Upload
shandiego
View
229
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
03-Kofaktor n Crammer 2014-2015
Citation preview
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 1
Determinan Matriks
Sub Pokok Bahasan
– Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
– Invers Matriks
– Aturan Crammers
Beberapa Aplikasi Determinan
Solusi SPL
Optimasi
Model Ekonomi
dan lain-lain.
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 2
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Misalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Mij disebut Minor-ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
:::
...
...
21
22221
11211
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A 1
1 0
2 1
maka 13 M
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 3
Determinan dengan ekspansi kofaktor
Misalkan terdapat matrik 3x3, ada berapa minornya ??
9 8 7
6 5 4
3 2 1
A
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 4
• Cij Matrik dinamakan kofaktor – ij yaitu
Cij=(-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2
= – 2
2 0
1 1 1C
21
12
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 5
Secara umum, cara menghitung
determinan dengan ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi
kofaktor sepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi
kofaktor sepanjang kolom ke-j
det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn
ij
ji
ij
ijij
ij
ij M1aCaAdet
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 6
Contoh 6 :
Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 7
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= 0 – 2 + 6
= 4
3
1
33)det(
j
jjcaA
23)1(10 1 1
0 2 33)1(2 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 8
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor
sepanjang kolom ke-3
= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33
= 0 – 2 + 6
= 4
3
1
33)det(i
ii caA
32)1(10 1 0
1 2 33)1(2 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 9
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,
maka
dinamakan matriks kofaktor A.
Transpos dari matriks ini dinamakan matriks adjoin A,
notasi adj(A).
nn2n2n
n12221
n11211
CCC
CCC
CCC
C
nnn2n1
1n2212
1n2111
T
CCC
CCC
CCC
CAadj
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 10
Misalkan A punya invers
maka
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
det (A) = det (At)
2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka :
det (A) det (B) = det (AB)
3. Jika A mempunyai invers maka :
)()det(
11 AadjA
A
)det(
1)det( 1
AA
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 11
Contoh :
Diketahui
Tentukan matriks adjoin A
Jawab :
Perhatikan bahwa
Dapat juga dihitung !
1 2 0
0 1- 1
1 0 1
A
112
01)1(C 11
11
110
01)1(C 21
12 2
20
11)1(C 31
13
.1Cdan,1C,1C,2C,1C,2C 333231232221
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 12
Sehingga matriks kofaktor dari A :
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
1- 1 1
2- 1 2
2 1- 1-
C
C
C
33
11
1- 2- 2
1 1 1-
1 2 1-
)( TCAadj
13 Maret 2015 MATEMATIKA II 13
Matriks invers dirumuskan sbb :
Maka tentukan matriks invers dari A tersebut :
Adet
AadjA 1
1- 2- 2
1 1 1-
1 2 1-
C)A(adj T
13 Maret 2015 Bab 5, SOLUSI SPL DENGAN NVERS DAN
ATURAN CRAMMERS 14
Matriks aturan Crammer Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :
Jika determinan A tidak sama dengan nol
maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah ke-i, xi)
Langkah-langkah aturan cramer adalah :
• Hitung determinan A
• Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.
Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11
21111
11111
nx
x
x
2
1
nb
b
b
2
1
nnnn
n
n
aba
aba
aba
A
1
2211
1111
2
13 Maret 2015 Bab 5, SOLUSI SPL DENGAN NVERS DAN
ATURAN CRAMMERS 15
• Hitung |Ai|
• Solusi SPL untuk peubah xi adalah
Contoh :
Tentukan solusi b dari SPL berikut :
a + c = 4
a – b = –1
2b + c = 7
Jawab :
Perhatikan bahwa
)det(
)det(
A
Ax i
i
1
120
01-1
101
A
13 Maret 2015 Bab 5, SOLUSI SPL DENGAN NVERS DAN
ATURAN CRAMMERS 16
Tentukan solusi SPL untuk peubah a ?
1
127
01-1-
104
det
det
A
Aa a
1
5 0 4-
) (-7) - 2- ( 1 ) 0- 1- ( 4
27
1-1- 1 0
12
01- 4