,
Рис. 2.3. Сложение трех векторов
Определение 2.2.3. Разностью двух
векторов ba называется вектор c , который в сумме с b дает вектор a , т. е. bac , если
abc (рис. 2.4). Определение 2.2.4. Произведением
вектора a на число называется вектор a , который удовлетворяет следующим условиям:
коллинеарен вектору a ;
имеет длину aa ;
сонаправлен вектору a , если 0 , и противоположно направлен, если 0 . Геометрический смысл операции умножения вектора a на число заключается в
следующем: если 1 , то при умножении вектора a на число вектор a растягивается в
раз; если 1 , то при умножении вектора a на число вектор a сжимается в раз.
a
a , если 10
a , если 01
a , если 1
a , если 1
Рис. 2.4. Правило треугольников вычитания векторов
50
Признак коллинеарности векторов. Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых векторов a и b является существование такого числа ,
которое удовлетворяет равенству ab , причем a
b .
Свойства линейных операций над векторами: 1. Коммутативность abba ; 2. Ассоциативность cbacba ; 3. Дистрибутивность относительно суммы чисел aaa ;
4. Дистрибутивность относительно суммы векторов baba .
2.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов
Определение 2.3.1. Линейной комбинацией векторов naaaa ,...,,, 321 называется сумма
nnaaaa ...332211 , где n ,...,,, 321 – произвольные n чисел.
Определение 2.3.2. Совокупность векторов naaaa ,...,,, 321 называется линейно
зависимой, если существуют числа n ,...,,, 321 из которых хотя бы одно отлично от нуля,
такие, что 0...332211 nnaaaa или, что то же самое, если хотя бы один из векторов может быть выражен как линейная комбинация остальных, т. е.
11332211 ... nnn aaaaa . Если же 0...332211 nnaaaa только при
0,...,0,0,0 321 n , то векторы naaaa ,...,,, 321 линейно независимы. Теорема 2.3.1. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из
них раскладывается в линейную комбинацию остальных. На основании теоремы 2.3.1. можно доказать следующие утверждения: 1. Два геометрических вектора на плоскости линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они коллинеарны. 2. Три геометрических вектора в пространстве линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они компланарны. 3. Четыре геометрических вектора в пространстве всегда линейно зависимы.
2.4. Базис. Разложение по базису. Координаты вектора
Определение 2.4.1. Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов 21, ee .
Определение 2.4.2. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов 321 ,, eee называется базисом в пространстве.
Теорема 2.4.1. Любой вектор на плоскости (в пространстве) может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов, и такое представление единственно
3322112211 eeeaeea .
Определение 2.4.3. Числа 32121 ,, , в разложении 2211 eea
332211 eeea называются координатами вектора a в базисе 32121 ,, , eeeee .
Определение 2.4.4. Базис 321 ,, eee называется ортонормированным, если его векторы
попарно перпендикулярны, и их длины равны 1. В дальнейшем будем считать, что базис ортонормирован. Ортонормированный базис
обозначают kji ,, .
51
Свойства координат векторов. Пусть заданы векторы
kzjyixzyxa 111111 ;; ,
kzjyixzyxb 222222 ;; . Тогда
1. Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат этих векторов
212121 ;; zzyyxxba .
2. При умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число
111 ;; zyxa .
3. Два вектора равны между собой, если равны их соответствующие координаты
212121 ,, zzyyxxba .
4. Если ab , то 1
2
1
2
1
2
z
z
y
y
x
x – это условие коллинеарности векторов.
5. Для того чтобы получить координаты вектора AB , у которого известны координаты начальной точки 111 ,, zyxA и конечной точки 222 ,, zyxB , надо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной, т. е.
121212 ;; zzyyxxAB .
6. Если точка C середина вектора AB , то координаты точки C равны
2;
2;
2212121 zzyyxx
C .
Пример 2.4.1. Найти разложение вектора }4;0;1{x по некомпланарным векторам }2;1;4{p ; }8;6;8{ q и }4;4;7{ r .
Решение. Для некомпланарных векторов rqp ,, всякий вектор 3Rx может быть единственным образом представлен в виде
rqpx .
Числа ,, координаты вектора x в базисе ( rqp ,, ), координаты вектора x в исходном базисе известны. Чтобы отыскать координаты ,, в базисе ( rqp ,, ), используем свойства координат векторов (1) – (3). Приравнивая координаты вектора x к соответствующим координатам вектора rqp , получим систему трех линейных уравнений для отыскания неизвестных ,, . Эту систему можно решать методом Гаусса или методом Крамера.
Пусть rqpx , тогда в координатной форме это равенство примет вид
}4;4;7{)8;6;8{}2;1;4{}4;0;1{ .
Используя свойства координат векторов, получим
}482;46;784{}4;0;1{ .
Приравнивая соответствующие координаты равных векторов, будем иметь следующую систему уравнений:
52
.4482
,046
,1784
Решаем эту систему методом Крамера:
482
461
784
=42
41)8(
48
464
+
82
617
= )3224(4 + )84(8 +
+ )128(7 = 121409632 ,
484
460
781
1
=44
40)8(
48
461
+
84
607
= 247)16(88 = 48 ;
412
481
;
442
401
714
2
=
42
41)1(
44
404
+
42
017 = 47)12(1)16(4 = 48 ;
412
482
;
482
061
184
3
=42
01)8(
48
064
82
611
= 84201)4(8)24(4 ;
712
843
.
Ответ: .744 rqpx
Пример 2.4.2. Коллинеарны ли векторы bacbac 32,3 21 , если
}4;3;1{},2;1;1{ ba ? Решение. Найдем координаты векторов 21, cc в исходном базисе:
}.8;7;5{}4;3;1{3}2;1;1{2
},10;6;2{}4;3;1{}2;1;1{3
2
1
c
c
Координаты векторов 21, cc непропорциональны, поэтому, используя свойство 4, делаем вывод, что векторы неколлинеарны.
Ответ: 21, cc неколлинеарные векторы.
Определение 2.4.5. Проекцией вектора AB на ось u
называется число, равное длине вектора 11BA , взятое со
знаком «+», если направление 11BA совпадает с направлением оси, и со знаком «–», если эти направления противоположны, где 1A проекция точки A , а 1B – проекция точки B на ось
u , т. е. 11BAABnpu (рис. 2.5).
Теорема 2.4.2. Проекция вектора AB на ось равна произведению длины этого вектора
на косинус угла между осью и вектором AB : cos ABABnpu .
Рис. 2.5. Проекция вектора на ось u
53
2.5. Декартовы системы координат
Определение 2.5.1. Декартова система координат в пространстве – это совокупность точки О в пространстве и базиса 321 ,, eee , где точка О – начало координат. Прямые,
проходящие через О в направлении базисных векторов, называются осями координат. Определение 2.5.2. Если базис ортонормирован (т. е. базис kji ,, ), то система
называется прямоугольной декартовой системой координат Oxyz. Рассмотрим такую систему (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Прямоугольная декартова система координат
В этой декартовой системе координат: О – начало координат; Ox – ось абсцисс;
Oy – ось ординат; Oz – ось аппликат; Oxy, Oxz, Oyz – координатные плоскости. Рассмотрим в этой системе координат точку M . Каждой точке соответствует вектор
OM , который называется радиус-вектором точки M . По теореме о разложении вектора
следует, что существует единственное разложение вектора OM в базисе kji ,, :
kzjyixOM MMM или MMM zyxOM ;; ,
где MMM zyx ;; – координаты вектора OM в базисе kji ,, . Определение 2.5.3. Координатами точки M в прямоугольной системе координат
называются координаты ее радиус-вектора OM в базисе kji ,, MMM zyxM ;; , где Mx –
абсцисса точки M , My – ордината точки M , Mz – аппликата точки M .
2.6. Полярная система координат
Положение точки на плоскости можно определять с помощью так называемой полярной системы координат.
На плоскости выбираем некоторую точку О, называемую полюсом, и выходящую из этой точки полупрямую, называемую полярной осью. Положение точки M на плоскости можно определить двумя числами: числом , выражающим расстояние от точки M до полюса О, и числом – величиной угла, образованного отрезком ОM с полярной осью.
54
Положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки. Числа и называются полярными координатами точки M: 0 – полярный радиус, – полярный угол.
Если полярный угол брать в пределах 20 , то каждой точке плоскости, кроме полюса, соответствует вполне определенная пара чисел и . Для полюса 0 , – произвольное.
Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами на плоскости. Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси Ox – с полярной осью (рис. 2.7).
По рисунку видно, что прямоугольные декартовые координаты связаны с полярными соотношениями
sin,cos yx . Выражая полярные координаты через декартовые, получим
xyyx /tg,22 .
Замечание. При нахождении угла нужно учитывать в какой четверти находится точка и брать соответствующее значение .
2.7. Скалярное произведение векторов
Определение 2.7.1. Углом между векторами a , b называется угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало.
Если не указано, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит . Если угол прямой, то векторы называются ортогональными.
Определение 2.7.2. Скалярным произведением векторов ba , называется число ba
или ),( ba , равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:
cosbaba .
Свойства скалярного произведения: 1. abba ; 2. 0ba тогда и только тогда, когда векторы ортогональны; 3. Для любых чисел , и векторов cba ,, имеет место соотношение:
)()( cbcacba (линейность скалярного произведения);
4. 2
aaa .
Теорема 2.7.1. Если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов выражается через их компоненты };;{ 321 aaaa , };;{ 321 bbbb по формуле
332211 babababa .
Следствия: 1. Модуль вектора вычисляется по формуле 23
22
21 aaaaaa ;
Рис. 2.7. Полярная и прямоугольная декартова системы координат
55
2. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле
23
22
21
23
22
21
332211cosbbbaaa
bababa
ba
ba
;
3. Если векторы a и b ортогональны, то их координаты связаны соотношением
0332211 bababa .
Механическое приложение скалярного произведения. Работа силы F по перемещению точки равна скалярному произведению rFA , где r – вектор перемещения.
Пример 2.7.1. В прямоугольной декартовой системе координат заданы три точки
)2;1;3( A , )6;5;5( B , )8;1;0(C . Найти угол между векторами AB и AC .
Решение. Вычислим координаты векторов ABa и ACb
}4;4;2{ a , }6;2;3{b , тогда
222222 62)3(4)4(2
642)4()3(2cos
=
76
10
=
21
5,
следовательно, 21
5arccos = 2.76 .
Ответ: .2.76
2.8. Направляющие косинусы вектора
Рассмотрим произвольную точку M в декартовой системе координат и радиус-вектор
OM . Найдем координаты точки MMM zyxM ;; как проекции вектора OM на координатные
оси. Пусть ,, углы, образованные вектором OM с положительным направлением осей координат. Тогда
222cos ,cos
MMM
MMM
zyx
x
OM
xOMx
;
222cos ,cos
MMM
MMM
zyx
y
OM
yOMy
;
222cos ,cos
MMM
MMM
zyx
z
OM
z OMz
.
Числа cos,cos,cos называются направляющими косинусами вектора OM . При этом выполняется равенство
1coscoscos 222 .
56
2.9. Векторное произведение векторов
Определение 2.9.1. Векторным произведением векторов ba , называется вектор c , удовлетворяющий условиям:
1. sinbac , где есть величина угла между векторами.
2. Вектор c перпендикулярен векторам ba , .
3. Векторы cba ,, образуют правую тройку, т. е. из конца вектора c кратчайший
поворот от вектора a к вектору b виден против часовой стрелки. Обозначается: bac или ],[ bac .
Рис. 2.8. Геометрическая иллюстрация векторного произведения
Геометрическое приложение векторного произведения. Из определения вытекает, что модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на сомножителях (если сомножители привести к общему началу, рис. 2.8)
sin],[ babacS .
Механическое приложение векторного произведения. Пусть к точке A приложена сила, определенная вектором F , тогда моментом силы F относительно точки О называется
векторное произведение ],[)( FrFM , где OAr – радиус-вектор точки A . Свойства векторного произведения:
1. 0],[ ba тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны; в частности, 0],[ aa ;
2. ],[],[ abba (антикоммутативность векторного произведения);
3. ],[],[],[ cbcacba (линейность векторного произведения). Теорема 2.9.1. В ортонормированном базисе векторное произведение выражается через
компоненты сомножителей };;{ 321 aaaa , };;{ 321 bbbb формулой
321
321],[
bbb
aaa
kji
ba =32
32
bb
aai
31
31
bb
aaj
21
21
bb
aak .
Пример 2.9.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах qpa 32
и qpb 2 , если 2|| p , 1|| q ,
qp, =
3
.
Решение. Используя линейность и антикоммутативность векторного произведения, получим ]2,32[],[ qpqpba = ],[2 pp ],[3 pq ],[4 qp ],[6 qq ],[7 pq . Тогда
],[ ba = .,sin7
qpqp
Следовательно, ],[ ba =3
sin127
= 37 .
Ответ: )(37 кв.ед.S .
57
2.10. Смешанное произведение векторов
Определение 2.10.1. Смешанным произведением векторов cba ,, называется число,
равное скалярному произведению вектора a на вектор ],[ cb . Обозначается: ),,( cba или
cba . Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного
произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах cba ,, как
на сторонах (на рис. 2.9 413121 ,, AAcAAbAAa ). Если векторы cba ,, образуют
правую тройку, то смешанное произведение 0),,( cba ; если левую, то 0),,( cba . Свойства смешанного произведения: 1. ),,( cba = ),,( cab (антикоммутативность смешанного произведения);
2. ),,(),,(),,( 221112211 cbacbacbaa (линейность смешанного произведения);
3. 0),,( cba тогда и только тогда, когда векторы компланарные. Теорема 2.10.1. В ортонормированном базисе смешанное произведение выражается
через компоненты сомножителей };;{ 321 aaaa , };;{ 321 bbbb , };;{ 321 cccc формулой
321
321
321
),,(
ccc
bbb
aaa
cba .
Пример 2.10.1. Установить, компланарны ли векторы
}1;9;1{},3;1;1{},1;3;2{ cba .
Решение. Вычислим определитель третьего порядка, составленный из координат векторов cba ,, .
50101)4(3)26(291
111
11
313
19
312
191
311
132
.
0 , поэтому векторы cba ,, не компланарны.
Ответ: cba ,, некомпланарные векторы.
Пример 2.10.2. Даны координаты точек )1;3;2(1A , )2;1;4(2 A , )7;3;6(3A , )8;4;5(4 A .
Найти: 1. Длину ребер тетраэдра 4321 AAAA .
2. Угол между ребрами 21AA и 31AA .
3. Площадь грани 321 AAA .
4. Объем тетраэдра 4321 AAAA .
5. Высоту тетраэдра, опущенную из вершины 4A на грань 321 AAA .
Решение. 1. Для того чтобы найти длину ребер тетраэдра, найдем длины векторов,
соответствующих этим ребрам. Найдем координаты этих векторов.
58
}.1,7,11{}78,34,65{
}9,2,2{)}2(7,13,46{
}6,0,4{}17,33,26{
}10,5,9{)}2(8,14,45{
}7,7,7{}18,34,25{
}3,2,2{}12,31,24{
43
32
31
42
41
21
AA
AA
AA
AA
AA
AA
Теперь найдем длины этих векторов: 17)3()2(2|| 22221 AA , аналогично
находим длины остальных векторов
171||,206||,89||,37||,132|| 4342324131 AAAAAAAAAA .
2. Найдем угол между ребрами 21AA и 31 AA
221
2
2212
4
13217
6)3(0)2(42
||||cos
3121
3121312
AAAA
AAAAAAA
221
2arccos312
AAA .
3. Найдем площадь грани 321 AAA . Вычислим векторное произведение векторов 21AA и
31AA
kji
kji
AAAA 82412
604
322],[ 3121 ,
тогда 222 8)24()12(2
1321
AAAS = )(14 кв.ед. .
4. Пусть четыре точки );;( 1111 zyxA , );;( 2222 zyxA , );;( 3333 zyxA , );;( 4444 zyxA , не
лежащие в одной плоскости, являются вершинами тетраэдра. Если на векторах
21AA , 31AA , 41AA построить параллелепипед (рис. 2.9), то, как известно, объем тетраэдра
равен 6
1 объема параллелепипеда.
Рис. 2.9. Параллелепипед, построенный на векторах 21AA , 31AA , 41 AA
Из геометрического смысла смешанного произведения следует, что объем параллелепипеда
),,( 413121 AAAAAAV , значит, объем тетраэдра ),,(6
1413121 AAAAAAVTETP .
Вычислим смешанное произведение векторов
59
308
777
604
322
),,( 413121
AAAAAA ,
следовательно,
)(3
154|308|
6
1куб.ед.TETPV .
5. Так как 3213
1AAATETP SHV , то высота тетраэдра
143
15433
321
AAA
TETP
S
VH = )(11 ед. .
Ответ: ,206||,89||,37||,132||,17|| 4232413121 AAAAAAAAAA
171|| 43 AA , 221
2arccos312
AAA , .)(14
321кв.едAAAS , )(11.),(
3
154. ед.куб.ед HVTETP .
2.11. Основные термины
Геометрический вектор. Модуль вектора. Направление вектора. Линейные операции над векторами. Линейная комбинация векторов. Коллинеарность и компланарность векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат. Направляющие косинусы вектора. Радиус-вектор. Координаты точки. Ортонормированный декартов базис. Прямоугольная система координат. Полярная система координат. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Их геометрические и
механические приложения.
2.12. Вопросы для самоконтроля
1. Что такое вектор, и какие линейные операции над векторами можно произвести? 2. Что такое базис, и сколько базисов существует в множестве всех векторов
пространства? 3. Сколько разложений по данному базису имеет данный вектор? 4. Зависят ли координаты от выбора базиса? 5. Определяются ли координаты однозначно выбором базиса? 6. Что такое скалярное произведение векторов и его основные свойства? 7. Как определить угол между векторами? Каковы условия коллинеарности и
ортогональности векторов? 8. Каковы геометрическое и механическое приложения векторного произведения
векторов? 9. Каково геометрическое приложение смешанного произведения векторов?
10. Чему равно смешанное произведение трех компланарных векторов?
60
2.13. Задачи для самостоятельного решения
Задания Ответы
1
Коллинеарны ли векторы 1c и 2c , построенные по векторам
a и b а) ;3,42},1;0;3{},3;2;1{ 21 bacbacba
б) .36,2},3;2;7{},1;0;5{ 21 bacbacba
а) неколлинеарны; б) коллинеарны.
2
Написать разложение вектора x по векторам rqp ,, а) }1;0;1{},3;1;2{},0;1;5{},7;2;13{ rqpx ; б) }1;0;4{},1;1;3{},1;2;0{},9;8;0{ rqpx ; в) }2;1;0{},1;1;2{},0;3;1{},1;12;6{ rqpx .
а) rqpx 43 ; б) rqpx 342 ; в) rqpx 4 .
3
Найти косинус угла между векторами AB и AC а) )6;3;9(),3;3;12(),6;3;0( CBA ; б) )1;4;6(),0;2;5(),1;3;5( CBA ; в) )1;10;5(),1;6;3(),4;0;0( CBA .
а) 225
216cos ;
б) 2
1cos ;
в) 1cos .
4
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
а) qpa 2 , qpb 3 ; 1|| p , 2|| q , 6
)(
qp ;
б) qpa 3 , qpb 2 ; 4|| p , 1|| q , 4
)(
qp ;
в) qpa 3 , qpb 2 ; 5
1|| p , 1|| q ,
2)(
qp .
а) 7S ;
б) 214S ; в) 1S .
5
Компланарны ли векторы а) }1;3;2{a , }1;0;1{ b , }2;2;2{c ;
б) }3;2;1{ a , }6;5;4{ b , }9;8;7{ c .
а) не компланарны; б) компланарны.
6
Образуют ли векторы базис а) }3;1;2{ a , }1;4;1{ b , }5;9;0{ c ;
б) }0;2;1{a , }1;1;3{ b , }1;1;0{c .
а) не образуют; б) образуют.
7
Какую тройку векторов образуют векторы а) }3;1;1{ a , }1;2;2{b , }5;2;3{ c ;
б) }3;1;2{ a , }1;2;3{b , }2;4;1{ c .
а) левую; б) правую.
8
Вычислить объем тетраэдра 4321 AAAA и его высоту,
опущенную из вершины 4A на грань 321 AAA
а) )1;3;2(1A , )2;1;4(2 A , )7;3;6(3A , )3;5;7(4 A ;
б) )6;2;4(1 A , )0;3;2(2 A , )8;5;10(3 A , )4;2;5(4 A .
а) 5,3
70 hV ;
б) 4,3
56 hV .
61
Глава 3. Аналитическая геометрия
Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2-го порядка), а основными методами исследования служат метод координат и методы элементарной, векторной и линейной алгебры.
Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчетливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ аналитической геометрии было сделано французким математиком (а также философом, физиком и физиологом) Рене Декартом (1596–1650) в его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка аналитической геометрии связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами аналитической геометрии пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики, Г. Монж в дифференциальной геометрии.
Ныне аналитическая геометрия не имеет самостоятельного значения как наука, однако ее методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и других наук.
3.1. Прямая линия на плоскости
3.1.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости
Важным понятием аналитической геометрии является уравнение линии. Определение 3.1.1. Уравнением данной линии в выбранной системе координат
называется равенство вида 0, yxF , которому удовлетворяют координаты yx и каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.
Составим несколько видов уравнений прямой линии. 1. Пусть задана прямоугольная декартова система координат, точка 000 , yxM и
вектор BAn , . Через точку 000 , yxM можно провести бесконечно много прямых, но среди
них только одна будет перпендикулярна вектору BAn , . Через две точки можно провести единственную прямую. Поэтому возьмем точку yxM , так, чтобы прямая, проходящая через точки 0 и MM , была перпендикулярна вектору n .
Рис. 3.1. Иллюстрация прямой, перпендикулярной вектору n
Рассмотрим вектор 000 , yyxxMM . Так как nMM 0 , то скалярное
произведение этих векторов равно нулю, т. е. 0000 yyBxxAMMn .
62
Определение 3.1.2. Уравнение вида 000 yyBxxA называется уравнением
прямой, проходящей через произвольную точку 000 , yxM и перпендикулярной вектору
BAn , . Вектор BAn , называется нормальным вектором.
2. Рассмотрим уравнение 000 yyBxxA ,
000 ByByAxAx ,
000 ByAxByAx .
Обозначим 00 ByAxC , тогда получим уравнение 0 CByAx .
Определение 3.1.3. Уравнение вида 0 CByAx называется общим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.
При различных численных значениях коэффициентов, не равных нулю одновременно, общее уравнение прямой на плоскости определяет следующие уравнения прямой на плоскости:
0C
0 ByAx прямая,
проходящая через начало координат
0B 0 CAx
прямая, параллельная
оси Oy
0A 0 CBy
прямая, параллельная
оси Ox
0,0 CB0Ax
прямая, совпадающая с осью Oy
0,0 CA0By
прямая, совпадающая с осью Ox
3. Рассмотрим случай, когда 0,0,0 CBA .
Разделим обе части уравнения 0 CByAx на C , получим 01
C
By
C
Ax.
Перепишем полученное уравнение в следующем виде 1//
BC
y
AC
x.
Пусть bB
Ca
A
C
, , тогда будем иметь 1
b
y
a
x.
Определение 3.1.4. Уравнение вида 1b
y
a
x
называется уравнением прямой в отрезках (рис. 3.2). 4. Пусть заданы две точки 11, yxA и 22 , yxB .
Через две заданные точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку yxM , и точки
11, yxA и 22 , yxB можно провести искомую прямую
тогда и только тогда, когда векторы ABAM и будут параллельны.
Рассмотрим векторы , 11 yyxxAM и
., 1212 yyxxAB Из условия параллельности (коллинеарности) двух векторов следует выполнение
условия AB
AM
AB
AM
y
y
x
x . Подставляя координаты векторов, будем иметь
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
.
0 CByAx
Рис. 3.2. Иллюстрация прямой в отрезках
63
Определение 3.1.5. Уравнение вида 12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
называется уравнением прямой,
проходящей через две заданные точки. 5. Рассмотрим общее уравнение прямой 0 CByAx , где 0B . Выразим из этого
уравнения y : B
Cx
B
Ay . Пусть
B
Cb
B
Ak а , .
Тогда bkxy , где k – угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox , а b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy .
Определение 3.1.6. Уравнение вида bkxy называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Пример 3.1.1. Определить угловой коэффициент и ординату точки пересечения прямой с осью Oy .
Решение:
,2
3 ,
4
3
3. ,0 ,0 ,2
3 ,
2
3
4
3
3, ,2
3 ,364
,03в) ,032б) ,0643 а)
bk
bkbkxy
yxyxy
yxyyx
6. Пусть задана точка 000 , yxM и вектор 21,aaa . Через точку 000 , yxM можно
провести бесконечно много прямых, но среди них только одна будет параллельна вектору 21,aaa . Через две точки можно провести единственную прямую. Поэтому возьмем точку
yxM , так, чтобы прямая, проходящая через точки 0 и MM , была параллельна вектору a
(рис. 3.3).
Рис. 3.3. Иллюстрация прямой, параллельной вектору a
Рассмотрим вектор MM 0 . Так как aMM ||0 , то векторы пропорциональны с некоторым
коэффициентом (параметром) t , т. е. atMM 0 . Получили векторное параметрическое
уравнение прямой. 7. Подставим в векторное параметрическое уравнение прямой компоненты векторов
},{ 000 yyxxMM и 21,aaa .
Определение 3.1.7. Уравнения вида
tayy
taxx
20
10 ,
где t – параметр ( t ), называются параметрическими уравнениями прямой. 8. Выразим параметр из каждого уравнения
2
0
1
0 ,a
yyt
a
xxt
и приравняем полученные отношения.
64
Определение 3.1.8. Уравнение вида 2
0
1
0
a
yy
a
xx
называется каноническим
уравнением прямой, проходящей через заданную точку 000 , yxM в направлении, заданном
вектором 21,aaa . 9. Разделим общее уравнение прямой 0 CByAx на коэффициент
22|| BAn , где берем знак «+», если 0C и знак «–», если 0C . Введем
обозначение 22
||
BA
Cp
.
Определение 3.1.9. Уравнение вида 0sincos pyx называется нормальным уравнением прямой, где угол между нормальным вектором n к данной прямой и осью Ox ; p – расстояние от начала координат до прямой.
Пример 3.1.2. Даны вершины треугольника )4,1( ),0,4( ),6,4( CBA . Составить уравнения его сторон и высоты, опущенной из вершины B . Определить систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC (рис. 3.4).
Решение.
Рис. 3.4. Треугольник ABC
Составим уравнение прямой, проходящей через точки )0,4( и )6,4( BA . Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
2441236
6
8
4
60
6
44
4yx
yxyx
yy
yy
xx
xx
AB
A
AB
A
)34
3(01243 xyyx .
Итак, уравнение прямой AB имеет вид 01243 yx .
Составим уравнение прямой, проходящей через точки :)4,1( и )6,4( CA
68210
6
5
4
64
6
41
4yx
yxyx
yy
yy
xx
xx
AC
A
AC
A
)22(022 xyyx .
Итак, уравнение прямой AC имеет вид 022 yx .
65
Составим уравнение прямой, проходящей через точки :)4,1( и )0,4( CB
yxyxyx
yy
yy
xx
xx
BC
B
BC
B 31644
0
3
4
04
0
41
4
)43
4(01634 xyyx .
Итак, уравнение прямой BC имеет вид 01634 yx . Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC . Для этого
знак равенства в уравнениях ограничивающих его прямых заменяем на знак неравенства из тех соображений, что точка )0,0( лежит внутри треугольника
.01634
,022
,01243
yx
yx
yx
Составим уравнение прямой, проходящей через высоту, опущенную из вершины B .
Так как высота BD перпендикулярна стороне AC , следовательно, вектор AC является нормальным вектором этой прямой }10,5{ BDn . Воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через точку )0,4(B с вектором нормали }10,5{ BDn
0420240)0(10)4(5 yxyxyx .
Итак, уравнение высоты BD имеет вид 042 yx .
3.1.2. Расстояние от точки до прямой
Теорема 3.1.1. Расстояние от заданной точки 000 , yxM до прямой 0 CByAx
вычисляется по формуле 22
00
BA
CByAxd
.
Пример 3.1.3. Найти высоту BD треугольника )4,1( ),0,4( ),6,4( CBA (рис. 3.4). Решение. Высота BD равна расстоянию от точки )0,4(B до прямой
022: yxAC , найденной ранее. Найдем его
525
10
)1(2
201)4(222
h .
Ответ: 52h .
3.1.3. Угол между прямыми
Определение 3.1.12. Углом между двумя прямыми называется угол между их направляющими или нормальными векторами.
1. Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
2211 и bxkybxky , то угол , отсчитываемый от первой прямой ко второй против
часовой стрелки, вычисляется по формуле 21
12
1 kk
kktg
.
66
2. Если две прямые заданы общими уравнениями 0111 CyBxA ( 01 B ) и
0222 CyBxA ( 02 B ), то угол , отсчитываемый от первой прямой ко второй против
часовой стрелки, вычисляется по формуле 22
22
21
21
2121
21
21cosBABA
BBAA
nn
nn
или
1221
1221tgBBAA
BABA
.
Пример 3.1.4. Найти угол между стороной BA и высотой BD треугольника )4,1( ),0,4( ),6,4( CBA (рис. 3.4).
Решение. На рис. 3.4 видно, что необходимо найти угол, отсчитываемый от прямой BD к прямой BA против часовой стрелки. Ранее найдены общие уравнения прямых, проходящих через высоту BD : 042 yx и сторону BA : 01243 yx . Найдем тангенс угла между ними
25
10
42)3(1
)3(241tg
.
Найдем угол 4,632arctg .
Ответ: 4,63 .
3.1.4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть заданы две прямые 2 1 и LL
111111 или 0: bxkyCyBxAL ,
222222 или 0: bxkyCyBxAL .
Взаимное расположение двух прямых определяется взаимным расположением соответствующих им нормальных векторов 222111 , и , BAnBAn .
Перпендикулярны
21 nn
02121 BBAA
или 21kk 1
Параллельны
21 || nn
2
1
2
1
B
B
A
A
или
21 kk
Совпадают
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
или
21 kk
21 bb
Пример 3.1.5. Пусть задана прямая 0423:1 yxL и точка 2,1A . Составить
1) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно прямой 1L ,
2) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно прямой 1L .
Две прямые 21 и LL
67
Решение. 1. Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку
2,1A , по формуле AA xxkyy 2 :
.21
,12
2
2
xky
xky
Запишем заданную прямую 0423:1 yxL , как прямую с угловым коэффициентом
2
32
2
31 kxy .
Для того чтобы прямые 21 и LL были параллельны, необходимо, чтобы выполнялось
условие 212
3
2
32121 xykkkk ,
.0732
,4332
xy
xy
2. Для того чтобы прямые 21 и LL были перпендикулярны, необходимо, чтобы
выполнялось условие 213
2
3
211
1221 xy
kkkk ,
.0423
,6223
xy
xy
Ответ: 1) 0732 xy , 2) .0423 xy
3.2. Плоскость в пространстве
3.2.1. Различные виды уравнений плоскости
Всякое уравнение вида 0,, zyxF определяет поверхность, как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Теорема 3.2.1. В декартовой прямоугольной системе координат в пространстве Oxyz каждая плоскость может быть задана линейным уравнением 0 DCzByAx . Обратно, каждое линейное уравнение в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.
Определение 3.2.1. Пусть дана плоскость в пространстве. Ненулевой вектор n , перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. Заданная точка
0M , принадлежащая плоскости, называется начальной точкой плоскости.
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz задана начальная точка 0000 ,, zyxM и нормальный вектор CBAn ,, . И пусть zyxM ,, некоторая точка плоскости,
перпендикулярной вектору n и проходящей через точку 0M . Тогда вектор
0000 ,, zzyyxxMM будет перпендикулярен вектору n (рис. 3.5), т. е. 00 MMn . Выражая скалярное произведение через координаты сомножителей, получим 0000 zzCyyBxxA .
Определение 3.2.2. Уравнение вида 0000 zzCyyBxxA называется
уравнением плоскости, проходящей через заданную точку 0000 ,, zyxM и перпендикулярной
вектору CBAn ,, .
68
Определение 3.2.3. Линейное уравнение 0 DCzByAx называется общим уравнением плоскости.
Общее уравнение получается из предыдущего уравнения после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, следовательно, коэффициенты уравнения есть координаты нормального вектора CBAn ,, .
Пример 3.2.1. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку )1;1;2( А
перпендикулярно вектору BC , если )3;4;2(B ; )6;6;3( C .
Решение. Найдем координаты вектора BCn : }3;2;1{ n . Пусть );;( zyxM
произвольная точка плоскости , тогда векторы AM и n – перпендикулярны.
Следовательно, 0 AMn или в координатной форме 0)1(3)1(2)2(1 zyx . Преобразуя левую часть последнего равенства, получим 0332 zyx .
Ответ: уравнение искомой плоскости имеет вид 0332 zyx .
Определение 3.2.4. Уравнение вида 1c
z
b
y
a
x называется уравнением плоскости в
отрезках (рис. 3.6). Уравнением плоскости в отрезках получается из общего уравнения, если
коэффициенты DCBA ,,, отличны от нуля и введены обозначения C
Dc
B
Db
A
Da ,, .
Определение 3.2.5. Уравнение вида pnr 0 называется уравнением плоскости в
векторной форме, где kzjyixr – радиус-вектор текущей точки плоскости
zyxM ,, ; coscoscos0 kjin – единичный вектор, имеющий направление
перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат; ,, – углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат ;,, OzOyOx p – длина этого перпендикуляра.
Получим уравнение плоскости , проходящей через три точки );;( 1111 zyxM ;
);;( 2222 zyxM ; );;( 3333 zyxM . Уравнение этой плоскости можно получить из условия
компланарности векторов MMMMMM 13121 ,, , где );;( zyxM произвольная точка
плоскости . Тогда координаты векторов равны:
};;{ 12121221 zzyyxxMM ,
};;{ 13131331 zzyyxxMM ,
};;{ 1111 zzyyxxMM .
Рис. 3.6. К определению 3.2.4.
Рис. 3.5. К определению 3.2.2.
69
Если точка M , то четыре точки ,, 1MM 32 , MM лежат в плоскости . Поэтому
векторы MMMMMM 13121 ,, компланарны, значит, их смешанное произведение равно
нулю.
Вывод: уравнение плоскости, проходящей через три точки );;( 1111 zyxM , );;( 2222 zyxM ,
);;( 3333 zyxM имеет вид:
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
.
3.2.2. Угол между двумя плоскостями
Пусть даны две плоскости своими общими уравнениями 1 : 01111 DzCyBxA и
0: 22222 DzCyBxA . Векторы };;{ 1111 CBAn , };;{ 2222 CBAn перпендикулярны к
плоскостям 1 и 2 соответственно. Один из двугранных углов ,
образуемых данными плоскостями, равен углу между векторами 1n и 2n и вычисляется по формуле
.cos22
22
22
21
21
21
212121
21
21
CBACBA
CCBBAA
nn
nn
Второй двугранный угол будет дополнять его до 180 .
Пример 3.2.2. Найти угол между двумя плоскостями 01523:1 zyx и
01385:2 zyx .
Решение. Векторы }2;1;3{1 n и }3;8;5{2n нормальные векторы плоскостей 1 и 2
соответственно. Найдем угол между векторами 1n и 2n :
222222 )3(852)1(3
)3(28153cos
1372
1
714
1,
откуда 714
1arccos .
Ответ: угол между плоскостями 1 и 2 равен 45,88714
1arccos .
Рис. 3.7. Угол между плоскостями
70
3.2.3. Взаимное расположение двух плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Пусть заданы две плоскости 21 и PP
.0:
,0:
22222
11111
DzCyBxAP
DzCyBxAP
Тогда взаимное расположение двух плоскостей определяется взаимным расположением соответствующих им нормальных векторов 22221111 ,, и ,, CBAnCBAn .
Перпендикулярны
0212121
21
CCBBAA
nn
Параллельны
21 || nn
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
Совпадают
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
3.2.4. Расстояние от точки до плоскости
Теорема 3.2.2. Расстояние от точки 0000 ,, zyxM до плоскости, заданной уравнением
,0 DCzByAx находится по формуле
222
000
CBA
DCzByAxd
.
Пример 3.2.3. Вычислить расстояние от точки )2;1;1(0 M до плоскости ,
проходящей через три точки )1;1;1(1 M ; )3;1;2(2 M ; )2;5;4(3 M .
Решение. Точки 1M , 2M , 3M не лежат на одной прямой, т. к. векторы 21MM , 31MM
не коллинеарны, поэтому 1M , 2M , 3M определяют плоскость . Пусть );;( zyxM –
произвольная точка плоскости , тогда векторы MM1 , 21MM , 31MM компланарны, и,
следовательно,
0
121514
131112
111
zyx
.
После разложения определителя по первой строке получим
0
343
223
111
zyx
34
22)1(x
33
23)1(
y 043
23)1(
z
Две плоскости 21 и PP
71
2)1(x 3)1( y 06)1( z 011632 zyx .
Последнее равенство есть общее уравнение плоскости . Вычислим расстояние от точки )2;1;1(0 M до плоскости по формуле
222
000
CBA
DCzByAxd
, откуда
222 6)3(2
11)2(613)1(2
d =
7
28= 4 .
Ответ: расстояние от точки 0M до плоскости равно 4.
3.3. Прямая линия в пространстве
Прямую линию в пространстве можно задавать в виде линии пересечения двух не совпадающих и не параллельных плоскостей 21 и PP , т. е. в виде системы уравнений, определяющих плоскости
.0
,0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA (3.1)
Определение 3.3.1. Уравнения вида (3.1) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Определение 3.3.2. Уравнения вида 3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx
называются
каноническими уравнениями прямой в пространстве, проходящей через заданную точку 0000 ,, zyxM в направлении, заданном вектором 321 ,, aaaa .
Чтобы перейти от общих уравнений к каноническим, надо определить какую-либо точку );;( 0000 zyxM , принадлежащую данной прямой, и направляющий вектор };;{ 321 aaaa
этой прямой. Если 022
11 BA
BA, то в общих уравнениях прямой положим 00 zz и из
полученной системы найдем 0xx и 0yy .
Если 022
11 BA
BA, а 0
22
11 CB
CB (или 0
22
11 CA
CA), то, положив 00 xx (или
00 yy ), найдем 0yy и 0zz (или 0xx и 0zz ). Таким образом, получим точку
);;( 0000 zyxM . Вектор ],[ 21 nna , где 21, nn – нормальные векторы плоскостей 1 и 2
соответственно, является направляющим вектором данной прямой. Пример 3.3.1. Составить канонические уравнения прямой
.0132
,011423
zyx
zyx
Решение. Отыщем точку );;( 0000 zyxM , положив 00 z , т. к. 012
23 . Тогда 00 , yx
найдем из системы уравнений
.012
,01123
00
00
yx
yx
72
Решаем эту систему методом Крамера:
12
2301 , 9
11
2111 , 19
12
1132 ,
91
910
x , 191
1920
y .
Получим 19,9 00 yx . )0;19;9(0 M – точка, лежащая на данной прямой.
Направляющий вектор прямой
312
423
kji
a = kji 17)10( , или }1;17;10{ a .
Канонические уравнения прямой имеют вид
117
19
10
9
zyx
.
Ответ: 117
19
10
9
zyx
.
Определение 3.3.3. Уравнения вида 12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
называются
уравнениями прямой в пространстве, проходящей через две различные точки 1111 ,, zyxM и
2222 ,, zyxM .
Определение 3.3.4. Уравнения вида
tazz
tayy
taxx
30
20
10
называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве, где t – параметр ( t ), 321 ,, aaaa – направляющий вектор прямой.
3.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть в пространстве заданы плоскость 0: DCzByAxP с нормальным
вектором CBAn ,, и прямая 3
0
2
0
1
0:a
zz
a
yy
a
xxL
с направляющим вектором
321 ,, aaaa .
Определение 3.4.1. Углом между прямой и плоскостью в пространстве называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость, где 900 .
Теорема 3.4.1. Если плоскость и прямая заданы уравнениями 0: DCzByAxP и
3
0
2
0
1
0:a
zz
a
yy
a
xxL
, то угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле
an
an
90cossin или 23
22
21
222
321sinaaaCBA
CaBaAa
.
73
Перпендикулярны
na ||
321 a
C
a
B
a
A
Параллельны
na
0321 CaBaAa
Для определения общих точек прямой
3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx
(3.2)
и плоскости 0 DCzByAx (3.3)
достаточно перейти от канонических уравнений прямой к параметрическим
,
,
,
30
20
10
tazz
tayy
taxx
(3.4)
и подставить в уравнение (3.3) значения zyx ,, из уравнений (3.4). После преобразования уравнение (3.3) будет представлять уравнение вида
0 qtp . (3.5) Возможны следующие случаи:
а) 0p . Тогда уравнение (3.5) имеет единственное значение p
qt . Подставляя
найденное значение t в уравнения (3.4), получим координаты точки пересечения прямой (3.2) с плоскостью (3.3);
б) 0;0 qp . В этом случае уравнение (3.5) не имеет решения, т. е. прямая и плоскость не имеют общих точек;
в) 0;0 qp . В этом случае любое значение t будет решением уравнения (3.5) и, следовательно, любая точка прямой (3.2) принадлежит плоскости (3.3) (т. е. прямая лежит на плоскости).
Прямая L и плоскость P
Рис. 3.9. Параллельность прямой и плоскости
Рис. 3.8. Перпендикулярность прямой и плоскости
74
Пример 3.4.1. Найти точку пересечения прямой 62
1
1
1:
zyxL
и плоскости
0132: zyxP . Решение. Найдем параметрические уравнения данной прямой
tx
1
1, t
y
2
1, t
z
6,
откуда
.6
,21
,1
tz
ty
tx
(3.6)
Подставляем полученные значения zyx ,, в уравнение плоскости: 016)21(3)1(2 ttt . После преобразования имеем 22 t или 1t . Подставив
значения 1t в систему (3.6), найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости, т. е. 6;3;2 zyx .
Ответ: (2;–3;6) – точка пересечения прямой L и плоскости P .
3.5. Кривые второго порядка Определение 3.5.1. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая,
определяемая в декартовой системе координат алгебраическим уравнением второй степени 02 22 FEyDxCyBxyAx , где не все коэффициенты CBA ,, равны нулю.
При определенных соотношениях между коэффициентами CBA ,, уравнения
02 22 FEyDxCyBxyAx можно определить, к какому типу относится кривая. Существуют три типа кривых: эллиптический тип, гиперболический тип, параболический тип. Рассмотрим эти соотношения коэффициентов.
1. 02 BAC – кривые эллиптического типа. К ним относятся эллипс, окружность, мнимый эллипс, мнимая окружность, точка.
2. 02 BAC – кривые гиперболического типа. К ним относятся гипербола, пара пересекающихся прямых.
3. 02 BAC – кривые параболического типа. К ним относятся парабола, пара параллельных прямых, пара совпадающих прямых.
Теорема 3.5.1. Пусть в декартовой системе координат задано алгебраическое уравнение второй степени 02 22 FEyDxCyBxyAx . Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:
1) 12
2
2
2
b
y
a
x, 2) 0
2
2
2
2
b
y
a
x, 3) 1
2
2
2
2
b
y
a
x,
4) 12
2
2
2
b
y
a
x, 5) 0
2
2
2
2
b
y
a
x, 6) pxy 22 ,
7) 02 x , 8) 22 ax , 9) 22 ax . Рассмотрим частные случаи алгебраического уравнения второй степени и
соответствующие им кривые.
75
3.5.1. Эллипс
Определение 3.5.2. Эллипсом называется множество всех точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная a2 .
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
)0(12
2
2
2
bab
y
a
x, (3.7)
где a – большая полуось; b – малая полуось. Точки 0, и 0, 21 cFcF называются
фокусами эллипса, 22 baс . Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом
10 ,22
a
ba
a
c.
Определение 3.5.3. Фокальным радиусом называется расстояние от некоторой точки кривой до фокуса.
Фокальные радиусы эллипса 21 и rr связаны соотношением arr 221 .
С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами 1d и
2d , уравнения которых имеют вид a
x . Отношение расстояния от любой точки эллипса
до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса .
Рис. 3.10. Эллипс
Частным случаем уравнения эллипса (3.7), при ba , является уравнение окружности 222 ayx с центром в точке 0,0O и радиусом a . Каноническое уравнение окружности с
центром в точке baO , и радиусом r имеет вид 222 rbyax . Другие канонические уравнения кривых эллиптического типа:
1. Уравнение 02
2
2
2
b
y
a
x задает точку 0,0O ;
2. Уравнение 12
2
2
2
b
y
a
x задает мнимый эллипс;
3. Уравнение 12
2
2
2
a
y
a
x задает мнимую окружность.
76
3.5.2. Гипербола
Определение 3.5.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная a2 .
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
12
2
2
2
b
y
a
x, (3.8)
где a и b – полуоси. Точки 0, и 0, 21 cFcF называются фокусами гиперболы, 22 baс ; MFrMFr 2211 и – фокальные радиусы гиперболы; 21 и rr связаны
соотношением arr 212 .
Рис. 3.11. Гипербола
Эксцентриситет гиперболы 1,22
a
ba
a
c.
Директрисы гиперболы имеют уравнения a
x . Отношение расстояния от любой
точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету гиперболы .
Асимптоты гиперболы имеют уравнения xa
by . Эти прямые не пересекают
гиперболу, а любые прямые kxy
a
bk пересекают ее. Более подробно асимптоты
рассмотрены в п. 5.4.4. Другие уравнения кривых гиперболического типа:
1. Уравнение 12
2
2
2
b
y
a
x задает гиперболу, сопряженную с (3.8).
2. Каноническое уравнение 02
2
2
2
b
y
a
x задает пару пересекающихся прямых.
3.5.3. Парабола
Определение 3.5.5. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
77
Каноническое уравнение параболы имеет вид pxy 22 , (3.9)
где 0p – параметр параболы.
Уравнение директрисы параболы имеет вид: 2
px . Точка
0,
2
pF является фокусом
параболы. Расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию до директрисы.
Рис. 3.12. Парабола
Другие уравнения кривых параболического типа: 1. Уравнение pyx 22 задает параболу, симметричную относительно оси Oy ;
2. Каноническое уравнение 02 x задает дважды совмещенную ось Oy ;
3. Каноническое уравнение 22 ax задает пару параллельных оси Oy прямых ax ;
4. Каноническое уравнение 22 ax задает пару мнимых параллельных прямых; 5. Уравнение 02 y задает дважды совмещенную ось Ox ;
6. Уравнение 22 ay задает пару параллельных оси Ox прямых ay .
Для удобства изучения эллипса, гиперболы и параболы составим таблицы 3.1 и 3.2. Таблица 3.1
Кривые второго порядка Эллипс Гипербола Парабола
Каноническое уравнение 1
2
2
2
2
b
y
a
x 1
2
2
2
2
b
y
a
x pxy 22 pyx 22
Большая полуось 222 cba 222 bca ------ ------ Малая полуось 222 cab 222 acb ------ ------
Фокусы 0,
0,
2
1
cF
cF
0,
0,
2
1
cF
cF
0,
2
pF
2,0
pF
Эксцентриситет 10, a
c 1,
a
c 1 1
Директрисы a
x a
x 2
px
2
py
Асимптоты ----- xa
by ----- -----
Фокальные радиусы
xar 1 Правая ветвь
axr
axr
2
1 2
pxr
2
pyr
xar 2
Левая ветвь
axr
axr
2
1 ----- -----
78
Таблица 3.2 Изображения кривых второго порядка
Название Каноническое уравнение Схематический чертеж
Эллипс
0,0, ,12
2
2
2
babab
y
a
x
babab
y
a
x ,0,0 ,1
2
2
2
2
Окружность ,0,0 ,12
2
2
2
babab
y
a
x
Гипербола
0,0 ,12
2
2
2
bab
y
a
x
0,0 ,12
2
2
2
baa
x
b
y
Парабола 0 ,22 ppxy
79
Окончание табл. 3.2 Название Каноническое уравнение Схематический чертеж
Парабола
0 ,22 ppyx
0 ,22 ppxy
0 ,22 ppyx
3.5.4. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка
0222 0212
22122
11 ayaxayaxyaxa (3.10)
в прямоугольной декартовой системе координат ),,( jiO на плоскости. Метод приведения квадратичной формы к каноническому (простейшему) виду
ортогональным преобразованием (поворотом плоскости Oxy ) можно использовать для упрощения уравнения кривой второго порядка, так как группу старших членов
22212
211 2 yaxyaxa уравнения можно считать квадратичной формой от координат вектора
.jyix Эта квадратичная форма в ортонормированном базисе
jUiUj
jUiUi
2212
2111 ,
из собственных векторов матрицы квадратичной формы (базис должен иметь стандартную ориентацию, т. е. кратчайший поворот от первого вектора ко второму должен быть против часовой стрелки) приводится к каноническому виду 2
22
1 yx , где 21 и – корни
уравнения
.02212
1211
aa
aa
80
При этом связь между координатами любого вектора в базисах ),( ji и ),( ji выражается формулами
.
,
2221
1211
yUxUy
yUxUx
(3.11)
Подставив значения (3.11) в уравнение (3.10), приведем это уравнение к виду
,022 0212
22
1 aybxbyx (3.12)
где 21 и bb новые коэффициенты.
1. Если ,0, 21 то, выделив полные квадраты, преобразуем уравнение следующим образом:
,02
2
22
2
1
11
c
by
bx
(3.13)
где .2
22
1
21
0 bb
ac Сделаем подстановку
.,2
2
1
1
b
yyb
xx
Тогда уравнение (3.13) перепишется в виде
.022
21 cyx (3.14)
Если 0c , тогда получим пару пересекающихся прямых ( 021 ) или точку ( 021 ). Если 0c , то c переносим в правую часть равенства (3.14) и делим уравнение на c . В случае 021 получим уравнение гиперболы, в случае 021 получим либо
уравнение эллипса ( 01 c ), либо уравнение мнимого эллипса ( 01 c ). Если полученное
уравнение не будет каноническим, то систему координат надо повернуть на угол 90 .
2. Если 0,0 22121 2
, то для определенности считаем 0,0 21 (иначе
повернем систему координат на угол 90 ). Тогда уравнение (3.12) примет вид .022 021
22 aybxby (3.15)
Если ,01 b то, выделив полный квадрат, будем иметь
,022
221
22
1
01
2
2
22
b
b
b
axb
by
отсюда, полагая
,,22 2
2
21
22
1
0
b
yyb
b
b
axx
получим уравнение параболы .02 1
22 xby
Это уравнение делением на 2 приводим к каноническому уравнению параболы (при
несовпадении знаков систему координат надо повернуть на o180 ). В случае, когда 01 b , уравнение (3.15) примет вид
.02 022
2 ayby
Отсюда, выделяя полный квадрат, находим
81
,02
22
0
2
2
22
b
ab
y
и после подстановки
,,2
2
b
yyxx
получим ,02
2 cy (3.16)
где .2
20
bac Делением на 2 приводим (3.16) к каноническим уравнениям пары
совпадающих прямых ( 0c ), пары параллельных прямых ( 02 c ), пары мнимых
параллельных прямых ( 02 c ). Пример 3.5.1. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка
,yxyxyx 0161616565 22 определить ее тип и найти каноническую систему координат. Изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением.
Решение. Данное уравнение определяет кривую второго порядка на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат ),,( jiO .
Матрица квадратичной формы 22 565 yxyx ,
входящей в левую часть данного уравнения, равна
.53
35
Ее собственные числа являются корнями уравнения
053
35
,
.8,2,35,09)5( 212
Координаты единичного собственного вектора, отвечающего собственному значению 21 , находим из системы
1
,033
,033
22 yx
yx
yx
или
,12
,2x
xy
отсюда
.21,21 yx
Следовательно, в качестве единичного собственного вектора можно взять, например, вектор
jii2
1
2
1 .
Аналогично, координаты единичного собственного вектора j , соответствующего
собственному числу 82 , находим из системы
82
1
,033
,033
22 yx
yx
yx
или
,12
,2x
xy
следовательно,
,21,21 yx значит, можно положить
jij2
1
2
1 .
Таким образом, ортогональное преобразование с матрицей перехода
,11
11
2
1
U
определяющее поворот плоскости на угол 45 , приводит квадратичную форму
,yxyx 22 565 к виду
,82 22 yx
при этом связь между старыми и новыми координатами задается формулами
).(2
1
),(2
1
yxy
yxx
(3.17)
Выполняя преобразование (3.17), уравнение рассматриваемой кривой в системе координат ),,( jiO запишем в виде
.01621682 22 yyx
Отсюда, выделяя полный квадрат, находим
.03228222 yx
Заменой переменных
,2
,
yy
xx
(3.18)
соответствующей сдвигу по оси yO на расстояние, равное 2 , получим
3282 22 yx или
1416
22
yx
. (3.19)
Уравнение (3.19) является каноническим уравнением эллипса с большой полуосью 4a , малой полуосью .2b
Сопоставляя преобразования (3.17) и (3.18), нетрудно заметить, что результирующее преобразование координат имеет вид
.12
1
,12
1
yxy
yxx
83
Канонической системой координат является декартовая прямоугольная система jiO ,, ,
где jijjiiO2
1
2
1,
2
1
2
1),1,1( (см. рис. 3.13).
Рис. 3.13. Кривая, определяемая исходным уравнением, и все системы координат
3.6. Поверхности второго порядка
3.6.1. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатными осям
Пусть в пространстве дана линия L и прямая l . Если через каждую точку линии L
провести прямую, параллельную l , то получим поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а прямые, параллельные прямой ,l – образующими цилиндрической поверхности.
Определение 3.6.1. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, пересекающей заданную линию (направляющую) и параллельной заданному направлению (рис. 3.14). Если направляющая является алгебраической кривой второго порядка, то поверхность называется цилиндром второго порядка.
Выберем систему координат так, чтобы ось Oz была параллельна образующим некоторой цилиндрической поверхности, а направляющая линия L , уравнение которой ,0, yxF лежала в координатной плоскости xOy .
Рис. 3.14. Цилиндрическая поверхность
84
Пусть точка zyxM ,, принадлежит данной поверхности. Точка LyxN 0,, является
проекцией точки zyxM ,, на плоскость xOy . Тогда координаты точки M удовлетворяют
уравнению 0, yxF .
Таким образом, уравнение 0, yxF определяет цилиндрическую поверхность с
образующей параллельной оси Oz и направляющей кривой 0, yxF в плоскости xOy .
Аналогично, уравнение 0, zxF определяет цилиндрическую поверхность с образующей
параллельной оси Oy и направляющей кривой 0, zxF в плоскости xOz . Уравнение
0, zyF определяет цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси Ox и
направляющей кривой 0, zyF в плоскости zOy . В таблице 3.3 приведены основные виды цилиндров второго порядка.
Таблица 3.3
Цилиндры второго порядка
Эллиптический цилиндр
12
2
2
2
b
y
a
x 1
2
2
2
2
c
z
a
x 1
2
2
2
2
c
z
b
y
Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр
12
2
2
2
b
y
a
x pyx 22 pxz 22
85
3.6.2. Поверхности вращения
Пусть в плоскости zOy задана линия L , уравнение которой 0, zyF . Точка
zyM ,,0 00 принадлежит кривой L . Найдем уравнение поверхности P , полученной в
результате вращения линии L вокруг оси Oz .
Рис. 3.15. Поверхность вращения
Пусть точка zyxM ,, принадлежит поверхности P , а точка zyM ,,0 00 принадлежит
линии L , следовательно, 0,0 zyF .
Но 2200 yxMOMOy . Получаем уравнение поверхности вращения
0,22 zyxF .
Таким образом, уравнение 0,22 zyxF задает поверхность вращения линии
0,0, xzyF , лежащей в плоскости zOy , вокруг оси Oz . Аналогично, уравнение
0, 22 zyxF задает поверхность вращения линии 0,0, zyxF , лежащей в плоскости
xOy , вокруг оси Ox . Уравнение 0,22 yzxF задает поверхность вращения линии
0,0, zyxF , лежащей в плоскости xOy , вокруг оси Oy . Для того чтобы получить уравнение поверхности вращения, необходимо: 1. Переменную, одноименную с осью вращения, оставить без изменения. 2. Другую переменную заменить по формуле расстояния до оси вращения.
3.6.3. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Определение 3.6.8. Поверхностью второго порядка называется поверхность, заданная в прямоугольной системе координат уравнением 0,, zyxF , где zyxF ,, – многочлен второй степени относительно переменных zyx ,, , т. е.
LHzKyGxQyzExzDxyCzByAxzyxF 222,, 222 .
Основные поверхности второго порядка, заданные их каноническими уравнениями, приведены в таблице 3.4.
86
Таблица 3.4 Поверхности второго порядка
Эллипсоиды сфера эллипсоид вращения трехосный эллипсоид
12
2
2
2
2
2
a
z
a
y
a
x 1
2
2
2
2
2
2
c
z
a
y
a
x 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Конус второго порядка
02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 0
2
2
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y 0
2
2
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x
Однополостный гиперболоид
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 1
2
2
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y 1
2
2
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x
87
Окончание табл. 3.4 Двуполостный гиперболоид
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 1
2
2
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y 1
2
2
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x
Эллиптический параболоид
0,0
222
qp
zq
y
p
x
0,0
222
qp
xr
z
q
y
0,0
222
qp
yr
z
p
x
Гиперболический параболоид
0,0
222
qp
zq
y
p
x 0
a
axyz
88
3.7. Основные термины Линия на плоскости и пространстве. Параметрические уравнения линии. Общее и нормальное уравнения прямой на плоскости. Вектор нормали и
направляющий вектор прямой. Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в «отрезках». Общее и нормальное уравнения плоскости. Вектор нормали. Уравнение плоскости в «отрезках». Общее и каноническое уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Общие уравнения кривых и поверхностей второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
3.8. Вопросы для самоконтроля 1. Любая ли прямая может быть задана линейным уравнением? 2. Любое ли линейное уравнение определяет прямую? 3. Опишите все виды уравнений прямой и поясните, каков геометрический смысл
коэффициентов в этих уравнениях? 4. Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости? 5. Как определить взаимное расположение прямых на плоскости: параллельны,
перпендикулярны или пересекаются? И если пересекаются, как найти угол между прямыми? 6. Любая ли плоскость может быть задана линейным уравнением и наоборот? 7. Каков геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости? 8. Как получить уравнение плоскости, проходящей через три точки? 9. Каков канонический вид уравнений эллипса, гиперболы, параболы и каков
геометрический смысл коэффициентов этих уравнений? 10. Сколько осей симметрии имеет эллипс (гипербола, парабола)? 11. Сколько вершин имеет эллипс (гипербола, парабола)? 12. Как определить эксцентриситет, директрисы и фокусы эллипса (гиперболы)? 13. Что такое цилиндрические поверхности и какие бывают виды цилиндров второго
порядка? 14. Что такое поверхности вращения? Являются ли поверхностями вращения
эллиптический или гиперболический параболоид?
3.9. Задачи для самостоятельного решения
Задания Ответы
1 Определить угловой коэффициент и отрезок, который отсекает прямая 0425 yx на оси Oy 2,
2
5 bk
2
Даны вершины )1;1(A , )4;5(B , )5;4(C треугольника. Найти: а) длину стороны AB ; б) внутренний угол A ; в) уравнение высоты, проведенной через вершину C ;
а) 53AB ; б) 45,111A ; в) 032 yx ; г) 040125 yx ;
89
Окончание Задания Ответы
г) уравнение медианы, проведенной через вершину C ; д) длину высоты, опущенной из вершины C ; е) систему линейных неравенств, определяющих
треугольник ABC ; з) сделать чертеж.
д) 5
511h ;
е)
.0419
,0134
,032
yx
yx
yx
3
Пусть задана прямая 022:1 yxL и точка 1,3A . Составить а) уравнение прямой, проходящей через точку A
параллельно прямой 1L , б) уравнение прямой, проходящей через точку A
перпендикулярно прямой 1L .
а) 052 yx , б) 052 yx
4
Найти расстояние от точки )1,7,12(0 M до плоскости,
проходящей через точки )7;4;3(1 M , )4;5;1(2 M ,
)0;2;5(3 M
6,9d
5 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
)2;0;1( A перпендикулярно вектору )1;2;2( n 022 zyx
6 Найти угол между плоскостями 053 yx и
01652 zyx 6
3arccos
7
Написать канонические уравнения прямой, заданной
пересечением двух плоскостей:
.0632
,022
zyx
zyx 24
4
1
1 zyx
8 Найти точку пересечения прямой
4
1
1
3
1
2
zyx
и
плоскости 01432 zyx . )3;2;1(M
9 Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки )2;1( F и от прямой 5x . Сделать чертеж.
Парабола )3(8)2( 2 xy
10 Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение ее расстояний до точки )0;7(F и до прямой 3x равно 2. Сделать чертеж.
Гипербола
14816
)1( 22
yx
11 Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение ее расстояний до точки )0;2(F и до прямой 4y равно 2/1 . Сделать чертеж.
Эллипс
14
)1(
3
)2( 22
yx
12
Дано уравнение 05622222 zyxzyx . Требуется: а) доказать, что это уравнение сферы; б) найти координаты центра и радиуса сферы; в) составить уравнение плоскости, проходящей через
центр сферы и ось Oz ; г) составить уравнение прямой, проходящей через центр
сферы и начало координат.
а) ;16)3(
)1()1(2
22
z
yx
б) 4),3;1;1( RO ; в) 0 yx ;
г) 311
zyx
90
Глава 4. Введение в математический анализ
Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и других ученых 17 – 18 вв.; а его база – теория пределов – была разработана О. Коши в начале 19 в. Глубокий анализ исходных понятий математического анализа был связан с развитием в 19 – 20 вв. теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного и привел к разнообразным обобщениям.
4.1. Логическая символика
Под высказыванием понимается предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.
В дальнейшем мы будем использовать символы математической логики ,,,,,,,, для обозначения соответственно отрицания «не», логических
связок «и» и «или», «существует», «для любого», «влечет», «равносильно», «стремится» и «принадлежит». Вместо A используется также обозначение A .
Запись BA может быть прочитана одним из следующих способов: «из А следует В», «если А, то В», «А влечет В», «В есть необходимое условие для А», «А есть достаточное условие для В» и означает, что из истинности высказывания А следует истинность высказывания В. Отметим, что если А ложно, то независимо от В высказывание BA считается истинным. Это отличает принятое в математике определение от житейского.
Доказательство утверждения BA состоит в построении цепочки следствий BCCA n ...1 , каждый элемент которой является либо аксиомой, либо ранее
доказанным утверждением. В доказательствах далее будет использоваться классическое правило вывода: если А истинно и BA , то В тоже истинно. Будет применяться также метод доказательства от противного. Схема применения этого метода следующая. Пусть требуется доказать высказывание А. Предполагают, что А ложно, и исходя из этого получают два противоречащих друг другу высказывания: А и A . Отсюда делается вывод об истинности А.
Запись BA можно прочитать любым из следующих способов: «А равносильно В», «А тогда и только тогда, когда В», «А необходимо и достаточно для В». Она означает, что
BA и AB . Поэтому для доказательства утверждения BA нужно доказать, что BA и AB .
4.2. Множества
Множество – это набор некоторых объектов произвольной природы, объединенных по каким-то общим для них признакам. Можно, например, говорить о множестве стульев в аудитории, множестве букв алфавита, множестве чисел. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множество чаще всего обозначаются прописными буквами латинского алфавита CBA ,, и т. д., элементы множества – строчными буквами
cba ,, и т. д. Если объект «а» принадлежит множеству «А», то это записывается так: Aa . Если же
«а» не является элементом множества «А», то записывается это так: Aa или Aa . Множество можно задать двумя основными способами: 1. Перечислив все его элементы. Например: 8,5,4,2,1А означает, что множество A состоит из пяти элементов.
91
2. Описав элементы при помощи характеристического свойства, устанавливающего, какие элементы принадлежат, а какие не принадлежат данному множеству.
Например: N ккxxА ,12 означает, что множество A состоит из нечетных
чисел. Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное множество это такое
множество, число элементов которого конечно. В противном случае множества являются бесконечными.
Для наиболее важных числовых множеств приняты постоянные обозначения: N – множество натуральных чисел ...},5,4,3,2,1{ ; Z – множество целых чисел ...},5,4,3,2,1,0{ ;
Q – множество рациональных чисел –
Znm
n
m,| , где дробь
n
m ( 0n ), для
определенности, считают несократимой; I – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел (рациональных и иррациональных); C – множество комплексных чисел (см. глава 6, п. 6.1). Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой (или
числовой оси), т. е. прямой с выбранным началом отсчета, положительным направлением и единицей масштаба.
Между множеством R и числовой прямой существует взаимнооднозначное
соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число.
Определение 4.2.1. Множество A называют подмножеством множества B, если любой элемент множества принадлежит множеству B, и записывают это:
ВА (A содержится в B). Легко видеть, что для любого множества АА . Как известно, CRQZN и RI . В дальнейшем будем использовать следующие подмножества R : а) если bxa , то говорят, что x принадлежит отрезку или сегменту ],[ ba
( ],[ bax ); б) если bxa , то x принадлежит интервалу ),( ba ( ),( bax ); в) если bxa , то ],( bax , если bxa , то ),[ bax , и говорят, что x
принадлежит полуинтервалу; г) если ax , то ),[ ax , если bx , то ],( bx , и говорят, что x принадлежит
бесконечному полуинтервалу; д) если ax , то говорят, что ),( ax , если bx , то ),( bx , и говорят, что x
принадлежит бесконечному интервалу; е) если Rx , то ),( x и говорят, что x принадлежит множеству
действительных чисел или принадлежит всей числовой прямой. Здесь введено важное понятие математического анализа – понятие бесконечности . Определение 4.2.2. Абсолютной величиной, или модулем, действительного числа x
называется само число x , если x неотрицательно, и противоположное число x , если x отрицательно:
.0 если,
,0 если,||
xx
xxx
92
Очевидно, что 0|| x . Геометрически || ba – расстояние между точками a и b на числовой прямой.
Определение 4.2.3. -окрестностью ),( 0 xu точки R0x называется интервал
),(),( 000 xxxu . Проколотой -окрестностью точки 0x называется -окрестность
точки 0x , из которой удалена точка 0x
000 \),(),( xxuxuo
.
Определение 4.2.4. Множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, и пишут BA .
Определение 4.2.5. Множество, не имеющее элементов, называется пустым множеством и обозначается Ø.
Операции над множествами 1. Объединением, или суммой множеств A и B, называется множество всех элементов,
принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B. Обозначается BA . Например: если 3,2,1А , а 4,3,2В , то 4,3,2,1ВА . Более наглядно объединение множеств можно показать геометрически (серая область
на рис. 4.1):
Рис. 4.1. Геометрическое представление объединения множеств А и В: а – имеющие общие элементы; б – без общих элементов
2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов,
принадлежащих каждому из множеств A, B. Обозначается BA . Например: если 3,2,1А , а 4,3,2В , то 3,2ВА . Более наглядно пересечение множеств можно показать геометрически (серая область на
рис. 4.2):
Рис. 4.2. Геометрическое представление пересечения множеств А и В: а – имеющие общие элементы; б – без общих элементов
В случае б) множества A и B являются непересекающимися, т. е. BAC Ø.
3. Разностью множеств A и B называют множество, состоящее из тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B. Обозначается BA \ .
Например: если 3,2,1А , а 4,3,2В , то 1\ ВА , а 4\ АВ . Более наглядно разность множеств можно показать геометрически (серая область на
рис. 4.3):
а б
а б
93
Рис. 4.3. Геометрическое представление разности множеств ВА \ (а) и множеств АВ \ (б)
4. Декартовым, или прямым произведением множеств A и B, называют множество всех упорядоченных пар элементов (а,b), где Аа и Вb . Элементы а и b называются компонентами или координатами пары (а,b). Обозначается BA .
Например: Пусть bаА , , dсаВ ,, , тогда ),(),,(),,(),,(),,(),,( dbcbabdасаааВА .
Пример. 4.2.1. Пусть заданы множества чисел 4,3,2,1A и 6,5,4B . Найти пересечение, объединение и разность этих множеств.
Решение:
1. 4BA 2. 6,5,4,3,2,1BA
3. 3,2,1\ BA , т. к. только эти элементы принадлежат множеству A и не
принадлежат множеству B A
1, 2, 3, 4, 5, 6 .
A\B B
4. 6,5\ AB , т. к. только эти элементы принадлежат множеству B и не принадлежат множеству A
B
1, 2, 3, 4, 5, 6 .
A B\A
Пример. 4.2.2. Пусть заданы множества чисел 3,1A и 4,2B . Найти пересечение, объединение и разность этих множеств.
Решение. A
1 2 3 4 B
1. ]3,2(BA ; 2. ]4,1(BA ; 3. ]2,1(\ BA ; 4. ]4,3(\ AB .
а б
B
1, 2, 3, 4, 5, 6
A BA
B
1, 2, 3, 4, 5, 6
A
BA
94
4.3. Последовательности. Предел последовательности
Пусть каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, 3,…, n,… ставится в соответствие действительное число xn, т. е. x1, x2, x3,…, xn,….
Определение 4.3.1. Множество занумерованных чисел x1, x2, x3,…, xn,… называется числовой последовательностью, или просто последовательностью.
Числовую последовательность сокращенно будем обозначать символом nx , числа x1,
x2, x3,…, xn,… будем называть элементами, или членами последовательности, а число xn – общим, или n-м членом последовательности.
Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.
Примеры числовых последовательностей:
1.
n
1 – последовательность ,...
1,...,
3
1,
2
1,1
n
2. n2 – последовательность 2, 4, 8, 16,…, n2 , …
3. n)1( – последовательность –1, 1, –1, 1, –1,…
Приведенные числовые последовательности ведут себя по-разному: элементы первой – «неограниченно» уменьшаются, оставаясь положительными; элементы второй – увеличиваются, становясь больше любого положительного числа; элементы третьей – принимают только два значения +1 и –1.
Определение 4.3.2. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M (m) такое, что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенству )( mxMx nn .
Определение 4.3.3. Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Определение 4.3.4. Числовая последовательность называется: возрастающей, если ......321 nxxxx ;
неубывающей, если ......321 nxxxx ;
убывающей, если ......321 nxxxx ;
невозрастающей, если ......321 nxxxx .
Все такие последовательности называются монотонными последовательностями. Определение 4.3.5. Число a называется пределом последовательности nx , если для
любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер )(NN , что для всех nx , с номерами Nn справедливы неравенства axa n .
Неравенство axn , эквивалентное неравенствам axa n , означает, что
все nx с номерами Nn расположены между a и a . Последовательность, предел
которой – конечное число a, называется сходящейся, и ее предел обозначают axnn
lim .
95
Если изобразить элементы последовательности nx на плоскости точками с координатами
),( nxn , то неравенства axa n означают, что все точки ),( nxn с номерами n>N
расположены между параллельными оси абсцисс прямыми a и a . Если предел последовательности не существует или бесконечен, то последовательность
называется расходящейся. Пример 4.3.1. Сходящиеся последовательности
а) nnx
1
10 , 1lim n
nx ; б)
nx
n
n
)1(1
, 1lim
nn
x .
Определение 4.3.6. Последовательность n , предел которой равен нулю
0nlim
n, называется бесконечно малой.
Пример 4.3.2. Бесконечно малые последовательности
а) ;1
3
nn б) 2
)1(2
n
n
n .
Определение 4.3.7. Последовательность n называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M, как бы велико оно ни было, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N справедливо неравенство Mn . Формально будем писать
n
nlim .
Пример 4.3.3. Бесконечно большая последовательность
а) ;3
1
nxn б)
2
)1(
n
nx
n
n .
Основные свойства сходящихся последовательностей
1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
2. Для того чтобы последовательность nx имела предел
axnlim
n, необходимо и
достаточно, чтобы nn ax , где n – бесконечно малая последовательность
0nlim
n.
3. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. 4. Всякая возрастающая и ограниченная сверху последовательность сходится. Всякая
убывающая и ограниченная снизу последовательность сходится. 5. Пусть nx и ny – две сходящиеся последовательности, такие что axn
n
lim ,
bynn
lim . Тогда выполняются следующие утверждения:
а) последовательность nn yx будет сходящейся, причем
bayxyx nn
nn
nnn
limlimlim ;
б) последовательность nn yx также будет сходящейся, причем
bayxyx nn
nn
nnn
limlimlim .
Следствие. Пусть последовательность nx такая, что constcxn для n . Тогда
будут справедливы следующие предложения:
ccn
lim и nn
nnn
nn
ycycyс
limlimlimlim ,
96
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак предела;
в) последовательность
n
n
y
x также будет сходящейся, причем
b
a
y
x
y
x
nn
nn
n
n
n
lim
limlim
( 0b ).
4.4. Функции. Предел функции
4.4.1. Определение функции
Определение 4.4.1. Постоянной величиной, или просто постоянной (const), называется величина, сохраняющая одно и то же значение.
Обозначение постоянных ,...,,, dcba Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу 14,3....141592654,3 .
Определение 4.4.2. Переменной величиной, или просто переменной, называется величина, которая может принимать различные числовые значения.
Обозначение переменных ,...,,, tzyx Например, температура нагреваемой воды является переменной величиной.
Определение 4.4.3. Пусть YX , – числовые множества. Говорят, что на множестве X определена функция f, если каждому элементу х множества X ( Xx ) поставлен в соответствие единственный элемент y множества Y ( Yу ). При этом X называют областью определения данной функции, Y – областью ее значений, x – независимой переменной – аргументом, y – зависимой переменной – функцией. Обозначение у=f(x).
Можно также сказать, что функция f отображает множество X в Y: YХf
. Пример 4.4.1. Функция у= x 2 отображает множество всех действительных чисел на
множество неотрицательных чисел. Определение 4.4.4. Множество пар ),( yx точек плоскости Oxy (здесь )(xfy )
называют графиком функции )(xfy (рис. 4.4).
Рис. 4.4. График функции y = f(x)
Определение 4.4.5. Функция )(xfy называется четной, если для любых значений x из области определения ),()( xfxf и нечетной, если )()( xfxf . В противном случае функция )(xfy называется функцией общего вида.
Например, 2xy – четная функция, 3xy – нечетная функция, 32 xxy – функция общего вида.
97
Определение 4.4.6. Функция )(xfy называется периодической с периодом 0T , если для любых значений x из области определения )()( xfTxf .
Например, функция xy sin периодическая с периодом 2T .
Определение 4.4.7. Функция )(xfy называется возрастающей (убывающей) на отрезке ],[ ba , если )()( 21 xfxf ( )()( 21 xfxf ) при bxxa 21 . Возрастание (убывание) означает, что большему значению аргументу соответствует большее (меньшее) значение функции.
Определение 4.4.8. Функция )(xfy называется неубывающей (невозрастающей) на отрезке ],[ ba , если )()( 21 xfxf при bxxa 21 (или соответственно )()( 21 xfxf при
bxxa 21 ).
Определение 4.4.9. Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.
Например, функция 3xy , возрастающая при Rx , а функция 2xy убывает при ]0,(x и возрастает при ),0[ x .
Определение 4.4.10. Функция )(xfy называется ограниченной на множестве X, если существует такое положительное число 0M , что Mxf |)(| для любого Xx .
Например, функции xy sin и xy cos ограничены на всей числовой прямой, так как 1|sin| x и 1|cos| x для всех Rx .
4.4.2. Элементарные функции
Определение 4.4.11. Основными элементарными функциями называются следующие функции:
1. Степенная R ,xy ;
2. Показательная )1,0( aaay x ;
3. Логарифмическая )1,0(log aaxy a ;
4. Тригонометрические xyxyxyxy ctg,tg,cos,sin ;
5. Обратные тригонометрические xyxyxy arctg,arccos,arcsin , xy arcctg . Необходимо повторить свойства этих функций, область определения, область
значений, четность, нечетность, монотонность, периодичность и их графики.
Определение 4.4.12. Пусть заданы две функции )(ufy и )(xu , причем множество значений функции )(xu принадлежит области определения функции
)(ufy . Тогда говорят, что определена функция ))(( xfy (здесь y функция от x), которая называется сложной функцией, или суперпозицией функций.
Примеры 4.4.2. а) xy 2sin (здесь uy sin , где xu 2 );
б) xy 2sin (здесь 2uy , где xu sin );
в) xy sin (здесь uy , где xu sin );
г) 32 xey (здесь uey , где 32 xu ).
Определение 4.4.13. Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и операции суперпозиции функций, называются элементарными.
98
Например, функция )13(log)12arcsin(
2sintg3
32
xx
x
xy
x
является элементарной,
функции ][xy – целая часть числа x , }{xy – дробная часть числа x элементарными не являются.
Определение 4.4.14. Функция вида
011
1 ...)( axaxaxaxP nn
nnn
,
где R 011 ,,...,, aaaa nn , называется многочленом.
Определение 4.4.15. Отношение двух многочленов )(
)()(
xQ
xPxR
m
n называется
рациональной функцией.
Определение 4.4.16. Если в формуле )(xfy в правой части производятся операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональными нецелыми показателями, то функция )(xfy называется иррациональной.
Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации
показательных функций вида )(2
1 xx ee и )(2
1 xx ee . Введем в рассмотрение еще один
класс элементарных функций, называемых гиперболическими функциями.
Определение 4.4.17. Гиперболическим синусом называется функция ,2
shxx ee
x
гиперболическим косинусом – 2
chxx ee
x
, гиперболическим тангенсом –
xx
xx
ee
ee
x
xx
ch
shth , гиперболическим котангенсом –
xx
xx
ee
ee
x
xx
sh
chcth .
Нетрудно проверить, что гиперболические синус и косинус связаны между собой тождеством:
1shch 22 xx .
4.4.3. Обратная функция Пусть дана возрастающая или убывающая функция )(xfy , определенная на
некотором множестве X , и пусть функция f отображает множество X в Y: YХf
. Рассмотрим два различных значения Xx 1 и Xx 2 21 xx . Из определения
возрастающей (убывающей) функции следует, что если 21 xx и 2211 , xfyxfy , то
21 yy . Следовательно, двум различным значениям 1x и 2x соответствуют два различных
значения функции 1y и 2y . Справедливо и обратное, т. е. если 21 yy , 11 xfy , а
22 xfy , то из определения возрастающей (убывающей) функции следует, что 21 xx . Таким образом, между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие (рис. 4.5).
99
Рассматривая эти значения y как значения аргумента, а значения x как значения функции, получаем x как функцию y :
ygx . Эта функция называется обратной для функции )(xfy . Из определения следует,
что xxfgyygf , . Заметим, что область определения
обратной функции )(ygx является областью значений прямой функции )(xfy (т. е. множество Y), а область значений обратной функции ygx является областью
определения прямой функции xfy (т. е. множество X).
)(xfy (прямая функция)
)(ygx (обратная функция)
Область определения множество X множество Y Область значений множество Y множество X Графики функций )(xfy и )(ygx совпадают. Если же переобозначить аргумент и значение функции g, как обычно, через x и y
соответственно, то получим функцию )(xgy , график которой симметричен графику функции )(xfy относительно биссектрисы I и III координатных углов (т. е. прямой
xy ).
Теорема 4.4.1. Если функция )(xfy определена и возрастает (или убывает) на множестве X и областью ее значений является множество Y , то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (или убывает) на Y .
Пример 4.4.3. Пусть xy 2 – прямая функция. Найти обратную ей функцию. Решение. 1. Область определения функции: xy 2 : xxDX :)( .
2. Область значений функции: xy 2 : yyEY 0:)( .
3. Функция xy 2 возрастает на множестве X , значит, у нее есть обратная функция.
4. Выразим из выражения xy 2 переменную x: yx 2log .
5. Переобозначим переменные x и y и получим xy 2log , область определения
которой xxDX 0:)( (область значения функции xy 2 ), а область значений –
yyEY :)( (область определения функции xy 2 ). Таким образом, xy 2log
будет обратной функцией для функции xy 2 . График функции xy 2log симметричен
относительно прямой xy графику функции xy 2 (рис. 4.6).
Рис. 4.5. Взаимно однозначная функция
100
Рис. 4.6. Графики взаимно обратных функций xy 2 и xy 2log
Пример 4.4.4. Найти обратную функцию для функции 12 xy . Решение.
Рис. 4.7. Графики взаимно обратных функций 12 xy и 2
1
xy
1. Область определения функции: 12 xy : xxDX :)( . 2. Область значений функции: 12 xy : yyEY :)( . 3. Функция 12 xy возрастает на множестве X , значит, у нее есть обратная
функция.
4. Выразим из выражения 12 xy переменную x: 2
1
yx .
5. Переобозначим переменные x и y и получим 2
1
xy . Область определения
полученной функции 2
1
xy xxDX :)( (область значения функции
12 xy ), а область значений – yyEY :)( (область определения функции
12 xy ). Таким образом, функция 2
1
xy будет обратной функцией для функции
12 xy . График функции 2
1
xy симметричен относительно прямой xy графику
функции 12 xy (рис. 4.7).
101
4.4.4. Способы задания функций
Существует несколько способов задания функций. Рассмотрим основные способы задания функции.
1. Табличный способ задания функции. При этом способе задания составляется таблица, в которой в определенном порядке выписывается ряд значений аргумента и соответствующие им значения функции. Такой способ чаще всего используется при оформлении результатов экспериментов. Например,
x –2 –1 0 1 2 3 y 4 1 0 1 4 –2
2. Графический способ задания функции. При этом способе задания функция
изображается графиком на плоскости Oxy (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Графический способ задания функции
Например, график функции xy имеет вид (рис. 4.9)
Рис. 4.9. График функции xy
3. Аналитический способ, если функция задана формулой вида )(xfy ,
указывающей, какие действия и в каком порядке надо произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.
Примеры: xy 3ctg , xy arcsin , 3xy , 2 xy .
102
4.4.5. Предел функции
Определение 4.4.19. Пусть функция )(xfy определена в некоторой проколотой
окрестности точки 0x . Число a называется пределом функции )(xfy в точке 0x (или при
0xx ), если для любого сколь угодно малого числа 0 найдется такое число
0)( , что для всех 0xx , удовлетворяющих условию 0xx , выполняется
неравенство axf )( . Символически это записывается так: axfxx
)(lim0
.
Определение 4.4.20. Число а называется пределом функции )(xfy при x ,
стремящемся к бесконечности axfx
)(lim( ) , если для любого сколь угодно малого числа
0 найдется такое число 0)( N , что для всех x , удовлетворяющих условию )(Nx ,
выполняется неравенство axf )( .
Определение 4.4.21. Если предел 0)(lim0
xfxx
, то функция )(xfy называется
бесконечно малой при 0xx . Если предел 0)(lim
xfx
, то функция )(xfy называется
бесконечно малой при x . Определение 4.4.22. Функция )(xfy называется бесконечно большой при 0xx ,
если для любого сколь угодно большого числа 0M найдется число 0)( M такое, что
для всех 0xx , )(0 Mxx выполняется неравенство Mxf )( , и пишут
)(lim0
xfxx
.
Причем, если 0)( xf , то
)(lim0
xfxx
, если 0)( xf , то
)(lim0
xfxx
.
Определение 4.4.23. Пусть функция )(xf определена на интервале ),( 0xb
(соответственно на интервале ),( 0 cx ). Число a называется левосторонним
(правосторонним) пределом функции )(xfy в точке 0x :
))0()(lim()0()(lim 00
00 00
xfxfaxfxfaxxxx
, если для любого сколь угодно малого
числа 0 существует такое число 0)( , что для всех x , удовлетворяющих условию
00 )( xxx (соответственно )),(00 xxx выполняется неравенство axf )( .
Теорема 4.4.2. Для существования axfxx
)(lim0
необходимо и достаточно, чтобы
axfxf )0()0( 00 .
4.4.6. Основные теоремы о пределах функции
1. Если )(lim0
xfxx
существует и конечен, то он единственный, и функция в окрестности
точки 0x ограничена.
2. Для того чтобы функция )(xfy , Xx имела конечный предел
axf
xx)(lim 0
0
в
точке 0x , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой – окрестности точки 0x
выполнялось равенство )()( xaxf , где )(x бесконечно малая функция при 0xx .
103
3. Если )(xfy и )(xgy имеют в точке 0x конечные пределы
axf
xx)(lim
0
,
bxg
xx)(lim
0
, то функции )(
)(
xg
xf )0( b , )()( xgxf , )()( xgxf , также будут иметь
конечные пределы в точке 0x и выполняются соотношения
b
a
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
)(lim
)(lim
)(
)(lim
0
0
0
)0( b ,
baxgxfxgxfxxxxxx
)(lim)(lim)()(lim000
,
baxgxfxgxfxxxxxx
)(lim)(lim)()(lim000
.
Следствие. Пусть constсxf )( . Эта функция имеет предел в каждой точке 0x
числовой прямой, причем ccxfxxxx
00
lim)(lim . Если bxgxx
)(lim0
, то будет справедливо
следующее утверждение:
)(lim)(limlim)()(lim0000
xgсxgсxgxfxxxxxxxx
,
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.
4.4.7. Теоремы о бесконечно больших и бесконечно малых функциях
Можно доказать следующие теоремы.
1. Если )(xf бесконечно малая функция при 0xx , то функция )(
1)(
xfxg является
бесконечно большой при 0xx . И обратно, если )(xg бесконечно большая функция при
0xx , то функция )(
1)(
xgxf является бесконечно малой при 0xx .
2. Если Axfxx
)(lim0
и
)(lim0
xgxx
, то
)()(lim0
xgxfxx
, символическая запись A ;
0)(
)(lim
0
xg
xfxx
0A
;
)(
)(lim
0 xf
xgxx
A
.
3. Если
)(lim0
xfxx
и
)(lim0
xgxx
, то
)()(lim0
xgxfxx
;
)()(lim0
xgxfxx
.
4. Если
)(lim0
xfxx
и
)(lim0
xgxx
, то
)()(lim0
xgxfxx
)( ;
)()(lim0
xgxfxx
)( .
104
5. Если при 0xx пределы Axfxx
)(lim0
)0( A и
)(lim0
xgxx
, то
0если,
0если,)()(lim
0 A
Axgxf
xx A .
6. Если Axfxx
)(lim0
)0( A и 0)(lim0
xgxx
, 0)( xg , то
0если,
0если,
)(
)(lim
0 A
A
xg
xfxx
0
A.
Аналогичные результаты будут иметь место, если x , либо x .
4.4.8. Теоремы о предельном переходе
Если функция )(xfy имеет в точке 0x конечный предел
Axf
xx)(lim
0
, то
справедливы следующие равенства 1. ))((lim())((lim
00
xfxfxxxx
для любого действительного , т. е. можно переходить к
пределу в основании степени с любым действительным показателем.
2. mxx
m
xxxfxf )(lim)(lim
00 , т. е. можно переходить к пределу под знаком корня (если
m – четное число, то 0)( xf ).
3. ))((lim(log))((loglim00
xfxfxx
aaxx
, при 0a , 1a , т. е. можно переходить к пределу
под знаком логарифма.
4. )(lim
)( 0
0
limxf
xf
xx
xxaa
, при 0a , 1a , т. е. можно переходить к пределу в показателе
степени. Аналогично результаты будут иметь место, если x , либо x .
4.4.9. Некоторые методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов
При подстановке предельного значения аргумента в функцию, стоящую под знаком
предела, можно получить следующие виды неопределенных выражений: 00 ,0,1,,0,,
0
0
.
I. При вычислении предела отношения двух композиций степенных функций при x оба члена отношения (и числитель, и знаменатель) полезно разделить на kx , где k
– наивысшая степень этих композиций. Примеры 4.4.5. Вычислить пределы:
1. 2
2
652
173lim
xx
xxx
. При x числитель и знаменатель дроби стремятся к
бесконечности. Для раскрытия неопределенности
разделим числитель и знаменатель на
высшую степень 2x :
105
2
1
6
3
652
173
lim652
173lim
2
2
2
2
xx
xxxx
xxxx
.
Учли, что 02
,5
,1
,7
22
xxxx при x .
2. 13
2lim
13
2lim
2
2
15
2
5
x
xx
x
xxxx
= (старшая степень x равна 5 делим на
5x и числитель, и знаменатель) =
0
1
13lim
211lim
13
211
lim13
2
lim
53
5
2
9
53
5
2
9
55
2
55
2
1
5
5
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
x
x
x
x
x
xx.
3. 32
2
13
2
2
38
1lim
38
1lim
xx
xx
xx
xxxx
= (разделим на старшую степень x и
числитель, и знаменатель и воспользуемся теоремой о предельном переходе) =
2
1
8
131
8
111
lim38
1
lim 33
2
2
13
222
2
222
2
xx
xx
xx
x
x
xxx
x
x
x
xx.
II. Если пределы 0)(lim0
xfxx
и 0)(lim0
xgxx
, где )(xf и )(xg многочлены, то при
вычислении )(
)(lim
0 xg
xfxx
надо и в числителе, и в знаменателе выделить множитель )( 0xx и
сократить дробь на этот множитель.
Примеры 4.4.6. Вычислить пределы:
1.
0
2
2lim
)2(
)2(lim
0
0
44
2lim
2222
2
2 x
x
x
xx
xx
xxxxx
.
2. 3
4
1
5lim
)1()1(
)5()1(lim
0
0
1
56lim
21213
2
1
xx
x
xxx
xx
x
xxxxx
.
После сокращения числителя и знаменателя на множитель )1( x избавились от неопределенности и, подставив предельное значение аргумента х, получили ответ. Аналогично вычисляются и все следующие пределы. Здесь воспользовались непрерывностью функции в точке (см. раздел 4.5): для непрерывной функции )(xf в точке
0xx выполняется равенство )()(lim 00
xfxfxx
.
3.
)1()1(
)1()1()1(lim
)1()1(
)1()1(lim
0
0
1
1lim
2
2
12
22
13
4
1 xxx
xxx
xxx
xx
x
xxxx
3
4
3
22
)1(
)1()1(lim
2
2
1
xx
xxx
.
Замечание. Выражения, содержащие иррациональности, во многих случаях приводятся к рациональному виду введением новой переменной.
106
Примеры 4.4.7. Вычислить предел x
xx
9
3lim
4
81.
Решение.
.6
1
3
1lim
)3()3(
3lim
0
0
9
3lim
3то,81если
тогда
пусть
0
0
9
3lim
3323
2
4
4
81
ttt
t
t
t
tx
tx
tx
x
xtttx
III. При вычислении пределов )(
)(lim
0 xg
xfxx
, содержащих иррациональные выражения,
часто используют перевод иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот, применяя формулы сокращенного умножения.
Примеры 4.4.8. Вычислить пределы:
1. 1
lim2
1
x
xxx
. Числитель и знаменатель стремятся к 0 при 1x . Для раскрытия
неопределенности
0
0 домножим числитель и знаменатель на выражения, сопряженные к
числителю и знаменателю:
))(1)(1(
)1)()((lim
0
0
1lim
2
22
1
2
1 xxxx
xxxxx
x
xxxx
Используем формулы разности квадратов и кубов:
.3)1)(1(
lim))(1(
)1)(1)(1(lim
))(1(
)1)(1)(1(lim
))(1(
)1)(1(lim
))(1(
)1)((lim
2
2
12
2
1
2
2
12
3
12
4
1
xx
xxxx
xxx
xxxxx
xxx
xxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
2.
)11(
11lim
)11(
)11()11(lim
0
011lim
000 xx
x
xx
xx
x
xxxx
= 2
1
11
1lim
)11(lim
00
xxx
xxx
.
3.
xxxx
65lim 2 = (избавимся от иррациональности, умножив это
выражение на xxx
xxx
65
652
2
) =
xxx
xxxxxxx 65
6565lim
2
22
=
xxx
xx
x
xxx
x
xxx
xxxxxx
)65
1(
65lim
65
65lim
65
65lim
222
22
22
=
x
x
xxx
x
xx
x
xxx
x
xxx
)65
1(
65
lim
)65
1(
65lim
22
(старшая степень x равна 1 делим
107
на x числитель и знаменатель) = 2
5
11
5
1)65
1(
65
lim
2
xx
xx
.
IV. При вычислении пределов вида )(
)(lim
0 xg
xfxx
или )()(lim0
xg
xxxf
часто используют
I замечательный предел и II замечательный предел.
4.4.10. Замечательные пределы
I замечательный предел
Определение 4.4.24. Предел вида x
xx
sinlim
0 называется I замечательным пределом.
Особенности I замечательного предела:
1. Так как 0sin x при 0x , то имеем неопределенность вида 0
0.
2. В данном пределе рассматривается отношение синуса некоторого аргумента к этому аргументу (x – измеряется в радианах) при стремлении аргумента к нулю.
3. 1sin
lim0
x
xx
.
Примеры 4.4.9. Вычислить пределы:
1. 15
5sinlim
0
x
xx
(I замечательный предел).
2. 3133
3sinlim3
3
3sin3lim
0
03sinlim
000
x
x
x
x
x
xxxx
(для того чтобы привести к I замечательному пределу, числитель и знаменатель дроби умножили и разделили на 3).
3. 5,01
5,0
2
2sinlim
5,0
2
2sin2
1
lim
2
2sin2lim
0
0
2sinlim
0
000
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
xxx
(для того чтобы привести к I замечательному пределу, числитель и знаменатель дроби разделили на 2x).
4.
2
2
02
2
02020
2sin2
lim)
2sin21(1
lim22cos1
lim0
0cos1lim
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
=
2
2sin
2
1
lim
2
2sin
2
1
lim22sin
2sin
lim2000 x
x
x
x
x
x
x
x
xxx = (для того чтобы привести к I замечательному
пределу, числитель и знаменатель дроби умножили и разделили на 2
1) =
108
= 2
1
2
2sin
lim
2
2sin
lim2
1
2
12
.1
0
.1
0
пределузамIпо
x
пределузамIпо
x x
x
x
x
.
II замечательный предел
Определение 4.4.25. Предел вида x
x x
11lim называется II замечательным пределом.
Особенности II замечательного предела:
1. Так как 01
x при x , то имеем неопределенность вида 1 .
2. В показателе степени стоит бесконечно большая величина, второе слагаемое суммы в скобках – обратная ей величина – бесконечно малая.
3. еx
x
x
11lim , где е = 2,718… – число Непера, основание натуральных логарифмов.
II замечательный предел Следствие II замечательного предела x 0t
еx
x
x
11lim еt t
t
1
01lim
kx
xе
x
k
1lim k
tt
еkt
1
01lim
Примеры 4.4.10. Вычислить пределы:
1. еx
x
x
3
3
11lim (II замечательный предел).
2. еx xx
5
1
051lim (следствие II замечательного предела).
3. 3
3
.
31
1lim11
1lim еxx
пределузамIIпое
x
x
x
x
.
4.
)7(277
272
71lim
71lim1
71lim
x
x
x
x
x
x xxx14
14
.
771lim
е
x
пределузамIIпое
x
x
(для того чтобы привести ко II замечательному пределу, показатель степени умножили и разделили на –7).
5.
1
1
21lim
3x
x x = (сделаем замену переменных
1
2
xt , т. е.
t
tx
2, тогда
если x , то 0t ) =
36
0
36
0
)2(3
01lim1lim1lim t
tt
t
tt
t
tttt
36
011lim tt t
t
109
3
0
6
01lim1lim tt
tt
t 6363
0
63
0
6
.
1
011lim1lim1lim ееtеtt
tt
пределузамIIпое
tt
.
6. 3
1
23
43lim
x
x x
x. Так как
3
1lim,1
23
13lim
x
x
xxx
, то имеем неопределенность вида
1 . Проведем следующие преобразования:
3
2lim
3)23(
)1(6
6
23
3
1
3
1
3
1
23
)1(2
6
)23(1
1lim
23
61lim
23
6)23(lim
23
43lim
eex
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
(в конце преобразований воспользовались теоремой о предельном переходе).
7. 2
2)25(lim
x
x
xx . Так как ,1)25(lim
2
x
xа
2lim
2 x
xx
,
то имеем неопределенность вида 1 . Преобразуем
22
2
2)24(1lim)25(lim
x
x
x
x
x
xxx .
Введем новую переменную. Пусть yx 24 , тогда 2
4,
22,)2(2
yx
yxyx
;
при 0,2 yx . Получим
4)4(lim
41
0
)2
(2
4
0
01lim)1(lim
eeyy
yy
yy
y
y
y
y .
4.4.11. Асимптотическое сравнение функций
Определение 4.4.26. Пусть )(x и )(x – бесконечно малые функции при 0xx и
пусть bx
xxx
)(
)(lim
0
. Тогда
1. Если 1b , то бесконечно малые )(x и )(x называются эквивалентными
(асимптотически равными) при 0xx и пишут )(~)( xx при 0xx .
2. Если 1b и 0b , то говорят, что бесконечно малые )(x и )(x имеют
одинаковый порядок малости и пишут ))(()( xOx при 0xx (читают )(x есть
О-большое от )(x ). 3. Если 0b , то говорят, что бесконечно малая )(x имеет более высокий порядок
малости, чем )(x и пишут ))(()( xox при 0xx (читают )(x есть о-малое от )(x ).
4. Если b , то говорят, что бесконечно малая )(x имеет более высокий порядок
малости, чем )(x и пишут ))(()( xox при 0xx .
110
Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых функций ( 0)( xf при 0xx ):
)(~)(sin xfxf 2/)(~)(cos1 2 xfxf )(~)(tg xfxf
)(~)(arcsin xfxf )(~)(arctg xfxf )(~))(1ln( xfxf
)(~1)( xfe xf axfa xf ln)(~1)( )(~1))(1( xfxf
Замечание. Аналогичным образом можно сравнивать и бесконечно большие функции, в частности дадим определение эквивалентности.
Определение 4.4.27. Функции )(xf и )(xg – эквивалентные бесконечно большие
функции при 0xx , если )),(~)((1)(
)(lim 0
0
xxxgxfxg
xfxx
.
Вычисление пределов во многих случаях упрощается, если применить следующую теорему.
Теорема 4.4.3. Пусть )(),(),(),( 11 xxxx – бесконечно малые функции при
0xx , причем )(~)( 1 xx , )(~)( 1 xx при 0xx . Тогда если существует )(
)(lim
1
1
0 x
xxx
, то
существует и )(
)(lim
0 x
xxx
, причем
)(
)(lim
)(
)(lim
1
1
00 x
x
x
xxxxx
(предел отношения бесконечно малых
не изменится, если заменить их эквивалентными бесконечно малыми).
Теорема 4.4.3 верна и для эквивалентных бесконечно больших функций. При вычислении пределов можно также применять следующее правило. Если )(xf и )(xg бесконечно большие функции при x и qp BxxgAxxf ~)(,~)(
при x , то
,
,
,0
,/
limlim)(
)(lim
qp
qp
qpBA
xB
A
Bx
Ax
xg
xf qp
xq
p
xx (4.1)
где qp, – любые вещественные числа.
Пример 4.4.11. Найти 2
32
652
173lim
xx
xxx
.
Решение. Найдем эквивалентные бесконечно большие: ,3~173 232 xxx 22 6~652 xxx при x , тогда
2
1
6
3lim
652
173lim
2
2
2
32
x
x
xx
xxxx
.
Приведем примеры использования эквивалентности бесконечно малых функций.
Пример 4.4.12. Найти xx
xx 5arctg
2cos1lim
3
0
.
Решение. Пределы числителя и знаменателя равны 0 при 0x , т. е. имеем отношение двух бесконечно малых функций. Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела, используя формулы ),)(( 2233 babababa xx 2sin22cos1 и эквивалентность бесконечно малых функций xx 5~5arctg при 0x . Тогда
111
5
6
5
)2cos2cos1(2lim
5
)2cos2cos1(sin2lim
5
)2cos2cos1)(2cos1(lim
5arctg
2cos1lim
2
22
02
22
0
2
0
3
0
x
xxx
x
xxx
xx
xxx
xx
x
xx
xx
(т. к. xx ~sin при 0x , то )0,~sin 22 xxx .
Ответ получили после сокращения числителя и знаменателя дроби на 2x и подстановки предельного значения аргумента.
Ответ: 5
6
5arctg
2cos1lim
3
0
xx
xx
.
Пример 4.4.13. Найти )1ln()1ln()43(lim
xxxx
.
Решение. Проведем следующие преобразования:
.1
21ln)43(lim
1
2)1(ln)43(lim
1
1ln)43(lim)1ln()1ln()43(lim
xx
x
xx
x
xxxxx
xx
xx
Так как при ,01
2,
xx то
1
2~
1
21ln
xx, следовательно,
61
86lim
1
2)43(lim
1
21ln)43(lim
x
x
xx
xx
xxx.
Ответ: 6)1ln()1ln()43(lim
xxxx
.
Таким образом, при вычислении пределов используют следующие методы раскрытия неопределенностей, описанные в пунктах 4.4.9–4.4.11:
1. Для раскрытия неопределенности вида
0
0 можно воспользоваться следующими
приемами: а) так как под знаком предела стоит отношение бесконечно малых функций,
применить теорему 4.4.1 и цепочку эквивалентных бесконечно малых; б) если в числителе и знаменателе дроби стоят многочлены произвольных степеней,
нужно разложить их на множители и сократить на множитель )( 0xx , который обращает в 0
числитель и знаменатель; в) при вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения,
использовать метод замены переменной или перевести иррациональность из знаменателя в числитель или наоборот, дополняя до формулы разности квадратов или разности кубов, а затем сократить дробь на множитель, обращающийся в 0.
2. Для раскрытия неопределенности
воспользоваться правилом (4.1), указанным
выше, или разделить числитель и знаменатель на наивысшую степень х.
3. Неопределенности типа ,0 преобразовать к неопределенностям типа
0
0 или
.
4. Для раскрытия неопределенности ]1[ использовать второй замечательный предел.
112
4.5. Непрерывность функции. Точки разрыва
4.5.1. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва
Определение 4.5.1. Функция )(xfy называется непрерывной в точке 0x , если:
1. )(xfy определена в некоторой окрестности точки 0x .
2. )(lim0
xfxx
)( 0xf .
Определение 4.5.2. Если в точке 0x нарушено хотя бы одно из условий 1) или 2), то 0x
называется точкой разрыва функции )(xfy . Сформулируем еще одно, равносильное, определение непрерывности. Дадим аргументу 0x приращение x . Тогда функция )(xfy получит приращение
y , определяемое как разность наращенного и исходного значения функции:
)()( 00 xfxxfy .
Определение 4.5.3. Функция )(xfy называется непрерывной в точке 0x , если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
0lim0
yx
. (4.2)
Условие непрерывности (4.2) можно представить одним из следующих способов: 0)]()([lim 00
0
xfxxf
x,
)()(lim 000
xfxxfx
.
Определение непрерывной в точке функции можно также сформулировать с помощью левостороннего и правостороннего пределов функции в точке.
Определение 4.5.4. Функция )(xfy называется непрерывной в точке 0x , если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняются следующие равенства
)()(lim)(lim 000 00
xfxfxfxxxx
.
Невыполнение хотя бы одного из этих равенств влечет за собой разрыв функции. Проведем классификацию точек разрыва функции:
1. Если )()(lim)(lim 000 00
xfxfxfxxxx
или функция не определена в точке 0x , то 0x
называется точкой разрыва первого рода с устранимым разрывом (или точкой устранимого разрыва).
2. Если BABxfAxfxxxx
,)(lim,)(lim00 00
, т. е. )(lim)(lim00 00
xfxfxxxx
, то точка 0x
называется точкой разрыва первого рода с неустранимым разрывом (со скачком функции BA ).
3. В остальных случаях точка 0x называется точкой разрыва второго рода.
Определение 4.5.5. Функция )(xfy , определенная на множестве X , называется непрерывной на множестве XX 1 , если она непрерывна во всех точках множества 1X .
Определение 4.5.6. Функция )(xfy , определенная на множестве D , называется
непрерывной справа (слева) в точке Dx 0 , если выполняется равенство )()(lim 000
xfxfxx
)()(lim 0
00
xfxfxx
.
113
Определение 4.5.7. Функция )(xfy называется непрерывной на отрезке ],[ ba , если она непрерывна во всех точках интервала ),( ba , непрерывна справа в точке ax и слева в точке bx .
При решении задач используется: Теорема 4.5.1. Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения. Пример 4.5.1. Задана функция )(xfy и два значения аргумента 1x и 2x . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из
данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж
.1,0,5)( 211 xxxf x
x
Решение. 1) Исследуем точку 01 x . Вычислим значение функции в этой точке:
15)0()( 01 fxf . Найдем:
1555lim)(lim 01lim
1
0
0
1
x
x
x
x
xxx
xxf .
Так как )()(lim 11
xfxfxx
, то в точке 01 x
функция )(xf непрерывна;
2) Исследуем точку 12 x . Функция в точке
2x не определена, значит, в этой точке она терпит разрыв. Определим характер точки разрыва. Для этого найдем односторонние пределы функции
055lim5lim)(lim 1
11
1
0102
x
x
xx
x
x
xxxxf ,
55lim5lim)(lim 1
11
1
0102
x
x
xx
x
x
xxxxf .
Так как
)(lim02
xfxx
, то точка 12 x – точка
разрыва второго рода (с бесконечным разрывом). Строим схематический чертеж (рис. 4.10). Пример 4.5.2. Задана функция )(xfy . Найти точки разрыва функции, если они
существуют. Сделать чертеж.
.2,5
,21,1
,10,
,0,ln
)(2
x
xx
xx
xx
xf
Решение. Функция задана различными формулами на разных промежутках. В каждом из промежутков xxxx 2,21,10,0 функция непрерывна, т. к. является элементарной (см. теорему 4.5.1). Следовательно, точки разрыва могут быть только на стыках промежутков, т. е. в точках 1) 00 x , 2) 11 x , 3) 22 x . Исследуем каждую точку.
Для этого найдем левосторонние и правосторонние пределы функции. 1. 0lim)(lim,lnlim)(lim
000000 00
xxfxxfxxxxxx
.
Рис. 4.10. График функции
15)( x
x
xf
114
Значит, в точке 00 x , функция имеет разрыв второго рода. При этом
)0(0lim)(lim0000
fxxfxxx
. Значит, функция непрерывна справа в точке 00 x .
2. 2)1(lim)(lim,1lim)(lim 2
010010 11
xxfxxfxxxxxx
.
Так как )(lim)(lim00 11
xfxfxxxx
, то 11 x – точка разрыва первого рода, разрыв
неустранимый. Скачок функции равен 1 BA .
Так как )1(1lim)(lim101
fxxfxxx
, то функция
непрерывна слева в точке 11 x .
3. 55lim)(lim,5)1(lim)(lim020
2
020 22
xxxxxx
xfxxf .
Вычислим значение функции в точке 5)2(:22 fx .
Получили )()(lim)(lim 200 22
xfxfxfxxxx
, т. е. по
определению функция в точке 22 x непрерывна. Строим график функции )(xf (рис. 4.11).
4.5.2. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема 4.5.2. (1 теорема Больцано-Коши) Пусть функция )(xfy непрерывна на
отрезке ],[ ba и на концах отрезка имеет значения разных знаков 0)()( bfaf . Тогда существует по крайней мере одна точка ),,( bac в которой 0)( cf .
Рис. 4.12. Геометрическая иллюстрация 1 теоремы Больцано-Коши Теорема 4.5.3. (теорема Вейерштрасса) Если функция )(xfy непрерывна на
отрезке ],[ ba , то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка 1xx такая, что
значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению )()( 1 xfxf , где x –
любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка 2xx такая, что
значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению )()( 2 xfxf .
Значение функции )( 1xf называется наибольшим значением функции )(xfy на
отрезке ],[ ba , значение функции )( 2xf – наименьшим значением функции на отрезке ],[ ba .
Рис. 4.11. График функции )(xf
115
Рис. 4.13. Геометрическая иллюстрация теоремы Вейерштрасса Теорема 4.5.4. (2 теорема Больцано-Коши) Пусть функция )(xfy непрерывна на
отрезке ],[ ba и на концах отрезка принимает значения Aaf )( и Bbf )( )( BA . Пусть C – любое число и BCA . Тогда на отрезке ],[ ba найдется, по крайней мере, одна точка
),( bac в которой Ccf )( .
Рис. 4.14. Геометрическая иллюстрация 2 теоремы Больцано-Коши
4.6. Основные термины
Множество. Элемент множества. Подмножества. Объединение, пересечение и разность множеств. Числовые множества. Числовая прямая. Промежуток, отрезок, интервал, полуинтервал. Числовая последовательность. Общий член и элементы последовательности.
Монотонная последовательность. Предел последовательности. Функция. Аргумент и значение функции. Область определения и область значений
функции. Обратная функция. Обратимая функция. Суперпозиция функций (сложная функция). Элементарная функция, основные элементарные функции. Предел функции. Односторонние пределы. Замечательные пределы. Неопределенность. Виды неопределенности. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Эквивалентность функций. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на отрезке.
116
4.7. Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение объединения )( BA множеств, пересечения множеств )( BA , разности множеств )\( BA . Приведите примеры.
2. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции? 3. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры. 4. Обратная функция. 5. Какая функция называется сложной? Приведите примеры. 6. Что такое числовая последовательность? Сформулируйте определение ограниченной
сверху последовательности (ограниченной снизу, ограниченной). 7. Сформулируйте определение предела числовой последовательности. 8. Что такое сходящаяся числовая последовательность (расходящаяся)? Основное
свойство сходящихся последовательностей. 9. Какая последовательность называется бесконечно малой? Связь бесконечно малой
последовательности со сходящей последовательностью. 10. Сформулируйте определение предела функции при 0xx и при x .
11. Как связаны понятия предела функции с понятиями ее пределов справа и слева? 12. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций. 13. Сформулируйте определение для эквивалентных бесконечно малых (бесконечно
малых одного порядка малости). 14. Приведите ряд эквивалентности бесконечно малых функций. 15. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на множестве. 16. Какие точки называются точками разрыва функции? 17. Сформулируйте основные теоремы для непрерывных на отрезке функций.
4.8. Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Для заданных множеств найти пересечение, объединение и разность этих множеств
Ответ
BA BA BA / AB /
1 7,5,3,1A и 8,6,4,2B 8,7,6,5,4,3,2,1 7,5,3,1 8,6,4,2
2 5,3,2,1A и 9,5,4B 5 9,5,4,3,2,1 3,2,1 9,4
3 A и 4,1B 4,1 4,1
4 5,3A и B 5,3 5,3
5 2,1A и 4,2B 2 4,1 2,1 4,2
6 7,3A и 5,2B 5,3 7,2 7,5 3,2
Задание 2. Найти функции, обратные заданным. Найти область определения и области значений прямой и обратной функций
Ответ
Обратная функция
Области опре-деления и зна-чения прямой функции
Области опреде- ления и значения обратной функции
1 43 xy 3
4
xy
RxxD : RyyE :
RxxD : RyyE :
2 1 xy 12 xy 1: xxD 0: yyE
0: xxD 1: yyE
117
Окончание Задание 2. Найти функции, обратные заданным. Найти область определения и области значений прямой и обратной функций
Ответ
Обратная функция
Области опре-деления и зна-чения прямой функции
Области опреде- ления и значения обратной функции
3 1 xy 12 xy 1: xxD 0: yyE
0: xxD 1: yyE
4 1
1
xy 1
1
xy
1: xxD 0: yyE
0: xxD 1: yyE
5 x
xy
1
1
x
xy
1
1
1: xxD 1: yyE
1: xxD 1: yyE
6 xy 3ln xey3
1
0: xxD RyyE :
RxxD : 0: yyE
7 xy 2log2
1 1
2
1
x
y 0: xxD RyyE :
RxxD : 0: yyE
8 2x
ey xy ln2 RxxD : 0: yyE
0: xxD RyyE :
9 32x
y xy 2log3 RxxD : 0: yyE
0: xxD RyyE :
10 xy 2arccos xy cos2
1
2
1,
2
1: xxD
,0: yyE
,0: xxD
2
1,
2
1: yyE
Задание 3. Написать первые пять членов заданных последовательностей с общим членом Ответ
1 nn nx 11 10,0,6,0,2X
2 n
a nn
111
5
4,
4
5,
3
2,
2
3,0A
3 12
12
n
nyn
11
9,
9
7,
7
5,
5
3,
3
1Y
4 122 nnnc 16,8,4,2,1C
5 2
1 23 nnd
n
n
75,24,18,2,1D
6 n
bn
4
5
2,1,
3
2,2,2B
7
nan 3
sin
2
3,
2
3,0,
2
3,
2
3A
8 2
tg
n
dn
7
tg,3,5
tg,1,3
3 D
118
Задание 4. Написать формулу общего члена для заданных последовательностей Ответ
1 ,...9,7,5,3,1C 12 ncn
2 ,...3,3,3,3,3 M 13 nnm
3
,...
243
1,
81
1,
27
1,
9
1,
3
1Y nny
3
1
4
,...
12cos,
9cos,
6cos,
3cos
A
nan 3
cos
5
,...
4
4ctg,
3
3ctg,
2
2ctg,
1
1ctgD
n
nd
n
n
ctg1 1
Задание 5. Вычислить пределы Ответ № Вычислить пределы Ответ
1 1
1lim
2
2
x
xx
1 2 1
10lim
2 x
xx
0
3 35
13lim
xx
xx
5
3 4
xx
xx 2
2lim 1
5 xx
xx
x 32
32lim
11
3 6
3 3 10lim
x
xx
1
7 10
lim2
xx
xx
8 1
1lim
3 2
x
xx
0
9 x
xx
1lim
2
1 10
3
321lim
x
xxxx
1
11 25
105lim
2
2
5
x
xxx
12
31 1
3
1
1lim
xxx – 1
13 156
18lim
2
3
2
1
xx
x
x
6 14
32 8
3
2
1lim
xxx
15 23
1lim
2
2
1
xx
xx
– 2 16 x
xx
82lim
3
0
12
17 10
31lim
10
x
xx
6
1 18
1
1lim
1
x
xx
2
1
19 4
8lim
364
x
xx
3 20 39
24lim
2
2
0
x
xx
2
3
21 2
33 2
1 1
12lim
x
xxx
9
1 22 xax
x
lim 0
23 x
xx
3sinlim
0 3 24
x
xx 3tg
7sinlim
0
3
7
25 x
xx
sinlim
0 26 xx
xctglim
0
1
27 x
xx 4
arcsin3lim
0
4
3 28
xx
x
sinlim
0 0
119
Окончание Задание 5. Вычислить пределы Ответ № Вычислить пределы Ответ
29
x
xxctg
sin
1lim
0 0 30
xx
xtg
2lim
2
1
31 x
x x
11lim e 32
12
2
3lim
x
x x
x 10e
33
2
5
5lim
2
2 x
x x
x
10e 34
x
x x
3
21lim 3
2
e
35 3
23
3lim
x
x x
x 3
2
e 36
x
xx
1lnlim
0 1
37 xxxx
ln2lnlim
2 38 2
1
coslim xx
x
2
1
e
39 23
34
14lim
x
x x
x 3e 40
32
1lim
x
x x
x 2e
Задание 6. Вычислить односторонние пределы Ответы
а) б)
1 а) 1
lim2 x
xx
б) 1
lim2 x
xx
– 1 1
2 а) 3
3lim
03
x
xx
б) 3
3lim
03
x
xx
1 – 1
3 а) x
xe
2
1
02lim б) x
xe
2
1
02lim 0
4 а) xx
arctglim
б) xx
arctglim
2
2
5 а) 2
lim02 x
xx
б) 2
lim02 x
xx
Задание 7. Найти точки разрыва функций и исследовать их характер
Ответы Точки разрыва Тип точек разрыва
1 1
1
xxxf x = 0
x = 1 точки разрыва II рода
2 x
xxf
sin x = 0
точка устранимого разрыва
3
1если,1
41если,1
11если,2
x
xx
x
xf
x
x = 1 точка разрыва I рода
4
45,2если,72
5,21если,24
10если,2
xx
xx
xx
xf x = 2,5 точка разрыва I рода
120
Окончание Задание 7. Найти точки разрыва функций и исследовать их характер
Ответы Точки разрыва Тип точек разрыва
5 x
xxf x = 0 точка разрыва I рода
6 1
1
xexf x = – 1 точка разрыва II рода
7 2
1
xexf
x = 0 точка устранимого
разрыва
Задание 8. Найти, при каком выборе параметров функция f(x) будет непрерывной
Ответы
1
1,2
1,12 xax
xxxf a = 2
2
1,
1,1
22
xA
xx
xxxf A = 3
121
Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
В дифференциальном исчислении изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие дифференциального исчисления тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу математического анализа, имеющего чрезвычайное значение для естествознания, техники и экономики. Основной предпосылкой для создания дифференциального исчисления явилось введение в математику переменных величин Р. Декартом. В общих чертах построение дифференциального и интегрального исчислений было завершено в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница к концу 17 в. Создание дифференциального и интегрального исчислений явилось началом периода бурного развития математики и связанных с ней прикладных наук.
5.1. Задачи, приводящие к понятию производной
5.1.1. Скорость движения
Рассмотрим задачу о скорости движения. Пусть точка движется вдоль прямой и известна зависимость )(tSS пройденного пути от времени t (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Прямолинейное движение точки
Средняя скорость движения на интервале времени ttt 00 , равна отношению
пройденного за это время пути S к промежутку времени t : t
Svср
. Чем меньше t , тем
лучше средняя скорость характеризует движение. Мгновенной скоростью в момент времени
0t называется предел средней скорости за промежуток от 0t до tt 0 при 0t :
t
Svtv
tср
t
00
0 limlim)( .
Если учесть, что )()( 00 tSttSS , то можно записать
t
tSttStv
t
)()(lim)( 00
00 .
Таким образом, скорость движения точки в момент времени 0t – это предел отношения
приращения пути S (функции) к приращению времени t (аргумента) при стремлении приращения времени t (аргумента) к нулю.
5.1.2. Касательная к кривой
Определение 5.1.1. Касательной к кривой L в точке А называется предельное положение AT секущей AB , когда точка LB стремится к точке A по кривой L (рис. 5.2).
122
Рассмотрим задачу о касательной к кривой. Пусть на плоскости в декартовой системе координат задана кривая уравнением )(xfy . Требуется определить угловой коэффициент
касательной, проведенной к кривой в точке ),( 00 yxA , т. е. 0tg , где 0 – угол, образованный касательной и осью абсцисс.
Рис. 5.2. Касательная к кривой Рис. 5.3. Угол наклона касательной
Рассмотрим некоторую близкую к A точку кривой ),( 00 yyxxB . Найдем
угловой коэффициент секущей AB :
x
y
AC
BC
tg .
Если устремить точку B (по кривой) к точке A , то угол будет стремиться к углу 0 .
А, следовательно, и 00
tgtglim x
, т. к. функция tg непрерывна. Таким образом,
x
yx
00 limtg .
Если учесть, что )( 00 xfy и )( 00 xxfyy , т. е. )()( 00 xfxxfy , то
x
xfxxfx
)()(limtg 00
00 .
Итак, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox – это предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при стремлении приращения аргумента x к нулю.
5.2. Производная и дифференциал функции
Очевидно, в предыдущих задачах выполнялось одно и то же действие – вычислялся предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при стремлении приращения аргумента x к нулю. Мы подошли к основному понятию дифференциального исчисления – понятию производной.
5.2.1. Производная функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки 0x . Дадим аргументу 0x
приращение x . Тогда функция )(xfy получит приращение y , определяемое как
разность: )()( 00 xfxxfy .
123
Определение 5.2.1. Если функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки
0x , то (первой) производной функции y=f(x) в указанной точке называется конечный предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю
.)()(
limlim)( 00
000 x
xfxxf
x
yxf
xx
(5.1)
Наряду с обозначением )(xf для производной употребляются и другие обозначения,
например, dx
dy
dx
xdfyy x ,
)(,, .
Если
x
yx 0
lim , то говорят, что производная )(xf функции )(xf в точке 0x
обращается в бесконечность и обозначают это обстоятельство символически записью )( 0xf .
Процесс нахождения производной будем называть дифференцированием. Пример 5.2.1. Исходя из определения, найти производную функции 2x . Решение. Функция 2xy определена и непрерывна в любой точке числовой прямой.
Придадим аргументу функции в точке 0x приращение x . Тогда соответствующее
приращение величины y есть
20
20
20
20
20
2000 22)( xxxxxxxxxxxxfxxfy ,
откуда .2 0 xxx
y
Следовательно, .2)2(limlim 0000
xxxx
yxx
Ответ: xx 22
.
5.2.2. Дифференцируемость функций. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
Определение 5.2.2. Если функция )(xfy имеет производную в точке 0x , т. е. если
существует предел (5.1), то будем говорить, что функция )(xfy дифференцируема
в точке 0x .
Теорема 5.2.1. Если функция )(xfy дифференцируема в точке 0x , то функция
)(xfy непрерывна в этой точке.
Докажем эту теорему. Нам дано, что функция )(xfy дифференцируема в точке 0x ,
т. е. )('lim 00
xfx
yx
существует и конечен. Надо доказать, что 0lim
0
y
x.
Доказательство. Вычислим yx
0
lim .
00)('lim)('limlimlimlim 00
00000
xfxxfxx
yx
x
yy
xxxxx.
Теорема доказана.
124
Замечание. Обратное заключение неверно, т. е. из того, что в какой-нибудь точке 0x
функция )(xfy непрерывна, еще не следует, что в этой точке она дифференцируема:
функция может и не иметь производной в точке 0x . Это будет показано в примере 5.2.2.
5.2.3. Односторонние производные функции
Определение 5.2.3. Если в пределе x
yx
0
lim величина x стремится к нулю, оставаясь
положительной ( 0x ), и соответствующий предел существует, то он называется
правосторонней или правой производной функции в точке x и обозначается x
yy
xпр
0lim .
Определение 5.2.4. Если в пределе x
yx
0
lim величина x стремится к нулю, оставаясь
отрицательной ( 0x ), и соответствующий предел существует, то он называется
левосторонней или левой производной функции в точке x и обозначается x
yy
xлев
0lim .
Из соответствующих утверждений для односторонних пределов следует, что если левая и (или) правая производные в точке x не существуют или существуют, но не равны между собой, то производная функции в точке x не существует.
Пример 5.2.2. Существует ли производная в точке 00 x для функции xy , где
)1;1(x ?
Решение. Вычислим правую и левую производную в точке 00 x .
а)
,lim
)()(limlim)(
00
0
00
00
x
xxxx
xyxxy
x
yxy
x
xxпр
1limlim00
lim)0(000
x
x
x
x
x
xy
xxxпр ;
б)
,lim
)()(limlim)(
00
0
00
00
x
xxxx
xyxxy
x
yxy
x
xxлев
1limlim00
lim)0(000
x
x
x
x
x
xy
xxxлев .
Получили )0()0( прлев yy . Следовательно, функция xy , где )1;1(x не имеет
производной в точке 00 x , хотя и непрерывна в ней. Таким образом, как уже говорилось, непрерывность функции в точке не является
достаточным условием для дифференцируемости функции в этой точке. Используя определение производной, найдем производные некоторых элементарных
функций. 1. constCy . Покажем, что 0)( Cy . Решение. Значениям аргументов 0x и xx 0 соответствует одно и то же значение
Cy . Поэтому
0lim)()(
limlim)(0
00
00
x
CC
x
xyxxy
x
yCy
xxx.
Рис. 5.4. График функции xy
125
2. xy sin . Покажем, что xx cos)(sin .
Решение. Значениям аргументов 0x и xx 0 соответствуют значения функции
00 sin)( xxy , )sin()( 00 xxxxy , следовательно,
.2
cos2
sin22
2cos
2sin2
2cos
2sin2sin)sin(
00
000000
xx
xxxx
xxxxxxxxxy
.cos)(sincos2
coslim12
coslim
2
2sin
lim
2coslim2
sin2lim
2cos
2sin2
limlim)(
000
00
.
0
000
0
000
xxxx
xx
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
x
yxy
xx
пределзамI
x
xxxx
Аналогично доказывается, что xx sin)(cos .
3. xy ln . Покажем, что x
x1
)(ln .
Решение. Значениям аргументов 0x и xx 0 соответствуют значения функции
00 ln)( xxy , )ln()( 00 xxxxy , следовательно,
,lnln)ln(0
000 x
xxxxxy
.1
)(ln1
ln1limln1limln
lnlimln1
lim
ln
limlim)(
0
1
1
00
1
00
1
0
0
00
0
0
0
0
000
0
00
.
xx
xe
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
x
xx
x
yxy
x
I
xx
x
x
x
x
x
xxxx
пределзамI
5.2.4. Производные суммы, произведения и частного функций
Пусть U и V – дифференцируемые функции аргумента x , т. е. )(xU и )(xV . Тогда справедливы следующие утверждения:
VUVU ;
VUVUVU ; (5.2)
2V
VUVU
V
U
)0( V .
Докажем, например, первое утверждение. Пусть )()()( xVxUxy .
126
Значению x соответствует значение )()()( xVxUxy , а значению xx соответствует значение )()()( xxVxxUxxy . Тогда
.)()()()(
)()()()()()()()(
VUxVxxVxUxxU
xVxUxxVxxUxVxUxxVxxUy
Следовательно,
VUx
V
x
U
x
V
x
U
x
VU
x
yVU
xxxxx
00000
limlimlimlimlim)( .
Аналогично доказываются остальные утверждения. Следствие. Учитывая, что 0)( C )( constC и правило дифференцирования
произведения, получаем
)())(()())(( xUCxUCxUCxUC ,
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Пример 5.2.3. Пусть xy tg . Докажем, что x
x2cos
1)tg( .
Решение.
.cos
1)tg(
cos
1
cos
sincos
cos
sin)sin(coscos
cos
sin)(coscos)(sin
cos
sin)tg(
222
22
22
xx
xx
xx
x
xxxx
x
xxxx
x
xxy
Аналогично доказывается, что x
x2sin
1)ctg(
.
Пример 5.2.4. Пусть xy alog . Докажем, что ax
xa ln
1)(log
.
Решение. ax
xaxxa
xaa
xxy aa ln
1)(log
ln
11
ln
1)(ln
ln
1
ln
ln)(log
.
5.2.5. Производная обратной функции
Теорема 5.2.2. Пусть функция )(xfy непрерывна и строго монотонна (возрастает или убывает) на некотором множестве X . Если функция )(xfy имеет в точке Xx отличную от нуля производную )(xf , то и обратная ей функция )(ygx имеет в
соответствующей точке y производную )(yg , причем )(
1)(
xfyg
, или
xy y
x
1
.
Докажем эту теорему. Так как функция )(xfy непрерывна и строго монотонна, то по теореме 4.4.1 и обратная ей функция )(ygx непрерывна и строго монотонна. Дадим переменной y приращение y . Соответствующее приращение x обратной функции также
не равно нулю вследствие строгой монотонности. Поэтому
x
yy
x
1
. Вследствие
непрерывности функции )(xfy и строгой монотонности 0x при 0y .
Тогда )(
1
lim
1lim)(
0
0 xfx
yy
xyg
x
x
)0)(( xf , т. е.
)(
1)(
xfyg
, или
xy y
x
1
.
Теорема доказана.
127
Пример 5.2.5. Пусть xy arcsin , где )1;1(x .
Докажем, что 21
1)(arcsin
xx
.
Решение. Для функции xy arcsin функция yx sin , где
2;
2
y будет
обратной. По теореме о производной обратной функции имеем
222 1
1
1
1
sin1
1
cos
1
)(sin
11)(arcsin
xxyyyxxy
yyxx
(перед корнем ставим знак «+», т. к. 0cos y при
2;
2
y ).
Получили 21
1)(arcsin
xx
.
Аналогично доказывается, что 21
1)(arccos
xx
.
Пример 5.2.6. Пусть xy arctg , где Rx . Докажем, что 21
1)arctg(
xx
.
Решение. Для функции xy arctg функция yx tg , где
2;
2
y будет обратной.
По теореме о производной обратной функции имеем
222
2
1
1
tg1
1cos
cos
11
)tg(
11)arctg(
xyy
yyx
xyyy
xx
.
Получили 21
1)arctg(
xx
.
Аналогично доказывается, что 21
1)arcctg(
xx
.
5.2.6. Таблица производных
Приведем производные основных элементарных функций (табл. 5.1). Таблица 5.1
Таблица производных основных элементарных функций
1 1 aa axx ; 8
21
1arcsin
xx
;
2 )0(ln
aaaa xx , в частности, xx ee
; 9 21
1arccos
xx
;
3
),1,0(ln
1log||log aa
axx
ex a
a
в частности, x
x1
||ln
(при x>0 знак модуля можно убрать);
10 21
1arctg
xx
;
11 21
1arcctg
xx
;
4 xx cossin ; 12 xx chsh ;
128
Окончание
5 xx sincos ; 13 xx shch ;
6 x
x2cos
1tg ; 14
xx
2ch
1th ;
7 x
x2sin
1ctg ; 15
xx
2sh
1cth .
5.2.7. Производная сложной функции
Пусть функция y=f(x) имеет конечную производную в точке 0x , а функция z=g(y) имеет
конечную производную в точке )( 00 xfy . Тогда сложная функция z=g(f(x)) имеет
конечную производную в точке 0x , которая равна
)()()( 000 xfygxz (5.3)
(в другой записи: xyx yzz . , или dx
dy
dy
dz
dx
dz. ).
Это правило может быть распространено на случай сложной функции, составленной из произвольного числа дифференцируемых функций.
Используя формулу (5.3), таблицу производных 5.1 можно представить в более общем виде (табл. 5.2).
Таблица 5.2 Таблица производных сложных функций
1 uauu aa 1 ; 8 u
uu
21
1arcsin ;
2 )0(ln
auaaa uu , в частности, uee uu
; 9 uu
u
21
1arccos ;
3
),1,0(ln
1||log aau
auua
в частности, uu
u 1
||ln ;
10 uu
u
21
1arctg ;
11 uu
u
21
1arcctg ;
4 uuu cossin ; 12 uuu chsh ;
5 uuu sincos ; 13 uuu shch ;
6 uu
u 2cos
1tg ; 14 u
uu
2ch
1th ;
7 uu
u 2sin
1ctg ; 15 u
uu
2sh
1cth .
Здесь )(xuu – некоторая дифференцируемая функция.
5.2.8. Примеры вычисления производных
Примеры 5.2.7. Найти производные, используя таблицы 5.1 и 5.2 и формулы (5.2).
1. 2
1)(
xxxy .
129
Решение. Функция представляет собой сумму элементарных табличных функций, следовательно,
3
1212/122/1
22
2
2
12
2
111)(
xxxxxx
xx
xxxy
.
2. xexxy )1()( 2 . Решение. Функция представляет собой произведение двух элементарных функций,
следовательно,
.)1()12(
)1(2)1(1)1()(22
2222
xx
xxxxx
exexx
exxeexexexxy
3. x
xxxy
ln
cossin)(
.
Решение. Функция представляет собой частное двух элементарных функций, следовательно,
.ln
cossinln)sin(cos
ln
1)cos(sinln)sin(cos
ln
)(ln)cos(sinln)cos(sin
ln
cossin)(
22
2
xx
xxxxxx
xx
xxxxx
x
xxxxxx
x
xxxy
4. 3
sinln)(x
xy .
Решение. Функция является сложной, поэтому воспользуемся табл. 5.2.
.
3sinln6
3ctg
3sin
3cos
3sinln
1
2
1
3
1
3
1
3cos
3sin
1
3sinln
1
2
1
33cos
3sin
1
3sinln
2
1
3sin
3sin
1
3sinln
2
1
3sinln
3sinln
2
1
3sinln)(
2
1
2
11
2
12/1
x
x
x
x
x
xxx
xxx
x
xx
xxxxxy
Пример 5.2.8. Показать, что данная функция )1/arcsin( xecy x удовлетворяет уравнению (*).sincos yxyy
Решение. Найдем производную:
22 )1(1
1
)1(1
)1())1(arcsin(
xce
ce
xce
xcexcey
x
x
x
xx .
Подставляя y и y , получим:
;1)1(1)1(1
1
)1arcsin(sin1)1(1
1sin1cos
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
x
cexcexce
ce
xcexce
ceyyyy
130
xxx cexcexxcexyx 1)1()1arcsin(sinsin . Таким образом, после подстановки левая и правая части уравнения (*) тождественно совпадают, это и означает, что данная функция )(xfy удовлетворяет уравнению (*).
5.2.9. Логарифмическая производная. Производная сложно-показательной функции
Определение 5.2.5. Логарифмической производной функции )(xfy называется
производная натурального логарифма этой функции, т. е. выражение
.)(
)())((ln
xf
xfxf
Так как ,))()(ln()( xfxfxf
то применяя эту формулу к сложно-показательной функции )()( xvxuy , 0)( xu (т. е. функция от переменной x возводится в степень, тоже зависящую от x), получаем:
)(
)(')()(ln)(')())'(ln)(()()')(( )()()(
xu
xuxvxuxvxuxuxvxuxu xvxvxv .
Пример 5.2.9. Пусть xxxy sin)( )0( x . Найти производную функции xy . Решение. Заданная функция является сложно-показательной. Найдем ее производную.
Для этого прологарифмируем обе части функции: xxy sin xxxy x lnsinlnln sin .
Возьмем производные от обеих частей равенства, учитывая, что функция y зависит от x , т. е. yln – сложная функция
.1
sinlncos
,)(lnsinln)(sin1
,)ln(sin)(ln
xxxx
y
y
xxxxyy
xxy
Теперь выразим производную функции
x
xxxyy
sinlncos и, учитывая, что
xxy sin , получим
x
xxxxy x
x
sinlncossin .
Замечание. Метод логарифмического дифференцирования полезно также применять в случаях, когда это приводит к более простому нахождению производной функции.
Пример 5.2.10. Найти производную функции
2
)1(
x
xxy .
Решение. Функция определена при ),2(]1,0[ x . Прологарифмируем обе части
функции по основанию e : 2
)1(lnln
x
xxy .
131
Упростим равенство, используя свойство логарифмической функции
.|2|ln|1|lnln2
1ln xxxy
Далее найдем производные от обеих частей равенства, учитывая, что функция y зависит от x :
,2
1
1
11
2
11
],)|2|(ln)|1|(ln)[(ln2
1)(ln
xxxy
y
xxxy
.)2)(1(2
242
xxx
xx
y
y
Теперь выразим производную функции )2)(1(2
242
xxx
xxyy и, учитывая, что
2
)1(
x
xxy , получим
3
2
)2)(1(2
24
xxx
xxy .
5.2.10. Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной функции состоит в следующем: значение
производной )( 0xf функции )(xfy в точке 0x равно тангенсу угла, образованного с
положительным направлением оси ,Ox касательной к графику этой функции в точке
),( 00 yxA , где )( 00 xfy (см. п. 5.1.2).
Из геометрического смысла производной функции, следует, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке 0x равен производной функции в этой точке
)( 0xfk . Угловой коэффициент нормали – прямой, проходящей через точку касания
),( 00 yxA перпендикулярно к касательной, равен )(
1
0xfk
.
В соответствии с пунктом 3.1.1, уравнения касательной )( tL и нормали )( nL к графику
функции y=f(x) в точке графика с абсциссой 0x и ординатой )( 00 xfy имеют вид
1. Если производная )( 0xf существует и 0)( 0 xf , то
);)(()( или ),)((: 0000000 xxfyxxfуxxxfyyLt
)()(
или ,0))((:0
00
000 xf
xy
xf
xуyyxfxxLn .
2. Если )( 0xf , то
;: 0xxLt .: 0ууLn
3. Если 0)( 0 xf , то
;: 0ууLt .: 0xxLn
132
Пример 5.2.11. Составить уравнение касательной и нормали к кривой x
xy
1
1 2
в
точке графика с абсциссой 90 x .
Решение. 20)31/()811()( 00 xfy ;
,)1(2
143
)1(
)2/()1()1(2
)1(
)1)(1()1()1(
1
1
2
2
2
2
2
222
xx
xxx
x
xxxx
x
xxxx
x
xy
откуда
3
11
1632
1274813|)( 90
xyxf .
Таким образом, уравнение касательной есть
)9(3
1120 xy , или 13
3
11 xy ;
уравнение нормали есть
0)20(3
11)9( yx , или
11
247
11
3 xy .
Пример 5.2.12. Составить уравнение касательной и нормали к кривой 3 1 xy в точке графика с абсциссой 10 x .
Решение. Заметим, что 3 23/2
)1(3
1
)1(3
)1(
xx
xy
, откуда видно, что при x=1
полученная формула для производной теряет смысл. Следовательно, необходимо попытаться вычислить )( 0xf непосредственно по определению (см. формулу (5.1)).
Покажем, что )( 0xf . В самом деле,
3 20
3
0
33
0
00
00
1limlim
0)1(1lim
)()(limlim
xx
x
x
x
x
xfxxf
x
yxxxxx
.
Далее, 011)( 300 xfy .
Таким образом, уравнение касательной есть 1x , а уравнение нормали есть 0y .
5.2.11. Угол между кривыми Определение 5.2.6. Под углом между
пересекающимися в точке ),( 000 yxM кривыми
)(1 xfy и )(2 xfy понимают угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения, отсчитываемый от первой касательной ко второй против часовой стрелки (рис. 5.5).
Угол между касательными вычисляется по
формуле 21
12
1tg
kk
kk
(см. п. 3.1.3). Учитывая
геометрический смысл производной, имеем Рис. 5.5. Угол между кривыми
133
)( 011 xfk и )( 022 xfk . Тогда эту формулу можно записать следующим образом:
)()(1
)()(tg
0201
0102
xfxf
xfxf
.
Пример 5.2.13. Найти угол между кривыми xy sin1 и xy cos2 в точке их
пересечения 40
x .
Решение. Найдем производные данных функций в точке 0x
.2
2
4sin
4,sin)(cos)(
;2
2
4cos
4,cos)(sin)(
222
111
ykxxxy
ykxxxy
Подставляя в формулу, найдем тангенс угла между кривыми
22
2
11
2
2
2
2
21
2
2
2
2
1tg
21
12
kk
kk ,
следовательно, угол )22(arctg)22(arctg .
Ответ: )22(arctg .
5.2.12. Дифференциал и его связь с производной Дадим определение дифференцируемости функции, равносильное определению 5.2.2. Определение 5.2.7. Пусть функция )(xfy определена в некоторой окрестности
точки 0x . Функция )(xf называется дифференцируемой в точке 0x , если ее приращение
)()( 00 xfxxfy может быть представлено в виде
xxxAy )( ,
где A – величина, не зависящая от x , а функция )( x – бесконечно малая при 0x . Определение 5.2.8. Линейная часть xA приращения у называется дифференциалом
функции y=f(x) в точке 0x , соответствующим приращению x , и обозначается символом dy.
Теорема 5.2.3 (связь дифференциала с производной). Для того чтобы функция )(xf
была дифференцируемой в точке 0x , необходимо и достаточно, чтобы существовала
конечная производная )( 0xf . При этом )( 0xfA .
Эта теорема позволяет называть дифференцируемой всякую функцию, имеющую производную. Именно в таком смысле ранее было дано определение 5.2.2.
Таким образом, выражение для дифференциала приобретает вид
,)( 0 dxydxxfdy (5.4)
где принято обозначение xdx . Итак, задача вычисления дифференциала функции сводится к задаче вычисления
производной этой функции.
134
Пример 5.2.14. Найти дифференциал dy функции
.1
2
x
xy
Решение. Используя формулы 5.2 и таблицу 5.1, получаем:
2
2
2
2
2
22
)1(
2
)1(
)1(2
)1(
)1()1(
x
xx
x
xxx
x
xxxxy .
Таким образом, .)1(
22
2
dxx
xxdxydy
Ответ: .)1(
22
2
dxx
xxdy
Теорема 5.2.4 (инвариантность (независимость) формы дифференциала). Форма дифференциала dy функции )(xfy не зависит от того, является ли x независимой переменной или x является дифференцируемой функцией некоторой переменной t , т. е. если
)(xfy , а )(tx , то dxxfdy )( .
Геометрический смысл дифференциал. Так как
ABxxxfdxxfdy tg)()( (рис. 5.6),
то дифференциал функции )(xfy , соответствующий данным значениям x и x , равен приращению ординаты точки касательной к кривой )(xfy в данной точке x .
Рис. 5.6. Геометрический смысл дифференциала
5.2.13. Использование дифференциала в приближенных вычислениях Из определения дифференциала (5.4) следует, что если 00 xf , то при 0x
приращение у функции f(x) и ее дифференциал dy в точке 0x являются эквивалентными
бесконечно малыми величинами, что позволяет записать приближенное равенство dyy при достаточно малых (по модулю) x . Следовательно, для всех значений x, достаточно близких к 0x , справедлива формула
))(()()()( 0000 xxxfxfdyxfxf .
135
С целью достижения приемлемой точности вычисляемого значения xf
рекомендуется точку 0x выбирать так, чтобы, во-первых, 0x была бы удалена от точки x на
минимально возможное расстояние, и, во-вторых, значения 0xf и 0xf были определены,
и их можно было бы вычислить точно. Пример 5.2.15. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение
функции 4 2 7125 xxy в точке x=2,995.
Решение. Положим 30 x . Ясно, что 0x достаточно близка к заданной точке 995,2x .
Найдем производную от функции
.71252
6571257125417125
4 32
2432412
xx
xxxxxxxy
Поскольку в точке 30 x трехчлен 7125 2 xx принимает значение 0216 4 , то
0xf и 0xf могут быть легко вычислены точно, а именно, 21640 xf ,
16/9162/9 4 30 xf .
Перейдем к вычислению xf . Имеем: ,005,03995,20 xx и, следовательно,
.5187997,100016/95531005,016/92 xf
5.2.14. Производные высших порядков
Определение 5.2.9. Производной n-го порядка (или n-й производной) функции y=f(x) в точке 0x называется производная в указанной точке от производной рассматриваемой функции порядка (n–1), т. е.
0
)()( )1(0
)(xx
nn xfxf
, или dx
dxydd
xd
yd nn
n
n )/( 11
, n=1,2,3,…
Определение 5.2.10. Если значение )( 0)( xf n определено, то о функции f(x) говорят, что
она n раз дифференцируема в точке 0x .
Свойства производных высших порядков Пусть cba ,, – постоянные величины, )(xu и )(xv – n раз дифференцируемые функции.
Тогда: 1. .0,0)( )( nc n
2. ).()())()(( )()()( xvxuxvxu nnn
3. ).())(( )()( xcuxcu nn 4. Формула Лейбница.
),()()(')(...
...)()(")()(')()())()(()()1(1
)2(2)1(1)()(
xvxuxvxuC
xvxuCxvxuCxvxuxvxunnn
n
nn
nn
nn
где k
knnn
knk
nC k
n
...21
)1)...(1(
)!(!
! – биномиальные коэффициенты.
5. ).())(( )()( baxuabaxu nnn
Приведем таблицу 5.3 производных высших порядков некоторых основных элементарных функций
136
Таблица 5.3 Производные высших порядков
1. .)1)...(1()( )( nana xnaaax
Отсюда следует, что если p(x) – многочлен степени k, то )(np (x)=0 при n>k.
2. );0()(ln)( )( aaaa nxnx в частности, .)( )( xnx ee
3.ax
n
x
enx
n
n
na
nn
a ln
)!1()1(log)!1()1()(log
11)(
(a>0, a 1, n>0); в частности, .0,/)!1()1()(ln 1)( nxnx nnn
(При x>0 знак модуля можно убрать).
4. ),2/sin()(sin )( nxx n или
;34modесли,cos
24modесли,sin
14modесли,cos
04modесли,sin
)(sin )(
nx
nx
nx
nx
x n
здесь и далее символом n mod 4 обозначен остаток при делении числа n на 4.
5.
.34modесли,sin
24modесли,cos
14modесли,sin
04modесли,cos
)(cos
или),2/cos()(cos
)(
)(
nx
nx
nx
nx
x
nxx
n
n
6.
.нечетноесли,ch
четноесли,sh)sh(
nx
nxx (n)
7.
.нечетноесли,sh
четноесли,ch )ch ( )(
nx
nxx n
Здесь а – вещественное число. Пример 5.2.16. Найти производную четвертого порядка от функции
)21ln()( 2 xxxy .
Решение. Положим )21ln()(,)( 2 xxvxxxu и применим формулу Лейбница к функции y=u(x)v(x) при n=4.
Оформим результаты вычисления величин kn
kk Cxvxu и )(),( )()( в виде таблицы 5.4:
Таблица 5.4
k knC )()( xu k )()( xv k
0 1 xx 2 )21ln( x
1 4 12 x )21/(2 x
2 6 2 2)21/(4 x
3 4 0 3)21/(16 x
4 1 0 4)21/(96 x Таким образом,
)()()()()()()()()()( 44
34
24
14
04 xvxuCxvxuCxvxuCxvxuCxvxuCy IVIVIV
.)21(
1619232
)21(
426
)21(
16)12(4
)21(
)(964
2
234
2
x
xx
xx
x
x
xx
137
Ответ: .)21(
16192324
2
x
xxy IV
Пример 5.2.17. Найти производную n-го порядка от функции
)1sin( axxy .
Решение. Заметим сначала, что 1x и 0)( kx при k>1. Далее, по таблице 5.3 )2/sin()(sin )( kxx k , откуда по свойству 5: )2/1sin())1(sin( )( kaxaax kk .
Следовательно, применение формулы Лейбница будет успешным, если положить в ней xxu )( , и )1sin()( ax-xv .
Поскольку nCn 1 , имеем:
2
)1(1sin1)2/1sin())1sin(( 1)()( n
axannaxaxaxxy nnnn
0),2/)1(1sin()2/1sin( 1 nnaxannaxxa nn .
Заметим, что полученному ответу можно придать хотя и несколько громоздкий, но более наглядный вид, а именно:
.34mod),1sin()1cos(
24mod),1cos()1sin(
14mod),1sin()1cos(
04mod),1cos()1sin(
1
1
1
1
)(
naxanaxxa
naxanaxxa
naxanaxxa
naxanaxxa
y
nn
nn
nn
nn
n
5.2.15. Дифференциалы высших порядков Определение 5.2.11. Дифференциалом n-го порядка (или n-м дифференциалом) yd n
функции y=f(x) называется дифференциал от дифференциала рассматриваемой функции порядка (n–1), т. е. )( 1 yddyd nn .
Найдем выражение для yd 2 . По определению ))(()(2 dxxfddydyd . Так как dx не зависит от x , т. е. по отношению к переменной x является постоянной величиной, то множитель dx можно вынести за знак дифференциала, т. е.
22 ))((])([)( dxxfdxxfdxxfddxyd .
Итак, 22 )( dxxfyd , где 22 )(dxdx , а в общем случае nnn dxxfyd )()( , где nn dxdx )( . Из этих формул следует, что
2
2
)(dx
ydxf и вообще
n
nn
dx
ydxf )()( .
Замечание. Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы в отличие от дифференциала первого порядка.
Пример 5.2.18. Найти дифференциал второго порядка yd 2 для функции 2
)( xexy .
Решение. Так как дифференциал второго порядка 22 )( dxxyyd , то найдем вторую производную )(xy :
222
2)( 2 xxx xexeexy
,
138
).12(242
)2()2(2)2()2(2)(22 222
22222
xeexe
xxeexeexxexyxxx
xxxxx
Ответ: .)12(2 222 2
dxxeyd x
5.2.16. Производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически
Пусть величина у, как функция величины x, задана параметрически уравнениями
)(tx , )(ty , где t – вещественный параметр. Тогда:
,)(
)(
t
tyx
3))((
)()()()(
)(
1
)(
)(
t
tttt
tt
ty
t
xx
,
(при условии, что производные соответствующих порядков функции )()( tиt существуют, и )0)( t .
Пример 5.2.19. Найти производную xy от функции, заданной параметрически.
).1/(
,
tey
text
t
Решение.
).0()2()1(
)1(
)2()1(
12
)2()1(
2)1(
))2/(()1(
)2/()1(
)(
)1/())1()1()((
)(
))1/((
2
2
22
2
2
tttt
t
ttt
tt
teett
ette
tteet
ette
etet
ttete
te
te
x
yy
tt
tt
tt
tt
tt
tt
t
t
t
tx
Ответ: .)2()1(
)1(2
2
ttt
tyx
Пример 5.2.20. Найти производную второго порядка xxy от функции, заданной
параметрически
.arctg
,3
ty
tx
Решение.
2/3)2/3()()( 2/12/3 ttttxt ,
)1(2
1
2
1
)(1
1)(
2 tttttyt
,
откуда
)1(3
1
2/3
))1(2/(1
ttt
tt
x
yy
t
tx
, и
139
.0,)1(9
24
))1((
))1((
9
2
2/3
)1(3
1
)(222
tttt
t
ttt
tt
t
tt
x
yy
t
txxx
Ответ: .)1(9
2422 ttt
tyxx
5.2.17. Производные первого и второго порядков от неявно заданной функции
Пусть функция )(xfy задана неявно равенством
0),( yxF .
Чтобы найти производную, продифференцируем обе части этого равенства, считая, что y есть функция от x , используя правило дифференцирования сложной функции. Затем из получившегося равенства выразим производную ),()( yxfxy .
Замечание. Для нахождения значения производной неявной функции при данном значении аргумента x нужно знать и значение функции y при данном значении x .
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем равенство ),()( yxfxy еще раз. Считая, что y есть функция от x , получим
),,()( yyxgxy .
Подставляя найденную ранее производную первого порядка, окончательно получим
),(,,)( yxfyxgxy .
Пример. 5.2.21. Найти первую и вторую производную функции, заданной неявно
x
y
eyxarctg
22 .
Решение. Дифференцируя равенство, определяющее функцию )(xy , получим
22
arctg
22
1
1
2
22
x
yxy
x
ye
yx
yyx x
y
.
Преобразуем получившееся выражение, учитывая, что 22arctg
yxe x
y
2222 yx
yxy
yx
yyx
.
Отсюда yxyyyx
и, следовательно, yx
yxy
.
Дифференцируя это равенство и используя найденное для y выражение, получим
3
22
222 )(
2
)(
22
)(
22
)(
))(1())(1(
yx
yx
yx
yyx
yxx
yx
yyx
yx
yxyyxyy
.
Ответ: yx
yxy
;
3
22
)(
2
yx
yxy
.
140
5.2.18. Механический смысл первой и второй производной В пункте 5.1.1 было получено: если )(tS – путь, пройденный точкой за время t , то
первая производная )()( tVtS скорость, а тогда вторая производная )()()( tatVtS ускорение в заданной точке t , т. е. физический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная от пути по времени есть ускорение.
Пример. 5.2.22. Закон движения материальной точки по прямой имеет вид
234
1644
ttt
S . Найти скорость и ускорение точки при 1t с.
Решение. Найдем первую и вторую производные от )(tS
ttttStV 3212)()( 23 , 32243)()( 2 tttVta .
Подставляя 1t , окончательно получим 21)1( V м/с, 15)1( a м/с2. Ответ: 21V м/с, 15a м/с2.
5.3. Основные теоремы дифференцирования
5.3.1. Теорема Ферма
Теорема 5.3.1. Пусть функция )(xf определена на некотором промежутке X и во
внутренней точке 0x этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Тогда если в точке 0x существует производная этой функции, то она равна нулю, т. е. 00 xf .
Теорема Ферма имеет следующий геометрический смысл (см. рис. 5.7): если во внутренней точке промежутка функция принимает наибольшее (наименьшее) значение и в этой точке существует касательная, то эта касательная параллельна оси Ox .
В теореме существенным является то, что 0x – внутренняя точка. Действительно, если наибольшее (наименьшее) значение достигается функцией на границе промежутка, то производная в этой точке может быть не равна нулю. На этом же рис. 5.7 наименьшее значение функции достигается в точке a . Однако касательная в этой точке не параллельна оси Ox , т. е.
0)( af .
5.3.2. Теорема Ролля
Теорема 5.3.2. Пусть функция )(xf непрерывна на отрезке ],[ ba , дифференцируема на интервале ),( ba и принимает на концах отрезка равные значения: )()( bfaf . Тогда найдется точка
),( bac , в которой 0)( cf . Теорема Ролля имеет следующий
геометрический смысл (см. рис. 5.8): на графике функции, удовлетворяющей
Рис. 5.7. Геометрическая иллюстрация теоремы Ферма
Рис. 5.8. Геометрическая иллюстрация теоремы Ролля
141
условиям теоремы, найдется точка, в которой касательная параллельна оси Ox . Рассмотрим примеры, показывающие существенность всех трех условий теоремы Ролля.
Пример 5.3.1. Функция }{)( xxf (дробная часть x ), график которой изображен на рис. 5.9, удовлетворяет на отрезке ]1,0[ всем условиям теоремы Ролля, кроме непрерывности в точке 1x . Ее производная 1)( xf при всех )1,0(x .
Рис. 5.9. График функции }{)( xxf
Пример 5.3.2. Функция ||)( xxf непрерывна на отрезке ]1,1[ и принимает на его концах равные значения. Однако производная этой функции в точке O не существует. Производная )(xf нигде на интервале )1,1( в нуль не обращается.
Пример 5.3.3. Функция xxf )( непрерывна и дифференцируема на отрезке ]1,0[ , но на его концах принимает различные значения. Ее производная 1)( xf всюду на отрезке
]1,0[ .
5.3.3. Теорема Лагранжа
Теорема 5.3.3. Пусть функция )(xf непрерывна на отрезке ],[ ba и дифференцируема в интервале ),( ba . Тогда найдется точка ),( bac , в которой
ab
afbfcf
)()()( . (5.5)
Теорема Лагранжа имеет следующий геометрический смысл (рис. 5.10): на графике дифференцируемой функции найдется точка, в которой касательная параллельна хорде AB . Действительно, )(cf – угловой коэффициент
касательной, tgAC
BC
ab
afbfk
)()(
– угловой
коэффициент хорды AB . По теореме Лагранжа имеет место формула
))(()()( abcfafbf ,
которая так же, как и формула (5.5), называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.
5.3.4. Теорема Коши
Теорема 5.3.4. Пусть функции f и g непрерывны на отрезке ],[ ba и дифференцируемы на интервале ),( ba , причем 0)( xg . Тогда найдется точка ),( bac , для которой
)()(
)()(
)(
)(
agbg
afbf
cg
cf
. (5.6)
Формула (5.6) называется формулой Коши.
Рис. 5.10. Геометрическая иллюстрация теоремы Лагранжа
142
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при xxg )( . Чтобы пояснить геометрический смысл теоремы Коши, рассмотрим кривую, заданную параметрически: )(tgx , )(tfy , ),( bat . Тогда левая часть формулы (5.6) – угловой коэффициент касательной, проведенной в некоторой внутренней точке дуги, отвечающей
ct , а правая часть – угловой коэффициент хорды, соединяющей точки ))(),(( agafA и ))(),(( bgbfB .
5.3.5. Правило Лопиталя
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида
0
0 или
при вычислении пределов. Теорема 5.3.5. (Теорема Лопиталя). Пусть функции f и g определены и
дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки a (конечной или бесконечной) и 0)(lim)(lim
xgxf
axax ( ), причем, 0)( xg в указанной окрестности.
Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел Axg
xfax
)(
)(lim , то и
Axg
xfax
)(
)(lim .
Доказательство: Рассмотрим случай 0)(lim)(lim
xgxfaxax
. Доопределим функции f и
g в точке a : 0)()( agaf . Тогда эти функции будут непрерывны в точке a . Применяя теорему Коши, получим:
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
cg
cf
agxg
afxf
xg
xf
,
где c – промежуточная точка между a и x . При ax , очевидно, и ac . Поэтому
Acg
cf
xg
xfacax
)(
)(lim
)(
)(lim .
Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя. Замечание. Правило Лопиталя можно применять повторно, если функции f и g
удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f и g .
Пример 5.3.4. 2
1
2
sinlim
)(
)cos1(lim
cos1lim
02020
x
x
x
x
x
xxxx
.
Пример 5.3.5.
)cos1(cos
cos1lim
cos1
1cos
1
limsin
tglim
2
2
0
2
00 xx
x
xx
xx
xxxxx
20cos
0cos1
cos
cos1lim
220
x
xx
.
Пример 5.3.6. При 0
0lim
1
limln
limlnlim01000
x
xx
x
xxx
xxxx.
143
Пример 5.3.7. Вычислить x
xx
0lim
.
Здесь мы имеем неопределенность вида ]0[ 0 . Прологарифмируем функцию
xxyxy x lnln . 0lnlimlnlim00
xxyxx
(см. пример 5.3.6). Следовательно,
1lim 0
0
ex x
x.
Пример 5.3.8. Вычислить x
xx ctg
0)(coslim
.
Здесь мы имеем неопределенность вида ]1[ . Пусть xxy ctgcos , тогда .coslnctgln xxy
0cossinlim
cos
1cos
sin
limtg
coslnlim
tg
coslnlimcoslnctglim
0
2
0000
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
xxxxx.
Следовательно, 1coslim 0ctg
0
ex x
x.
Замечание. Если )(
)(lim
xg
xfax
не существует, то отсюда не следует делать ошибочный
вывод о том, что )(
)(lim
xg
xfax
также не существует. Это говорит лишь о том, что правило
Лопиталя в данной ситуации неприменимо.
Пример 5.3.9. Применение правила Лопиталя к вычислению предела x
xxx
sinlim
приводит к пределу xx
cos1lim
, который не существует. В то же время искомый предел
существует:
.1sin
1limsin
lim
x
x
x
xxxx
Предостережем также от невнимательного применения правила Лопиталя к тем случаям, когда неопределенность отсутствует.
Пример 5.3.10. Вычислить 20
cos1lim
x
xx
.
Неверное применение правила Лопиталя дает нам
2
1
2
sinlim
cos1lim
cos1lim
02020
x
x
x
x
x
xxxx
.
В то же время предел числителя равен 2, а знаменателя – 0, поэтому искомый предел равен .
5.3.6. Формула Тейлора
Рассмотрим многочлен n
n xaxaxaxaaxp ...33
2210 (5.7)
и вычислим его производные:
144
....321
............................
,12...321
,1...3221)(
,...32)(
33
232
12321
nn
nn
nn
nn
anxp
xnannaxp
xnanxaaxp
xnaxaxaaxp
Полагая во всех этих формулах 0x , выразим коэффициенты многочлена через значения многочлена и его производных в нуле:
!
0,...,
!3
0,
!2
0,
!1
0,0 3210 n
pa
pa
pa
papa
n
n
,
где nn ...321! .
Подставляя эти значения коэффициентов в (5.7), получим:
nn
xn
px
px
px
ppxp
!
0...
!3
0
!2
0
!1
00 32
. (5.8)
Тот же многочлен xp можно разложить по степеням 0xx , где R0x – фиксированная
точка:
nn
xxn
xpxx
xpxx
xpxpxp 0
020
00
00 !
...!2!1
,
или
kkn
k
xxk
xpxp 0
0
0 !
. (5.9)
Формула (5.9), так же как ее частный (при 00 x ) случай (5.8), называется формулой
Тейлора для многочленов. Рассмотрим теперь произвольную функцию )(xf и предположим, что она имеет в
точке 0x конечные производные до n -го порядка включительно. Тогда многочлен
kkn
kn xx
k
xfxT 0
0
0 !
(5.10)
называется многочленом Тейлора n -го порядка функции )(xf в точке 0x . Заметим, что
.,...,2,1,0,00 nkxfxT kkn (5.11)
Рассмотрим функцию xTxfxr nn . Для нее согласно (5.11) имеем:
nkxr kn ,...,2,1,0,00
)( . (5.12)
Покажем, что из равенств (5.12) следует, что nn xxoxr 0 при 0xx . Применим
правило Лопиталя:
.0!
1lim
!
1
!lim...limlim
00
011
0
1
100
0
000
xrnxx
xrxr
n
xxn
xr
xxn
xr
xx
xr
nn
nn
n
xx
nn
xxnn
xxnn
xx
145
Следовательно, nnnn xxoxTxrxTxf 0)()()( при 0xx . Принимая во внимание
равенство (5.10), имеем при 0xx :
nnn
xxoxxn
xf
xxxf
xxxf
xfxf
000
20
00
00
!
...!2!1
(5.13)
или
nkkn
k
xxoxxk
xfxf 00
0
0 !
.
Формула (5.13) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Вводя обозначения 0xxx для приращения аргумента и 00 xfxfxf для
приращения функции, формулу (5.37) можно записать в виде
nnn
xoxn
xfx
xfx
xfxf
!...
!2!10200
0
при 0x . Учитывая, что
00022
000 ,...,, xfdxxfxfdxxfxdfxxf nnn ,
получаем еще один вид формулы Тейлора:
nn xoxfdn
xfdxdfxf 002
00 !
1...
!2
1 при 0x .
Формула (5.13) имеет наиболее простой вид при 00 x
nnn
xoxn
fx
fx
ffxf
!
0...
!2
0
!1
00 2 (5.14)
и называется формулой Маклорена. Рассмотрим примеры разложений элементарных функций по формуле Маклорена. 1. Пусть xexf .
Тогда xk exf при всех Nk . Поэтому 10 0 ef k и по формуле (5.14) имеем:
nn
x xon
xxxe
!...
!2!11
2
. (5.15)
2. Пусть xxf sin .
Тогда согласно таблице 5.3 при четных mn 2 производная 00 nf , а при нечетных
12 mn mnf 10 . Следовательно, положив в формуле (5.14) mn 2 , получим:
mm
m xom
xxxxx 2
121
53
!121...
!5!3sin
. (5.16)
3. Для функции xxf cos аналогично предыдущему примеру имеем:
12242
!21...
!4!21cos m
mm xo
m
xxxx . (5.17)
146
4. Пусть xxf 1 , где R . Тогда
,...,11,1 21 xxfxxf nn xnxf 11...1 ,
так что 1...10,...,10,0,10 nffff n . Поэтому разложение по формуле Маклорена имеет вид
nn xoxn
nxxx
!
1...1...
!2
111 2 . (5.18)
5. Для функции xxf 1ln согласно таблице 5.3
Nkx
kxf
k
kk
,1
!11,
поэтому !110 kf kk . Следовательно,
nn
n xon
xxxxx 1
32
1...32
1ln . (5.19)
Все разложения (5.15 – 5.19) имеют место при 0x . Формула Тейлора может быть использована при вычислении пределов.
Пример 5.3.11. Вычислить 30
sinlim
x
xxx
.
Воспользуемся формулой 43
!3sin xo
xxx (см. формулу (5.16), при 2m ).
6
1
6
1lim!3lim
sinlim
3
4
03
43
030
x
xo
x
xxox
x
x
xxxxx
.
Пример 5.3.12.
2
1
2
1lim2lim
1lnlim
2
2
02
22
020
x
xo
x
xxox
x
x
xxxxx
.
Замечание. Если предположить, что функция )(xf имеет все производные до
1n -го порядка включительно в некоторой окрестности точки 0x , то для значений x из
этой окрестности имеет место равенство
,
!1!
...!2!1
10
1
00
20
00
00
nn
nn
xxn
cfxx
n
xf
xxxf
xxxf
xfxf
(5.20)
где c – некоторая промежуточная точка между x и 0x . Равенство (5.20) называется
формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
147
5.4. Исследование функций и построение графиков
5.4.1. Монотонность и экстремумы функции
В пункте 4.4.1. было дано определение возрастающей и убывающей функции. Теперь применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 5.4.1. 1) Если функция имеет производную на отрезке ],[ ba и возрастает (убывает) на этом
отрезке, то ее производная на отрезке ],[ ba не отрицательна (не положительна), т. е. 0)( xf ( 0)( xf ).
2) Пусть функция )(xf непрерывна на отрезке ],[ ba и дифференцируема в интервале ),( ba . Тогда, если производная 0)( xf для ),( bax , то функция возрастает на ],[ ba ; если
0)( xf для ),( bax , то функция убывает на ],[ ba . Замечание. Из первого утверждения теоремы следует, что в интервале возрастания
(убывания) функции могут быть отдельные точки, в которых 0)( xf .
Определение 5.4.1. Функция )(xf имеет в точке 0x максимум (минимум), если она
определена в интервале ),( 00 xx и для всех 000 ),,( xxxxx выполнено
неравенство )()( 0xfxf ( )()( 0xfxf ).
Определение 5.4.2. Максимумы или минимумы функции называютя экстремумами или экстремальными значениями.
Определение 5.4.3. Значения аргумента, при которых производная функции )(xf обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.
Теорема 5.4.2. (необходимое условие экстремума). В точке экстремума производная )( 0xf равна нулю или не существует, т. е. 0x является критической точкой функции )(xf .
Теорема 5.4.3. (I достаточное условие экстремума). Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности ),( 00 xx критической точки 0x и
дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки 0x ).
Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при 0xx функция имеет максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то при 0xx
функция имеет минимум. Пример 5.4.1. Построить график функции 2336152 23 xxxy с помощью
производной первого порядка. Решение. 1. Областью определения данной функции, как всякого многочлена, является вся числовая прямая, т. е. R)( fD . 2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 3. Точки пересечения с осями, интервалы знакопостоянства. С осью Оу: 232303601502,0 yx .
С осью Ох: 02336152,0 23 xxxy . (Если решение уравнения 0)( xy нельзя получить элементарным путем, этот пункт
исследования можно опустить.) Подбором убеждаемся, что 1x – корень уравнения. Разложим левую часть уравнения
на множители. Для этого разделим 2336152 23 xxx на 1x .
148
0
2323
2323
1313
3613
2313222
1|2336152
2
2
223
23
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
Таким образом, 0)23132)(1( 2 xxx , 1x или 023132 2 xx . Т. к. 0D , то действительных корней нет, следовательно, 1x – единственная точка пересечения графика функции с осью Ох.
Интервалы знакопостоянства функции (рис. 5.11). Границами интервалов, где функция сохраняет знак, могут быть только точки
пересечения графика с осью Ох, точки разрыва и граничные точки области определения. Для исследуемой функции такой точкой является лишь 1x .
Рис. 5.11. Интервалы знакопостоянства функции
Определим знак функции при каком-либо значении х из промежутка )1,( , например 023)0( y . Функция сохраняет знак на рассматриваемых промежутках, следовательно,
0)( xy при )1,(x . Аналогично, 0)2( y , следовательно, 0)( xy при ),1( x .
4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума. Границами интервалов возрастания и убывания могут быть только точки, где
производная функции равна 0 или не существует, точки разрыва функции, граничные точки области определения.
3,2;036306,0,36306 22 xxxxyxxy – критические точки.
x (–;2) 2 (2;3) 3 (3;+) y + 0 – 0 + y 5 4 Функция
возрастает Точка
максимума Убывает Точка
минимума Возрастает
5. Дополнительные точки
x –1/4 0,5 4 5 y –32 –8,5 9 32
При yx , , при yx , .
6. Построим график функции 2336152 23 xxxy (рис. 5.12).
149
Рис. 5.12. График функции 2336152 23 xxxy
Пример 5.4.2. Построить график функции 152
)5(32
3 2
xx
xy с помощью производной
первого порядка. Решение. 1. Область определения.
Знаменатель дроби нигде не обращается в 0, следовательно, функция определена на всей числовой прямой, R)(yD .
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 3. Точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства.
С осью Ох: 0y ; 0152
)5(32
3 2
xx
x, 05 x , 5x .
С осью Оу: 0x ; .58,05
1
15
2533
3
y
Промежутки знакопостоянства. 0)( xy при всех хR, так как знаменатель дроби 01522 xx при х R, а ее числитель
0)5( 2 x при х R.
150
4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
.)152(5
)8(4
)152(5
)22)(5(3)152(2
)152(
)22()5(1525
1
3
23
'
223223
2
22
3 22
3
xxx
xx
xxx
xxxx
xx
xxxxx
y
Производная не определена в точке 5x .
0y ; 0)152(5
)8(4223
xxx
xx, 0x или 8x .
х (– ;–8) – 8 (–8;–5) –5 (–5;0) 0 (0;+)
y + 0 – Не
существует+ 0 –
у 099,021
93
0 58,05
253
Возрастает Точка максимума
Убывает Точка минимума
Возрастает Точка максимума
Убывает
0)15)10(2)10((510
)810)(10(4)10('
223
y , 0)1562)6((56
)68)(6(4)6('
223
y ,
0)1512)1((15
)18)(1(4)1('
223
y , 0)1521(6
914)1('
23
y .
5. Дополнительные точки
х –9 –6 –1 2 у 0,10 0,08 0,53 0,48
При 0 yx .
6. Построим график функции 152
)5(32
3 2
xx
xy .
Рис. 5.13. График функции 152
)5(32
3 2
xx
xy
151
5.4.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
По теореме 4.5.3. (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на отрезке ],[ ba , принимает на этом отрезке хотя бы в одной точке наименьшее значение и хотя бы в одной точке наибольшее значение. Эти значения достигаются функцией в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на концах этого отрезка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений 1. Найти критические точки, где производная функции равна нулю или не существует,
лежащие внутри отрезка ],[ ba . 2. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. 3. Сравнить полученные значения функции. Выбрать из них наибольшее и
наименьшее. Пример 5.4.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
3 2 )6()2(1 xxy на отрезке [3;7]. Решение. Область определения данной функции – вся числовая прямая. Найдем критические точки, принадлежащие интервалу (3;7).
3 243 243 24
2
)6()2(
)143)(2(
3
1
)6()2(
)2122)(2(
3
1
)6()2(
)2()6)(2(2
3
1'
xx
xx
xx
xxx
xx
xxxy .
Производная не существует при 2x и при 6x , причем )7;3(6),7;3(2 .
)7;3(3
24,
3
24,0143,0 xxy .
Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках, которые принадлежат отрезку
92,3251)7(,1)6(,12,143
21
3
24,44,031)3( 333
yyyy .
Выберем из полученных значений наибольшее и наименьшее
92,3251)7(max 3
]7;3[
yy
x, 12,14
3
21
3
24min 3
]7;3[
yy
x.
Для решения текстовой задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений
нужно: 1. Выяснить, наибольшее или наименьшее значение какой величины y требуется
найти. 2. Выбрать независимую переменную x . 3. Исходя из условия задачи, выразить y как функцию от x . (Если функция окажется
функцией двух или более независимых переменных, надо исключить ряд переменных, кроме одной, используя условия задачи.)
4. По смыслу задачи определить область изменения аргумента x . 5. Исследовать функцию )(xy на наибольшее и наименьшее значения на этом
промежутке. Пример 5.4.4. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе.
С буровой надо направить курьера в населенный пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки шоссе (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта?
152
Решение. Пусть длина участка ОР шоссе равна
x км. Тогда РА=15–x км,
РВ= 22 9)15( x км.
Затраченное курьером время равно
.108
9)15( 22 xx
Найдем наименьшее значение функции
109)15(
8
1)( 22 x
xxy при ].15;0[x
10
1
9)15(2
)15(2
8
1)('
22
x
xxy ; 0)( xy ; 0
10
1
9)15(2
)15(2
8
122
x
x;
222 9)15()15(16
25 хх ; 144)15( 2 х ; 1215 х ; 31 x , 272 x .
По условию задачи ]15;0[3],15,0[27],15,0[ 12 xxx – критическая точка. Найдем значение функции на концах отрезка [0;15] и в критической точке.
19,210
0915
8
1)0( 22 y , ,18,2
10
3912
8
1)3( 22 y
,63,210
15
8
9)15( y .18,2)3(min
]15;0[
yу
x
Ответ: курьер должен двигаться в точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от ближайшей к буровой точки шоссе.
5.4.3. Исследование функций с помощью производных высших порядков. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
Исследование функций с помощью производных высших порядков основано на применении следующих теорем.
Теорема 5.4.4. (II достаточное условие экстремума). Если функция )(xf имеет в
некотором интервале ),( 00 xx вторую непрерывную производную )(xf , и в точке 0x
выполнены условия 0)( 0 xf и 0)( 0 xf , то в этой точке функция )(xf имеет экстремум,
а именно, максимум при 0)( 0 xf и минимум при 0)( 0 xf .
Теорема 5.4.5. (III достаточное условие экстремума). Пусть функция )(xf имеет в
некотором интервале ),( 00 xx производные )(),...,( )1( xfxf n и в точке 0x
непрерывную производную )( 0)( xf n , причем ,0)(,...,0)(,0)( 0
)1(00 xfxfxf n 0)( 0
)( xf n .
В таком случае: 1) если n – четное число, то в точке 0x функция )(xf имеет экстремум, а именно,
максимум при 0)( 0)( xf n и минимум при 0)( 0
)( xf n ;
2) если n – число нечетное, то в точке 0x функция )(xf экстремума не имеет.
Рис. 5.14. К задаче 5.4.4
153
Определение 5.4.4. Кривая обращена выпуклостью вверх (вниз) на интервале ),( ba , если все точки кривой лежат ниже (выше) любой ее касательной на этом интервале. Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.
Теорема 5.4.6. (Достаточные условия вогнутости и выпуклости). Если функция )(xfy дважды непрерывно дифференцируема на ),( ba и 0)( 0 xf для всех ),( bax , то
график функции на этом интервале вогнутый. Если 0)( 0 xf для всех ),( bax , то график на этом интервале выпуклый.
Определение 5.4.5. Точки, в которых меняется направление выпуклости графика функции, называются точками перегиба.
Из теоремы 5.4.6 следует, что в точках возможного перегиба вторая производная 0)( xf или )(xf не существует.
Теорема 5.4.7. (Достаточное условие перегиба). Пусть в точке 0x определена первая
производная функции )(xfy , 0)( 0 xf или )( 0xf не существует. Если )( 0xf меняет
свой знак при переходе через 0x , то 0x – точка перегиба. Пример 5.4.5. Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с
помощью производных высших порядков: );1ln(2
1arctg 2xxy 10 x .
Решение.
1. 222 1
1
1
2
2
1
1
1'
x
x
x
x
xy
, 0)1( y ;
2
2
22
2
2 1
12
)1(
)1(21
1
1
x
xx
x
xxx
x
xy
, 2
1)1( y ,
0)1( y , 0)1( y , причем 0)1( y , следовательно, по теореме 5.4.4 10 x – точка максимума.
2. 02
1)1( y , )(xy непрерывна на R, следовательно, существует такая
окрестность точки 10 x , где 0)( xy . В этой окрестности, по теореме 5.4.6, график функции выпуклый.
Пример 5.4.6. Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с помощью производных высших порядков: 2,)2( 0
5 xxy . Решение. 1. 0)2(,)2(5)( 4 yxxy .
0)2(,)2(20)( 3 yxxy ,
0)2(,)2(60)( 2 yxxy ,
0)2(),2(120)( )4()4( yxxy ,
120)2(,120)( )5()5( yxy ,
т. е. 0)2(,0)2()2()2()2( )5()4( yyyyy . Производная пятого порядка отлична от 0 (порядок производной – нечетное число),
следовательно, по теореме 5.4.5 в точке 20 x функция экстремума не имеет.
2. 0)2( y . Исследуем знаки второй производной в промежутках (2–; 2), (2; 2+), где >0.
Выберем настолько малым, чтобы -окрестность точки 20 x была частью области
определения, не включала бы точек разрыва и точек (отличных от 20 x ), где 0)( 0 xf или не существует
154
02
52
2220
22 3
3
y , 02
52
2220
22 3
3
y .
Отсюда 0)( xy при )2,2( x , 0)( xy при )2,2( x .
Следовательно, по теореме 5.4.7 20 x – точка перегиба функции. По теореме 5.4.6 на
)2,2( график функции выпуклый, на )2,2( график функции вогнутый.
5.4.4. Асимптоты графика функции
Определение 5.4.6. Если расстояние от точки ),( yxM кривой )(xfy до некоторой прямой L при неограниченном удалении точки М от начала координат стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой )(xfy .
Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты: а) прямая ax является вертикальной асимптотой графика функции )(xfy , если
выполняется хотя бы одно из условий
)(lim0
xfax
или
)(lim0
xfax
.
Вертикальные асимптоты проходят через точки бесконечного разрыва. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют;
б) если существуют конечные пределы x
xfk
x
)(lim
и ),)((lim kxxfb
x
то прямая
bkxy является правой наклонной, а при 0k – правой горизонтальной асимптотой (рис. 5.15);
Рис. 5.15. Правая наклонная асимптота
Если существуют конечные пределы x
xfk
x
)(lim
и ),)((lim kxxfb
x
то прямая bkxy
является левой наклонной, а при 0k – левой горизонтальной асимптотой. График однозначной функции )(xfy не может иметь более одной правой
(наклонной или горизонтальной) и более одной левой (наклонной или горизонтальной) асимптоты.
Пример 5.4.7. Найти асимптоты и построить график функции 13
222
x
xxy .
Решение. Область определения функции );3
1()
3
1;()( yD .
1. Вертикальные асимптоты: 3
1x является точкой разрыва, т. к. в ней обращается в
ноль знаменатель дроби.
155
Так как
13
22lim)(lim
2
)3
1(
3
10
3
1 x
xxxf
x
xx
и ,13
22lim)(lim
2
)3
1(
3
10
3
1
x
xxxf
x
xx
то 3
1x –
вертикальная асимптота. 2. Горизонтальные и наклонные асимптоты:
3
1
3lim
)13(
22lim
)(lim
2
22
x
x
xx
xx
x
xfk
xxx,
.9
7
9
7lim
39
67lim
39
3663lim
)(313
22lim))((lim
22
2
x
x
x
x
x
xxxx
x
x
xxkxxfb
xxx
xx
Значит, 9
7
3
xy при x является наклонной асимптотой.
Аналогично,
,3
1
3lim
)13(
22lim
)(lim
2
22
x
x
xx
xx
x
xfk
xxx
.9
7
313
22lim))((lim
2
x
x
xxkxxfb
xx
Таким образом, прямая 9
7
3
xy является наклонной асимптотой и при x (левая и
правая асимптоты совпадают). Построим график функции. Найдем дополнительные точки. Точки пересечения с осью
абсцисс: 0y , 013
222
x
xx, 0222 xx , 7,0311 x , .7,2312 x Точки
пересечения с осью ординат: 0x , 2)0( y .
Рис. 5.16. График функции 13
222
x
xxy
156
5.5. Общая схема построения графиков функций
Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке.
1. Найти область определения функции, область ее непрерывности и точки разрыва. Вычислить значения функции или соответствующие пределы в граничных точках.
2. Найти асимптоты. 3. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, и сделать вывод о симметрии ее
графика. Исследовать функцию на периодичность. 4. Определить точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. 5. Определить экстремумы и интервалы возрастания и убывания функции (с помощью
первой производной). 6. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции
(с помощью второй производной). 7. Построить график функции. 8. Найти множество значений функции. Замечание. В некоторых случаях можно не находить интервалы знакопостоянства
функции, если решение неравенств 0)( xf и 0)( xf затруднено. Для уточнения графика можно определить координаты нескольких дополнительных
точек. Пример 5.4.8. Провести полное исследование и построить график функции
.)1(2 2
3
x
xy
Решение. 1. Область определения – вся числовая ось, кроме точки 1x , в которой функция
терпит разрыв, т. е. );1()1;()( yD . На всей области определения функция непрерывна. Граничные значения функции
,)1(2
limlim2
3
x
xy
xx .
)1(2limlim
2
3
x
xy
xx
2. Асимптоты: а) вертикальные асимптоты
,)1(2
lim)(lim2
3
101)1(
x
xxf
xxx
,)1(2
lim)(lim2
3
101)1(
x
xxf
xxx
следовательно, прямая 1x является вертикальной асимптотой; б) наклонные и горизонтальные асимптоты
,2
1
2lim
)1(2lim
)(lim
3
3
2
3
x
x
x
x
x
xfk
xxx
.12
2lim
)1(2
2lim
)1(2
2lim
2)1(2lim))((lim
2
2
2
2
2
233
2
3
x
x
x
xx
x
xxxxx
x
xkxxfb
xx
xxx
При x прямая 12
xy является наклонной асимптотой.
157
3. Область определения несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодична.
4. Точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства.
С осью Ох: .0 ;0 ;0)1(2
;0 32
3
xxx
xy
Функция положительна при 0x и отрицательна при 0x . 5. Промежутки убывания и возрастания функции, экстремумы. Найдем первую производную функции
.)1(2
)3(
)1(2
]233)[1(
)1(2
)1(2)1(3'
3
2
4
2
4
322
x
xx
x
xxxx
x
xxxxy
Найдем критические точки функции: 0y при 0)3(2 xx , т. е. 0x и 3x ; y не существует при 1x , но эта точка является точкой разрыва. Отметим точки на числовой прямой и исследуем знак первой производной при переходе через эти точки.
x (–;–3) –3 (–3;–1) –1 (–1;0) 0 (0;+) y' + 0 – – + 0 +
y 8
33 – 0
Функция возрастает
Точка максимума
Убывает Точка разрыва
Возрастает Экстремума
нет Возрастает
В точке 3x функция имеет максимум, в точке 0x экстремума нет. На интервалах (–;–3), (–1;0), (0;) функция возрастает, на интервале (–3;–1) убывает.
Следовательно, функция имеет максимум: .8
33
8
27
)13(2
)3()3(
2
3
y
6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба. Найдем вторую производную:
.)1(
3
)1(2
6
)1(2
)323(3
)1(2
))3()1)(2(()1(3
)1(2
)3()1(3)1)(2(3
)1(2
)3()1(3)1)(63(
)1(2
3''
444
22
6
2
6
223
6
23232
3
23
x
x
x
x
x
xxxxx
x
xxxxxx
x
xxxxxx
x
xxxxxx
x
xxy
0y при 0x , y не существует при 1x .
x (–;–1) –1 (–1;0) 0 (0;+) y'' – Не сущ. – 0 + y Не сущ. 0
График функции выпуклый
Точка разрыва
График функции выпуклый
Точка перегиба графика
График функции вогнутый
Точка 0x является точкой перегиба графика функции. Найдем ординату этой точки 0)0( y . На интервалах (–;–1), (–1;0) кривая выпукла, на интервале (0;+) вогнута.
158
7. Построим график функции .)1(2 2
3
x
xy
Рис. 5.17. График функции 2
3
)1(2
x
xy
8. Множество значений функции Е(у)=(–;+).
Пример 5.4.9. Провести полное исследование и построить график функции )1(2)12( xexy .
Решение. 1. D(у)=(–;). Функция всюду непрерывна, точек разрыва нет.
Граничные значения функции:
.)12(limlim;02
2lim
)'(
)'12(lim
)12(lim)0()12(limlim
)1(2)'1(2)1(2
)1(2)1(2
x
xxxxxx
xx
x
xx
exyee
x
e
xexy
2. Асимптоты: а) так как функция всюду непрерывна, то вертикальных асимптот график не имеет; б) наклонные и горизонтальные асимптоты.
,при0.приlim2lim
)12(lim
)12(lim
)12(lim
)(lim
)1(2)1(2
)1(2)1(2
ххee
x
x
ex
x
x
ex
x
xfk
x
x
x
xx
x
x
x
xx
При x вычислим b
.0)12(
lim)0()12(lim))((lim)1(2
)1(2
xx
x
xx e
xexkxxfb
Следовательно, при x 0y (ось абсцисс) – правая наклонная асимптота. При x график функции асимптоты не имеет.
3. Так как 22)1(2 )12()12()( xx exexxy , )()( xyxy и )()( xyxy , то функция ни четная, ни нечетная. Функция не периодическая.
159
4. Точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства.
С осью Ох:
,)12(
,0)1(2 xexy
y
.2
1
,0
x
y
График функции пересекает ось Ох в точке .0;2
1
С осью Оу: 1,029,7
1,0 2 eyx , т. е. (0; 2e ) – точка пересечения графика с осью Оу.
0y при 012 x , т. е. при 0,2
1 yx при
2
1x .
5. Промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. Найдем первую производную функции.
2222222222 4)121(2)12(22)12(
xxxxx xexeexeexy . 0'y при 0x .
x (–;0) 0 (0;) y + 0 –
y 2e Функция возрастает Точка максимума Убывает
0x – точка максимума функции, 1,0)0( 2max ey .
На интервале (– ;0) функция возрастает, на интервале (0;+) – убывает. 6. Промежутки выпуклости и вогнутости.
Найдем вторую производную.
)1(2222222 )12(4844
xxxx exxeexey 0y при 2/1x .
x (–;1/2) 1/2 (1/2;) y – 0 + y 32 e Кривая выпукла Точка перегиба Кривая вогнута
2/1x – точка перегиба, 07,02)2/1( 3 ey ; на интервале )2/1,( кривая выпукла, на интервале ),2/1( – вогнута.
7. Строим график функции )1(2)12( xexy .
Рис. 5.18. График функции )1(2)12( xexy
8. Множество значений функции Е(у)=(–; 2e ].
160
5.6. Основные термины
Производная функции. Дифференцирование. Логарифмическая производная. Приращение функции. Дифференциал. Односторонняя (левая, правая) производная. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме
Пеано и Лагранжа. Монотонность функции. Точка экстремума (максимума, минимума) функции.
Критические точки. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точка перегиба. Асимптоты (вертикальная, горизонтальная, наклонная) графика функции.
5.7. Вопросы для самоконтроля
1. Что такое производная функции? Каков геометрический и механический смысл производной?
2. Что такое правая (левая) производная? 3. Является ли существование производной необходимым условием
дифференцируемости функции? Достаточным условием? 4. Сформулируйте необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. 5. Является ли непрерывность функции необходимым условием ее
дифференцируемости? Достаточным условием? 6. В любой ли точке непрерывная функция имеет касательную? 7. Может ли функция иметь касательную в данной точке, но быть в ней
недифференцируемой? 8. Сформулируйте теоремы о дифференцируемости сложной и обратной функций. 9. Что такое логарифмическая производная?
10. Какой геометрический смысл дифференциала функции? 11. Какой механический смысл производной 2-го порядка? 12. Какие виды неопределенностей раскрываются по правилу Лопиталя? 13. Функция дифференцируема на промежутке и монотонна. Что можно сказать о ее
производной? 14. Функция на отрезке имеет положительную производную. Что можно сказать о ее
монотонности? 15. Функция монотонна на отрезке. Может ли ее производная на этом отрезке
обращаться в нуль? 16. Сформулируйте необходимое и достаточное условие точек экстремума. 17. Является ли любая точка экстремума стационарной точкой? 18. Может ли функция в точке экстремума быть недифференцируемой? 19. Может ли функция в точке экстремума быть разрывной? 20. Какая кривая называется выпуклой вверх (вниз)? Сформулируйте условие
выпуклости кривой вверх (вниз). 21. Сформулируйте необходимое и достаточное условие точек перегиба. 22. Может ли функция в точке перегиба быть недифференцируемой? 23. Может ли функция в точке перегиба быть разрывной? 24. Какими бывают асимптоты? Как их найти? 25. Любой ли график имеет асимптоты? 26. Может ли график иметь несколько асимптот? Бесконечное множество асимптот?
161
5.8. Задачи для самостоятельного решения Задание 1. Найти производные функций Ответы
1 324 45 xxxy 2165 34 xxy
2 13 xxxy x
xxy
2
127 3
3 xxxf 23)(
найти f(1) и )1(f f(1) = 1
)1(f = 2
4 53254)( xxxxf
показать, что )2()2( ff 61)2(
61)2(
f
f
5 5 1
1
x
xy
5 115
46
xx
xy
6 63
12
xx
y 22 63
23
xx
xy
7 xx
xy
cossin
2cossin
cos)1(sin1
xx
xxxxy
8 21tg xy 222 1cos1 xx
xy
9 xy 2arccos3 2
2
41
2arccos6
x
xy
10 xxy 22 log
2lnlog2 2
xxxy
11 x
xy
arctg
2
22
22
arctg1
arctg12
xx
xxxxy
12 xy 2arccosln xx
y2arccos41
22
13 5 2ln1 xy 5 42ln15
ln2
xx
xy
14 21 xy 21 x
xy
15 2arctg xy 41
2
x
xy
16 4 3 2cos xy 4 2cos2
2sin3
x
xy
17 2
ctgx
y
2sin4
1
2tg
2 xx
y
18 xy 2tg3 x
xy
2cos
tg62
2
19 xy 3cos xxy sincos3 2
162
Окончание Задание 1. Найти производные функций
Ответы
20 x
y2
arcsin 4
22
xxy
21 y = ln(2x) x
y1
22 3 ln xy 3 2ln3
1
xxy
23 xy sinln4
x
xy
tg
sinln4 3
24 1log 23 xy 3ln1
22
x
xy
25 21ln xy 12
x
xy
26 xexy 3 xey x 313
27 xey 2 x
ey
x
2
2
28 21 x
ey
x
22
2
1
1
x
xey
x
29 123 xy x xx
y x
2
13ln32 2
30 2
5
2sin x
ey
x
22
225
2sin
2cos42sin5
x
xxxey
x
31 x
x
y sinln2 x
xxxy x
x
sinln
ctgsinln2ln2
2sinln
32 xxy 22 4 4ln142 2 xxy x
33 xe
xy
5
2tg
xe
xy
x 2cos2
4sin5425
34 32ctg1 xy x
xxy
2
2
sin
ctg1ctg3
35 xxy 2 1ln2 2 xxy x
36 2
1 xxy
x
xxxxy x
11ln21
2
37 xxy 2sin
x
xxxxxy x 2sinln2cos22sin
38 5 4
43
2
1
x
xxy
xxxx
xxy
25
4
4
1
13
1
2
15 4
43
39 xxy 2cossin
)sinln2sinsin2
2cos(cossin 12cos
xxx
xxxy x
40 xxy ln xxy x ln2 1ln
163
Задание 2. Найти производные функций, заданных параметрически
Ответы
1
3
12
ty
tx 2
2
3tyx
2
t
ty
t
tx
1
1
1xy
3
3
21
tty
tx tyx 2
3
4
tey
text
t
cos
sin
1ctg
1ctg
t
tyx
5
t
t
ey
ex2
tx ey 32
6
3 ty
tx
63
2
tyx
7
t
ty
ttx
ln
ln tt
tyx
ln1
ln12
8
1
1
1
2
2
t
ty
tx 1
12
tt
tyx
9 Вычислить dx
dy при
2
t , если
tay
ttax
cos1
sin 1
Задание 3. Найти дифференциал функции Ответы
1
xx
xxy
3
2
2
1)(
dx
xx
xxxxdy
23
23
2
1621
2 xxxxxy 23 35)( dxxxxxdy 1045415 23
3 xxy 2ctg)( 3 dxx
xdy
2sin
2ctg62
2
4 x
xxy
2cos
sin)( dx
x
xxxxdy
2cos
2coscos2sinsin22
5 xxy 3arccos)( dxxx
xdy
2
2
2
arccos3
164
Задание 4. Найти дифференциал функции при заданных значениях x и x
Ответы
1 36
,6
,cos)(
xxxxy 04,072
dy
2 01,0,2,2)( 3 xxxxy dy –0,0013
3 02,0,1,2
)(3
xxx
xxy dy –0,0098
4 72
,,sin
)( xx
x
xxy dy –0,014
Задание 5. Найти приращение функции y и дифференциал функции при заданных значениях x и x
Ответы
1 01,0,2,5)( 02 xxxxxy
y = 0,009001 dy = 0,009
2 2,0,2,)( 03 xxxxy
y = –0,2376 dy = –0,24
3 1,0,8,)( 03 xxxxy
y 0,001 dy 0,0008
Задание 6. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислить приближенно
Ответы
1 arctg 1,05 81,0025,04
2 17 4,13
3 5037,2
3037,22
2
0,355
4 3003,1
1 0,991
Задание 7. Найти дифференциал второго порядка yd 2 для функций
Ответы
1 1
)(
x
xxy
23
2
1
2dx
xyd
2 xxxxy ln)( 22 1dx
xyd
3 y(x) = tg2 7x 24
22
7cos
7sin2198 dx
x
xyd
4 x
xxy
sin)( 2
3
22 sincos2sin2
dxx
xxxxxyd
5 y(x) = arctg x 2
22
1
2dx
x
xyd
6 xxxy 2ln)( 4 22
22 112 dx
xxyd
165
Окончание Задание 7. Найти дифференциал второго порядка yd 2 для функций Ответы
7 x
xxy
2cos)(
2
2
3
22
2cos
4sin2
2cos
22 dx
x
xxx
xyd
8 3
ln)(
5
x
xxy
2
2
22
332
122520ln5,7
dxxx
xxx
yd
Задание 8. На уравнение касательной и нормали Ответы
1 На линии y = x2(x – 2)2 найти точки, в которых касательные параллельны оси Ох
(0,0), (1,1), (2,0)
2 В каких точках линии y = x3 + x – 2 касательная параллельна прямой y = 4x – 1?
(1,0), (– 1, – 4)
3 Составить уравнение касательной к линии y = x3 + 3x2 – 5, перпендикулярной к прямой 2x – 6y + 1=0
3x + y +6 = 0
4 Составить уравнение нормали к линии y = 2 + x в точке ее пересечения с биссектрисой первого координатного угла.
4x + y –2 = 0
5 Какой угол образует с осью Ox касательная к кривой y = x – x2 в точках с абсциссами x = 0 и x = 1?
φ1 = 45º, φ2 = 135º
6 Найти точки, в которых касательная к кривой y = 3x4 + 4x3 – 12x2 + 20 параллельна оси абсцисс
(0,20), (1,15), (– 2, – 12)
7 Найти уравнение параболы y = x2 + bx + c, касающейся прямой y = x в точке (1,1)
y = x2 – x + 1
8 Написать уравнения касательной и нормали к параболе y = x , в точке с абсциссой x=4
касательная: 044 yxнормаль: 0184 yx
Задание 9. На угол между кривыми Ответы
1 Найти точку пересечения и угол, под каким пересекаются параболы y = x2 и y = x3
(0,0) – точка касания (φ = 0),(1,1) – точка пересечения
угол φ = 3
1arctg 88
2 Под каким углом пересекаются параболы y = (x – 2)2 и y = – 4 + 6x – x2?
φ40º36´
3
Найти тангенс угла между касательными,
проведенными к графикам функций 3
17
xy
и 45 xy в точках с абсциссой 10 x
tg 13
Задание 10. Вычислить пределы, применив правило Лопиталя Ответы
Вычислить пределы, применив правило Лопиталя Ответы
1 34
23lim
23
23
1
xx
xxx
5
3 2
43
45lim
24
24
2
xx
xxx
5
3
3 axa
axaax 3
2lim
8
3 4
x
ba xx
x
0
lim b
aln
166
Окончание Задание 10. Вычислить пределы, применив правило Лопиталя
Ответы Вычислить пределы, применив правило Лопиталя
Ответы
5 x
xxxx 30 sin
cossinlim
3
1 6
)1ln(lim
0 x
ee xx
x
2
7 xx
ee xx
x sinlim
sin
0
1 8
xx
xx sin
cos1lim
0
∞
9
xxx
1
sin
1lim
0 0 10
xxxx tg2
1
2
1lim
20
6
1
11
xx
xx ln
1
1lim
1
2
1 12
x
xx sinln1
lnlim
0
2
1
13 x
x
xtg 2sin
2
)(lim
1 14 x
xx
8sin
7sinlim
2
8
7
Задание 11. Найти асимптоты графика функции
Ответы вертикальные асимптоты наклонные асимптоты
1 x
xxy1
)( x = 0 y = x
2 1
)(2
x
xxy x = – 1 y = x – 1
3 1
)(2
2
x
xxy нет y = 1 – горизонтальная
4 x
xxy
ln)( x = 0
y = 0 – правая при x→ +∞ горизонтальная
Задание 12. Найти экстремум функции Ответы
1 23 32)( xxxy ymax = 0 при x = 0
ymin = – 1 при x = 1
2 1
443)(
2
2
xx
xxxy
ymax = 4 при x = 0
ymin = 3
8при x = – 2
3 2)( 22 xxxy ymax = 0 при x = 0
4 x
xxy
ln)( ymin = e при x = 0
5 2
4)(
x
xxy ymax = 2 при x = 2
6 xexxy 2)( ymax =
2
142
e при x = 2
ymin = 0 при x = 0
167
Задание 13. Найти интервалы монотонности функции Ответы
1 y(x) = x – ex на интервале (– ∞, 0) функция возрастает;на интервале (0, + ∞) функция убывает
2 xexxy 2)( на интервале (0,2) функция возрастает; на интервалах (– ∞, 0), (2, + ∞) функция убывает
3 y(x) = (x – 2)5(2x + 1)4
на интервалах
2
1, и
,18
11 функция
возрастает;
на интервале
18
11,
2
1 функция убывает
4 y(x) = 2x2 – ln x
на интервале
,
2
1 функция возрастает;
на интервале
2
1,0 функция убывает
Задание 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке Ответы
1 1,1,3
22
3
xx
xy
унаиб = 1 при х = – 1 унаим = – 1 при х = 1
2 3,1,)1( 3 2 xxxy унаиб = 3 94 при х = 3 yнаим= 1 при 0x и 1x
3 eexxxy ,,ln 2 унаиб = 1 при х = – 1 унаим = – 1 при х = 1
4 0,1,2 xexy x унаиб = е при х = е унаим = – 2 2e при 2 ex
Задание 15. Найти интервалы выпуклости, точки перегиба функции
Ответыточки перегиба
направления выпуклости
1 y(x) = ln (1+x2) (1,ln 2) (– 1,ln 2)
1) на интервале (– ∞, – 1) и (1, + ∞) функция выпукла; 2) на интервале (– 1,1) функция вогнута
2 y(x) = (x+1)4 + ex нет всюду выпукла вниз
3 3 21)( xxy (2,1)
1) на интервале (– ∞,2) функция выпукла; 2) на интервале (2, + ∞) функция вогнута
4 3
)(2
3
x
xxy
4
9,3
0,0
4
9,3
1) на интервале (– 3,0) и (3, + ∞) функция выпукла; 2) на интервале (– ∞, – 3) и (0,3) функция вогнута
5 2
12)(
x
xxy нет
1) на интервале (– ∞, – 2) функция выпукла; 2) на интервале (– 2, + ∞) функция вогнута
168
Глава 6. Элементы высшей алгебры
Операция извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных. По этой причине не любое квадратное уравнение имеет решение. Это, а также ряд вопросов, возникших при решении уравнений 3-го и 4-го порядков, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел до множества комплексных чисел. Впоследствии комплексные числа нашли многочисленные серьезные приложения во многих областях чистой и прикладной математики, и современная математика уже немыслима без понятия комплексного числа.
6.1. Комплексные числа
6.1.1. Формы записи комплексных чисел
Определение 6.1.1. Комплексным числом z называется выражение
,iyxz (6.1)
где x и y – действительные числа, 1i – так называемая мнимая единица ( 12 i ); x называется действительной или вещественной частью; y – мнимой частью числа z. Их обозначают x = Re z, y = Im z.
Определение 6.1.2. Равенство (6.1) называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Определение 6.1.3. Число iyxz называется комплексно сопряженным числу iyxz .
Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 считаются равными z1 = z2, если равны их мнимые и действительные части, т. е.
x1 = x2, y1 = y2.
Комплексное число z = x + iy естественно изображать точкой ),( yxM на плоскости Oxy (рис. 6.1). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного ,z или просто комплексной плоскостью. В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числа z = x + iy вектор
OM , т. е. радиус-вектор точки ),( yxM .
Рис. 6.1. Геометрическое представление комплексного числа
169
Если x и y – декартовы координаты точки плоскости, то, перейдя на плоскости к полярным координатам (, ) и воспользовавшись связью
x = ρcos, y = ρsin ,
получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:
z = (cos + isin). (6.2)
При этом число называют модулем комплексного числа, || z , а число – аргументом комплексного числа,
Arg z = arg z+2k= )2,0[arg z
При решении задач для вычисления аргумента, в зависимости от четверти, в которой расположена точка, соответствующая числу, удобно пользоваться схемой, приведенной ниже:
)/(arctg xy )/(arctg xy
)/(arctg xy )/(arctg2 xy
Справедливы соотношения:
,22 yxz ,tg)tg(Argx
yz .iyxz
Используя формулу Эйлера sincos iei ,
получим показательную форму записи комплексного числа:
iez . (6.3)
Пример 6.1.1. От алгебраической формы записи комплексного числа iz 3 перейти к тригонометрической и показательной формам записи комплексного числа.
Решение. Действительная и мнимая части комплексного числа равны
1Im,3Re zyzx .
Найдем модуль числа 213)1(3|| 22 z .
Так как 0,0 yx , то точка, соответствующая числу, лежит в четвертой четверти. Найдем аргумент числа. В соответствии со схемой
6
11
62
3
1arctg2)/arctg(2
xy .
Подставляя в (6.2) и (6.3) найденные значения модуля и аргумента комплексного числа, получим тригонометрическую форму
6
11sin
6
11cos2)sin(cos
iiz
и показательную форму
6
11
2
i
i eez
записи комплексного числа iz 3 .
Ответ:
6
11sin
6
11cos2
iz , 6
11
2
iez .
170
6.1.2. Операции над комплексными числами
Пусть заданы два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2.
1. Сложение (вычитание) комплексных чисел: для того чтобы найти сумму (разность) двух комплексных чисел, необходимо сложить (вычесть) соответственно их мнимые и действительные части, т. е.
z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2).
Геометрически сложение (вычитание) комплексных чисел соответствует сложению (вычитанию) представляющих их радиус-векторов (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Сложение и вычитание комплексных чисел
2. Умножение комплексных чисел: умножение двух комплексных чисел производится по правилам умножения многочленов с учетом того, что i2 = –1, т. е.
2121212121212121
212
212121221121
yyxxiyyxxyyyixxyixx
yyiyixxyixxiyxiyxzz
.
Замечание. При умножении комплексно сопряженных чисел z и z получаем действительное число:
22222222 zyxyixiyxiyxiyxzz .
3. Деление комплексных чисел: при делении двух комплексных чисел числитель и знаменатель умножаются на сопряженное знаменателю число x2 – iy2 и затем отделяются действительные и мнимые части, т. е.
.
22
22
21212
22
2
21212
22
2
21212121
2222
2211
22
11
2
1
yx
yxxyi
yx
yyxx
yx
yxxyiyyxx
iyxiyx
iyxiyx
iyx
iyx
z
z
Пример 6.1.2. Пусть заданы два комплексных числа z1 = 1 – 3i и z2 = 2 + 5i. Найти сумму z1 + z2, разность z1 – z2, произведение z1 z2 , частное z1 / z2.
Решение. 1. z1 + z2 = (1 – 3i) + (2+5i) = (1 + 2) + i(–3 + 5) = 3 + 2i; 2. z1 – z2 = (1 – 3i) – (2+5i) = (1 – 2) + i(–3 – 5) = –1 – 8i; 3. z1z2 = (1 – 3i) · (2+5i) = 2 – 6i + 5i – i215 = (2 + 15) + i(–6 + 5) = 17 – i;
4.
29
56152
254
15562
5252
5231
52
31 2
2
1 iiii
ii
ii
i
i
z
z
29
1113 i
.29
11
29
13i
Если комплексные числа записаны в тригонометрической форме z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2), то их умножение представляется равенством, в котором модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются:
.)sin()cos( 21212121 irrzz
171
В этом легко убедиться, используя формулы тригонометрии. Действительно,
.)sin()cos(
)sincossin(cos)sinsincos(cos)sinsin
sincossincoscos(cos)sin(cos)sin(cos
212121
1221212121212
1221212122211121
irr
irri
iirririrzz
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме определяется равенством, в котором модули комплексных чисел делятся, а аргументы вычитаются:
)sin()cos( 21212
1
2
1 ir
r
z
z.
Возведение в степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме z = r(cos φ + i sin φ), определяется формулой Муавра:
zn = rn(cos nφ + i sin nφ), Nn . (6.4)
Пример 6.1.3. Вычислить 421 i . Решение. Обозначим iz 1 . Представим число в тригонометрической форме.
Действительная и мнимая части комплексного числа равны 1Im,1Re zyzx .
Найдем модуль числа 21111|| 22 z . Так как 0,0 yx , то числу соответствует точка первой четверти. Найдем аргумент
числа. В соответствии со схемой 4/1arctg)/(arctg xy . Подставляя найденные значения модуля и аргумента комплексного числа, получим
тригонометрическую форму записи
4sin
4cos2)sin(cos
iiz .
Используя формулу (6.4) и то, что функции sin и cos имеют период 2T , получим
2
21sin
2
21cos2
4
42sin
4
42cos2 214242
iiz
.21022
sin2
cos22
25sin2
25cos2 21212121 iiii
Здесь из числа 2
21 выделили 5 периодов и остаток
2
.
Ответ: .2)1( 2142 ii Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных комплексных значений n
k zz по формуле:
n
ki
n
krz n
k
2sin
2cos , k = 0,1,…,n – 1. (6.5)
Точки z0, z1, z2,…, zk-1 расположены на окружности с центром в начале координат и
радиусом n rR в вершинах правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.
Пример 6.1.4. Найти 6 1 . Решение. Обозначим 1z . Представим число в тригонометрической форме.
Действительная и мнимая часть комплексного числа z равны: 0Im,1Re zyzx .
172
Число действительное, причем 0x , следовательно, . Модуль числа
10)1(|| 22 z .
Подставляя найденные значения модуля и аргумента комплексного числа, получим тригонометрическую форму
sincos)sin(cos iiz .
Используя формулу (6.5), получим
6
2sin
6
2cos11 66 k
ik
.
Подставим k = 0,1,…,5 и выпишем все шесть корней
;2
1
2
3
6sin
6cos1,0 6 iik
;102
sin2
cos1,1 6 iiik
;2
1
2
3
6
5sin
6
5cos1,2 6 iik
;2
1
2
3
6
7sin
6
7cos1,3 6 iik
;)1(02
3sin
2
3cos1,4 6 iiik
.2
1
2
3
6
11sin
6
11cos1,5 6 iik
Ответ: ;2
1
2
3i ;i ;
2
1
2
3i ;
2
1
2
3i ;i .
2
1
2
3i
6.1.3. Множества комплексных чисел
Множества комплексных чисел могут быть представлены и изображены как множества точек на комплексной плоскости.
Пример 6.1.5. На комплексной плоскости изобразить области, заданные неравенствами:
1. .12 iz
2. .3
2arg
iz
3. Re z<1. 4. Im z≤3. Решение. 1. Пусть z = x + iy; z0 = 2 – i. Тогда:
|z – z0| = |x + iy – (2 – i)| = |(x – 2) + i(y + 1)| = 22 1)2( yx .
173
Таким образом, из неравенства |z – z0| ≤ 1 следует, что 11)2( 22 yx или
22 1)2( yx ≤ 1. Неравенство 12 iz есть множество точек круга радиуса 1 с
центром в точке z0 = 2 – i (рис. 6.3).
2. Условие 3
2arg
iz выделяет сектор с центром в точке z0 = 2 – i и лучами
3
2arg
iz и 3
2arg
iz (рис. 6.4).
3. Re z < 1 x < 1 – полуплоскость без граничных точек прямой x = 1 (рис. 6.5). 4. Im z≤3 y ≤ 3 – полуплоскость (включая границу у = 3) (рис. 6.6).
6.2. Многочлены
6.2.1. Разложение многочлена на множители
Пусть z – переменная, вообще говоря, комплексная, которая может принимать любые комплексные значения ( iyxz ).
Определение 6.2.1. Многочленом n-й степени называется функция вида
n
k
kk
nnn zazazazaazQ
0
2210 ...)( ,
где ka – постоянные коэффициенты (действительные или комплексные).
Рис. 6.5. Область Re z<1 Рис. 6.6. Область Im z≤3
Рис. 6.3. Область 12 iz Рис. 6.4. Область 3
2arg
iz
174
Определение 6.2.2. Если 0)( 0 zQn , то число 0z называется корнем или нулем
многочлена )(zQn .
Теорема 6.2.1. (Теорема Безу). При делении многочлена )(zQn на разность 0zz
получается остаток, равный )( 0zQn .
Следствие. Для того чтобы многочлен )(zQn имел (действительный или комплексный)
корень 0z , необходимо и достаточно, чтобы он делился на 0zz без остатка, т. е. чтобы его можно было представить в виде произведения
)()()( 10 zQzzzQ nn (6.6)
для любых чисел z , где )(1 zQn – некоторый многочлен степени )1( n .
Определение 6.2.3. Пусть 0z есть корень многочлена )(zQn , т. е. имеет место
представление (6.6). Если при этом 0)( 01 zQn , то 0z – простой корень многочлена )(zQn .
Определение 6.2.4. В общем случае, если для некоторого натурального числа ns имеет место
0)(),()()( 00 zQzQzzzQ snsns
n ,
где )(zQ sn – многочлен степени )( sn , то говорят, что 0z – корень кратности s
многочлена )(zQn . Теорема 6.2.2. (Основная теорема алгебры). Всякий многочлен n-й степени имеет, по
крайней мере, один корень, действительный или комплексный. Следствие. Многочлен n-й степени )(zQn со старшим не равным нулю коэффициентом
)0( na имеет n корней с учетом их кратности, иначе говоря, )(zQn представляется в виде произведения
sps
ppnn zzzzzzazQ )....()()()( 21
21 , (6.7)
где szzz ,..., 21 – различные корни многочлена )(zQn кратностей, соответственно
npppppp ss ...;,..., 2121 .
Определение 6.2.5. Многочлен )0()(0
n
n
k
kkn azazQ называется действительным,
если его коэффициенты ka – действительные числа.
Теорема 6.2.3. Если )0(0 iz – есть комплексный корень s -й кратности
действительного многочлена )(zQn , то iz 0 есть тоже корень )(zQn и той же кратности, и тогда
)(])[()( 222 zQzzQ sn
sn ,
где )(2 zQ sn – действительный многочлен степени sn 2 , не равный нулю при 0zz и
0zz .
Следствие. Действительный многочлен )(zQn со старшим коэффициентом 0na
может быть представлен в виде произведения
srssrnn zzczczazQ ])...[(])[()...()()( 222
12
1111 ,
где nsr )...(2... 11 ; rccc ,...,, 21 – действительные корни кратностей
соответственно r ,...,, 21 ; а ss ii ...,,11 – попарно сопряженные комплексные
корни кратностей соответственно s ,...,1 .
175
6.2.2. Решение алгебраических уравнений
Рассмотрим квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где a, b, c – действительные числа, a ≠ 0.
Формула решения квадратного уравнения имеет вид
a
Dbz
22,1
(D = b2 – 4ac – дискриминант).
При этом: 1. Если D > 0 , то уравнение имеет два действительных корня:
a
Dbz
a
Dbz
2,
2 21
.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2:
a
bzz
221 .
3. Если D < 0 , то уравнение имеет два комплексных сопряженных корня
)0(22
,22 21
D
a
Di
a
bz
a
Di
a
bz .
Пример 6.2.1. Решить уравнение x2 + 6x +10 = 0.
Решение. iix
32
2
2
6
2
46
2
403662,1 .
Пример 6.2.2. Решить уравнение 08 25 хх . Решение. Так как уравнение пятой степени, то по следствию из основной теоремы
алгебры оно имеет ровно пять корней. Разложим левую часть уравнения на множители:
.42288 223225 хххххххх
Имеем: 0422 22 хххх . Отсюда либо 00 2,12 хх (корень кратности 2),
либо 202 3 хх (простой корень), либо 31042 5,42 iххх (комплексно
сопряженные простые корни).
Ответ: .31,31,2,0,0 54321 ixiхххх
6.3. Основные термины Комплексные числа. Действительная и мнимая части комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексная плоскость. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного
числа. Многочлен. Корень многочлена. Кратность корня многочлена. Действительный многочлен.
176
6.4. Вопросы для самоконтроля
1. Что такое комплексное число и каковы формы записи этого числа? 2. Как поставить в соответствие комплексному числу точку комплексной плоскости? 3. Опишите алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к
тригонометрической и показательной формам. 4. Как сложить и вычесть комплексные числа и каков геометрический смысл этих
операций? 5. Как умножить и разделить комплексные числа в различных формах записи? 6. Как возвести комплексное число в степень? 7. Сколько различных корней n-й степени из комплексного числа и каков характер их
расположения на комплексной плоскости? 8. Что такое корень многочлена и его кратность? 9. Сформулируйте основную теорему алгебры.
10. Сколько корней у многочлена n-й степени без учета кратности? 11. Что такое действительный многочлен и как разложить его на линейные и квадратные
множители?
6.5. Задачи для самостоятельного решения Задание 1. Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел 21, zz , если
Ответы
21 zz 21 zz 21 zz 21 / zz
1 iz 211 ;
iz 432 i24 i62 i211 i
5
2
5
1
2 iz
iz
23
2
2
1
i31 i5 i74 i13
1
13
8
3 iz
iz
43
3
2
1
i56 i3 i155 i25
9
25
13
4 iz
iz
31
23
2
1
i 2 i54 i113 i10
7
10
9
Задание 2. От алгебраической формы записи комплексного числа z перейти к тригонометрической и показательной формам записи комплексного числа
Ответы Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Показательная форма записи комплексного числа
1 iz 22
4
3sin
4
3cos22 i
4
3
22i
e
2 iz 1
4sin
4cos2
i 42
i
e
3 3z 0sin0cos3 03 ie
4 iz 2
2sin
2cos2
i 22
i
e
177
Задание 4. Представить в алгебраической форме Ответы
1 3 i iziziz 321 ,2
1
2
3,
2
1
2
3
2 i31 iziz2
6
2
2,
2
6
2
221
3 4 1
iziz
iziz
2
2
2
2,
2
2
2
2
,2
2
2
2,
2
2
2
2
43
21
4 9 iziz 3,3 21
Задание 5. Решить уравнения Ответы
1 032 z iziz 3,3 21
2 0222 zz iziz 1,1 21
3 02)2(2 iziz 2, 21 ziz
4 055)25(2 iziz iziz 2,3 21
5 08 4 xx 4
3
4
1,
2
1,0 4,321 ixxx
6 0278 25 xx 4
33
4
3,
2
3,0 5,4321 ixxxx
7 0116 4 x ixixxx2
1,
2
1,
2
1,
2
14321
8 014 x 2
2
2
2,
2
2
2
24,32,1 ixix
Задание 3. Представить в алгебраической форме Ответы
1 26)322( i i322 5151
2 13127 )22( ii i1919 22
3 15
127
)1(
)3()1(
i
ii
i256
4 9898
124
)1()1(
)1(
iii
i
i1212 22
178
Глава 7. Интегральное исчисление функции одной переменной
В интегральном исчислении изучается понятие интеграла, его свойства и методы вычисления. Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и связаны с методом исчерпывания, разработанным математиками Древней Греции. Этот метод возник при решении задач на вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, некоторых задач статики и гидродинамики. Он основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т. п.). В этом смысле метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод. Наибольшее развитие метод исчерпывания в древнюю эпоху получил в работах Евдокса (4 в. до н. э.) и особенно Архимеда (3 в. до н. э.). Дальнейшее его применение и совершенствование связано с именами многих ученых 15–17 вв.
Основные понятия, теория и приложения интегрального исчисления были разработаны И. Ньютоном и Г. Лейбницем в конце 17 в. Существенную роль в создании интегрального исчисления в 18 в. сыграли работы Л. Эйлера, Я. и И. Бернулли, Ж. Лагранжа. В 19 в. в связи с появлением понятия предела интегральное исчисление приобрело логически завершенную форму в работах О. Коши, Б. Римана и др. Разработка теории и методов интегрального исчисления происходила и в конце 19 в. и в 20 в.
7.1. Неопределенный интеграл
7.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение 7.1.1. Пусть на отрезке ];[ ba задана функция )(xf . Функция )(xF называется первообразной от функции )(xf на отрезке ];[ ba , если во всех точках этого отрезка )()( xfxF .
Теорема 7.1.1. Любые две первообразные )(xF и )(x от данной функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную С, т. е. )(x = )(xF +С.
Определение 7.1.2. Совокупность всех первообразных функции )(xf называется
неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом dxxf )( . Функция
)(xf называется подынтегральной функцией, дифференциал dxxf )( – подынтегральным выражением.
Таким образом, по определению
];[,)()( baxCxFdxxf ,
где )(xF – одна из возможных первообразных от функции )(xf на отрезке ];[ ba . Теорема 7.1.2. Если функция непрерывна на отрезке ];[ ba , то для нее существует
первообразная (а значит, и неопределенный интеграл). Определение 7.1.3. Операция восстановления функций по ее производной, или, что то
же самое, нахождение неопределенного интеграла от данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции.
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Поэтому правильность результата интегрирования проверяется дифференцированием найденной первообразной.
179
На основании определения неопределенного интеграла, правил интегрирования и таблицы производных основных элементарных функций можно составить таблицу основных неопределенных интегралов (табл. 7.1). Отметим, что в приведенной таблице буква u может обозначать как независимую переменную, так и непрерывно дифференцируемую функцию.
Таблица 7.1
Таблица основных неопределенных интегралов
1. )1(1
1
C
uduu 2. Cu
u
du ln
3. Ca
adua
uu ln
4. Cedue uu
5. Cuduu cossin 6. Cuduu sincos
7. Ca
u
aua
du
arctg1
22 8. C
au
au
aua
du
ln
2
122
9. Cauuau
du
22
22ln 10. C
a
u
ua
du
arcsin
22
11. Cuu
du tg
cos2 12. Cu
u
du ctg
sin 2
13. Cu
u
du 2
tglnsin
14. Cu
u
du
42
tglncos
15. Cuduu chsh 16. Cuduu shch
17. Cuu
du cth
sh2 18. Cu
u
du th
ch2
Основные свойства неопределенных интегралов: 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.
).())(()( xfCxFdxxf
(7.1)
2. Неопределенный интеграл от производной функции )(xf равен самой функции )(xf с точностью до произвольной постоянной, т. е.
.)()()( Cxfxdfdxxf (7.2)
3. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.
.)())(()( dxxfCxFddxxfd (7.3)
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.
;)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf (7.4)
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.
.,)()( constAdxxfAdxxAf (7.5)
180
6. Если выполняется равенство ,)()( CxFdxxf
то
,)(1
)( CbaxFa
dxbaxf (7.6)
где ba, – любые действительные числа, 0a .
Пример 7.1.1. Вычислить интеграл dxx )13sin( .
Решение. Используя интеграл 5 табл. 7.1 и свойство (7.6), получим
Cxdxx )13cos(3
1)13sin( .
Ответ: Cx )13cos(3
1.
7.1.2. Методы интегрирования
Задача нахождения неопределенных интегралов решается путем сведения их к одному из табличных интегралов (табл. 7.1) или к такому, метод вычисления которого уже известен. Этого можно достичь путем тождественных преобразований подынтегральной функции
)(xf или подведением части ее множителей под знак дифференциала, или с помощью удачно выбранной подстановки в подынтегральном выражении, или методом интегрирования по частям, или комбинируя эти методы. Рассмотрим эти методы.
Непосредственное интегрирование
При использовании этого метода достаточно знать таблицу основных интегралов, основные свойства неопределенного интеграла и тождественные преобразования выражений.
Пример 7.1.2. Вычислить интеграл dxx3 24 . Проверить дифференцированием
полученный результат. Решение. Согласно (7.5) выносим за знак интеграла постоянный множитель 4 и
преобразуем подынтегральную функцию по формуле n
mn m aa .
dxxdxxdxx 3
23 23 2 444 (интеграл 1 табл. 7.1)
Cx
13
24
13
2
CxxCx 3 23
5
5
12
5
34 .
Проверка: 3 23
2
3
53 2 4
3
5
5
12
5
12
5
12xxCxCxx
.
Ответ: Cxx 3 2
5
12.
Пример 7.1.3. Вычислить интеграл
dxx
xx sin2
13 .
181
Решение. Так как интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого (7.4), то имеем
xdx
x
dxdxdxx
xxx sin23sin2
13 .
Каждый из полученных интегралов – табличный (см. интегралы 3,1,5 табл. 7.1). Следовательно,
,3ln
33 1Cdx
xx
22
12
1
2
1
21
2
1CxC
xdxx
x
dx, 3cossin Cxxdx .
Таким образом,
Cxxdxx
x
xx cos22
3ln
3sin2
13 .
Ответ: Cxxx
cos223ln
3.
Замечание. При вычислении интеграла от суммы нескольких функций сумму произвольных постоянных, которая при этом получается, заменяют одной произвольной постоянной. Здесь
CCCC 321 .
Пример 7.1.4. Вычислить интеграл
dxx
x 22
.
Решение. Разделив почленно числитель подынтегральной функции на ее знаменатель и используя свойства (7.4) и (7.5) и формулы 1 и 2 табл. 7.1, получаем
Cx
x
x
dxxdxdx
xxdx
x
xln2
22
22 22
.
Ответ: Cxx ln25,0 2 .
Пример 7.1.5. Вычислить интеграл
dx
x
x3
21
.
Решение. Преобразуем числитель по формуле 222 2 bababa . Тогда
dx
x
xxdx
x
x
33
2211
.
Разделив почленно числитель подынтегральной функции на ее знаменатель и применив
правило деления степеней с одинаковыми основаниями
mn
m
n
aa
a, получим
.5
3
7
12
2
3
3
5
6
72
3
2
2221
3 263 23
5
6
7
3
2
3
2
6
1
3
1
3
2
6
1
3
1
3
Cxxxx
Cxxx
dxxdxxdxxdxxxxdxx
xx
Ответ: .5
3
7
12
2
3 3 263 2
Cxxxx
182
Пример 7.1.6. Вычислить интеграл xx
dx22 cossin
.
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество 1cossin 22 xx и интегралы 11 и 12 табл. 7.1, получим
.ctgtgsincos
sin
1
cos
1
cossin
cossin
cossin
22
2222
22
22
Cxxx
dx
x
dx
dxxx
dxxx
xx
xx
dx
Ответ: Cxx ctgtg .
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
Пусть подынтегральная функция представляет из себя дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе квадратный трехчлен или корень квадратный из квадратного трехчлена. Тогда, применяя формулы квадрат суммы 222 2)( bababa или разности
222 2)( bababa , интеграл сводится к табличным интегралам 1, 2, 7–10.
Пример 7.1.7. Вычислить интеграл 542 xx
dx.
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат 4422
4 222
xxxx .
Видим, что в выражении xx 42 до полного квадрата не хватает 4, поэтому раскладываем 145 . После чего применяем свойство (7.6) и интеграл 7 табл. 7.1, где в качестве u берем
2x .
Cxx
dx
xx
dx
xx
dx)2(arctg
1)2(14454 222.
Ответ: Cx )2(arctg .
Пример 7.1.8. Вычислить интеграл 862 xx
dx.
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат 9632
6 222
xxxx .
Видим, что в выражении xx 62 до полного квадрата не хватает 9, поэтому раскладываем 198 . После чего применяем свойство (7.6) и интеграл 9 табл. 7.1, где 3 xu .
Cxxx
dx
xx
dx
xx
dx1)3(3ln
1)3(19686
2
222.
Ответ: Cxxx 863ln 2 .
Метод подведения под знак дифференциала
Метод подведения под знак дифференциала в неопределенном интеграле заключается в применении следующей цепочки тождеств:
)(
)()()]([)()]([xUU
dUUfxdUxUfdxxUxUf
. (7.7)
183
Пусть интеграл dUUf )( является табличным или был найден раньше. Тогда, чтобы
проинтегрировать произведение )()]([ xUxUf , где )]([ xUf – сложная функция с промежуточной переменной )(xU , а )(xU – производная функции )(xU , следует в
полученном выражении для интеграла dUUf )( заменить U на )(xU .
Замечание. Напомним, что если xfy – дифференцируемая функция аргумента x , то дифференциал dy равен dxxf , т. е. dxxfdy .
При этом полезно учесть некоторые свойства дифференциала: а) axddx – под знаком дифференциала можно прибавлять любое число a ;
б) xaddxa , или axda
dx1
– постоянный множитель можно вносить
(выносить) под знак (из под знака) дифференциала. В общем случае преобразование дифференциала осуществляется по формуле
axddxx , где выбор функции x и постоянной a определяется видом подынтегрального выражения.
Например, ;3 32 axddxx ;arctg1 2
axdx
dx
axd
x
dx
arcsin
1 2;
;2 axdx
dx ;ln axd
x
dx ;
12
a
xd
x
dx axdxdx cossin и т. д.
Замечание. Свойство (7.6) легко доказать, используя равенство baxda
dx 1
.
Пример 7.1.9. Вычислить интеграл xdxx cossin3 .
Решение. Так как xdxdx sincos , то можно записать
xxdxdxdxxdxx sinsinsincoscossin 33 (интеграл 1 табл. 7.1) = Cx
4
sin4
.
Ответ: Cx 4sin25,0 .
Пример 7.1.10. Вычислить интеграл 21
2
x
xdx.
Решение. Так как 212 xdxdx , то
2
22
2 1
112
1
2
x
xdxdxdx
x
xdx(интеграл 2 табл. 7.1) = Cx 21ln .
Ответ: Cx 21ln .
Пример 7.1.11. Найти .262 xdxx
Решение. Заметим, что xx 2)6( 2 . Поэтому
,)6(626 222 dxxxxdxx
и можно подвести под знак дифференциала выражение )6( 2 x . Тогда используя интеграл 1 из табл. 7.1, получим
.)6(3
2)6()6()6(6 2
3222
1222 Cxxdxdxxx
Ответ: .)6(3
2 2
32 Cx
184
Пример 7.1.12. Найти
.sin3
cossin2 x
xdxx
Решение. Заметим, что xxx cossin2)sin3( 2 и, следовательно, в подынтегральном выражении для производной )(xU не хватает множителя 2 . Поэтому, умножая и деля его одновременно на 2 , получаем
.sin3)sin3(25,0
)sin3()sin3(5,0sin3
)sin3(
2
1
sin3
cossin
22
12
22
12
2
2
2
CxCx
xdxx
dxx
x
xdxx
Ответ: .sin3 2 Cx
Метод замены переменной
Метод подведения под знак дифференциала является частным случаем метода замены переменной или метода подстановки. Пусть требуется найти интеграл
.)( dxxf
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив )(ugx , где )(ug – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию
)(1 xgu . Тогда duugdx )( , и имеет место равенство:
,)()]([)()(1 xgu
duugugfdxxf
(7.8)
то есть вычисление интеграла dxxf )( сводится к вычислению интеграла duugugf )()]([ и
последующей подстановке новой переменной интегрирования. Формула (7.8) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. При этом предполагается, что интеграл duugugf )()]([ «ближе к табличному», чем исходный интеграл. В простых
случаях можно не вводить явно обозначение новой переменной интегрирования u , что и делается в методе подведения под знак дифференциала.
Замечание. В некоторых случаях удобнее делать замену переменной не в виде ugx , а в виде xu .
Пример 7.1.13. Вычислить интеграл xdxtg .
Решение.
.coslnlncos
sin
sin
cos
cos
sintg CxCu
u
du
x
xdx
xdxdu
xu
x
xdxxdx
Ответ: .cosln Cx
Пример 7.1.14. Вычислить интеграл
dx
x
xx21
2arcsin.
Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель и применив свойство (7.4), запишем:
22222 1
2
1
arcsin
1
2
1
arcsin
1
2arcsin
x
xdx
x
dxxdx
x
x
x
xdx
x
xx.
185
К каждому интегралу применим метод замены переменной:
1
2
1
2
22 2
arcsin
21
1
arcsin
1
arcsinC
xC
uduu
dxx
du
xu
x
xdx;
.1221
2
12
1
1
22
222
12
1
2
12
2CxCuC
uduu
u
du
xdxdu
xu
x
xdx
В итоге имеем
Cx
xdx
x
xx 22
212
2
arcsin
1
2arcsin
(в силу произвольности 1C и 2C записана одна общая произвольная постоянная 21 CCC ).
Ответ: Cxx 22 12arcsin5,0 .
Пример 7.1.15. Вычислить интеграл
dxx
x
1
1.
Решение. Сделаем замену 2ux (ее цель – освободиться от иррациональности под знаком интеграла). Тогда ududx 2 и
duu
uuudu
u
udx
x
x
122
1
1
1
1 2
.
Получили интеграл от рациональной неправильной дроби (подробнее вычисление подобных интегралов см. ниже п. 7.1.3).
Разделим числитель дроби на знаменатель уголком (выделим целую часть дроби)
2
22
2 _
2
12
2
u
u
u
u
uu
uu
1
22
1
2
u
uu
uu.
Следовательно,
1222
1
222
12
2
u
duduududu
uudu
u
uuCuu
u
1ln22
22
2
=
= (вернемся к старой переменной x ) = Cxxx 1ln44 .
Ответ: Cxxx 1ln44 .
Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям принадлежит к числу основных методов интегрирования.
Пусть U и V – две дифференцируемые функции от x . Тогда дифференциал произведения UV вычисляется по следующей формуле:
VdUUdVUVd )( . Отсюда, интегрируя, получаем:
dUVUdVUV
186
или
)()()()()()( xdUxVxVxUxdVxU . (7.9)
Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Применение формулы (7.9) предполагает, что интегралы, стоящие в правой части,
«ближе к табличным», чем исходные интегралы. При практическом использовании формулы (7.9) надо, прежде всего, установить, какая
функция в подынтегральном выражении принимается равной )(xU и что отнести к )(xdV . Затем по установленному выражению )(xU надо дифференцированием найти )(xdU , а по известному )(xdV определить интегрированием функцию )(xV . Следует помнить, что в состав )(xdV должен обязательно входить дифференциал независимой переменной x .
Несколько частных случаев для наглядности занесем в таблицу: Таблица 7.2
Частные случаи применения формулы интегрирования по частям
Интеграл )(xU )(xdV
1 dxexP kxn )( )(xPU n dxedV kx
2 kxdxxPn sin)( )(xPU n kxdxdV sin
3 kxdxxPn cos)( )(xPU n dxkxdV cos
4 kxdxxPn arcsin)( kxU arcsin dxxPdV n )(
5 kxdxxPn arccos)( kxU arccos dxxPdV n )(
6 kxdxxPn arctg)( kxU arctg dxxPdV n )(
7 kxdxxPn arcctg)( kxU arcctg dxxPdV n )(
8 kxdxxP man log)( kxU m
alog dxxPdV n )(
9 kxdxxP mn ln)( kxU mln dxxPdV n )(
Здесь )(xPn – многочлен n-й степени.
Отметим, что формулу (7.9) можно применять неоднократно. В частности, для интегралов 1 – 3 табл. 7.2 интегрирование по частям проводится ровно n раз, т. е. какова старшая степень многочлена )(xPn ; для интегралов 8, 9 – m раз, т. е. какова степень логарифма; в интегралах 4 – 7 интегрирование по частям проводится однократно.
Пример 7.1.16. Найти .10 dxxe x
Решение. Применим формулу (7.9), полагая .)(,)( 10 dxexdVxxU x Тогда
.)1,0(1,01,01,0
1,0)(
)(
,)(101010
1010
1010 Cxedxeex
edxexV
dxexdV
dxdUxxU
dxxe xxx
xx
xx
Ответ: .)1,0(1,0 10 Cxe x Замечание. При нахождении этого интеграла нецелесообразно брать
dxxxdVexU x )(,)( 10 (что формально можно делать), так как в этом случае получили бы
.2
)(,10)(2
10 xxVdxexdU x Тогда по формуле (7.9)
.52
102102
10 dxexex
dxxe xxx
187
Совершенно очевидно, что интеграл, стоящий в правой части, сложнее исходного. Поэтому выбор )(xU и )(xdV не может быть произвольным.
Пример 7.1.17. Найти .)21arcsin( dxx
Решение. Применим формулу (7.9), полагая )21arcsin()( xxU , dxxdV )( . Тогда
xxVdxdV
x
dxdUxxU
dxx
)(,
)21(1
2),21arcsin()(
)21arcsin( 2
dxxd
dxxxddx
x
xxx
2)21(
)21(4))21(1(
)21(1
1)12()21arcsin(
2
2
22
2
)21(1
)21(
2
1
)21(1
))21(1(
4
1)21arcsin(
x
xd
x
xdxx
.)21arcsin(5,0)21(15,0)21arcsin( 2 Cxxxx
Ответ: .)21(15,0)21arcsin()5,0( 2 Cxxx
Пример 7.1.18. Найти .ln23 xdxx
Решение. Применим формулу (7.9), полагая dxxdVxxU 32 ,)(ln)( . Интегрирование по частям здесь придется применять уже дважды.
3
4
3
13
123
4
3
4
3
1
2
23
1
4
3)(,
,ln)(
ln2
3ln
4
3
4
3)(,
ln2
,ln)(
ln
xxVdxxdV
x
dxdUxxU
xdxxxx
xxVdxxdV
xdxx
dUxxU
xdxx
dxxxxxx 3
1
3
423
4
4
3ln
4
3
2
3ln
4
3.
32
27ln
8
9ln
4
3 3
4
3
423
4
Cxxxxx
Ответ: .8
9ln
2
3ln
4
3 23 Cxxxx
В ряде случаев применение метода интегрирования по частям приводит снова к первоначальному интегралу. При этом получается уравнение, из которого и находится искомый интеграл (цикличное интегрирование).
Пример 7.1.19. Вычислить интеграл xdxex sin .
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Обозначим dxedVxU x ,sin . Получим
.cossin,
cos,sinsin
xdxexe
edxeVdxedV
xdxdUxUxdxe xx
xxxx
Проинтегрируем по частям интеграл, получившийся в правой части
.sincos,
sin,coscos
xdxexe
edxeVdxedV
xdxdUxUxdxe xx
xxxx
188
Следовательно, исходный интеграл равен:
.sincossinsin xdxexexexdxe xxxx
Получили уравнение относительно интеграла xdxex sin . Перенося интеграл из правой
части в левую часть уравнения и складывая, получаем:
.cossinsin2 xexexdxe xxx
Окончательно получим, введя произвольную постоянную, что
.)cos(sin2
1sin Cxxexdxe xx
Ответ: .)cos(sin5,0 Cxxex
Аналогично вычисляются интегралы вида mxdxemxdxe kxkx cos,sin .
7.1.3. Интегрирование рациональных дробей
Определение 7.1.4. Рациональной дробью называется функция вида
)(
)(
xQ
xPy
n
m ,
где )(xPm и )(xQn – многочлены степеней m и n соответственно. Если nm , то дробь
называется правильной, если же nm , то дробь называется неправильной и следует путем деления числителя )(xPm на знаменатель )(xQn выделить в этой дроби целую часть. После
этого дробь можно представить в виде
),(/)()()(/)( xQxRxMxQxP nrnmnm (7.10)
где )(xM nm и )(xRr – многочлены степеней nm и r соответственно; причем nr , т. е.
дробь )(
)(
xQ
xR
n
r уже является правильной.
Пример 7.1.20. Представить неправильную дробь 58
4532
24
xx
xxx в виде суммы целой
части и правильной дроби. Решение. Делим «уголком» числитель на знаменатель:
276413
28044856
43556_
40648
588_
568|58
58|4530_
2
2
23
23
2234
2234
x
xx
xx
xxx
xxx
xxxxx
xxxxxx
189
Таким образом, исходную дробь можно представить в виде
.58
276413568
58
4532
22
24
xx
xxx
xx
xxx
Согласно (7.10), интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена )(xM nm и правильной дроби )(/)( xQxR nr . Интегрирование многочлена не вызывает затруднений, а для того чтобы проинтегрировать дробь, ее следует разложить в сумму простейших дробей. Это разложение осуществляется следующим образом.
Известно, что всякий многочлен )(xQn с действительными коэффициентами на множестве действительных чисел может быть представлен в виде (см. п. 6.2)
,)(...)()(...)()( 211
21
11 stss
tkknn qxpxqxpxxxaxQ
(7.11)
где ,...,1 – действительные корни многочлена )(xQn кратностей kk ,...,1 ; na –
коэффициент при старшей степени многочлена, а );,1(042 sqp
nttkk s 2...2... 11 ; числа sttkk ,...,,,..., 11 – целые неотрицательные. Имеет место
тождество
,)(
...
...)(
...)(
)(...
)(...
)(...
)(
)(
2
)()(
2
)(1
)(1
112
)1()1(
211
2
)1(2
)1(2
112
)1(1
)1(1
)(
2
)(2
)(1
1
)1(
1
)1(1
1
11
1
1
s
ss
tss
st
st
ss
ss
t
tt
k
k
k
k
n
r
qxpx
NxM
qxpx
NxM
qxpx
NxM
qxpx
NxM
qxpx
NxM
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
xQ
xR
(7.12)
где ,...,...,,...,,...,,...,,..., )1(1
)1(1
)()(1
)1()1(1 1
NMAAAA kk
– действительные коэффициенты,
определяемые единственным образом. Определение 7.1.5. Дроби следующих четырех типов:
x
A)1 ;
kx
A
)()2
;
qpxx
NMx
2)3 ;
kqpxx
NMx
)()4
2
; (7.13)
,...4,3,2,042 kqp
называют простейшими, или элементарными, а формула (7.12) называется разложением правильной рациональной дроби на сумму простейших.
Таким образом, интегрирование дроби )(/)( xQxR nr сводится к интегрированию суммы простейших дробей четырех типов. При этом неизвестные коэффициенты
,...,...,,...,,..., )1(1
)1(1
)1()1(1 1
NMAA k в разложении (7.12) можно найти методом неопределенных
коэффициентов, который состоит в следующем. Выражение (7.12) является тождеством. Поэтому, если привести все дроби, стоящие в
правой части, к общему знаменателю )(xQn , то в числителе получим многочлен,
тождественно равный многочлену )(xRr . Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в этих многочленах, получим систему n линейных относительно неизвестных буквенных коэффициентов уравнений. Эта система совместна и имеет единственное решение в силу существования и единственности разложения (7.12). Иногда эти же коэффициенты проще получить, полагая в многочленах слева и справа х последовательно равным корням многочлена )(xQn .
190
После того как найдены коэффициенты в разложении (7.12), выполняется последовательное интегрирование полученных простейших дробей. Дроби первого и второго типов в (7.13) интегрируются по формулам:
Cxk
Adx
x
ACxAdx
x
A kk
1)(1)(
,ln
. (7.14)
Интегралы от дробей третьего и четвертого типов в (7.13) с помощью подстановки t=x+p/2 приводятся к интегралу следующего вида:
kkk mt
dtL
mt
tdtMdt
mt
LMt
)()()( 222222, (7.15)
где ,...2,1,4
,2
22 k
pqm
MpNL
Далее интеграл kmt
dtt
)( 22 сводится к табличному интегралу подстановкой z=t2+m2, а
интеграл ,...3,2,)( 22
kmt
dtJ
kk вычисляется с помощью рекуррентной формулы
,)1(2
32
))(1(2 121222
kkk Jkm
k
mtkm
tJ
.arctg1
221 Cm
t
mmt
dtJ (7.16)
Пример 7.1.21. Найти .)2)(1(
4522
2
dxxx
xx
Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. В соответствии с формулой (7.12) разложение исходной дроби на простейшие имеет вид
.)2(21)2)(1(
45222
2
x
C
x
B
x
A
xx
xx
При этом учитываем, что 11 и 22 – действительные корни многочлена
)(xQn =(х–1)(х–2)2 кратностей k1=1 и k2=2 соответственно. Умножая обе части последнего
равенства на (х–1)(х–2)2 , получаем
2х2 – 5х + 4 = А(х – 2)2+ В(х – 1)(х – 2)+ С(х – 1), или
2х2 – 5х+ 4 = (А + В)х2 + (С – 4А – 3В)х+ (4А+ 2В – С). (7.17)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества (7.17), записываем систему для нахождения коэффициентов А, В и С:
,244
,345
,2
0
1
2
CBA
BAC
BA
x
x
x
решение которой: А=1, В=1, С=2.
191
Окончательно имеем
22
2
)2(2
21)2)(1(
452
x
dx
x
dx
x
dxdx
xx
xx
.2
2)2)(1(ln
2
22ln1ln C
xxxC
xxx
Ответ: .2
2)2)(1(ln C
xxx
Пример 7.1.22. Найти dxx
xxxx
4
245
1
3535.
Решение. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь. Поэтому представим ее в виде суммы целой части и правильной дроби:
4
2
4
245
135
1
3535
x
xx
x
xxxx
.
Тогда
4
22
4
2
4
245
13
2
5
1)35(
1
3535
x
dxxxx
x
dxxdxxdx
x
xxxx.
Рассмотрим отдельно последний интеграл. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Заметим, что знаменатель )1()1()1(1 24 xxxx . Поэтому данная дробь может быть представлена в виде
.1111 24
2
x
NMx
x
B
x
A
x
x
После умножения обеих частей этого равенства на )1( 4x получим
)1)(()1)(1()1)(1( 2222 xNMxxxBxxAx . (7.18)
Для определения неизвестных коэффициентов А, В, М, N применим сначала способ задания частных значений x. При х=1 получаем из (7.18) 1 = 4А; соответственно при 1x имеем
B41 . Откуда следует, что А = В =1/4. Теперь сравним коэффициенты в многочленах при х3 в левой и правой частях равенства (7.18). В левую часть этого равенства х3 не входит. Это означает, что коэффициент при х3 равен 0, а в правой части он равен А–В–М. Тогда получаем
.0,4
1
4
10,0 MMMBA
Остается определить N. Дадим х значение 0. В левой части (7.18) получим 0, а в правой А+В+N, и тогда
.5,0,4
1
4
10,0 NNNBA
Заметим, что использование метода неопределенных коэффициентов в этом примере привело бы к необходимости решения системы из четырех линейных уравнений. Окончательно имеем
.arctg5,01ln25,01ln25,025,03
12
1
14
1
14
1
2
53
1
3535
2
22
4
245
Cxxxxx
x
dx
x
dx
x
dxxxdx
x
xxxx
Ответ: .arctg5,01ln25,01ln25,025,03 2 Cxxxxx
192
7.1.4. Интегрирование тригонометрических выражений
1. Рассмотрим особенности интегрирования функций )cos,(sin xxR . Запись )cos,(sin xxR означает рациональную функцию синуса и косинуса, т. е. над синусом,
косинусом и некоторыми константами производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Интегралы вида
dxxxR )cos,(sin (7.19)
приводятся к интегралу от рациональной функции нового аргумента z (или рационализируются) подстановкой
,)2/(tg zx (7.20)
которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. При этой подстановке
21
2,arctg2
z
dzdxzx
,
2
2
2 1
1cos,
1
2sin
z
zx
z
zx
(7.21)
и тогда
,1
2
1
1,
1
2)cos,(sin
22
2
2 z
dz
z
z
z
zRdxxxR
(7.22)
где подынтегральная функция в правой части рационально зависит от z. Название универсальной подстановка (7.20) получила потому, что она во всех случаях
дает возможность проинтегрировать функцию )cos,(sin xxR . Однако, в ряде случаев ее использование может привести к значительному усложнению процедуры интегрирования по сравнению с другими неуниверсальными подстановками. Укажем три таких подстановки, которые могут быть использованы при вычислении интегралов.
а) Если )cos,(sin xxR меняет знак при замене sinx на xsin , т. е. если )cos,(sin xxR нечетная функция от xsin , то для рационализации используется подстановка
zx cos . (7.23)
б) Если )cos,(sin xxR меняет знак при замене xcos на xcos , т. е. если )cos,(sin xxR – нечетная функция от cosx, то для рационализации используется подстановка
zx sin . (7.24)
в) Если )cos,(sin xxR не изменяется при одновременной замене xsin на xsin и xcos на xcos , то для рационализации используется подстановка
tg x = z. (7.25)
Пример 7.1.23. Найти
)cos34(sin
)sin65(
xx
dxx.
Решение. Применяем универсальную тригонометрическую подстановку: zx
2tg .
Используя формулы (7.21), имеем
.)7(
5125
1
2
1
134
1
21
125
)cos34(sin
)sin65(2
2
2
2
2
2
2
dzzz
zz
z
dz
z
z
z
zz
z
xx
dxx
193
Разложим дробь, стоящую под интегралом, на простейшие:
22
2
7)7(
5125
z
CzB
z
A
zz
zz
,
отсюда .12,7
30,
7
5;)()7(5125 22 CBAzCBzzAzz
Поэтому
.2
tg7
1arctg
7
127
2tgln
7
15
2tgln
7
5
7arctg
7
12
)7ln(7
15ln
7
5
712
77
30
7
5
)7(
5125
2
2222
2
Cxxx
Cz
zzz
dz
z
zdz
z
dzdz
zz
zz
Ответ: .2
tg7
1arctg
7
127
2tgln
7
15
2tgln
7
5 2 Cxxx
Пример 7.1.24. Вычислить x
xdx
2cos23
tg2
.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
.sin45
tg
sin2cos23
tg
2cos23
tg2
2
22
22
x
x
xx
x
x
x
Числитель и знаменатель последней дроби не изменяются при замене xx cos,sin соответственно на xx cos,sin . Поэтому используем подстановку (7.25) и учтем, что x=arctg z,
.1
1cos,
1sin,
1 22
2
22
2 zz
z
zx
z
dzdx
Поэтому
.5
tgarctg5tg
5arctg
5
5
5
51
51
1
45
2cos23
tg22
2
22
2
22
Cx
xz
z
dzzz
dzz
zz
z
dzz
x
xdx
Ответ: .5
tgarctg
5
5tg C
xx
2. Рассмотрим теперь особенности нахождения интегралов вида
xdxxdx nn 22 cos,sin (7.26)
и ,cossin 22 xdxx nm (7.27)
где m и n – целые положительные числа. Из тригонометрии известно, что
.2sincossin2
),2cos1(5,0cos
),2cos1(5,0sin2
2
xxx
xx
xx
Применение этих формул позволяет снизить степени в подынтегральных функциях рассматриваемых интегралов и свести их к табличным.
194
Пример 7.1.25. Найти .cos4 dxx
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
.4cos5,02cos25,125,0)4cos1(5,02cos2125,0
2cos2cos2125,0)2cos1(5,0coscos 22224
xxxx
xxxxx
Поэтому
.4sin125,02sin5,125,0
4cos5,02cos25,125,0cos4
Cxxx
dxxxxdx
Ответ: .4sin125,02sin5,125,0 Cxxx
Пример 7.1.26. Найти .cossin 24 xdxx
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию так:
.6cos5,02cos5,04cos10625,0)6cos2(cos5,02cos4cos10625,0
2cos4cos2cos4cos10625,02cos15,04cos15,025,0
2cos15,02sin25,0sincossinsincossincossin 22222224
xxxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxxx
Поэтому
.6sin12
12sin
4
14sin
4
10625,0cossin 24 Cxxxxdxxx
Ответ: .6sin12
12sin
4
14sin
4
1
16
1Cxxxx
7.1.5. Интегрирование иррациональных выражений
1. Если для интеграла dxxf )( , где подынтегральная функция )(xf не является
рациональной, можно указать такую подстановку, которая приводит к виду dttR )( , где
)(tR – рациональная функция, то последний интеграл, а значит и интеграл dxxf )( ,
выражается в элементарных функциях. Применение такой подстановки для вычисления неопределенного интеграла dxxf )( , как уже отмечалось выше, называется методом
рационализации. В частности, интегралы вида
,,...,, 2
2
1
1
dxxxxR n
m
n
m
(7.28)
где R(x,y,z,...) – рациональная функция своих аргументов; m1, n1, m2, n2 ... – целые числа, вычисляются с помощью подстановки stx , где s – наименьший общий знаменатель дробей m1/n1, m2/n2, .... Аналогично вычисляются интегралы более общего вида
.,...,,2
2
1
1
dxqpx
dcx
qpx
dcxxR
n
m
n
m
(7.29)
Подынтегральное выражение в (7.29) рационализируется, если сделать подстановку st
qpx
dcx
.
195
Пример 7.1.27. Вычислить определенный интеграл
.
16 564
4
xxx
dxx
Решение. Имеем интеграл вида (7.28). Показатели степеней – рациональные дроби 4
1,
6
1,
6
5, их наименьший общий знаменатель равен 12. Применим подстановку 12tx . Тогда
1211 ,12 xtdttdx . Следовательно,
.ln126ln
212ln
212
1112
112
)1(
)1(12
)(
12)1(1
1261212
2122
23
1023
113
6 564
4
CxxxCxxx
Cttt
dtt
tdtt
tt
tt
dtt
ttt
dttt
xxx
dxx
Ответ: .ln126 126 Cxxx
2. Интегралы вида
,, 22 dxxmxR (7.30)
,, 22 dxxmxR (7.31)
,, 22 dxmxxR (7.32)
где (...)R – рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью тригонометрических подстановок. Для вычисления интеграла (7.30) применяют подстановку
tmx sin . Интеграл (7.31) вычисляют с помощью подстановки tmx tg . Для вычисления интеграла (7.32) применяют подстановку tmx cos/ .
С помощью указанных подстановок интегралы (7.30) – (7.32) приводятся к интегралам вида dtttR )cos,(sin , которые допускают применение метода рационализации, поэтому
соответствующие первообразные могут быть выражены через элементарные функции.
Пример 7.1.28. Вычислить интеграл
22
2
99 xx
dxx.
Решение. Так как данный интеграл имеет вид (7.30), то применяя подстановку
3arcsin,sin3
xttx , получаем
.
3arcsin
93arcsin
3arcsintgtg
1cos
1
cos
sin
cos3cos9
cos3)sin3(
99
2
22
2
2
2
22
2
Cx
x
xC
xxCtt
dttt
tdt
tt
tdtt
xx
dxx
196
Здесь для преобразования 3
arcsintgx
была использована формула t
tt
2sin1
sintg
.
Ответ: .3
arcsin9 2
Cx
x
x
Пример 7.1.29. Вычислить интеграл 122 xx
dx.
Решение. Применим тригонометрическую подстановку ,tg tx тогда t
dtdx
2cos .
Далее, преобразуем подынтегральное выражение
.sin
cos
)(costgcos1tgtgcos1212222222 t
tdt
ttt
dt
ttt
dt
xx
dx
Таким образом,
.1
arctgsin
1
sin
1
sin
)(sin
sin
cos
1
2
2222C
x
xC
xC
tt
td
t
tdt
xx
dx
Здесь для преобразования xarctgsin была использована формула 1tg
tgsin
2
t
tt .
Ответ: Cx
x
12
.
Пример 7.1.30. Вычислить интеграл
.25
4
2
dxx
x
Решение. Данный интеграл имеет вид (7.32). Применяя подстановку t
xcos
5 ,
получаем t
tdtdx
2cos
sin5 . Следовательно,
.25
75
15arccossin
75
1sin
75
1
)(sinsin25
1cossin
25
1
cos
sin5
cos
625
1cos
125
25
23
2
233
222
4
2
4
2
Cx
xC
xCt
ttdtdttt
tdt
t
tdx
x
x
Здесь для преобразования x
5arccossin была использована формула tt 2cos1sin .
Ответ: .25
75
1 2
3
2
2
Cx
x
197
7.2. Определенный интеграл
7.2.1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
Определение 7.2.1. Пусть функция )(xf определена и ограничена на отрезке ];[ ba .
Разобьем произвольным образом этот отрезок точками bxxxa n ...10 на n
частичных отрезков длиной nixxx iii ,1,1 . Выберем в каждом из них произвольную
точку iiii xx 1, . Тогда сумма вида
n
iiin xfS
1
)( (7.33)
называется интегральной суммой функции )(xf на отрезке ];[ ba . Определение 7.2.2. Если существует конечный предел J последовательности
интегральных сумм nS при условии, что длина наибольшего частичного отрезка ix
(диаметр разбиения) стремится к нулю, и при этом предел J не зависит ни от способа разбиения отрезка ];[ ba на частичные отрезки ];[ 1 ii xx , ни от выбора точек i на этих
отрезках, то этот предел называется определенным интегралом от функции )(xf в пределах
от а до b и обозначается символом b
a
dxxf )( . Функция )(xf при этом называется
интегрируемой на отрезке ];[ ba . Таким образом, по определению
n
iii
x
b
a
xfdxxfi 10max
)(lim)( . (7.34)
Функция )(xf называется подынтегральной функцией, ];[ ba – отрезком интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла. Если 0)( xf , то значение
интеграла b
a
dxxf )( равно площади так
называемой криволинейной трапеции, ограниченной прямыми 0,, ybxax и графиком функции )(xfy (рис. 7.1).
Замечание 1. Отметим, что определенный интеграл зависит только от вида функции )(xf и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой.
Замечание 2. При введении понятия определенного интеграла b
a
dxxf )( предполагали,
что ba . В случае ab примем по определению
.)()( a
b
b
a
dxxfdxxf (7.35)
Рис. 7.1. Геометрическое представление определенного интеграла
198
Замечание 3. В случае ba полагаем по определению, что для любой функции )(xf имеет место
.0)( dxxfa
a
Это естественно с геометрической точки зрения. В самом деле, основание криволинейной трапеции имеет длину, равную нулю, следовательно, и площадь этой криволинейной трапеции равна нулю.
Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции). Если функция )(xfy непрерывна на отрезке ],[ ba , то она интегрируема на этом отрезке.
7.2.2. Основные свойства
Перечислим основные свойства определенного интеграла, которые будут использованы в дальнейшем, предполагая, что функции )(xf и )(xg интегрируемы на соответствующих отрезках:
1. Определенный интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т. е.
.)()()()( dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a (7.36)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.
.,)()( constAdxxfAdxxAfb
a
b
a
(7.37)
3. Для любых трех чисел cba ,, справедливо равенство
dxxfdxxfdxxfc
a
b
c
b
a )()()( . (7.38)
4. Если ba и )()( xgxf при всех ],[ bax , то
,)()( dxxgdxxfb
a
b
a
т. е. неравенства можно почленно интегрировать. В частности, если ba и 0)( xf , то
.0)( dxxfb
a
5. Если ba и функция ограничена сверху и снизу Mxfm )( на отрезке ],[ ba , то
).()()( abMdxxfabmb
a
6. Теорема о среднем: если функция )(xf непрерывна на отрезке ],[ ba , то найдется точка ],[ bac такая, что
).)(()( abcfdxxfb
a
199
7.2.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция )(xf интегрируема на отрезке ],[ ba . Для любого ],[ bax положим
x
a
dttfxФ )()( .
Эта функция называется интегралом с переменным верхним пределом. Теорема 7.2.1. Если функция )(xf непрерывна на отрезке ],[ ba , то функция )(xФ
дифференцируема на этом отрезке и )()( xfxФ . Доказательство. Из свойства 3 следует, что
xx
x
x
a
xx
a
dttfdttfdttfxФxxФ )()()()()( .
Теперь воспользуемся свойством 6:
xcfdttfxx
x
)()( ,
где c заключено между x и xx . Следовательно,
)()(lim)()(
lim)()(
00xfcf
x
xФxxФxФ
xcxx
,
т. к. )(xf – непрерывная функция. Из этой теоремы следует формула
b
a
aFbFdxxf )()()( ,
где )(xF – любая первообразная функции )(xf на ],[ ba . Действительно, т. к. )(xФ тоже первообразная функции )(xf , то CxФxF )()( .
Следовательно, CCaФaF )()( , т. к. 0)()( a
a
dttfaФ .
)()()()()()()()( aFbFdttfbФaFbФCbФbFb
a
.
Таким образом, если )(xF какая-нибудь первообразная от функция )(xf на ];[ ba , то справедливо равенство
,)()()()( ba
b
a
xFaFbFdxxf (7.39)
которое называется формулой Ньютона-Лейбница или основной формулой интегрального исчисления. Ее целесообразно использовать для вычисления определенных интегралов в тех случаях, когда известна или может быть найдена первообразная )(xF и вычисление ее значений при ax и bx не вызывает затруднений. Выражение, стоящее в правой части этой формулы b
axF |)( , называют двойной подстановкой.
Пример 7.2.1. 4
10
4
1
4
1
0
41
0
3 x
dxx .
200
Замечание. Формула Ньютона-Лейбница получена в предположении непрерывности функции )(xf . Ее применение к случаю, когда функция )(xf имеет точки разрыва на отрезке ],[ ba , может привести к ошибкам. Рассмотрим соответствующий пример неверного использования этой формулы.
Пример 7.2.2. 2111
1
1
1
12
xx
dx.
Получили, что интеграл от положительной функции 2
1)(
xxf , для которой 0x –
точка разрыва, отрицателен, что противоречит свойству 4 (вопрос об интегрируемости функций, имеющих точки разрыва на отрезке интегрирования обсуждается в пункте 7.2.7). В
действительности же функция 2
1
x не интегрируема на отрезке ]1,1[ .
7.2.4. Методы интегрирования
Метод подведения под знак дифференциала
Как и в неопределенном интеграле, метод подведения под знак дифференциала в определенном интеграле заключается в применении следующего тождества:
)()]([)()]([ xdUxUfdxxUxUfb
a
b
a . (7.40)
Пример 7.2.3. Вычислить
2,0
02
.251
5arcctgdx
x
x
Решение. Заметим, что ,)251(5)5arcctg( 2xx и, следовательно, в подынтегральном выражении для )(xU не хватает множителя 5 . Поэтому, умножая и деля его одновременно на 5 , получаем
.1603)4/16/(1,0)0arcctg1arcctg(1,05arcctg1,0
)5arcctg(5arcctg5
1)5arcctg(5arcctg
5
1
251
5arcctg
222222,0
0
2
2,0
0
2,0
0
2,0
02
x
xdxdxxxdxx
x
Здесь был использован интеграл 1 табл. 7.1. Ответ: .1603 2
Пример 7.2.4. Вычислить
1
12
.32xx
xdxJ
Решение. Заметим, что )1(2)32( 2 xxx , поэтому представим x как 1)1( x и с учетом этого разобьем исходный интеграл на два следующих интеграла:
.3232
)1( 1
12
1
12
xx
dx
xx
dxxJ
Найдем отдельно каждый из полученных интегралов. В первом интеграле для производной )32()( 2 xxxU не хватает множителя 2. Поэтому, умножая и деля одновременно
подынтегральное выражение на 2 и учитывая интеграл 2 табл. 7.1, получаем
201
.3ln32ln5,032
)32(
2
1
32
)1( 1
1
1
1
22
21
12
xxxx
xxd
xx
dxx
Для нахождения второго интеграла выделим полный квадрат в знаменателе, т. е. .2)1(21232 222 xxxxx Тогда, подводя под знак дифференциала )1( x и
применяя интеграл 7 из табл. 7.1, получим
.2arctg2
1
2
1arctg
2
1
2)1(
)1(
32
1
1
1
12
1
12
x
x
xd
xx
dx
Окончательно имеем
.2
2arctg3ln J
Ответ: .2
2arctg3ln
Метод замены переменной
В отличие от неопределенного интеграла при замене переменной в определенном интеграле необходимо учесть пределы интегрирования для новой переменной u , т. е.
,)()]([)(
duugugfdxxf
b
a
(7.41)
где )(),(),( gbgaugx . Еще одной особенностью является то, что при замене переменной в определенном интеграле к старой переменной не возвращаются.
Пример 7.2.5. Вычислить
3
0
2
2cos2
tg
x
xdx.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
.sin23
tg
sincos2
tg
2cos2
tg2
2
22
22
x
x
xx
x
x
x
Используем подстановку (7.25) x=arctg u, xu tg , 2
22
2 1sin,
1 u
ux
u
dudx
.
Поэтому
.4
131arctg333
arctg3
3
3
31
31
1
23
2cos2
tg
3
0
3
02
3
02
23
0 22
2
23
0
2
uu
duuu
duu
uu
u
duu
x
xdx tg
tg
Ответ: .4
13
Метод интегрирования по частям
Для вычисления определенных интегралов используется следующая формула интегрирования по частям:
202
b
a
b
a
b
a
xdUxVxVxUxdVxU )()()()()()( . (7.42)
Пример 7.2.6. Найти .2cos)44(2
0
2 xdxxx
Решение. Применим формулу (7.42), полагая ,44)( 2 xxxU xdxdV 3cos . Интегрирование по частям здесь придется применять дважды.
2
0
2
22
0
2 2sin)44(2
1
2sin2
1)(,2cos
)42(,44)(2cos)44( xxx
xxVxdxdV
dxxdUxxxUdxxxx
4sin)484(
2
1
2cos2
1)(,2sin
,2)(2sin)2(
2
0 xxVxdxdV
dxdUxxUdxxx
0cos)20(2
14cos)22(
2
12cos
2
12cos)2(
2
10sin)400(
2
1 2
0
2
0
xdxxx
4
4sin10sin
4
14sin
4
112sin
4
12
0
x .
Ответ: 4
4sin1 .
7.2.5. Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
1. Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций ))()(()(),( 2121 xfxfxfyxfy и двумя прямыми bxax , (рис. 7.2), вычисляется по
формуле
b
a
dxxfxfS .))()(( 12 (7.43)
Пример 7.2.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
1,0,0,1 2 xxyxxy .
Решение. В данном случае ,1)(,0)(,1,0 221 xxxfxfba причем )()( 12 xfxf
на отрезке [0,1]. Применяя формулу (7.43), получим
Рис. 7.2. Фигура, ограниченная прямыми bxax , и кривыми
)(),( 21 xfyxfy
Рис. 7.3. Фигура, ограниченная прямыми dycy , и кривыми
)(),( 21 ygxygx
203
.3
1
30,22
1,11
1
0
30
1
1
0
2
2
1221
0
2
t
dtttdttttdtxdx
ttxdxxxS
Ответ: 3/1 . Заметим, что иногда вычисления упрощаются, если поменять ролями оси Ох и Оy;
тогда аргументом является y, а формула (7.43) принимает вид
d
c
dyygygS ,)()( 12 (7.44)
где dycyygygygxygx ,,)()(),(),( 1221 – уравнения линий, ограничивающих фигуру на рис. 7.3.
Пример 7.2.8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,122 xy 01 yx .
Решение. Первая линия представляет собой параболу с осью симметрии Ох и вершиной
А(–2
1, 0), а вторая – прямую, имеющую с параболой две общие точки В(0,–1) и С(4,3)
(рис. 7.4). Форма фигуры не позволяет непосредственно, т. е. не разбивая ее на части, применить формулу (7.43). Однако, если рассматривать фигуру относительно оси Оy, то
можно применить формулу (7.44). Здесь ,1)( ,2
1)( 2
2
1
yygy
yg поэтому согласно
формуле (7.44) будем иметь
.3
16
6
5
2
9
2622
11
3
1
323
1
2
yyy
ydy
yyS
Ответ: .3
16
2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, имеющей параметрические уравнения
),(),( tyytxx прямыми bxax , и осью Ох, вычисляется по формуле
2
1
,)()(t
t
dttxtyS (7.45)
где пределы интегрирования находятся из уравнений btxatx )(,)( 21 0)(( ty на отрезке
],[ 21 tt ). Пример 7.2.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными
уравнениями: )2(,2,sin2,cos4 33 xxtytx .
Рис. 7.4. К примеру 7.2.8 Рис. 7.5. К примеру 7.2.9
204
Решение. Исключая параметр t, линию L:
ty
tx3
3
sin2
cos4 можно представить уравнением
1)2/()4/( 3/23/2 yx , из которого следует, что линия L симметрична относительно осей
координат, кроме того, 2,4 yx (рис. 7.5). По условию 2x , поэтому фигура, площадь
которой нужно найти, расположена в правой полуплоскости и ограничена линией L и прямой
2x . Найдем пределы интегрирования: ;4/22/1cos2)( 113
1 tttx
.01cos4)( 223
2 tttx Учитывая симметрию фигуры относительно оси Ох, по формуле (7.45) находим
.4
43
3
1
43
3
2sin
4
4sin3)2(sin2sin3
)4cos1(32sin2cos62sin62sin)2cos1(6
2sinsin12cossin48)sin(cos12sin22
4/
0
34/
0
2
4/
0
4/
0
24/
0
24/
0
2
24/
0
224/
0
420
4/
3
tttttd
dtttdttdtttdtt
tdtttdttdttttS
Ответ: 4/)43( . Пример 7.2.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными
уравнениями: )5,100(,5),cos1(5),sin(5 yxytyttx .
Решение. Фигура ограничена горизонтальной прямой y = 5 и циклоидой L: )cos1(5),sin(5 tyttx . Изменению х от 0 до 10 (при этом t меняется от 0 до 2)
соответствует одна арка циклоиды (рис. 7.6). Для концевых точек дуги АВ значения параметра t найдем из уравнения 5)cos1(5)( tty . Имеем 0cos t , откуда
.2/3,2/ 21 tt В соответствии с формулой (7.43) записываем: b
a
dxyS )5( . Переходя к
переменной t, будем иметь
.2
)4(252
225sin
4
2sin
225cos
2
2cos125
)cos1(cos25)cos1(5]5)cos1(5[)()5)((
2/3
2/
2/3
2/
2/3
2/
2/3
2/
2
1
ttt
dttt
dtttdtttdttxtySt
t
Ответ: 2
)4(25 .
Рис. 7.6. К примеру 7.2.10 Рис. 7.7. К примеру 7.2.11
205
3. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции )(rr и двумя лучами , , где r и – полярные координаты, вычисляется по формуле
.)()2/1( 2
drS (7.46)
Пример 7.2.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией cos23 r . Решение. Заметим, прежде всего, что линия, ограничивающая фигуру, симметрична
относительно полярной оси, так как )()( rr . Далее, учитывая 2 – периодичность функции )(r , достаточно рассмотреть ее на отрезке ],0[ . Поскольку полярный радиус
cos23 r 0, то 6/50 . Нетрудно видеть, что на этом отрезке функция )(r
монотонно убывает от 23)0( r до 0)6/5( r (рис. 7.7). По формуле (7.46) с учетом симметрии фигуры находим ее площадь
6/5
0
6/5
0
6/5
0
26/5
0
2
2sinsin3452cos22cos343
cos4cos343cos23
d
ddS
.6
3925
2
332
6
25
Ответ: 6
3925 .
В более общем случае, когда фигура ограничена графиками функций )()()(),( 1221 rrrrrr и лучами , , формула для вычисления ее площади
имеет вид
.))()((2
1 21
22
drrS (7.47)
Пример 7.2.12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
).1(1,2sin2 rrr
Решение. Замечая, что функция 2sin2 rr имеет период Т=, рассмотрим
ее на отрезке . На отрезке 0,4
функция
r возрастает от 0 до 2, на ,4 2
убывает от 2
до 0. При 2
функция не определена, так
как полярный радиус r не может быть отрицательным. В полярной системе координат кривая с уравнением )2/0(2sin2 r имеет форму лепестка (рис. 7.8). В силу
периодичности r , при изменении от 0 до 2 получим два таких лепестка. Уравнение 1r определяет окружность радиуса 1, центр которой совпадает с полюсом. Таким образом,
фигура, площадь которой нужно найти, состоит из двух частей (на рис. 7.8 они заштрихованы). Найдем площадь S1 той ее части, которая расположена в 1 квадранте.
Рис. 7.8. К примеру 7.2.12
206
Пределы изменения полярного угла получим, решая совместно уравнения кривых: 1r ,
2sin2r . Имеем: ,12sin2 2 ( 1) , ( 1) .6 12 2
k kk k
kk
Отрезку 0,2
принадлежат значения .12
5
212,
12 10
Применяя формулу (7.47), получим
1 1
0 0
5
122
12
1 1 1 sin 4 1 3(4sin 2 1) 2(1 cos 4 ) 1 .
2 2 2 2 2 3 2S d d
Искомая площадь 6
332
2
3
32 1
SS .
Ответ: 6
332 .
Вычисление длин кривых
Длина l дуги гладкой плоской кривой вычисляется по следующим формулам: 1. Если кривая задана уравнением )(xfy , то
dxylb
a 2)(1 , (7.48)
где a и b – абсциссы концов дуги, ba . 2. Если кривая задана параметрическими уравнениями ),()(),( 21 ttttyytxx то
dtyxlt
t 2
1
22 )()( . (7.49)
3. Если )()( rr – полярное уравнение кривой, то
drrl 22 )( . (7.50)
Пример 7.2.13. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением
.10,1arccos)2/1( 2 xxxxy Решение. Найдем производную
.11
11
1
2
1 2
2
22
2x
x
xx
xy
Применяя формулу (7.48), получим
4/,cos2
0,sin22)1(1
2
11
0
21
0
22
ttdtdx
ttxdxxdxxl
.4
2
2
1
42
2sin)2cos1(cos2cos2
4/
0
4/
0
4/
0
ttdtttdtt
Ответ: 4
2.
207
Пример 7.2.14. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
.2
0),3sinsin3(2),3coscos3(2
tttyttx
Решение. Из уравнений кривой находим ),3sinsin(6 ttx )3cos(cos6 tty . Согласно формуле (7.49) имеем
2/
0
2/
0
2/
0
22/
0
2/
0
2/
0
22
.12cos12sin12sin462cos226
)cos3cossin3(sin226)3cos(cos36)sin3(sin36
ttdtdttdtt
dtttttdtttttl
Ответ: 12.
Пример 7.2.15. Вычислить длину дуги кривой, заданной полярным уравнением .12/50,3 r
Решение. По формуле (7.50) искомая длина дуги кривой равна
.139912/5
0
212/5
0
2 ddl
Вычислим неопределенный интеграл от подынтегральной функции, для этого проинтегрируем по частям
.11ln1
111
1
1)1(1
11
,
1,1
1
222
2
22
2
22
2
222
2
2
d
ddd
d
VddV
ddUUd
Получили уравнение относительно интеграла d 21 . Перенося интеграл из правой
части в левую часть уравнения и складывая, получаем:
222 1ln112 d ,
Следовательно,
Cd
222 1ln1
2
11 .
Далее, по формуле Ньютона-Лейбница получим
.12
18ln
12
13
12
5
2
31ln1
2
313
12/5
0
2212/5
0
2
dl
Ответ: .144
65
2
3ln
2
3
l
208
Вычисление объемов
Если площадь )(xS сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, является функцией, непрерывной на отрезке [a,b], то объем тела вычисляется по формуле
.)( dxxSVb
a (7.51)
Выражение для функции )(xS достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции )(xfy , осью Ох и прямыми bxax , , вращается вокруг оси Ох, то объем соответствующего тела вращения будет определяться формулой
.)(2 dxxfVb
ax (7.52)
По аналогичной формуле
dyygVd
cy )(2 (7.53)
вычисляется объем тела, полученного при вращении вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции )(ygx осью Oy и прямыми
dycy , .
Пример 7.2.16. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
)0( 0 ,2/ ,14/22 yzyzyx .
Решение. Данное тело – цилиндрический клин, в основании которого полуэллипс, а наклонная плоскость проходит через малую ось эллипса (рис. 7.9). Сечение клина плоскостью y=const представляет собой прямоугольник, площадь которого S=2hx.
Поскольку 2/44/1,2/ 22 yyxyh , то 2/4)( 2yyySS . Заменяя в формуле (7.51) x на y, находим искомый объем тела
.3
24
3
)4(
2
14
2
1)(
2
0
2/322
0
22
0
y
dyyydyySV
Ответ: 3/24V .
Пример 7.2.17. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 116/9/25/ 222 zyx , 2,0 zz .
Решение. Тело ограничено однополостным гиперболоидом 116/9/25/ 222 zyx и горизонтальными плоскостями 2,0 zz (рис. 7.10).
Для вычисления его объема применим формулу (7.51), заменив в ней х на z.
Рис. 7.9. К примеру 7.2.16 Рис. 7.10. К примеру 7.2.17
209
Сечениями гиперболоида плоскостями z=const являются эллипсы, уравнения которых имеют вид
1)16/1(9)16/1(25 2
2
2
2
z
y
z
x. (7.54)
Отсюда ясно, что полуоси эллиптического сечения (7.54) равны 22 16)4/3(и16)4/5( zbza . Известно, что площадь фигуры, ограниченной
эллипсом с полуосями a и b, вычисляется по формуле abS , следовательно,
)16)(16/15()( 2zzSS . Теперь по формуле (7.51) находим
.2
65
316
16
15)16(
16
15)(
2
0
32
0
22
0
zzdzzdzzSV
Ответ: .2/65
Пример 7.2.18. Вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох и оси Оy фигуры, ограниченной линиями )0(2,2 xxyxy .
Решение. Из системы уравнений
xy
xy
2
2
найдем точку пересечения (1,1) данных
линий (рис. 7.11). Искомый объем Vx есть разность двух объемов: объема V1, полученного вращением прямолинейной трапеции, ограниченной прямой xy 2 , и объема V2,
полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой 2xy . Применяя формулу (7.52), получаем
.15
32
53
8
353
)2()2(
1
0
51
0
31
0
41
0
221
xx
dxxdxxVVVx
Аналогично, пользуясь формулой (7.53), найдем объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Оy (рис. 7.12). Объем тела вращения 21 VVVy , где V1 – объем тела,
полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой ;10, yyx
2V – объем тела, полученного вращением трапеции, ограниченной прямой .21,2 yyx Таким образом, имеем
.6
5
323
)2(
2)2(
2
1
31
0
22
1
21
0
yy
dyydyyV y
Ответ: .6/5,15/32 yx VV
Рис. 7.11. К примеру 7.2.18 (вращение вокруг Ох)
Рис. 7.12. К примеру 7.2.18 (вращение вокруг Оу)
210
7.2.6. Механические приложения определенного интеграла
Вычисление работы
Пусть под действием силы F материальная точка M движется по прямой Ox , причем направление силы совпадает с направлением движения. Работа, произведенная F при перемещении точки M из положения ax в положение bx , вычисляется по формуле
b
a
dxxFA . (7.55)
Пример 7.2.19. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.
Решение. При сжатии пружины сила пропорциональна отклонению от положения равновесия, т. е. kxF , где constk . При 01,0x м сила 1F кг, т. е.
xFkk 100,10001,01 . Подставляя в формулу, получим
Дж125,02
10010005,0
0
05,0
0
2
x
xdxA .
Ответ: 125,0A Дж. Пример 7.2.20. Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с
поверхности Земли на высоту Н=700 км. Масса спутника m=8 тонн, радиус Земли R=6380 км. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.
Решение. Обозначим через F силу притяжения спутника Землей. Согласно закону всемирного тяготения
2/ rKmMF ,
где К – гравитационная постоянная; М – масса Земли; r – расстояние от спутника до центра Земли. При r=R, то есть на поверхности Земли, имеем F=mg, поэтому mg=(KmM)/R2. Отсюда находим KM=gR2 и, следовательно, F=F(r)=(mgR2)/r2. Таким образом, искомая работа согласно (7.55) равна
)./()/(1/1)( 21222 HRmgRHHRRmgRrmgRdrrmgRdrrFAHR
R
HR
R
HR
R
Подставив числовые данные, будем иметь
103
333
10510)7006380(
1070010638010108
A Дж.
Ответ: 10105 Дж. Пример 7.2.21. Цилиндр наполнен газом под
атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на h=1 м. Длина Н и радиус R цилиндра равны соответственно 1,4 м и 0,2 м (рис. 7.13).
Решение. Пусть поршень находится на расстоянии х, 0 х h, от правого края цилиндра. Сила, с которой сжатый газ давит на поршень, равна Рис. 7.13. К примеру 7.2.21
211
F=pS, где 2RS – площадь поршня, )(xpp – давление газа. Найдем зависимость )(xpp , пользуясь уравнением состояния газа pV=C=const. Если x = 0, то согласно условию
задачи p = 103,3 кПа, следовательно, .3,103 2HRC Для hx 0 имеем
,3,103
)(
3,1032
2
xH
H
xHR
HR
V
Cp
а тогда
)/(3,103 2 xHHRpSF .
Применяя формулу (7.55), находим
.ln3,103)ln(3,103
)(3,103)(
2
0
2
0
12
0
hH
HHRxHHR
dxxHHRdxxFA
h
hh
Подставляя численные значения параметров, получаем
700225,3ln4,104,014,3103,103 3 A Дж. Ответ: 22 700 Дж.
Вычисление массы и координат центра тяжести
1. Центр тяжести и масса плоской линии. Пусть кривая baxxfy ,),( представляет собой материальную линию, линейная плотность которой равна )(x .
Если xf непрерывна и имеет непрерывную производную на ba, , то масса и координаты центра тяжести находятся по формулам:
b
a
dxxfxm 2)(1)( ,
m
dxxfxx
x
b
ac
2)(1)(,
m
dxxfxfx
y
b
ac
2)(1)(.
Если плотность постоянна const , то формулы примут вид
b
a
dxxflm 2)(1 ,
l
dxxfx
x
b
ac
2)(1
,
l
dxxfxf
y
b
ac
2)(1
, (7.56)
где l – длина линии. Пример 7.2.22. Найти координаты центра тяжести полуокружности 222 ayx ,
расположенной над осью Ox и имеющей постоянную плотность. Решение. Так как полуокружность симметрична относительно оси Oy , а плотность
постоянна, то абсцисса центра тяжести 0cx . Найдем ординату cy . Для этого
предварительно вычислим
dxxa
adx
dx
dy
xa
x
dx
dyxay
22
2
22
22 1,,
.
212
Подставляя в третью формулу (7.56), получим
a
a
a
a
xa
ax
dxxa
a
dxxa
axa
ya
a
a
aa
a
a
ac
22
arcsin
2
22
22
22
.
Ответ: 0cx , a
yc
2 .
2. Центр тяжести плоской фигуры. Пусть дана фигура, ограниченная линиями bxaxxfyxfy ,,, 21 ,
представляющая собой материальную плоскую фигуру. Пусть поверхностная плотность const . Тогда масса и координаты центра тяжести находятся по формулам
,12 b
a
dxxfxfSm
b
a
b
acb
a
b
ac
dxxfxf
dxxfxfxfxf
y
dxxfxf
dxxfxfx
x
12
1212
12
12 2
1
, ,
где S – площадь фигуры.
Пример 7.2.23. Определить координаты центра тяжести дуги параболы axy 2 , осекаемой прямой ax , с постоянной плотностью.
Решение. Так как фигура симметрична относительно оси Ox , а плотность постоянна, то ордината центра тяжести 0cy . Найдем абсциссу cx . Фигура ограничена сверху дугой
параболы axxf 2 , а снизу дугой axxf 1 . Подставляя в формулу для cx , получим
aa
a
xa
xa
dxax
dxaxx
xa
a
a
a
c 5
3
3
45
4
3
22
5
22
2
2
2
3
0
2/3
0
2/5
0
0
.
Ответ: 0,5
3 cc yax .
Вычисление моментов инерции материальной линии
Пусть кривая baxxfy ,),( представляет собой материальную линию, линейная
плотность которой постоянна const . Если функция xfy и ее производная xf
непрерывны на ba, , то моменты инерции относительно осей координат и центра координат вычисляются по формулам
b
ax dxxfxfI 22 1 ,
b
ay dxxfxI 22 1 ,
b
a
dxxfxfxI 2220 1 .
213
Пример 7.2.24. Найти момент инерции тонкого однородного стержня длиной l относительно его конца.
Решение. Совместим стержень с отрезком оси Ox : lx 0 . В этом случае уравнение стержня 0)( xf . Подставляя в формулу для 0I , получим
3
3
0
20
ldxxI
l
.
Если дана масса стержня M , то l
M и формула принимает вид
3
2
0
lMI .
7.2.7. Несобственные интегралы
Несобственные интегралы являются обобщением понятия определенного интеграла на следующие случаи:
а) областью интегрирования является не отрезок ],[ ba , а полупрямые ],(),,[ ba или вся прямая ),( ;
б) функция имеет точки разрыва 2-го рода, в окрестностях которых функция не ограничена.
1. Несобственные интегралы от непрерывных функций на бесконечном промежутке. Пусть функция f(x) непрерывна на полупрямой ),[ a . Тогда для любого числа b, b>a,
функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и определенный интеграл b
a
dxxf )( существует.
Будем рассматривать его как функцию верхнего предела b и перейдем к пределу при b . Положим
a
b
ab
dxxfdxxf .)(lim)(
Стоящий в левой части этого равенства интеграл называется несобственным интегралом от функции на промежутке ),[ a . На рис. 7.14 в случае неотрицательной функции f(x) проиллюстрировано вычисление площади фигуры, ограниченной снизу полупрямой
),[ a , сверху графиком функции f(x) и слева прямой x = a, как предела площади криволинейной трапеции aABb при b .
Если
b
ab
dxxf )(lim существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл
a
dxxf )( сходится. В противном случае (когда предел бесконечен или не существует)
говорят, что несобственный интеграл расходится.
Рис. 7.14. Геометрический смысл несобственного интеграла на бесконечном промежутке
214
Аналогично вводится несобственный интеграл от функции f(x), непрерывной на полупрямой ],( b ,
b b
aa
dxxfdxxf )(lim)( ,
и говорят, что он сходится, если этот предел существует и конечен, и расходится в противном случае.
Несобственный интеграл от непрерывной функции на всей прямой ),( определяется равенством
c
c
dxxfdxxfdxxf ,)()()(
где с – произвольная фиксированная точка. При этом говорят, что он сходится, если сходится каждый из двух несобственных интегралов в правой части этого равенства, и расходится, если хотя бы один из несобственных интегралов расходится.
Пример 7.2.25. Вычислить интеграл
0
dxe x .
Решение.
bb
b
bx
b
x
b
x eedxedxe0
00
,1]1[lim)(limlim
т. е. данный несобственный интеграл сходится и равен 1. Ответ: 1.
Пример 7.2.26. Вычислить интеграл
0
cos xdx .
Решение.
0 00
,sinlim)(sinlimcoslimcosb
b
b
bbbxxdxxdx но b
bsinlim
не существует.
Следовательно, данный несобственный интеграл расходится. Ответ: расходится.
Пример 7.2.27. Вычислить интеграл
21 x
dx.
Решение.
0
00
0
222arctglimarctglim
1lim
1lim
1 a
bb
baabaxx
x
dx
x
dx
x
dx
22,
таким образом, данный несобственный интеграл сходится и равен . Ответ: . 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций на конечном промежутке. Пусть функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a, b) и неограничена в окрестности
точки b. Тогда для любого положительного числа такого, что ba , функция f(x) непрерывна на отрезке ],[ ba и, следовательно, интегрируема на нем. Несобственный
интеграл b
a
dxxf )( определим как предел определенного интеграла b
a
dxxf )( при стремлении
к 0 (рис. 7.15):
b
a
b
a
dxxfxf
.)(lim)(
0
215
Если в правой части этого
равенства предел интеграла b
a
dxxf )(
при 0 существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл
b
a
dxxf )( сходится, в противном
случае – расходится. Аналогично, для функции f(x),
непрерывной на полуинтервале (a, b] и неограниченной в окрестности точки a,
определим несобственный интеграл b
a
dxxf )( от функции f(x) на отрезке [a,b] согласно
равенству
b
a
b
a
dxxfdxxf
,)(lim)(
0
где – произвольное положительное число такое, что ba .
Если
b
a
dxxf
)(lim
0 существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл
b
a
dxxf )( сходится, в противном случае – расходится.
Пусть теперь функция f(x) непрерывна во всех точках отрезка [a, b], кроме внутренней
точки с, и неограниченна в окрестности этой точки. Тогда несобственный интеграл b
a
dxxf )(
определим согласно равенству
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf .)()()(
Несобственный интеграл b
a
dxxf )( сходится, если сходится каждый из двух интегралов
в правой части этого равенства, и расходится в противном случае.
Пример 7.2.28. Проверить, что несобственный интеграл 1
0x
dx сходится при 10 и
расходится при 1 .
Решение. Функция xxf
1)( непрерывна на полуинтервале (0,1] и
)(lim
0xf
x. По
определению
.lim11
00
x
dx
x
dx
Пусть 10 , Тогда
,1
1
11
1lim
1lim
1
0
11
0
1
0
x
x
dx так как .01
Рис. 7.15. Геометрический смысл несобственного интеграла от неограниченной функции
216
Пусть 1 . Тогда
,11
1lim
1lim
1
0
11
0
1
0
x
x
dx так как .01
Пусть 1 . Тогда
.lnlimlnlim0
1
0
1
0
x
x
dx
Следовательно, при 10 данный несобственный интеграл сходится, а при 1 расходится.
7.2.8. Приближенное вычисление определенных интегралов
В подавляющем большинстве практических задач первообразную )(xF либо нельзя выразить в конечном аналитическом виде через элементарные функции, либо ее определение приводит к громоздким вычислениям, либо точное решение нецелесообразно ввиду его громоздкости. Кроме этого часто подынтегральная функция бывает задана графическим или табличным способами, что делает невозможным применение формулы Ньютона-Лейбница. В таких случаях следует использовать приближенное вычисление определенных интегралов с помощью численных методов. Существует большое количество методов численного интегрирования. Рассмотрим три наиболее часто используемых метода: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона (парабол). Эти методы основаны на следующем: рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, находят ее приближенное значение, т. е. приближенное значение интеграла, путем вычисления площади другой фигуры, ограничивающая линия которой по возможности мало отклоняется от линии с уравнением )(xfy . Вспомогательную линию при этом проводят так, чтобы получилась фигура, площадь которой легко вычисляется. Итак, пусть требуется вычислить определенный интеграл
b
a
dxxfI .)(
Если 0)( xf , то значение этого интеграла равно площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми 0,, ybxax и графиком функции )(xfy .
Разделим отрезок интегрирования ],[ ba на n равных частей точками:
hnaxhaxhax n )1(...,,2, 121 , где n
abh
– длина каждой части или шаг
интегрирования.
1. Метод прямоугольников
Заменим исходную криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из n прямоугольников, опирающихся на частичные отрезки, причем высоты этих прямоугольников равны значениям функции )(xfy в начальных или конечных точках
частичных отрезков ),...,2,1(],[ 1 nixx ii (рис. 7.16). Значение площади этой фигуры и будет
давать приближенное значение интеграла. Результат будет тем более точен, чем больше число частичных отрезков разбиения.
217
Рис. 7.16. Геометрическая иллюстрация методов левых и правых прямоугольников Если обозначить значения функции )(xf в точках деления через nyyyy ,...,,, 210 , то, очевидно, будут иметь место следующие формулы:
)...( 110 nЛП yyyhII , (7.57)
)...( 21 nПП yyyhII , (7.58) где в формуле (7.57) взяты значения функции в начальных точках, а в (7.58) – в конечных точках частичных отрезков. Эти формулы называются формулами левых и правых прямоугольников.
2. Метод трапеций
Оставим разбиение отрезка ],[ ba прежним, но заменим теперь дугу линии
)(xfy , соответствующую частичному отрезку, хордой, соединяющей конечные точки этой дуги. Таким образом, заменяем данную криволинейную трапецию n прямолинейными трапециями (рис. 7.17). Как правило, площадь такой фигуры более точно выражает искомую площадь, чем площадь n-ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников. Из рис. 7.17 ясно, что
площадь каждой прямолинейной трапеции, построенной на частичном отрезке, равна полусумме площадей, соответствующих этому интервалу левого и правого прямоугольников. Суммируя все эти площади, получим
....22 11
0
n
nППЛПТ yy
yyh
IIII (7.59)
Эта формула и носит название формулы трапеций.
3. Метод Симпсона
Разобьем ],[ ba на n равных частей, причем n – четное число: n=2m. Заменим дугу линии
)(xfy , соответствующую отрезку ],[ 20 xx , дугой параболы (поэтому метод и называют еще методом парабол), ось которой параллельна оси ординат и которая проходит через следующие три точки: начальную точку дуги ),( 00 yx , среднюю
точку ),( 11 yx и конечную ),( 22 yx (рис. 7.18). Аналитически это означает, что в отрезке
данная функция )(xfy заменяется квадратичной функцией
.2 rqxpxy
Рис. 7.17. Геометрическая иллюстрация метода трапеций
Рис. 7.18. Геометрическая иллюстрация метода Симпсона
218
Коэффициенты rqp ,, выбираются так, чтобы значения обеих функций были равны при
210 и, xxx соответственно:
.
,
,
2222
1211
0200
rqxpxy
rqxpxy
rqxpxy
(7.60)
Решая систему (7.60), находят коэффициенты rqp ,, . Проведя подобные замены во всех
интервалах ],[],...,,[],,[ 24220 nn xxxxxx (рис. 7.18), будем считать, что площадь исходной
трапеции приближенно равна сумме площадей получившихся параболических трапеций, которые называются элементарными. Покажем, что площадь S трапеции, ограниченной какой-нибудь параболой
rqxpxy 2 с осью, параллельной оси ординат, будет выражаться формулой
),4(3 c кн yyyh
S (7.61)
где нy – ордината начальной; сy – ордината средней и кy – ордината конечной точек дуги
параболы. Предположим сначала, что основанием трапеции служит отрезок оси Ox, симметричный относительно начала координат, ],[ hh (рис. 7.19).
Для площади такой параболической трапеции имеем выражение:
h
h
rhphdxrqxpxS .23
2)( 32
Так как здесь ,)(,)0(,)( 22 rqhphhyyryyrqhphhyy ксн
то непосредственной подстановкой этих значений в формулу (7.61) убеждаемся в ее справедливости. Эта формула справедлива для любой параболической трапеции рассматриваемого вида с основанием 2h, т. к. всегда можно выбрать декартову систему координат xOy, как показано на рис. 7.19, чтобы основание стало симметричным относительно начала координат. Тогда, применяя формулу (7.61) для всех элементарных параболических трапеций и суммируя площади этих трапеций, получим формулу Симпсона
).4...2424(3 143210 nnС yyyyyyyh
I (7.62)
Во всех методах число точек разбиения произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенств (7.57), (7.58), (7.59), (7.62) дает значение интеграла.
Рис. 7.19. Площадь параболической трапеции
219
7.3. Основные термины Первообразная. Неопределенный интеграл. Интегрирование. Подынтегральная функция. Подынтегральное выражение. Интегрирование по частям. Рациональная дробь. Правильная и неправильная дробь. Простейшие дроби. Универсальная тригонометрическая подстановка. Тригонометрические замены переменной. Интегральная сумма. Диаметр разбиения. Определенный интеграл. Пределы интегрирования. Криволинейная трапеция. Интеграл с переменным верхним пределом. Несобственные интегралы.
7.4. Вопросы для самоконтроля 1. Что такое первообразная? 2. Может ли функция иметь различные первообразные? 3. Могут ли различные функции иметь одну и ту же первообразную? 4. Что такое неопределенный интеграл? В чем отличие первообразной от
неопределенного интеграла? 5. В каком смысле операции нахождения производной и первообразной являются
взаимно обратными? 6. Перечислите свойства неопределенного интеграла. 7. Каковы основные методы интегрирования? 8. Что такое рациональная функция и каковы методы ее интегрирования? 9. Какие функции интегрируются с помощью универсальной тригонометрической
подстановки? 10. Какие виды иррациональных функций можно проинтегрировать, применив
тригонометрические замены переменных? 11. Из какой формулы дифференцирования следует формула интегрирования по частям? 12. Что такое интегральная сумма? Каков ее геометрический смысл? 13. Что такое определенный интеграл и каков его геометрический смысл? 14. Любая ли непрерывная функция интегрируема? 15. Любая ли интегрируемая функция непрерывна? 16. Каково достаточное условие интегрируемости функции на отрезке? 17. Сформулируйте теорему о среднем. Каков ее геометрический смысл? 18. Выведите формулу Ньютона-Лейбница. 19. Что такое несобственный интеграл? Каковы два вида несобственных интегралов? 20. Каковы геометрические и механические приложения определенного интеграла?
7.5. Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Вычислить интегралы Ответы (проверить дифференцированием)
1 dxx
x
4
8 310 C
xx
35 1
2
2 dx
x
x
3
22 1 C
xx
x
2
2
2
1ln2
2
220
Окончание
Задание 1. Вычислить интегралы Ответы (проверить дифференцированием)
3 dxx
x
3
2
C
x
x
22
4 dxxx
4 3
11 Cxx 442
5 dxx
ee
xx
21 C
xex
1
6 dxxx
x 22 sincos
2cos Cxx tgctg
7 dxx
x
2sin
2sin1 Cxx ctgsinln2
8 dxxx
2
2cos
2sin
Cxx cos
9 dxx
ee
xx
2cos
21 Cxex tg2
10 xdx 2tg Cxx tg
Задание 2. Вычислить интегралы (методом подведения некоторой функции под знак дифференциала)
Ответы
1 x
dx
101 Cx 101ln
10
1
2 dxx 3 Cx 333
2
3 dxxx
x
3
122
Cxx 3ln 2
4 3 213x
dx Cx 3 13
5 xx
dx2ln
Cx
ln
1
6 18
3
x
dxx Cx 4arctg
4
1
7 14x
xdx Cxx 1ln
2
1 42
8 xdxe x 2
Ce x 2
2
1
9 dxx
e x
Ce x 2
10
x
dxxln1
Cx
3
ln12 3
221
Окончание Задание 2. Вычислить интегралы (методом подведения некоторой функции под знак дифференциала)
Ответы
11 xdxe x cossin Ce x sin
12 x
xdx
cos21
sin Cx cos21
13 dxx
x
2cos
sin21 C
x
x
cos
2sin
14 25 1arccos xx
dx C
x
4arccos4
1
15
dxx
xx
2
2
1
2arcsin
Cxx
23
123
arcsin
Задание 3. Вычислить интегралы (методом подстановки) Ответы
1 32x
dx Cxx 32ln322
2 dxx
x 2
1sin
C
x
1cos
3 dxx
x
sin Cx cos2
4 3 11 x
dx
Cx
x
3
321
5 dxx
x
4
21 xu sin Cxxx 333 2 11ln3131
2
3
6 xx
dx Cx 1ln2
7 xx
dx
1 Cx arctg2
8 x
dx2cos1
xu tg Cx
2
tgarctg
2
1
9
222 ax
dx xau tg C
ax
ax
a
x
a
223arctg
2
1
10 1x
x
e
dxe xeu Cee xx 1ln2
11 4 xx
dx Cxxx 1ln2 44
222
Задание 4. Вычислить интегралы (методом интегрирования по частям)
Ответы
1 xdxxsin Cxxx sincos
2 xdxx 3cos2 Cxxxxx 3sin27
23cos
9
23sin
3
1 2
3 xdxx ln3 Cxxx
164
ln 44
4 dxx
x 2
ln C
xx
x
1ln
5 xxdarctg Cxxx 21ln2
1arctg
6 dxxe x 2 Cxe x
2
1
2
1 2
7 xdxx 2ln C
xxxx
42
1lnln 22
8 x
xdx2cos
Cxxx coslntg
9 dxee xx 1ln Ceee xxx )1ln()1(
10 xdxe x 3cos2 Cxxe x
3sin33cos213
2
Задание 5. Представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби
Ответы
1 2
2
x
x
2
42
xx
2 1
3
x
x
1
112
xxx
3 1
12
3
x
xx
1
12
x
x
4 xx
xx
9
523
34
xx
xxx
9
591812
3
2
5 12
33
235
xx
xxxx
12
231
32
xx
xx
Задание 6. Разложить следующие рациональные функции на сумму простейших дробей
Ответы
1 42
411
xx
x
4
8
2
3
xx
2 65
122
xx
x
2
3
3
5
xx
3 xxx
xx
21
42
xxx
2
2
1
1
2
223
Окончание Задание 6. Разложить следующие рациональные функции на сумму простейших дробей
Ответы
4 22
21
23
xx
xx 1
2
1
3
1
12
xxx
5 xxx
xx
11
122
2
1
2
1
12
xx
6 1
13
2
x
x
1
1
1
2
3
12 xx
x
x
7 22
2
11
13
xx
x 1
1
1
1
1
1222
x
x
x
x
x
Задание 7. Вычислить интегралы, выделяя полный квадрат в знаменателе Ответы
1 1442 xx
dx C
x
10
2arctg
10
1
2 632 xx
dx C
x
5
32arctg
15
2
3 983 2 xx
dx C
x
11
43arctg
11
1
4 322 xx
dx Cxxx 321ln 2
5 24 xx
dx C
x
2
2arcsin
6 2232 xx
dx C
x
5
34arcsin
2
1
Задание 8. Вычислить интегралы Ответы
1 452 xx
xdx C
x
xxx
1
4ln
6
545ln
2
1 2
2 12 xx
xdx Cxxxxx
1
2
1ln
2
11 22
3
241
3
x
x Cxx 2arcsin
2
341
4
1 2
4
24
2
xx
dxx Cxxxxx 22 42ln44
Задание 9. Вычислить интегралы, разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби
Ответы
1 43 xx
dx C
x
x
4
3ln
7
1
2 dxxx
xx
43
23
Cxxxx 4ln703ln3272
1 2
224
Окончание Задание 9. Вычислить интегралы, разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби
Ответы
3 dxxx
x
127
322
Cx
x
9
11
3
4ln
4 dxxxx
xx
431
91412 2
C
x
xx
7
54
3
41ln
5 dx
xx
xx
21
1232
3
Cxxx
2ln9
71ln
9
20
13
4
6 dxxx
x
34 2
43 C
x
x
x
x
22
22ln
4
1
7 dx
x
x
31
1
C
x
x
21
8 22xx
dx C
x
x
2ln
4
12
2
9 83x
dx
C
x
xx
x
3
1arctg
12
3
42
2ln
24
12
2
10 dxx
x
1
14
4
Cxx
xx
arctg2
1
1
1ln
2
1
Задание 10. Вычислить интегралы Ответы
1 xdxx 5sin3sin Cxx 8sin16
12sin
4
1
2 dxxx
4
cos4
5sin
Cxx 4sin18
16cos
12
1
3 xdx 3sin Cx
x 3
coscos
3
4 xdxx 32 sincos Cxxx
cos23cos
3
15cos
5
1
16
1
5 xdx 3tg Cxx coslntg2
1 2
6 dxx
x
sin
cos3
Cxx
2sin
5
11sin2
7 xdx 2sin Cxx
2sin
2
1
2
1
8 xdx 2cos2 Cxx
4sin
2
12
4
1
9 xdxx 32 cossin Cxx 4sin32
1
8
1
225
Окончание Задание 10. Вычислить интегралы Ответы
10 x
dx
cos35 C
x
2tg
2
1arctg
2
1
11 xx
dx
cos4sin3 C
x
x
22
tg
12
tg2ln
5
1
Задание 11. Вычислить определенные интегралы Ответы
1 а)
4
0 1 x
dx б)
2
0
2sincos
xdxx а) 3ln24 б) 3
1
2 а)
2
0 cos2
sin
dxx
x б)
e
xdxx1
ln а) 18
)349( б)
4
12 e
Задание 12. Вычислить площадь фигуры, заданной уравнениями
Ответы
1 84,)2( 3 xyxy 8
2 34,32 22 xxyxxy 9
3 а)
)3(3
,sin23
,cos22
yy
ty
tx
б)
)6(6
),cos1(6
),sin(6
yy
ty
ttx
а) 63 б) 1872
4 )2(2,3cos4 rrr 343
8
Задание 13. Вычислить длину кривой Ответы
1 14/1,arcsin2 2 xxxxy 1
2
30
sin2cos)2(
,cos2sin)2(2
2
t
tttty
ttttx 39
Задание 14. Вычислить объем тела вращения относительно оси Ox Ответы
1 0,652 yxxy 30/
2 4,42 xxy 32 Задание 15. Вычислить несобственные интегралы Ответы
1 а) dxxe x
0
2
б)
xdxarctg в)
1
2 ln xdxx а) 0,5 б) 0 в) 1
2 а) 1
0 x
dx б)
1
13 x
dx в)
02x
dx а) 2 б) 1,5 в) не сущ.
226
Итоговый контроль
1. Элементы линейной алгебры
Изучив данную тему, студент должен: знать: определения основных понятий: арифметическое пространство, подпространство,
размерность пространства, матрица, определитель и ранг матрицы, система линейных уравнений, линейный оператор, квадратичная форма;
свойства определителей; определения и основные свойства операций с матрицами: сложения, умножения на
число, умножения, транспонирования, обращения; основные методы и алгоритмы решения систем линейных уравнений: метод Гаусса,
правило Крамера, матричный метод; структуру множества решений систем линейных однородных и неоднородных
уравнений; геометрическую интерпретацию системы линейных уравнений и множества ее
решений; уметь: вычислять определители различными методами, вычислять ранг матрицы; выполнять операции с матрицами; решать системы линейных уравнений методом Гаусса и с помощью определителей; записывать систему линейных уравнений в матричном виде и решать ее матричным
методом, решать матричные линейные уравнения; выяснять линейную зависимость или независимость данной системы векторов; проверять, образует ли данное множество арифметическое пространство, находить
базис и размерность пространства; проверять, является ли данный оператор линейным и, в случае линейности, находить
его матрицу, собственные значения и собственные векторы; приводить квадратичную форму к каноническому виду.
Тест
1. Сумма матриц BA определена: а) для любых матриц A и B ; б) только для квадратных матриц A и B ; в) если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B ; г) если матрицы A и B имеют одинаковые размеры.
2. Произведение матриц A и B определено: а) только для квадратных матриц A и B ; б) если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B; в) если число строк матрицы A равно числу столбцов матрицы B ; г) если матрицы A и B имеют одинаковые размеры.
3. Какое из условий необходимо и достаточно для обратимости матрицы A ? а) Матрица A – квадратная; б) 0det A ; в) 0det A ; г) 0A .
4. Как изменится определитель, если первую строку умножить на 2 и прибавить к ней утроенную вторую строку?
а) Увеличится в 2 раза; б) не изменится; в) увеличится в 3 раза; г) увеличится в 6 раз.
5. Как изменится определитель, если в нем переставить две строки?
227
а) Не изменится; б) изменит знак на противоположный; в) это зависит от определителя; г) обратится в нуль.
6. Система трех линейных уравнений с 4 неизвестными может иметь количество решений, равное:
а) 0 или 1; б) 1 или 2; в) 0 или ; г) 1 или . 7. Система линейных однородных уравнений всегда является:
а) совместной; б) несовместной; в) определенной; г) неопределенной. 8. Какое из преобразований системы линейных уравнений не приводит к равносильной
системе? а) Умножить обе части одного из уравнений системы на –1; б) изменить порядок уравнений; в) умножить обе части одного из уравнений системы на 0; г) добавить к одному уравнению другое, умноженное на 2.
9. Выберите условие, которое необходимо и достаточно для совместности системы линейных уравнений ( A – основная матрица системы, A – расширенная матрица, n – число неизвестных):
а) AA rgrg ; б) AA rgrg ; в) rg nA ; г) AA rgrg . 10. Какое из предыдущих условий невозможно? 11. Какое из условий выполняется всегда (для любой системы линейных уравнений)?
а) nA rg ; б) nA rg ; в) nA rg ; г) nA rg ; 12. Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных,
имеет единственное решение: а) всегда; б) если основная матрица системы – невырожденная; в) никогда; г) если основная матрица системы – вырожденная.
13. Какое из следующих множеств матриц образует векторное пространство? а) Все квадратные матрицы различных порядков; б) все квадратные матрицы одного порядка с положительными элементами; в) все квадратные матрицы одного порядка; г) все квадратные матрицы одного порядка с целыми элементами.
14. Установить, какой из заданных операторов не является линейным: а) ),,( 1312 xxxxx A ; б) ),,( 1312 xxxxx A ;
в) ),,2( 1312 xxxxx A ; г) ),,( 1313 xxxxx A .
15. Какая из форм не является квадратичной? а) 2
22121 223 xxxx ; б) 2
22121 xxxx ; в) 2
22122 223 xxxx ; г) 2
2121 24 xxx .
Задачи
Задание 1. Вычислить определитель.
1.
6446
0120
1321
4264
2.
3214
2043
1432
4021
3.
6406
1124
1301
4264
4.
3214
2103
1402
4321
5.
6446
2124
1020
4264
6.
6040
1124
1321
4264
7.
3204
2143
1432
4301
8.
6446
0124
1321
0264
9.
3214
2143
1432
0301
10.
3204
2143
1402
4321
Задание 2. Решить систему методом Гаусса.
228
1.
3
5723
342
232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
2.
24322
25
0
2323
4321
421
4321
4321
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
3.
13424
14733
23
325
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
4.
7675
8954
232
34
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.
1822
510135
1253
264
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
6.
7675
8954
232
34
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
7.
4
9723
442
532
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
8.
74322
55
4
3323
4321
421
4321
4321
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
9.
53424
34733
23
725
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
10.
19675
17954
732
54
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Задание 3. Решить систему методом Крамера.
1.
132
9232
785
321
321
321
xxx
xxx
xxx
2.
053
21325
452
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3.
41653
1624
213
321
321
321
xxx
xxx
xxx
4.
334
2638
1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
5.
35
4342
6242
321
321
321
xxx
xxx
xxx
6.
1986
6633
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
7.
232
7232
485
321
321
321
xxx
xxx
xxx
8.
753
201325
652
321
321
321
xxx
xxx
xxx
9.
234
5638
1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
10.
35
3342
0242
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Задание 4. Решить систему матричным методом.
1.
286
0633
42
321
321
321
xxx
xxx
xxx
2.
10543
5332
82
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3.
2
5343
632
321
321
321
xxx
xxx
xxx
4.
13243
22
13
321
321
321
xxx
xxx
xxx
5.
232
123
332
321
321
321
xxx
xxx
xxx
6.
652
43
1233
321
321
321
xxx
xxx
xxx
7.
043
432
632
321
321
321
xxx
xxx
xxx
8.
82
112
3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
9.
23
12
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
10.
5673
5432
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Задание 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
229
1.
221
131
124
2.
111
021
012
3.
210
120
113
4.
410
140
115
5.
421
151
126
6.
412
122
113
7.
201
111
102
8.
311
021
012
9.
511
041
014
10.
612
142
115
2. Векторная алгебра
Изучив данную тему, студент должен: иметь представление: о методе координат; о линейных и нелинейных операциях над векторами; знать: определения основных понятий: линейная зависимость и независимость векторов,
базис, координаты вектора; скалярное, векторное и смешанное произведения векторов; уметь: вычислять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, углы между
векторами, расстояние между точками, координаты векторов в заданном базисе; определять линейную зависимость и независимость системы векторов, взаимное
расположение точек, векторов.
Тест
1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда: а) хотя бы один из них – нулевой; б) они лежат в одной плоскости; в) они коллинеарны; г) они ортогональны.
2. Какое из следующих условий является необходимым для линейной зависимости трех векторов?
а) Среди них есть нулевой вектор; б) среди них есть два коллинеарных вектора; в) они попарно ортогональны; г) они компланарны.
3. Координаты вектора зависят от выбора: а) базиса; б) начала координат; в) масштаба; г) начала вектора.
4. Чтобы найти координаты вектора, надо: а) умножить координаты начала и конца вектора; б) вычесть из координат начала координаты конца вектора; в) сложить координаты начала и конца вектора; г) вычесть из координат конца координаты начала вектора.
5. Координаты вектора ba 23 , где )2,2,3(),3,2,1( ba , равны:
230
а) )5,2,9( ; б) )13,10,9( ; в) )13,10,3( ; г) )5,10,3( . 6. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда:
а) их скалярное произведение равно нулю; б) пропорциональны их координаты; в) они сонаправлены; г) равны их длины.
7. Два вектора равны тогда и только тогда, когда: а) равны их координаты; б) они коллинеарны; в) равны их длины; г) они сонаправлены.
8. Скалярное произведение 0),( ba тогда и только тогда, когда:
а) 0a или 0b ;
б) ныортогональ и ba ;
в) ba и коллинеарны;
г) ba и линейно независимы.
9. Скалярное произведение ),( ba векторов )2,2,3(),3,2,1( ba равно:
а) 7; б) 12; в) 6; г) 7 .
10. Векторное произведение 0],[ ba тогда и только тогда, когда:
а) 0a или 0b ;
б) ba и ортогональны;
в) ыколлинеарн и ba ;
г) ba и линейно независимы.
11. Модуль векторного произведения ],[ ba векторов )2,2,3(),3,2,1( ba равен:
а) 213 ; б) 13; в) 321 ; г) 12.
12. Смешанное произведение 0),,( cba тогда и только тогда, когда:
а) хотя бы один из векторов cba ,, равен нулевому;
б) векторы cba ,, попарно ортогональны;
в) cba ,,векторы компланарны;
г) векторы cba ,, линейно независимы.
13. Смешанное произведение 0),,( cba тогда и только тогда, когда:
а) векторы cba ,, некомпланарны;
б) образуют,, cba правую тройку векторов;
в) векторы cba ,, линейно независимы;
г) cba ,, образуют левую тройку векторов.
14. Смешанное произведение ),,( cba векторов )2,1,1(),2,2,3(),3,2,1( cba равно:
а) 3 ; б) 5; в) 0; г) 3.
15. Объем тетраэдра, построенного на векторах ),4,1,1(),4,2,3(),6,1,2( cba равен: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.
231
Задачи
Задание 1. Найти косинус угла между векторами 1c и 2c , построенных по векторам
a и b . 1. bacbacba 2,35},7;2;1{},1;4;2{ 21 .
2. bacbacba 3,2},5;3;2{},1;0;1{ 21 .
3. bacbacba 8,34},1;1;2{},3;2;1{ 21 .
4. bacbacba 23,2},7;9;5{},4;5;3{ 21 .
5. bacbacba 24,},1;1;1{},2;4;1{ 21 .
6. bacbacba 2,24},0;1;3{},5;2;1{ 21 .
7. bacbacba 2,36},1;1;2{},1;4;3{ 21 .
8. bacbacba 3,93},5;0;1{},2;3;2{ 21 .
9. bacbacba 36,2},6;2;3{},2;4;1{ 21 .
10. bacbacba 53,25},1;2;1{},2;3;0{ 21 .
Задание 2. Написать разложение вектора x по векторам rqp ,, . 1. }1;1;1{},2;3;0{},1;1;2{},4;4;1{ rqpx . 2. }1;2;1{},3;0;2{},1;1;4{},5;5;9{ rqpx . 3. }1;4;0{},1;3;1{},1;0;2{},5;5;5{ rqpx . 4. }0;1;3{},1;0;2{},1;1;0{},7;1;19{ rqpx . 5. }4;1;2{},1;1;0{},2;0;1{},4;3;3{ rqpx . 6. }2;0;1{},1;2;1{},0;1;3{},1;3;3{ rqpx . 7. }4;0;1{},3;1;1{},0;2;1{},7;1;6{ rqpx . 8. }1;1;2{},2;3;0{},4;1;1{},14;5;6{ rqpx . 9. }1;1;1{},3;0;2{},1;2;1{},4;7;1{ rqpx . 10. }1;1;0{},2;3;1{},5;0;1{},0;15;5{ rqpx .
Задание 3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b .
1. qpa 2 , qpb 2 , если 1|| p , 2|| q ,
qp, =
6
.
2. qpa 3 , qpb 2 , если 4|| p , 1|| q ,
qp, =
4
.
3. qpa 3 , qpb 2 , если 5/1|| p , 1|| q ,
qp, =
2
.
4. qpa 23 , qpb 5 , если 4|| p , 2/1|| q ,
qp, =
6
5.
5. qpa 2 , qpb 2 , если 2|| p , 3|| q ,
qp, =
4
3.
6. qpa 3 , qpb 2 , если 2|| p , 3|| q ,
qp, =
3
.
7. qpa 2 , qpb 3 , если 3|| p , 2|| q ,
qp, =
2
.
232
8. qpa 4 , qpb , если 7|| p , 2|| q ,
qp, =
4
.
9. qpa 4 , qpb 3 , если 1|| p , 2|| q ,
qp, =
6
.
10. qpa 4 , qpb 2 , если 7|| p , 2|| q ,
qp, =
3
.
Задание 4. а) Найти векторное произведение векторов ba , ; б) Найти смешанное
произведение векторов сba ,, .
1. }.1,1,3{},4,3,2{},1,2,3{ сba 2. }.1,1,1{},1,1,1{},2,5,1{ сba
3. }.4,3,2{},1,2,3{},3,1,1{ сba 4. }.1,1,1{},1,2,1{},1,3,3{ сba
5. }.1,2,5{},0,1,2{},1,1,3{ сba 6. }.2,2,2{},1,2,1{},1,3,4{ сba
7. }.1,0,2{},4,7,6{},1,3,4{ сba 8. }.3,2,1{},7,3,1{},1,2,3{ сba
9. }.1,2,2{},1,0,2{},2,7,3{ сba 10. }.17,6,2{},1,0,1{},6,2,1{ сba
Задание 5. Вычислить объем тетраэдра 4321 AAAA и площадь треугольника 321 AAA .
1. )6;3;1(1A , )1;2;2(2A , )1;0;1(3 A , )3;6;4(4 A .
2. )4;2;7(1A , )2;1;7(2 A , )1;3;3(3A , )1;2;4(4 A .
3. )4;1;2(1A , )2;5;1(2 A , )2;3;7(3 A , )6;3;6(4 A .
4. )2;5;1(1 A , )3;0;6(2 A , )3;6;3(3 A , )7;6;10(4 A .
5. )1;1;0(1 A , )5;3;2(2 A , )9;5;1(3 A , )3;6;1(4 A .
6. )0;2;5(1A , )0;5;2(2A , )4;2;1(3A , )1;1;1(4 A .
7. )2;1;2(1 A , )1;2;1(2A , )6;0;5(3 A , )7;9;10(4 A .
8. )4;0;2(1 A , )1;7;1(2 A , )4;8;4(3 A , )6;4;1(4 A .
9. )5;4;14(1A , )2;3;5(2 A , )3;6;2(3 A , )1;2;2(4 A .
10. )0;2;1(1A , )3;0;3(2 A , )6;2;5(3A , )9;4;8(4 A .
3. Элементы аналитической геометрии
Изучив данную тему, студент должен: иметь представление: об уравнениях линий на плоскости и в пространстве; об уравнениях поверхностей пространства; знать: различные формы уравнений прямой и плоскости, канонические уравнения кривых
второго порядка; геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой и плоскости; уметь: вычислять углы между прямыми и плоскостями, расстояние между прямыми и
плоскостями; определять взаимное расположение прямых и плоскостей; изображать на плоскости в декартовой системе координат прямые и кривые второго
порядка по заданному уравнению.
233
Тест
1. Какая из следующих прямых проходит через точку (1,2)? а) 0322 yx ; б) 052 yx ;
в) 52 xy ; г) 3
2
2
1
yx
.
2. Какая из следующих прямых параллельна вектору (1,2)? а) 02213 yx ; б) 0132 yx ;
в) 1
3
2
1
yx
; г) 4
2
2
1
yx.
3. Выберите из уравнений прямых каноническое:
а) 132
yx; б) 12 xy ; в)
1
3
2
1
yx
; г) 043 yx .
4. Из предыдущих уравнений прямых выберите общее уравнение. 5. Из уравнений прямых вопроса 1 выберите уравнение прямой в отрезках. 6. Из уравнений прямых вопроса 1 выберите уравнение прямой с угловым
коэффициентом.
7. Прямые 052 yx и 2
3
4
1
yx
:
а) параллельны, но не совпадают; б) перпендикулярны; в) пересекаются; г) совпадают.
8. Выберите из следующих уравнений уравнение прямой, проходящей через точку (1,2,3):
а) 4
3
3
2
2
1
zyx
; б)
035
,012
zyx
zyx;
в) 1
3
2
2
1
1
zyx
; г) 3
3
2
2
1
1
zyx
.
9. Прямая 1
3
2
2
1
1
zyx
не параллельна плоскости:
а) 0)1(3)3(2)2( zyх ; б) 01432 zyx ; в) 0)3()2(3)1(2 zyх ; г) 0)3()2(2)1(3 zyх .
10. Плоскость 01482 zyx и прямая 2
1
4
2
1
1
zyx:
а) параллельны; б) перпендикулярны; в) пересекаются, но не перпендикулярны; г) прямая принадлежит плоскости.
11. Плоскости 01532 zyx и 021064 zyx : а) параллельны; б) перпендикулярны; в) пересекаются; г) совпадают.
12. Из следующих уравнений выберите уравнение эллипса:
234
а) 194
yx; б) 594 22 xy ;
в) 92 22 yxyx ; г) 322 22 yxx . 13. Из предыдущих уравнений выберите уравнение гиперболы. 14. Из уравнений вопроса 12 выберите уравнение, задающее пару пересекающихся
прямых. 15. Множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной
точки этой плоскости вдвое больше расстояния до данной прямой этой плоскости, есть: а) окружность; б) эллипс; в) гипербола; г) парабола.
Задачи
Задание 1. Даны вершины треугольника ABC . Составить уравнения его сторон и высоты, опущенной из вершины B .
1. )4,3( ),0,1( ),2,1( CBA 2. )2,0( ),1,4( ),1,2( CBA 3. )2,1( ),5,1( ),2,0( CBA
4. )1,1( ),1,3( ),1,2( CBA 5. )2,3( ),2,1( ),5,3( CBA 6. )4,1( ),3,4( ),4,2( CBA
7. )5,1( ),3,2( ),3,6( CBA 8. )4,2( ),1,2( ),4,3( CBA 9. )3,3( ),2,4( ),1,1( CBA
10. )4,0( ),3,1( ),2,5( CBA
Задание 2. Найти расстояние от точки 0M до плоскости, проходящей через три точки
321 ,, MMM .
1. ),0,1,4(),3,2,1( 21 MM
).5,6,1(),2,1,2( 03 MM
2. ),2,1,9(),1,1,3( 21 MM
).1,0,7(),4,5,3( 03 MM
3. ),3,0,2(),1,1,1( 21 MM
).2,4,2(),1,1,2( 03 MM
4. ),2,1,1(),0,2,1( 21 MM
).4,1,2(),1,1,0( 03 MM
5. ),1,2,1(),2,0,1( 21 MM
).1,9,5(),1,2,2( 03 MM
6. ),1,0,1(),3,2,1( 21 MM
).9,2,3(),6,1,2( 03 MM
7. ),5,3,2(),1,10,3( 21 MM
).10,7,6(),3,0,6( 03 MM
8. ),4,2,1(),4,2,1( 21 MM
).5,3,2(),1,0,3( 03 MM
9. ),2,1,4(),1,3,0( 21 MM
).5,4,3(),5,1,2( 03 MM
10. ),2,1,4(),0,3,1( 21 MM
).0,3,4(),1,0,3( 03 MM
Задание 3. Найти угол между двумя плоскостями 1 и 2 .
1. 053:1 yx ; 01652:2 zyx . 2. 013:1 zyx ; 01:2 zx .
3. 01354:1 zyx ; 094:2 zyx . 4. 017426:1 zyx ; 04639:2 zyx .
5. 03:1 zy ; 02:2 zy . 6. 0236:1 zyx ; 01262:2 zyx .
7. 0322:1 zyx ; 01151216:2 zyx . 8. 01652:1 zyx ; 0832:2 zyx .
9. 0122:1 zyx ; 01:2 zx . 10. 043:1 zyx ; 05:2 zy .
Задание 4. Найти точку пересечения прямой L и плоскости P .
235
1. 4
1
1
3
1
2:
zyx
L ;
01432: zyxP .
2. 5
1
4
3
3
1:
zyx
L ;
02052: zyxP .
3. 2
1
4
5
1
1:
zyx
L ;
02473: zyxP .
4. 2
3
01
1:
zyxL ;
042: zyxP .
5. 0
2
1
3
1
5:
zyx
L ;
01253: zyxP .
6. 2
3
2
2
3
1:
zyx
L ;
0953: zyxP .
7. 1
1
1
2
2
1:
zyx
L ;
01752: zyxP .
8. 1
4
0
2
2
1:
zyxL ;
01942: zyxP .
9. 1
4
1
1
1
2:
zyx
L ;
02332: zyxP .
10. 0
3
0
2
1
2:
zyxL ;
07532: zyxP .
Задание 5. Составить канонические уравнения прямой.
1.
.0632
,022
zyx
zyx 2.
.0143
,0223
zyx
zyx 3.
.0822
,042
zyx
zyx4.
.022
,02
zyx
zyx
5.
.0323
,0632
zyx
zyx 6.
.023
,063
zyx
zyx 7.
.01
,01125
zyx
zyx8.
.04342
,01243
zyx
zyx
9.
.022
,0435
zyx
zyx 10.
.042
,02
zyx
zyx
4. Введение в математический анализ
Изучив данную тему, студент должен: знать: определение и свойства операций над множествами, способы задания множеств; основные числовые множества и их обозначения; определение функции; терминологию и обозначения, связанные с понятием функции; понятия композиции функций, обратной функции, взаимно-однозначного
соответствия; элементарные функции; определения предела последовательности и функции; определение непрерывности функции; основные теоремы о пределах; понятия бесконечно малой и бесконечно большой величины, их свойства, связь и
сравнение; замечательные пределы; теоремы о локальных и глобальных свойствах непрерывных функций; классификацию разрывов функции; уметь: выполнять операции над множествами; отличать логически правильную схему рассуждений от неправильной; проверять обратимость данной функции и находить обратную функцию; находить композицию заданных функций;
236
представлять элементарную функцию в виде композиции основных элементарных функций;
записывать символически определение предела и находить предел в простейших случаях, исходя из определения;
вычислять пределы функций; доказывать непрерывность основных элементарных функций; находить и классифицировать точки разрыва функций.
Тест
1. Если множество 32 ,,,1 xxxA , а множество 32 ,,,1 xxxB , то объединение BA равно:
а) 32 ,,,1 xxx ; б) 322 ,,,,,1 xxxxx ; в) 32,0,2 x ; г) 32,0,0,2 x .
2. Если xxxA cos,2sin,sin,1 , а xxxB 2cos,cossin2,1 , то пересечение множеств BA равно:
а) xxx cos,2sin,sin,1 ; б) xxx 2cos,2sin,sin,1 ;
в) xx 2sin,sin,1 ; г) xx cossin2,1 .
3. Область определения функции 65
12
xx
y равна:
а) x < 2, x > 3; б) 2x , 3x ; в) 2 < x < 3; г) 2x , 3x . 4. Обратная функция для функции 63 xy имеет вид:
а) 3
6
xy ; б)
3
6
xy ; в)
63
1
xy ; г)
63
1
xy .
5. Какая из следующих функций не является бесконечно малой в указанной точке?
а) 1,1
1
x
x; б) 1,
1
1
xx
x; в) 0,
cosx
x
x; г) x
x
x,
sin.
6. Какая из следующих функций является бесконечно большой в указанной точке?
а) 1,1
122
x
x
xx; б) 1,
1
1
xx
x; в) 0,
cosx
x
x; г) 0,
sinx
x
x.
7. Значение предела x
xx
2sin2lim
0 равно:
а) 0; б) 4; в) 1; г) . 8. Числовая последовательность na называется сходящейся, если она:
а) ограничена сверху; б) ограничена снизу; в) имеет конечный предел; г) просто ограничена.
9. Значение предела x
xx
2sin2lim
равно:
а) ; б) 1; в) 4; г) 0. 10. Последовательность na , для которой ......21 naaa , называется:
а) убывающей; б) невозрастающей; в) неубывающей; г) возрастающей.
237
11. Значение предела x
x x
3
2
11lim
:
а) 3 2
1
e; б)
ee
1; в) 2
3
e ; г) 3
2
e .
12. Выберите неверное утверждение. Если функция непрерывна в точке 0x , то она:
а) является бесконечно малой в этой точке; б) определена в этой точке; в) имеет предел в этой точке; г) определена в некоторой окрестности этой точки.
13. Функция xey1
имеет в точке x = 0 разрыв:
а) I рода; б) II рода; в) устранимый разрыв; г) функция непрерывна. 14. Какая из следующих функций имеет в точке x = 0 разрыв 1-го рода?
а) xctg ; б) x/12 ; в) xtg ; г) || x
x.
15. Какая из следующих функций имеет в в точке x = 0 разрыв 2-го рода?
а) x
xsin; б)
xx
1sin ; в)
x
1sin ; г)
x
xsin.
Задачи
Задание 1. Найти следующие пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. а) 32
23
33
52lim
xx
xxx
б) 352
132lim
2
2
1
xx
xxx
в) x
xx
31
37lim
2 г)
2
3
0
coscoslim
x
xxx
2. а) 43
34
522
12lim
xx
xxx
б) 2
2
2 2
102lim
xx
xxx
в) 12
21lim
3
x
xx
г) x
xx 2cos1
4cos1lim
0
3. а) 5
327lim
4
34
x
xxx
б) 932
2154lim
2
2
2
xx
xxx
в) x
xx
22lim
0
г) x
xx 5sin
3tglim
0
4. а) 12
25lim
2
2
xxx
xxx
б) 1
2lim
23
2
1
xxx
xxx
в) x
xx
41
223lim
3 г)
x
xx arcsin
4sinlim
0
5. а) xx
xxx
2
3
4
15lim б)
2
2
3 65
12lim
xx
xxx
в) 7
32lim
7
x
xx
г) x
xxx 3
sintglim
0
6. а) 3
2
1lim
xx
xxxx
б) 20113
20lim
2
2
5
xx
xxx
в) xxx
1lim 2 г) x
xx
cos1lim
0
7. а) 4
2
23
53lim
xx
xxx
б) 2
2
2 6
103lim
xx
xxx
в) 81
54lim
29
x
xx
г) x
xx 2sin
5sinlim
0
8. а) 1
5lim
2
2
xx
xxxx
б) 672
94lim
2
2
2
3
xx
x
x
в) x
xxx
3lim г)
x
xx 4sin
5tglim
0
9. а) xx
xx
x 2
11
23
43lim
б)
65
274lim
2
2
2
xx
xxx
в) 4
35lim
4
x
xx
г) x
xx 2tg
7sinlim
0
10. а) 153
874lim
2
2
xx
xxx
б) xx
xxx 3
383lim
2
2
3
в) 1lim 2
xxx
x г)
x
xxx 5
2sin2tglim
0
238
Задание 2. Найти следующие пределы, используя 2-й замечательный предел.
1. а) x
x x
x2
4
14lim
б) )3/(2
383lim
x
xx 2. а) x
xx
3
021lim
б) )4/(2
2
2
53lim
xx
xx
3. а) 3
2
383lim
x
xx б) )33/(
167lim
xx
xx 4. а) 33
167lim
x
x
xx б) )1/(1
1
2
23lim
x
xx
5. а) x
x x
x
12
12lim б) )1/(
134lim
xx
xx 6. а)
x
x x
x
2
3lim б) xx
xx /)3(
021lim
7. а) x
x x
x
4
2lim б) )1/(
145lim
xx
xx 8. а)
x
x x
x
1
5lim б) )9/(1
3
2310lim
x
xx
9. а) x
x x
x
32
32lim б) )22/(3
123lim
xx
xx 10. а)
x
x x
x
3
23lim б) )1/(2
123lim
xx
xx
Задание 3. Найти точки разрыва, если они существуют, и сделать чертеж.
1.
.1,1
;11,1
;1,12
xx
xx
xx
xf 2.
.2,3
;20,
;0,3
x
xx
xx
xf 3.
.2,3
;21,2
;1,13
xx
x
xx
xf
4.
.0,
;0,sin
;,0
x
xx
x
xf
5.
.2,4
;20,1
;0,1
xx
xx
xx
xf 6.
.3,1
;33,9
;3,02
x
xx
x
xf
7.
.2,3
;22,4
;2,22
xx
xx
x
xf 8.
.1,1
;11,1
;1,12
xx
xx
xx
xf 9.
.1,
;11,
;1,2
2
2
xe
xe
x
xfx
x
10.
.2,4
;20,1
;0,122
xx
xx
xx
xf
Задание 4. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной в
точках 21 , xx . В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.
1. 2,0,9)( 21)2/(1 xxxf x 2. 3,1,4)( 21
)3/(1 xxxf x 3. 2,0,12)( 21/1 xxxf x
4. 4,2,3)( 21)4/(1 xxxf x 5. 5,3,8)( 21
)5/(1 xxxf x 6. 7,5,10)( 21)7/(1 xxxf x
7. 6,4,14)( 21)6/(1 xxxf x 8. 8,6,15)( 21
)8/(1 xxxf x 9. 2,4,11)( 21)4/(1 xxxf x
10. 3,5,13)( 21)5/(1 xxxf x
5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Изучив данную тему, студент должен: знать: определение производной, ее геометрический и механический смысл; определение и геометрический смысл дифференциала;
239
таблицу производных основных элементарных функций и основные правила нахождения производных;
основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши; правило Лопиталя и условия его применения при вычислении пределов функций; формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа; необходимое и достаточное условие экстремума функции одной переменной; условия монотонности, выпуклости и вогнутости функции одной переменной; уметь: вычислять производные первого и высших порядков элементарных функций,
используя правила дифференцирования и таблицу производных; вычислять производные по определению; проводить исследование функций с помощью первой и второй производной
(определять интервалы монотонности, выпуклости и вогнутости, точки экстремума и перегиба), находить асимптоты графиков и строить графики функций на основе проведенного исследования;
вычислять пределы функций с использованием правила Лопиталя; записывать разложения функций по формуле Тейлора; иметь представление: о применении дифференциального исчисления в инженерных исследованиях.
Тест
1. Угловой коэффициент касательной к кривой xу 2cos в точке
2
1,
40
М равен:
а) 1 ; б) 1; в) 2
2 ; г) 2 .
2. Производная yx , если y = x + ln x , равна:
а) 1x
x; б)
x
x 1; в)
x
1; г) x.
3. Какой эскиз соответствует поведению функции у(х) в окрестности точки 0M , если
0,0 00 MyMy ?
а б в г
4. Производная функции x
xy
ln равна:
а) x
1; б)
2
1
x; в)
2
ln1
x
x; г)
2
ln1
x
x.
5. Выберите верное утверждение: а) если 0)( 0 xf , то 0x – точка экстремума функции )(xfy ;
б) если 0x – точка экстремума функции )(xfy , то 0)( 0 xf ;
в) если 0)( 0 xf и 0)( 0 xf , то 0x – точка экстремума функции )(xfy ;
г) если 0)( 0 xf и 0)( 0 xf , то 0x не является точкой экстремума функции
)(xfy .
240
6. Уравнение касательной к графику функции
1
12
23
ty
ttx в точке М0,
соответствующей значению t0 = 1, имеет вид: а) x + 2y = 5; б) 2x – y = 0; в) 2y – x=0; г) 2x + y = 5.
7. Из следующих функций выберите недифференцируемую в точке 0x .
а) 3 x ; б) xtg ; в) xarcsin ; г) )1ln( x . 8. Из следующих функций выберите дифференцируемую на всей вещественной оси.
а) x ; б) xarcsin ; в) xctg ; г) xsin .
9. Выберите верное утверждение. Дифференциал функции в точке 0x есть:
а) бесконечно малая, эквивалентная x ; б) бесконечно малая более высокого порядка, чем x ; в) линейная функция приращения x ; г) )( xo .
10. Приближенное значение 5 30 , вычисленное с помощью дифференциала первого порядка, равно:
а) 40
79; б) 1,97435…; в) 2; г) 1,9.
11. Графику производной
соответствует график функции:
а б
в г
12. Многочлен )!12(
)1(...!5!3
)(12
153
n
xxxxxP
nn является многочленом Тейлора
в точке 0x для функции: а) xe ; б) xsin ; в) xcos ; г) )1ln( x .
241
13. Уравнение правой наклонной асимптоты функции x
xy
ln имеет вид:
а) xy2
3 ; б) 2
2
3 xy ; в) у = 0; г) у = 2.
14. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции 2123 xxy на отрезке ]3,3[ равна:
а) 68; б) 8; в) 16; г) 32. 15. Функция не может быть монотонной на промежутке, если она имеет внутри него:
а) точку разрыва; б) точку экстремума; в) критическую точку; г) точку разрыва 1-го рода.
Задачи
Задание 1. Составить уравнение нормали и уравнение касательной к данной кривой в
точке с абсциссой 0x .
1. .2,4
40
2
xxx
y 2. .2,132 02 xxxy 3. .1, 0
3 xxxy
4. .2,132 02 xxxy 5. .4,328 0
2 xxxy 6. .8,20 03 2 xxy
7. .4,1
10
xx
xy 8. .16,708 0
4 xxy 9. .1,132 02 xxxy
10. .3,63
02
2
xx
xxy
Задание 2. Найти дифференциал dy .
1. )4(2
82
24
x
xxy 2.
x
xxy
423
12 2
3. 12
38
12
)1(
x
xy
4.
4
2
312 x
xy
5. 3
36
1
2
x
xxy
6.
2
2
212
1
x
xy
7.
3
32
3
)1(
x
xy
8.
3
36
8
1288
x
xxy
9. 32 )5(
1
x
xy 10.
1
13
3 2
x
xxy
Задание 3. Найти производную функций dx
dy.
1. а) )23(sin3 xy б) xxy )2tg( в)
tty
ttx
1
2
1
1
2
2
2. а) 32arctg xxy б) xxy ln)2(sin в)
ty
tx
2cos
1
ctg
3. а) x
xy
2tg1
2tg1
б) 23)(arccos xxy в)
ty
ttx
3cos
2sin2
1
242
4. а) xy tgln б) xxy 2sin)arctg( в)
ty
tx
sin1
cos1
5. а) xy 3ln1 б) 2
)arctg( xxy в)
tty
ttx
tg
sin
6. а) xxy 2arcsin б) xxy
2cos2 1 в)
tey
ttx
1
ln
1
7. а) 3
32arcsin
xxy б) x
xy2cos2 1ln в)
tt
y
tx
1
1tg
8. а) xy 4sin3 б) xexy
2
12 в)
ty
ttx3cos
2cos2
9. а) 32
1sin
xy б) xxy 3ctg)2tg( в)
1arctg
arcsin
ty
tx
10. а) xy 2sin1 3 б) xxy1
)(ln в)
tty
ttx2
2
sin
cos
Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных
промежутках.
1. 232
3
xx
xy , [3,4] 2.
1
x
xxy , [– 4, – 1,25]
3. 3 22 )1( xxy , [– 2,1] 4.
x
xy
ln , [1,4]
5. x
ey
x
, [1,3] 6. 3 22 2xxy , [0,3]
7. xexy 3 , [1,4] 8. xexy 3 , [0,5]
9. 3 2 13 xy , [0,6] 10. 3 2xxy , [– 1,3]
Задание 5. Исследовать функцию и построить ее график.
1. а) 2
2
x
xy б)
3 2xey 2. а) 3
4
2
x
xy б) xexy )12(
3. а) 12
4 2
х
ху б)
32
х
еу
х
4. а) х
ху22 б) хехху 2
5. а) 2
2
4
1
х
ху
б) хеу х 1
6. а) 4
22
3
х
ху б) хеху
12
7. а) 3 23 хху б) 21ln xy 8. а) хх
ху
2
12
б) 12
хеху
9. а) 44
5
х
ху б)
2
1 xey 10. а)
2
3
2
1
х
ху
б) xxy 2ln
243
6. Элементы высшей алгебры
Изучив данную тему, студент должен: знать: определение комплексных чисел и операций над ними; геометрическую интерпретацию комплексных чисел и операций над ними; правила действий над комплексными числами в алгебраической,
тригонометрической и показательной формах; формулы Муавра и Эйлера и формулу извлечения корня n-й степени из
комплексного числа; определение многочленов и их корней; формулировки теоремы Безу, основной теоремы алгебры и теоремы о разложении
действительных многочленов в произведение линейных и квадратичных множителей; уметь: выполнять действия с комплексными числами в алгебраической,
тригонометрической и показательной формах; переходить от одной формы представления комплексного числа к другой; находить комплексные корни многочленов, в частности, многочленов второй
степени (квадратных уравнений); раскладывать многочлены в произведение линейных и квадратичных множителей.
Тест
1. Два комплексных числа равны, если:
а) равны их модули; б) равны их аргументы; в) равны их действительные и мнимые части; г) равны их мнимые части.
2. Модуль числа 21 3zz , где iz 231 и iz 232 , равен:
а) 10; б) 10 ; в) 5; г) 132 . 3. Произведение чисел iz 241 и iz 322 равно:
а) i814 ; б) i814 ; в) i814 ; г) i814 . 4. Частное чисел iz 31 и iz 12 равно:
а) i21 ; б) i2 ; в) i21 ; г) i2 . 5. Число 23i равно:
а) 1; б) –1; в) i ; г) i .
6. Число 22
2
1
2
1
i равно:
а) 1; б) –1; в) i ; г) i . 7. Модуль и аргумент числа iz 22 равны:
а) 4
5,2||
z ; б) 4
3,22||
z ;
в) 4
3,2||
z ; г) 4
,22|| z .
244
8. Из следующих чисел выберите то, которое представлено в тригонометрической форме:
а)
7cos
7sin3
i ; б)
6sin
6cos3
i ;
в) 12
sin8
cos
i ; г)
6
13sin
6
13cos2
i .
9. Тригонометрическая форма записи комплексного числа iz 22 :
а)
4
5sin
4
5cos2
i ; б)
4
3cos
4
3sin22
i ;
в)
4
5cos
4
5sin22
i ; г)
4
5sin
4
5cos22
i .
10. Показательная форма записи комплексного числа iz 31 :
а) 6
11i
e ; б) 62
ie ; в) 6
5
2
ie ; г) 6
5i
e .
11. Один из корней 6 1 равен:
а) i2
1
2
3 ; б) i3 ; в) i
2
3
2
1 ; г) 1.
12. Множество точек, для которых |2||4| izz , есть: а) прямая; б) окружность; в) круг; г) полуплоскость.
13. Равенство |1||1| iiziz верно: а) для всех z; б) только для 0z ; в) только для iz 1 ; г) ни для каких z .
14. Один из корней уравнения 8)1( 3 z равен:
а) 1; б) i ; в) i3 ; г) 13 i .
15. Корни уравнения 0522 zz равны: а) i21 ; б) i21 ; в) ii 21,21 ; г) ii 21,21 .
Задачи
Задание 1. Записать число в тригонометрической и показательной формах.
1. iz2
1
2
1 2. iz
2
3
2
1 3. iz 22 4. iz 3 5. iz
2
3
2
1
6. iz 7. iz 1 8. 2z 9. iz 3 10. iz 31
Задание 2. Представить в алгебраической форме комплексное число.
1.
i
ii
21
321
2.
i
ii
34
32
3.
i
ii
35
321
4.
i
ii
21
3121
5.
i
ii
32
332
6.
i
ii
2
234 7.
i
ii
31
3323
8.
i
ii
1
141 9.
i
ii
31
341
10.
i
ii
1
436
Задание 3. Вычислить по формуле Муавра.
1. 2031 i 2. 151 i 3. 121 i 4. 12
3 i 5. 4322 i
6. 701 i 7.
40
2
3
2
1
i 8.
10
2
3
2
1
i 9.
15
2
1
2
3
i 10.
20
2
1
2
3
i
245
Задание 4. Извлечь корни n -й степени из комплексного числа.
1. i2
3
2
1 2. 3 8 3. 3
2
1
2
3i 4. 3
2
1
2
3i 5. 6 1
6. i 3 7. i1 8. 4 5i 9. i2
1
2
3 10. 3 i
Задание 5. Найти корни уравнения.
1. 0542 zz 2. 0222 zz 3. 01362 zz 4. 02042 zz 5. 01722 zz6. 0562 2 zz 7. 02582 zz 8. 0322 zz 9. 01342 zz 10. 012 zz
7. Интегральное исчисление функции одной переменной
Изучив данную тему, студент должен: знать: определение первообразной и неопределенного интеграла, простейшие правила
интегрирования; таблицу основных интегралов; методы интегрирования по частям и заменой переменной; определение и геометрический смысл определенного интеграла; основные свойства определенного интеграла; формулу Ньютона-Лейбница и условия ее применимости; понятие несобственного интеграла и его сходимости; уметь: применять правила и методы интегрирования для вычисления неопределенных
интегралов; вычислять определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница; применять формулы интегрирования по частям и замены переменной к вычислению
определенных интегралов; исследовать сходимость и вычислять несобственные интегралы с бесконечными
пределами и от неограниченных функций; иметь представление: о классе интегрируемых функций.
Тест
1. Если )()( xgxf , то:
а) )(xf является первообразной для )(xg ; б) )(xg является первообразной для )(xf ; в) f(x) является первообразной для g(x); г) )(xg является первообразной для )(xf .
2. Одна из первообразных для функции x
xf4
:
а) x8 ; б) x4 ; в) xx2
4; г)
3
8
x.
246
3. Семейство функций CxxF cos есть результат вычисления интеграла:
а) xdxsin ; б) xdxcos ; в) xdxsin ; г) xdxcos .
4. Значение интеграла dxe x 2 равно:
а) Ce x 2
2
1; б) Ce x 2
2
1; в) Ce x 22 ; г) Ce x 2
.
5. Табличный интеграл 22 xa
dx равен:
а) Ca
xarcsin ; б) C
xa
xa
a
ln2
1; в) Cxax 22ln ; г)
Ca
x
aarctg
1.
6. Результат вычисления интеграла dxx
x1
равен:
а) Cxx
2
3
2 2
11; б) Cxx 2ln ; в) C
x
xx
2
2
3
2
1
; г) Cx
x 2
ln .
7. Интеграл 222 xx
dx следует вычислять методом:
а) интегрирования по частям; б) выделения полного квадрата; в) разложения на простейшие дроби; г) разбиения на сумму табличных интегралов.
8. Сумма )( CBA , где А, В, С – коэффициенты в разложении дроби 21
32
xx
x на
простейшие, равна:
а) 9
1; б)
9
1 ; в)
4
3; г)
3
4.
9. Интеграл 4
1 x
dx равен:
а) –2; б) 2; в) 1; г) –1.
10. Интеграл b
a
dxxf )( равен:
а) )()( afbf ; б) )()( afbf ; в) )()( bfaf ; г) 0.
11. Производная
b
a
dxxf )( равна:
а) )()( afbf ; б) )()( afbf ; в) )()( bfaf ; г) 0.
12. Интеграл b
a
dxxgxgf )())(( равен:
а) b
a
dxxf )( ; б) )(
)(
)(bg
ag
dxxf ; в) b
a
Cdyyf )( ; г) )(
)(
)()(bf
af
ydgyf .
13. Какой из следующих интегралов не является несобственным?
247
а)
0
sin xdxx ; б)
1
0 1x
dx; в)
1
0 1x
dx; г)
0
1 1x
dx.
14. Какой из следующих несобственных интегралов сходится?
а)
02 1x
dx; б)
0
sin xdx ; в)
1
12 1x
dx; г)
0 1x
dx.
15. Интеграл 1
0x
dx сходится при:
а) всех R ; б) 10 ; в) 10 ; г) 1 .
Задачи
Задание 1. Найти неопределенный интеграл методом подведения некоторой функции под знак дифференциала.
1. dxx9
53 2. dxex
5
2 3. dxx 4 12 4. 13
2
x
dxx 5. 3 51 x
dx
6. xdxe x 2
7. dxx 12cos 8. dxx 2tg 9. 13sin 2 x
dx 10.
1022 xx
dx
Задание 2. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.
1. xdxx cos12 2. x
xdx
2cos2 3. xdxarctg 4. xdxx ln 5. xdxx 2sin1
6. xdxx sin43 7. xdxx 2cos32 8. dxexx
21 9. dxexx2
21 10. x
xdxln
Задание 3. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной.
1. dxx
x
ln4 2.
3
2
31 x
dxx 3. dxxcos 4. 32cos
2sin2 x
xdx 5. 5x
dx
6. dxxx2
3 2 7. xx
dx 8.
xe
dx
1 9.
xx
dx
12 10. dx
e
ex
x
1
2
Задание 4. Разложить дробь на простейшие дроби и найти все неопределенные коэффициенты.
1. 522
1862
2
xxx
xx 2. 16
12 xx
3. 2
2
3
6
xx
x 4. 21
122 xx
5. xxx
x
44
823
6. 21
12
2
xx
x 7.
24 4
3
xx
x
8. 14 x
x 9.
13 x
x 10. 54
1582
xxx
x
Задание 5. Найти определенный интеграл методом интегрирования по частям.
1. xdxxx 2cos)65(0
2
2
2. xdxx 3cos)4(0
2
2
3. xdxxx cos)34(0
1
2
4. xdxx 3cos)2(0
2
2
5. xdxxx cos)127(0
4
2
6. xdxxx 2cos)742(0
2
248
7. xdxxx 3cos)1199(0
2
8. xdxxx 4cos)17168(0
2
9. xdxx 2cos)53(2
0
2
10. xdxx 3cos)512(2
0
2
Задание 6. Найти определенный интеграл, сделав тригонометрическую замену переменной.
1. 16
0
2256 dxx 2. 1
0
22 1 dxxx 3.
5
022 25)25( xx
dx
4.
3
02/32 )9( x
dx 5.
2/5
032 )5( x
dx 6. 2
04
2 1dx
x
x
7.
2/2
032
4
)1(dx
x
x 8.
22
022
4
16)16( xx
dxx 9.
1
02
2
4dx
x
x
10. 4
24
2 4dx
x
x
Задание 7. Вычислить площадь фигур, ограниченных графиками функций.
1. )30(0,9 2 xyxxy 2. xxyxy 2,4 22 3. .1,0,0,4 2 xxyxy
4. ).2/0(
0,cossin 2
x
yxxy 5.
).20(
0,4 22
x
yxxy 6. ).2/0(
0,sincos 2
x
yxxy
7. .0,0,arccos xyxy 8. .1,)1( 22 xyxy 9. .3,0,arctg xyxxy
10. .1,0,1
xyx
xy
8. Тест итогового контроля
1. Матрицы не обладают свойством:
а) коммутативности сложения; б) коммутативности умножения; в) ассоциативности сложения; г) ассоциативности умножения.
2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными может иметь количество решений, равное:
а) 0, 1, 2; б)1, 2, 3; в) 1, 3, ; г) ,1,0 . 3. Выберите условие, которое необходимо и достаточно для несовместности системы
линейных уравнений ( A – основная матрица системы, A – расширенная матрица, n – число неизвестных):
а) AA rgrg ; б) AA rgrg ; в) rg nA ; г) AA rgrg .
4. Векторы 1,1,1,4,3,2,3,2,1 cba : а) компланарны; б) линейно независимы; в) коллинеарны; г) базис в пространстве.
5. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда: а) один из них – нулевой; б) они коллинеарны; в) они компланарны;
249
г) они равны. 6. Пусть ba – векторное произведение векторов a и b . Из следующих утверждений
выберите неверное: а) 0aa ; б) abba ; в) 0 abba ; г) cabacba .
7. Дано уравнение линии в декартовой системе координат: 04210 22 yyxx . Эта линия есть:
а) эллипс; б) парабола; в) пара прямых; г) гипербола. 8. Множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек это
величина постоянная, есть: а) прямая; б) эллипс; в) парабола; г) гипербола.
9. Из следующих уравнений выбрать уравнение плоскости, перпендикулярной вектору (2,1,2).
а) 022 zyx ; б) 212
zyx ; в) 022 zyx ; г) 0
212
zyx.
10. Предел x
xx
coslim
равен:
а) 1; б) 0; в) ; г) e .
11. Функция
2 ,
21 ,ln3 xx
xxxf в точке 20 x :
а) имеет разрыв 1-го рода; б) имеет устранимый разрыв; в) непрерывна; г) имеет разрыв 2-го рода.
12. Какая из следующих функций монотонно убывает на всей числовой оси? а) xxf /1 ; б) 2xxf ; в) xxf ln ; г) 3xxf .
13. Пусть 1lim
xfax
,
)(lim xgax
. Тогда предел )()(lim xgxfax
равен:
а) 1; б) 0; в) ; г) не существует. 14. Пусть xxf lnsin)( . Тогда производная )(xf равна:
а) x
xlncos; б) xlncos ; в)
x
1cos ; г)
xx
1coslnsin .
15. Пусть функция )(xf имеет минимум в точке 0x . Тогда:
а) ее производная в этой точке равна 0; б) она дифференцируема в этой точке; в) если она дифференцируема в этой точке, 0)(то 0 xf ;
г) если она непрерывна в этой точке, то 0)( 0 xf .
16. Точка 2
x является для функции |cos|)( xxf точкой:
а) минимума; б) максимума; в) перегиба; г) разрыва. 17. Интеграл )(xdf равен:
а) )(xf ; б) Cxf )( ; в) dxxf )( ; г) dxxf )( .
18. Интеграл
x
a
dxxf )( равен:
а) )()( afxf ; б) )(xf ; в) )(xf ; г) 0.
19. Интеграл dxxgxgf )())(( равен:
а) ))(( xgf ; б) Cxgf ))(( ; в) ))(( xgf ; г) Cxgf ))(( .
250
20. Несобственный интеграл
1x
dx расходится при:
а) всех R ; б) 10 ; в) 10 ; г) 1 .
251
Заключение
В настоящем учебном пособии Вы изучили следующие разделы курса «Высшая математика»: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, элементы высшей алгебры.
Данная первая часть учебного пособия «Высшая математика» вместе с продолжением его во второй части охватывает основной курс высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Она необходима для изучения второй части пособия и специальных разделов высшей математики в третьей части.
Авторы приложили все усилия к тому, чтобы учебный материал был изложен простым и понятным языком, чтобы все основные понятия и теоремы были проиллюстрированы на примерах. Контрольные вопросы, тесты и задачи для самостоятельного решения также должны способствовать более глубокому усвоению теории и приобретению необходимых практических навыков.
Авторы надеются, что Вам было интересно работать с нашим учебным пособием.
Библиографический список
1. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. – М.: Наука, 1976.
2. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Т.1 / Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1972; 1978.
3. Смирнов, В. И. Курс высшей математики. Т. 1, 2 / В. И. Смирнов. – М.: Наука, 1974. 4. Ефимов, Н. В. Квадратичные формы и матрицы / Н. В. Ефимов. – М.: Наука, 1975. 5. Бугров, Я. С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я. С. Бугров,
С. М. Никольский. – М.: Наука, 1980. 6. Кудрявцев, Л. Д. Математический анализ. Т. 1, 2 / Л. Д. Кудрявцев. – М.: Высшая
школа, 1973. 7. Никольский, С. М. Курс математического анализа. Т. 1, 2 / С. М. Никольский. – М.:
Наука, 1973; 1975. 8. Бугров, Я. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров,
С. М. Никольский. – М.: Наука, 1980. 9. Сборник задач по математике для втузов. Т. 1, 2 / под ред. Б. П. Демидовича,
А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1986; 1993.
252
Учебное издание
АНКИЛОВ Андрей Владимирович, ВЕЛЬМИСОВ Петр Александрович, РЕШЕТНИКОВ Юрий Андреевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Часть 1
Учебное пособие
Ответственный за выпуск П.А. Вельмисов ЛР № 020640 от 22.10.97.
Подписано в печать 22.12.2011. Формат 70×100/16. Усл. печ. л. 20,32. Тираж 100 экз. Заказ 11.
Ульяновский государственный технический университет,
432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.
Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.
