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Estatstica II

Estatstica IIUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARINSTITUTO DE CINCIAS SOCIAIS APLICADASFACULDADE DE ECONOMIAProf. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos SantosVARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoDefinio: Uma funo X definida pelo espao amostral e assumindo valores num intervalo de nmeros reais, dita uma varivel aleatria contnua.A principal caracterstica de uma v.a. contnua que, sendo resultado de uma mensurao, o seu valor pode ser pensado como pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente observado (sempre nosso valor efetivamente observado ser a mdia).

Podemos ento destacar as diferenas da v.a. discreta e contnua como sendo:

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoExemplos de v.a. contnuas: Tempo de resposta de um sistema computacionalTempo de vida de uma mquinaResistncia de um materialOscilao diria em um ndice na bolsa de valores

Alm destas podemos tambm destacar:

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoDe forma semelhante quela desenvolvida para variveis discretas, precisamos estabelecer para as contnuas a atribuio de probabilidades s suas diversas realizaes que, neste caso, podem assumir um nmero infinito de valores diferentes. Abordamos esta questo atravs do prximo exemplo.Exemplo: Estudos anteriores revelam a existncia de um grande lenol de gua no subsolo de uma grande regio. No entanto, sua profundidade ainda no foi determinada, sabendo-se apenas que o lenol pode estar situado em qualquer ponto, entre 20 e 100 metros.Vamos supor que escolhemos, ao acaso, um ponto nessa regio e dispomos de uma sonda que, ao fazer a perfurao, detecta com preciso profundidade do reservatrio de gua. Denotamos por X a varivel aleatria representando a profundidade.Notemos que, apesar de X poder ser qualquer nmero entre 20 e 100 metros, o instrumento, com que trabalhamos, pode no ser to preciso como gostaramos. Por exemplo, uma profundidade de 32,571 metros poderia ser medida por 32,6 metros. I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoVamos assumir que temos um instrumento ideal que no faz aproximaes. Nessas condies, podemos supor a sonda acoplada a um instrumento indicador da profundidade e um dispositivo que, quando a sonda encontrar gua, provoque a imediata interrupo da perfurao.Uma vez no que temos informaes adicionais a respeito da profundidade do lenol, razovel assumirmos que a sonda pode parar em qualquer ponto entre 20 e 100 metros, sem que tenhamos motivos para privilegiar essa ou aquela profundidade. Assim, consideraremos todos os pontos como igualmente provveis. Se utilizarmos a mesma idia de atribuir a cada possvel ponto uma probabilidade, teremos uma dificuldade extra, pois eles pertencem a um intervalo de [20; 100], em que existem infinitos nmeros reais. I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoAssim, se cada um deles tiver, individualmente, probabilidade maior que 0, a soma das probabilidades ser igual a infinito e no 1, como requer a definio da funo de probabilidades. Em geral, em situaes como esta, no interessante considerar um nico valor para a varivel aleatria, mas intervalos de valores na atribuio de probabilidades. Neste caso, sabemos que o espao amostral corresponde ao intervalo [20; 100] e as profundidades so igualmente provveis.Suponha por um momento, que dividimos o espao amostral em 8 intervalos de comprimento 10. Logo, razovel atribuir aos intervalos a probabilidade 1/8, correspondendo relao entre o comprimento de cada um deles e o comprimento do espao amostral. Isto , 10 para 80 ou 1/8.I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoI.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoAssim, como dividimos em 8 faixas de igual comprimento e sem interseco entre elas, teremos os intervalos [20; 30), [30; 40), ..., [90; 100] todos com a mesma probabilidade de 1/8, pois todos tem o mesmo tamanho.Para construirmos um histograma, podemos supor que 1/8 a frequncia relativa da ocorrncia de cada um dos intervalos. As ordenadas do grfico so as densidades, calculadas de modo que a rea de cada retngulo seja a frequncia relativa (probabilidade) do intervalo.

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoNote que, dada as caractersticas do problema, a diviso em 8 intervalos produziu o mesmo valor de densidade de 1/80 pra todos eles. Se dividirmos o intervalo [20; 100] em 16 faixas iguais, utilizando o mesmo argumento anterior, temos que os intervalos [20; 25), [25; 30), ..., [95; 100] tero todos a mesma probabilidade 1/16. O histograma correspondente ser:

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoO histograma mostra que apesar de termos diferentes intervalos, a densidade permanece a mesma, igual a 1/80.Podemos continuar esse procedimento aumentando cada vez mais a quantidade de faixas, com a consequente diminuio de suas amplitudes de tal forma que, em uma situao terica com infinitos intervalos, temos o seguinte histograma:

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - Introduo

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoEstamos agora em condies de caracterizar, completamente a atribuio de probabilidade para o caso contnuo. Ela ser definida pela rea abaixo de uma funo positiva, denominada de funo de densidade de probabilidade (fdp). Observe que a densidade em si no uma probabilidade, mas uma funo matemtica que nos auxilia na atribuio de probabilidades. Assim, para a varivel aleatria contnua X representando a profundidade do lenol de gua, a fdp f dada por:

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUASI.2.1 - IntroduoTendo em vista que, nesse exemplo a funo de densidade bastante simples, a probabilidade de que a profundidade do lenol esteja em um dado intervalo pode ser calculada com o uso de rea de figuras planas. Assim, para obter a probabilidade de uma profundidade entre 25 e 29, calculamos a rea do retngulo:

e, portanto, P(25 X < 29) =

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.2 A funo de densidade probabilidade (fdp)

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.2 A funo de densidade probabilidade (fdp)Note que, pela forma como a atribumos as probabilidades no caso contnuo, teremos rea zero sob qualquer valor individual, isto , P(X = k) = 0 para qualquer k. Portanto, em se tratando de variveis aleatrias contnuas, a probabilidade de ocorrncia de um valor isolado sempre zero e, consequentemente, as probabilidades calculadas sobre os intervalos [a; b], [a; b), (a; b] e (a; b) so as mesmas, para qualquer valor de a e b.Exemplo: Num teste intelectual com alunos de um colgio Y, o tempo para realizao de uma bateria de questes de raciocnio lgico medido e anotado para ser comparado com um modelo terico. Este teste utilizado para identificar o desenvolvimento da capacidade de raciocnio lgico e auxiliar a aplicao de medidas corretivas. O modelo terico considera T, tempo de teste em minutos, como uma varivel aleatria contnua com funo de densidade de probabilidade dada por:

O grfico da fdp apresentado a seguir (construiremos ele no software R). Deve ser notado que, pela definio de f(x), ela se anula para t < 8 ou t >15.

Vamos verificar agora se a funo f(t) satisfaz a definio de densidade. Para calcular P(9 < T 12), vamos obter a rea sob f(t) no intervalo (9; 12]:

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.2 A funo de densidade probabilidade (fdp)Assim P(9< T 12) = 7/16 valor esse obtido pela soma do trapzio definido no intervalo (9, 10) com o retngulo determinado pelo intervalo [10,12] (veja a figura).

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.2 A funo de densidade probabilidade (fdp)Atravs do uso de integral, essa mesma probabilidade seria calculada da seguinte forma:

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.2 A funo de densidade probabilidade (fdp)I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.3 Valor Mdio de uma Varivel Aleatria Contnua

O desvio padro a raiz quadrada da varincia e, como j mencionado anteriormente, tem a mesma unidade de medida da varivel original, o que facilita a interpretao dos seus valores.

Vamos a um exemplo:Investidores estudaram uma certa carteira de aes e estabeleceram um modelo terico para a varivel R, rendimento das aes (em mil R$). Suponha que R uma varivel aleatria contnua com a seguinte funo de densidade:

Vamos aplicar no Software R

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.3 Valor Mdio de uma Varivel Aleatria ContnuaI.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.3 Medidas de Posio para Variveis Aleatrias ContnuasVamos determinar a mdia e a varincia de R. Temos,

Para varincia, calculamos primeiro E(R2):

Assim:

Portanto o desvio padro ser: Qual seria a probabilidade de conseguirem um rendimento entre 8 e 10 mil? Vamos fazer no R

I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.4 O modelo de distribuio NormalA distribuio normal uma das mais essenciais e importantes distribuies da estatstica, conhecida tambm como Distribuio de Gauss ou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemtico Abraham de Moivre.Alm de descrever uma srie de fenmenos fsicos e financeiros, possui grande uso na estatstica inferencial. inteiramente descrita por seus parmetros de mdia e desvio padro, ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuio Normal.Um interessante uso da Distribuio Normal que ela serve de aproximao para o clculo de outras distribuies quando o nmero de observaes fica grande. Essa importante propriedade provm do Teorema do Limite Central que diz que "toda soma de variveis aleatrias independentes de mdia finita e varincia limitada aproximadamente Normal, desde que o nmero de termos da soma seja suficientemente grande" (Ou seja, que a amostra seja maior que 30 observaes). I.2 VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS I.2.4 O modelo de distribuio NormalDiz-se que X tem Distribuio Normal com mdia e varincia 2 se sua funo de densidade de probabilidade (fdp) :

E(X