006 ןולאש הקיטמתמב דוקימ horef 20095.pdf2009 ט "סשת ףרוח דוקימ תילילפ הריבע םניהו םירצוי תויוכז לש הר פה םיווהמ

© כל הזכויות בשפה העברית שמורות, 2008לחמן הכנה לבחינות בע"מ

אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני או אחר, כל חלק שהוא מהחומר שבספר זה. שימוש מסחרי מכל סוג

בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט, אלא ברשות מפורשת בכתב מהמו"ל.

נדפס בישראל 2008

שאלון 006

מיקוד במתמטיקהמהדורת חורף תשס"ט 2009

[email protected] - כתיבה: זיקרי אלברט, שמש שלמה

צוות עריכה מקצועית: ריטרבנד אוהד, נאות רז, מן מנחם, דוד ניר, ארביב עמוס, שטולבך

אירית, שניידר איתן, כהן רוני, פלד אולגה, גולברג קארין, אברג'יל עמי, שמש דקל, סובקו

אורית, כהן גת, חדד רועי, כוכבי דניאל, מליאנקר נירית, נאור יוסי

צוות עריכה והפקה: זיקרי אלברט, ליסוגורסקי מיכאל, פרחיה יבגני, זיקרי עינב

עיצוב עטיפה: פירמה

אלברט זיקרי ושלמה שמש, מהמורים הידועים והמובילים למתמטיקה בישראל, מנהלים את תחום המתמטיקה בחברת לחמן ומגישים אלפי תלמידים לבחינות מדי שנה, בהצלחה מרובה.

השניים בעלי תארי מהנדס B.S.C., כותבים מגוון ספרי לימוד ותרגול במתמטיקה ובראשם סדרת התרגול "אוסף תרגילים ממוינים ע"פ נושאים" הידועה והמבוקשת.

הניסיון הרב של השניים מוביל את קו האיכות של ספרי המיקוד של לחמן במתמטיקה, אשר ידועים בקרב מורים ותלמידים בישראל כספרים המנבאים ומכינים באופן מקסימלי את התלמידים לבחינות.

הוצאת לחמן מודה על רשות השימוש שניתנה לקטעים המופיעים בחוברת זו.הערה: נעשה מאמץ מיוחד לאתר את כל בעלי הזכויות, לפעמים ללא הצלחה.

אנו מתנצלים על השמטה או טעות. אם יובא הדבר לידיעתנו, נפעל לתקנו

,בדרום הספר ובתי לחמן תלמידי לכל גדולה באהבה מוקדש !בבחינות הקרובות להצליח על מנת הנדרש אתכם את הידע לחלוק שמחים

!בהצלחה

!להצלחה אותך מאמנים – לחמן

הפיקה חברת לחמן , במסגרת שיתוף פעולה עם הטלויזיה החינוכית הישראלית–שימו לב

.ל" יח3סדרת שיעורים מצולמים ללימוד איכותי ומהנה לבחינת מתמטיקה

היכנסו ללינק שיעור פרטי במתמטיקה במיוחד , "מורה פרטי"לצפיה חינם בסדרת תכניות

!תהנו. שבדף הבית באתר לחמן, לתושבי קו העימות

˙„ÂÚ˙ ‡ÈˆÂ‰Ï È„Î ÏÎ‰ ‰˘ÂÚ ‰˙‡¯ÂÎÊ˙˘ ·Â˘Á Ï·‡ ¨̇ ÈÈÂˆÓ ˙Â¯‚·μ∞•Ì‰ ‰ËÈÒ¯·ÈÂ‡Ï ‰Ï·˜‰ È‡˙˘‰ÈÁ·‰ ÔÂÈˆ μ∞•≠Â ˙Â¯‚·‰ ˙„ÂÚ˙

Æ˙È¯ËÓÂÎÈÒÙ‰ÍÏ ˙ÂÎÁÏ È¯ËÓÂÎÈÒÙÏ Ô˙È˙ Ï‡

˙Â˙Ï„‰ ÏÎÂ ÔÂÎÈ˙· Â˙Â‡ Á˜ ¨‰ÈÙ·ÆÍÈÙÏ ˙ÂÁÂ˙Ù

ÍÏ˘ ‡È˘· ‰˙‡ º

‰·¯‰ ÍÓˆÚÏ ÍÒÂÁ ‰˙‡ ¨̆ ‡¯· È¯Ë ÌÈ„ÂÓÈÏ‰ ¯ÓÂÁ

Æ¯Â¯Á˘‰ „Ú ‰ÎÁ˙ Ì‡ ÚÈ˜˘‰Ï Í¯Ëˆ˙˘ ÔÓÊÂ ÌÈˆÓ‡Ó

°¯˙ÂÈ ÌÈÁÈÏˆÓ ÔÓÁÏ· ÔÂÎÈ˙ È„ÈÓÏ˙ º

¯˙ÂÈ ÌÈÁÈÏˆÓ ÔÓÁÏ· ÔÂÎÈ˙ È„ÈÓÏ˙ ÈÎ ÌÈÁÈÎÂÓ ÌÈ¯˜ÁÓ

ÆÌÈÁ·‰ ¯‡˘ ¯˘‡Ó

˙ÈÓ„˜‡ ‰„Â˙Ú º

ÆÈ¯ËÓÂÎÈÒÙ ÔÂÈˆ ÌÈ·ÈÈÁ ‰„Â˙ÚÏ Ì˘¯È‰Ï ÌÈÏ˜Â˘‰ ÌÈ„ÈÓÏ˙

È¯ËÓÂÎÈÒÙÏ ‰Î‰‰ Ò¯Â˜ ˙‡ ÍÏ ‰ÚÈˆÓ ÔÓÁÏ

ı¯‡· ¯˙ÂÈ· ÈÚÂˆ˜Ó‰Â ÛÈ˜Ó‰

¯˙ÂÈ· ÌÈÒÂÓ‰ ÌÈÎÈ¯„Ó‰ º

¯˙ÂÈ· ÌÈÎ„ÂÚÓ‰ „ÂÓÈÏ‰ È¯ÓÂÁ º

ÌÈËÒÈÂÎÈ˙Ï „ÁÂÈÓ· Ì‡˙ÂÓ º

www.lachman.co.ilË¯ËÈ‡· ÏÂ‚¯˙ ºÔÂÎÈ˙· ÍÏˆ‡ ÌÈÈ˜˙Ó º

‰Ó„‡ ˙˜ÏÁ ÂËÙß‚ ‡·ÒÓ ÂÈ˜ÂÈÙ Ï·È˜ ¨Â˙„ÏÂ‰ ÌÂÈ Ï‚¯Ï

ËÈÏÁ‰ ÂÈ˜ÂÈÙ ÆÌÈ¯ËÓ μ‰·ÁÂ¯Â ÌÈ¯ËÓ ±∞‰Î¯Â‡˘

‰Î¯Â‡Ï ˙Â¯Â· ¯ÙÁ ÔÎÏÂ ¨·‰Ê ˙ÂÚ·ËÓ ‰˜ÏÁ· ÏÂ˙˘Ï

È˘‰Ó „Á‡ ßÓ ∞Æμ ˜Á¯Ó· ¨‰˜ÏÁ‰ Ï˘ ‰·ÁÂ¯ÏÂ

øÂÈ˜ÂÈÙ ¯ÙÁ ˙Â¯Â· ‰ÓÎ Æ®·ÁÂ¯ÏÂ Í¯Â‡Ï©

≤∂¥ Æ¥ ≤≥± Æ≥ ≤∞∞ Æ≤ ±∞∞ Æ±

∫Ì˙¯˙ÙÂ ˙ÂÈ˘ ∂∞

Ò¯Â˜‰ ¨ÔÂÎÈ˙ „ÈÓÏ˙Î¯ÙÒ‰ ˙È·· ÍÏ ÚˆÂÓ°„ÁÂÈÓ ¯ÈÁÓ·

�

שאלון 006

סוף מעשה במחשבה תחילהתכנון יעיל ואפקטיבי מביא תוצאות טובות.

התכוננות לבחינה מחייבת ארגון תכנית עבודה, בה יש לקחת בחשבון מספר גורמים:

נתונים אישיים: .1

בדקו עצמכם, האם אתם ״טיפוסי יום״ או טיפוסי לילה״ - מתי אתם יעילים יותר? האם בלילה עד מאוחר, או בשעות

הבוקר המוקדמות. בכל אופן, יש להקפיד על ארוחות מסודרות ולא לוותר על מינימום של שעות שינה.

לבד או עם חברים? .2

כי יותר? לבד, באופן עצמאי, כי עם חברים מפטפטים ומבזבזים זמן, או בקבוצת לימוד, כיצד אתם לומדים טוב

בקבוצה יש אפשרות לשאול אחד את השני ולהסביר אחד לשני, וכך להבין טוב יותר את החומר.

יתכן שילוב בין השניים:

לימוד עצמי ראשוני - להכרה ושינון החומר. #

לימוד בקבוצה - לחזרה אחרונה ולחיזוק נקודות חלשות. #

חלוקת הזמן ליחידות לימוד והפסקות: .3

בדקו מניסיונכם בעבר, כמה זמן אתם מסוגלים ללמוד ולהיות מרוכזים ללא הפסקה. למשל, 50 דקות לימוד ו־ 10־5

דקות הפסקה.

הפסקות ושיטות התרגעות: .4

יש תלמידים שפעילות גופנית במשך מספר דקות ממריצה להם את הדם ועושה אותם יותר עירניים. #

יש אחרים שאכילה, שתייה או תנומה קצרה מאפשרים להם לחזור ללימוד אפקטיבי. #

באופן כללי חשוב לזכור: הפסקות הן מרכיב חשוב מאוד בתהליך הלימוד. עם זאת, הפסקות ארוכות מדי מוציאות

מן הריכוז.

שיטות לימוד: .5

רצוי מאד ללמוד בשיטות מגוונות כדי לשמור על הערנות.

חשובות נקודות לכתוב כדאי מכן לאחר במרקר. חשובים קטעים ולסמן החומר את לקרוא יש הראשונה בפעם

והערות לוואי. בפעם השלישית כדאי לקרוא רק את הקטעים המסומנים או את הנקודות שכתבתם.

כדאי לציין פרקים ונושאים לא ברורים ולחזור אליהם בלימוד משותף עם חברים.

חומר הלימודים: .6

לקראת כל בחינה גדולה כדאי להגדיר לעצמכם פרקים ונושאים ״קלים״ ונושאים ״קשים״ ומסובכים יותר.

מחקרים הוכיחו שזוכרים יותר את מה שלומדים בתחילת הלימוד ובסופו, וזוכרים פחות את מה שבאמצע הלימוד.

על כן כדאי להתמקד באמצע תהליך הלימוד דווקא בפרקים הקלים לנו יותר, אלו שאנו שולטים בהם באופן יחסי.

בחומר הקשה כדאי להתמקד בתחילת הלימוד לקראת הבחינה ובסופו.

אילוצי זמן: .7

מאחר ואנו מוגבלים בזמן העומד לרשותנו ללימוד לקראת הבחינה, רצוי מאד שנתכנן מראש חלוקה יעילה ואפקטיבית של

הזמן כדי שנספיק לעבור על כל החומר. ניתן לעשות זאת באמצעות:

חלוקת החומר כולו לנושאי משנה. .1

קביעת סדר הלימוד מראש. .2

החלטה מראש כמה זמן יוקדש לכל פרק )ימים, שעות(. .3

תכנון מוקפד של סדר היום: ארוחות, שינה, שעות לימוד עצמי, שעות לימוד בקבוצה. .4

חשוב לזכור: יש להחליט החלטה עקרונית, מה עושים במקרה שלא מספיקים לסיים ללמוד פרק ביחידת הזמן שהקצבתם.

האם להמשיך וללמוד פרק זה על חשבון הזמן של הפרק הבא, או להיצמד לתוכנית ולהבטיח חזרה מסודרת ושיטתית על

כל הפרקים והחלקים של החומר.

קשיים ואילוצים אובייקטיביים־חיצוניים: .8

בנוסף לנתונים האישיים ולקשיים של חומר הלימודים, אנו נתקלים גם בקשיים חיצוניים, כמו עבודה, אחריות למשפחה

וכו׳. קשיים אלה עלולים להקשות ולהפריע בביצוע תכנית ההכנה למבחן המתוכננת מראש.

גם כשנוצר קושי חיצוני, אסור לבטל את התכנית כולה. יש לערוך התאמה מחדש לאור האילוצים החדשים ולקבוע מחדש

סדרי עדיפויות ותכנית פעולה מסודרת.

לחץ התרגשות והרפיה: .9

אחד החששות המלווים כל נבחן הוא הפחד שמא כל מה שלמד יישכח וייעלם מהזיכרון בזמן המבחן )״בלק אאוט״(.

כיצד אפשר להפחית את הסיכוי להגיע למצב של שכחה בזמן המבחן?

ללימוד מתוכנן, שיטתי ורגוע, כפי שהוצע בסעיפים הקודמים, יש השפעה על ההרגשה הטובה והבטוחה בבחינה. .1

רצוי לא ללמוד בערב האחרון לפני הבחינה כדי להגיע למבחן רגוע ושלו. .2

נעלם כש״הכל במבחן, היטב. מכירים אתם שאותם חשובים, משפטים או נוסחאות, מספר פתק על לרשום כדאי .3

מהזיכרון״, הזכירו לעצמכם משפטים אלה, וכך בדרך אסוציאטיבית החומר יחזור לזיכרונכם.

הערה לסיום:

חשוב מאד לזכור - המבחן שלקראתו אתם מתכוננים, הוא חשוב מאד. אבל תמיד יש ״אחרי המבחן״: חשבו על מה שתעשו

אחרי המבחן וקחו הכל בפרופורציה נכונה. זה לא ״סוף העולם״. זכרו שרבים עשו את המבחן לפניכם ונשארו בחיים.

ועכשיו, אחרי כל המלים הגדולות הגיע הזמן לפתוח את הספרים ואת המחברות ולהתחיל ללמוד.

ב ה צ ל ח ה ! ! !

�

שאלון 006

הוראות מיוחדות לנבחן

חומר עזר מותר בשימוש: .1

מחשבון לא גרפי. אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. א.

שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לפסול את הבחינה.

דפי נוסחאות מצורפים. ב.

יש לרשום את הבחינה בעט בלבד. רישום הבחינה בעיפרון או שימוש בנוזל מחיק יגרום .2

לאי מתן ערעור לאחר הבחינה.

אל תעתיק את השאלה, סמן את מספרה בלבד. .3

התחל כל שאלה בעמוד חדש. רשום במחברת את שלבי הפתרון, גם כאשר החישובים מתבצעים .4

בעזרת מחשבון.

הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת. חוסר פירוט עלול .5

לגרום לפסילת הבחינה או לפגיעה בציון.

כטיוטה יש להשתמש רק במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים. שימוש בטיוטה .6

אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה.

: היכנסו לאתר של

www.lachman.co.il

# עדכונים חמים

# מבחני סימולציה מסכמים יעלו באתר 4 ימים לפני בחינת הבגרות!

תוכן עניינים

......................................................................................................... עמוד 15 בעיות תנועה

אינדוקציה.............................................................................................................. עמוד 28

חקירת פונקציה.................................................................................................... עמוד 53

............................................................................................................ עמוד 69 בעיות קיצון

מבחנים................................................................................................................... עמוד 97

דפי נוסחאות

טריגונומטריה במישור......................................................................................... עמוד 35

בעיות תערובת...................................................................................................... עמוד 23

............................................................................... עמוד 32 אי שוויונים עם ערך מוחלט

טריגונומטריה במרחב......................................................................................... עמוד 43

............................................................................................................. עמוד 84 אינטגרלים

006שאלון

11 או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

006שאלון מספר

.שעתיים :משך הבחינה

: מבנה הבחינה

. אינדוקציה, בעיות מילוליות-אלגברה : 'פרק א

. שאלה אחת מתוך שתיים

.חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ,טריגונומטריה :'פרק ב

.שתי שאלות מתוך שלוש

בשאלה . בין הפרקים הגבלה על שלוש שאלות ללאויענ מבחן מותאם אושר להם למידה שיקויילתלמידים

ולענות על סעיפים הנובעים רטט את גרף הפונקציה כחלק מהפתרוןש לובחקירת פונקציה לא יידרש

. בלבדמשרטוט הגרף

:השאלוןהמבנה המשוער של

)1-2שאלות (

.)תנועה ותערובת (בעיות מילוליות

.)התחלקות( אינדוקציה

.אי שויון עם ערך מוחלט

)3-5שאלות (

.) טריגונומטרית ,המנ ( חקירת פונקציה

ללא חישוב נפחים ,חישוב שטחים (אינטגרל

).שורש

.מישורטריגונומטריה ב

).פירמידה ישרה וחרוט (טריגו במרחב

.בעיות קיצון ללא פונקציית שורש

:משך הזמן והניקוד מפורטים בטבלה שלהלן

ד משוקללניקו ניקוד סמל זמן סיום משך זמן התחלה בחינה

33% 100 35006 15:00 שעתיים 13:00 006

2009ט " תשסחורףמיקוד

12 רה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפ/צילום ו

60300שאלון רשימת הנושאים ל

006שאלון

אלגברה .1

).כולל שימוש באחוזים בכל הבעיות (יה ומכירהיבעיות קנ, תערובות, הספק, תנועה: בעיות מילוליות

תר לשני מחוברים בערך מוחלט אי שוויונים ליניאריים המובילים לכל היו: אי שוויונים עם ערך מוחלט

: הלדוגמ, מנה של שני ביטויים ליניאריים . ביטויים ליניאריים ומספר ממשי עם x 3

22x 1

−>

+,

2x 53

x 3

−≤

+2xאי שוויון ריבועי המוביל למחובר ריבועי אחד בערך מוחלט . 5x 6 2− + ≤.

תחלקויותה ,אי שוויונים, זהויותהוכחות באינדוקציה של . עקרון ההוכחה באינדוקציה: אינדוקציה .2

). למשל ברקורסיה ולפי איבר כללי(התלכדות סדרות המוגדרות באופנים שונים , במספר נתון

).בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, רק כטכניקה נדרשת בשאלון(חלוקת פולינומים בפולינום ליניארי

. עשויה להידרש גם בשאלון זה005כל טכניקה אלגברית שנלמדה בשאלון : ערהה

טריגונומטריה .3

, במעגל היחידה, טנגנס, קוסינוס, הפונקציות סינוס. אורך קשת ושטח גזרה, הרדיאן כמידת זווית

ומטריות הקשרים בין הפונקציות הטריגונ. הקשר של פונקצית הטנגנס לשיפוע של ישר. ותיאורן הגרפי

. מחזוריות הפונקציות. של זוויות המשלימות לזווית שטוחה, של זוויות משלימות לזווית ישרה, של זווית

. חישוב ערכי הפונקציות לזוויות מיוחדות

או פירוק לגורמים או פתרון /הדורשות שימוש בנוסחאות ובזהויות ו(פתרון משוואות טריגונומטריות

. כללי ופתרון בתחום נתון פתרון–) משוואה ריבועית

: פתרון בעיות גיאומטריות במישור ובמרחב

משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים והשימוש בהם . פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית

1Sנוסחת שטח המשולש . להתרת משולשים ומצולעים אחרים bcsin2

= α.

. נפחים, )כמו מעטפת או שטח פנים(שטחים , םאורכי, זוויות: חישובים במרחב

). ללא גופים חסומים(חרוט , פירמידה ישרה,גליל, מנסרה, )כולל קובייה(תיבה : בגופים ישרים

) כולל בעיות טריגונומטריות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי(בפתרון בעיות גיאומטריות במישור ובמרחב

. בזהויות ובפונקציות הטריגונומטריות, ל הצורות והגופים השוניםיידרש שימוש בתכונות הגיאומטריות ש

, זווית בין ישר למישור, ישר משופע למישור, ישר ניצב למישור: בבעיות במרחב יידרש שימוש גם במושגים

. זווית בין מישורים

:לפתרון בעיות ומשוואות טריגונומטריות יידרש שימוש בזהויותsin x

tan xcos x

= ,2 2sin x cos x 1+ = ,

006שאלון


22

1tan 1

cosα + =

α): והזהויות עבור )sin α ± β , ( )cos α ± β, ( )tan α − β, ( )tan α + β ,sin 2α ,

cos 2α,sin sin , cos cosα ± β α ± β.

: הערות

aלא יידרש פתרון המשוואה . א sin x bcos x c+ c: במקרה= a - ו≠0 b≠.

פתרון משוואות טריגונומטריות לא יידרש כתרגיל בפני עצמו אלא כחלק מפתרון בעיות בנושאים . ב

.כולל בעיות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, שאלוןהשייכים ל

לא יידרש פתרון תרגילים העוסקים בזיהוי משולשים על פי משוואה טריגונומטרית המתקיימת . ג

.במשולש

פרנציאלייחשבון ד .4

פונקצית החזקה עבור מעריך , פונקצית השורש הריבועי, פונקצית הערך המוחלט. אור גרפי של פונקציותית

המשמעות האלגברית והגרפית של נקודות חיתוך של .זוגיות ואי זוגיות, עלייה וירידה, נקודות אפס. שלם

.' וכדf(x) > g(x) ,f(x) – g(x)של , פונקציות

.המהירות כנגזרת. הנגזרת בנקודה כתהליך גבולי. שיפוע של גרף בנקודה. המשיק

. הפונקציה הנגזרת

פונקציות שבהן יש ביטויים עם שורשים , )כולל פולינומים(רציונליות חשבון דיפרנציאלי של פונקציות

. ופונקציות טריגונומטריות,ריבועיים

, )כלל השרשרת(פונקציה מורכבת , )מהמוזכרות לעיל(ומנה של פונקציות , מכפלה, סכום: נגזרת של

.פונקציה סתומה

). מטהורה כלפי ע ק−2xמעלה ורה כלפי ע ק2x(ירות כלפי מטה עירות כלפי מעלה וקעק. הינגזרת שני

.נקודות פיתול

:שימושים

). כולל קצות קטע(קיצון מקומי וקיצון מוחלט , סגורובקטע פתוח נקודות קיצון בקטע,משוואת משיק

). כולל קיצון בקצה קטע סגור, מכל הסוגים (קיצוןערך בעיות

מקומי (נקודות קיצון , תחום הגדרה: החקירה כוללת(ושרטוט סקיצה של גרף הפונקציה ירת פונקציהחק

התנהגות בסביבת נקודת , תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה, נקודות פיתול, תחומי עלייה וירידה, ) ומוחלט

). אסימפטוטות מקבילות לצירים, הגדרה-אי



חשבון אינטגרלי .5

אינטגרל של סכום . אינטגרלים מידיים, קבוע האינטגרציה,)פונקציה קדימה (סויםאינטגרל לא מ

אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הפונקציה הפנימית היא .פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע

מציאת . מציאת אינטגרל של פונקציה רציונלית עם מכנה ליניארי על ידי חילוק פולינומים. ליניארית

f: מהצורה, )לא רק ליניארית(פשוטה ל ידי הצבה אינטגרל ע (u)u 'dx∫ כאשר u היא פונקציה של x .

ואינו מצריך שינוי גבולות בחישוב האינטגרל , אינטגרל שבו יש צורך לזהות את הנגזרת הפנימית, כלומר(

: לדוגמה, )המסוים2

3

3

x 2dx x 2 C

3x 2= + +

+∫

.מציאת פונקציה על פי נגזרתה ונקודה. ל ידי גזירהאימות אינטגרלים ע

שלילית , הפונקציה יכולה להיות חיובית (x-פונקצית השטח בין גרף של פונקציה וציר ה, אינטגרל מסוים

בעיות ערך קיצון .נפח גופי סיבוב, חישוב שטחים מורכבים. שטח בין גרפים של פונקציות) או לשנות סימן

).מכל הסוגים(

פונקציות עם ביטויים של שורש , )גם פולינום (תרציונאליופונקציות : האינטגרלים בפרק זה כוללים

). כולל שימוש בזהויות (ת פונקציות טריגונומטריו,ריבועי

. ייתכן שימוש בחלוקת פולינומים, בנושאים של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, שימו לב: הערה

9200 ט" תשסחורףרד במיקוד כל מה שמודגש זה החומר שי •

006שאלון


1שאלה מספר

.בעיות תנועה: נושא השאלה

s= v ⋅ t tזמן נסיעה =

vמהירות =

=sדרך

טיפים

.המהירות והדרך, דות הזמןיש להקפיד על יחי •

.מ"אזי הדרך בק, ש"אם הזמן בשעות והמהירות בקמ, כלומר

=sכאשר נשתמש בנוסחה • v ⋅ t יש להקפיד שהזמן t יהיה הזמן בו נסעה

.vהמכונית בפועל במהירות

:1דוגמא מספר

סירת Aשעה אחריה יצאה בעקבותיה מנמל . B יצאה סירת משוטים עם הזרם לנמל Aמנמל

כאשר סירת Aסירת המנוע הגיעה לנמל . Aהגיעה לסירת המשוטים וחזרה לנמל , מנוע

.Bהמשוטים הגיעה לנמל

ומהירות סירת , ת הזרם ממהירו4גדולה פי ) במים עומדים(ידוע כי מהירות סירת המשוטים

. ממהירות הזרם5גדולה פי ) במים עומדים(המנוע

.B לנמל Aמצא את משך הנסיעה של סירת המשוטים מנמל

:פתרון

.ש" קמx: מהירות הזרם

.x4: מהירות סירת המשוטים

.x5 :מהירות סירת המנוע

. שעותtעד לפגישתן נעה סירת המשוטים במשך

. שעותt – 1עה סירת המנוע נ

4x )נעה עם הזרם(מהירות סירת המשוטים עד לפגישה x 5x+ =

5x :מהירות סירת המנוע עד לפגישה x 6x+ =

BA סירת משוטים

מנועסירת

נוסחאות וכללים



5x: סירת המנוע וסירת המשוטים עשו דרך זהה עד לפגישתן t 6x (t 1)⋅ = ⋅ −

5t 6t 6 ; t 6= − =

. שעות6, עד לפגישתן נעו אפוא

.Aנמצא עתה את זמן התנועה של סירת המנוע בדרך חזרה לנקודה

5x ):נגד הזרם(מהירותה בדרך חזרה x 4x− =

.1t :זמן התנועה חזרה

:בכוון נגד הזרם, שווה לדרך שעשתה חזרה, הדרך שעשתה סירת המנוע בכיוון הזרם

16x(t 1) 4x t− = ⋅

.t = 6מצאנו כי

16x(6 1) 4x t− = ⋅

16 5 4t⋅ =

16 5

t 7.54

⋅= =

. שעות7.5: הדרך חזרה של סירת המנוע נמשכה אפוא

.A- כאשר סירת המנוע הגיעה לB-סירת המשוטים הגיעה ל, לפי הנתון

. שעות6: זמן התנועה של סירת המשוטים עד לפגישה

. שעות7.5: זמן התנועה של סירת המשוטים אחרי הפגישה

.6 + 7.5= שעות 13.5 :ירת המשוטיםכ זמן התנועה של ס"סה

. שעות13.5 :תשובה

006שאלון



ונסע במהירות B לכיוון נקודה Aרוכב אופניים יצא מנקודה . מ" ק40 הוא B - וAהמרחק בין הנקודות

45ועה של במהירות קבB לכיוון נקודה Aיצא רוכב קטנוע מנקודה , דקות לאחר יציאתו לדרך20. קבועה

ומיד הסתובב וחזר על עקבותיו באותה Cרוכב הקטנוע הדביק את רוכב האופניים בנקודה .מ לשעה"ק

Bהגיע לנקודה , שהמשיך בנסיעתו ללא עיכובים, רוכב האופניים). ראה ציור (Aלנקודה ) ש" קמ45(מהירות

.A- לC-ברגע שהקטנוע עבר את מחצית הדרך מ

.ייםמצא את מהירות רוכב האופנ

:פתרון

.ש" קמxמהירות רוכב האופנים

.מ" קAC :yהמרחק

:עד הפגישה

:לאחר הפגישה y y 20

(1)x 45 60

= +

:הפעם הזמנים שווים

מ" ק40

A C B

t v s

: אופנייםy

x x y

: אופנועy

45 45 y

t v s 40 y

x

− x 40 y−

y

2 45⋅ 45

y

2



40 y y

(2)x 2 45

−=

⋅

:xלמציאת ) 2 (-ו) 1(נפתור את המשוואות

45xy y 1(1) \ ; 45y xy 15x

x 45 340 y y

(2) ; 3600 90y xyx 90

⋅= + = +

−= − =

):1(למשוואה ) 2( במשוואה xyנציב את הערך של

2

12

2

45y 3600 90y 15x

15x 135y 3600 ; x 9y 240

(2) 3600 90y y(9y 240) ; 1200 30y 3y 80y

130 y 3050 2500 14400

3y 50y 1200 0 ; y 16 y 13

3

= − +

= − = −

− = − − = −

=± +

− − = == −

x 9y 240 9 30 240 30= − = ⋅ − =

.ש"קמ 30 מהירות רוכב האופניים : תשובה

דרך שלילית לא אפשרית

006שאלון



B-הראשון הגיע ל. B- לA-שני הולכי רגל יצאו באותו הזמן מ1

22

.Aשעות לאחר שעזב את

אחרי שעבר , השני1

5 . יחד עם הראשוןB-והגיע ל, B-יצא שוב ל, דקותA 10-הוא שהה ב. A-חזר ל, מהדרך

. דקות פחות מאשר הראשון5-הולך הרגל השני עבר כל קילומטר ב

.אם המהירות של כל אחד מהם לא השתנתה במשך זמן ההליכה, מצא את המהירויות של שני הולכי הרגל

:פתרון

.ש" קמx: 'מהירות הולך רגל א

.ש" קמy: 'מהירות הולך רגל ב

:'מהירות רוכב א .1

:בתנועה' הולך רגל ב .2

:במנוחה' הולך רגל ב .3

.הרוכב השני עבר את הדרך ועוד שתי חמישיות ממנה. x2.5 הוא ABהמרחק : הסבר הטבלה

:שני הולכי הרגל שהו בדרך אותו זמן

22.5x 2.5x 1052.5

y 60

+ ⋅= + )1(

:מ אחד"הנתונים לגבי תנועה לאורך ק

:'רוכב א

:'רוכב ב

t v s

2.5 x x2.5

22.5x 2.5x

5y

+ ⋅ y

22.5x 2.5x

5+ ⋅

10

60 0 0

15

ות דק10שהייה

t v s 1

x x 1

1

y y 1

A B



: דקות פחות5 -מ אחד ב"עובר ק' הולך רגל ב

6y

12x

1 1 5(2)

y x 60

2.5x x 1(1) 2.5 \

y 6

3x15y 15x 6x y ; 14y 21x ; y

22 1 1

(2) \3x x 12

3x 3 48 12 x ; x 4 ; y 6

2 2

⋅

⋅

= −

+= +

= + + = =

= −

⋅= − = = = =

.ש" קמ6' מהירות רוכב ב, ש" קמ4' מהירות הולך רגל א: תשובה

006שאלון


:שאלות נוספות

Aהאחד מנקודה , זמנית-שני רוכבי אופניים יצאו בו. מ" ק81 הוא B - וAהמרחק בין שני מקומות .1

דקות עדיין לא 40 -אחרי שעה אחת ו. במהירויות קבועות, ונסעו זה לקראת זה, Bוהשני מנקודה

בשעה B -בר את כל הדרך עד עA -הרוכב שיצא מ. מ בלבד" ק6-אך המרחק ביניהם הצטמצם ל, נפגשו

.A - לB -וחצי פחות מאשר הרוכב שיצא מ

.מצא את המהירויות של כל אחד מרוכבי האופניים

שעות לאחר מכן יצאה B .6לכיוון עיר ' יצאה מכונית אAמעיר .2

.שתי המכוניות נפגשו בדרך. Aלכיוון עיר ' מכונית בBמעיר

.'מ יותר משעברה מכונית ב" ק120' אעד נקודת הפגישה עברה מכונית

, שעות אחרי הפגישהB 9הגיעה לעיר ' מכונית א

. שעות אחרי הפגישהA 8הגיעה לעיר ' ומכונית ב

).המכוניות נסעו במהירויות קבועות(

.עד שהגיעה לנקודת הפגישה' מצא את המרחק שעברה מכונית ב .א

.'ירות של מכונית בואת המה' מצא את המהירות של מכונית א .ב

. A- לB-והשני מ, B-ל A- האחד מ. B- וAאחת זה לקראת זה ממקומות -שני רוכבי אופניים יצאו בבת .3

B 4- הגיע לA-רוכב האופניים מ; לנוע ליעדו, מבלי להתעכב, הם נפגשו בדרך וכל אחד מהם המשיך

.ת לאחר הפגישה שעוA 9- לB-ואילו רוכב האופניים הגיע מ, שעות לאחר הפגישה

.מהירויות רוכבי האופניים לא השתנו בשעת התנועה

?B- לAל את המרחק בין "בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים הנ

סירת מנוע עוברת מדי יום ביומו את . A- לB- נמצאים על שפת נהר הזורם מB- וAהמקומות .א .4

נמשכה פי B - לA-דרכה מ. A - וחוזרת לB - לA -הדרך מ 1

12

.A- לB - מדרכה מ

למסופר את מהירות הזרם וערוך משוואה y- וב, את מהירות הסירה בכוח המנוע בלבדx-סמן ב

.לעיל

.y- לxאת היחס בין ', שנתבקשת לערוך בסעיף א, חשב באמצעות המשוואה .ב

. דקות20 חלה תקלה במנוע ותיקונו נמשך B- לA- כשהייתה הסירה בדרכה מ, באחד הימים .ג

באיחור לעומת הפעמים B-הפעם הגיעה ל. במשך זמן התיקון נסחפה הסירה אחורה עם הזרם

.האחרות

.כשאין תקלות נעה הסירה מדי יום ביומו באותה המהירות

.B-ל בכמה דקות איחרה הסירה הפעם להגיע ל" הנy - וxהבע בעזרת ) 1(

.B-חשב את מספר הדקות שבו איחרה הסירה הפעם להגיע ל) 2(



150 הוא C- לBמ והמרחק בין " ק30 הוא B- לAהמרחק בין . C- וA ,Bעל כביש ישר נמצאת התחנה .5

).ראה ציור(מ "ק

B- בבוקר יצא רכב אחר מ8:00בשעה . C ונסע במהירות קבועה לכיוון A- בבוקר יצא רכב מ7:00בשעה

.A-ש ממהירות הרכב שיצא מ" קמ30-במהירות קבועה הגדולה ב, C גם הוא לכיוון ונסע

. דקות20- והקדים אותו ביותר מA- לפני הרכב שיצא מC- הגיע לB-הרכב שיצא מ

?A- באיזה תחום מספרי צריכה להימצא מהירות הנסיעה של הרכב שיצא מ

וס ותייר יצאו באותה שעה מתחנת אוטוב. מ" ק4המרחק מתחנת הרכבת לשפת הים הוא .6

לאחר שהגיע , דקות פגש התייר את האוטובוס שעשה דרכו בחזרה10כעבור . הרכבת אל שפת הים

כשהתייר עבר . לשפת הים1

14מ נוספים שוב הדביקו האוטובוס שיצא לשפת הים מייד לאחר שהגיע " ק

. לתחנת הרכבת

. והתייר אינן משתנות בזמן תנועתםמהירויות האוטובוס

. מצא את מהירותו של כל אחד מהם

. הנח כי האוטובוס והתייר נעים ללא חניות, בפתרון הבעיה: הערה

:תשובות

.ש" קמA = 27 -מהירות הרוכב שיצא מ .1

.ש" קמB =18-מהירות הרוכב שיצא מ

.מ" ק360 .א .2

VAש" קמ40 .ב VBש " קמ60 , = =.

. שעות15, שעות 10 .3

x .א .4 y 1.5x 1.5y+ = −.

.ב x

5y

=.

) 1( .ג 20y

20x y

+−

. דקות25) 2(

5. 0 x 60< <

. ש" קמ45מהירות האוטובוס ; ש" קמ3מהירות התייר .6

A B C

006שאלון


1שאלה מספר

.תתערובבעיות : נושא השאלה

=כמות החומר הכללית 100

כמות חומר נקי=

:טיפ

יתקיימו , כאשר כל אחד מהם הוא תערובת, B - וAכאשר מערבבים שני חומרים

:הכללים הבאים

.B - וA סכום החומר של =סופית הכול החומר בתערובת ה-סך •

.B - וA - סכום החומר הנקי ב=הכול החומר הנקי בתערובת הסופית -סך •

רובת הסופית לא שווה לסכום האחוז של חומר נקיאחוז החומר הנקי בתע •

.B והאחוז של חומר נקי בחומר Aבחומר

אחוז החומר הנקי





מוציאים ליטר אחד תמיסה ומכניסים במקומה לבקבוק 12%תמיסת מלח בריכוז של עם מבקבוק מלא . ן מוציאים ליטר מהתמיסה שנתקבלה ומכניסים שוב במקומה ליטר מיםלאחר מכ. ליטר מים טהורים

.3%לאחר שתי פעולות אלה התברר שתמיסת המלח בבקבוק היא בריכוז של ?ל בליטרים"מהו קיבול הבקבוק הנ

:פתרון

קיבול הבקבוק בליטריםx: נגדיר חלהבקבוק בהת ליטר1בקבוק לאחר הוצאת

:מים

( )0.88x 0.88 0.88 x 1− = −

מים מים0.880.88x

:מלח

( )0.12x 0.12 0.12 x 1− = −

מלח מלח0.120.12x

הוספת ליטר מים בקבוק לאחר הוצאת ליטר תערובת0.88x 0.12

0.88x 0.12 1x

++ + +

: מים0.88x 0.12

x

+ ( )0.88 x 1 1 0.88x 0.12− + = +

0.12x 0.120.12x 0.12

x

−− −

: מלח0.12x 0.12

x

−

0.12x 0.12−

. מלח0.03xכלומר , 3% תמיסת מלח בריכוז xמקבלים

2 2

2

2

1

1,22

0.12x 0.120.12x 0.12 0.03x / 100x

x12x 12x 12x 12 3x

9x 24x 12 0 / : 3

3x 8x 4 0

x 28 64 4 3 4 8 4

x 22 3 6 x

3

−− − = ⋅

− − + =

− + =

− + =

=± − ⋅ ⋅ ±

= = →⋅ =

. ליטר2: תשובה

לא מתקיים כי הוציאו ליטר והכמות חייבת להיות מעל ליטר

ליטר

ליטר1הוצאת

ליטר מים

מלח מלח

מים

006שאלון



במקומם מילאו את הכלי בחומצת מלח , ליטר נוזל2.5שפכו , 96%שהכיל מלח בריכוז של , מכלי מלאלבסוף . 80%ובמקומם מילאו שוב בחומצת מלח בריכוז של , ליטר2.5כך שוב שפכו -אחר. 80%בריכוז של

. נפח הכלימצאו את. 89%היה ריכוז המלח שבכלי

פתרון

כמות מלח אחוז מלח כמות תמיסהx 96% 0.96x

2.5 96% ירד

962.5 2.4

100⋅ =

2.5 80% הוסיפו

802.5 2

100⋅ =

2.5 0.96x 0.4%

x

− ירד

0.96x 0.42.5

x

−⋅

2.5 80% פו הוסי

802.5 2

100⋅ =

x 89% 0.89x

2 2

2

21

1,22

0.96x 0.40.96x 2.4 2 2.5 2 0.89x

x0.96x 0.4

0.96x 1.6 2.5 0.89x / xx

0.96x 1.6x 2.4x 1 0.89x

0.07x 0.8x 1 0

x 100.8 0.8 4 0.07 1x

x 1.4282 0.07

−− + − ⋅ + =

− + − ⋅ = ⋅

+ − + =

− + =

=± − ⋅ ⋅= =

=⋅

ליטר10: תשובה

ליטר2.5לא מתקיים כי מורידים



:3דוגמה מספר

. 10% ליטר כוהל בריכוז 10ועוד , B ליטר מכוהל 10-מוסיפים כמות הגדולה ב, Aלכמות מסוימת של כוהל ליטר 200התערובת הסופית המתקבלת היא . B שנלקחה מכוהל לתערובת זו מוסיפים מים בחצי הכמות

.45%בריכוז כוהל של ?A מריכוז כוהל 20%- נמוך בBאם ידוע שריכוז כוהל , B וכוהל Aמהו ריכוזם של כוהל

פתרון

כמות כוהל אחוז כוהל כמות חומרx p

100

x p

100

⋅

x 10+ p 20

100 100− ( )( )x 10 p 20

100

+ −

10 10% 1

( )1x 10

2+

0 0

200 45% 45200 90

100⋅ =

( )1x x 10 10 x 10 200

22x 20 0.5x 5 200

2.5x 175

x 70

+ + + + + =

+ + + =

=

=

( )( )70 10 p 2070p1 90

100 1000.7p 0.7p 16 1 90

1.5p 105

p 70%

+ −+ + =

+ − + =

=

=

006שאלון



גרם 50הוסיף לתמיסה , 45% עם כמות אחרת של כוהל בן 60%סוימת של כוהל בן רוקח ערבב כמות מ .1

.50% גרם כוהל בן 750מים וקיבל

?ל" הכניס הרוקח לתמיסה הנ60%כמה גרם כוהל בן

. מים40%- כוהל טהור ו60% הכוונה לתמיסה המכילה 60%בכוהל בן : הערה

: תשובה . גרם400

20- עורבבה בכמות חומצת מלח קטנה ממנה ב90%ת מלח בריכוז של כמות מסוימת של חומצ .2

ליטרים של מים טהורים ונתקבלה 15לאחר מכן אוידו מהתערובת , 30%ליטר ובריכוז של

? נתקבלו72%כמה ליטרים חומצת מלח בריכוז של . 72%חומצת מלח בריכוז של

:תשובה . ליטר125

אחוז הנחושת בנתך מהמין . מצאים נתכי נחושת משני מיניםבבית חרושת למוצרי נחושת נ .3

, ל"לוקחים מוט מכל אחד מהנתיכים הנ. מאחוז הנחושת בנתך מהמין השני40%-הראשון קטן ב

ג נחושת " ק6במוט מהנתך הראשון היו . נחושת36%ומקבלים נתך המכיל , מתיכים אותם ביחד

.ורהג נחושת טה" ק12 –טהורה ואילו במוט השני

?ל"מהו אחוז הנחושת בכל אחד מהנתכים הנ

:תשובה20% ,60%



:2שאלה מספר

. אינדוקציה של התחלקות:צפויה להישאל בנושאים


n: כי הביטוי, )או בדרך אחרת(הוכיחו בעזרת אינדוקציה מתמטית 15 4n 5+ − 16- מתחלק ב−

.עי טבnעבור כל

:פתרון

n: צריך להוכיח 15 4n 5+ − . טבעיn עבור כל 16- מתחלק ב−

nנבדוק את הטענה עבור 1= : 25 4 1 5 16− ⋅ − =

.16- מתחלק ב16

nהנחת האינדוקציה 15 4n 5+ − . טבעי כלשהיn לכל 16- מתחלק ב−

) :ל"צ )n 25 4 n 1 5+ − + .16- מתחלק ב−

( )

( )

n 2 n 2

n 1 n 1

5 4 n 1 5 5 4n 4 5

5 5 4n 9 5 5 4n 5 16n 16

+ +

+ +

− + − = − − −

= ⋅ − − = − − + +

n 15 4n 5+ − ).ס הנחת האינדוקציה"ע (16- מתחלק ב−

.16- מתחלקת ב5-ולכן מכפלתו ב

:nנבדוק את הטענה עבור

.16-ולכן הסכום מתחלק ב) טבעיn( 16- מתחלקים גם הם ב16n- ו16

nס אקסיומת האינדוקציה "ע 15 4n 5+ − . טבעיn לכל 16- מתחלק ב−

006שאלון


:2 מספר הדוגמ

n2, טבעי מסויםn-הוכח שאם ל .א 10 1⋅ nאזי גם , 9 - מתחלק ב+ 12 10 1+⋅ .9 - מתחלק ב+n2 טבעי השארית בחלוקת nכי לכל , בדרך אחרתאו , הוכח באינדוקציה .ב 10 1⋅ .3 היא 9 - ב+

: פתרון

n2: נתון . א 10 1⋅ . ללא שארית9 - מתחלק ב+

n, במקרה כזה: ל"צ 12 10 1+⋅ . ללא שארית9 - מתחלק ב+

n: הוכחה 1 n n n n2 10 1 2 10 10 1 2 10 (9 1) 1 2 10 9 2 10 1+⋅ + = ⋅ ⋅ + = ⋅ + + = ⋅ ⋅ + ⋅ +

n2ביטוי ה 10 9⋅ .9 - מתחלק כמובן ב⋅

n2הביטוי 10 1⋅ nמכאן שהביטוי . לפי ההנחה9 - מתחלק ב+ 12 10 1+⋅ .9 - מתחלק ב+

n2עלינו להוכיח כי בחלוקת הביטוי .ב 10 1⋅ .3 השארית היא 9 - ב+

עלינו להוכיח אפוא כי הביטוי הבא, 9 -תחלק בדיוק בכמובן שהמספר י, השאריתאם נחסר את

n: 9 -מתחלק בדיוק ב n2 10 1 3 2 10 2⋅ + − = ⋅ −

:הוכחה בדרך האינדוקציה

nבדיקה לגבי 1= :12 10 2 18⋅ − =

nנובעת נכונותו לגבי, כלשהוnונות המשפט לגבי שמנכ, נוכיח עתה 1+.

n+1 :nהביטוי לגבי 12 10 2+⋅ −

n: נפתח את הביטוי 1 n n n n2 10 2 2 10 10 2 2 10 (9 1) 2 2 10 9 2 10 2+⋅ − = ⋅ ⋅ − = ⋅ + − = ⋅ ⋅ + ⋅ −

n2הביטוי 10 9⋅ .9 - מתחלק כמובן ב⋅

n2הביטוי 10 2⋅ . לפי ההנחה9 -מתחלק ב −

.על סמך אקסיומת האינדוקציה הטענה נכונה לכל המספרים הטבעיים




n טבעי מסוים n-אם ל: הוכיחו את הטענה .א n3 n: אזי גם, 16- מתחלק ב+5 2 n 23 5+ ++

.16-מתחלק ב

n-ע שנוב' האם מן הטענה שבסעיף א .ב n3 .נמקו? טבעי אי זוגיn עבור כל 16- מתחלק ב+5

nכי הביטוי , או בכל דרך אחרת, הוכיחו באינדוקציה .ג n3 . טבעי אי זוגיn עבור כל 8- מתחלק ב+5

:פתרון

n: הנחה .א n3 ). טבעיn (16- מתחלק ב+5

n :ל"צ 2 n 23 5+ . טבעיn לכל 16- מתחלק ב++

( )

n 2 n 2 n n

n n n

3 5 9 3 25 5

9 3 5 16 5

+ ++ = ⋅ + ⋅

= + + ⋅

n16 . הוא ביטוי טבעי5n- טבעי היות וn לכל 16- מתחלק ב⋅5

nי ההנחה הביטוי "עפ n3 ) ולכן גם 16-מתחלק ב +5 )n n9 3 .16-ק ב מתחל+5

.16- גם הסכום מתחלק ב16-ואם כל אחד מהמחוברים מתחלק ב

ל.ש.מ

nלא הוכחנו כאן כי .ב n3 n טבעי אי זוגי כי לא בצענו בדיקה עבור n לכל 16- מתחלק ב+5 1=.

nל כי " צ .ג n3 . טבעי אי זוגיn עבור כל8- מתחלק ב+5

nנבדוק את הטענה עבור 1= 1 13 5 8+ =.

.8- מתחלק ב8

n: הנחת האינדוקציה n3 . טבעי אי זוגי כלשהוn- ל8- מתחלק ב+5

nנוכיח כי 2 n 23 5+ ).ס ההנחה"ע (8- מתחלק ב++

( )n 2 n 5 n n n n n3 5 9 3 25 5 9 3 5 16 5+ ++ = ⋅ + ⋅ = + + ⋅

n16 ).8- מתחלק ב16- טבעי וn5 (8- מתחלק ב⋅5

n n3 )ולכן ) ס ההנחה"ע (8- מתחלק ב+5 )n n9 3 .8- מתחלק ב+5

.8- ב אז גם הסכום מתחלק8-אם כל אחד מהמחוברים מתחלק ב

nס אקסיומת האינדוקציה "ע n3 . טבעי אי זוגיn לכל 8- מתחלק ב+5

006שאלון


:נוספותשאלה

) טבעי nאם בשביל : הוכיחו .א .1 )n10 )הרי גם , 9- מתחלק ב−7 )n 110 7+ .9- מתחלק ב−

)-נובע ש', א-שנתבקשתם להוכיח ב, האם מהמשפט .ב )n10 ?9- מתחלק תמיד ב−7

.נמקו את תשובתכם

)כי , )או בדרך אחרת(בעזרת אינדוקציה מתמטית , הוכיחו .ג )n10 n עבור כל 3- מתחלק ב−7

.טבעי

:תשובה

.הוכחה .א

.לא .ב

.הוכחה .ג

n: טבעי הביטויnשעבור כל , רתאו בדרך אח, הוכיחו באינדוקציה .2 n9 13 17 5⋅ − בלי 8- מתחלק ב⋅

.שארית

:תשובה

הוכחה

3n: הוכיחו כי .א .3 n−עבור כל 6- מתחלק ב n) n –מספר טבעי .(

:את המשפט הבא', בהסתמך על א, הוכיחו .ב a: אם b c+ 3: הרי גם, 6- ב מתחלק+ 3 3a b c+ c (6- מתחלק ב+ ,b ,a-מספרים טבעיים .(

:תשובה

.הוכחה .א

.הוכחה .ב



:2שאלה מספר

.אי שוויונים עם ערך מוחלט: צפויה להישאל בנושא

f(x)שוויון מהצורה -באי • < a :−a < f (x) < a

.וכמובן לא לשכוח תחום הגדרה

f(x)שוויון מהצורה -באי • > a :f (x) > a או f (x) < −a

.וכמובן לא לשכוח תחום הגדרה

ן עם ערך מוחלט מהצורה של חיבור או חיסור של שנישוויו-השלבים בפתרון אי

:ערכים מוחלטים

.נשווה לאפס כל מחובר .א

.נחלק את הפתרון לשלושה תחומים .ב

אם הביטוי בערך המוחלט חיובי ניתן לבטל את : ידי הצבה-בכל תחום נבדוק על .ג

)הערך המוחלט a = a).

את הערך המוחלט ונחליף את סימנו של הביטויאם הביטוי הוא שלילי נבטל

a = −a) עבור (a < 0.

.השוויון שנותר-פותרים את אי, לאחר שנפטרים מסימן הערך המוחלט בכל תחום .ד


006שאלון


1דוגמא מספר

:פתור את אי השוויון הבא x 2 x 3 5− + − <

פתרון

:נפרק את הפתרון לשלושה תחומים

x 2 או ≤3 x 3< x או > 2≤.

Iתחום

( ) ( )

x 2

x 2 x 3 5 x 2 x 3 5 2x 0 x 0

≤

− − − − < ⇒ − + − + < ⇒ − < ⇒ >

0 x 2< ≤

IIתחום

( )

2 x 3

x 2 x 3 5 x 2 x 3 5 1 5

< <

− − − < ⇒ − − + < ⇒ <

2: תחום משותף .xכל ל x 3< <

IIIתחום

( ) ( )

x 3

x 2 x 3 5 x 2 x 3 5 2x 10 x 5

≥

− + − < ⇒ − + − < ⇒ < ⇒ <

3 :התחום המשותף x 5≤ <

0 :תשובה סופית x 5< <

וגם

0 2

וגם

וגם

3 5




x : השוויון הבא-פתרו את אי .1 − 7 ≤ 12+ 2 x + 4

x :השוויון הבא-פתרו את אי .2 + 2 − x ≥ 3

וגם 3x + 1 > 10

:תשובות

xלכל .1

2. x > 3

006שאלון


:5-3שאלה מספר

. טריגונומטריה במישור:צפויה להישאל בנושאים

)a : משפט פיתגורס )2 + b( )2 = c( )2

a

c

b

c

b

c

= =

= =

= =

sinα

cosα

tanα

הניצב מול הזווית

הניצב מול הזווית הזוויתלידהניצב

הזוויתלידהניצב

יתר

יתר


α

c - יתר

b - ניצב ליד הזווית

a -ניצב מול הזווית



משפטי הסינוסים והקוסינוסים

משפט הסינוסים

a

sinα =b

sinβ=

csinγ = 2R

R -רדיוס המעגל החוסם את המשולש .

:משפט הסינוסים מאפשר לפתור בעיות במשולשים במקרים הבאים

. שתי זוויות וצלע מסוימתנתונות .א

.נתונות שתי צלעות וזווית מול אחת מהן .ב

.וצלע או זווית) החוסם את המשולש(נתון רדיוס המעגל .ג

sinαכאשר נקבל במשפט הסינוסים משוואה מהסוג = k,

.יש לבדוק את שתי האפשרויות של זווית חדה ושל זווית קהה

קוסינוסיםמשפט ה

c2 = a2 + b2 − 2ab cosγ

:משפט הקוסינוסים מאפשר לפתור בעיות במשולשים במקרים הבאים

.נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן .א

.נתונות שלוש צלעות .ב

שטח משולש כלשהו

S∆ =

a⋅ b ⋅sin γ2

.יניהןמחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית ב

:שטח מרובע כלשהו

.מחצית מכפלת אלכסוניו בסינוס הזווית שביניהן

בשאלות בהן נתון שרטוט מעגל ובתוכו משולשים ונרצה להשתמש במשפט •

יש לוודא שכל קודקודי המשולש , הסינוסים עם רדיוס המעגל החוסם

.נמצאים על המעגל

יש לרשום , בפתרון שאלה במשפט הסינוסים או הקוסינוסים בבחינת הבגרות •

.לאיזה משולש מתייחסים


a b

cαβ

γ

a b

cαβ

γ

a b

cαβ

γ

006שאלון


זהויות טריגונומטריות

זהויות המופיעות בדף הנוסחאות של בחינת הבגרות

sin α ± β( )= sinα cosβ ± cosα sinβ

cos α ± β( ) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ

tg α ± β( ) =

tgα ± tgβ1∓ tgαtgβ

: שאינן מופיעות בדף הנוסחאות של בחינת הבגרותזהויות

cos2x = cos2 x − sin2 x sin 90− α( )= cosα

cos2x = 2 cos2 x −1 cos 90− α( ) = sinα

cos2x = 1 − 2sin2 x cos 180− α( ) = − cosα

tgx =sinxcosx

sin 180− α( )= sinα

sin2 x + cos2 x = 1 sin −α( ) = − sinα

cot x =1

tgx sin 180− α( )= sinα

sin2x = 2 sinxcosx

טיפים

:כלל המשוואות הטריגונומטריות מתחלקות לסוגים הבאים-בדרך

sin2שימוש בזהות • x + cos2 x = 1.

.cos2x - וsin2xשימוש בזהויות •

,נשתמש בזהויות אלה כאשר נראה בתרגילים זוויות מסוימות וזוויות כפולות שלהן

.6x - ו4x ,3x - ו2x: כמו

asinα כאשר המשוואה מהצורה ⇐מעבר לטנגנס • + bcosα = נעביר אגפים0

ונשתמש בזהות sinαcosα = tgα.

הנחיה כללית לפתרון משוואה טריגונומטרית

.להגיע לזווית אחת בלבדיש לנסות .א

.להשתדל להגיע לפונקציה טריגונומטרית אחת .ב





. מעלות60 הוא A הגודל של זווית ABCבמשולש

D נקודה על הצלע BC . קטעAD מחלק את המשולש ABC

אורכי הרדיוסים של המעגלים שחוסמים . לשני משולשים

.מ" ס5 - ומ " ס3: שני משולשים אלה הם

tanהוכח כי 5 3β =

פתרון

:ABDבמשולש , לפי משפט הסינוסים

60α = °AD

2R 2 3 6sin

= = ⋅ =β

AD 6sin= β

:ADCבמשולש , לפי משפט הסינוסים AD

2R 2 5 10sin

AD 10sin

= = ⋅ =γ

= γ

6sin : מכאן.AD -קיבלנו שני ביטויים שונים ל 10sinβ = γ

180 ( ) 180°γ = − α + β = − α −β

: לפי הנתון

180 :לכן 60 120γ = − − β = − β

(1) ( )6sin 10sin 120β = −β

( )6sin 10 sin120cos cos120sin

6sin 10sin120cos 10cos120sin

3 16sin 10 cos 10 sin

2 2

6sin 5 3 cos 5sin

sin 5 3 cos

sintan 5 3

cos

β = β − β

β = β − β

β = ⋅ β − ⋅ − β

β = β + β

β = β

β= β =

β

60° γ°

β°

A

B

C

006שאלון



CD- וAB מעבירים שני קטרים R ורדיוסו 0ו במעגל שמרכז

.060הנחתכים בזווית של

CDחותך את הקוטר , AB עם הקוטר αהיוצר זווית , AEמיתר

). ראה ציור (Fבנקודה

).אין צורך לפשט (α- וR באמצעות DEFהבע את שטח המשולש . א

030αהוכח שכאשר . ב 23: הואDEFשטח המשולש , =R

8.

פתרון

. א): △OFA-ב )OFA 180 60= − + α∢ ,OA R= , OD R=.

: יםלפי משפט הסינוס ( ) ( )

OA OF R sinOF

sin sin 60sin 180 60

⋅ α= ⇒ =

α + α− + α

:ומכאן

FD R OF= −

( )

( )( )( )

R sin 60 sinR sinFD R

sin 60 sin 60

+ α − αα= − =

+ α + α

EDF△ :FED-ב 30= שמול אותה ∢AOD היא זווית היקפית השווה למחצית הזווית המרכזית ∢°

.קשת )ות קודקודי )EFD OFA 180 60= = − + α∢ ∢

FDE 180=∢ 30 180− − 60 30+ + α = + α

:שטח המשולש ( ) ( ) ( ) ( )2 2

FDE

DF sin 30 sin 180 60 DF sin 30 sin 60S

2 sin 30 1

+ α ⋅ − + α + α ⋅ + α = =⋅△

( )( )( )

( ) ( )

( )( )( )

( )

2

FDE

22

R sin 60 sinS sin 30 sin 60

sin 60

R sin 60 sinsin 30

sin 60

+ α − α= + α ⋅ + α =

+ α

+ α − α+ α

+ α

△

. ב

030αכאשר : נציב ונקבל, =

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

2 22 2 22

FDE

R sin 60 sin R sin 60 30 sin 30 1 3 3RS sin 30 S sin 30 30 R

sin 60 sin 60 30 4 2 8

+ α − α + −= + α = + = ⋅ ⋅ =

+ α +△ △

ל.ש.מ

AB

D

C

E

O 60°

F



:3גמא מספר דו

).ראה ציור (Oבמעגל שמרכזו חסוםABCמשולש ישר זווית

BAC: כך ש OD העבירו רדיוס O-מ BOD= = α∢ ∢.

.E בנקודה AB חותך את הקוטר CDהמיתר

.AB= מ " ס20קוטר המעגל הוא

. BCE את ההיקף של המשולש α הבע באמצעות

פתרון

:ABCבמשולש ישר הזווית

oB 90 A 90

DOBDCB

2 2

= − = − α

α= =

∢ ∢

∢∢

זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית: לפי משפט

.הנשענת אתה על אותה קשת

BCE: BECבמשולש 180 902

α = − + − α

∢

BEC 180 90 902 2

α α= − − + α = +∢

:ABCבמשולש BC BC

sinAB 20

α = =

BC 20sinα∴ =

:BCEבמשולש 2

BE BC

sin sin BECα=

∢

BC sin BC sin 20 sin sin2 2 2BE ; sin 90 cos

sin BEC 2 2sin 90 sin 90

2 2

20 sin sin2BE 20 sin tg

2cos2

CE BC

sin B sin BECBC sin B 20 sin sin(90 ) 20 sin

CEsin BEC

sin 902

α α α⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ α α

= = = + = α α + + α

⋅ α ⋅ α∴ = = ⋅ α ⋅

α

=

⋅ ⋅ α ⋅ − α ⋅∴ = = =

α +

∢

∢ ∢

∢

∢ 2 2

cos 10 sin 2

cos cosα α

α ⋅ α ⋅ α=

:BCEהיקף המשולש 2

10sin 2BC BE CE 20sin 20sin tg

2 cosα

α α= + + = α + α ⋅ +ℓ

A B

D

O E

C

α

2

α

α

90β α= −

A B

D

O E

C

006שאלון


שאלות נוספות

.1שאורך צלעו , ABCנקודה בתוך משולש שווה צלעות .1

PBC: נתון ; CP m ; BP ; AP K= θ = = =∢ ℓ

: הוכח .א 2 2

o k msin(30 )

2

−− θ =

ℓ

o15θ-אם נתון ש, m- וk באמצעות PBCבע את שטח המשולש ה .ב =.

,BAC חוצה את הזווית ABC ,ADבמשולש .2

ADC , BAC , BC a= β = α =∢ ).ראה ציור (∢

,a באמצעות ADבטא את .א ,β α.

',יבלת בסעיף אבדוק את הביטוי שק .ב

למקרה הפרטי של משולש ישר זווית

).AC=AB(ושווה שוקיים

ABCD (ADבטרפז שווה שוקיים .3 || BC) הבסיס הקטן BCהזווית ליד הבסיס הגדול . שווה לשוק

.AD עם הבסיס β ויוצר זווית E- בAB עובר ישר החותך את השוק Dדרך הקודקוד . αהיא

. לבין שטח הטרפזAED את היחס בין שטח המשולש β- וαהבע באמצעות .א

o60αהראה שכאשר .ב o30β- ו= לבין שטח הטרפז הוא AEDהמשולש היחס בין שטח =2

3.

4. ABCהוא משולש ישר זווית

o( ACB 90 CBAשבו , ∢=( = β∢.

E נקודה על הניצב BC ,המקיימת:

CAE = β∢ . דרך הנקודהEמעבירים

.ABישר המקביל ליתר

).ראה ציור (F בנקודה ACהישר חותך את הניצב

,CEF שווה לשטח המשולש ABEאם שטח המשולש : הוכח

4: אזי 2sin cos cos 2β = β⋅ β

A B

E F

C

α

β

A

B D C



חסוםABCבמשולש שווה צלעות .5

.EFGמשולש שווה צלעות

BFE α=∢) ראה ציור(

EFGהבע את היחס בין שטח המשולש .א

.α באמצעות ABCלבין שטח המשולש

.1:2 במקרה שבו היחס בין השטחים הוא αחשב את הזווית .ב

:תשובות

.הוכחה .א .1

. ב 2 2k m

4

−.

. א .2( ) ( )2 2a sin sin

ADsin sin

α αβ − β +=

α β.

.ב a

AD2

90α כי = = β = �.

.א .3( )2 3

2

2

sin sin

sin( )sin

β α

α + β α או

2sin (1 2cos )

2sin( )(1 cos )

β + αα + β + α

.

.הוכחה .ב

.הוכחה .4

.א .52 o

1

4sin (30 )+ α.

o .ב o105 , 15.

α

A

B C

E

G

F

006שאלון



. פירמידה-רחב טריגונומטריה במ: צפויה להישאל בנושאים

מציאת זווית

:זווית בין שתי פאות צדדיות סמוכות .א

:זווית בין פאה צדדית לבסיס .ב

:זווית בין מקצוע צדדי לבסיס .ג

:זווית בין מקצועות צדדיים סמוכים .ד


αα

αα

αα

αα



:זווית בין מקצועות נגדיים .ה

:ת נגדיותזווית בין פאו .ו

דרותגה

.פירמידה נקראת פירמידה משוכללת אם הבסיס שלה הוא מצולע משוכלל .א

עובר ) אנך מהקודקוד לבסיס(פירמידה נקראת פירמידה ישרה אם הגובה של הפירמידה .ב

. מרכז המעגל החוסם את הבסיס דרך

:בפירמידה ישרה .ג

. כל המקצועות הצדדיים שווים זה לזה(1)

. כל המקצועות הצדדיים יוצרים עם הבסיס את אותה הזווית(2)

אם כל הפאות הצדדיות של פירמידה יוצרות עם הבסיס את אותה הזווית אז הגובה של .ד

.הפירמידה עובר דרך מרכז המעגל החסום בתוך הבסיס

V :נפח פירמידה =B ⋅ h

3

h -גובה ה פירמידה

B -ירמידה שטח בסיס הפ

.סכום השטחים של פאות הפירמידה: שטח מעטפת

.(B) שטח בסיס + שטח מעטפת: שטח פנים


α

α

006שאלון



KABC היא פירמידה משוכללת וישרה שבה מקצועות

והזווית t-הבסיס וגובה הפירמידה שווים ל

.αבין מקצוע צדדי לבסיס היא

.αמצא את .א

.tהבע את גובה הפאה הצדדית באמצעות .ב

נתון כי שטח מעטפת הפירמידה .ג

4הוא tהוכח כי . 39 4=.

פתרון

.א

זווית עם הוא ישר ADO כלומר משולש ∢°A הוא חוצה הזוויתOA, ווה צלעותמאחר שהבסיס הוא ש

- ו30°זווית חדה בת t

DA2

=:

t2

o 32

AD tAO ; AO ; AO

Cos30 3= = =

:KOAנחשב במישור , αאת

o

t3

ttan 3 60α = = ⇒ α =

.ב

: מתקייםKOA ישר הזווית במשולש

o 32

t t 2tKA ; KA ; KA

Sin60 3= = =

: מתקייםKDAבמישור

( ) ( )

2 2

2 22t t23

KD KA DA ;

4 1 t 13KD t ; KD 1.04t

3 4 12

= −

⋅= − = − = =

.ג

:שטח המעטפת הוא 2

22

1 t 13 t 39S 3 t ; S

2 42 3

t 394 39 t 16 t 4

4

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⇒ = =

A

B

C

K

α

t

t

t

o60

o60 D

O




Fנקודה . aשאורך כל אחת מששת מקצועותיה הוא , משוכללת וישרה, SABCנתונה פירמידה משולשת

.BAC עם מישור הבסיס α יוצר זווית BFAכך שמישור המשולש , SCאת על המקצוע נמצ

.α- וa באמצעות BFAהבע את שטח המשולש

פתרון

אנכים . משותף לשני המישורים הAB,ידי העלאת שני אנכים על ישר החיתוך - מתקבלת עלαזווית

.ABאלה יוצאים מנקודת אמצע הצלע

2: פי משפט פיתגורס-על, הזווית- ישר△BCD-ב 2 2BC BD CD= +.

2

2 2aa CD

2 − =

2

23aCD

4=

3aCD

2=

באותו אופן גם 3a

SD2

=.

.שוקיים- הוא שווהSDCלכן משולש

: βנמצא את זווית

a12cos

3 3a

2

β = =.

54.74βמכאן = °.

). שבו ידועות כבר שתי זוויות וצלע, DFCנעבור למשולש )DFC 180 54.74= − α + °∢.

: שפט הסינוסיםלפי מ

( )( ) ( ) ( )

3aDF 0.866a sin 54.74 0.7071a2 ; DF

sin 54.74 sin 54.74 sin 54.74sin 180 54.74

⋅ °= = =

° α + ° α + °− α + °

: הוא, ABFשטח המשולש ( ) ( )

2

ABF

AB DF a 0.7071a 0.3536aS

2 2 sin 54.74 sin 54.74

⋅= = ⋅ =

α + ° α + °△.

αD

C

F

a23

54.74o

β

D

C

S

a2

a2

3

a2

β

α

a a

a2

A

B

C

D

S

a

F

a�2

006שאלון



.aנתונה פירמידה משולשת וישרה שבסיסה משולש שווה צלעות שאורך צלעו

.aאורך המקצועות הצדדיים גם הוא

.aהבע את נפח הפירמידה באמצעות . א

.מצא את גודל הזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכות. ב

פתרון

.א

).ראה ציור ( SOנוריד גובה

הוא רדיוס המעגל החוסם OCמכיוון שהפירמידה ישרה

:ולכן לפי משפט הסינוסים, את משולש הבסיס

a a

OC2sin 60 3

= =

:SOC פיתגורס במשולש ולכן לפי משפט

2

2 2 2 a 2SO a OC a a

3 3= − = − =

: ולכן 2 3

ABC

1 1 3a 2 a 2V S SO a

3 3 4 3 12∆= ⋅ = ⋅ ⋅ =

.ב

. שהוא ישר החיתוך של שתי פאות צדדיותSC ל AM- וBMנוריד אנכים

הם גבהים במשולש שווה AM - וBMלפי הנתון הפאות הצדדיות הם משולשים שווי צלעות ולכן

.aלע צלעות עם צ

: לכן 2 2

2 a 3a a 3 a 3BM a BM AM

2 4 2 2 = − = = ⇒ = =

: AMBנמצא זווית זאת בעזרת משפט הקוסינוסים במשולש . AMBהזווית שבין שתי הפאות היא זווית

222 2

2 2 2 22

2

3a2 aa 3 a 3 a 3 a 3 14a 2 cos cos

2 2 2 2 33a2

⋅ − = + − ⋅ α ⇒ α = =

α ולכן 70.52= �

a a

a

a

a

S

B

C

O A

M

a

a

aB

M

S

C




.Hגובה הפירמידה . משוכללת וישרהSABCDתונה פירמידה נ .1

.αזווית הראש של כל פאה צדדית היא

הוכח כי שטח הבסיס הוא 2 22H sin

cos (1 cos )

αα + α

.

חשב . לזהבפירמידה מחומשת ישרה ומשוכללת כל המקצועות הצדדיים ומקצועות הבסיס שווים זה .2

. את הזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכות

) ABCזווית - הוא משולש ישר) ראש הפירמידה– SABC) Sבסיס פירמידה .3 )AC BC⊥ ,שבו :

BAC = α∢ ;וכל אחד מהם שווה ל, המקצועות הצדדיים של הפירמידה שווים זה לזה -m .

. β לבסיס היא SA הנטייה של המקצוע הצדדי זווית

).הסבר כל צעד בפתרון (β- וm ,αל באמצעות "הבע את נפח הפירמידה הנ

:תשובות

הוכחה .1

2. 138.2°.

3. 3m

V sin 2 sin 2 cos6

= α β β.

B A

O

D C

S

006שאלון



. חרוט-טריגונומטריה במרחב : צפויה להישאל בנושאים

M :שטח המעטפת = πR ⋅ ℓ

P :שטח הפנים = πR ⋅ ℓ + πR2

V :נפח החרוט =13πR2 ⋅ H

:1 מספר דוגמא

AB – מיתר שאורכו a ,הנמצא על מעגל הבסיס של ֶהחרוט

: הוא מרכז המעגל וכן נתוןO-נתון ש. S-שראשו ב

ASB 2 , AOB 2= β = α∢ ∢.

.β- וa ,αהבע את נפח ֶהחרוט באמצעות

פתרון

:ים מתקיAOBש "במש a

OB2sin

=α

: מתקייםSABש "במש a

SB2sin

=β

..)פיתגורס( מתקיים SOBר "במיש

( )

2 2

2 2 2 22 2 2

2 2

SO SB OB ;

a sin sin a sin sina aSO ; SO

2sin 2sin 2sin sin4sin sin

= −

α − β α − β = − = = β α α βα ⋅ β

:נפח ֶהחרוט 2 2 2 3 2 2

3

a sin sin a sin sinaV ; V

3 2sin 2sin sin 24sin sin

α − β π α − βπ = ⋅ ⋅ = α α β α β

): הוכיחו את הזהות ) ( )2 2sin sin sin sinα − β = α + β ⋅ α −β


H ℓ

R

•

A

B a 2α

S

O

2β



: 2דוגמא מספר

S 2-מעטפת ֶהחרוט ו הוא שטחαהיא זווית הראש

).ראה ציור(של החתך הצירי

הוכח שנפח החרוט הוא Scos Ssin

V3

α α=

π

פתרון

: מתקייםSOBר "במיש R

R sinsin

= α ⇒ =α

ℓ ℓ

Sהנוסחה לחישוב שטח המעטפת של חרוט היא R= π ℓכן ול:

R SsinS R R

sin

α= π ⋅ ⇒ =

α π

: מתקייםSOBר "במיש

SsinSO R cot ; SO cot

α= α = ⋅ α

π

:שטח הבסיס 2

SsinS

α π= π = π

○

Ssin⋅ α

π; S Ssin= α

○

:נפח ֶהחרוט

( )1 SsinV Ssin cot

3

α= ⋅ α ⋅ ⋅ α π

Scos SsinV

3

α α=

π

.ל.ש.מ

•

2α

ℓ ℓ

A

B

O R

S

006שאלון


: 3דוגמא מספר

B – ו A עם שתי נקודות Sבחרוט חיברו את הקודקוד

. אינו קוטרAB. שעל היקף הבסיס

עם מישור β יוצר זווית OSגובה החרוט

עם הקו היוצר α וזווית SABהמשולש ). של החרוט )BSO< = α/ .נתון :SO 10= .

.β - ו αי " עSABהבע את שטח המשולש

פתרון

: ולכןβ ישר זווית עם זווית חדה SCOמשולש 10

SCcos

=β

.

: ולכןα ישר זווית עם זווית חדה SBOמשולש 10

SBcos

=α

: יתר ולכן עלפי פיתגורס עליו השלום מתקייםSB ישר זווית כאשר SBCמשולש

( )

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

BC SB SC

100 cos cos100 100BC

cos cos cos cos

10 cos cosBC

cos cos

= −

β − α= − =

α β α ⋅ β

β − α=

β⋅ α

:SABחישוב שטח המשולש

SAB

2 2 2 2

SAB SAB 2

S BC SC

10 cos cos 100 cos cos10S ; S

cos cos cos cos cos

∆

∆ ∆

= ⋅

β − α β − α= ⋅ =

β β⋅ α β⋅ α

S

A

B

CO

10

βα




חשבו את נפח הגוף . סביב האלכסון הגדולמסתובב , α וזוויתו החדה aשאורך צלעו , מעוין .א .1

. שנוצר

?ל סביב האלכסון הקטן"ידי סיבוב המעוין הנ- שנוצר על, מהו נפח הגוף .ב

?ל שווים"באיזה מקרה יהיו הנפחים של הגופים הנ .ג

כדור באופן שהעיגול הגדול של חצי הכדור - בחרוט חסום חצי .2

). ראו ציור(ור נוגע במעטפת החרוט מונח על בסיסו של החרוט וחצי הכד

.α והוא יוצר עם בסיס החרוט זווית ℓ הקו היוצר של החרוט הוא

.α - וℓ בטאו את נפח חצי הכדור באמצעות

.נתון חרוט ישר .3

aנמצא במרחק , המקביל לבסיס החרוט, מישור

.מעל הבסיס והוא מחלק את החרוט לשני חלקים

.8:19היחס בין הנפחים של חלקי החרוט הוא

.חלק החרוט שנפחו גדול יותר נמצא ליד בסיס החרוט

.aבטאו את אורך הגובה של החרוט באמצעות

:תשובות

V .א .1 =π3 a3sinα sin

α2.

V .ב =π3 a3sinα cos

α2.

.כאשר המעוין יהיה ריבוע .ג

2. V =

π12 ⋅ ℓ3 ⋅sin3 2α.

3. 3a

ℓ

006שאלון



.חקירת פונקציות: צפויה להישאל בנושאים

1דוגמא מספר

2fנתונה הפונקציה (x) a sin x bx= −.

xרף הפונקציה בנקודה המשיק לג12

π .x- מקביל לציר ה=

a: הוכח .א 2b=.

a -אם ידוע גם ש .ב של נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של x-מצא את שיעורי ה, <0

,0]הפונקציה בקטע ]π.

רוןפת

.א2f (x) a sin x bx= −

x: נתון כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה 12

π .x- מקביל לציר ה=

: מכאן 12

f ' 0π

=

) :נגזור את הפונקציה הנתונה )f ' x 2a sin x cos x b a sin 2x b= − = −

12

2f ' a sin b 0

12

1a sin b 0 ; sin

2 6 21

a b 0 a 2b2

π

π = − =

π π− = =

∴ ⋅ − = → =

.ל.ש.מ

.ב) :' בסעיף אמצאנו )f ' x a sin 2x b= −

a :כמו כן מצאנו 2b=

( ) af ' x a sin 2x

2∴ = −

), בנקודת הקיצון )f ' x 0=.



1 1

aa sin 2x 0

21 1

sin 2x 0 sin 2x2 2

2x x6 12

∴ − =

− = → =

π π= → =

)קיים פתרון נוסף בתחום . 'בנקודה זו טיפלנו כבר בסעיף א )0,π:

2

2 2

2x6

5 52x x

6 12

π= π −

π π= → =

.בעזרת הניגזרת השניה, נסווג את הנקודות למינימום ומקסימום

( )

( )

12

af ' x a sin 2x

2f '' x 2a cos 2x

2f '' 2a cos 2a cos

12 6π

= −

=

π π= =

cos: לפי הנתון 0 a 06

π> : ומכאן. <

12

f '' 0π

>

.וזוהי נקודת מינימום

12

2 5 5f '' 2a cos 2a cos

12 6π

⋅ π π= =

5

cos 06

π: ולכן, >

12

f '' 5π

.

.וזוהי נקודת מקסימום

]שבקטע , מכאן ]0,π ,הפונקציה יורדת עד לנקודת המינימום :5

0 x12

π< <.

: טעכמו כן היא יורדת מנקודת המקסימום עד לקצה הק 5

x12

π< < π.

x: בקטע, לנקודת המקסימום, הפונקציה עולה מנקודת המינימום 12 12

π 5π< <.

x: תחומי עליה: תשובה 12 12

π 5π< : תחומי ירידה, >

50 x

12

π< <,

5x

12

π< < π.

006שאלון


2 דוגמא מספר

נתונה הפונקציה 2

4

(x 2B)f (x)

(x B)

−=

− ,B0, פרמטר>B.

.Bבמידת הצורך הבע את תשובותיך באמצעות . ו-ענה על הסעיפים א

.מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה .א

.מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים .ב

.מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים .ג

f שעבורם xמצא את ערכי .ד '(x) 0=.

.מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה .ה

.סרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ו

::פתרון

.א

x B 0− xכלומר , ≠ B≠.

x: תשובה B≠.

.ב

. קיימות בנקודת אי ההגדרה של הפונקציהyאסימפטוטות מקבילות לציר

.B = x: היא אפואyהאסימפטוטה המקבילה לציר

. שואף לאינסוףxכאשר , yנמצא למה שואף , xבכדי למצוא אסימפטוטות מקבילות לציר

( )( )

2

21 2B2x x

x 4 4Bx

(x 2B)lim

(x B) 1→∞

−−=

− −

).4x -חילקנו מונה ומכנה ב(

( )( )

( )( )

2

221 2B

x xx 4B

x

0 0lim 0

1 01→∞

− −= =

−−

.y= 0: היא אפואxהאסימפטוטה המקבילה לציר

.B = x ,0 = y :תשובה



.ג

.y ,0 =xבנקודת חיתוך עם ציר

2 2 2

(0) 4 4 4 2

(x 2B) (0 2B) 4B 4f ; 0 ,

(x B) (0 B) B B

− − = = = − −

.x ,0 =y -בנקודות חיתוך עם ציר ה 2

4

(x 2B)0

(x B)

−=

−

2(x 2B) 0 ; x 2B 0 ; x 2B ; (2B , 0)− = − = =

) :תשובה ) 2

42B , 0 , 0 ,

B

.

.ד

[ ]

2

4

4 3 2

8

2 3 2

3

3

3

(x 2B)f (x)

(x B)

2(x 2B) (x B) 4(x B) (x 2B)f '(x) 0

(x B)

2(x 2B) (x B) 4(x B) (x 2B) 0 / : 2

(x 2B)(x B) x B 2(x 2B) 0

(x 2B)(x B) (x B 2x 4B) 0

(x 2B)(x B) (3B x) 0

−=

−

− ⋅ − − − ⋅ −= =

−

− ⋅ − − − ⋅ − =

− − − − − =

− − − − + =

− − − =

:למשוואה זו יש שלושה פתרונות

1

3

(1) x 2B 0 ; x 2B

(2) (x B) 0 ; x B 0 ; x B

− = =

− = − = =

).'ראה סעיף א(פתרון זה נמצא מחוץ לתחום ההגדרה של הפונקציה

2(3) 3B x 0 ; x 3B− = =

2 :תשובה 1x 3B , x 2B= =.

006שאלון


.ה

fהפונקציה עולה כאשר '(x) fויורדת כאשר , <0 '(x) 0<.

:'ראינו בסעיף ד 3

8

(x 2B)(x B) (3B x)f '(x)

(x B)

− − −=

−

. חיובי בכל תחום ההגדרה'x(f(המכנה של

2: בנקודות) 'סעיף ד(המונה מתאפס 1x 3B ; x 2B= =.

).והגורם השלישי שלילי, הגורם השני חיובי, הגורם הראשון חיובי(המונה שלישי , B4 =xכאשר

: כךת ניתן לתאר גראפי'x(f(שאת סימנה של , מכאן

2B, : שהנגזרת חיובית בתחומים, מכאן x 3B , x B< < <.

x: הנגזרת שלילית בתחומים 3B , B x 2B> < <.

2B : תחומי עלייה :תשובה x 3B , x B< < <.

x :תחומי ירידה 3B , B x 2B> < <.

.ו

B 2B 3B

- - + +

y

X




: נתונה פונקציה2 2

x 1y

x b

−=

− , b 1>.

נקודות חיתוך עם , ות מקבילות לציריםאסימפטוט, תחום הגדרה: חקור את הפונקציה ומצא .א

).bבאמצעות , במידת הצורך, הבע(תחומי עלייה וירידה , הצירים

.סרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ב

:פתרון

.א

2: תחום הגדרה 2x b 0− ≠

2 2x b

x b

≠

≠ ± : קיימות בנקודות אי ההגדרהyאסימפטוטות מקבילות לציר

x b , x b= = − . לאפס כיוון שאז המכנה שווה , קיימות בנקודות אי ההגדרהy- טוטות מקבילות לציר האסימפ: הערה

במקרה כזה אין אסימפטוטה . גם המונה שואף לאפס, אם כאשר המכנה שואף לאפס, יש לבדוק, אולם

bכיוון שלפי הנתון . בנקודה אי ההגדרה נו מתאפס ואז יש הרי כאשר המכנה מתאפס המונה אי, <1

.אסימפטוטות כפי שנרשמו

. שואף לאינסוףxכאשר , yנמצא למה שואף , x-בכדי למצוא אסימפטוטה מקבילה לציר ה

2

2 2 2

x 2

x

1 1x 1 0 0x xlim lim 0

1 0x b b1

x→∞

→∞

−− −

= = =−−

−

.x :y=0-אסימפטוטה מקבילה לציר ה

.y .x=o- בנקודת חיתוך עם ציר ה

2 2 2 2 2

x 1 0 1 1 1y ; 0,

x b 0 b b b

− − = = =

− − :x ,y=0-בנקודת חיתוך עם ציר ה

2 2

x 1y

x bx 1 0 ; x 1 ; (1,0)

−=

−− = =

.'y נמצא את ,למציאת תחומי עליה וירידה

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

x 1y

x b

x b 2x(x 1) x b 2x 2x x 2x by '

x b x b x b

−=

−

− − − − − + − + −= = =

− − −

006שאלון


y: בנקודות קיצון ' 2x: כלומר, =0 2x b 0− + − =

22 2

1,22 4 4b

x 2x b 0 ; x2

± −− + = =

והנגזרת הראשונה, מכאן שאין נקודות קיצון. מכאן שהביטוי שבתוך השורש שלילי. b>1: נתון

. חיובית או שלילית'yנבדוק עתה אם . תמיד שונה מאפס

כיוון . הוא פרבולה בעלת מקסימום'y הגראפי של המונה של רהתיאו. תמיד חיובי'yהמכנה של

'yוהמונה של , x-מכאן שהפרבולה נמצאת תמיד מתחת לציר ה, שראינו שהמונה תמיד שונה מאפס

yמכאן . תמיד שלילי ' .מכאן שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. x לכל >0

x: תחום הגדרה : תשובה b≠ ±

y: אסימפטוטות מקבילות לצירים 0 , x b , x b= = − =

): נקודות חיתוך עם הצירים )2

10, , 1,0

b

.הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה: תחום עליה וירידה

.ב

:תונים הבאיםלצורך שרטוט הסקיצה נעזר בנ

.נקודות חיתוך עם הצירים .1

.אסימפטוטות .2

.העובדה שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה .3

. חיוביתyואז , x>1 קיים גם x>bכאשר .4

.ואז הפונקציה שלילית, המונה שלילי והמכנה חיובי, x<-bכאשר .5

y

x

1

b2



ספותושאלות נ

f: נתונה הפונקציה .1 x x x

x xb g = −

− +4

5 4

2

2.

.מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה .א

הסבר מדוע יש רק . מצא אסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים .ב

.y -המקבילה לציר ה אסימפטוטה אחת

.מצא נקודות חיתוך של הפונקציה עם הצירים .ג

.מצא תחומי עליה וירידה של הפונקציה .ד

.סרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ה

): נתונה הפונקציה .2 )( )

2 2

2

a xf x

x 1

−=

− , a > 1) aפרמטר .(

ואת נקודות החיתוך של הפונקציה עם , מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה . א

).aמובעות באמצעות (הצירים

.מצא אסימפטוטות לפונקציה המקבילות לצירים . ב ).aמובעת באמצעות (ציה מצא את נקודת המינימום של הפונק . ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . ד

: תונה הפונקציהנ .32

Axy

x Bx 9=

− +.

)שיפוע הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה )4, : הוא−47

15−.

. B- וAמצא את .א

: ומצא את', שמצאת בסעיף אB- וA הצב בפונקציה את הערכים .ב

. תחום ההגדרה .1

. נקודות החיתוך עם הצירים .2

. האסימפטוטות המקבילות לצירים .3

006שאלון


:תשובות

x: תחום ההגדרה. א .1 ≠ x וגם 1 ≠ 4 .

.x = 1 ,y = -1. ב

). 0, 0. (ג

. הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ד

:שרטוט. ה

xתחום הגדרה . א .2 ).a( ,)a2 ,0( ,)0 ,-a, 0: (נקודות החיתוך. ≠1

.x = 1 ,y = -1. ב

: נקודת מינימום. ג 2

22

aa ,

1 a

−

.

: סרטוט. ד

B .א .3 10, A 15= =.

x .1 .ב 9, x 1≠ ≠.

2. ( )0, 0.

3. y 0, x 9, x 1= = =.




.חקירת פונקציה טריגונומטרית: צפויה להישאל בנושא

:נגזרות

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

2 2

2 2

sin x ' cos x sin u ' u ' cos u

cos x ' sin x cos u ' u ' sin u

1 u 'tan x ' tan u '

cos x cos u1 u '

cot x ' cot u 'sin x sin u

= = ⋅

= − = − ⋅

= =

= − = −

טיפים

בחקירת פונקציה טריגונומטרית בתחום סגור יש למצוא את נקודות הקצה ולסמנן •

.אסור לשכוח שנקודות אלו מהוות נקודות קיצון של הפונקציה. בפונקציה

:לדוגמא, תלא לשכוח את כלל השרשרת בנגזרת פונקציה טריגונומטרי •

( )( )

( )( )

3 2

4 3

5 42

sin x ' 3sin x cos x

cos x ' 4cos x sin x

1tan x ' 5 tan x

cos xsin 4x ' 4cos 4x

= ⋅

= − ⋅

= ⋅

=


006שאלון



f(x): הפונקציה = cos4 x − sin4 x − 2 cosx+ −: מוגדרת בתחום1π2 < x <

π2.

. מצאו את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה בתחום .א

.תחוםמצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה ב .ב

פתרון

.א

( )

( )( )( )

( )( )

4 4

4 4 2 2 2 2

2 2

f x cos x sin x 2cos x 1 x2 2

cos x sin x cos x sin x cos x sin x

1 cos x sin x cos 2x

f x cos 2x 2cos x 1

f ' x 2sin 2x 2sin x

π π= − − + − < <

− = + − =

= − =

∴ = − +

= − +

) :בנקודות הקיצון )f ' x 0=

2sin 2x 2sin x 0

sin 2x sin x

− + =

=

sin :כאשר, כידוע sinα = β ,אזי: ( )kk 1β = π + − α

) :במקרה שלנו )k2x k 1 x= π + −

kכאשר 0=: 2x 0 x= +

1x 0=

kכאשר 1=: 2x x= π −

23x ; x3

π= π =

kכאשר 1= −: 2x x= −π −

33x ; x3

π= −π = −

xכל יתר הפתרונות הם מחוץ לתחום ההגדרה 2 2

π π − < <

.

.נמצא את הנגזרת השנייה, בכדי לסווג את נקודות הקיצון למינימום ומקסימום



( )

( )

f '' x 4cos 2x 2cos x

2 1 1f '' 4cos 2cos 4 2 3 0 min

3 3 3 2 2

f '' 0 4cos0 2cos0 4 1 2 1 2 0 max

2 1 1f '' 4cos 2cos 4 2 3 0 min

3 3 3 2 2

= − +

π π π − = − − + − = − − + ⋅ = > →

= − + = − ⋅ + ⋅ = − < →

π π π = − + = − ⋅ − + ⋅ = > →

. של נקודות הקיצוןy- חשב את שיעור הנ

( )

( )

f x cos 2x 2cos x 1

2 1 1 1f cos 2cos 1 2 1

3 3 3 2 2 2

f 0 cos0 2cos0 1 1 2 1 1 0

2 1 1 1f cos 2cos 1 2 1

3 3 3 2 2 2

= − +

π π π − = − − − + = − − ⋅ + = −

= − + = − ⋅ + =

π π π = − + = − − ⋅ + = −

) :תשובה )1 1Min , , Max 0,0 , Min ,

3 2 3 2

π π − − −

.ב

x :בתחום, הפונקציה יורדת עד לנקודת המינימום 2 3

π π− < < −

x :הפונקציה עולה מנקודת המינימום לנקודת המקסימום 03

π− < <

0 :ציה יורדת מנקודת המקסימום עד לנקודת המינימוםהפונק x3

π< <

x :הפונקציה עולה מנקודת המינימום 3 2

π π< <

x :תחומי עלייה :תשובה , x 03 2 3

π π π< < − < <

0 :תחומי ירידה x , x3 2 3

π π π< < − < < −

006שאלון



2fקציה נתונה הפונ (x) 8sin x cos 4x= בתחום −4

0 x5

π≤ ≤ .

.מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון .א

fמצא כמה פתרונות יש למשוואה . ב (x) . נמק. בתחום הנתון=0

פתרון

( ) 2f x 8sin x cos4x= −

בתחום 4

0 x5

π≤ ≤

( )

( )

f ' x 16sin x cos x 4sin 4x 0

8sin 2x 8sin 2x cos 2x 0

8sin 2x 1 cos 2x 0

8sin 2x 0 1 cos 2x 0

sin 2x 0 cos 2x 1

2x 180k cos 2x cos180

x 90k 2x 180 360k 2x 180 360k

x 90 180k x 90 180k

= ⋅ + =

+ =

+ =

↓ ↓

= + =

= = −

= =

= = + = − +

= + = − +

4x 0 x

2 5

π π= =

( ) ( )f 0 1 0, 1 min

f 8 1 7 ,7 max2 2

4 4f 3.573 ,3.573 min

5 5

= − −

π π = − =

π π =

4

5

π

2

3

π

2

π

3

π

0 x

min - max + min y

y ' 8sin120 4sin 240 2 3 03

2y ' 8sin 240 4sin 480 2 3 0

3

π = + = >

π = + = − <



24f 8sin 144 6sin576 3.57

5

π = − =

)יש רק פתרון אחד למשוואה )f x . בתחום הנתון =0

פ הגרף בתחום הנתון"וזאת ניתן לראות ע

x

y

006שאלון


ספותושאלות נ

y: נתונה הפונקציה .1 = 2x − tgx בתחום :−25 π ≤ x ≤

25 π.

. מצאו את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה .א

. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה .ב

. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה בתחום המבוקש .ג

f(x): נתונה הפונקציה .2 = a sin3 x − 3bsinx0: בתחום ≤ x ≤ π.

xהמשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה , ישר =π .x - מקביל לציר ה, 6

aהראה כי .א = 4b.

b : נתון .ב > fמצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה . 0 (x) בתחום הנתון

.וקבעו את סוגן, ) לפי הצורךbבטאו באמצעות (

y: נתונה הפונקציה .3 = sin4 x + cos4 x ,0: בתחום ≤ x ≤π2.

'yגזרו והוכיחו כי הנגזרת של הפונקציה היא .א = − sin4x

:בתחום הנתון ומצאו את

.וקבעו את סוגן, של נקודות הקיצון של הפונקציהx -שיעורי ה .ב



:תשובות

max .א .1π4,

π2 − 1

, min −

π4,1−

π2

min25 π,− 0.565

max −

25 π , 0.565

−: תחום עלייה .ב π4 < x <

π4

−: תחומי ירידה 25 π ≤ x < −

π4

או π4 < x ≤

25 π

.ג

הוכחה .א .2

max, .ב π2 , b

, min

π6 ,−b

max(π, 0) , max(0, 0) , min5π6 ,−b

הוכחה .א .3

max .ב π2 ,1

, min

π4,

12

,max 0,1( )

y

x

006שאלון


:5-3שאלה מספר .קשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת: צפויה להישאל בנושא

)גרף )f x גרף( )f ' x גרף( )f '' x

1xנקודת מקסימום .

) (xנקודת חיתוך עם ציר )f ' x 0=.(

.מעבר מחיובית לשלילית

1xנקודת מינימום .

) (xנקודת חיתוך עם ציר )f ' x 0=.(

.מעבר משלילית לחיובית

).xמעל ציר (סימן הנגזרת חיובי .הפונקציה עולה

).xמתחת לציר (סימן הנגזרת שלילי .יורדתהפונקציה

)נקודת קיצון של .נקודת פיתול )f ' x. נקודת חיתוך עם צירx.

) .קעירות כלפי מעלה )f ' xהפונקציה מעל ציר . עולהx) חיובית.(

) .קעירות כלפי מטה )f ' xהפונקציה מתחת לציר . יורדתx

).שלילית(

1x−

+

1x−

+

1x

1x




)הגרף מתאר את גרף פונקצית הנגזרת )f ' x

)של הפונקציה )f x.

.מצא את נקודת הקיצון וקבע את סוגה )1( .א)רשום את תחומי העלייה והירידה של )2( )f x.

)מצא את נקודות הפיתול של .ב )f x.

)שרטט סקיצה של גרף הפונקציה אם ידוע כי .ג )f ' x לכל x.

פתרון

.א

xבנקודות הקיצון הנגזרת מתאפסת ולכן הנקודות החשודות הן )1( x- ו=2 4=.

xבסביבת הנקודה . סימן הנגזרת עובר משלילי לחיובי ולכן זוהי נקודת מינימום=2

xבסביבת הנקודה . סימן הנגזרת נשאר חיובי ולכן זוהי לא נקודת קיצון=4

xעבור )2( 2< ,( )f ' x ) ולכן >0 )f x יורדת עבור x 2<.

xעבור xסימן הנגזרת חיובי מלבד נקודה יחידה , <2 ומאחר שזוהי נקודה יחידה הפונקציה =4

xעולה בקטע 2>.

.ב

)נקודות הפיתול החשודות כפיתול מקיימות )f '' x ) כלומר נקודות קיצון של =0 )f ' x.

xולכן הנקודות החשודות כפיתול הן x- ו=3 4=.

xעבור 3< ,( )f ' x עולה ולכן ( )f '' x x כלומר עבור <0 ) הפונקציה >3 )f xקעורה כלפי מעלה .

3עבור x 4< ) הנגזרת > )f ' x יורדת ולכן ( )f '' x ) כלומר >0 )f xקעורה כלפי מטה .

xעבור 4>, ( )f ' x עולה ולכן ( )f '' x x כלומר עבור <0 . הפונקציה קעורה כלפי מעלה<6

xולכן x- ו=3 . הן נקודות פיתול בהן יש מעבר מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה ולהפך=4

.ג

2 43

x

y

2 3 4

006שאלון



)הגרף מתאר את גרף פונקצית הנגזרת )f ' x

)של הפונקציה )f x 3 בתחום x 5− ≤ ≤.

.מצא את נקודת הקיצון וקבע את סוגה )1( .א)רשום את תחומי העלייה והירידה של )2( )f x.

)מצא את נקודות הפיתול של .ב )f x.

)שרטט סקיצה של גרף הפונקציה אם ידוע כי .ג )f ' x לכל x.

רוןפת

.א

xנקודה )1( x- ו=0 ) הן נקודות החשודות כקיצון כי בהן =4 )f ' x xאנו רואים כי בסביבת . =0 0=

xהנגזרת ומשנה את סימנה מחיובית לשלילית ולכן . היא נקודת מקסימום=0

xעבור . הנגזרת משנה את סימנה משלילית לחיובית ולכן זוהי נקודת מינימום=4

3עבור )2( x 0− ≤ 4 - ו> x 5< ≤ ( )f ' x . ולכן הפונקציה עולה במקומות אלו<0

0עבור x 4< < ( )f ' x . ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה>0

.ב

)בנקודות פיתול )f '' x ) כלומר נקודת קיצון של =0 )f ' x ואלו הן x 1= x- ו− .יתול החשודות כפ=3

xעבור 1< ) הפונקציה − )f ' x עולה ולכן ( )f '' x xולכן . כלומר הפונקציה קעורה כלפי מטה>0 1= −

.היא נקודת פיתול

xעבור 3> ( )f ' x עולה ולכן ( )f '' x xולכן . כלומר קעירות כלפי מעלה<0 היא נקודת פיתול בה =3

.עוברת הפונקציה מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה

.ג

-3 -1 3 4 5

-3 -1 3 4 5




.ת רציונאליו-בעיות קיצון : צפויה להישאל בנושא

: בעיות מקסימום או מינימוםשלבי פתרון של

.זוהי הפונקציה הנדרשת להיות מקסימלית או מינימלית. זיהוי הפונקציה המבוקשת .א

.כלל נרשום את הפונקציה המבוקשת בעזרת שני משתנים-בדרך .ב

).השלב הקריטי(פי נתוני הבעיה בין שני המשתנים -מציאת הקשר על .ג

. בלבדרישום הפונקציה בעזרת משתנה אחד .ד

.כולל קצות התחום, מציאת מקסימום ומינימום של הפונקציה .ה

.היא מקסימום או מינימום' הוכחה שהנקודה שמצאנו בסעיף ה .ו

טיפים

.בבעיות בגיאומטריה יש לדעת את המשפטים היטב ובעיקר דמיון משולשים •

וכאשר , אזי הכוונה שרדיוסו קבוע, "במעגל נתון"צון כאשר כתוב בבעיות קי •

.הכוונה היא לאורך ורוחב קבועים" במלבן נתון"כתוב


006שאלון



. חסום במשולש שווה שוקייםDEFGמלבן

של המלבן מונחיםF- וGהקודקודים

E- וDוהקודקודים , על בסיס המשולש

).ראה ציור(שולש של המלבן מונחים על שוקי המ

DE:נתון 18= ,EF=b.

, מה צריך להיות הגובה לבסיס המשולשbהבע באמצעות

. כדי ששטח המשולש יהיה מינימלי

:פתרון

AN=x :גובה המשולש :סימון

BC=y :אורך הבסיס

) : שטח המשולש ) 11 S y x

2= ⋅

:לפי דמיון משולשים AM AN

ME NC=

x b x

y92

−∴ =

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2

2 2 2

x b 2x; xy by 18x ; y(x b) 18x

9 y

18xy

x b1 18x

1 S x2 x b

9xS

x b

18x(x b) 9x 18x 18bx 9x 9x 18bxS'

x b x b x b

−= − = − =

=−

= ⋅ ⋅−

=−

− − − − −= = =

− − −

'S: בנקודת הקיצון 0=

( )

29x 18bx 0

9x x 2b 0

∴ − =

− =

D E

G F

D E

G F

x

b

18

yN

M

A

B C



:לכן. שונה כמובן מאפס9xהביטוי

x 2b 0

x 2b

− =

=

. מינימום או מקסימום בעזרת סימנה של הנגזרת השנייהנבדוק אם מצאנו

, 'Sמספיק למצוא את נגזרת המונה של ,"Sבכדי למצוא את סימנה של

.והמונה מתאפס בנקודת הקיצון, כיוון שהמכנה חיובי

''S: נגזרת המונה 18x 18b= −

S'' 18 2b 18b 18b 0= ⋅ − = >

.ימוםמכאן שזו נקודת מינ

.שטח המשולש מינימלי, x = 2bכאשר גובה המשולש : תשובה

006שאלון



)דרך הנקודה )k 0, k, , y- ואת ציר הx-מעבירים ישר החותך את ציר ה, <4

). ראה ציור(זווית ברביע הראשון -כך שנוצר משולש ישר

. שמתקבל באופן זה את שטח המשולש הקטן ביותרkהבע באמצעות

:פתרון

OBנניח כי y= ,OA x= , ולכןDC 4= ,AC x k= −.

:ולכן מתקבל, דומיםBOA ,DCAהמשולשים

y x

4 x k=

−

4xy

x k=

−

משולש הוא שטח ה 1

S x y2

= ⋅.

21 4x 2x

S x2 x k x k

= ⋅ =− −

: נגזור

( )( ) ( )

2 2

2 2

4x x k 1 2x 2x 4kxS' 0

x k x k

− − ⋅ −= = =

− −

22x 4kx 0− =

)הפתרון האחד של המשוואה ) 12x x 2k 0 x 0− = ⇒ הוא צלע במשולש ועל כן xכי , לא מתקבל=

. אורכה צריך להיות חיובי

2x הוא הפתרון השני 2k= .

y)מונה בלבד ( '' 4x 4k= −

min ( )y '' 2k 4 2k 4k 4k 0= ⋅ − = >

: ולכן השטח המינימלי יהיה 22(2k)

s= 8k(2k) k

=−

x

y

B(0,y)

A(x,0)

D(k,4)

x-kkC

y4

x




בכדי שערך האינטגרל aרכו של מה צריך להיות ע1

2

0

1(ax ) dx

4 ? יהיה מינימלי∫−

פתרון

1 12 2 2

0 0

12 3 2 2

0

2

1 ax 1Z (ax ) dx (a x )dx

4 2 16

a x ax x a a 1Z

3 4 16 3 4 16

16a 12a 3Z

48

= − = − +

= − + = − +

− −=

∫ ∫

2y :ערך האינטגרל הוא פונקציה של הביטוי 16a 12a 3= − +

. הוא פרבולה בעלת נקודת מינימוםyהתיאור הגראפי של

minb 12 3

a2a 2 16 8

−= − = − =

i

ערך האינטגרל מינימאלי כאשר : תשובה 3

a8

=.

006שאלון



רוצים להקצות חלקה שיוקם בה מבנה מלבני

, בחזית המבנה יש לנטוע עצים. ר" מ1,000ששטחו

.ל פרחיםומשני צידיו יש לשתו

).ראו ציור(' מ5רוחב השוליים לגינון צריך להיות

מהמחיר 1.25ר גינון בעצים גדול פי "המחיר של מ

.ר גינון בפרחים"של מ

כדי , מה צריך להיות אורך החזית של החלקה

?שעלות הגינון תהיה מינימלית

:פתרון

x-נתונה הפונקציה שתבטא את עלות הגינון נסמן את אורך המלבן שיש בו עצים ב

אז רוחבו 1000 אם שטחו 1000

x.

: השטח שיש לשתול בו פרחים הוא 1000 10000

2 5x x

⋅ ⋅ =.

)השטח שיש לנטוע בו עצים הוא )5 x 10⋅ +.

)1.25פי ( ₪ 5ר גינון עצים עולה "ומ ₪ 4ר שתילת פרחים עולה "יח שמננ

5x5

x55

5

ר" מ1000 פרחים פרחים

עצים

אורך החזית

1000

x

1000

x

1,000

òöéíòöéí

1,000 1,000

òöéíעצים

מטר 000,,

אורך החזית

מטר5

םחי

פרם

חיפר

מטר5



) :פונקצית העלות תהיה )10000p 4 5 5 x 10

x= ⋅ + ⋅ +

40000

p 25x 250x

= + +

:0 -נגזור ונשווה ל2

40000p 25 0

x

−′ + =

2

2

25x 40000 / : 25

x 1600

=

=

x x או =40 40= −

( )

3

3

80000p

x80000

p 40 0 min40

′′ =

′′ = >

40מטר50: אורך החזית צריך להיות 5 5+ + =

006שאלון



y :הגרפים של הפונקציות .1 = −x2 + 1

1< a( ) y = a2 − 1( )x2

. היא ראשית הציריםOהנקודה B. - וAנחתכים בנקודות

שעבורו יהיה שטח , a מה צריך להיות הערך של

? מקסימליAOBהמשולש

f(x) :נתונה הפונקציה .2 = x +8x בתחום x > 0,

yונתון הישר = −x) ראו ציור.(

f נמצאת על גרף הפונקציה Aנקודה (x).

ABכך שהקטע , נמצאת על הישר הנתוןBנקודה

.x -מקביל לציר ה

כדי שאורך , A של x -ת שיעור המה צריך להיו

? יהיה מינימליABהקטע

.מ" ס10 שאורך צלעו ABCDנתון ריבוע .3

Eכך שהמשולש , היא נקודה כלשהי מחוץ לריבוע DEC

.(ED = EC)שוקיים -הוא שווה

N - וM בנקודות ABהמשולש חותכות את הצלע שוקי

).ראו ציור(

כדי שהסכום AMמצאו מה צריך להיות אורך הקטע

EMN,AMDשל שטחי המשולשים . יהיה מינימליBNC -ו

:תשובות1. a = 3

2. xA = 2

3. AM 12.5 3.536= =

A B

O

y

x

E

D C

A BM N



: 5-3שאלה מספר

. פונקציה טריגונומטרית–בעיות קיצון : צפויה להישאל בנושא


ABCשוקיים החסום במעגל - הוא משולש שווה( )AB AC=.

P היא נקודת אמצע של הקשת AC . מצא מה צריכה להיות הזוויתx ,

. יהיה מקסימליAQכדי שאורך הקטע

:פתרון

0תחום הצבה x 90° < < °

:נמצא את כל הזוויות האפשריות

:זווית היקפית נשענת על קשתות שוות 1 x

ABP CBP CAP ABC2 2

= = = =∢ ∢ ∢ ∢

ABC: BACסכום זוויות במשולש 180 2x= −∢ ( )AB AC ABC ACB x

ACQ 180 x

= ⇒ = =

= −

∢ ∢

∢

:△ABC -משפט הסינוסים ב AC

2Rsin x

=

AC 2R sin x=

:△ACQ -משפט הסינוסים ב ( )

AC AQ 2R sin xx xsin 180 xsin sin2 2

= =−

22R sin x

AQx

sin2

=

:נגדיר פונקציה חדשה 2sin x

yx

sin2

=

2

2

2

x 1 xu sin x v sin ; u ' 2sin x cos x v ' cos

2 2 2x 1 x

2sin x cos x sin cos sin x x 1 x2 2 2y ' 0 ; sin x 2cos xsin cos sin x 0x 2 2 2sin2

= = = =

− = = − =

sin x 0

x 0 360 k

=

= + °

או

xלא בתחום 180 360 k= ° + ° ⇒

B

A

C

P

x Q

006שאלון


2

2

2 2

2

x x x2cos xsin cos sin 0

2 2 2x x

sin 2cos x cos 02 2

x x xsin 0 2 2cos 1 cos 0

2 2 2

x x 20 360 k cos

2 2 3

x 2 x 2x 720 k cos cos

2 3 2 3

− =

− =

= − − =

= + ° =

= ° = = −

x 70.52= °

80 70.52° 30 x

- 0 + y'

לא בתחום




ABC ABשוקיים - משולש שווה = AC( Aומן הנקודה , רים משיק למעגל מעביCבנקודה . חסום במעגל נתון(

. Dהאנך חותך את המשיק בנקודה . מורידים אנך למשיק

? יהיה מקסימליADCכדי ששטח המשולש , BACמצאו מה צריכה להיות הזווית

0תחום הצבה : פתרון x 90° < < °

△ABC - משפט סינוסים ב

x x

AC 2R sin 2R cos2 2 2

π = − =

△ADC - משפט סינוסים ב

2x xAD ACcos 2R cos

2 2= =

:ולכן

2 2ACD

1 x x xS AC AD sin 2R cos sin

2 2 2 2= ⋅ ⋅ =

△

:ולכן

( ) 2 2 2 2

2 2 2 2

x x 1 1 xS' x 2R 3cos sin cos

2 2 2 2 2

x x xR cos cos 3sin 0

2 2 2

= − ⋅ + =

− =

( )xcos 0 S' x 0

2= ⇐ 2x או = 1 x 1

tan tan2 2 33

= ⇐ או =x 1

tan2 3

= −

האפשרות היחידה היא פתרון המשוואה x x 1

x ; ; tan3 2 6 2 3

π π= = =

70 60 30 x

- 0 + y'

x: תשובה 603

π= = °

CB

A

D

x

2 2

π−

x

2 2

π−

x

2

x

max

006שאלון



)30°נתונה גזרת מעגל בעלת זווית מרכזית של .1 )AOB 30= °∢.

הנמצאת על קשת הגזרהPמנקודה . Rרדיוס המעגל הוא

, לרדיוס אחרBP לאחד הרדיוסים ואנך APמורידים אנך

.כמתואר בציור שלפניכם

OAPB שבעבורה שטח המרובע BOPמצאו את גודל הזווית

.יהיה מקסימלי

AB שבו ABCנתון משולש .2 = 6 ,AC = 10 ,BAC 120= °∢.

Q בנקודה AC ואת הצלע P בנקודה ABישר חותך את הצלע

- שווה לAPQכך ששטח המשולש 1 .ABC משטח המשולש 2

, הנוצרים באופן זהPQרכי הקטעים מבין כל או

)PQמצאו את הערך הקטן ביותר של )2.

ABC ABשוקיים -במשולש שווה .3 = AC( 2a הבסיס הוא (

, AC על השוק Bידים גובה מקודקוד מור. βוזווית הבסיס

מורידים Dמנקודה . Dהגובה חותך את השוק בנקודה

). ראו ציור (Eהחותך שוק זו בנקודה , ABאנך על השוק

cosβ: כאשר, יהיה מקסימליBEהוכיחו כי אורך הקטע =13

:תשובות

1. BOP 15= °∢

2. 2minPQ 90=

הוכחה .3

A

B C

D

E

2aβ

A

B C

P Q

A

B

R P

O




. פונקציה רציונאלית–אינטגרל : צפויה להישאל בנושא

xndx :נוסחאות האינטגרלים המיידיים =xn +1

n + 1∫ + C n≠ −1( )

1xn dx = x−ndx∫∫

טיפים

', אזי בסעיף ב', ר את הפונקציה בסעיף אבשאלות בהן נדרשים לגזו •

.'עליכם להיעזר בסעיף א

y = f ' (x)dx∫ ⇐ y' = f' (x)

.ידי נגזרת- אזי אמתו זאת על, אם תתבקשו לאמת אינטגרל •

כאשר תידרשו למצוא משוואת משיק בדקו היטב אם נקודת ההשקה •

.או שהמשיק עובר דרך נקודה מחוץ לפונקציה, נתונה

הקשר בין שתי פונקציות משיקות או פונקציה ומשיק כאשר יש פרמטרים •

:הוא I f (x1) = p(x1)

II f' (x1) = p' (x1 )

. נקודת השקהx1 כאשר

.dx את הסימן - בכל פעם שמבצעים אינטגרל -ח לא לשכו •


006שאלון


חישוב שטחים

:xשטח כלוא בין פונקציה חיובית לציר

S = f(x)dx

a

b

∫

:xשטח כלוא בין פונקציה שלילית לציר

S = f (x)a

b

∫ dx או S = − f(x)a

b

∫ dx

:שטח כלוא בין שתי פונקציות

fכאשר פונקציה (x) מעל פונקציה p(x) - S = f (x) − p(x)( )dxa

b

∫

S :ניתן גם להשתמש בנוסחה = f(x) − p(x)( )dxa

b

∫

: חיבור שטחים- מורכב משתי פונקציות שטח

S = S1 + S2 = f(x)dx

a

b

∫ + p(x)dxb

c

∫

:חיסור שטחים

S = f(x)dx − p(x)dx

b

c

∫a

c

∫

x

yf(x)

x = a x = b

x

y

x = bx = a

f(x)

y

x = b

x = a

f(x)

p(x) x x

y

x = b

x = a

f(x)

p (x)

.y

x = b

x = a

f(x)

p (x)x


y

xx = b

f(x)

p(x)

x = a x = c

y

xx = b

f(x) p(x)

x = a x = c

x




): נתונה הפונקציה ) 3f x ax bx= + ( )a ).ראה ציור (<0

םאחת מנקודות החיתוך של הפונקציה ע) היא x-ציר ה )2,0.

חשב את שתי נקודות החיתוך הנוספות .א

.x-של הפונקציה עם ציר ה

,)השטח המקווקו בציור(השטח ברביע הרביעי .ב

.4הוא , x-י ציר ה"י גרף הפונקציה וע"שמוגבל ע

.b ואת aמצא את

פתרון

.א

)נתון שהנקודה :מכאן. נמצאת על גרף הפונקציה2,0(30 a 2 b 2

0 8a 2b ; 2b 8a ; b 4a

= ⋅ + ⋅

= + = − = −

) :נוכל לרשום את נוסחת הפונקציה ) 3f x ax 4ax= −

): x-בנקודת החיתוך עם ציר ה )f x 0=.

( )

3

2

0 ax 4ax

ax x 4 0

∴ = −

− =

1x: 'אפשרות א 0=

2x: 'אפשרות ב 4 0− 2x: ואז= 4=

x 2= ± ): הן אפואx-נקודות החיתוך האחרות עם ציר ה 2,0) , (0,0)−

): תשובה 2,0) , (0,0)−

.ב

(2,0)הוא בין הנקודות השטח הנתון , (0,0).

22 4 4

3 2 2

00

ax a 2S (ax 4ax)dx 2ax 2a 2 4a 8a 4a

4 4

⋅∴ = − = − = − ⋅ = − = −

∫

.x :S=-4-כיוון שהשטח נמצא מתחת לציר ה, S=4: לפי הנתון

:מכאן 4a 4

a 1

− = −

=

b: ראינו בסעיף הקודם 4a= b: מכאן. − 4 1 4= − ⋅ = −

b: בהתשו 4 , a 1= − =.

x

006שאלון



2yהשטח הכלוא בין הגרף של ax x= yי הישר " מתחלק עx- לבין ציר ה− (a 2)x= לשני שטחים−

1S 2-וS (2 a)< .

).aהבע באמצעות , אם יש צורך (2S- ו1Sמצא את

פתרון

2(1) y ax x

(2) y (a 2)x

a 2

= −

= −

>

.Aנמצא תחילה את שיעורי הנקודה

).1(נציב למשוואה

A

2

1 2

A

y 0

0 ax x

x(a x) 0

x 0 , x a

x a

=

= −

− =

= =

=

.שוואותי פתרון המ"ע, Bנמצא את שיעורי הנקודה

2

2 2

1 2 B

ax x (a 2)x

ax x ax 2x ; x 2x 0 ; x(x 2) 0

x 0 ; x 2 ; x 2

− = −

− = − − = − =

= = =

:השטח הכולל

aa2 2 3

0 0

3 33 3 3

2 22 2

1

0 0

2 22 2 3

00

33

2 1

1 1S (ax x )dx ax x

2 3

1 1 3a 2a 1S a a a

2 3 6 6

S (ax x ) (a 2)x dx (ax x ax 2x)dx

1 1 12 8 4 1(2x x )dx x x 4 8 1

3 3 3 3 3

1 4 a 8S S S a

6 3 6

= − =

−= − = =

= − − − = − − + =

− = − = − = − = = =

−= − = − =

∫

∫ ∫

∫ i

:תשובה 3

2 1a 8 1

S , S 16 3

−= =

B

A

y

x

1S2S




3yנתונה הפונקציה x= ונתון ישר המשיק לגרף

י "השטח המוגבל ע. הפונקציה ברביע הראשון

. 192הוא , y –י ציר ה "י המשיק וע"ע, גרף הפונקציה

.מצא את שיעורי נקודת ההשקה

:פתרון

)יהיו שיעורי נקודת ההשקה )31 1A x , x.

:נחשב את משוואת המשיק

( )

3 2 21

3 2 2 31 1 1 1 1

y x ; y ' 3x m 3x

y x 3x x x ; y 3x x 2x

= = ⇐ =

− = − = ⋅ −

: ולכן192השטח הוא

( )

( )

1

1

x2 24x 3 2 3 31

1 1 100

4 4 44 41 1 11 1

41 1 1

3x xx192 x 3x x 2x dx ; 192 2x x

4 2

x 3x 3x1 3192 2x ; 192 x 2 ; 192

4 2 4 2 4

x 256 ; x 4 ; y 64 ; A 4,64

⋅= − ⋅ + = − + ⋅

= − + = − + =

= = =

∫

): תשובה )A 4,64

x

y

006שאלון



yהישר 12x 3a= 3yמשיק לפונקציה , − x a= + ( )a 0>,

. ברביע הראשון

.aמצא את .א

)ראה ציור(2Sשווה ל 1Sֿהראה שהשטח .ב

פתרון

.א

mשיפוע הישר הוא 12=. )תהא נקודת ההשקה )1 1A x , y .1י הצבת "את שיפוע המשיק נחשב עxבנגזרת :

( )1

3 2 21xy x a ; y ' 3x ; m y ' 3x= + = = =

: ונקבלmנשווה בין הביטויים שמצאנו עבור 21 112 3x ; x 2= =

:נקודת ההשקה משותפת לפונקציה ולישר ולכן 32 a 24 3a ; 4a 16 ; a 4+ = − = =

3yמשוואת הפונקציה היא אפוא x 4= y ומשוואת הישר + 12x 12= −.

.ב)- בx-הישר חותך את ציר ה )- בy- ואת ציר ה1,0( : ולכן גודל השטח הוא שטח משולש−12,0(

1

12 1S 6

2

⋅= =.

:י אינטגרל"את סכום השטחים יחדיו נחשב ע

( ) ( )24

2 23 3 2

0 00

1 2

xS x 4 12x 12 dx x 16 12x dx 16x 6x

4

4 32 24 ; S 12 S S

= + − + = + − = + − =

= + − = ⇒ =

∫ ∫

x

y

2S

1S




f(x): נתונה הפונקציה .1 =16x2 − aבתחום :x > ).ראו ציור (0

y: נתון כי הישר = −4x + . משיק לפונקציה הנתונה11

.aמצאו את ערך הפרמטר .א

, ידי גרף הפונקציה-חשבו את השטח המוגבל על .ב

.x -ידי ציר ה- ועלידי המשיק הנתון-על

y: הגרפים של הפונקציות .2 = 2x2ו - y = ax2 + bx ,a < )0,0 נחתכים בנקודות 0 ,1 - ו( 2( ) .

yגרף של = 2x2ידי הגרף של -המוגבל על, טח מחלק את השy = ax2 + bxידי ציר ה- ועל- x , לשני

י הגרפים יד- מוגבל עלS2השטח . כלוא בין הגרפים של שתי הפונקציותS1השטח . S2 - וS1: שטחים

.x -ידי ציר ה- של שתי הפונקציות ועל

S1: נתון = . S2חשבו את . 0.5

f(x): נתונה הפונקציה .3 = −x2 + 4.

).ראו ציור( עובר משיק לגרף הפונקציה Aבנקודה

,f(x)ידי גרף הפונקציה -ח המוגבל על הוא השטS1 .א

. ברביע הראשוןy - ידי ציר ה-ועל, ידי המשיק-על

S1: נתון =13.

.Aמצאו את שיעורי הנקודה

,f(x)ידי גרף הפונקציה - הוא השטח המוגבל עלS2 .ב

.ברביע הראשון x - ידי ציר ה-ועל, ידי המשיק-על

.S2חשבו את גודל השטח

:תשובותa .א .1 = 1

S .ב =78 = 0.875

2. 2S 4= A(1 ,3) .א .3

.ב 7

12

x

y

0

x

y

006שאלון


:5-3שאלה מספר .טריגונומטרית –טגרל אינ: צפויה להישאל בנושא

:נוסחאות האינטגרל

sinxdx = − cos x+ C∫

cos xdx= sin x+ C∫

1

cos2 xdx = tan x + C∫

−

1sin2 x

dx = cot x+ C∫

:האינטגרל המורכב

sin ax+ b( )dx = −

1acos ax+ b( ) + C∫

cos ax+ b( )dx =

1asin ax+ b( )+ C∫

1cos2 ax + b( )

dx =1a tan ax+ b( ) + C∫

−

1sin2 ax + b( )

∫ dx =1acot ax+ b( )+ C





y: מצאו את הנגזרת של הפונקציה .א = cos3 x.

y: הידי גרף הפונקצי- ועלx -ידי ציר ה-מצאו את השטח המוגבל על .ב = cos2 x sin xבתחום :π2 ≤ x ≤

3π2 .

. 'היעזרו בסעיף א

פתרון

.א

( )

3

2 2

y cos x

y ' 3cos x sin x 3sin x cos x

=

= ⋅ − = −

.ב

. בתחום המבוקשx-עלינו לבדוק אם גרף הפונקציה חותך את ציר ה, בכדי למצוא את השטח המבוקש

. חיוביx-מעל ציר ה שלילי וx-וזאת כיוון ששטח מתחת לציר ה

2y :הפונקציה היא cos xsin x=

:התחום 3

x2 2

π π≤ ≤

x :y-בנקודת החיתוך עם ציר ה 0=. 20 cos x sin x=

2cos :'אפשרות א x cos :ואז .=0 x 0=.

xזה קורה כאשר 2

π וכן כאשר =

3x

2

π=.

sin :'אפשרות ב x xזה קורה בתחום המבוקש כאשר .=0 = π. ): בתוך התחום המבוקש היא אפואx-נקודת החיתוך עם ציר ה ),0π.

:לכן השטח המבוקש הוא

( )

3

22 2

2

1 S cos x sin x dx cos x sin x dx

ππ

π π

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫

:'כפי שראינו בסעיף א 3

3

3sin x cos xdx cos x C

1sin x cos xdx cos x D

3

− = +

∴ = − +

∫

∫

006שאלון


)- נציב זאת ל )1:

( )

( )( ) ( )( )

( )

3

2

3 3

2

3 3 3 3

3 3

1 11 S cos x cos x

3 3

1 1 3cos cos cos cos

3 2 3 2

1 11 0 0 1

3 3

1 1 1 1 21 1

3 3 3 3 3

π

π

ππ

= − + − =

π π = − π − = − − π =

= − − − + − − − =

= − ⋅ − + − ⋅ = + =

: תשובה 2

S3

=




0:ציות בתחום נתונות שתי פונק < x < π

g(x) sin x , f (x) cos x a= − = ). ראו ציור (−

.לפונקציות יש משיק משותף בתחום הנתון

.aמצאו את הפרמטר .א

מצאו את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי .ב

.)ראו ציור ( בתחום הנתוןy -הפונקציות ובין ציר ה

פתרון

.א

: של נקודת ההשקהx-ף נשווה בין הנגזרות ונמצא את שיעור המאחר שהמשיק משות

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

g x sinx ; f x cosx a

g ' x cosx ; f ' x sinx

g ' x f ' x ; cosx sinx / : cosx ; 1 tanx x4

= − = −

= − = −

π= − = − − = ⇒ =

x נציב בפונקציות aלמציאת 4

π : ונשווה ביניהן=

2 2 2sin cos a ; a 2 ; a 2

4 4 2 2 2π π− = − = + = ⋅ =

a: תשובה 2=.

.ב

( )( ) ( ) ( )

44

0 0S sinx cosx 2 dx cosx sinx 2 x

cos cos0 sin sin0 2 04 4 4

2 21 0 2 2 12 2 4 4

ππ

= − − + = − + ⋅ =

π π π= − ° − − ° + − =

π π− − − + ⋅ = ⋅ −

∫

x

y

006שאלון



f: נתונה הפונקציה .1 (x) = 2sinx − ). ראו ציור (2

xבנקודה = x ובנקודה 0 = π ,שעל גרף הפונקציה ,

.העבירו שני משיקים לפונקציה

של נקודת החיתוך שבין x - את שיעור המצאו . א

.שני משיקים אלה

ידי גרף הפונקציה-מצאו את השטח המוגבל על .ב

.'ידי שני המשיקים שמצאתם בסעיף א-ועל

f(x): נתונה הפונקציה .2 = tg2x0: בתחום ≤ x <π2.

fגרף הפונקציה מצאו את משוואת הישר המשיק ל .א (x) בנקודה שבה x =π4.

tg2xdx: הראו כי .ב = tgx − x + C∫ ,ידי גרף הפונקציה -ומצאו את השטח המוגבל עלf (x) ,ידי -על

.x -ידי ציר ה-ועל' המשיק שמצאתם בסעיף א

:תשובות

x .א .1 =π2

S .ב =π2

2 − 4 = 0.9348

y .א .2 = 4x − π + 1

S .ב =78 −

π4 = 0.09

x

y

2009 ט" תשסחורף מיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

96

יסודיים-בגרות לבתי ספר על 2009, ט" תשסחורף :מועד הבחינה 035006 :מספר השאלון יחידות לימוד5 - ול4 -דפי נוסחאות ל:נספח

מתמטיקה

'שאלון ו

הוראות לנבחן

.שעתיים: משך הבחינה .א .בשאלון זה שני פרקים: מבנה השאלון ומפתח ההערכה .ב

33 - אלגברה - פרק ראשון 13 ×1 - 33

1 . נקודות3

,חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - פרק שני

33 - טריגונומטריה 13 × 2 - 66

2 . נקודות3

. נקודות100 - כ"סה

:חומר עזר מותר בשימוש .ג .אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. מחשבון לא גרפי .1 .רויות התכנות עלול לגרום לפסילת הבחינהשימוש במחשבון גרפי או באפש ).מצורפים(דפי נוסחאות .2

:הוראות מיוחדות .ד

.סמן את מספרה בלבד; אל תעתיק את השאלה .1 גם כאשר החישובים , רשום במחברת את שלבי הפתרון. התחל כל שאלה בעמוד חדש .2

.מתבצעים בעזרת מחשבון .בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת, יםכולל חישוב, פעולותיךכלהסבר את .חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה .לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים .3

.שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה

.נים כאחדההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבח

!בהצלחה

006 שאלון


97

:1מבחן מספר

לכל שאלה (:אלגברה: 'פרק א1

333

).נקודות

.1 – 2 משאלות אחתפתור

.C לעיר Aשני רוכבי אופניים יצאו בו זמנית מעיר .1

.מ" ק65המרחק בין הערים הוא

:הרוכבים רכבו בשני מסלולים שונים

.C לעיר Aב ישירות מעיר הרוכב הראשון רכ

,Aהנמצאת מדרום לעיר , Bהרוכב השני רכב תחילה לעיר

).ראה ציור. (Bהנמצאת ממערב לעיר , Cואחר כך לעיר

.שני הרוכבים רכבו באותה מהירות קבועה

,A שעה לאחר שיצא מעיר Bהרוכב השני הגיע לעיר

.גיע אליה דקות אחרי שהרוכב הראשון הC 48והוא הגיע לעיר

.מצא את מהירות הרכיבה של רוכבי האופניים .א

?כאשר הרוכב הראשון הגיע אליה, היה הרוכב השניCבאיזה מרחק מעיר .ב

4n טבעי הביטוי nהוכח באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל .א .2 4n3 2−

. בלי שארית65-מתחלק ב

4nרו הביטוי טבעי שעבוnהאם קיים .ב 4n3 ? בלי שארית130- מתחלק ב−2

.נמק

A

BC

מ"ק 65



98

לכל שאלה ( וטריגונומטריהחשבון דיפירנציאלי ואינטגרלי', פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 5 מהשאלות שתייםפתור

): נתונה פונקציה .3 ) 2 2

x 1f x

x b

−=

− , b 1>.

נקודות חיתוך , אסימפטוטות מקבילות לצירים, תחום הגדרה: חקור את הפונקציה ומצא .א

).bבאמצעות , במידת הצורך, הבע(תחומי עלייה וירידה , הצירים עם

.סרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ב

)כמה פתרונות למשוואה .ג )( )1

f x 2f x

+ =

. ונתון מעגלABCDון טרפז נת .4

. של הטרפז היא קוטר המעגלADהשוק

DC- וABוהבסיסים , משיקה למעגלBCהשוק

D- וAמשיקים גם הם למעגל בנקודות

).ראה ציור(בהתאמה

C :נתון = α∢ ,BC a=.

את ההיקףα- וaהבע באמצעות .א

.ואת השטח של הטרפז

. ר" סמ25מ ושטחו " ס25נתון שהיקף הטרפז .ב

.αחשב את הזווית החדה

) Aדרך נקודה .5 )m 0 x m> הנמצאת על גרף , =

2yהפונקציה x= ,ציר ההעבירו ישר המקביל ל-x

x וחותך את גרף הפונקציה y 10+ .B בנקודה =

.y- העבירו ישר המקביל לציר ה Bדרך הנקודה

).ראה ציור (C בנקודה x-ישר זה חותך את ציר ה

)ראשית הצירים-OABC ) O השטח mעבור איזה ערך של

?)השטח המקווקו בציור(הוא מקסימלי

A B

O

CD

a

α

y

x

A B

CO

006 שאלון


99

:1ן מספר פתרון מבח

1.

.ש" קמ– מהירות הרוכבים – x. מהירות שני הרוכבים זהה .א

2 ישר זווית ABCמשולש 2 2AC CB AB= +

)מ"ק(מרחק )ש"קמ(מהירות )שעות(זמן

AC 65 –' רוכב א

x x 65

AB 1 x x -' רוכב ב

BC 24225 x

x

− x 24225 x−

נסע ' רוכב ב 48

0.860

' שעות יותר מרוכב א=

265 4225 x

0.8 1x x

−+ = +

תמשוואה אי רציונאלי

2

2

65 0.2x 4225 x

1.04x 26x 0 / : x 0

x 25

− = −

− = ≠

=

265: נבדוק 0.2 25 4225 25 60 60− ⋅ = − ⇒ =

.ש" קמ25מהירות הרוכבים

גם , מ" ק65עבר ' כאשר רוכב א, ם באותה מהירות ויצאו באותו זמןמכיוון והם רוכבי .ב

מ" ק20ונותר לו , BCמ על " ק40- וABמ על " ק 25 –עבר מרחק דומה ' רוכב ב

( )2BC 4225 25 60= − 0.8. שעות0.8או נותר לו = 25 20⋅ =.



100

2.

nנבדוק את נכונות הטענה עבור .1 .א 1=. 4 1 4 13 2 81 16

165 65

⋅ ⋅− −= =

nלכן הטענה נכונה עבור 1=.

nנניח שהטענה נכונה עבור .2 k=) kטבעי כלשהו' מס(

: כלומר 4k 4k3 2

65

−

nנכונה עבור ל שהטענה "צ .3 k 1= +

=שלם 4(k 1) 4(k 1)3 2

65

+ +−

4(k 1) 4(k 1)

4k 4 4k 4

4k 4k

4k 4k

3 2

65

3 2

65

81 3 16 2

65

16 (3 2 ) 65

65

+ +

+ +

−

−

⋅ − ⋅

⋅ −+

4k3

65

⋅

,על פי הנחת האינדוקציה, המחובר השמאלי שלם

לכן הביטוי , המחובר הימני שלם4(k 1) 4(k 1)3 2

65

+ +− שלם

.בעי טnהטענה נכונה לכל , על סמך אקסיומת האינדוקציה .4

4n טבעי שעבורו הביטוי nיש לבדוק האם קיים .ב 4n3 . ללא שארית130- מתחלק ב−2

4n3אי זוגי ' מס =

4n2זוגי ' מס =

4nאי זוגי ' מס: ולכן 4n3 2− =

טבעי שעבורו הביטויnלכן לא קיים , )130(במספר זוגי מספר אי זוגי אינו יכול להתחלק

. ללא שארית130-מתחלק ב

?

006 שאלון


101

3.

2: תחום הגדרה .א 2x b 0− ≠

2 2x b

x b

≠

≠ ± : קיימות בנקודות אי ההגדרהyאסימפטוטות מקבילות לציר

x b , x b= = − שווה ון שאז המכנה כיו, קיימות בנקודות אי ההגדרהy-אסימפטוטות מקבילות לציר ה: הערה

כזה במקרה . גם המונה שואף לאפס, אם כאשר המכנה שואף לאפס, יש לבדוק, אולם. לאפס

bכיוון שלפי הנתון . אין אסימפטוטה בנקודה אי ההגדרה מתאפס הרי כאשר המכנה , <1

.המונה אינו מתאפס ואז יש אסימפטוטות כפי שנרשמו

. שואף לאינסוףxכאשר , yנמצא למה שואף , x- אסימפטוטה מקבילה לציר הבכדי למצוא

2

2 2 2

x 2

x

1 1x 1 0 0x xlim lim 0

1 0x b b1

x→∞

→∞

−− −

= = =−−

−

.x :y=0-אסימפטוטה מקבילה לציר ה

.y .x=o- בנקודת חיתוך עם ציר ה

2 2 2 2 2

x 1 0 1 1 1y ; 0,

x b 0 b b b

− − = = =

− −

:x ,y=0-בנקודת חיתוך עם ציר ה

2 2

x 1y

x bx 1 0 ; x 1 ; (1,0)

−=

−− = =

.'yנמצא את , למציאת תחומי עליה וירידה

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

x 1y

x b

x b 2x(x 1) x b 2x 2x x 2x by '

x b x b x b

−=

−

− − − − − + − + −= = =

− − −

y: בנקודות קיצון ' 2x: כלומר, =0 2x b 0− + − =

22 2

1,22 4 4b

x 2x b 0 ; x2

± −− + = =

והנגזרת , מכאן שאין נקודות קיצון. מכאן שהביטוי שבתוך השורש השלילי. b>1: נתון

.הראשונה תמיד שונה מאפס



102

. חיובית או שלילית'yנבדוק עתה אם

כיוון . פרבולה בעלת מקסימום הוא'y הגראפי של המונה של רהתיאו. תמיד חיובי'yהמכנה של

והמונה של , x-מכאן שהפרבולה נמצאת תמיד מתחת לציר ה, שראינו שהמונה תמיד שונה מאפס

y' מכאן . תמיד שליליy ' .מכאן שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. x לכל >0

x: תחום הגדרה : תשובה b≠ ±

y: אסימפטוטות מקבילות לצירים 0 , x b , x b= = − =

): נקודות חיתוך עם הצירים )2

10, , 1,0

b

.הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה: תחום עליה וירידה

.ב

:לצורך שרטוט הסקיצה נעזר בנתונים הבאים

.הציריםנקודות חיתוך עם .1

.אסימפטוטות .2

.העובדה שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה .3

. חיוביתyואז , x>1 קיים גם x>bכאשר .4

.ואז הפונקציה שלילית, שלילי והמכנה חיוביהמונה, x<-bכאשר .5

y

x

2

1(0, )

b

006 שאלון


103

) .ג )( )1

f x 2f x

+ =

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

2

f x 1 2f x

f x 2f x 1 0

f x 1 0 f x 1

+ =

− + =

− = → =

yעל פי הגרף רואים שהישר שתי , כלומר. נקודות שונות2- וחותך את גרף הפונקציה ב=1

.פתרונות



104

4.

.א

(1) :סכום הבסיסים AB DC+

AB BE=

DC CE=

היוצאים, שני משיקים למעגל: לפי המשפט

. שווים באורכם–מנקודה אחת

(1) AB DC BE CE a∴ + = + =

(1) :היקף הטרפז P AB DC BC AD= + + +

AB :'מצאנו בסעיף א DC a+ =

BC :לפי הנתון a=

.DC- לBFנוריד אנך . ADנחשב את אורך הצלע

:BFCבמשולש BF

sinBC

= α

BF BC sin a sin

AD BF a sin

(1) P a a a sin 2a a sin

∴ = ⋅ α = α

= = α

∴ = + + α = + α

:שטח הטרפז ( )AB DC AD

(2) S2

+ ⋅=

:בהסתמך על החישוב הקודם

2a a sin 1S a sin

2 2

⋅ α= = α

P :היקף הטרפז :תשובה 2a a sin= + α

21 :שטח הטרפז S a sin

2= ⋅ α

A B

O

CFD

Ea

α

006 שאלון


105

.ב

2

2

(1) 2a a sin 25

1(2) a sin 25

2

25(1) a(2 sin ) 25 ; a

2 sin50

(2) asin

+ α =

α =

+ α = =+ α

=α

):2(-ל) 1(נציב את

( )

2

2

25 50/ : 25

sin2 sin∴ =

α+ α

( )( )2

2

2

2

25 2; 25sin 2 4 4sin sin

sin2 sin

25sin 8 8sin 2sin

2sin 17sin 8 0

817 289 64 17 15

sin 14 4

2

= α = + α + αα+ α

α = + α + α

α − α + =

± − ±α = = ⟨

sin :הפתרון 8α . הוא כמובן פתרון זר=1

sin 302

∴ α = → α = °

30α :תשובה = °.



106

5.

2y x

y 10 x

=

= −

B: 2yנקודה m=

2

2

m 10 x

x 10 m

= −

= −

. x- אותו הB ונקודה Cלנקודה

: 0 - ל mנחשב את השטח מתחת לפרבולה בין m m3 3

2

00

x mx dx

3 3= =∫

ABCMSנחשב את שטח המלבן □

:

( )2 2ABCMS 10 m m m= − − ⋅□

: פונקציית השטח

( )

( )

( )

32 4 3

' 2 3 2

3 2

2

mg m 10m m m

3

g m m 20m 4m 3m 0

4m 2m 20m 0

2m 2m m 10 0

m 0

= + − −

= + − − =

= − − + =

= − − + =

= m 2 m 2.5= = −

3 2 1 m

- 0 + ( )g m

mהנקודה .היא הנקודה בה השטח המקווקו הוא מקסימלי =2

x

y

m

A B

CO

006 שאלון


107

:2מבחן מספר


333

). נקודות


. מטר50 שאורכו ABמסלול בני וגל התחרו בריצה ב .1

.B ורצו אל נקודה Aשניהם זינקו מנקודה

מטרים10גל זינק שנייה אחת אחרי בני והשיג אותו במרחק . בני זינק ראשון

.Aמנקודת הזינוק

שהיה עדיין ופגש שוב את בני, A-הוא רץ מיד חזרה ל , B-כאשר גל הגיע ל

.B-בדרכו ל

.A- שניות לאחר שבני זינק מ 10הפגישה השנייה אירעה

.המהירויות של בני וגל לא השתנו במהלך כל הריצה

? אירעה הפגישה השנייהBבאיזה מרחק מנקודה

טבעי הסכוםnהוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל .2

2 3 3n 12 2 5 2 5 2 5 ... 2 5−+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

. בלי שארית62-מתחלק ב



108

לכל שאלה ( חשבון דיפירנציאלי ואינטגרלי וטריגונומטריה',פרק ב1

333

). נקודות


נתונה הפונקציה .32

4a 4af (x) 3

xx= − + , a 0>,

.מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים .א

במידתaהבע באמצעות (השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה מצא את .ב

.וקבע את סוג הקיצון, )הצורך

.נמק. קבע את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה .ג

aשרטט סקיצה של הגרף עבור .ד 3>.

.CD אמצע Pהנקודה . הוא מעויןABCDהמרובע .4ADP: נסמן = β∢, DP m=.

.β- וm באמצעות BPואת , APהבע את .א

APB :נסמן .ב = α∢, 60 נתון כיβ = �.

:הוכח 21

cos7

α =.

60β :נתון כי .ג = �.

.APBאת רדיוס המעגל החוסם את משולש mהבע באמצעות

ADPהוכח כי .ד BPC ABPS S S+ =

0.004vהוצאות הנסיעה , ש" קמvכאשר מהיות המכונית היא . מ" קSמכונית צריכה לנסוע .5

32יש הוצאות נוספות של , כמו כן. לכל שעת נסיעה20.001v- של נסיעה ומ"שקלים לכל ק

כדי שהוצאות הנסיעה יהיו , של המכוניתvמה צריכה להיות מהירות . שקלים לכל שעת נסיעה

?מינימליות

A B

CD P

006 שאלון


109

:2פתרון מבחן

1.

x(את מהירותו של בני ) מטר לשנייה (x-נסמן ב 0>(.

y(את מהירותו של גל ) מטר לשנייה (y- נסמן ב 0>.(

v - מהירות משתתפים תוואי

מטר לשנייה

t -זמן

שניות

s -מרחק-דרך

מטרים

x 10 בני

x C עד A -מ 10

y 10 גל

y 10

D עד A -מ x 10 10x בני

y 9 9y גל

: מטר בזמן של שנייה פחות מבני10 גל עבר A -מ 10 10

1x y

= +

10x: מטר100 עברו יחדיו D - ועד שנפגשו בA -מהיציאה מ 9y 100+ =

10 101

x y

10x 9y 100

10x 100 9y

x 10 0.9y

= + + =

= −

= −

A B

xבני

y גל

מטרים10

2מפגש 1מפגש

C D



110

2

2

1,2

1 2

10 101

10 0.9y y

10y 100 9y 10y 0.9y

0.9y 9y 100 0

9 21y

1.8

2 2y 6 y 16

3 3

= +−

= − + −

+ − =

− ±=

= = −

מהירותו של גל 2

63

עבר D מטר לשנייה ולכן עד נקודה 2

y 9 6 603

= ⋅ =

. מטר חזור10 - מטר הלוך ו50מתוכם

. מטר10 הוא Bהמרחק מנקודה : תשובה

006 שאלון


111

2.

n=1עבור בדיקה

מספר שלם

:כלומר) מספר טבעי כלשהוn=k) kנניח שהטענה נכונה עבור

מספר שלם2 3 3k 12 2 5 2 5 2 5 ... 2 5

I62

−+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

: כלומרn=k+1כל שהטענה נכונה עבור

מספר שלם2 3 3k 1 3k 3k 1 3k 22 2 5 2 5 2 5 ... 2 5 2 5 2 5 2 5

62

− + ++ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

:הוכחה3k 1 3k 3k 3k 22 2 5 ... 2 5 2 5 2 5 5 2 5 5

62 62

−+ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ =

מספר שלם3k 3k

3K2 5 (1 5 25) 62 5I I I 5

62 62

⋅ + + ⋅+ = + = + =

nנכון עבור , ולכן k 1= +

.הטענה נכונה עבור כל המספרים הטבעיים' על סמך האקסיומת האודוק

שלם שלם לפי

הנחת האנדוקציה

22 2 5 2 5 621

62 62

+ ⋅ + ⋅= = =



112

3.

נתונה הפונקציה .א2

4a 4af (x) 3

xx= − + , a 0>,

x 2

4a 4alim 3 0 0 3

xx→∞ − + = + yלכן , + . אסיפטוטה אופקית=3

x .אסימפטוטה אנכית=0

נמצא את הקיצון .ב

2

4a 4af (x) 3

xx= − +

3 2

8a 4af '(x)

x x= − −

3

3 2

2

8a 4a0 / x

x x0 8a 4ax / 4a 0

x 2

4a 4af (2) 3 3 a

22

= − + ⋅

= − + >

=

= − + = −

.זיהוי סוג הקיצון נמצא לפי סימן הנגזרת הראשונה

2,3) :תשובה a)min−.

x: הפונקציה עולה .ג x או <2 0<.

0: הפונקציה יורדת x 2< <.

.ד

x 1 2 3

f '( x ) 0− +

x

y

.

4a 4af (x) 3

2 xx= − +

x 0= y 3=

(2,3 a)−

006 שאלון


113

4.

.א

△ADP -משפט קוסינוסים ב

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

AP 2m m 2 2m m cos

AP 5m 4m cos

AP m 5 4cos

BP 2m m 2 2 m m cos 180

BP 5m 4m cos

BP m 5 4cos

= + − ⋅ ⋅ ⋅ β

= − β

= − β

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − β

= + β

= + β

.ב

△BPC -משפט קוסינוסים ב 24 m 25 m= 24m cos− β 2m+ 5 24m cos+ β 22 m− 2

2

25 16cos cos

4 10 2 25 16cos 60 cos

cos

cos

21cos

7

− β ⋅ α

= − − ⋅ α

6 = 2 21 ⋅ α

3= α

21

= α

.ג

9

sin

m2R

sin

2

α = 49.10

α = 0.755

2=

α

m2

0.755= R

R 1.322m=

aβ

A B

CD

2m

2m

mm

2m

180° – β

P



114

BPCלשלושת המשולשים .ד , ADP , ABPישנו גובה שווה ונסמנו ב -h ולכן :

ADP BPC

ABP ADP BPC ABP

m h m h 2m hS S

2 2 22m h

S S S S2

⋅ ⋅ ⋅+ = + =

⋅= → + =

006 שאלון


115

*

5.

s

v0.001v)2. זמן נסיעה בשעות הוצאות לכל שעת נסיעה+(32

⇓

2 s(0.001v 32)

v+ הוצאות לכל זמן הנסיעה+

0.004vמ נסיעה " הוצאות לכל קSהמ נסיע" ק

⇓

0.004v s⋅הוצאה לעל הדרך

2 הוצאות נסיעה sf (v) (0.001v 32) 0.004v s

v= + ⋅ + ⋅ =

90 80 20 v + 0 - '( )f v

.ש כדי שהוצאות הנסיעה יהיו מינימליות" קמ80 מהירות המכונית צריכה להיות :תשובה

min

2 2 2

2

3

2

2

2

2

2

0.001v 32 0.001v 32 0.004vs( 0.004v) s( )

v v

0.005v 32 32s( ) s(0.005v )

v v32

f '(v) s(0.005 ) 0v

320.005 0

v32

0.005v

0.005v 32

v 6400

v 80

+ + ++ =

+= = +

= − =

− =

=

=

=

=



116

:3מבחן מספר


333

). נקודות


מוציאים ליטר אחד תמיסה ומכניסים במקומה 12%תמיסת מלח בריכוז של עם מבקבוק מלא .1

ר מכן מוציאים ליטר מהתמיסה שנתקבלה ומכניסים שוב לאח. לבקבוק ליטר מים טהורים

.3%לאחר שתי פעולות אלה התברר שתמיסת המלח בבקבוק היא בריכוז של . במקומה ליטר מים

?ל בליטרים"מהו קיבול הבקבוק הנ

9: טבעי הביטויnשעבור כל , או בדרך אחרת, הוכיחו באינדוקציה .2 ⋅13n − 17⋅ 5nבלי 8 -חלק ב מת

.שארית

006 שאלון


117

לכל שאלה (חשבון דיפירנציאלי ואינטגרלי וטריגונומטריה', פרק ב1

333

). נקודות


נתונה הפונקציה .32

2

5x 4f (x)

x

+ ,)ראה ציור (=

tונתון הישר 0, y tx 4t≠ = − +.

הישר מחלק לשני ). x<0והיא נמצאת בתחום (ולפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד לישר

.xי ציר "וע, x=4- וx=1י הישרים "ע, י גרף הפונקציה"שטחים שווים את השטח המוגבל ע

הראה ששיפוע המשיק לגרף הפונקציה

xבנקודה t= עם הכיוון135° יוצר זווית

.x-החיובי של ציר ה

ABC : ACנתון כי במשולש .4 = t.

AB = 2t.

BC = kt.

?זווית- קההABC יהיה המשולש kעבור אילו ערכי .א

k: כאשר, t באמצעות ∢BACהזווית - בטאו את אורך חוצה .ב 7=.

2yנתונה הפרבולה .5 2x x= −

yבנקודה על הפרבולה שבה מעבירים משיק =6

)ראה ציור(לפרבולה ששיפועו שלילי

.מצא את משוואת המשיק . א

רך ראשית הצירים מעבירים ישר המחלקד .ב

לשני שטחים שווים את השטח המוגבל על ידי

).ראה ציור (y -על ידי המשיק ועל ידי ציר ה, הפרבולה

xהישר חותך את המשיק שמצאת בסעיף א בנקודה שבה a=.

.aמצא את הערך של

x

y

x

y



118

:3פתרון מבחן

1.

קיבול הבקבוק בליטריםx: נגדיר

בקבוק בהתחלה ליטר1בקבוק לאחר הוצאת

:מים

( )0.88x 0.88 0.88 x 1− = −

מים מים0.88

0.88x

:מלח

( )0.12x 0.12 0.12 x 1− = −

מלח מלח0.12

0.12x

הוספת ליטר מים בקבוק לאחר הוצאת ליטר תערובת

0.88x 0.120.88x 0.12 1

x

++ + +

: מים0.88x 0.12

x

+ ( )0.88 x 1 1 0.88x 0.12− + = +

0.12x 0.120.12x 0.12

x

−− −

: מלח0.12x 0.12

x

− 0.12x 0.12−

. מלח0.03xכלומר , 3% תמיסת מלח בריכוז xמקבלים

2 2

2

2

1

1,22

0.12x 0.120.12x 0.12 0.03x / 100x

x12x 12x 12x 12 3x

9x 24x 12 0 / : 3

3x 8x 4 0

x 28 64 4 3 4 8 4

x 22 3 6 x

3

−− − = ⋅

− − + =

− + =

− + =

=± − ⋅ ⋅ ±

= = →⋅ =

. ליטר2: תשובה

לא מתקיים כי הוציאו ליטר

והכמות חייבת להיות מעל ליטר

ליטר

ליטר1הוצאת

יטרל מים

מלח מלח

מים

006 שאלון


119

2 .

nהביטוי :ל"צ n9 13 17 5⋅ − . טבעיnעבור כל , ללא שארית8- מתחלק ב⋅

:הוכחה

nבי בדיקה לג 1=:

1 19 13 17 5 32⋅ = ⋅ =

.8- מתחלק כמובן ב32

nנובעת נכונותו לגבי , כלשהוnשמנכונות המשפט לגבי , נוכיח עתה 1+.

nהביטוי לגבי 1+:

( )( )

n 1 n 1 n 1 n 1

n n n n n

n n n

9 13 17 5 9 13 13 17 5 5

9 13 8 5 5 17 5 8 9 13 5 9 13 5 17 5

8 9 13 5 9 13 17 5

+ +⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ + − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

n8: רהאיב 9 13⋅ .8- מתחלק ב⋅

): האיבר )n n5 9 13 17 5⋅ − . לפי הנחת האינדוקציה8- מתחלק ב⋅

.על סמך אקסיומת האינדוקציה הטענה נכונה לכל המספרים הטבעיים



120

3.

2

2

5x 4f (x) y t 1 4t 3t

x

+= = − ⋅ + =

( )

2

4 4 422

1 2 2 21 1 1

1 4 4

1 1

1

1 2

2

x 1 y t 1 4t 3t (1,3t) A

x 4 y t 4 4t 0 (4,0) B

3 3tS S 4.5t

2

5x 4 4S S ( )dx (5 )dx (5 4 x )dx

x x

x 4 4 45x 4 | (5x | (5 4 ) (5 1 ) 18

1 x 4 1

S 18 4.5t

S S

18 4.5t 4.5t

189t 18 t 2

9

5xf x

∆

−

−

= ⇒ = − ⋅ + =

= ⇒ = − ⋅ + =

⋅= = =

++ = = + = + ⋅ =

+ ⋅ = − = ⋅ − − ⋅ − =−

= −

=

− =

= ⇒ = =

+=

∫ ∫ ∫

( )

( )

22 2

33

3 3

4 45 5 4 x

x x8

f ' x 2 4 xx

8 8m f ' t 1

t 2tan m

tan 1

135

−

−

= + = + ⋅

= − ⋅ ⋅ = −

= = − = − = −

α =

α = −

α = °

1s 2s

x

y

006 שאלון


121

4.

:קיימות שתי אפשרויות .א

היא הגדולהBCאו שהצלע

היאABאו שהצלע , ביותר

.הגדולה ביותר

:'אפשרות א

.90°- גדולה מAוהזווית , היא הגדולה ביותרBCנניח שהצלע

:לפי משפט הקוסינוסים

( ) ( )

2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

b c acos A

2bc

t 2t kt t 4t k t 5t k t 5 kcos A

2 t 2t 44t 4t

+ −=

+ − + − − −= = = =

⋅ ⋅

∢

∢

A: רכאש 90> cos: אזי° A :לכן. >02

2 2

5 k0

4

5 k 0 k 5 k 5 k 2.236

−<

− < → > → > → >

:עלינו לזכור כי סכום שתי צלעות במשולש גדול מן הצלע השלישית 2t t kt 3t kt k 3+ > → > → <

2.236 :'סיכום אפשרות א k 3< <

:'אפשרות ב

.90°- גדולה מCוהזוית , ABע הגדולה ביותר היא נניח שהצל

:לפי משפט הקוסינוסים

( ) ( )

2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

a b ccos C

2ab

kt t 2t k t t 4t k t 3t k 4cos C 0

2 kt t 2k2kt 2kt

k 3 0 k 3 k 1.732

+ −=

+ − + − − −= = = = <

⋅ ⋅− < → < → <

∢

∢

:גם כאן נזכור כי סכום שתי צלעות גדול מן הצלע השלישית t kt 2t kt 2t 5 kt t+ > → > − → >

1 :'סיכום אפשרות ב k 1.732< <

2.236: תשובה k 3< 1 או > k 1.732< <

t

kt

A

CB

2t



122

.Aנחשב תחילה את גודל הזווית .ב

:'כפי שחישבנו בסעיף א

25 k 5 7 1cos A

4 4 2A 120

1 2 60

− −= = = −

= °

∴ = = °∢ ∢

:לפי משפט הסינוסים. Bנחשב עתה את הזווית a b

sin sin

b t sin120sin B sin A sin120 0.3273 B 19.11

a 7t 7

=α β

°= = ⋅ ° = = → = °

ABD: 3במשולש 180 1 B 180 60 19.11 100.89= ° − − = ° − ° − ° = °∢ ∢

:לפי משפט הסינוסים, ABDבמשולש AD AB

sin B sin 3=

∢

AB sin B 2t sin19.11AD 0.6668t

sin 3 sin100.89

⋅ ⋅ °= = =

°∢

t

A

CB

2t1 2

3

D

7t

006 שאלון


123

5. : של נקודות ההשקהx-נמצא את ערך ה .א

22x x 6− )6ההשקה הוא ' של נקy- נתון כי ה (=

2

1,2

2x x 6 0

21 1 48 1 7

x 34 4

2

− − =

± + ±= = ⟨

−

.פ הנתון"שיפוע המשיק שלילי ע

( )y ' 4x 1

y ' 2 7 0

3y ' 7 0

2

= −

= >

− = − <

)על כן נקודת ההשקה היא ולכן משוואות המשיק תהיה−7 ושיפוע המשיק היא −1.5,6(

( )y 6 7 x 1.5 y 7x 4.5− = − + → = − −

:y- גרף הפונקציה וציר ה, ראשית נמצא את כל השטח המוגבל בין המשיק .ב

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 32 2 2

1.5 1.5 1.5

32

2x2x x 7x 4.5 dx 2x 6x 4.5 dx 3x 4.5x

3

2 1.5 40 3 1.5 4.5 1.5

3 9

− − −

− − − − = + + = + +

⋅ − = − + ⋅ − + ⋅ − =

∫ ∫ ∫

יהיה yהמשיק וציר , השטח המוגבל בין הישר שהעבירו

942

כלומר . 9

8!

.a-הישר חותך את המשיק ב yמשוואת המשיק 7x 4.5= − ) ולכן נקודת החיתוך תהיה − ) ( )a, 7a 4.5 0,0− −

7a 4.5

y xa

− −= ⋅

: השטח יהיה

( )

( ) ( )

( )

0 a

a 0

0 0 2 2

a a

a a 22

0 0

22 2 2

7a 4.5x dx 7x 4.5 dx

a

7a 4.5 7a 4.5 a7a 4.5 7a 4.5 x ax dx 0

a a 2 a 2 2

7x7x 4.5 dx 4.5x 3.5a 4.5a

2

7a 4.5aS 3.5a 4.5a 3.5a 2.25a 3.5a 4.5a 2.25a

2

− − + − −

− − + − − − − = ⋅ = − ⋅ =

−− − = − = − −

+= − − = + − − = −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

-נשווה ל 9

8: ונקבל

9 12.25a / 8 18a 9 a

8 2− = ⋅ → − = → = −



124

:4מבחן מספר


333

). נקודות


האחד מנקודה , זמנית- שני רוכבי אופניים יצאו בו. מ" ק81 הוא B - וA בין שני מקומות המרחק .1

A והשני מנקודה B ,דקות עדיין 40 - אחרי שעה אחת ו. במהירויות קבועות, ונסעו זה לקראת זה

עבר את כל הדרך עד A -הרוכב שיצא מ. מ בלבד" ק6 - אך המרחק ביניהם הצטמצם ל, לא נפגשו

Bמאשר הרוכב שיצא מ חצי פחות בשעה ו-Bל -A.

.מצא את המהירויות של כל אחד מרוכבי האופניים

....3,6,9 בסדרה חשבונית n- מסמן את האיבר במקום הna .א 2.

nbמסמן את האיבר במקום ה -n 2,3,4 בסדרה חשבונית...

nהוכיח כי na b3 2 3⋅ . ללא שארית15- מתחלק ב−

.'ללא קשר לסעיף א .ב

( )f x x 4= ) - ו+ )g x x 5= −.

) xלאילו ערכי ) ( )f x g x−7- קטן מ.

006 שאלון


125

לכל שאלה ( ואינטגרלי וטריגונומטריהחשבון דיפרנציאלי', פרק ב1

333

). נקודות


:נתונה הפונקציה 3.2

3

(x 2b)b 0 , f (x)

(x b)

−> =

− :מצא לגבי הפונקציה.

.תחום הגדרה .א

. מקבילות לציריםתאסימפטוטו .ב

.נקודות חיתוך עם צירים .ג

לא נמצאות על אותו ישרy- הקיצון ונקודת החיתוך עם צירהראה שנקודות .ד

.תחומי עלייה וירידה .ה

.שרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ו

A שבו ABCנתון משולש 4. 60= °∢ .AD הוא חוצה הזווית A , ומחלק את המשולשABC לשני

ורדיוס המעגל , מ" ס4k - שווה לABDם שרדיוס המעגל החוסם את המשולש נתון ג. משולשים

. מ" ס6k- שווה לADCהחוסם את המשולש

- שווה לABCכי טנגנס הזווית הקטנה במשולש , מבלי להיעזר במחשבון, הוכח 3

2.

): נתונה הפונקציה 5. ) 2

16f x a

x= x: בתחום− > ).ראו ציור (0

y: נתון כי הישר 2bx 11= − את נקודת החיתוך של גרף A -נסמן ב, הפונקציהמשיק לגרף+

Bנקודה החותך את המשיק בx- מורידים אנך לציר הAמנקודה . x-הפונקציה עם ציר ה

AB -כך ש x- לנקודת החיתוך של המשיק עם ציר הAהמרחק בין נקודה . =5

.1.25 הוא

.b - ו a ים הפרמטרכימצאו את ער .א

, ידי גרף הפונקציה-חשבו את השטח המוגבל על .ב

.x -ידי ציר ה- ידי המשיק הנתון ועל-על

בהצלחה

x

y



126

4 מבחן מספר -תשובות

.ש" קמA = 27-מהירות הרוכב שיצא מ 1.

.ש" קמB =18-מהירות הרוכב שיצא מ

.הוכחה .א 2.

x .ב 4<

x .א 3. b≠. y .ב 0 , x b= =.

) .ג )40 , , 2b , 0

b −

.

.הוכחה .ד

2b: עולה .ה x 4b< x: יורדת, > b< או b x 2b< x או > 4b>.

.ו

.הוכחה .4

a .א 5. = 1 ,b 2=

S .ב =78 = 0.875

x

y

2b 4b

006 שאלון


127

:5מבחן מספר

לכל שאלה (:אלגברה: 'רק אפ1

333

). נקודות


B 2 -התייר הראשון לא התעכב בדרכו והגיע ל. B - לA -שני תיירים יצאו ביחד מ 1.12

שעות לאחר

1לאחר שעבר , התייר השני. Aשעזב את 5

-כך הלך ל- דקות ואחר10שהה שם , A -חזר ל, מהדרך

B .הוא הגיע ל - Bדקות פחות מהתייר 5 - התייר השני עבר כל קילומטר ב. יחד עם התייר הראשון

. מהירות ההליכה של שני התיירים לא השתנתה בשעת ההליכה. הראשון

.ל"מצאו את מהירותו של כל אחד מהתיירים הנ

n הוכח כי .א 2. na b+מתחלק ב -(a b)+ עבור כל n טבעי אי זוגי )a,bמספרים שלמים.(

38הראה ללא שימוש במחשבון כי . ב .9- מתחלק ב+1



128

לכל שאלה (וטריגונומטריהחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ', פרק ב1

333

).נקודות


f של פונקציה) מקומי( היא נקודת מקסימום x0הוכיחו כי אם .א 3. (x)ו - f (x0 ) ≠ היא x0אז , 0

g(x) :של הפונקציה) מקומי(נקודת מינימום =1

f(x) , ואםx0 של ) מקומי( היא נקודת מינימום

f - וf(x)הפונקציה (x0 ) ≠ .g(x)ונקציה של הפ) מקומי( היא נקודת מקסימום x0אז , 0

)י מותר לכם להניח כ: הערה )0f '' x 0≠.

f(x): נתונה הפונקציה .ב = x4 − 2x2 + 2.

, g(x)מצאו את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה , או בדרך אחרת', בעזרת סעיף א

g(x)המקיימת =1

f(x).

בבסיס החרוט. O ומרכז בסיסו Sקודקודו נתון חרוט ישר ש 4.

ABC ABשוקיים -חסום משולש שווה = AC( .כמתואר בציור, (

.מ" ס6רדיוס הבסיס הוא : נתון

β ,CAB לבסיס היא SBCהזווית שבין המישור = α∢.

. את נפח החרוטβ - וαבטאו באמצעות .א

αנתון כי .ב = β.

. חרוט מקסימלי נפח מאונך לבסיס נקבלSBCהראו כי כאשר המישור

y: נתונה הפונקציה 5. = 2sinx − sin2x.

?תחום הגדרת הפונקציהמה הוא .א

0: מה הן נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה בתחום .ב ≤ x ≤ 2π?

0: באילו תחומים חלקיים של התחום .ג ≤ x ≤ 2πעולה הפונקציה ובאילו היא יורדת ?

0: סקיצה של גרף הפונקציה בתחום' ג-'סרטטו על סמך א .ד ≤ x ≤ 2π.

,מצא את השטח המוגבל בין המשיק .−4בתחום הנתון ששיפועו . מעבירים משיק לפונקציה .ה

. מנקודת המקסימום שלה בתחוםx-והאנך לציר ה, הפונקציה

בהצלחה

O A

B

C

S

006 שאלון


129

5 מבחן מספר -תשובות

ש" קמ6, ש" קמ4 1.

הוכחה. א 2.

הוכחה. ב

הוכחה .א 3.

.ב 1

min 0,2

max −1,1( ) , max 1,1( )

V .א 4. = 72π cosα ⋅ tgβ הוכחה .ב

xהפונקציה מוגדרת לגבי כל .א 5.

) .ב ) 2 3max 2 ,0 , max , 3

3 2 π π

, ( ) 4 3min 0,0 , min , 3

3 2 π −

: תחומי עלייה .ג43 π < x ≤ 2π ,0 ≤ x <

23 π

: תחום ירידה

23 π < x <

43 π

0.443 .ה

y

x



130

:6מבחן מספר


333

). נקודות


.A- לB- מוהשני, B- לA-האחד מ. B- וAאחת זה לקראת זה ממקומות -שני רוכבים יצאו בבת 1.

B- הגיע לA-רוכב האופניים מ; לנוע ליעדו, מבלי להתעכב, הם נפגשו בדרך וכל אחד מהם המשיך

. שעות לאחר הפגישהA 9- הגיע לB-ואילו רוכב האופניים מ, שעות לאחר הפגישה4

.מהירויות רוכבי האופניים לא השתנו בשעת התנועה

?B- וAל את המרחק בין המקומות "הנבכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים

.2 naמסמן את האיבר במקום ה -n 3,9,27 בסדרה הנדסית...

nbמסמן את האיבר במקום ה -n 2,4,8 בסדרה הנדסית...

)הוכח באינדוקציה כי ) ( )2 2

n na b−ללא שארית5- מתחלק ב .

006 שאלון


131

לכל שאלה (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי וטריגונומטריה', פרק ב1

333

). נקודות


SOשבסיסה ריבוע וגובהה , SABCDנתונה פירמידה ישרה 3.

). ציורראה (שווה לצלע הבסיס

.SC היא אמצע המקצוע Kנקודה

לבין מישור בסיס DKחשב את הזווית בין הישר

. הפירמידה

]הממוצע של פונקציה על קטע 4. ]a,bמוגדר על ידי הנוסחה :( )b

a

1f x dx

b a− ∫.

) יש לפונקציה cעבור איזה ערך של ) 2

c(cos 2x)f x

cos x

−= )kוממוצע ממוצע קטן ביותר ) הוא פרמטר

]על הקטע גדול ביותר ]0,c ,3

c2 2

π π< <?

y: השטח הכלוא בין הגרף של 5. = ax − x2לבין ציר ה - xידי הישר- מתחלק על :y = a − 2( )x לשני

S2 2 - וS1שווים שטחים < a( ). 1Sהראה כי הזוית.הישר הוא השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ו

.27.46° היא x- שהישר יוצר עם הכוון החיובי של ציר ה

בהצלחה

BA

CD

K

O

S



132

6 מבחן מספר –תשובות

. שעות15, שעות10 1.

הוכחה .2

.3 032.31α =

.4 3 5max(c ) , min( )

4 4

π π=

הוכחה 5.

006 שאלון


133

7מבחן דוגמה מספר


333

). נקודות


ונסע B בכיוון נקודה Aרוכב אופניים יצא מנקודה . מ" ק80 הוא B - וAהמרחק בין הנקודות 1.

שנסע רוכב אופנוע B לכיוון נקודה Aיצא מנקודה , דקות לאחר יציאתו לדרך20. במהירות קבועה

.ש" קמ90במהירות קבועה של

יד הסתובב וחזר על עקבותיו באותה ומיCרוכב האופנוע הדביק את רוכב האופניים בנקודה

).ראה ציור (Aלנקודה ) ש" קמ90(מהירות

ברגע שהאופנוע עבר את מחצית Bהגיע לנקודה , שהמשיך בנסיעתו ללא עיכובים, רוכב האופניים

.A - לC -הדרך מ

.מצא את מהירות רוכב האופניים

nידוע שהביטוי 2. n9 13 17 5 A⋅ − ⋅ 0 (2 טבעי עם שארית n לכל 8- ב מתחלק+ A 8< <.(

.Aמצא את ערכו של .א

n טבעי הביטוי nעבור כל כי ) 'שמצאת בסעיף אAעבור (הוכח באינדוקציה .ב n9 13 17 5 A⋅ − ⋅ +

.2 עם שארית 8-מתחלק ב

B A C

מ" ק80



134


333

). נקודות

.3 – 5 מהשאלות שתיים פתור

y: נתונה הפונקציה 3. = 2x − tgxבתחום :−25 π ≤ x ≤

25 π.

. מצאו את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה .א



מצא מהו הערך המקסימלי, נקודות על גרף הפונקציה 2x ו ֿ 1xון כי נת .ד

1של 2f (x ) f (x . בתחום הנתון−(

כמה פתרונות למשוואה .ה 1

2x tan x2

= +

.4 SABCיםשכל מקצועותיה שוו, היא פירמידה ישרה .

נמצאת על Mהנקודה . ACנמצאת על המקצוע Nהנקודה

. צלעות- הוא שווהAMNהמשולש . ABהמקצוע

. מחלק את הפירמידה לשני גופים שווי נפחSMNהמישור

. ABC לבין המישור SMNחשבו את הזווית בין המישור

2: נתונות הפונקציות 5. 4y b x=

2 2y x (9 2bx)= −

b 0>

S1ידי הגרפים של שתי הפונקציות - הוא השטח המוגבל על

).השטח המנוקד בציור(

1: נתון .א

2S 5

5 .b חשבו את =

,ידי הגרפים של שתי הפונקציות-השטח המוגבל על הוא S2 .ב

).השטח המקווקו בציור (y - ועל ידי ציר ה y = 144 ידי הישר -על

.הוא מספר טבעי2Sהראו כי

בהצלחה

x

y

A

B

C

S

N

M

006 שאלון


135

7תשובות מבחן מספר

.ש" קמ60 1.

A .א .2 2=

הוכחה . ב

max .א 3.π4,

π2 − 1

, min −

π4,1−

π2

min25 π,− 0.565

max −

25 π , 0.565


π4

−: תחומי ירידה 25 π ≤ x < −

πאו 4

π4 < x ≤

25 π

.ג

1.14 .ד

. פתרונות3 .ה

.4 87°33'

b .א 5. 3=

הוכחה .ב

x

y



136

:8מבחן מספר


333

). נקודות


יטר ל30 ועוד B ליטר מכוהל 20-מוסיפים כמות הגדולה ב, Aלכמות מסוימת של תמיסת כוהל 1.

.B מכמות כוהל 6%לתערובת זו מוסיפים כמות כוהל שהיא . 20%כוהל בריכוז של

.50% ליטר בריכוז של 216התרכובת הסופית המתקבלת היא

?A מריכוז כוהל 30%- נמוך בB אם ידוע שריכוז כוהל B וכוהל Aמהו ריכוזם של כוהל

nהביטוי טבעי זוגי מתחלק nהוכח באינדוקציה שלכל .א 2. 1 n 12 5 8+ ++ .1 עם שארית 7- ב+

.'ללא קשר לסעיף א ) גרף הפונקציה xלאילו ערכי .ב )f x x 2 x 3= + + ?x- מתחת לציר ה−

006 שאלון


137


333

). נקודות

.3 – 5לות מהשאשתייםפתור

.צלעות- שבסיסה משולש שווהABCD נתונה פירמידה ישרה 3.

אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 5 ).ראו ציור( מאורך מקצוע הבסיס 6

.בטאו את השטח של מעטפת הפירמידה באמצעות אורך מקצוע הבסיס .א

.דיותחשבו את הזווית בין שתי פאות צד .ב

): נתונה הפונקציה 4. ) sin x cos xf x

sin x cos x

+0עבור . = x≤ ≤ π:

.y- מצא את שלוש האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה .א

.וקבע את סוגה, מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה . ב

.x-מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .ג

.סרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ד

כמה פתרונות בתחום הנתון למשוואה .ה sin x cos x

4sin x cos x

+=

3yבציור מתוארים גרף הפונקציה 5. x 2= ברביע +

xהראשון והישר .y- המקביל לציר ה=4

יק לפונקציה מצא מה צריכה להיות משוואת המש

,ל ברביע הראשון על מנת שהשטח הכלוא בין המשיק"הנ

xהישר , לגרף הפונקציה )השטח המקווקו (y- וציר ה=4

.יהיה מינימלי

y

xx 4=

CB

A

D



138


.B = 40%ריכוז , A = 70%ריכוז 1.

.הוכחה .א .2

.ב 1 1

2 x2 2

− < <

שטח המעטפת שווה לריבוע אורך הצלע .א 3. 77.36° .ב

x. א.4 0= ,x2

π= ,x = π.

2,. ב 24

π

. מינימום

.ג 3

,04

π

.

.ד


.5 y 12x 14= −

x

y

π 3π 4

π 2

π 4

006 שאלון


139

:9מבחן מספר


333

). נקודות


סירת מנוע עוברת מדי יום ביומו . A - לB- נמצאים על שפת נהר הזורם מB - וAהמקומות .א .1

את x-סמן ב. A- לB- מדרכה מ3 נמשכת פי B- לA- דרכה מ. A- וחוזרת לB - לA-הדרך מאת

. את מהירות הזרם וערוך משוואה למסופר לעילy- וב, המנוע בלבד מהירות הסירה בכוח

.y - לxאת היחס בין ', א- חשב באמצעות המשוואה שנתבקשת לערוך ב .ב

. דקות40 חלה תקלה במנוע ותיקונו נמשך B- לA-מכשהייתה הסירה בדרכה , באחד הימים .ג

באיחור לעומת B-הפעם הגיעה ל. במשך זמן התיקון נסחפה הסירה אחורה עם הזרם

.הפעמים האחרות

.כשאין תקלה נעה הסירה מדי יום ביומו באותה מהירות

.B-ל בכמה דקות איחרה הסירה הפעם להגיע ל" הנy - וxהבע בעזרת )1(

.B-חשב את מספר הדקות שבו איחרה הסירה הפעם להגיע ל )2(

4nהוכח באינדוקציה או בדרך כלשהי כי הסכום .א 2. 11 3 9 27 ... 3 −+ + + + ללא 40- מתחלק ב+

. טבעיnלכל שארית

.'ללא קשר לסעיף א ) גרף הפונקציה xלאילו ערכי .ב )f x x 2 x 4= − + yישר גדול מה− 2=?



140


333

). נקודות


2f: נתונה הפונקציה 3. (x) 2x tan x sin x sin x cos x= − ⋅ − −: בתחום⋅25 π ≤ x ≤

25 π.

. נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציהמצאו את .א



מצא מהו הערך המקסימלי, נקודות על גרף הפונקציה2x ו ֿ 1xנתון כי .ד

1של 2f (x ) f (x . בתחום הנתון−(

כמה פתרונות למשוואה .ה 1

2x tan x2

= +

f(x): נתונה הפונקציה 4. = −x2 + 5x − 5.

שעל גרף הפונקציה מעבירים A דרך הנקודה

).ראו ציור(משיק ששיפועו חיובי

.B קודה בנx - למשיק בנקודה זו חותך את ציר הךהאנ

כדי שאורך , A מה צריכים להיות שיעורי הנקודה

?יהיה מקסימלי) ראשית הצירים- OB) O הקטע

).ראו ציור (ABהעבירו מיתר , O ומרכז בסיסו Mבחרוט ישר שקודקודו 5.

AOB :נתון = 120°∢.

.βבין בסיס החרוט היא לMABהזווית בין המישור

.מ" ס10 הוא MAB מהמישור Oמרחק הנקודה

.βבטאו את נפח החרוט באמצעות .א

.βבטאו את מעטפת החרוט באמצעות .ב

בהצלחה

Ox

A

y

O

M

A

B

006 שאלון


141


x .א .1 y 3x 3y+ = −.

.ב x

2y

=.

)1( .ג 40y

40x y

+−

.

דקות80 )2(

.הוכחה .א .2

x .ב x או >2 4>

max .א 3.π4,

π2 − 1

, min −

π4,1−

π2

min25 π,− 0.565

max −

25 π , 0.565


π−: תחומי ירידה, 4

25 π ≤ x < −

πאו 4

π4 < x ≤

25 π

.ג

1.14 .ד


.4 A(2,1)

.א 5.

V =4,000π

3sin2β ⋅ cosβ

.ב 2

2

200 1 3cos

sin cos

π + β

β⋅ β

x

y



142

:10מבחן מספר


333

). נקודות


. שעות6 ונפגשו כעבור B - וAממקומות , זו לקראת זו, בבוקר7:00שתי משאיות יצאו בשעה 1.

2דרושות כדי לעבור , A -שיצאה מ, למשאית 5

שעתיים יותר מאשר לזו שיצאה B - לA - מהדרך מ

2מנת לעבור - עלB -מ 15

. A - לB - מהדרך מ

?B - לA - בכמה שעות יכולה כל אחת מהמשאיות לעבור את המרחק מ

3n, טבעי מסויםn -אם ל: הוכיחו את הטענה .א 2. + 5n 3: אזי גם, 16 -ב מתחלקn +2 + 5n+ 2

.16 -מתחלק ב

3n -נובע ש' האם מן הטענה שבסעיף א .ב + 5nעבור כל 16 - מתחלק ב nנמקו? זוגי- טבעי אי.

3n: כי הביטוי, או בכל דרך אחרת, הוכיחו באינדוקציה .ג + 5nעבור כל 8 - מתחלק ב nטבעי אי -

.זוגי

006 שאלון


143


333

). נקודות


y: נתונה הפונקציה 3. =x2 + 4x − a

x2 − a ,aפרמטר חיובי .

− הוא y -ת את ציר השיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה הפונקציה חותכ 45.

.a חשבו את .א

: בפונקציה וענו על הסעיפים האלהa הציבו את

?מה הן האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים .ב

.מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים .ג

.של הפונקציה הירידהומצאו את תחומי העלייה .ד

.סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה .ה 2 יהיה למשוואה kלאילו ערכי .ו 2x 4x 5 (k 2)(x 5)+ − = − . פתרון יחיד−

:הוכיחו את המשפט הבא 4.2y שמשוואתההפרבולה 2bx= 2 שמשוואתהשבין הפרבולה, מחלקת את השטחy ax bx= −

(a 0 , b 0)> .b - וa - כך שהיחס ביניהם אינו תלוי בלשני שטחים, x -לבין ציר ה <

.5 M הזוויות במשולש -היא נקודת הפגישה של חוציABC) ראו ציור.(

BC:נתון = a ,BAC = α∢ ,ABC = β∢ ,ACB = γ∢.

.γ - וa ,β באמצעות MBבטאו את .א

AM היא נקודת החיתוך של המשך הקטע D .ב

.עם המעגל החוסם את המשולש) BACהזווית -חוצה(

. γ - וa ,α באמצעות MDבטאו את

). אינכם חייבים להשתמש בכל הנתונים(

MD: מתקייםγלאיזה ערך של .ג = MB?

בהצלחה

B

C

M

A



144


שעות15, שעות 10 1.

הוכחה .א .2 לא .ב הוכחה .ג

a = 5 .א 3.x .ב 5 , y 1= ± =

(1,0) .ג , (−5,0) ,(0,1)

x:תחומי ירידה .ד 5< − 5או x 5− < x או > 5>

k .ו 3=

הוכחה 4.

.א 5.sin

2MB

sin2 2

γα

=β γ +

MD .ב =a

2cosα2

γ .ג = 60°

x

y

006 שאלון


145



333

). נקודות


. B לעיר Aסירת משוטים יוצאת מעיר . B לעיר Aעיר מחוברות בנהר שזורם מB- וAשני ערים 1.

. A- ל היא פוגשת את סירת המשוטים וחוזרת , B לעיר Aשעה אחריה יוצאת סירת מנוע מעיר

מהירות סירת המשוטים גדולה . B כאשר סירת המשוטים הגיעה לעיר Aסירת המנוע מגיעה לעיר

a פי ומהירות סירת המנוע גדולה, ממהירות הזרםaפי . ממהירות הזרם+1

.B לעיר A את זמן השייט של סירת המשוטים מעיר aהבע באמצעות .א

אם ידוע שזמן השייט של סירת המשוטים הוא .ב 1

132

שעות וכן שסירת המשוטים לא יכולה

.aחשב את , לשוט במעלה הנהר

.1- ואיבר ראשון ששווה ל2 את סכום הסדרה ההנדסית עם מנה nS -בנסמן 2.

. טבעיn ללא שארית לכל 31- מתחלק ב5nSכי הסכום , באינדוקציההוכח



146


333

). נקודות


y: נתונה הפונקציה 3. =x2 + 4x + 3

x2 −1.

?מהו תחום ההגדרה של הפונקציה .א

.מצאו אסימפטוטות מקבילות לצירים .ב

?מה הם תחומי העלייה ותחומי הירידה של הפונקציה .ג

.ציה עם הציריםחשבו את נקודות החיתוך של הפונק .ד

.סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה .ה

k) kלאילו ערכי .ו לא יהיה פתרון למשוואה ) <02

2

x 4x 3k

x 1

+ +=

−

.4 SABCDהיא פירמידה מרובעת שכל מקצעותיה שווים זה לזה .

E ,F הן אמצעי המקצועות SBו -SCבהתאמה .

ABCDזוית בין מישור הבסיס חשב את ה

).ראה סרטוט (AEFDלמישור

0נתונות שתי פונקציות בתחום 5. x2

π≤ ≤ :

( ) ( ) 2g x sin 2x , f x k 2sin x 1= = + −.

. לפונקציות יש משיק משותף בתחום הנתון )השטח המוגבל בין גרף הפונקציה )f x , גרף

)ה הפונקצי )g x וציר y מסתובב סביב ציר x.

: הוכח כי הנפח המתקבל הוא 2 3

4 4

π− π.

בהצלחה

S

B

CD

A

E

F

006 שאלון


147


.א 1.22a 5a 2

ta

+ +=

.ב 1

a4

=.

.הוכחה .2

x .א 3. ≠ ±1

x . ב = 1 ,y = 1.

1או x > 1: תחומי ירידה .ג x 1− < 1או > x− >

)3,0− . ד ) , 0,−3( )

. ה

k .ו 1=

.4 25.3°

.הוכחה 5.

x

y



148



333

). נקודות


לאחר מכן מחזירים . ליטרים של נוזל20 מוציאים 20%מחבית מלאה תמיסת כוהל בריכוז של 1.

ולאחר מכן ליטרים תמיסה 18מהתמיסה החדשה מוציאים . ליטרים של כוהל נקי16לחבית

. ליטרים מים טהורים22מכניסים לחבית

.26%מצא את הכמות ההתחלתית בחבית אם ידוע כי ריכוז הכוהל לאחר שתי פעולות אלו הוא

.הבחן בין שני מקרים

n3: הוכיחו כי .א 2. − nעבור כל 6 - מתחלק ב n) n -מספר טבעי .(

:את המשפט הבא', בהסתמך על א, הוכיחו .ב

a: אם + b + cהרי גם, 6 - מתחלק ב :a3 + b3 + c36 - מתחלק ב) a ,b ,c -מספרים טבעיים .(

006 שאלון


149


333

). נקודות


2y: נתונים הפרבולה 3. x 7x 17= − y והישר + 2=.

.B בנקודה y-הישר חותך את ציר ה

Aהיא נקודה על הפרבולה בין ציר ה -yובין קודקוד הפרבולה ,

הואABCכך שהמשולש , היא נקודה על הישר הנתוןC-ו

)שווה שוקיים )AB AC=) ראו ציור.(

,A של הנקודה x-מה צריך להיות שיעור ה .א

? יהיה מקסימליABCכדי ששטח המשולש

.ABCמצאו את השטח המקסימלי של המשולש .ב

חשב את השטח הכלוא בין גרף ' שמצאת בסעיף אA- עבור שיעור ה .ג .y- וציר ה AB הפונקציה הישר

ABCD) ABשוקיים -רפז שווהבט .4 ||CD ,ABהבסיס הגדול ( ,

, Mשמרכזו , חסום מעגל, α - שווה לABיד - שבו זווית הבסיס על

ABCD של הטרפז מחלק אתKLקטע האמצעים . rבעל רדיוס

).ראו ציור (ABLK - וKLCDלשני טרפזים

.ABLK - וKLCD את שטחי הטרפזים α - וr בטאו באמצעות .א

הוא ABLK לבין שטחו של KLCDהיחס בין שטח הטרפז .ב 35.

. αחשבו את

)המשיק לגרף הפונקציה 5. ) ( )1f x sin 4x cos 4x

b= x בנקודה שבה −

4

π=

xמקביל לישר y 02

π+ − =.

.bמצא את .א

0מצא את תחומי העלייה של הפונקציה בתחום .ב x2

π< <

) יש למשוואה mעבור איזה ערך של .ג )f x m= 0 פתרונות בתחום 3 בדיוק x2

π≤ ≤.

בהצלחה

y

x

C

A

(0,2)B

A B

CD

K LMr



150


. ליטר44 ליטר או 100 1.

.הוכחה .א 2.

.הוכחה .ב

.א 3.5

3

.ב 5

10 10.18527

=

11.73 . ג

SKLCD .א 4. = r2 2 − cosαsinα

SABLK = r2 2 + cosαsinα

α . ב = 60°

b .א 5. 4=

0 .ב x 0.589< 1.37 או > x2

π< <

k .ג 0.25= −

006 שאלון


151

13מבחן מספר


333

). נקודות


.שני כלי רכב יצאו בו זמנית מערד לבאר שבע,מ " ק48המרחק מערד לבאר שבע 1.

מהדרך במהירות 25%הרכב הראשון עבר את כל הדרך במהירות קבועה ואילו הרכב השני עבר

והמשיך , דקות15לאחר מכן עצר הרכב השני למנוחה של , ש מזו של הראשון " קמ12 -הגבוהה ב

דקות לפני הרכב 25 ממהירותו ההתחלתית והגיע לבאר שבע 25% - נה בהקט את דרכו במהירות

?להגיע לבאר שבע' מהו הזמן שלקח לרכב א. הראשון

5n: כי הסכום, )או בדרך כלשהי(באינדוקציה , הוכיחו 2. 13 6 12 24 ... 3 2 −+ + + + + 31 -מתחלק ב ⋅

. טבעיnלכל , ללא שארית



152

לכל שאלה (י ואינטגרלי וטריגונומטריהחשבון דיפרנציאל', פרק ב1

333

). נקודות


f(x): נתונה הפונקציה 3. = 3 +bx2 + 9x2 − a2

) aו - bפרמטרים חיוביים .(

. את האסימפטוטות לפונקציה המקבילות לציריםb - וaבטאו באמצעות .א

.ייה ותחומי הירידה של הפונקציהמצאו את תחומי העל .ב

.ערך הפונקציה הוא שלילי x = 0 אם נתון כי בנקודה שבה, סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה .ג 1 עבורו kמהו הערך המקסימלי של .ד 2f (x ) f (x ) k− 1f כאשר < (x ) 2f ו ֿ <0 (x ) 0<.

.b - וaבטאו באמצעות

.K שראשו , נתון חרוט ישר 4.

.שווה לגובה החרוט, R , הרדיוס של בסיס החרוט

Aו - B ראו ציור( הן שתי נקודות על היקף הבסיס.( . ובין גובה החרוטKAB היא הזווית בין מישור המשולש βהזווית

.β - וR באמצעות AB את האורך בטאו .א

מ " ס2נתון כי האורך של רדיוס הבסיס הוא .ב

הוא AB והאורך של 4 6

3 .מ" ס

.β מצאו את גודל הזווית

f: נתונה הפונקציה .5 (x) = 2sinx − 2.

xבנקודה = x ובנקודה 0 = π ,שעל גרף הפונקציה ,

.העבירו שני משיקים לפונקציה

של נקודת החיתוך שבין x -מצאו את שיעור ה . א

.שני משיקים אלה

ידי גרף הפונקציה-מצאו את השטח המוגבל על .ב

.'ם בסעיף אידי שני המשיקים שמצאת-ועל

בהצלחה

O

K

A

B

006 שאלון


153


.1 2

23

.שעות

.הוכחה 2.

x: אנכית .א 3. a , x a= = −

y = 3 + b: אופקית

a−: תחומי עלייה .ב < x < x או 0 < −a

x: תחומי ירידה > a 0 או < x < a

.ג

. ד2

9k b

a= +

2AB .א 4. 2R 1 tan= − β

β .ב = 30°

x .א 5. =π2

S .ב =π2

2 − 4 = 0.9348

y

x



154

14מבחן מספר


333

). נקודות


מ " ק12במרחק , C - וA נמצאת בין C .B - וA ,Bעל שפת נהר נמצאות שלוש תחנות של ספינות דיג 1.

שעות ואת 4 - בC - לA -ספינת דיג ללא מנוע עוברת את הדרך מ. C - לA -כיוון הזרם הוא מ. C -מ

שמהירותה גדולה פי שלושה ממהירות הספינה האחרת , ספינת מנוע. שעות6 - בA - לC -הדרך מ

כל אחת משתי הספינות נעה במים במהירות . דקות45 - בC - לB -עוברת את הדרך מ, )בלי מנוע(

. קבועה

.מצאו את מהירות זרם הנהר

,2 :יתנתונה סדרה חשבונ .א .2 5, 8, ..., an , ...

2: טבעי הביטויnהוכיחו באינדוקציה שעבור כל ⋅ 3an + 3 ⋅2an+1בלי שארית38 - מתחלק ב .

.'ללא קשר לסעיף א ) גרף הפונקציה xלאילו ערכי .ב )f x x 1 x 3= − + y לא מתחת לישר + 10=.

006 שאלון


155


333

). נקודות


).ראו ציור( הוא ריבוע ABCDנתונה פירמידה ישרה שבסיסה 3.

.βהזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה היא

BSC: נתון 2= α∢

2: הוכיחו .א 2cos 2sinβ = α

SOנתון גם כי אורך גובה הפירמידה הוא .ב h=.

. את שטח המעטפת של הפירמידהα- וhבטאו באמצעות

y: על העקום 4. =a2

x ,a ≠ .בחרו נקודה ברביע הראשון והעבירו דרכה את המשיק לעקום, 0

. הראו כי שטח המשולש שיוצר המשיק עם הצירים אינו תלוי בבחירת נקודת ההשקה .א

?ל יהיה מינימלי"כדי שאורך היתר של המשולש הנ, מה צריכה להיות נקודת ההשקה .ב

y: נתונה הפונקציה .5 3sin x 3 cos x= +.

0בתחום (x - באילו נקודות חותך גרף הפונקציה את ציר ה .א ≤ x ≤ 2π (ובאיזו נקודה את ציר ה -

y?

0מה הן נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה בתחום .ב ≤ x ≤ 2π?

0ם חלקיים של באילו תחומי .ג ≤ x ≤ 2π עולה הפונקציה ובאיזה תחום חלקי של התחום הנתון

?יורדת הפונקציה

.סקיצה של גרף הפונקציה' ג-'סרטטו על סמך א .ד

שאינה נקודת הקצה והאנך מנקודת המקסימום y- ציר ה, השטח הכלוא בין גרף הפונקציה .ה

.x-יר ה מסתובב סביב צx-לציר ה

.חשב את הנפח שנוצר

בהצלחה

2α

D

A B

C

O

S



156


ש" קמ1 .1

.הוכחה .א . 2

x .ב x או ≤4 6≤ −

.הוכחה .א . 3

.ב 2

22

2h sin 22h tg2

1 2sin

⋅ α= α

− α

.הוכחה .א .4

,a .ב a( )

x: 1 -ות חיתוך של ציר הנקוד .א . 556 π , 0

,

56 π , 0

): y - נקודת חיתוך של ציר ה )0, 3

) .ב )max 2 , 3 , max ,2 33

π π

, ( ) 1min 0, 3 , min 1 , 2 3

3 π −

0: תחומי עלייה .ג ≤ x <π1 או 3

13 π < x ≤ 2π

: תחום ירידה π3 < x < 1

13 π

.ד

V .ה 8.88= π

y

x

006 שאלון


157

15מבחן מספר


333

). נקודות


. Aלכיוון עיר ' כונית ב מB שעות לאחר מכן יצאה מעיר B .6לכיוון עיר ' יצאה מכונית אAמעיר 1.

מ יותר משעברה מכונית " ק120' עד נקודת הפגישה עברה מכונית א. שתי המכוניות נפגשו בדרך

שמונה שעות Aהגיעה לעיר ' ומכונית ב, תשע שעות אחרי הפגישהBהגיעה לעיר ' מכונית א. 'ב

.אחרי הפגישה

.ישהעד שהגיעה לנקודת הפג' מצאו את המרחק שעברה מכונית ב .א

.'ושל מכונית ב' מצאו את המהירות של מכונית א . ב

1: הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי .א 2. + 2 + 22 + 23 + ....+ 24n−1בלי 15 - מתחלק ב

. טבעיnשארית לכל

.'ללא קשר לסעיף א )מהו תחום ההגדרה של .ב )f x x 3 x 4 5= − − + −?



158

לכל שאלה (בון דיפרנציאלי ואינטגרלי וטריגונומטריהחש', פרק ב1

333

). נקודות


): נתונה הפונקציה 3. ) ( )( )

2

4

2x 2Bf x

2x B

−=

− ,Bפרמטר ,B 0>.

.Bות במידת הצורך בטאו את תשובותיכם באמצע. 'ו-'ענו על הסעיפים א

.מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה .א

.מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים . ב

.מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים . ג ) שעבורם xמצאו את ערכי . ד )f ' x 0=.

.מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה . ה

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה . ו

2yהמשיק לפרבולה , ישר 4. x 2x 13= + .C בנקודה x-חותך את ציר ה, ברביע הראשוןA בנקודה +

.Bחותך את הציר בנקודה , x- לציר הA-היורד מ,האנך

? יהיה מינימליABCכדי ששטח המשולש , Aמה צריכים להיות שיעורי הנקודה

.רמידה מחומשת ישרה ומשוכללת כל המקצועות הצדדיים ומקצועות הבסיס שווים זה לזהבפי .5

.חשבו את הזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכות

בהצלחה

006 שאלון


159


מ" ק360 .א . 1

ש" קמ60, ש" קמ40 . ב

.הוכחה .א . 2

x .ב 3≤ −

.א . 3B

x2

.ו ≠

x .ב B= ,y 0=

) .ג )2

40, , B,0

B

.

2 .ד 1x 1.5B , x B= =

: תחומי עלייה .ה B

B x 1.5B ,x2

< < <

: תחומי ירידה B

x B2

< x או > 1.5B>

4 . ( )A 1,16

5 . 138.2°

y

x



160

16מבחן מספר


333

). נקודות


דקות 50-ו, B לעיר Aאשון יצא מעיר רוכב אופניים ר. מ" ק45 הוא B לעיר Aהמרחק בין עיר 1.

ש " קמ5-מהירות הרוכב השני הייתה גדולה ב. B לעיר Aאחריו יצא רוכב אופניים שני מעיר

.המהירות של כל רוכב אופניים הייתה קבועה. ממהירות הרוכב הראשון

. דקות לפני שהגיע אליה הרוכב הראשוןB 40הרוכב השני הגיע לעיר

.וכב האופניים הראשוןמצא את מהירות ר .א

הגיעו שני הרוכבים לאותה נקודה , כמה זמן לאחר שרוכב האופניים הראשון יצא .ב

? B- לA- בדרך מ

)הוכח כי .א 2. )n22 . ללא שארית3- מתחלק ב−1

.'ללא קשר לסעיף א

)מהו תחום ההגדרה של .ב ) 1f x

x 9 3 2x 6=

− + − −?

006 שאלון


161

לכל שאלה (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי וטריגונומטריה', בפרק1

333

). נקודות


שוקיים-ידי טרפז שווה- על2Rשקוטרו , חוסמים חצי מעגל .3

ABCD ,כך שקוטר המעגל נמצא על הבסיס הגדול של הטרפז,

). ראו ציור(מעגל ושאר צלעות הטרפז משיקות לחצי ה

, מה צריכה להיות הזווית ליד הבסיס הגדול

? כדי ששטח הטרפז יהיה מינימלי

yהישר 4. 12x 6b= − ( )b משיק ברביע הראשון לגרף <0

3yהפונקציה x 2b= +.

.bמצא את .א

י "קים את השטח המוגבל ע מחלק לשני חלx-ציר ה . ב

הראה . y- י ציר ה"י משיק וע"ע, גרף הפונקציה

השטח המקווקו והשטח המנוקד (ששני החלקים

.שווים בשטחם) שבציור

.נתון חרוט ישר .5

aנמצא במרחק , המקביל לבסיס החרוט, מישור

.מעל הבסיס והוא מחלק את החרוט לשני חלקים

.8:19י החרוט הוא היחס בין הנפחים של חלק

.חלק החרוט שנפחו גדול יותר נמצא ליד בסיס החרוט

.aבטאו את אורך הגובה של החרוט באמצעות

בהצלחה

y

x

D

BA

C



162


ש" קמ10 . א . 1

שעות2.5 . ב

.הוכחה .א .2

6 .ב x 6− < <

3. α = 60°

b .א . 4 2=.

.הוכחה .ב

5. 3a

006 שאלון


163

17מבחן מספר


333

). נקודות


יטר מתמיסת ל10 ליטר והכניסו במקומם 10 הוציאו 90%מכלי שהכיל תמיסת מלח בריכוז של 1.

10 ליטר מהתערובת שהתקבלה והוסיפו במקומה 10לאחר מכן שוב הוציאו . 60%מלח שריכוזה

מצא . 62.5%ריכוז המלח בתמיסה שהתקבלה לבסוף היה . 50%ליטר מתמיסת מלח שריכוזה

.את כמות התמיסה שהייתה בכלי

) טבעי מתקיים nלכל הוכח באינדוקציה כי .א 2. )n 1k 1 kn k 1

++ − − k( ללא שארית 2k- מתחלק ב−

).מספר טבעי כלשהו

.'ללא קשר לסעיף א ): נתון .ב ) ( )f x x x 2 4 , g x 2x 5 3x 10= + − − = − − −.

) מתקיים xלאילו ערכי )f x ) וגם >0 )g x 0<?



164


333

). נקודות


y: מצאו את השטח המקסימלי של מלבן החסום בפרבולה .א 3. = 2x − x2 ,ובציר ה- x , באופן

ושני קודקודים אחרים נמצאים על החלק העליון x -השצלע אחת של המלבן נמצאת על ציר

. הראו שבנקודה שמצאתם אכן מתקבל מקסימום. של הפרבולה

הראו שהיחס בין שטח המלבן המקסימלי לבין שטח המקטע שחותך .ב

3 מן הפרבולה הוא x -ציר ה 3

.

) הזווית- מתבוננים בכל המשולשים ישרי 4. )BAC 90 ABC= ° ∆∢

. כמתואר בציורRהחוסמים חצי מעגל שרדיוסו

?מה הן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא מינימלי

5. ( )f x היא פונקציה שהתחום שלה הוא הקטע [ ]0,6.

)בשרטוט מתואר הגרף של )f ' x.

.ענה על השאלות הבאות בעזרת הגרף

)) המקורית(באילו תחומים עולה הפונקציה .1 )f x

?ובאילו תחומים היא יורדת

)ידוע כי .2 )f 0 0> ,( )f 1 2= ,( ) ( )f 3 f 6 0= =.

)צה של גרף הפונקציה שרטט סקי )f x 0 בתחום x 6≤ . נמק את תשובתך≥

)שרטט סקיצה של .3 )f '' x) הנגזרת של הפונקציה( )f ' xבתחום ) המשורטטת בשאלון

0 x 6≤ ≤.

בהצלחה

A

B C

x

y

1 2 3 45

006 שאלון


165


. ליטר20 .1

.הוכחה .א .2

1 .ב x 3− < <.

.א . 34 3

9

הוכחה .ב

4 .B C 45= = °∢ ∢

5עולה כאשר . 1 .5 x 6< 0 וכאשר ≥ x 1≤ <

1ר יורדת כאש x 5< <.

2.

3.

x

y

1 3

5

x

y

3 42



166

18מבחן מספר


333

). נקודות


אחריה יצא אוטובוס במהירות . אביב למחנה צבאי בדרום הארץ- משא יצאה מתל- מכונית 1.

שעות לפני הגיעם . והגיעה למחנה בזמן אחד איתה, מ לשעה ממהירותה" ק 12 -הגדולה ב

-למחנה יצא לקראתם מן המחנה רוכב אופנוע במהירות הגדולה פי שניים ממהירות מכונית

הרכב נסעו -כל כלי. דקות לפני שפגש את האוטובוס10המשא -הוא פגש את מכונית. המשא

.המשא-מצאו את מהירות מכונית. השתנו בזמן הנסיעהומהירויותיהם לא , באותו הכביש

2nהוכח כי .א 2. 2nm k−2- מתחלק ב 2m k− ללא שארית )k ,mהם מספרים טבעיים .(

n9הראה כי ' על סמך סעיף א .ב . ללא שארית8- מתחלק ב−1

12

2

006 שאלון


167

לכל שאלה (ון דיפרנציאלי ואינטגרלי וטריגונומטריהחשב', פרק ב1

333

). נקודות


,a שאורך צלעו, הבסיס הוא ריבועSABCDבפירמידה ישרה 3.

).ראו ציור (βוהזווית בין שני מקצועות צדדיים סמוכים היא

.α בין שתי פאות צדדיות סמוכות היא הזווית

2sin: הראו כי .א cos 22 2

α β⋅ =.

α: נתון כי .ב = 100°.

.a בטאו את שטח הפנים של הפירמידה באמצעות

.ℓ והקו היוצרRנתון חרוט שרדיוסו 4.

.kהיקף מעטפת החרוט הוא

מהו היחס בין R

ℓ ? עבור שטח הפנים של החרוט יהיה מינימלי

y: נתונה הפונקציה .5 = asinx + b cos2x ,b > 0: בתחום0 ≤ x ≤ π.

xלפונקציה נקודת פיתול בנקודה =π6.

aהוכיחו כי .א = −4b.

).bבטאו באמצעות (מצאו נקודות קיצון של הפונקציה .ב

.שרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ג

.yר י גרף הפונקציה המשיק בנקודת המינימום וצי" את השטח המוגבל עbבטא באמצעות .ד

25הוא ' נתון כי השטח שמצאת בסעיף ד .ה 40π .b מצא את −

בהצלחה

AB

CD

S

a

a

β



168


.ש"קמ 36 . 1

.הוכחה .א .2

.הוכחה .ב

הוכחה .א . 3 3.4a2 .ב

4 . 2π −

.ג וכחהה .א .5

min .ב π2 ,−5b

max(0,b),max( ,b)π

) .ד )S 2.5 4 b= π − ⋅

.b=10 .ה

y

x

006 שאלון


169

19מבחן מספר


333

). נקודות


והמטוס יצא משדה, Aהמסוק יצא משדה תעופה . זמנית זה לקראת זה-קל יצאו בומסוק ומטוס 1.

. היו קבועותםומיהירויותיה, Bתעופה

שעות מרגע 3 כעבור Bוהגיע לשדה התעופה , מ פחות מהמטוס" ק100עד רגע הפגישה עבר המסוק

. דקות מרגע הפגישה20 - כעבור שעה וAהמטוס הגיע לשדה התעופה . הפגישה

.מצאו את המהירות של המסוק ואת המהירות של המטוס .א

.B - וAמצאו את המרחק בין שדות התעופה .ב

n טבעי אי זוגי מתקיים nהוכח באינדוקציה כי לכל .א 2. 1 n4 4 3 1+ + ⋅ .1 עם שארית 7- מתחלק ב+

.'ללא קשר לסעיף א ) ערכי הפונקציה xלאילו ערכי .ב )f x x 3 x 2 5= + + − ? יהיו חיוביים−



170


333

). נקודות


):נתונה הפונקציה 3. ) ( )( )

2 2

2

b xb 1 f x

x 1

−> =

− , ) b רמטרפ.(

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים .א

). bבאמצעות(

.מצאו את האסימפטוטות לפונקציה המקבילות לצירים .ב

).b באמצעות(מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה .ג

.סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה .ד

) למשוואה kלאילו ערכי .ה )( )

2 2

2

b xb 1 k

x 1

−> =

− ). bותעמצאהבע ב( יהיה פתרון יחיד

.4 SABCD היא פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע.

.βזווית הראש של פאה צדדית היא

).ראו ציור (hגובה הפירמידה הוא

.β - וhבטאו את השטח של בסיס הפירמידה באמצעות .א

בטאו את השטח של הפאה הצדדית של הפירמידה .ב

.β - וhבאמצעות

ובין הוכיחו כי היחס בין שטח הבסיס של הפירמידה .ג

tgשטח המעטפת של הפירמידה הוא β2.

ABC ABשוקיים -משולש שווה .5 = AC( ומן , מעבירים משיק למעגלCבנקודה . חסום במעגל נתון(

. Dהאנך חותך את המשיק בנקודה . מורידים אנך למשיקAהנקודה

? יהיה מקסימליADCכדי ששטח המשולש , BACית מצאו מה צריכה להיות הזוו

בהצלחה

S

B

C

A

D

006 שאלון


171


ש" קמ100: מהירות המסוק . א . 1

ש" קמ150: מהירות המטוס

מ" ק500 .ב

.הוכחה .א .2

x .ב x או <2 3< −

x: תחום הגדרה .א . 3 ≠ 1 ):נקודות חיתוך ) ( ) ( )20,b , b,0 , b,0−

y .ב = −1 ,x = 1

.ג 2

22

bmin b ,

1 b

−

.ד

.ה 2

2

bk 1 , k

1 b= =

−

. א . 44h2 tan2 β

2

1− tan2 β2

או 4h2 sin2 β

2

cosβ

.ב h2 tanβ

2

1− tan2 β2

או h2 tanβ

2

הוכחה .ג

5. BAC = 60°∢

x

y



172

20מבחן מספר


333

). נקודות


דקות 50 -ו, B לעיר Aרוכב אופניים ראשון יצא מעיר . מ" ק45 הוא B לעיר Aבין עיר המרחק 1.

ש " קמ5 -מהירות הרוכב השני הייתה גדולה ב. B לעיר Aיצא רוכב אופניים שני מעיר אחריו

.המהירות של כל רוכב אופניים הייתה קבועה. הראשון ממהירות הרוכב

.דקות לפני שהגיע אליה הרוכב הראשון B 40הרוכב השני הגיע לעיר

.מצא את מהירות רוכב האופניים הראשון .א

A -כמה זמן לאחר שרוכב האופניים הראשון יצא הגיעו שני הרוכבים לאותה נקודה בדרך מ .ב

?B - ל

n טבעי זוגי מתקיים nהוכח באינדוקציה כי לכל 2. 2n5 2 3− .3 עם שארית 9-לק ב מתח+

006 שאלון


173


333

). נקודות


. R חסום מעגל בעל רדיוס ABCDשוקיים -בטרפז שווה .3

:נקודות המגע של המעגל עם צלעות הטרפז הן

K ,L ,Mו - N ,BAD = α∢) ראו ציור.(

, שבציורABCD - וKLMNבטאו את שטחי המרובעים .א

.α - וRבאמצעות

לבין שטחו KLMNהוכיחו כי היחס בין שטח המרובע .ב

- שווה לABCDשל המרובע 12sin2 α.

y: נתונה הפרבולה 4. = x2 ,ונתון משיק לפרבולה שמשוואתו היא :y = 4x − 4.

tבנקודה ≠ 2( ) t , t2( . שעל הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה(

.Mהמשיקים נחתכים בנקודה

.tבטאו את משוואת המשיק הנוסף באמצעות .א

עם Mהמחבר את הנקודה , אורך הקטע ריבוע שעבורוtמצאו את .ב

.יהיה מינימלי, קודקוד הפרבולה

: נתונה הפונקציה .52

a 2y 1

x 3x 2

−= +

− +.

xישר המשיק לפונקציה בנקודה = x בנקודה x - חותך את ציר ה1− =75.

a: כיהוכיחו .א = 0.

aהציבו בפונקציה = : ומצאו0

.את תחום ההגדרה של הפונקציה .ב

.את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים .ג

.את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים .ד

.את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן .ה

בהצלחה

αA BM

O R

K CD

LN



174


ש" קמ10 . א . 1

2 . ב1 שעות2

.הוכחה .2

SKLMN . א . 3 = 2R2 sinα

SABCD .ב = 4R2 1sinα

y .א . 4 = 2tx− t 2

t .ב = −2

17

הוכחה .א .5x .ב ≠ 2 ,x ≠ 1 ,3 .ג 0( ) , 0, 0( ) y .ד = 1 ,x = 2 ,x = 1 min .ה 1.5, 9( )

006 שאלון


175

21מבחן מספר


333

). נקודות


ונסע B לכיוון נקודה Aרוכב אופניים יצא מנקודה . מ" ק40 הוא B - וAהמרחק בין הנקודות 1.

רוכב קטנוע שנסע B לכיוון נקודה Aיצא מנקודה , דקות לאחר יציאתו לדרך20. במהירות קבועה

ומיד Cרוכב הקטנוע הדביק את רוכב האופניים בנקודה . מ לשעה" ק45במהירות קבועה של

).ראו ציור (Aלנקודה ) ש" קמ45(אותה מהירות הסתובב וחזר על עקבותיו ב

הגיע , שהמשיך בנסיעתו ללא עיכובים, רוכב האופניים

.A- לC - ברגע שהקטנוע עבר את מחצית הדרך מBלנקודה

.מצאו את מהירות רוכב האופניים

n ללא שארית הביטוי 4- טבעי המתחלק בnהוכח כי לכל .א 2. n4 . ללא שארית10- מתחלק ב−2

.'ללא קשר לסעיף א y קטנות ערכי הפונקציה xלאילו ערכי .ב 2x 5= y מהישר − 3x 10= +?

מ" ק40

A BC



176


333

). נקודות

.3 – 5 מהשאלות שתייםר פתו

)לפונקציה 3. )2

2

4x xf x

x 5x a

−=

− + .אסימפטוטה אנכית בלבד ששונה מאפס

.aמצא את .א

. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה .ב

.מצאו אסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים .ג

. y - הסבירו מדוע יש רק אסימפטוטה אחת המקבילה לציר ה

. מצאו נקודות חיתוך של הפונקציה עם הצירים .ד

. מצאו תחומי עלייה וירידה של הפונקציה .ה

.סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה .ו

הזווית שבין מקצוע צדדי לבין מישור . שבסיסה ריבוע, SABCDנתונה פירמידה ישרה 4.

.60°יא ה הבסיס

. ב את הזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכותשח

y: נתונה הפונקציה .5 3a sin x 3a cos x= a בתחום + 0 , 0 x 2> ≤ ≤ π.

.מצא לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים .א

.מצא לפונקציה נקודות קיצון .ב


המשיק לפונקציה , טח הכלוא בין גרף הפונקציה את השaבטא באמצעות .ד

xבנקודה 2

πx והמשיק בנקודה =

3

π=.

בהצלחה

006 שאלון


177


ש" קמ30 .1

.הוכחה .א .2

x .ב 1> −.

a. א . 3 4=

x .ב ≠ 4 ,x ≠ 1 y .ג = −1 ,x = 1 ,0 .ד 0( )

x > 4 או x < 4 > 1או x < 1: תחומי עלייה .ה .ו

4 . 98.21α = °

.א .55 11

,0 , ,06 6

π π

( )0, 3a

) .ב ) 4min 0, 3a min , 2 3a

3

π −

( )max ,2 3a max 2 , 3a3

π π

s .ד 0.019a=

3

π 5

6π

4

3π 11

6π x

y

y

x4



178

22מבחן מספר


333

). נקודות


. B ונסעה במהירות קבוע לתחנה Aרכבת יצאה מתחנה 1.

. ואז קיבל הנהג הוראה להאט, Cעתיים אחרי היציאה הגיעה הרכבת לנקודה ש

מיד אחרי ההוראה המשיכה הרכבת לנסוע במהירות שהייתה 1

3 . מהירות הקודמת

. דקות אחרי השעה המתוכננתB 40הרכבת הגיעה לתחנה

, Cמ אחרי הנקודה " ק14, אך הפעם, באותה מהירות קבועהAלמחרת יצאה הרכבת מתחנה

מיד אחרי ההוראה המשיכה הרכבת לנסוע במהירות שהייתה . קיבל הנהג הוראה להאט 1

3

. דקות אחרי השעה המתוכננתB 20הפעם הגיעה הרכבת לתחנה. הקודמת מהמהירות

.B לחנה Aמצא את המרחק בין תחנה .א

. המהירות שבה נסעה הרכבת עד שהנהג קיבל הוראה להאטמצא את .ב

.3,6,9,12 בסידרה חשבונית n- נסמן את האיבר הna .א 2.

nbנסמן את האיבר ה -n 1,3,9,27 בסידרה הנדסית.

naהוכח כי n2 8b−40- מתחלק ב.


x: פתור את אי השוויון הבא .ב 4 4 x− > −.

006 שאלון


179


333

). נקודות


)ה נתונה הפונקצי 3. ) 1f x sin x

sin x= 0 בתחום + x≤ ≤ π.

?מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה .א

.מהי נקודת הקיצון וקבע את טיבה .ב


x בין הישר x-גרף הפונקציה מסתובב סביב ציר ה .ד 4

π בנקודתx- לציר ה ובין האנך=

.המינימום

.חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר

קטנה' מ מהירות אופנוע א" ק 300נוסעים לאורך כביש שאורכו ' וב' שני אופנועים א 4.

לשעה ושל אופנוע ₪ 36הם ' הוצאות הנסיעה של אופנוע א.'ש ממהירות אופנוע ב" קמ40-ב

.לשעה ₪ 64הם ' ב

.ל"בנסיעה הנ' לאופנוע א' צאות המקסימלי בין אופנוע במהו הפרש ההו

שבסיסה משולש SABCבפירמידה ישרה .5

ABC ABשוקיים -שווה = AC( ),

SA: נתון כי = SB= SC= AB = AC = a.

. α היא ABC למישור SBCהזווית בין המישור

.α - וaפח הפירמידה באמצעות בטאו את נ

בהצלחה

A B

C

S

a

aa

a

a



180


.מ"ק 196 .א . 1

.ש"קמ 84 .ב

.הוכחה .א .2

x .ב x או <4 0<

x .א . 3 , x 0= π =

Min .ב ,22

π

.ג

3.21π .ד

4 . 30

5. V =a2 cosα

212sin2 α

2

⋅ 4sin2 α2 − 1

x

y

006 שאלון


181

23מבחן מספר


333

). נקודות


מ " ק12במרחק , C - וA נמצאת בין C .B -ו A ,Bעל שפת נהר נמצאות שלוש תחנות של ספינות דיג 1.

שעות ואת 4 - בC - לA -ספינת דיג ללא מנוע עוברת את הדרך מ. C - לA -כיוון הזרם הוא מ. C -מ

שמהירותה גדולה פי שלושה ממהירות הספינה האחרת , ספינת מנוע. שעות6 - בA - לC -הדרך מ

כל אחת משתי הספינות נעה במים במהירות . דקות45 - בC - לB -עוברת את הדרך מ, )בלי מנוע(

. קבועה

.מצאו את מהירות זרם הנהר

2הוכח כי .א 2. n 11 3 3 ... 3−+ + + .4- טבעי המתחלק בn לכל 40- מתחלק ב+


2x:פתור את אי השוויון הבא .ב 1 3x 2 9− + − ≤



182

לכל שאלה (שבון דיפרנציאלי ואינטגרלי וטריגונומטריהח', פרק ב1

333

). נקודות


.3 AB הוא קוטר המעגל שמרכזו O ורדיוסו R .AC הוא

.AB עם הקוטר αמיתר במעגל זה היוצר זווית

ACאת המיתר החותך AB - עובר אנך לOדרך

C ואת קשת חצי המעגל שאינה מכילה את Eבנקודה

). ראו ציור (Dבנקודה

.α - וR בעזרת CDEבטאו את שטח המשולש

f(x): נתונה הפונקציה 4. =x2 + 2x − 3

x +1( )2.

fחקרו את הפונקציה .א (x)תחומי ירידה , נקודות חיתוך עם הצירים, תחום הגדרה: ורשמו

. אסימפטוטות מקבילות לצירים, ותחומי עלייה

fסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה .ב (x).

fהפונקציה הנתונה .ג (x)היא הנגזרת של הפונקציה g(x)) כלומרg' (x) = f (x).(

של הנקודה שבה x -ואת שיעור ה, יש מינימוםg(x) - של הנקודה שבה לx -מצאו את שיעור ה

. נמקו. יש מקסימוםg(x) - ל

y: בציור מתוארים הגרפים של הפרבולות .5 = −x2 + 4x0 - ו < b( ) y = 2bx2 .

. x -מורידים אנך לציר ה, נקודת החיתוך של הפרבולות, Aמהנקודה

x - ציר ה, שעבורו השטח הכלוא בין האנךb חשבו את הערך של yוגרף הפרבולה = 2bx2) הוא מקסימלי) השטח המקווקו.

בהצלחה

x

y

A B

C

D

E

O

R

α

006 שאלון


183

23מבחן מספר –תשובות

ש" קמ1 . 1

הוכחה .א .2

.ב 6 12

x5 5

− ≤ ≤

3 .( )

2 2

CDE

2 R cos 2S

4 cos sin 45

α= ⋅

α − α

x: תחום הגדרה . א . 4 ≠ −1 : נקודת חיתוך עם הצירים

.ב

0,−3( ) , 1, 0( ) , −3, 0( )

x: לייהתחום ע > −1 x: תחום ירידה < −1 y: אסימפטוטות = 1 ,x = −1

xמינימום כאשר .ג = 1 xמקסימום כאשר = −3

5. b =14

y

x



184

24מבחן מספר

לכל שאלה (:ברהאלג: 'פרק א1

333

). נקודות


לכוהל בכלי . ליטר כוהל נקי40 ליטר מכילים ביחד 40שני כלים שהקיבול של כל אחד מהם 1.

חלק מהתערובת שהתקבלה בכלי הראשון מעבירים . הראשון מוסיפים מים עד שהכלי מתמלא

ליטר לכלי 10לבסוף מעבירים מהתערובת שהתקבלה בכלי השני . מתמלאלכלי השני עד שהוא

מצא כמה כוהל נקי היה בכלי . ליטר כוהל נקי פחות מאשר בשני5הראשון ואז יש בכלי הראשון

.הראשון בהתחלה

n טבעי אי זוגי מתקיים nהוכח באינדוקציה כי לכל .א 2. 1 n 1a b+ 2- ב−+ 2a b−ללא שארית .

nהראה כי הביטוי ' על סמך סעיף א .ב n9 9 3 3⋅ − . טבעי אי זוגיn לכל 72- מתחלק ב⋅

006 שאלון


185


333

). נקודות


f(x): נה הפונקציהנתו 3. =1

sin x+1

cosx.

0עבור ≤ x ≤ π:

.y -מצאו את שלוש האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה .א

. וקבעו את סוגה, מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה .ב

.x -מצאו את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .ג

.יצה של גרף הפונקציהסרטטו סק .ד

: כמה פתרונות יש למשוואה .ה 1 1

3sin x cos x

= −

p(x)נגדיר .ו f (x) k= p(x) עבורם kמצא את ערכי .− f (x) k= בשלוש x - חותכת את ציר ה−

.נקודות שונות בתחום הנתון

ABC ABשוקיים -על בסיס משולש שווה 4. = AC( , כעל קוטר(

).ראו ציור (E - וDבנו חצי מעגל החותך את שוקי המשולש בנקודות

BAC: נתון 2= α∢ ,ED = 2a.

- שווה לBCDEהוכיחו כי שטח המרובע .א 2a2tg2α cos2 α

cos 2α.

? כדי שיהיה פתרון לבעיהαמה צריך להיות הערך של .ב

2yהמשיק לפרבולה , ישר .5 x 2x 13= + . C בנקודה x-חותך את ציר ה, ברביע הראשוןA בנקודה +

.Bחותך את הציר בנקודה , x- לציר הA-היורד מ,האנך

?ינימלי יהיה מABCכדי ששטח המשולש , Aמה צריכים להיות שיעורי הנקודה

בהצלחה

αα

A

B

E D

C

2a

αα

A

B

E D

C

2a



186

24 מבחן מספר תשובות

. ליטר20 . 1

.הוכחה .א .2

.הוכחה .ב

x .א 3. = π , x =π2 , x = 0

min .ב ,2 24

π

.ג 34 π, 0

.ד

שלושה. ה

k .ו 2 2>

הוכחה .א .4

0 .ב < α < 45°

5. ( )A 1,16

y

x

006 שאלון


187

25מבחן מספר


333

). נקודות


בכלי לכוהל. ליטר כוהל נקי30מכילים בסך הכל , ליטר30אשר קיבול כל אחד מהם , שני כלים 1.

מהתערובת שנתקבלה בכלי הראשון מוסיפים . הראשון מוסיפים מים עד כדי מילוי הכלי כולו

ליטרים 12לבסוף שופכים לכלי הראשון . שוב עד כדי מילוי הכלי כולו, לכוהל הטהור שבכלי השני

ליטרים 2- ואז מתברר כי כמות הכוהל בכלי הראשון גדולה ב, מהתערובת שנתקבלה בכלי השני

?כמה ליטרים כוהל טהור היו בתחילה בכלי הראשון. מות הכוהל בכלי השנימכ

n טבעי זוגי הביטוי nהוכח כי לכל 2. n4 5 5 3 1⋅ + ⋅ . ללא שארית24- מתחלק ב−



188


333

). נקודות


f(x): הפונקציה 3. = cos4 x − sin4 x − 2 cosx+ −: מוגדרת בתחום1π2 < x <

π2.

. מצאו את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה בתחום .א

.מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה בתחום .ב

?ל הפונקציהמהן נקודות הפיתול ש .ג

.שרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ד g(x)כמה נקודות משותפות יש לפונקציה .ה cos 2x 2cos x 1= − f ולפונקציה + (x)

||ABCD ADשוקיים -בטרפז שווה 4. BC( הזווית ליד הבסיס הגדול . שווה לשוקBC הבסיס הקטן (

.AD עם הבסיס β ויוצר זווית E - בAB עובר ישר החותך את השוק Dדרך הקודקוד . αהיא

. לבין שטח הטרפזAED את היחס בין שטח המשולש β - וαבטאו באמצעות .א

αהראו שכאשר .ב = β - ו60° = לבין שטח הטרפז הוא AEDהיחס בין שטח המשולש , 30°23

Aמהנקודה .5 2,− 214

הנמצאת מחוץ לפרבולה f(x) = x2 − x − העבירו שני משיקים לפרבולה 2

f(x).

. ת של שני המשיקים לפרבולהמצאו את המשוואו .א

.ידי שני המשיקים-ידי הפרבולה ועל-חשבו את השטח המוגבל על .ב

בהצלחה

006 שאלון


189


ליטר10 . 1

.הוכחה .2

min .א . 3π3 ,−

12

, min −

π3 ,−

12

max 0, 0( ) : תחומי עלייה .ב

π3 < x <

π2 ,−

π3 < x < 0

0: תחומי ירידה < x <π3 ,−

π2 < x < −

π3

) .ג ) ( )0.57, 0.266 , 0.57, 0.266− − −

.ד

. אינסוף נקודות חיתוך .ה

.א .4S∆AEDSABCD

=sinβ 1 + 2 cosα( )2

2 1+ cosα( )sin α + β( )

הוכחה .ב

y .א .5 = −94 , y = 6x −14

14

S . ב 2.25=

x

y



190

26מבחן מספר


333

). נקודות


. B ונסעה במהירות קבוע לתחנה Aרכבת יצאה מתחנה 1.

. ואז קיבל הנהג הוראה להאט, Cשעתיים אחרי היציאה הגיעה הרכבת לנקודה

ייתה מיד אחרי ההוראה המשיכה הרכבת לנסוע במהירות שה 1

3 . מהירות הקודמת

. דקות אחרי השעה המתוכננתB 40הרכבת הגיעה לתחנה

, Cמ אחרי הנקודה " ק14, אך הפעם, באותה מהירות קבועהAלמחרת יצאה הרכבת מתחנה

מיד אחרי ההוראה המשיכה הרכבת לנסוע במהירות שהייתה . קיבל הנהג הוראה להאט 1

3

. דקות אחרי השעה המתוכננתB 20הפעם הגיעה הרכבת לתחנה. הקודמת מהמהירות

.B לחנה Aמצא את המרחק בין תחנה .א

.מצא את המהירות שבה נסעה הרכבת עד שהנהג קיבל הוראה להאט .ב

n טבעי הביטוי nהוכח כי לכל 2. n7 3 4+ .2 עם שארית 12-תחלק ב מ+

006 שאלון


191


333

). נקודות


שגודלה Aנתונה זווית 3.π3 .Pנקודה כלשהי הנמצאת

הורידו אנכים P -מ. A יחידות מקודקוד הזווית 2 במרחק

).ראו ציור (C - וBהחותכים את שוקי הזווית בנקודות

. הנוצר באופן זהABPCמצאו את השטח המקסימלי של המרובע

) ABCזווית - הוא משולש ישרSABCבסיסה של פירמידה 4. ACB 90 )= °∢.

BAC: נתון = α∢ ,SA = SB= SC= a , והזווית בין המקצוע הצדדיSA לבסיס הפירמידה היא β.

.a ,α ,βבטאו את נפח הפירמידה באמצעות

f(x): נתונה הפונקציה .5 = tg2x0: בתחום ≤ x <π2.

fמצאו את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה .א (x) בנקודה שבה x =π4.

tg2xdx: הראו כי .ב = tgx − x + C∫ ,ידי גרף הפונקציה - ומצאו את השטח המוגבל עלf (x) ,על-

.x -ידי ציר ה- ועל' המשיק שמצאתם בסעיף א ידי

בהצלחה

A

B

P

C



192


מ" ק196 .א . 1 ש" קמ84 .ב

.הוכחה .2

3 . S 3=

4. V =16 a3sin 2α ⋅sin2β ⋅ cosβ

y .א .5 = 4x − π + 1

S .ב =78 −

π4 = 0.09

006 שאלון


193

27מבחן מספר


333

). נקודות


מרחק בין ה. במהירות קבועה ובקו ישרBונעה לכיוון נקודה , Aמכונית צעצוע יצאה מנקודה 1.

. מטרים2.5 הוא B לנקודה A נקודה

הכדור נע בקו ישר לעבר המכונית . Bנזרק כדור מנקודה , שניות מיציאת המכונית1.5כעבור

. מטרים לשנייה3במהירות קבועה של

במהירות Bהמכונית המשיכה לנוע בקו ישר לכיוון הנקודה , לאחר שהכדור התנגש במכונית

.ממהירותה עד ההתנגשות 40% - הקטנה ב

. A שניות מרגע יציאתה מנקודה 7 כעבור Bהמכונית הגיעה לנקודה

? מה הייתה מהירות המכונית עד רגע ההתנגשות

3n טבעי אי זוגי כי הביטוי nהוכח כי לכל 2. 11n+ללא שארית12- מתחלק ב .



194

לכל שאלה (ינטגרלי וטריגונומטריהחשבון דיפרנציאלי וא', פרק ב1

333

). נקודות


. O ומרכז בסיסו Sנתון חרוט ישר שקודקודו 3.

AOB -כך ש ABמעבירים מיתר = β∢) ראו ציור.(

, α בסיס החרוט היא לביןSABהזווית בין המישור

.dומרחק המישור ממרכז הבסיס הוא

.α ,β ,dבטאו את נפח החרוט באמצעות

,N נתונה נקודה ABCDבתוך ריבוע 4.

ANמ " ס2 -כך ש = BN CNמ " ס12 - ו= = .

. מצאו את אורך צלע הריבוע

).דייקו עד לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית(

. a ואורך b הוא בעל רוחב ABCDמלבן .5

.BC נמצאת על המשך P הנקודה

). ראו ציור (Q בנקודה CD חותך את AP הישר

כום השטחים של שעבורו סPCמהו המרחק

? הוא הקטן ביותרPCQ - וADQהמשולשים

בהצלחה

N

A B

CD

P

QD C

BA a

b

S

A

B

O

006 שאלון


195


1 . 1

2 מטר לשניה

.הוכחה .2

3 . V =π3

d3

sin2 α ⋅ cosα ⋅ cos2 β2

מ" ס3.69. 4

5. ( )PC b 2 1= −



196

28מבחן מספר


333

). נקודות


מוציאים מהכלי מספר מסוים של ליטרים כוהל ומכניסים . ליטרים של כוהל נקי240בכלי יש 1.

.במקומם אותו מספר ליטרים של מים

יטרים של ל' מהתמיסה שהתקבלה מוציאים אותו מספר ליטרים כמו קודם ומחזירים לכלי מס

. מהכמות שהוציאו בהוצאה האחרונה15-מים הקטן ב

. כוהל60%ידוע כי בתמיסה החדשה היה ריכוז של

?כמה ליטרים הוציאו בהוצאה הראשונה

2n3 טבעי nהוכח באינדוקציה כי לכל 2. 9 80n 3⋅ + . ללא שארית64- מתחלק ב−

006 שאלון


197

לכל שאלה (גרלי וטריגונומטריהחשבון דיפרנציאלי ואינט', פרק ב1

333

). נקודות


f(x): נתונה הפונקציה 3. =8 x − 1( )x − a( )2

+ b.

האסימפטוטה האופקית של הפונקציה חותכת את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה בנקודה ( )7, 8−.

. b - וaאת הפרמטרים מצאו .א

:' שמצאתם בסעיף אb - וaעבור

.מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה .ב

.מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים .ג

הוכיחו כי .ד 1

f (x) 83

≥ . בתחוםxלכל ֿ −

הזווית בין שתי פאות צדדיות , Sוראשה , ABCDשבסיסה ריבוע , SABCDבפירמידה ישרה 4.

. βהיא ) הנפגשים בקודקוד הבסיס(והזווית בין מקצוע צדדי למקצוע הבסיס , 2αסמוכות היא

sinα: ו כיהוכיח ⋅ sinβ = sin45°.



198

) מסורטטת סקיצה של הגרף של פונקציית Iבציור .5 )g ' x.

)סרטט סקיצה של הגרף של , בלבדIעל סמך ציור .א )g x , אם נתון( )g 0 0=.

.על פיהם סרטטת את הסקיצההסבר את השיקולים ש ) מסורטטת סקיצה של גרף IIבציור .ב )g '' x.

)חשב את השטח הכלוא בין הגרף של )g '' xובין ציר ה -x) השטח המקווקו בציור(,

)אם נתון כי ) 2

xg ' x

1 x=

+.

בהצלחה

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

Iציור

x

y

IIציור

006 שאלון


199

28ספר מבחן מתשובות

. ליטרים60 . 1

.הוכחה .2

a .א . 3 = 7 ,b = −8

x .ב ≠ 7

)10,0 .ג ) , 5, 0( ) , 0.− 8849

הוכחה .ד

90° .א. 4

.ב 3

2 22aV cos cos sin cos

3= β γ β − γ

.א .5

S .ב 1=

x

y

1− 1



200

29מבחן מספר


333

). נקודות


. A - לB - והשני מ, B - לA -האחד מ. B - וAאחת זה לקראת זה ממקומות -שני רוכבים יצאו בבת 1.

4 - הגיע לA -רוכב האופניים מ. לנוע ליעדו, מבלי להתעכב, הם נפגשו בדרך וכל אחד מהם המשיך

Bואילו רוכב האופניים מ, שעות לאחר הפגישה- B9 - הגיע ל Aמהירויות . שעות לאחר הפגישה

. רוכבי האופניים לא השתנו בשעת התנועה

?B - וAל את המרחק בין המקומות "בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים הנ

.2 naנסמן את האיבר ה -n 1,4,7 בסדרה חשבונית...

nbנסמן את האיבר ה -n 1 הנדסית בסדרה, 1,1, 1,1− −

naהוכח כי n10 3b+ללא שארית13- מתחלק ב .

006 שאלון


201

לכל שאלה (ואינטגרלי וטריגונומטריהחשבון דיפרנציאלי ', פרק ב1

333

). נקודות


f(x): נתונה הפונקציה 3. =x − 3A( )2

x2 − 4 . הוא מספר שלםAהפרמטר .

xאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה היא =43.

.Aצאו את הערך של מ .א

:מצאו', שמצאתם בסעיף אAעבור

.את תחום ההגדרה של הפונקציה .ב

.את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים .ג

.את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים .ד

2הוכיחו כי עבור .ה x 2− < < f (x) 1.25≤ x ועבור − 2> f (x) 0≥.

gנתון .ו '(x) f (x) , g(2) 0= x עולה לכל g(x) הראו כי הפונקציה = 2≥.

.BC הוא אורך הגובה לצלע AB = 2AC .h - ו120° היא בת ∢ABC BAC,במשולש 4.

27: הואABCהוכיחו כי שטח המשולש 3h

6.

5. AD הוא חוצה הזווית Aבמשולש ABC . 18היקף המשולש הוא.

CD: נתון = BD + 2.

.x כפונקציה של AB ובטאו את אורך הצלע, x - בBDסמנו את .א

? AB מהו האורך המקסימלי האפשרי של הצלע .ב

בהצלחה



202


שעות15, שעות10 .1

.הוכחה .2

A = 1 .א . 3 x = ± 2 .ב

y = 1 ,x .ג 2= − ,x = 2

2−,0 .ד 14

, 3, 0( )

הוכחה .ה הוכחה .ו

הוכחה. 4

AB .א .5 =8x − x2

x + 1

AB .ב = 4

006 שאלון


203

30מבחן מספר


333

). נקודות


מכונית A דקות אחריה יצאה מעיר 15. ונסעה במהירות קבועהB לעיר A יצאה מעיר Iמכונית 1.

II ונסעה לעיר Bש ממהירותה של מכונית " קמ5 -דולה ב במהירות הגI . לאחר שמכוניתII

ת הדרך עברה בחצי ואת שארי, ש" קמ5 - את מהירותה בIהקטינה מכונית , Iהשיגה את מכונית

. דקות לאחר הפגישה45 - שעה וB הגיעה לעיר IIמכונית . מהזמן שבו נסעה עד הפגישה

.Iמצאו את המהירות ההתחלתית של מכונית .א

.B - וAים מצאו את המרחק בין שתי הער .ב

n טבעי הביטוי nהוכח כי לכל .א 2. n5 2 5− .2 עם שארית 3- מתחלק ב+

n: האם' על סמך סעיף א .ב n25 . ללא שארית3- מתחלק ב−4



204

לכל שאלה (וטריגונומטריהחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ', פרק ב1

333

). נקודות


ABC ABשוקיים -נתון משולש שווה 3. = AC( ).

BD הוא הגובה לשוק ACו - DE הוא אנך לבסיס BC.

x הוא גודל הזווית BAC.

).ראו ציור (aאורך השוק של המשולש הוא

BE כדי שאורך הקטע xמה צריך להיות הערך של

, xאינכם חייבים למצוא את הערך של (? יהיה מקסימלי

).xדי שתמצאו את ערכה של פונקציה טריגונומטרית של

חוסם הוא רדיוס המעגל הR. בהתאמה, BC ,AC ,AB הם אורכי הצלעות c - ו, ABC ,a ,bבמשולש 4.

AED: כך ש, BC נמצאות על הצלע E - וDהנקודות . ABCאת משולש = θ∢ADE =∢.

. ABC את שטח המשולשS2 - ובADE את שטח המשולש S1 -נסמן ב

:הוכיחו S1S2

=b⋅ ca⋅ R cotθ.

2yגרף הפונקציה .5 ax=ידי - מחלק את השטח המוגבל על

הגרף של הפרבולה 21

y ax2

וישר ששיפועו חיובי ועובר דרך ראשית הצירים =

.הראה כי יחס השטחים לא תלוי בשיפוע הישר, S2 - וS1לשני שטחים

בהצלחה

A

B C

D

E

a

x

006 שאלון


205


ש" קמ75 .א . 1 מ" ק440 .ב

.הוכחה .א .2

כן .ב

3 . x = 70.53°

הוכחה. 4

הוכחה .5

!"#$!% &'( )*+,-"

.&/*!,- 0!*&': an b

n ! a b" # an 1 $ a

n 2b $ ...$ a

n 3b

2 $ ...$ bn 1" #

1!2!&% .!%&+: a $ b" #n ! an $

n

1

%&

'&(&)&

*&+&a

n 1 ,b $ ...$n

k

%&

'&(&)&

*&+&a

n k , bk $ ...$ bn

n

k

%&

'&(&

)&

*&+&!

n!

k! n k" #!

)2&&! !"#$!%: x1 , x2 !ca

x1 $x2 ! ba

)x1, x2 - !""#$ %#&"# '%(")%& x1, 2 ! b - b2 4ac

2a(

!*($:

'%*")#+ &,- '%-,* &,-

&)%! - n-%: a n ! a1 $ n 1" #d a n ! a1qn 1

."/- : Sn!

n2

2a1 $ n 1" #d. / Sn !a1 q

n 1" #q 1

.&+3!*/ .&*'$/: z ! a $ bi ! r cos0 $ i sin0" #

'%)0"1 23 ) 45/$: z1z2 ! r1r2 cos 01 $ 02" #$ i sin 01 $ 02" #. /

, 05#$-&)!"$: cos0 $ i sin0" #n! cosn0 $ i sin n0

!""#$ %#&"#zn ! r cos1$ i sin1" #. : zk ! rn cos

1n$

22kn

%&'&(&

)&*&+&$ i sin

1n$

22kn

%&'&(&

)&*&+&

3&4&5&

6&7&8&

k ! 0,1, ...,n 1

)0&*!2%&+/!0:

4# '"&"$' &5-$ n .%$3( )'"&6+ %4):( pn ! n!

4# '"&"$' &5-$ n #% ./"'$#/ .%$3( n1, n2 ,...,nk. %*%) .%""# .%$3( : pn !n!

n1!,n2!,..., nk!

4# '"5%4+ &5-$ k 7"'$ n .%$3( )'"&6+ %4):(

Ank !

n!

n k" #!

4# .%5"&%3 &5-$ k 7"'$ n .%$3( )'"&6+ %4):( n

k

%&

'&(&

)&

*&+&! Cn

k !n!

k! n k" #!

+5-*–'"!+-"* %5,

.&*!20!:

.%&"01"" '""31 7&, &"#%$c ! OC9

, b ! OB9

, a ! OA9

: x ! a $ t b a" #$ s c a" #

'%&41- 45/$: x,y" #! x , y ! x1y1 $ x2y2 $x3y3 ! x , y , cos1

'")3%*: x , y ! 0

&"01" 4# 7&"!: x ! x , x ! x12 $ x2

2 $x32

8%) 1+&$z ! z1, z2, z3" # &"#%$4 a ,x $ c ! 0: a , z $ c

a

&#% 8%) '%""6t b $ d &"#%$4 a ,x $ c ! 0:

sin: !a ,ba , b

.%&"#%$ 8%) '%""6b , x $ d ! 0 , a , x $ c ! 0: cos1 !a ,ba , b

.&/ &*,!-! !04#: !ogax !

!ogbx

!ogba

a!og a x ! !og a a

x" #! x

)&*2/!%!,&*2

!&!)4:

cos 1- :" # ! cos1 cos:" sin1 sin: sin 1 -:" #! sin1 cos:- cos1 sin:

tg12!

sin11 $ cos1

tg 1 -:" # ! tg1- tg:1 " tg1 , tg:

cos

12! -

1 $ cos12

sin12! -

1 cos12

cos1$ cos: ! 2 cos

1 $:2

cos1 :

2 sin1 $ sin: ! 2sin

1 $:2

cos1 :

2

cos1 cos: ! 2sin

1 $:2

sin1 :

2 sin1 sin: ! 2sin

1 :2

cos1 $:

2

$!%&$) 2'5/: asin1 ! 2R $!%&$!0) 2'5/: c

2 ! a2 $ b

2 2ab cos ;

-5 50 6*!" 1.&%"&(* : r1 )*4, #25: 12

r21

+#*/) $(%)

,%$&%5" 0"&+ +5*)B --%-) +0# :( V !B ,h

3 &",/ +5*: V !

432R

3

0"&+ '50($ +0#: M ! 2R! &",/ 4# .%*5 +0#: P ! 42R2

)4&-%")#&-*,2%&"! &-"&7%*'&( 1!+5(

!*4,%:

arc sin' x !

1

1 x2 sin' x ! cosx

xn" #' ! nx

n 1

uv" #' ! u' v $ uv'

arc cos' x !

1

1 x2

cos' x ! sin x a

x" #' ! ax!na

uv

%&'&(&)&*&+&' !

vu' v' u

v2

arc tg' x !

1

1$ x2

tg' x !1

cos2 x !oga' x !

1x!na

'&#&# 44/: f' x" #! v' u" # ,u' x" #

.&-*,2%&": < f ax$ b" #dx !1a

F ax$ b" #$C

4'*2) --3: f x" #dx !h2

f a" #$2f x1" #$ ...$ 2f xn 1" #$ f b" #. /a

b

<

!&70%!':

'%2"6 %31*"5: f x" # ! f x" # %! %31*"5-'%2"6: f x" # ! f x" #

4"'%5 ',"1*: '"&%(14 '"&%$1 8%) &)($ ',"1* 4($ %54/ &"(1 %31*"5: =

!*+ $)! )0&2$&22$

10 &&2$

S !

x1 x" #2 f1 $ x2 x" #2 f2 $ ... $ xn x" #2 fn

N

fn........., f2 , f1 4# '"%"+%/# xn ............ ,x2 , x1

x .%*"'* (3"$$ ; f1 $ f2 $ ... $ fn ! N

!*+ $)

%4"*&) '+-"* -4 '"&)'- - k) '"+43 - n '"&)'- .( '%$"*%) '"245' ) '"*"%-%* p:

pn k" # !n

k

%&

'&(&)&

*&+&p

k1 p" #n k

,

,

,

+5-*–'"!+-"* %5,

/*!% !,-' ) -5 #!- &-(0,1) *+27/

u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

0.500

0.540

0.579

0.618

0.655

0.692

0.726

0.758

0.788

0.816

0.841

0.864

0.885

0.903

0.919

0.933

0.945

0.9554

0.9641

0.9713

0.9773

0.9821

0.9861

0.9893

0.9918

0.9938

0.9954

0.9965

0.9974

0.9981

0.9987

504

544

583

622

659

695

729

761

791

819

844

866

887

905

921

935

946

9564

9650

9719

9778

9826

9865

9896

9920

9940

9955

9966

9975

9982

9987

508

548

587

625

663

699

732

764

794

821

846

869

889

907

922

936

947

9573

9656

9726

9783

9830

9868

9898

9922

9941

9956

9967

9976

9983

9987

512

552

591

629

666

702

736

767

797

824

848

871

891

908

924

937

948

9582

9664

9732

9788

9834

9871

9901

9925

9943

9957

9968

9977

9983

9988

516

556

595

633

670

705

739

770

800

826

851

873

893

910

925

938

9495

9591

9671

9738

9793

9838

9875

9904

9927

9945

9959

9969

9977

9984

9988

520

560

599

637

674

709

742

773

802

829

853

875

894

911

926

939

9505

9599

9678

9744

9798

9842

9878

9906

9929

9946

9960

9970

9978

9984

9989

524

564

603

641

677

712

745

776

805

832

855

877

896

913

928

941

9515

9608

9686

9750

9803

9846

9881

9909

9931

9948

9961

9971

9979

9985

9989

528

568

606

644

681

716

749

779

809

834

858

879

898

915

929

942

9525

9616

9693

9756

9808

9850

9884

9911

9932

9949

9962

9972

9979

9985

9989

532

571

610

648

684

719

752

782

811

837

860

881

900

916

931

943

9535

9625

9699

9762

9812

9854

9887

9913

9934

9951

9963

9973

9980

9986

9990

536

575

614

652

688

722

755

787

813

839

862

883

902

918

932

944

9545

9633

9706

9767

9817

9857

9890

9916

9936

9952

9964

9974

9981

9886

9990

*5& !0:

7&, &#% '!""#$x1,y1" #"("5%## m: y y1 ! m x x1" #

'%""64 +-"* 1 .%&#% 8%)# y ! m 2x $ n2 , y ! m1x $n1: tg1 !m1 m 2

1 $m1m2

.%&#% '")3%*y ! m 2x $ n2 , y ! m1x $n1: m1 ,m2 ! 1

,"1* 1+&$x0 ; y0" # &#% $ Ax $By $ C ! 0:

d ! -

Ax0 $By 0 $ C

A2 $ B

2

(01 '! '14+$ ,"1*AB -+%) A x1,y1" #; B x2 ,y2" #" # k : !:

!x1 $ kx2

k $ !,!y1 $ ky 2

k $ !

%&'&(&

)&*&+&

-,8/:

42($4 1%#$ '!""#$x a" #2 $ y b" #2 ! R2 ,"1*) x0 , y0" #:

x0 a" # x a" #$ y0 b" # y b" #! R2

4")&5% x2

a2 y

2

b2 ! 1:

'"0"05$%-! : y ! -ba

x

'%#!& $ ,1"$ 1+&$: c ! a2 $ b

2

,"1*) 4")&5% 4 1%#$x0 ; y0" #: xx0

a 2 yy0

b2 ! 1

&#% # %!*' y = mx + n 4")&5% 4 1%#% : n2 ! m

2a

2 b2

)-!+*'y2 ! 2px:

,"1*) 4")&54 1%#$x0 ; y0" #: yy0 ! p x $ x0" #

&#% # %!*' y = mx + n 4")&54 1%#% :

n !p

2m

Documents

006 ןולאש הקיטמתמב דוקימ horef 20095.pdf2009 ט "סשת ףרוח דוקימ תילילפ הריבע םניהו םירצוי תויוכז לש הר פה םיווהמ