01_04_2008_7118_SIMULACIJSKO_MODELIRANJE

Radionica II: MJERNA NESIGURNOST U LABORATORIJSKOJ I PROIZVODNOJ PRAKSI

FSB

Dani tehničke izobrazbeDani tehničke izobrazbe

MURTER 2002MURTER 2002

- Zavod za industrijsko inženjerstvo

Teorijske osnove simulacija

Prof.dr.sc. Nikola Šakić

Fakultet strojarstva i brodogradnjeSveučilišta u Zagrebu

Zavod za industrijsko inženjerstvoIvana Lučića 110 000 Zagreb

e-mail: [email protected]

TEORIJSKE OSNOVE SIMULACIJA


FSB





Uvod: simulacije i simulacijsko modeliranje, osnovne značajke vrste simulacija: kontinuirane, diskretne, kombinirane primjeri simulacijskih modela metoda Monte Carlo - povijest i razvoj Buffon-ova igla - prvi M. C. eksperiment pri određivanju broja

Primjeri primjene metode Monte Carlo rješenje integrala ”slučajno” kretanje - udaljenost


FSB





Slučajni i pseudoslučajni brojevi značaj slučajnih brojeva u metodi Monte Carlo i simulaciji generiranje pseudoslučajnih brojeva generiranje slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane varijable generiranje varijabli prema razdiobama: normalna, eksponencijalna, pravokutna, trokutasta… složene razdiobe

Zaključak: za i protiv metode Monte Carlo


FSB





Uvod: simulacije i simulacijsko modeliranje, osnovne značajke ne postoji jedinstvena, ”jaka” definicija

jedna moguća definicija:

Simulacijsko modeliranje i simulacija predstavlja široki skup aktivnosti vezanih uz izgradnju modela nekog realnog sustava i njegove simulacije, - tipično uporabom računala.

MetodeProblemi

Determinističke StohastičkeDeterministički Numerička analiza Monte Carlo metoda

Stohastički Proračun vjerojatnosti Simulacijske tehnike


FSB





Simulacijsko modeliranje - osnovne faze

Pokusi na modelu

Implementacija

rezultata u realnisustav

Provjera rezultata

(verifikacija, validacija)

Model (apstraktni,matematički,

…)

Realni sustav

Preslikavanje


FSB





zavisna varijabla

vrijeme

SIMULACIJE - VRSTE

zavisna varijabla

vrijemedogađaj

1. Kontinuirane

2. Diskretne

3. Mješovite

zavisna varijabla

vrijeme

događaj


FSB





1900 2000 2100

Ind.proiz. po stanovniku

Broj stanovnika

Sirovine (resursi)

MODEL RAZVOJA NEKIH PARAMETARA PLANETA ZEMLJA

(bez promjena ekonomskih, društvenih,… odnosa)


FSB





Dio modela vezan za stanovništvo

Stanovništvo

Rođenja godišnje

+

+

Ind. proizv. po stanovniku

Priraštaj

-

Usluge po glavi

SmrtnostSmrti

godišnje

Zdravstvena služba

Planiranjeobitelji Kapital u uslužnim

djelatnostimaIndustrijska proizvodnja

-

+++

-

-

+

+

+

+

+

-

+

+


FSB





e(t)

R

L

C i

)t(Fkyycdt

ydm

)t(eidtC

1Ri

dt

diL

t

0

Modeli i simulacije u inženjerstvu

AnalogijeMasa m

Konstanta opruge 1/k

Prigušenje c

Kapacitet C

Indukcija L

Otpor R

y

F(t)

k

c

m


FSB





Metoda Monte Carlo - povijest i razvoj

Student - Wiliam Sealy Gosset

PP OO VV II JJ EE SS TT

MMEETTOODDEE

MMOONNTTEE CC AARRLLOO

John von Neumann

Istraživanja tijekom projekta Manhattan

Fermi, Metropolis i Ulam

1876. - 1937.

1903. - 1957.

- 1948. - proračun svojstvenih

vrijednosti Schrodingerove

jednadžbe

Erwin Schrödinger

1887. - 1961.

nnn EH


FSB





Georges Louis Leclerc Comte de Buffon

1707. - 1788.

Udaljenostlinija = L

Udaljenost donajbliže linije = D

Duljinaigle = L

1 / 2 sin ( )

P = R / N = 2 ·L · N / R · D

japresijecanbroj

iglepadabrojukupan2

za L D P = 2 L / D… vjerojatnost da igla presijeca liniju za N ispuštanja igle i R presijecanja:

= 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88...


FSB





/ 20

1 / 2

f (x) = ( 1 / 2 ) sin (

Vrijednost kuta

1

1

- 1

- 1

P(x2 + y2 < 1) = A ( pov. kruga) / A (pov. kvadrata) = /4 M /N

A) vrijednost površine polukruga jednaka je vrijednosti određenog integrala funkcije f(x) = (1/2) sin (); vrijednost površine cijelog pravokutnika je /2; rezultat integracije je 1.

B) odabere se slučajna točka (x, y) unutar intervala (-1, 1); slučajna točka odabere se N puta i M puta leži unutar jediničnog kruga.

uz uvjet D (1/2) sin () japresijecanbroj

iglepadabrojukupan2

Slučaj A Slučaj B

Konačno: = 4 ·M / N


FSB





3.04

3.14

3.04

3.24

Br.pokušaja 733 Početak Sporo Brzo Kraj

Procjena u logaritamskom mjerilu 2

3

4

Trenutna procjena: 3.1731601731601735

Početak Sporo Brzo Kraj

4

2

3

3.04

3.24

3.

24

3.14

3.04

Br.pokušaja 1045 Trenutna procjena: 3.133433283358321

2 Procjena u logaritamskom mjerilu


FSB





y

0 x

a

b

y = x2

1

1

0

1

0

32 ...333.0

3

xdxxI

1. model

2.010

2

n

nI a

Slučajni broj PoložajRedni broj x y x2 y < x2 y > x2

1 0.8 0.6 0.64 a2 0.2 0.9 0.04 b3 0.2 0.1 0.04 b4 0.7 0.4 0.49 a5 0.2 0.4 0.04 b6 0.2 0.9 0.04 b7 0.3 0.3 0.09 b8 0.4 0.6 0.16 b9 0.1 0.9 0.01 b

10 0.5 0.5 0.25 b 1.80 2 8

Primjer izračuna integrala - y = f (x)


FSB





Slučajni broj PoložajRedni broj x y x2 y < x2 y > x2

11 0.2 0.4 0.04 b12 0.8 0.1 0.64 a13 0.8 0.9 0.64 b14 0.3 0.6 0.09 b15 0.8 0.6 0.64 a16 0.8 0.1 0.64 a17 0.7 0.7 0.49 b18 0.6 0.4 0.36 b19 0.9 0.1 0.81 a20 0.5 0.5 0.25 b 4.60 4 6’ 6.40 6 14

Poboljšanje veći uzorak, simetralizacija

3.020

6I


FSB





2. model

1

0

n

1i

2i

2 xn

1dxxI

32.020

40.6I

3. model

1

0

1

0

1

0

21

0

2 xdxxdxdxxdxxI

1

0Y

1

0

2 IxdxdxxI

Yn

1ii

n

1i

2i Ix

n1

xn1

I

0.320.510

3.6010

1.80I

y

0 x

y = x2

1

1

y = x

I

Iy


FSB





Slučajnibroj

Redni broj x x2

1 0.08 0.00642 0.12 0.01443 0.22 0.04844 0.37 0.13695 0.42 0.17646 0.52 0.27047 0.63 0.39698 0.74 0.57469 0.81 0.6561

10 0.95 0.9025

3332.020

6640.6x

n

1I

n

1i

2i

4. Model: manji ”korak” sluč. brojeva

Slučajnibroj

Redni broj x x2

11 0.02 0.000412 0.18 0.032413 0.28 0.078414 0.33 0.108915 0.48 0.230416 0.58 0.336417 0.67 0.448918 0.76 0.577619 0.89 0.792120 0.95 0.9025 6.6640


FSB





Slučajno kretanje - udaljenost

E (d2) = E (ixi2) + E (iyi

2) = n

n)d(E 1 7 2

2

3

4

5 6

3

1

4

5 6 8

9

8

9 10

krajevi ulica

Položaj svjetiljke

2n

1ii

2n

1ii

2n21

2n21

2 yxy...yyx...xxd


FSB





Primjer primjene algoritma sredine kvadrata

- jedan od prvih algoritamskih postupaka za generiranje niza uniformno distribuiranih pseudoslučajnih brojeva.- predložen od von Neumanna i Metropolisa 1946.- odabrati početni slučajni broj x0 (sjeme).- zatim generirati idući broj prema: - za novi slučajni broj uzeti sredinu od x1.

x1 = x02

- ponoviti postupak željeni broj puta. x0 = 2152 (x0)2 = 04631104

x1 = 6311 (x1)2 = 39828721

x2 = 8287 (x2)2 = 68674369x3 = 6743

x0 = 2152

...

Slučajni i pseudoslučajni brojevi

Generatori slučajnih brojeva: prirodni i algoritamski


FSB





a konstanta

ri slučajni broj

ri-1 prethodni slučajni broj

mod (x1, x2) = x1 - (x1/x2)int. x2

mod (10, 3) = 10 - (10/3)int. 3 = 1 mod (12 346 049 270 367, 1010) ==12 346 049 270 367 - (12 346 049 270 367 / 1010)int. 1010 = =12 346 049 270 367 - 12 346 1010 = 6 049 270 367

r1= (100003) (123 456 789) = 12346049270367 6049270367 (modulo 1010)r2= (100003) (6049270367) = 604945184511101 5184511101 (modulo 1010)

i ni

1 0.60492 703672 0.51845 11101... ...19 0.33541 4946320 0.50087 48389

Primjer primjene kongruentno multiplikativnog algoritma

ri = ari -1(mod m)


FSB





RAZDIOBE

Svojstva

Kontinuirane x, f (x)

Diskretne (xi); piPozitivno

st NormalizacijaInterpretacija

Očekivanje E (x)Varijanca

2)x(

U primjenama:

1dxf(x)

xsvakiza0f(x)

dxf(x)x

dxf(x)E(x))(x

1pN

1ii

N

1iii px

N

1ii

2i pE(x))(x

pi > 0 za svaki x

F (x)dx vjer. (x x’ x + dx)

Pi = vjer.(i) vjer. (xi = xi

’)

xE(x) 22

x sσ 2x

2 σ1n

ns


FSB





Generiranje slučajnih varijabli - diskretno obilježje

x P(x) P(x) F (x)0 0.20 0.201 0.25 0.452 0.40 0.853 0.10 0.954 0.05 1.00 1.00

Područje sl. brojeva vrijednost varijable00 19 020 44 145 84 285 94 395 99 4

P (x) F (x) P(x)

0 x 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3

P(x)

0 x 4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 2 3


FSB





Generiranje slučajnih varijabli - kontinuirano obilježje

f(x)

x

Normalna razdioba

x

dx)x(f)x(F

1.00.5 0 sl.broj

x sl.

1.0

0.5

F(x)

xx’

2x

21

e

2

1f(x)

sl. broj (0 1 )

f(x)

x x’


FSB





Uniformna razdioba

BxAsvakizaAB

1)x(f

f(x)

x

(B – A)-1

B A

F(x)

X sl..

0

B

1

A

B

x sl.

sl.broj

A

1

x = A + (B – A) (sl.broj)

0

AB

Axdx

AB

1dx)x(f)x(F

x

A

x

A

)x(F)AB(Ax

)broj.sl()AB(Ax .sl

sl. broj (0 1)


FSB





f(x)

0 x 1 2 3 4 7 6 5 8

f(x) = e-x

Eksponencijalna razdioba

xm)x(E

x

0

λxλx e1dxλeF(x)

F(x))ln(1λx 1

sl.broj)ln(1λx 1sl.

xsl.

0 sl. broj

1 2 34

7 6 5

8

1 0.50

F(x)

0 x0

8

1

sl. broj (0 1)


FSB





f(x)

0 x

0.5

1

1 2 0 2.52.5 2.5

= 1/2

= 2

Weibullova razdioba

x

1 ex)x(f

za x < 0 f (x) = 0

x

e1)x(F

za x < 0 F (x) = 0


FSB





Trokutasta razdioba

f(x)

0 x

2 / (b – a)

m b 0 a

)am()ab(

)ax(2)x(f

za a x m

)mb()ab(

)xb(2)x(f

za m< x b

)am()ab(

ax)x(F

2

)mb()ab(

)xb(1)x(F

2

za x < a F (x) = 0

za b < x F (x) = 1


FSB





METODE SINTEZE RAZDIOBA

generiranje momenata funkcije gustoće vjerojatnosti binarna sinteza razdioba uporaba centralnog graničnog teorema Monte Carlo simulacija


FSB





ZAKLJUČAK:

ZA I PROTIV

METODE MONTE CARLO

Documents

01_04_2008_7118_SIMULACIJSKO_MODELIRANJE