zspgrot.edu.plzspgrot.edu.pl/files/ND6.-Karkocha.docx · Web viewAby narysować wykres funkcji kwadratowej y = ax 2 + bx + c należy wyznaczyć:1. miejsca zerowe (o ile istnieją),

1 Tfg wych. K.Banach 21.04.2020

Temat: Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi OX. /str.163 -165/

Materiały pomocnicze: https://www.geogebra.org/m/qkyrYFN5 https://szaloneliczby.pl/symetria-wzgledem-osi-ox-oy-oraz-punktu-00/ OBEJRZEĆ MATERIAŁY POMOCNICZE Przeczytaj przykłady w podręczniku. Przepisz notatkę do zeszytu.

Rysowanie wykresu funkcji y = - f(x).

Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu y = f(x), odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OX.

Przykład 1

Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) na rysunku niebieski wykres , mamy narysować wykres funkcji y = - f(x). Zgodnie z powyższym odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OX. Tzn.:

Wykres czerwony przedstawia wykres funkcji y = - f(x).

Porównujemy własności funkcji:

Funkcja D ZW x0 f↑ f↓ f→ fmax fmin

y = f(x) < -2; 5> <- 4; 2> 0 i 5 <-2; 1> <3;5> <1;3> 2 - 4y = - f(x) < -2; 5> <- 2; 4> 0 i 5 <3;5> <-2; 1> <1;3> 4 - 2

Zmiany widać w: zbiorze wartości, przedziałach monotoniczności, wartości największej i najmniejszej.

Samodzielnie wg. powyższego przykładu łącznie z tabelką wykonać zad.1 str. 165

praca domowa: zad. 1 powtórzenie str. 165 / jak wyżej/

https://szaloneliczby.pl/symetria-wzgledem-osi-ox-oy-oraz-punktu-00/

https://www.geogebra.org/m/qkyrYFN5

22.04.2020Temat: Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi OY. /str.166 -168/

Materiały pomocnicze: https://www.geogebra.org/m/qkyrYFN5 http://www.matematykam.pl/transformacje_wykresu_funkcji.html OBEJRZEĆ MATERIAŁY POMOCNICZE Przeczytaj przykłady w podręczniku. Przepisz notatkę do zeszytu.

Rysowanie wykresu funkcji y = f( - x).

Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu y = f(x), odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OY.

Przykład 2

Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) na rysunku niebieski wykres, mamy narysować wykres funkcji y = f( - x). Zgodnie z powyższym odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OY. Tzn.:

Wykres czerwony przedstawia wykres funkcji y = f ( - x).



y = f(x) < -2; 5> <- 4; 2> 0 i 5 <-2; 1> <3;5> <1;3> 2 - 4y = f( - x) < -5; 2> <- 4; 2> - 5 i 0 <-5;-3> <-3;-1> <-1;3> 2 - 4

Zmienia się dziedzina, przedziały monotoniczności oraz miejsca zerowe.

Samodzielnie wg. powyższego przykładu łącznie z tabelką wykonać ćw.2 str. 166 oraz ćw. 3 str.167 praca domowa: zad. 1 str. 167 / jak wyżej/

Termin oddania: do 25 kwietnia

Temat: Inne przekształcania wykresu funkcji.

Oprócz symetrii względem prostych pionowych i poziomych, kolejnym przekształceniem, które przekształca wykres danej funkcji na wykres pewnej (być może innej) funkcji jest symetria środkowa.

Twierdzenie Jeżeli wykres funkcji f odbijemy symetrycznie względem punktu (0;0), to otrzymamy wykres funkcji określonej wzorem: k(x) = − f (−x)

http://www.matematykam.pl/transformacje_wykresu_funkcji.html


Teza twierdzenia wynika natychmiast z faktu, że symetria środkowa względem punktu (0;0) oznacza dokładnie to samo, co złożenie symetrii względem osi OX i OY (tzn.: ten sam efekt uzyskamy odbijając symetrycznie wykres f najpierw względem osi - powiedzmy - OX, a potem OY).

Twierdzenie: Jeżeli te części wykresu funkcji f, które leżą poniżej osi OX odbijemy symetrycznie względem osi OX, a pozostałe części pozostawimy bez zmian, to otrzymamy wykres funkcji określonej wzorem: k(x)=|f(x)|

Na koniec rozważań o przekształceniach wykresu funkcji, przyjrzymy się związkowi pomiędzy wykresem funkcji f, a wykresem funkcji g danej wzorem: g(x)= a f (b⋅x), gdzie a i b to pewne liczby rzeczywiste.

Twierdzenie: Aby z wykresu funkcji f uzyskać wykres funkcji g(x)=a f(x) należy wykres funkcji f - rozciągnąć a razy w kierunku pionowym, gdy a > 1

- ścisną 1a razy w kierunku pionowym, gdy 0 < a < 1.

Twierdzenie: Aby z wykresu funkcji f uzyskać wykres funkcji g(x)=f (bx) należy wykres funkcji f - ścisnąć b razy w kierunku poziomym, gdy b>1

- rozciągnąć 1b razy w kierunku poziomym, gdy 0<b<1.

Klasa 1 TM wych. W. BugajskiTemat: Przesunięcie wykresu o wektor [ p; q ]. /str. 176 -177/ 20.04.2020

Materiały pomocnicze: https://www.matemaks.pl/przesuniecia-wykresow-funkcji.html

Notatka:Przesunięcie wykresu o wektor [ p; q ].

W zasadzie jest to połączenie dwóch poprzednich sytuacji: przesunięcie wykresu o wektor [ p; q ] to dokładnie to samo, co jednoczesne przesunięcie o p jednostek wzdłuż osi OX i q jednostek wzdłuż osi OY. Wzór przesuniętej funkcji przyjmuje postać: y = f ( x – p ) + q

Przykład: Przesuwamy wykres funkcji f(x) = x 2 a) o 3 jednostki w lewo, p = - 3 b) o 3 jednostki w prawo, p = 3 i o 2 jednostki w górę, q = 2 i o 2 jednostki w dół q = -2 czyli o wektor [ -3; 2 ] czyli o wektor [ 3; -2 ]

Pierwszy wykres przedstawia parabolę y = (x + 3)2 +2, a drugi parabolę y = ( x – 3)2 - 2.

samodzielnie ćw. 2 str. 176 - do każdego nowo otrzymanego wykresu podaj następujące własności: dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności i miejsca zerowe /o ile istnieją/.

Praca domowa: termin oddania zad.3 str. 177, do 27 kwietnia

21.04.2020

Temat: Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi układu współrzędnych. /str.178 -181/


1. Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi OX.

Rysowanie wykresu funkcji y = - f(x).Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu y = f(x), odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OX.Przykład 1




https://www.matemaks.pl/przesuniecia-wykresow-funkcji.html




y = f(x) < -2; 5> <- 4; 2> 0 i 5 <-2; 1> <3;5> <1;3> 2 - 4y = - f(x) < -2; 5> <- 2; 4> 0 i 5 <3;5> <-2; 1> <1;3> 4 - 2


Samodzielnie wg. powyższego przykładu łącznie z tabelką wykonać ćw.2 str. 179

2. Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi OY.

Materiały pomocnicze: https://www.geogebra.org/m/qkyrYFN5 http://www.matematykam.pl/transformacje_wykresu_funkcji.html Rysowanie wykresu funkcji y = f( - x).Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu y = f(x), odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OY.

Przykład 2Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) na rysunku niebieski wykres, mamy narysować wykres funkcji y = f( - x). Zgodnie z powyższym odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OY. Tzn.:






y = f(x) < -2; 5> <- 4; 2> 0 i 5 <-2; 1> <3;5> <1;3> 2 - 4y = f( - x) < -5; 2> <- 4; 2> - 5 i 0 <-5;-3> <-3;-1> <-1;3> 2 - 4



praca domowa: zad. 1 str. 181, zad. 3 str. 181 /do wykresów zrobić tabelki własności, tak jak pokazano w notatce z lekcji/


Temat: Inne przekształcania wykresu funkcji. / str. 183- 185/ 23.04.2020Przeczytaj przykłady w podręczniku. Przepisz notatkę do zeszytu.




Wykresy funkcji z wartością bezwzględną str. 183- 185 / przeczytaj przykłady/







1 t m wych. Z. Karkocha

Temat: Równanie prostej na płaszczyźnie 20.04.2020

MATERIALY POMOCNICZE: https://zadaniacke.pl/teoria/rownanie-kierunkowe-i-ogolne-prostej/ https://epodreczniki.pl/a/rownanie-prostej-w-postaci-ogolnej-oraz-w-postaci-kierunkowej/DCbDXANfK podręcznik: str.197- 199przeczytaj przykłady

1.Postać kierunkowa funkcji liniowej: y = ax + b.

Na podstawie postaci kierunkowej możemy wyznaczyć wiele własności funkcji liniowej. przykład: Wypisz współczynniki prostej y = 3x - 7 a = 3 b = -7

2. Równanie Ax + By + C = 0 gdzie A ≠0 lub B ≠0 nazywamy równaniem ogólnym prostej. przykład: Wypisz współczynniki prostej 3x - 4y + 6 = 0

A = 3 B = -4 C = 6

Do samodzielnego wykonania

Ćwiczenie1: Wypisz współczynniki prostej o równaniu:a) y = -2x + 9b) -3x + y + 2c) 6y + 6 = 2xd) y = x + 1

Ćwiczenie2: Napisz równanie prostej, wiedząc że:a) a = - 3, b = 1b) a = 9 , b = 4c) A = -1 B = -3 C = 4d) A = 0 B = 6 C = 1

przykład:Naszkicuj wykres prostej określonej wzorem: 2x – y - 3 = 0

Najpierw z postaci ogólnej przechodzimy na kierunkową:y = 2x – 3 ;sporządzamy tabelkę lub wyznaczamy punkty przecięcia z osiami układu współrzędnychOY: ( 0; b) = ( 0 ;-3)

OX: ( −ba ; 0 ) = (

32 ; 0 ) rysujemy układ, zaznaczamy punkty,

prowadzimy przez nie prostą.

PRACA DOMOWA: Zad.3 a, b, c, d str.199

Temat: Współczynnik kierunkowy prostej 22.04.2020

podręcznik str: 200 - 202 przeczytaj przykładynotatka poniżej

1. Współczynnik kierunkowy „a” decyduje o kącie nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi X. Współczynnik kierunkowy obliczamy ze wzoru:

a=y2− y1

x2−x1,

gdzie (x1,y1) i (x2,y2) są współrzędnymi dwóch punktów należących do wykresu funkcji.

Przykład: Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A (-2; 3) B(2; 5).Mamy trzy metody: układ równań, wzór – tablice żółte, za pomocą współczynnika kierunkowego. Teraz pokazujemy tę trzecią.

y = ax + b ; a = y2− y1

x2−x1 = podstaw współrzędne punktów i przelicz, otrzymasz a =

12

podstawiam do wzoru w miejsce a; otrzymuję poniżej zapisany wzór funkcji, ale brakuje jeszcze wartości współczynnika b

y = 12x + b podstawiam współrzędne punktu B(2; 5) w miejsce x i y.

5 = 12 ∙2 + b przelicz,

b = 4 uzupełniam wzór funkcji

Odp. y = 12x + 4

Do samodzielnego wykonania zad.3 przykłady: a, b, str.202

2. Interpretacja współczynnika kierunkowego Str. 201 przeczytaj i przenieś rysunek z komentarzem do zeszytu.

pamiętaj! Trójkąty rysujemy o wierzchołkach w punktach kratowych; jeżeli a jest ujemne idziemy wzdłuż osi OY w dół.Przykład:

Y = 34x−2

a = 34 mówi wzrostowi argumentu/ idąc wzdłuż osi OX w prawo /o 4 jednostki odpowiada wzrost

wartości funkcji o 3 jednostki / idziemy wzdłuż osi OY w górę/ b = -2 mówi gdzie prosta przecina oś OY ( 0; b)1Rysujemy układ,2 zaznaczamy punkt OY ( 0; b) = ( 0; -2 ),3 od tego punktu idziemy 4 jednostki w prawo, a później 3 jednostki w górę 4 otrzymasz punkt ( 4; 1 )5 rysujesz prostąDo samodzielnego wykonania: ćwiczenie 3 – a, c oraz ćwiczenie 4 – a, c str. 201

PRACA DOMOWA: zad.3 przykłady: d, e str.202 ćwiczenie 3 – b, d oraz ćwiczenie 4 – b, d str. 201

Temat: Warunek prostopadłości i warunek równoległości prostych 24.04.2020

MATERIALY POMOCNICZE: https://www.matemaks.pl/proste-rownolegle-i-prostopadle.html https://epodreczniki.pl/a/proste-rownolegle-proste-prostopadle/DePf7G83i wejdź na te strony przeczytaj i poćwiczPodręcznik str.187 - 189 proste równoległe; str.204 – 207 proste prostopadłe

notatka1. Dwie proste: k: y = ax + b i l: y = a1x + b1 są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe

są równe, czyli: a = a1

przykład:Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej k: 2x – 3y + 1 = 0 przechodzącej przez punkt A( -2,7).

2x – 3y + 1 = 0 przechodzimy z postaci ogólnej na kierunkową – 3y = - 2x - 1 /(-3)

y = 23x+1

3

proste są równoległe gdy mają równe współczynniki kierunkowe, a = a1

l: y = = 23x + b podstawiamy współrzędne punktu A

7 = 23∙(−2) + b

b = 813

Odp. Równanie prostej równoległej do prostej k ma postać: l: y = = 23x + 8

13

Do samodzielnego wykonania zad.5 str.189, zad.10 str.189

2. Dwie proste: k: y = ax + b i l: y = a1x + b1 są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe

spełniają warunek, czyli a ∙ a1 = -1 / inaczej a = - 1a1

/

przykład:Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej k: x – 2y + 3 = 0 przechodzącej przez punkt C( -1; 2).

k: x – 2y + 3 = 0 przechodzimy z postaci ogólnej na kierunkową, patrz przykład wyżej

k: y = 12x+ 3

2 , a = 12

proste prostopadłe spełniają warunek: a ∙ a1 = - 1

zatem 12 ∙ a1 = - 1 /∙ 2

a1 = -2 podstawiamy do wzoru funkcji wartość współczynnika l: y = -2x + b teraz podstawiamy współrzędne punktu C, aby wyznaczyć wartość b 2 = - 2 ( - 1) + b b = 0

odp. Równanie prostej prostopadłej do prostej k ma postać: l: y = -2x Do samodzielnego wykonania zad.1 str.206

PRACA DOMOWA: Zad.4 d str. 207

Klasa 1 Ti wych.M.CichońTemat: Przesunięcie wykresu o wektor [ p; q ]. /str. 176 -177/ 20.04.2020

Materiały pomocnicze: https://www.matemaks.pl/przesuniecia-wykresow-funkcji.html

Notatka:Przesunięcie wykresu o wektor [ p; q ].

W zasadzie jest to połączenie dwóch poprzednich sytuacji: przesunięcie wykresu o wektor [ p; q ] to dokładnie to samo, co jednoczesne przesunięcie o p jednostek wzdłuż osi OX i q jednostek wzdłuż osi OY. Wzór przesuniętej funkcji przyjmuje postać: y = f ( x – p ) + q

Przykład: Przesuwamy wykres funkcji f(x) = x 2 a) o 3 jednostki w lewo, p = - 3 b) o 3 jednostki w prawo, p = 3 i o 2 jednostki w górę, q = 2 i o 2 jednostki w dół q = -2 czyli o wektor [ -3; 2 ] czyli o wektor [ 3; -2 ]

Pierwszy wykres przedstawia parabolę y = (x + 3)2 +2, a drugi parabolę y = ( x – 3)2 - 2.

samodzielnie ćw. 2 str. 176 - do każdego nowo otrzymanego wykresu podaj następujące własności: dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności i miejsca zerowe /o ile istnieją/.

Praca domowa: termin oddania zad.3 str. 177, do 27 kwietnia

21.04.2020

Temat: Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi układu współrzędnych. /str.178 -181/


1. Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi OX.



https://www.matemaks.pl/przesuniecia-wykresow-funkcji.html

Rysowanie wykresu funkcji y = - f(x).Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu y = f(x), odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OX.Przykład 1





y = f(x) < -2; 5> <- 4; 2> 0 i 5 <-2; 1> <3;5> <1;3> 2 - 4y = - f(x) < -2; 5> <- 2; 4> 0 i 5 <3;5> <-2; 1> <1;3> 4 - 2



2. Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi OY.

Materiały pomocnicze: https://www.geogebra.org/m/qkyrYFN5 http://www.matematykam.pl/transformacje_wykresu_funkcji.html Rysowanie wykresu funkcji y = f( - x).Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu y = f(x), odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OY.

Przykład 2Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) na rysunku niebieski wykres, mamy narysować wykres funkcji y = f( - x). Zgodnie z powyższym odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi OY. Tzn.:






y = f(x) < -2; 5> <- 4; 2> 0 i 5 <-2; 1> <3;5> <1;3> 2 - 4y = f( - x) < -5; 2> <- 4; 2> - 5 i 0 <-5;-3> <-3;-1> <-1;3> 2 - 4



praca domowa: zad. 1 str. 181, zad. 3 str. 181 /do wykresów zrobić tabelki własności, tak jak pokazano w notatce z lekcji/


Temat: Inne przekształcania wykresu funkcji. / str. 183- 185/ 24.04.2020Przeczytaj przykłady w podręczniku. Przepisz notatkę do zeszytu.




Wykresy funkcji z wartością bezwzględną str. 183- 185 / przeczytaj przykłady/







2 Tgg wych. A. Haczyk

Temat: Dzielenie wielomianów (2) 20.04.2020

Podręcznik: str.30 – 33;

Materiały pomocnicze: https://www.matemaks.pl/dzielenie-wielomianow.html

Proszę przeczytać przykłady w podręcznikuNotatka poniżej do zeszytu, samodzielnie wykonane przykłady pod danym ćwiczeniem. przypomnienie

Metoda dzielenia wielomianówW praktyce algorytm dzielenia wielomianów podobny jest do dzielenia liczb całkowitych, gdzie podczas dzielenia otrzymujemy iloraz i resztę z dzielenia.

Aby podzielić wielomian W(x) przez wielomian P(x) należy:1. Uporządkować dwa wielomiany (zapisać ich wyrazy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi zmiennej)2. Podzielić pierwszy wyraz dzielnej W(x) przez pierwszy wyraz dzielnika P(x)3. Otrzymany jednomian pomnożyć przez dzielnik i odjąć od dzielnej. W wyniku odejmowania powstaje reszta R1(x)

https://www.matemaks.pl/dzielenie-wielomianow.html

4. Pierwszy wyraz reszty R1(x) należy podzielić przez pierwszy wyraz dzielnika P(x)5. Otrzymany jednomian należy pomnożyć przez dzielnik i odjąć od reszty R1(x). W wyniku odejmowania powstaje reszta R2(x)6. Punkty 4 - 5 powtarzamy do uzyskania reszty równej zero lub reszty, której stopień jest niższy od stopnia dzielnika P(x).

Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) nie będący wielomianem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian Q(x) taki, że W(x)=Q(x)⋅P(x).

Jeżeli W(x) i P(x) są wielomianami oraz P(x)≠0, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że W(x) = Q(x) ⋅ P(x) + R(x),przy czym albo wielomian R(x)=0 albo stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x). Wielomian R(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x).

Ćwiczenie 3 str. 32 Przykład d: Zapisz wielomian w(x) w postaci w(x) = q(x) ⋅ p(x) + r(x),w(x) = 3x4 – x2 + 9x – 1 q(x) = x + 2

3x3 - 6x2 + 11x -13

3 x4−x2+9 x❑−1 : ( x+2 ) - dzielimy 3x4 przez pierwszy wyraz dzielnika, czyli x

−(3 x4+6 x3 ) - mnożymy dzielnik przez 3x3, odejmujemy = - 6x3 - x2 - dzielimy ( -6x3) przez pierwszy wyraz dzielnika, czyli x - (−6 x3−12 x2 ) - mnożymy dzielnik przez ( -6x2), odejmujemy = 11 x2+ 9x - dzielimy ( 11x2) przez pierwszy wyraz dzielnika, czyli x - (11 x2+22x¿)¿ - mnożymy dzielnik przez ( 11x), odejmujemy = - 13x -1 - dzielimy ( 11x) przez pierwszy wyraz dzielnika, czyli x - ( −13 x−26) = 25 = reszta z dzielenia

zatem p(x) = 3x3 – 6x2 + 11x - 13 r(x) = 25

w(x) = q(x) ⋅ p(x) + r(x) czyli

odp. w(x) = (x + 2) (3x3 – 6x2 + 11x - 13) + 25

SAMODZIELNIE PRZYKLADY: a, b, Praca domowa: zad. 2 – a, b str.32 ; zad. 3 – a, b str. 32

Temat: Równość wielomianów . 21.04.2020

Podręcznik: str.34 – 35;

Materiały pomocnicze: https://www.matemaks.pl/rownosc-wielomianow.html

Proszę przeczytać przykłady w podręczniku, zajrzeć do materiałów pomocniczych / naprawdę warto/Notatka poniżej do zeszytu, samodzielnie wykonane przykłady pod danym ćwiczeniem.

TWIERDZENIE:Dwa wielomiany są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Przykład:Wyznacz wartości parametrów a, b, c tak, aby wielomiany: W(x) = (a + 1)x3 + 3x2 - 5cx - 2, P(x) = 2x3 + bx2 - 12x - 2 były równe.

Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach obu wielomianów.

Odp. Wielomiany W(x) i P(x) są równe dla a = 1, b = 3, c = 2,4.

Przykłady do samodzielnego rozwiązania:a) czy istnieje taka liczba m, dla której podane wielomiany są równe? 1. W(x) = x3 – 3mx2 – 9x -1 i P(x) = x3 + 12x2 + (2m – 1)x -1 2. R(x) = x3 – 3mx2 + 7x i S(x) = x3 + 6x2 + (m + 1)x

b) wskaż wszystkie takie pary liczb a i b , dla których wielomiany są równe. W(x) = x3 – 2ax2 + bx +1 i P(x) = x( x – (a + b)) ( x – 2) +1

c) czy istnieje taka liczba a, dla której wielomiany poniżej są równe?W(x) = 5x4 – 2x3 + a2x2 + x + 2 i P(x) = 5x4 – ax3 + 4x2 + x + 2

Temat: Dzielenie wielomianów – twierdzenie o reszcie. 22.04.2020

Podręcznik: str.36;

https://www.matemaks.pl/rownosc-wielomianow.html

Materiały pomocnicze: https://www.matmana6.pl/dzielenie-wielomianow

Proszę przeczytać przykłady w podręczniku

Notatka poniżej do zeszytu, samodzielnie wykonane przykłady pod danym ćwiczeniem.

przypomnienie: Jeżeli W(x) i P(x) są wielomianami oraz P(x)≠0, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że W(x) = Q(x) ⋅ P(x) + R(x),przy czym albo wielomian R(x)=0 albo stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x). Wielomian R(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x).

Twierdzenie: O reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian ( x – a)str.36Jeśli r jest resztą z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian ( x – a ), to r = w(a) .

Ćwiczenie 2 str. 36Oblicz resztę z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian q(x), nie wykorzystując dzielenia.

b) w(x) = 4x3 – 4x2 – x + 1, q(x) = x - 12

stosujemy twierdzenie powyżej, nasze a wynosi: 12 / obliczamy wartość wielomianu w dla

12 /

r = w(a) = w( 12 ) = 4(

12)3 – 4(

12¿2 -

12 + 1 = 4 ∙

18−4 ∙ 1

4 - 12 + 1 =

12−1−1

2+1 = 0

odp. Reszta z dzielenia wynosi 0.

d) w(x) = x5 + x4 – x3 – x + 6, q(x) = x + 2stosujemy twierdzenie powyżej, nasze a wynosi: ( - 2) / obliczamy wartość wielomianu w dla (-2) /r = w(a) = w(-2) = (-2)5 + (-2)4 - (-2)3 - (-2) + 6 = - 32 – 16 – ( - 8) +2 + 6 = - 48 + 16 = - 32odp. Reszta z dzielenia wielomianu wynosi ( - 32) .

SAMODZIELNIE PRZYKLADY: a, c, Praca domowa: zad. 1 str.38 Termin nadsyłania prac: do 25 kwietnia 2020r.

2 Tmi wych. A. Chabior 20 - 21.04.2020

Temat: Pierwiastki całkowite i pierwiastki wymierne wielomianu.

Podręcznik: str.40 - 43;

Materiały pomocnicze: https://www.matmana6.pl/pierwiastki-wymierne-wielomianu-o-wspolczynnikach-calkowitych /łącznie z zad. 1i 2/


Notatka poniżej do zeszytu.

https://www.matmana6.pl/pierwiastki-wymierne-wielomianu-o-wspolczynnikach-calkowitych

https://www.matmana6.pl/pierwiastki-wymierne-wielomianu-o-wspolczynnikach-calkowitych

https://www.matmana6.pl/dzielenie-wielomianow

Jeżeli wielomian ma wszystkie współczynniki całkowite, to można wyznaczyć jego pierwiastki całkowite oraz wymierne (o ile istnieją).

Twierdzenie 1. Załóżmy, że: an, an−1,…, a2, a1, a0 są liczbami całkowitymi oraz an ≠ 0.Wówczas jeżeli równanie:

an xn + an−1 xn−1 +…+ a2x2 +a1x + a0 = 0

ma pierwiastek całkowity c, to c jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0.

Przykład 1.Wyznacz pierwiastki całkowite wielomianu W(x) = x4 + 2x3 − 13x2 + 4x − 30.

współczynniki liczbowe wynoszą: a4 = 1 a3 = 2 a2 = -13 a1 = 4 a0 = -30 / wszystkie są liczbami całkowitymi, zatem możemy skorzystać z powyższego twierdzenia/

Rozwiązanie:Pierwiastków całkowitych wielomianu szukamy tylko wśród dzielników wyrazu wolnego −30. Dzielnikami liczby −30 są:

−1, 1, −2, 2, −3, 3, −5, 5, −10, 10, −15, 15, −30, 30Sprawdzamy wszystkie liczby po kolei: W(−1) = (−1)4 + 2⋅(−1)3 − 13⋅(−1)2 + 4⋅(−1) – 30 = 1−2−13−4−30 = −48 ≠ 0W(1) = 14+ 2⋅13− 13⋅12 + 4⋅1− 30 =1 + 2−13+4−30 = −36 ≠ 0W(−2) = (−2)4+2⋅(−2)3−13⋅(−2)2+4⋅(−2)−30 = 16 −16 −52 −8 −30 = −90 ≠ 0W(2) = 24 + 2⋅23 −13⋅22 + 4⋅2 −30 =16 +16 −52 +8−30 = −42 ≠ 0W(−3) = (−3)4 +2⋅(−3)3 −13⋅(−3)2 + 4⋅(−3) −30 = 81− 54− 117−12− 30 = −132 ≠ 0W(3) = 34+ 2⋅33 − 13⋅32 + 4⋅3−30 = 81+ 54− 117+ 12− 30 = 0 ⇒3 jest pierwiastkiemW(−5) = (−5)4 +2⋅(−5)3 −13⋅(−5)2 +4⋅(−5) −30 = 625 −250 – 325 −20−30 = 0 ⇒ −5 jest pierwiastkiemW(5) = 54 +2⋅53 −13⋅52 +4⋅5 −30 = 625 +250 −325 +20 −30 = 540 ≠0Wartości wielomianu dla kolejnych dzielników przedstawię już bez wykonywania szczegółowych obliczeń: W(−10)=6630≠0W(10)=10710≠0W(−15)=40860≠0W(15)=54480≠0W(−30)=744150≠0W(30)=852390≠0

Odpowiedź: Całkowitymi pierwiastkami wielomianu W(x) są: x = 3 oraz x = −5.

Uwaga! Zazwyczaj nie trzeba wykonywać szczegółowych obliczeń dla wszystkich dzielników. Dla wielu liczb od razu "na oko" widać, że wielomian dla nich się nie wyzeruje.Ponadto zawsze warto zacząć sprawdzanie od najmniejszych dzielników. samodzielnie wykonane przykłady: zad.1 a, b str.42

Twierdzenie 2. Załóżmy, że: an, an−1,…, a2, a1, a0 są liczbami całkowitymi oraz an ≠ 0.Wówczas jeżeli równanie: an xn + an−1 xn−1 +…+ a2x2 +a1x + a0 = 0

ma pierwiastek wymierny pq to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest dzielnikiem współczynnika an.

Przykład 2.Wyznacz pierwiastki wymierne wielomianu W(x) = 3x3 − x2 + 3x − 1.

współczynniki liczbowe wynoszą: a3 = 3 a2 = -2 a1 = 3 a0 = -1 / wszystkie są liczbami całkowitymi, zatem

możemy skorzystać z powyższego twierdzenia/

Rozwiązanie:

Pierwiastków wymiernych wielomianu szukamy wśród liczb postaci pq , gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego

(czyli liczby a0 = −1), a q jest dzielnikiem współczynnika przy x3 ( czyli liczby a3 = 3). Zatem liczba p może być równa:

−1, 1a liczba q może być równa:

−1, 1, −3, 3Zatem liczby postaci

pq , które mogą być pierwiastkami wymiernymi wielomianu, to:

−1, 1, −13, 1

3Sprawdzamy wszystkie liczby po kolei: W(−1) = 3⋅(−1)3− (−1)2 + 3⋅(−1) – 1 = −3 – 1 – 3 − 1= −8 ≠ 0W(1) = 3⋅13 − 12 + 3⋅1 −1= 3− 1+ 3− 1= 4 ≠ 0W(−1

3 ) = 3⋅(−13)3 − (− 1

3)2 + 3⋅(−13) − 1 = − 1

9 − 19 −1 −1 = −22

9 ≠ 0

W(13 )= 3⋅( 1

3)3 − (13 )2 + 3⋅(1

3 ) − 1 = 19 − 1

9 + 1 − 1 = 0

Odpowiedź: Jedynym pierwiastkiem wymiernym wielomianu W(x) jest x = 13 .

Uwaga!Tego typu zadania można również rozwiązywać rozkładając wielomian na iloczyn czynników:

W(x) = 3x3 − x2 + 3x – 1 = x2(3x − 1) + (3x − 1) = (3x − 1)(x2 + 1)Teraz z postaci iloczynowej od razu widać, że jedynym pierwiastkiem wielomianu jest x = 1

3 .

Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu stosujemy wtedy, gdy nie jesteśmy w stanie rozłożyć wielomianu na iloczyn czynników.samodzielnie wykonać; polecenie: Wyznacz pierwiastki wymierne wielomianu - przykłady z zad.1 – e str.42 i zad.2 –d str.42

Z powyższych własności korzystamy, gdy nie możemy rozwiązać równania wykorzystując rozkładu na czynniki.

Przykład 3.Rozwiąż równanie: 2x4 – 7x3 + 2x2 + 3x = 0 x( 2x3 – 7x2 + 2x + 3 ) = 0 /wyłączamy x przed nawias, stąd mamy x = 0 lub 2x3 – 7x2 + 2x + 3 = 0 / otrzymaliśmy pierwszy pierwiastek, jest równy zero musimy teraz rozwiązać drugi czynnik, nie możemy go pogrupować zatem szukamy pierwiastka całkowitego tw.1 by móc wykonać dzielenie;

2x3 – 7x2 + 2x + 3 założenie tw.1 jest spełnione a3 =2, a2 = -7 , a1 = 2, a0 = 3wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego a0 = 3, są to : 1, 2, 3 sprawdzamy czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem tego wielomianu;

W(1) = 2( 1)3 – 7( 1)2 + 2(1) + 3 = 2 – 7 + 2 +3 = 0 - otrzymaliśmy drugi pierwiastek naszego równania, stosujemy teraz tw. Bezouta , czyli dzielimy wielomian 2x3 – 7x2 + 2x + 3 przez dwumian ( x – 1)

2x3 – 7x2 + 2x + 3 : ( x – 1) = 2x2 - 5x - 3- (2x 3 – 2x 2 ) = - 5x2 + 2x

- (- 5x 2 + 5x ) = -3x + 3 - (- 3x + 3 ) = 0zatem 2x3 – 7x2 + 2x + 3 = ( 2x2 - 5x – 3 ) ( x – 1) teraz wystarczy rozwiązać równanie kwadratowe 2x2 - 5x – 3 = 0 / rozpisać krok po kroku/ ∆ = 25 + 24 =49

x1 = - 12 x2 = 3

Odpowiedź: Równanie ma cztery różne rozwiązania/ pierwiastki/ : - 12, 0, 1 i 3.

Praca domowa: zad.2 – b, d str.42

Temat: Pierwiastki wielokrotne wielomianu. 23.04.2020


Materiały pomocnicze: https://www.matmana6.pl/krotnosc-pierwiastka-wielomianu

Proszę przeczytać przykłady w podręcznikuNotatka poniżej do zeszytu.

Do wyznaczenia pierwiastków wielomianu oraz ich krotności, należy rozłożyć wielomian na iloczyn czynników.Wówczas krotność pierwiastka wielomianu, to potęga nawiasu, który zeruje dany pierwiastek.przepisać definicję str.45 oraz twierdzenie str.46

Przykład 1.

Dla wielomianu zapisanego w postaci iloczynowej łatwo jest odczytać pierwiastki i ich krotności:

Przykład 2.

Dla wielomianu W(x)=( x + 2)7(x + 11)3( x − 5)2 wyznacz pierwiastki oraz ich krotności. Rozwiązanie:Pierwiastki wielomianu wyznaczamy rozwiązując proste równanie wielomianowe:

( x + 2)7(x + 11)3(x − 5)2=0 x +2 = 0 ∨ x+11= 0 ∨ x – 5 = 0

x = −2 ∨ x = −11 ∨ x=5Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

https://www.matmana6.pl/krotnosc-pierwiastka-wielomianu

Zapoznać się z przykładem 2 str.45samodzielnie wykonać: ćwiczenie 2 str. 45

Zapoznać się z przykładem 3 str.46samodzielnie wykonać: ćwiczenie 3 – a str. 46

Praca domowa: zad.1 – b, c, f str.47

Temat: Wykres wielomianu. 24.04.2020


Materiały pomocnicze: https://www.matmana6.pl/wykres-wielomianu


Notatka poniżej do zeszytu, samodzielnie wykonane przykłady pod danym ćwiczeniem. Metoda rysowania wykresu wielomianuŻeby narysować wykres wielomianu, wykonujemy kolejno następujące kroki:

Przekształcamy wzór wielomianu do postaci iloczynowej. Wyznaczamy miejsca zerowe (pierwiastki) wielomianu. Określamy krotności wyliczonych pierwiastków oraz stopień wielomianu. Rysujemy wykres wielomianu od lewej strony do prawej według schematu: o Rysujemy układ współrzędnych.o Na osi x-ów zaznaczamy wyliczone miejsca zerowe.o Określamy miejsce z którego zaczniemy rysować nasz wykres:

Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, to zaczynamy rysowanie z lewego górnego rogu układu współrzędnych.

Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, to zaczynamy rysowanie z lewego dolnego rogu układu współrzędnych.

Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, to zaczynamy rysowanie z lewego dolnego rogu układu współrzędnych.

Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, to zaczynamy rysowanie z lewego górnego rogu układu współrzędnych.

Rysujemy linię wykresu do najbliższego miejsca zerowego.Jeżeli dane miejsce zerowe ma krotność nieparzystą, to w tym miejscu wykres przebija oś x-ów.Jeżeli miejsce zerowe ma krotność parzystą, to w tym miejscu wykres odbija się od osi x-ów. Gdy już przejdziemy przez wszystkie miejsca zerowe, to kończymy rysowanie wykresu, pozwalając mu uciec do nieskończoności, po tej stronie osi x-ów, po której się znajduje.

https://www.matmana6.pl/wykres-wielomianu

Pomimo tego, że powyższy opis jest dość długi, to wykresy wielomianów rysuje się bardzo szybko i przyjemnie.

Przykład Naszkicuj wykres wielomianu W(x) = x2(x + 3)( x− 4)(x − 7)3.

Rozwiązanie:Wielomian dany jest już w postaci iloczynowej. Wyznaczamy zatem jego miejsca zerowe: x = 0 lub x = - 3 lub x = 4 lub x = 7 Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Nasz wielomian jest 7 stopnia (bo suma wykładników 2+1+1+3=7). Ponadto współczynnik liczbowy przy x7 jest dodatni (jest równy dokładnie 1). Co prawda, w podanej postaci iloczynowej wielomianu nie widać bezpośrednio wyrażenia x7, ale łatwo zauważyć, że po wymnożeniu wszystkich nawiasów otrzymamy x7 ze współczynnikiem liczbowym równym 1. Stopień wielomianu jest nieparzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od lewego dolnego rogu układu współrzędnych:

UwagaWielkość "górek i dołków", czyli tych miejsc gdzie wykres zawraca, nie ma znaczenia. Można wszystkie rysować tej samej wielkości. Na powyższym wykresie górka między pierwszym, a drugim miejscem zerowym jest największa, bo tak w rzeczywistości wygląda ten wykres. My jednak nie musimy tego wiedzieć i moglibyśmy równie dobrze narysować ją dużo mniejszą.

Przykład 3.

Naszkicuj wykres wielomianu W(x)=(x+4)2(x+1)(x−3).

Rozwiązanie:Wielomian jest dany w postaci iloczynowej, więc zaczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych: X =− 4 ∨ x = −1 ∨ x= 3Teraz określamy krotności tych pierwiastków:

Nasz wielomian jest stopnia 4, a współczynnik liczbowy przy x4 (po wymnożeniu nawiasów) jest dodatni (jest równy dokładnie 1).

Stopień wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od lewego górnego rogu układu współrzędnych:

Praca domowa: cw.4 str.51

2K wych. O. Cholewińska 22.04.2020

Temat: Punkty charakterystyczne paraboli y = ax2 +bx + c./str. 67– 70/

Przeczytać przykłady podane w podręczniku. /notatkę przepisać/

Wykresem funkcji kwadratowej jest krzywa zwana parabolą.

Aby narysować wykres funkcji kwadratowej y = ax2 +bx + c należy wyznaczyć:1. miejsca zerowe (o ile istnieją), czyli punkty przecięcie paraboli z osią OX; 2. współrzędne wierzchołka paraboli W(p; q);3. określić znak współczynnika „a” przy x2;4. współrzędne punktu przecięcia paraboli z osią OY: ( 0; c).

Przykład:

Dana funkcja: y = −x2− x + 2W celu naszkicowania wykresu:

1) wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej(o ile istnieją) – punkty przecięcia z osią OX. W zadaniach możesz to zrobić na kilka sposobów. W tym uogólnionym przypadku stosujesz wzory na miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Δ=b2−4⋅a⋅c = (−1)2−4⋅(−1)⋅2= 1+ 8= 9x1= −b−√∆

2a = −(−1)−32(−1) = −2

−2 =1 x2 = −b−√∆

2a = −(−1 )+32(−1) = -2

2) Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli

W (p,q) = (− 12;21

4 )P = − b2a = − 1

2

q = −∆4a = −9−4 = 21

4

3) Określam znak współczynnika „a” przy x2. Jeśli a > 0 to parabola jest skierowana ramionami do góry. Jeśli a < 0 parabola jest skierowana ramionami do dołu. W naszym przypadku a = -1 więc ramiona skierowane do dołu.

4) Wyznaczam punkt przecięcia paraboli z osią OY wstawiając do wzoru funkcji za x liczbę 0 (x = 0).Otrzymujemy:

y= − x2 − x+ 2= − 02− 0 + 2 = 2Zatem punkt przecięcia paraboli z osią OY ma współrzędne ( 0; c) = (0, 2)

5) Zaznaczamy wyznaczone punkty w układzie współrzędnych.

Otrzymaliśmy wykres naszej funkcji.

samodzielnie wykonać zadanie 2 str.68 /tabelkę przenieść do zeszytu, a wykres każdej z funkcji sporządzić w osobnym układzie współrzędnych.

Praca domowa: zad. 3 str. 68 termin oddania prac do 28 kwietnia

Klasa 4Tms 20 - 21.04.2020

Materiały pomocnicze: https://www.terazmatura.pl/moja-matura?_ga=2.252163786.2118162397.1585930966-482644900.1584454480

https://www.matemaks.pl/ /proszę korzystać /

Temat: Powtórzenie wiadomości – rozwiazywanie arkuszy maturalnych.

Zbiór zadań i zestawów maturalnych. Teraz matura.

– zestaw 10 str.143 / cały /.

Temat: Powtórzenie wiadomości – rozwiazywanie arkuszy maturalnych 22.04.2020.

Zbiór zadań i zestawów maturalnych. Teraz matura.

– zestaw 11 str.147 / cały/.

Termin oddania prac: do 23 kwietnia 2020r.

https://www.matemaks.pl/

https://www.terazmatura.pl/moja-matura?_ga=2.252163786.2118162397.1585930966-482644900.1584454480

http://matfiz24.pl/wp-content/uploads/2014/10/parabola_1014.png

Documents

zspgrot.edu.plzspgrot.edu.pl/files/ND6.-Karkocha.docx · Web viewAby narysować wykres funkcji kwadratowej y = ax 2 + bx + c należy wyznaczyć:1. miejsca zerowe (o ile istnieją),