ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΘερμοδυναμικήΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

Διδάσκων : Καθηγητής Γ. Φλούδας

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. • Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Κινητική θεωρία

ιδανικών αερίων

(γέφυρα μακροσκοπικών και μικροσκοπικών ποσοτήτων)

Εμπειρικές σχέσεις

Boyle, Gay-Lussac, Charles,

υπόθεση Avogadro «όταν δυο ή περισσότερα αέρια έχουν τα ίδια V, P και Τ περιέχουν τον ίδιο αριθμό

ατόμων ή μορίων»

1 mol NA (=6.02x1023 άτομα)

Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας

Θερμική κίνηση Brown (το παρακάτω παράδειγμα δεν αφορά σε ιδανικό αέριο)

Παραδοχές

• Μονοατομικό αδρανές αέριο

• Τεράστιος αριθμός μορίων (~1023 μόρια/mol)

• Μικρά μόρια αμελητέου όγκου

• Μόρια σε συνεχή άτακτη κίνηση

• Ελαστικές συγκρούσεις

• Ομαλή κίνηση μεταξύ συγκρούσεων

• Απουσία έλξεων/απώσεων μεταξύ μορίων

Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας

N: αριθμός μορίων, m: μοριακή μάζα (μάζα ενός μορίου) mtotal: μάζα δείγματος Μ: γραμμομοριακή μάζα (μάζα 1 γραμμομορίου (1mol))

total total

A A

m mNn

N M mN

M(He)=0.004 kg/mol

M(Ne)=0.02 kg/mol

M(O2)=0.032 kg/mol

M(N2)=0.028 kg/mol

M(αέρα)~0.029 kg/mol

Υπολογισμός της πίεσης

2

1,

22 2 2

1

2 2 2

21 2

2

( ) 2

4 2

22 2 2

...2 2

3

x x x x

x x xx

yx z

N

N

dp m m m

dp m mF

dt dt l

mm m mF

l l l l

mN mNF

l N l

F mNP

A V

Μεταβολή

της ορμής

ανά κρούση

Δύναμη που ασκεί ένα μόριο στα

τοιχώματα Α και Α’

Δύναμη που ασκεί ένα μόριο σε

όλα τα τοιχώματα

Δύναμη που ασκούν όλα τα μόρια

Πίεση που εξασκούν τα μόρια

<υ2>: μέση τετραγωνική ταχύτητα

(1) Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας

(dt=2l/υx)

Έστω κρούσεις μόνο με τα τοιχώματα

Υπολογισμός της θερμοκρασίας

21 13

2 2m k

B

A

PV Nk T

N nN

2

3 B

mT

k

Αρχή ισοκατανομής της ενέργειας:

«κάθε βαθμός ελευθερίας κίνησης συνδέεται με ενέργεια kBT/2 »

(2)

Από (1)+(2)

και } A BPV nN k T nRT

23 1 236.023 10 ( ) 1.381 10 ( / ) 8.314 /A BR N k mol J K J Kmol

Παγκόσμια σταθερά των αερίων:

Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας

Μια εφαρμογή: N. Boyle ιδανικών αερίων

Γ. Ζαρδαλίδης, Θ. Κουκούλης

Μια πρόβλεψη της κινητικής θεωρίας

2

3

P RT

N mP

Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας

} Για 1 mol αερίου:

2 2

3 3

AN m MRT

2 3RT

M

2

3

PV nRT

NmPV

(3)

(4)

από (3) και (4):

Θεωρητικά,

μέση ταχύτητα των μορίων

με ένα θερμόμετρο!

Π.χ. He σε θ=27 0C (T=300.15 K) (M=0.004 kg/mol), μέση ταχύτητα 1370 m/s

Ne σε θ=27 0C (T=300.15 K) (M=0.02 kg/mol), μέση ταχύτητα 610 m/s

Μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων Παρατήρηση: Τα μόρια έχουν υψηλές ταχύτητες αλλά απομακρύνονται αργά!!

Απ. : Λόγω διαδοχικών κρούσεων μεταξύ τους

(αν τα μόρια ήταν σημεία δεν θα συγκρούονταν μεταξύ τους)

Μέση ελεύθερη διαδρομή λ:

N/V: πυκνότητα μορίων,

σ: μοριακή διάμετρος

2

1 1~ , ~

N

V

2

1

2N

V

σ

Σύγκρουση για

r=σ

Όγκος κυλίνδρου:

Αριθμός μορίων στον κύλινδρο:

Αριθμός συγκρούσεων στον κύλινδρο:

Μέση ελεύθερη διαδρομή =

2 2V s t

2 Nt

V

2 Nt

V

2 2

1t

N Nt

V V

Μήκος σε χρ. Δt

Αριθμ. συγκρ. σε Δt

Σε χρόνο Δt

το μόριο Α

σαρώνει

κύλινδρο

μήκους Δs

και ακτίνας σ.

Α

s t σ

Μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων

λ αέρα στην επιφάνεια της θάλασσας~0.1 μm

λ αέρα σε ύψος 100 km ~ 20 cm

λ αέρα σε ύψος 300 km ~ 20 km

Κατανομή μοριακών ταχυτήτων

Maxwell-Boltzmann

2

3/ 2

/ 2

( , , ) ( ) ( ) ( )

2B

x y z x y z x y z x y z

m k T

x y z

B

d d d d d d

me d d d

k T

• Κατανομή ταχυτήτων σε 1-διεύθυνση (πυκνότητα πιθανότητας)

2

1/ 2

/ 2( )

2x Bm k T

x

B

me

k T

• Κατανομή ταχυτήτων σε 3-διευθύνσεις (θεώρημα σύνθετης πιθανότητας: η σύνθετη πιθανότητα είναι το

γινόμενο των μερικών πιθανοτήτων)

φ

υx

Κατανομή μοριακών ταχυτήτων

σε 1-διεύθυνση

2 2 22

x y z

Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας

(συμμετρική κατανομή)

Απλοποίηση με χρήση πολικών συντεταγμένων

2 2 2 2

2

r x y z

x r

y r

z r

dx dy dz r dr d d

Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας

2

,

3/ 2

/ 2 2

, ,

( )2

B

x y z

m k T

B

r x y z

me d d d

k T

Στοιχειώδης όγκος σε καρτεσιανές

συντεταγμένες = dxdydz

Στοιχειώδης όγκος σε πολικές

συντεταγμένες = (rημθdφ)(rdθ)dr

=r2ημθ dφdθdr

Εύρεση πιθανότητας για ταχύτητες μεταξύ υ και

υ+dυ

2

2

2

2

3/ 22

/ 2 2

0 0

3/ 2 2

/ 2 2

0 0

3/ 2

/ 2 2

3/ 2

/ 2 2

( )2

2

2 22

42

B

B

B

B

m k T

B

m k T

B

m k T

B

m k T

B

md e d d d

k T

me d d d

k T

me d

k T

me d

k T

2

3/ 2

/ 2 2( ) 42

M RTMe

RT

Κατανομή μοριακών ταχυτήτων MB:

1( )x dx x

a

Μη-συμμετρική κατανομή

φ(υ)

υ x 10-2 (m/s)

Κατανομή μοριακών ταχυτήτων

Maxwell-Boltzmann

2

3/ 2

/ 2 2( ) 42

M RTMe

RT

Εύρεση της μέσης ταχύτητας <υ>, της μέσης τετραγωνικής

ταχύτητας <υ2>1/2 και της πιθανότερης ταχύτητας υπ

2

3/ 2

/ 2 2

0 0

( ) 42

M RTd e dRT

2

2

3

0

3/ 2 2

2

2 14

2 2

bxRTx e dx

M

M RT

RT M

8RT

M

2

3/ 2

2 2 2 / 2 2

0 0

( ) 42

M RTd e dRT

2 1/ 2 3RT

M

dφ/dυ=0 2RT

M

23

2

0

1

2

bx dxx eb

3/ 2

42

Ma

RT

2

1

0 2

1

2

2

n bx dx

n

n

x e

b

Σχέση των τριών ταχυτήτων

2RT

M 8RT

M

2 1/ 2 3RT

M φ(υ)

υ x 10-2 (m/s)

Ασκήσεις [1] Να βρεθεί ο αριθμός των ατόμων του αέρα σε ένα κυβικό μικρόμετρο (κανονικές συνθήκες

και ιδανική συμπεριφορά) (Τ=300 Κ και P=1 atm)

(1atm=1.01x105Ν/m2=1.01x105Pa).

[2] Να υπολογισθεί η απόσταση των ατόμων ενός ιδανικού αερίου σε κανονικές συνθήκες

(Τ=300 Κ και P=1 atm)

(1atm=1.01x105Ν/m2=1.01x105Pa).

[3] Να βρεθεί η μέση ελεύθερη διαδρομή μορίων οξυγόνου σε κανονικές συνθήκες

θερμοκρασίας (Τ=300 Κ) και πίεσης (P=1 atm) και ιδανική συμπεριφορά (μοριακή

διάμετρος=2.9Å)

(1atm=1.01x105Ν/m2=1.01x105Pa).

[4] Στον παρακάτω πίνακα η πρώτη σειρά δίνει την πίεση ενός αερίου σε θερμόμετρο αερίου

σταθερού όγκου όταν το αέριο περιβάλλεται από μια συσκευή νερού στο τριπλό σημείο. Η

δεύτερη σειρά δίνει την πίεση του ίδιου αερίου όταν το θερμόμετρο αερίου σταθερού όγκου

περιβάλλει ένα υλικό άγνωστης θερμοκρασίας. Υπολογίστε τη θερμοκρασία ιδανικού

αερίου T του υλικού.

PTP (kPa) : 133.32 99.992 66.661 33.331

P (kPa): 204.69 153.54 102.37 51.190

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του

εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο

Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου

Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:• Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1116 .

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Γ. Φλούδας. «Θερμοδυναμική. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1116 .

Σημείωμα Αδειοδότησης• Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού -Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη.

• [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/