RADICALUL DE ORDINUL 2 DINTR-UN NUMĂR REAL POZITIV.RADICALUL DE ORDINUL 3 DINTR-UN NUMĂR REAL

1. Scurt istoric

Radicalii au fost cunoscut,i încă din antichitate. Babilonienii aveau tabele cu rădăcinile

pătrate ale numerelor.Indienii rezolvau încă din sec. IX ecuat

,ia de gradul doi s

,i s

,tiau că nu se poate calcula

rădăcina pătrată a unui număr negativ. Aces,tia puteau chiar să calculeze rădăcina cubică

folosind formulele de aproximare.Simbolul

√a fost introdus în anul 1525 de către Cristoff Rudolff (1499− 1543). 1

Simbolul n

√ a fost introdus în anul 1629 de către matematicianul francez Albert Gi-rard (1595− 1632).

Simbolul√

, pe care îl folosim în prezent, a fost introdus în anul 1637 de către mate-maticianul s

,i filosoful francez René Descartes (1596− 1650).

2. Partea teoretică

Teorema 2.1. Ecuat,ia x2 − a = 0, unde a ∈ (0,∞), are o singură solut

,ie reală pozitivă.

Teorema 2.1 afirmă că pentru orice număr real pozitiv a, există un unic număr realpozitiv a cărui putere a doua este egală cu a.

Definit,ia 2.2. Fie a un număr real pozitiv. Se numes

,te radical de ordinul 2 din a (

sau rădăcina pătrată a lui a ) numărul real pozitiv a cărui putere a doua este egală cu

a.

Radicalul de ordinul doi din numărul pozitiv a se notează√a s

,i verifică relat

,iile

√a > 0,

(√a)2

= a, (a > 0).

Exemplul 2.1.√9 = 3, deoarece 32 = 9.

Exemplul 2.2.√100 = 10, deoarece 102 = 100.

Observat,ia 2.1. Dacă a = 0, prin definit

,ie avem că

√0 = 0.

Observat,ia 2.2. În determinarea numerelor de forma

√a2, a ∈ R, trebuie să t

,inem cont

de faptul că, indiferent de semnul lui a, avem√a2 ≥ 0. As

,adar, vom scrie

√a2 = |a|, a ∈ R.

Exemplul 2.3. Să se aducă la o formă mai simplă expresia E =√

(1−√2 )2+

√

(3−√2 )2.

Solut,ie. T

,inând cont de observat

,ia 2.2, avem

√

(1−√2 )2 = |1 −

√2| =

√2 − 1 s

,i

√

(3−√2 )2 = |3−

√2| = 3−

√2. Prin urmare,

E =✚✚

√2− 1 + 3−✚

✚√2 = 2.

Observat,ia 2.3. Radicalul de ordinul doi este definit numai din numere pozitive sau zero

s,i este un număr pozitiv sau nul!

Teorema 2.3. Ecuat,ia x3 − a = 0, unde a ∈ R, are o singură solut

,ie reală.

1Cristoff Rudolff este autorul primei cărt,i de algebră din Germania

1

2

Definit,ia 2.4. Fie a un număr real. Se numes

,te radical de ordinul 3 din a ( sau

rădăcina cubică a lui a ) numărul real a cărui putere a treia este egală cu a.

Radicalul de ordinul trei din numărul real a se notează 3√a s

,i verifică relat

,iile

(

3√a)

3

= a, 3√−a = − 3

√a.

Exemplul 2.4. 3√8 = 2, deoarece 23 = 8.

Exemplul 2.5.√−64 = −4, deoarece (−4)3 = −64.

Observat,ia 2.4. Radicalul de ordinul trei se poate defini pentru orice număr real!

3. Probleme rezolvate

1. Calculat,i√25 + 3

√−27.

Solut,ie. Avem

√25 = 5, deoarece 52 = 25, iar 3

√−27 = −3, pentru că (−3)3 = −27.

Prin urmare, √25 + 3

√−27 = 5 + (−3) = 5− 3 = 2.

2. Să se scrie cu ajutorul radicalilor:a) solut

,ia pozitivă a ecuat

,iei 2x2 = 128;

b) solut,ia negativă a ecuat

,iei x3 + 1 = 0.

Solut,ie. a) Împărt

,ind ambii membri ai ecuat

,iei prin 2, obt

,inem ecuat

,ia x2 = 64. Solut

,ia

pozitivă a acestei ecuat,ii, scrisă cu ajutorul radicalilor, este x =

√64, adică x = 8.

b) Ecuat,ia dată se mai scrie x3 = −1. Solut

,ia negativă a acestei ecuat

,ii, scrisă cu

ajutorul radicalilor, este x = − 3√1, adică x = −1.

3. Să se determine x ∈ R astfel încât să fie definite expresiile:a)

√2x− 1;

b)

√

3− x

x+ 5.

Solut,ie. a) Conform observat

,iei 2.3, trebuie ca 2x−1 ≥ 0. Să rezolvăm această inecuat

,ie.

Avem 2x ≥ 1, adică x ≥ 1

2.

Prin urmare, x ∈[

1

2,+∞

)

.

b) Cum am văzut s,i la punctul anterior al problemei, trebuie ca

3− x

x+ 5≥ 0. în plus,

pentru ca fract,ia să aibă sens, trebuie să impunem condit

,ia x+ 5 6= 0.

Tabelul de semn este:x −∞ −5 3 +∞

3− x ++++ ++++ 0 −−−−x+ 5 −−−− 0 + + ++ ++++3− x

x+ 5−−−− | ++++ 0 −−−−

Din tabelul de semn deducem că x ∈ (−5, 3].

4. Să se determine x ∈ R pentru care expresia E =√x− 2 + 3

√

x+ 3

x− 5are sens.

Solut,ie. Pentru radicalul de ordinul doi se impune condit

,ia x−2 ≥ 0, adică x ∈ [2,+∞).

Radicalul de ordinul trei are sens pentru orice x ∈ R, însă fract,ia de sub radical are

sens doar dacă numitorul este nenul, adică x− 5 6= 0, ceea ce înseamnă că x 6= 5.În concluzie, x ∈ [2,+∞) s

,i x 6= 5, adică x ∈ [2, 5) ∪ (5,+∞).