Calculo IIIDepartamento de Matematica - ICEx - UFMG

Marcelo Terra Cunha

Integrais Duplas em Regioes Limitadas

Ou por curiosidade, ou inspirado nas possveis aplicacoes, e natural quererusar integrais duplas em regioes nao necessariamente retangulares. Isso podeser feito, com algumas exigencias ou naturais ou tecnicas. Discutiremos aquiregioes limitadas.

Ha algumas sutilezas que nao sao abordadas em um curso de calculosobre a forma que uma regiao deve ter. Vamos esconder atras da expressaoregiao bem comportada todas essas exigencias, que sao satisfeitas por todasas regioes que aparecerao nesta discussao. Em especial, uma regiao e ditalimitada quando e um subconjunto de algum retangulo [a, b] [c, d].

Do ponto de vista abstrato, pode-se considerar a integral dupla de umafuncao f em uma regiao limitada R como a integral no retangulo [a, b] [c, d]da funcao que coincide com f em R e e nula fora de R. Ou trabalhardefinindo particoes desta regiao limitada e por somas de Riemann definir aintegral dupla. Novamente, os resultados mais interessantes nao veem dadefinicao da integral para regioes mais gerais, mas sim da sua utilizacao.

2.1 Algumas regioes especiais

Existem algumas regioes planas particularmente importantes, e adequadaspara se trabalhar. Considere duas funcoes , : [a, b] R, com (x) (x)x [a, b]. Agora considere a regiao definida por

R ={(x, y) R2 : a x b, (x) y (x)} .

Exerccio: Faca uma figura que ilustre uma regiao como esta, identificandoas constantes a e b e as funcoes e .

Regioes como essa, que alguns autores chamam de Tipo I, sao par-ticularmente adequadas para se calcular integrais duplas usando integraisiteradas, ja que pode-se mostrar que

R

f (x, y) dA =

ba

(x)(x)

f (x, y) dy dx.

1

Voce pode interpretar este resultado de duas maneiras distintas, mas comple-mentares. Por um lado pode pensar que para cada valor fixo de x, a regiaode integracao comeca em y = (x) e termina em y = (x). Por outro,pode escolher c < (x) e d > (x) e considerar que esta fazendo a integralno retangulo [a, b] [c, d] da funcao que coincide com f em R e e nula forade R. Mas isso significa que, para cada valor de x, a funcao vale zero parac y < (x) e para (x) < y d, restando apenas calcular a integral comy variando de (x) ate (x).

Caso analogo e dado quando se escolhem funcoes , : [c, d] R e aregiao

R ={(x, y) R2 : c y d, (y) x (y)} .

Exerccio: Faca uma figura tambem para este caso.Regioes assim sao chamadas Tipo II. Novamente e simples calcular

integrais duplas, agora fazendo R

f (x, y) dA =

dc

(y)(y)

f (x, y) dx dy.

Interpretacoes analogas a`s anteriores podem ser feitas aqui.

2.2 Por que essas regioes nao sao tao especi-

ais assim...

E claro que dada uma regiao limitada arbitraria, ela nao e nem do tipo Inem do tipo II. Mas o que torna tais regioes importantes, alem da facilidadeintrnseca em lidar com elas, e que se temos uma regiao qualquer R e atravesde uma linha separamos duas subregioes R1 e R2, de modo que R = R1R2,para toda funcao integravel vale

R

f (x, y) dA =

R1

f (x, y) dA+

R2

f (x, y) dA.

A condicao essencial para este resultado e que as regioes R1 e R2 tenhaminterseccao essencialmente vazia, ou seja, sem area. Por isso foi usada aideia de separar essas regioes por uma linha. Novamente, devemos nos con-centrar nos casos que aparecem nos primeiros exemplos, ao inves de procurardiretamente quando essas condicoes falham.

2

Com esta propriedade, podemos sempre quebrar uma regiao limitadaarbitraria em regioes mais simples de se trabalhar. De certa forma, as regioestipo I e tipo II sao os tijolinhos para que brinquemos de Lego paracalcular integrais duplas.

2.3 Teorema de Fubini e Mudanca na Ordem

de Integracao

Um caso ainda mais interessante acontece quando uma regiao e, ao mesmotempo, do tipo I e do tipo II. Neste caso, qualquer das ordens de integracaoe valida e, ainda mais que no caso de retangulos, a escolha da ordem deintegracao pode distinguir um exerccio facil de um impossvel.

Vamos dar duas descricoes para uma mesma regiao, e voce deve fazeruma figura para visualiza-la das duas formas:

T = {(x, y) : 0 x 1, 0 y x} = {(x, y) : 0 y 1, y x 1} .

Aproveitando as duas descricoes acima da regiao T , note que 10

1y

ex2

dx dy =

T

ex2

dA

=

10

x0

ex2

dy dx =

10

xex2

dx

=

[1

2ex

2

]x=1x=0

=1

2(e 1) .

Para que fique claro como tais exemplos abundam, sao regioes tantode tipo I quanto II triangulos (e todo polgono pode ser decomposto emtriangulos), crculos, elipses e varias outras regioes.

2.4 Calculo de Areas e outras aplicacoes

Falamos muito em integrar funcoes e nas aplicacoes ja pensamos em den-sidades de massa, carga... mas ha uma aplicacao muito mais simples, quevem da seguinte interpretacao: o que acontece quando integramos a funcaoconstante igual a 1 em uma regiao R?

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Novamente temos (pelo menos) duas maneiras de pensar nessa questao.Uma e pensar que esta funcao e nao-negativa, portanto podemos interpretaressa integral como um volume abaixo do grafico. O grafico e parte do planoz = 1, assim o solido em questao sera um cilindro sobre R (o cilindro maisconhecido e o cilindro circular, mas ele nao e o unico). Tal volume e dado,geometricamente, por V = Abh, onde Ab e a area da base e h a altura, queneste caso vale 1. Portanto, a integral dupla da funcao constante igual a 1da a area da regiao onde se fez a integral.

A outra maneira de chegar a` mesma conclusao, mais geometrica e direta,e lembrar da origem da integral dupla, via somas de Riemann (veja resumoda aula 1). Se a funcao a se integrada e constante, ela pode sair do somatorio,por ser um fator comum (no caso em que vale 1, esse fator sequer precisa serescrito), e assim, qualquer soma de Riemann para esta funcao nesta regiaose reduz a` soma das areas de cada pequena regiao da particao. Esta somada a area da regiao toda.

Por qualquer das interpretacoes, conclumos que R

1 dA = A (R) ,

onde e usual omitir o 1 nesta notacao.Vamos destacar mais uma aplicacao bastante importante: o calculo de

medias.A primeira nocao de media que aprendemos e a media aritmetica: para

uma quantidade finita de dados (por exemplo, a altura de cada estudante deuma turma), somamos todos eles e dividimos pela quantidade de dados. Umasegunda, um pouco mais sofisticada, e a de media ponderada: cada dado podeter um peso diferente na conta: multiplicamos o valor do dado pelo seu peso edividimos pela soma dos pesos. O mesmo exemplo das alturas de estudantesde uma turma pode ser pensado em termos de medias ponderadas, se, porexemplo, considerarmos as alturas com precisao de centmetros e contarmosquantos estudantes tem cada altura (em geral a quantidade de alturas emenor que a quantidade de estudantes, e cada altura ganha como peso aquantidade de alunos que tem essa altura).

No calculo I voce deve ter aprendido a generalizar estes conceitos parafuncoes reais definidas em um intervalo. Se queremos a o valor medio de umafuncao f : [a, b] R, devemos calcular

1

b a ba

f (x) dx.

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Esta e uma generalizacao da ideia de media aritmetica. Se, por outro lado,temos ainda uma funcao que faz o papel do peso na media ponderada, ageneralizacao adequada e b

af (x) (x) dx ba (x) dx

.

Este e o valor medio da funcao f no intervalo [a, b] com a densidade .As generalizacoes para funcoes de duas variaveis sao imediatas. Se quer-

emos o valor medio de uma funcao f : R R onde R e uma regiao limitada,sem levar qualquer densidade em consideracao, devemos calcular

1

A (R)

R

f (x, y) dA.

Ja quando temos uma densidade em jogo, a conta que se deve fazer e Rf (x, y) (x, y) dA

R (x, y) dA

.

Excelentes exemplos desta situacao geral sao as determinacoes das coor-denadas do centro de massa, ou do centro de carga, de placas com densidades(de massa ou carga, respectivamente) conhecidas.

Como ultimo exerccio teorico da aula, voce deve escrever expressoes paraas coordenadas (X, Y ) do centro de massa de uma placa que ocupa a regiaoR e tem densidade de massa dada por (x, y).

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