03 - RACIOCINIO LOGICO - TCDF.pdf

APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos

Raciocnio Lgico A Opo Certa Para a Sua Realizao 1

1 Estruturas lgicas. 2 Lgica de argumentao: ana-logias, inferncias, dedues e concluses. 3 Lgica sentencial (ou proposicional). 3.1 Proposies sim-ples e compostas. 3.2 Tabelas-verdade. 3.3 Equiva-

lncias. 3.4 Leis de De Morgan. 3.5 Diagramas lgicos. 4 Lgica de primeira ordem.

COMPREENSO DE ESTRUTURAS LGICAS

Neste roteiro, o principal objetivo ser a investigao da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um a CONCLUSO e os demais PREMISSAS. Os argumentos esto tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.

ARGUMENTO DEDUTIVO: vlido quando b premissas, se verdadei-ras, a concluso tambm verdadeira.

Premissa : "Todo homem mortal." Premissa : "Joo homem." Concluso : "Joo mortal." Esses argumentos sero objeto de estudo neste roteiro. ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas no basta para

assegurar a verdade da concluso. Premissa : " comum aps a chuva ficar nublado." Premissa : "Est chovendo." Concluso: "Ficar nublado." No trataremos do estudo desses argumentos neste roteiro. As premissas e a concluso de um argumento, formuladas em uma lin-

guagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma anlise lgica apropriada para a verificao de sua validade. Tais tcnicas de anlise sero tratadas no decorrer deste roteiro.

UMA CLASSIFICAO DA LGICA LGICA INDUTIVA: til no estudo da teoria da probabilidade, no ser

abordada neste roteiro. LGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em: LGICA CLSSICA- Considerada como o ncleo da lgica deduti-

va. o que chamamos hoje de CLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas.

Trs Princpios (entre outros) regem a Lgica Clssica: da IDEN-TIDADE, da CONTRADIO e do TERCEIRO EXCLUDO os quais sero abordados mais adiante.

LGICAS COMPLEMENTARES DA CLSSICA: Complementam de algum modo a lgica clssica estendendo o seu domnio. E-xemplos: lgicas modal , dentica, epistmica , etc.

LGICAS NO - CLSSICAS: Assim caracterizadas por derroga-rem algum ou alguns dos princpios da lgica clssica. Exemplos: paracompletas e intuicionistas (derrogam o princpio do terceiro excludo); paraconsistentes (derrogam o princpio da contradio); no-alticas (derrogam o terceiro excludo e o da contradio); no-reflexivas (derrogam o princpio da identidade); probabilsticas, polivalentes, fuzzy-logic, etc...

"ESBOO" DO DESENVOLVIMENTO DA LGICA PERODO ARISTOTLICO (390 a.C. a 1840 d.C.) A histria da Lgica tem incio com o filsofo grego ARISTTELES

(384 - 322a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macednia. Aristte-les criou a cincia da Lgica cuja essncia era a teoria do silogis-mo (certa forma de argumento vlido). Seus escritos foram reuni-dos na obra denominada Organon ou Instrumento da Cincia. Na Grcia, distinguiram-se duas grandes escolas de Lgica, a PERI-PATTICA (que derivava de Aristteles) e a ESTICA fundada por Zeno (326-264a.C.). A escola ESTICA foi desenvolvida por Cri-sipo (280-250a.C.) a partir da escola MEGRIA (fundada por Eu-clides, um seguidor de Scrates). Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Lgica), houve durante muitos anos uma certa rivalidade entre os Peripatticos e os Megrios e que isto talvez te-nha prejudicado o desenvolvimento da lgica, embora na verdade as teorias destas escolas fossem complementares.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influncia nos 200 anos seguidos e s foram apreciados e conhecidos no sculo XIX.

PERODO BOOLEANO: (1840 a 1910) Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUSTUS DE

MORGAN (1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada lgebra da lgica, respectivamente com MATHEMATICAL A-NALYSIS OF LOGIC e FORMAL LOGIC.

GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no desenvolvi-mento da lgica com a obra BEGRIFFSSCHRIFT de 1879. As idi-as de Frege s foram reconhecidas pelos lgicos mais ou menos a partir de 1905. devido a Frege o desenvolvimento da lgica que se seguiu.

GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, Vacca, Pieri, Pdoa, Vailati, etc. Quase toda simbologia da mate-mtica se deve a essa escola italiana.

- PERODO ATUAL: (1910- ........) Com BERTRAND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED NORTH

WHITEHEAD (1861-1947) se inicia o perodo atual da lgica, com a obra PRINCIPIA MATHEMATICA.

DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola alem com von Neu-man, Bernays, Ackerman e outros.

KURT GDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas importantes contribuies. Surgem as Lgicas no-clssicas: N.C.A. DA COSTA (Universidade de So Paulo) com as lgicas paraconsistentes, L. A. ZADEH (Universidade de Berkeley-USA) com a lgica "fuzzy" e as contribuies dessas lgicas para a In-formtica, no campo da Inteligncia Artificial com os Sistemas Es-pecialistas.

Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lgica en-globam muitas reas do conhecimento.

CLCULO PROPOSICIONAL Como primeira e indispensvel parte da Lgica Matemtica temos o

CLCULO PROPOSICIONAL ou CLCULO SENTENCIAL ou ainda CLCULO DAS SENTENAS.

CONCEITO DE PROPOSIO PROPOSIO: sentenas declarativas afirmativas (expresso de

uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.

A lua quadrada. A neve branca. Matemtica uma cincia. No sero objeto de estudo as sentenas interrogativas ou exclamati-

vas. OS SMBOLOS DA LINGUAGEM DO CLCULO PROPOSICIONAL VARIVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minsculas

p,q,r,s,.... para indicar as proposies (frmulas atmicas) . Exemplos: A lua quadrada: p A neve branca : q CONECTIVOS LGICOS: As frmulas atmicas podem ser com-

binadas entre si e, para representar tais combinaes usaremos os conectivos lgicos :

: e , : ou , : se...ento , : se e somente se , : no Exemplos: A lua quadrada e a neve branca. : p q (p e q so cha-

mados conjunctos) A lua quadrada ou a neve branca. : p q ( p e q so cha-

mados disjunctos) Se a lua quadrada ento a neve branca. : p q (p o an-

tecedente e q o consequente) A lua quadrada se e somente se a neve branca. : p q A lua no quadrada. : p

SMBOLOS AUXILIARES: ( ), parnteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos;

Exemplos: Se a lua quadrada e a neve branca ento a lua

no quadrada. : ((p q) p) A lua no quadrada se e somente se a neve bran-

ca. : (( p) q))



DEFINIO DE FRMULA : 1. Toda frmula atmica uma frmula. 2. Se A e B so frmulas ento (A B) , (A B) , (A B)

, (A B) e ( A) tambm so frmulas. 3. So frmulas apenas as obtidas por 1. e 2. . Com o mesmo conectivo adotaremos a conveno pela

direita. Exemplo: a frmula p q r p q deve ser entendida

como (((p q) ( r)) ( p ( q)))

AS TABELAS VERDADE A lgica clssica governada por trs princpios (entre outros) que po-

dem ser formulados como segue: Princpio da Identidade: Todo objeto idntico a si mesmo. Princpio da Contradio: Dadas duas proposies contraditrias

(uma negao da outra), uma delas falsa. Princpio do Terceiro Excludo: Dadas duas proposies contra-

ditrias, uma delas verdadeira. Com base nesses princpios as proposies simples so ou verdadei-

ras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; da dizer que a lgica clssica bivalente.

Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposies com-postas (moleculares), conhecidos os valores das proposies simples (atmicas) que as compem usaremos tabelas-verdade :

1.Tabela verdade da "negao" : ~p verdadeira (falsa) se e somente se p falsa (verdadeira). p ~p V F F V

2. Tabela verdade da "conjuno": a conjuno verdadeira se e so-mente os conjunctos so verdadeiros. p q p q V V V V F F F V F F F F

3. Tabela verdade da "disjuno" : a disjuno falsa se, e somente, os disjunctos so falsos. p q p q V V V V F V F V V F F F

4. Tabela verdade da "implicao": a implicao falsa se, e somente se, o antecedente verdadeiro e o consequente falso. p q p q V V V V F F F V V F F V

5. Tabela verdade da "bi-implicao": a bi-implicao verdadeira se, e somente se seus componentes so ou ambos verdadeiros ou ambos falsos p q p q V V V V F F F V F F F V

Exemplo: Construir a tabela verdade da frmula : ((p q) ~p) (q p) p q

((p q) p) (q p) V V V F F V V V F V F F V F F V V V V F F F F F V V F F

NMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada propo-sio simples (atmica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atmicas distintas, h tantas possibilidades quantos so os

arranjos com repetio de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o nmero de linhas da tabela verdade 2n. Assim, para duas proposies so 22 = 4 linhas; para 3 proposies so 23 = 8; etc.

Exemplo: a tabela - verdade da frmula ((p q) r) ter 8 li-nhas como segue : p q r ((p q) r ) V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V F F V F V F F F F V

NOTA: "OU EXCLUSIVO" importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo (dis-juno) ("vel") e exclusivo ( "aut") onde p q significa ((p q) (p q)). p q ((p q) (p q)) V V V F F V V F V V V F F V V V V F F F F F V F

CONSTRUO DE TABELAS-VERDADE

1. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIO COMPOSTA Dadas vrias proposies simples p, q, r,..., podemos

combin-las pelos conectivos lgicos: , , V , , e construir proposies compostas, tais como: P (p, q) = p V (p q) Q (p, q) = (p q) q R (p, q, r) = ( p q V r ) ( q V ( p r ) )

Ento, com o emprego das tabelas-verdade das operaes lgicas fundamentais: p, p q, p V q, p q, p q possvel construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposio composta dada, tabela-verdade esta que mostrar exatamente os casos em que a proposi-o composta ser verdadeira(V) ou falsa(F), admitindo-se, como sabi-do, que o seu valor lgico s depende dos valores lgicos das proposies simples componentes.

2. NMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE

O nmero de linhas da tabela-verdade de uma proposio composta depende do nmero de proposies simples que a integram, sendo da-do pelo seguinte teorema: A tabela-verdade de uma proposio composta com n proposi-

es simples componentes contm 2n linhas. Dem. Com efeito, toda proposio simples tem dois valores lgicos: V e

F, que se excluem. Portanto, para uma proposio composta P(p1, p2, ... pn) com n proposies simples componentes p1, p2, ... pn h tantas possibilida-des de atribuio dos valores lgicos V e F a tais componentes quantos so os arranjos com repetio n a n dos dois elementos V e F, isto , A2, n = 2n, segundo ensina a Anlise Combinatria.

3. CONSTRUO DA TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIO

COMPOSTA Para a construo prtica da tabela-verdade de uma proposio com-

posta comea-se por contar o nmero de proposies simples que a inte-gram. Se h n proposies simples componentes: p1, p2, ... pn ento a tabela-verdade contm 2n linhas. Posto isto, 1 proposio simples p1 atribuem-se 2n/2 = 2n - 1 valores V seguidos de 2n 2 valores F; 2 proposi-o simples p2 atribuem-se 2n/4 = 2n - 2 valores V, seguidos de 2n - 2 valores F, seguidos de 2n - 2 valores V, seguidos, finalmente, de 2n - 2 valores F; e assim por diante. De modo genrico, a k-sima proposio simples pk(k n) atribuem-se alternadamente 2n/ 2k = 2n - k valores V seguidos de igual nmero de valores F.

No caso, p. ex., de uma proposio composta com cinco (5) proposi-es simples componentes, a tabela-verdade contm 25 = 32 linhas, e os



grupos de valores V e F se alternam de 16 em 16 para a 1 proposio simples p1, de 8 em 8 para a 2 proposio simples p2, de 4 em 4 para a 3 proposio simples p3, de 2 em 2 para a 4 proposio simples p4, e, enfim, de 1 em 1 para a 5 proposio simples p5.

4. EXEMPLIFICAAO (1) Construir a tabela-verdade da proposio: P ( p, q) = (p q)

1 Resoluo - Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspon-dentes s duas proposies simples componentes p e q. Em seguida, forma-se a coluna para q. Depois, forma-se a coluna para p q. Afinal, forma-se a coluna relativa aos valores lgicos da proposio composta dada.

p q q p q (p q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V

2. Resoluo Formam-se primeiro as colunas correspondentes s duas proposies simples p e q. Em seguida, direita, traa-se uma coluna para cada uma dessas proposies e para cada um dos conectivos que figuram na proposio composta dada.

p q (p q) V F V V F V F F

Depois, numa certa ordem, completam-se essas colunas, escrevendo cm cada uma delas os valores lgicos convenientes, no modo abaixo indicado:

p q (p q) V V V V F F F V F F V V V F F V V F F F V F F V F F V F 4 1 3 2 1

Os valores lgicos da proposio composta dada encontram-se na co-luna completada em ltimo lugar (coluna 4).

Portanto, os valores lgicos da proposio composta dada correspon-dentes a todas as possveis atribuies dos valores lgicos V e F s propo-sies simples componentes p e q (VV, VF, FV e FF) so V, F, V e V, isto , simbolicamente:

P(VV)=V, P(VF)=F, P(FV)=V, P(FF)=V ou seja, abreviadamente: P(VV, VF, FV, FF) = VFVV Observe-se que a proposio P(p, q) associa a cada um dos elementos

do conjunto U { VV, VF, FV, FF } um nico elemento do conjunto {V, F} isto , P(p, q) outra coisa no que uma funo de U em {V, F}

P(p,q) : U {V,F} cuja representao grfica por um diagrama sagital a seguinte:

3 Resoluo Resulta de suprimir na tabela-verdade anterior as duas

primeiras colunas da esquerda relativas s proposies simples com-ponentes p e q que d a seguinte tabela-verdade simplificada para a proposio composta dada:

(p q) V V F F V F V V V F V F F F V V F F V F 4 1 3 2 1

(2) Construir a tabela-verdade da proposio:

P (p, q) = ( p q) V (q p)

1 Resoluo: p q p q q p ( p q) (q p) ( p q) V

(q p) V V V V F F F V F F F V V V F V F F V V V F F F V V F V

2 Resoluo: p q ( p q) V (q p) V V F V V V F F V V V V F V V F F V V F F V F V V F F V V V V F F F F V F F F V F F V F 3 1 2 1 4 3 1 2 1

Portanto, simbolicamente:

P(VV)=F, P(VF)=V, P(FV)=V, P(FF)=V ou seja, abreviadamente: P(VV, VF, FV, FF) = FVVV Observe-se que P(p, a) outra coisa no que uma funo de U = { VV,

VF, FV, FF} em (V, F} , cuja representao grfica por um diagrama sagi-tal a seguinte:

3 Resoluo:

( p q) V (q p) F V V V F F V V V V V F F V V F F V V F F V V V V F F V F F F V F F V F 3 1 2 1 4 3 1 2 1

(3) Construir a tabela-verdade da proposio: P(p, q, r) = p V r q r

1 Resoluo: p q r r p V r q r p V r q r V V V F V F F V V F V V V V V F V F V F F V F F V V F F F V V F F F V F V F V V V V F F V F F F V F F F V V F F

2 Resoluo: p q r p V r q r V V V V V F V F V F F V V V F V V V F V V V V F V F V V V F V F F F F V V F F V V V F F F F V F F V V F F F V V V F F V F V F F V V F V V V V F F F V F F F V V F F F V F F F F V V F F F F V F

1 3 2 1 4 1 3 2 1 Portanto, simbolicamente: P(VVV) = F, P(VVF) = V, P(VFV) = F, P(VFF) = F P(FVV) = V, P(FVF) V, P(FFV) = V, P(FFF) = F ou seja, abreviadamente: P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = FVFFVVVF Observe-se que a proposio P(p, q, r) outra coisa n~o que uma fun-

o de U = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF} em {V, F} , cuja representao grfica por um diagrama sagital a seguinte:



3 Resoluo:

p V r q r V V F V F V F F V V V V F V V V V F V V F V F F F F V V V V F F F F V F F F F V V V F F V F V V F V V V V F F F F V V F F F V F V V F F F F V F

1 3 2 1 4 1 3 2 1

(4) Construir a tabela-verdade da proposio: P(p, q, r) = (p q) (q r) (p r)

Resoluo: p q r (p q) (q r) (p r) V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V F V F F V V F F V F V V F F F F V V V V V V V F F V F F F F V F V V F F F V V F V V V V V V V F V V F V F F V V F V F F V F V F F F V F V F V F V V V F V V F F F F V F V F V F V F V F

1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 Portanto, simbolicamente: P(VVV) = V, P(VVF) = V, P(VFV) = V, P(VFF) = V P(FVV) = V, P(FVF) V, P(FFV) = V, P(FFF) = V ou seja, abreviadamente: P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = VVVVVVVV Observe-se que a ltima coluna (coluna 4) da tabela-verdade da pro-

posio P(p, q, r) s encerra a letra V(verdade), isto , o valor lgico desta proposio sempre V quaisquer que sejam os valores lgicos das propo-sies componentes p, q e r.

(5) Construir a tabela-verdade da proposio: P(p, q, r) =(p ( ~ q V r )) ~ (q V (p ~ r))

Resoluo:

(p ( ~ q V r )) ~ (q V (p ~ r)) V V F V V V F F V V V F F V V F F V F F F F V V V V V F V V V F V V V V F F V F F V V V V F V F F F F V V V V F F V F V V V F F V V F V F V F V F V F F F F V V F F V F F V V F V V F F F V F V F V F V V F V F V V F F F F V F

1 4 2 1 3 1 6 5 1 4 1 3 2 1

Note-se que uma tabela-verdade simplificada da proposio P(p, q, r), pois, no encerra as colunas relativas s proposies componentes p, q e r.

Portanto, simbolicamente: P(VVV) = F, P(VVF) = F, P(VFV) = V, P(VFF) = F P(FVV) = F, P(FVF)= F, P(PFV) = F, P(FFF) = V ou seja, abreviadamente: P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = FFVFFFFV

5. VALOR LGICO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA Dada uma proposio composta P(p, q, r,.. .), pode-se sempre determi-

nar o seu valor lgico (V ou F) quando so dados ou conhecidos os valores lgicos respectivos das proposies componentes p, q, r .

Exemplos: (1) Sabendo que os valores lgicos das proposies p e q so res-

pectivamente V e F, determinar o valor lgico (V ou F) da pro-posio: P(p, q) = (p V q) p q

Resoluo Temos, sucessivamente:

V(P) = (V V F) V F = V F V = F F = V

Sejam as proposies p: pi =3 e q: sen 2pi

=0.

Determinar o valor lgico (V ou F) da proposio: P(p, q) = (p q) (p p q) Resoluo As proposies componentes p e q so ambas falsas, is-

to , V(p) = F e V(q) = F. Portanto: V(P) = (FF) (F F F) = V (F F) = V V = V (3) Sabendo que V(p) = V, V(q) = F e V(r) E, determinar o valor lgico

(V ou F) da proposio: =P(p, q, r) = (q (r p)) V (( q p) r) Resoluo - Temos, sucessivamente: V(P) = ( F ( F V)) V (( F V ) F) = = ( F ( F F)) V ((V V ) F) = = ( F V)) V (( V F ) = F V F = F (4) Sabendo que V(r) V, determinar o valor lgico (V ou F) da proposi-

o: p q V r. Resoluo Como r verdadeira (V), a disjuno q V r verdadei-

ra(V). Logo, a condicional dada verdadeira(V), pois, o seu consequente verdadeiro (V).

(5) Sabendo que V(q) = V, determinar o valor lgico (V ou F) da propo-

sio:: (p q) ( q p). Resoluo Como q verdadeira (V), ento q falsa (F). Logo, a

condicional q p verdadeira(V), pois, o seu antecedente falso(F). Por consequncia, a condicional dada verdadeira(V), pois, o seu conse-quente verdadeiro(V).

(6) Sabendo que as proposies x = 0, e x = y so verdadeiras e

que a proposio y = z falsa, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio: x 0 V x y y z

Resoluo - Temos, sucessivamente: V V V F = F V F V = F V = V

ARGUMENTOS. REGRAS DE INFERNCIA 1. DEFINIO DE ARGUMENTO Sejam P1, P2, ... , Pn ( n 1) e Q proposies quaisquer, simples ou

compostas. Definio - Chama-se argumento toda a afirmao de que uma dada

sequncia finita P1, P2, ... , Pn ( n 1) de proposies tem como conse-quncia ou acarreta uma proposio final Q.

As proposies P1, P2, ... , Pn dizem-se as premissas do argumento, e a proposio final Q diz-se a concluso do argumento.

Um argumento de premissas P1, P2, ... , Pn e de concluso Q indica-se por: P1, P2, ... , Pn | Q

e se l de uma das seguintes maneiras: (i) P1, P2 ,..., Pn acarretam Q (ii) Q decorre de P1, P2 ,..., Pn (iii) Q se deduz de P1, P2 ,..., Pn (iv) Q se infere de P1, P2 ,..., Pn Um argumento que consiste em duas premissas e uma concluso

chama-se silogismo.



2. VALIDADE DE UM ARGUMENTO Definio - Um argumento P1, P2, ... , Pn | Q diz-se vlido se e so-

mente se a concluso Q verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2 ,..., Pn so verdadeiras.

Em outros termos, um argumento P1, P2, ... , Pn | Q vlido se e somente se for V o valor lgico da concluso Q todas as vezes que as premissas P1, P2 ,..., Pn tiverem o valor lgico V.

Portanto, todo argumento vlido goza da seguinte propriedade caracte-rstica: A verdade das premissas incompatvel com a falsidade da conclu-so.

Um argumento no-vlido diz-se um sofisma. Deste modo, todo argumento tem um valor lgico, digamos V se vli-

do (correto, legtimo) ou F se um sofisma (incorreto, ilegtimo). As premissas dos argumentos so verdadeiras ou, pelo menos admiti-

das como tal. Alis, a Lgica s se preocupa com a validade dos argumen-tos e no com a verdade ou a falsidade das premissas e das concluses.

A validade de um argumento depende exclusivamente da relao exis-tente entre as premissas e a concluso. Portanto, afirmar que um dado argumento vlido significa afirmar que as premissas esto de tal modo relacionadas com a concluso que no possvel ter a concluso falsa se as premissas so verdadeiras.

3. CRITRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO Teorema Um argumento P1, P2, ... , Pn | Q vlido se e somente

se a condicional: (P1 P2 ... Pn ) Q (1) tautolgica.

Dem. Com efeito, as premissas P1, P2, ... , Pn so todas verdadeiras se e somente se a proposio P1 P2 ... Pn verdadeira. Logo, o argu-mento P1, P2, ... , Pn | Q vlido se e somente se a concluso Q ver-dadeira todas as vezes que a proposio P1 P2 ... Pn verdadeira, ou seja, se e somente se a proposio P1 P2 ... Pn implica logica-mente a concluso Q:

P1 P2 ... Pn Q ou, o que equivalente, se a condicional (1) tautolgica.

NOTA - Se o argumento P1 (p, q, r,...),..., Pn(p, q, r,...) | Q(p, q, r,...) vlido, ento o argumento da mesma forma: P1 (P, Q, R,...),..., Pn(P, Q, R,...) | Q(P, Q, R,...) tambm vlido, quaisquer que sejam as proposies R, S, T, ... Exemplificando, do argumento vlido p | p V q (1) segue-se a valida-

de dos argumentos: (~p r) | (~ p r) V (~ s r ); (p V s) | (p r V s) V (~ r s) pois, ambos tm a mesma forma de (1). Portanto, a validade ou no-validade de um argumento depende ape-

nas da sua forma e no de seu contedo ou da verdade c falsidade das proposies que o integram. Argumentos diversos podem ter a mesma forma, e como a forma que determina a validade, lcito falar da validade de uma dada forma ao invs de falar da validade de um dado argumento. E afirmar que uma dada forma vlida equivale a asseverar que no existe argumento algum dessa forma com premissas verdadeiras e uma conclu-so falsa, isto , todo argumento de forma vlida um argumento vlido. Vice-versa, dizer que um argumento vlido equivale a dizer que tem forma vlida.

4. CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO Consoante o Teorema anterior (3), dado um argumento qualquer: P1,

P2, ... , Pn | Q a este argumento corresponde a condicional:

(P1 P2 ... Pn ) Q com antecedente a conjuno das premissas e cujo consequente a

concluso, denominada condicional associada ao argumento dado. Reciprocamente, a toda condicional corresponde um argumento cujas

premissas so as diferentes proposies cuja conjuno formam o antece-dente e cuja concluso o consequente.

Exemplificando, a condicional associada ao argumento: p ~q, p ~ r, q V ~ s | ~ (r V s) ( p ~q) ( p ~ r) ( q V ~ s) ~ (r V s) e o argumento correspondente condicional: ( p q V r ) ~ s ( q V r s) ( s p V ~q ) p q V r , ~ s, q V r s | s p V ~q 5. ARGUMENTOS VLIDOS FUNDAMENTAIS So argumentos vlidos fundamentais ou bsicos (de uso corrente) os

constantes da seguinte lista: I . Adio (AD): (i) p | p V q; (ii) p | q V p II. Simplificao (SIMP): (i) p q | p; (ii) p q | q III. Conjuno (CONJ):

(i) p, q | p q; (ii) p, q | q p IV. Absoro (ABS): p q | p ( p q) V. Modus ponens (MP): pq, p |q VI. Modus tollens (MI): pq, ~ q| p VII. Silogismo disjuntivo (SD): (i) p V q, ~ p | q; (ii) p V q, ~ q | p VIII. Silogismo hipottico (5H):

p q, q r | p r IX. Dilema construtivo (DC):

p q, r s, p V r | q V s X. Dilema destrutivo (DD): p q, r s, ~ q V ~ s | ~ p V ~ r A validade destes dez argumentos consequncia imediata das tabe-

las-verdade. 6. REGRAS DE INFERNCIA Os argumentos bsicos da lista anterior so usados para fazer infe-

rncias, isto , executar os passos de uma deduo ou demonstrao, e por isso chamam-se tambm, regras de inferncia, sendo habitual escrev-los na forma padronizada abaixo indicada colocando as premissas sobre um trao horizontal e, em seguida, a concluso sob o mesmo trao.

I. Regra da Adio (AD):

(i) p (ii) p p V q q V p

II. Regra de Simplificao (SIMP):

(i) p q (ii) p q p q

III. Regra da Conjuno (CONJ): p p (i) q (ii) q p V q q V p

IV. Regra da Absoro (ABS):

p q

p (p q)

V. Regra Modus ponens (MP): p q p q



VI: Regra Modus tollens (MI): p q ~ q ~ p

VII. Regra do Silogismo disjuntivo (SD):

(i) p V q (ii) p V q ~ p ~ q q p

VIII. Regra do Silogismo hipottico (SH):

p q q r p r

IX. Regra do Dilema construtivo (DC):

p q r s p V r q V s

X. Regra do Dilema destrutivo (DD):

p q r s ~ q V ~ s ~ p V ~ r

Com o auxlio destas dez regras de inferncia pode-se demonstrar a validade de uni grande nmero de argumentos mais complexos.

7. EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERNCIA Damos a seguir exemplos simples do uso de cada uma das regras de

inferncia na deduo de concluses a partir de premissas dadas. 1. Regra da Adio - Dada uma proposio p, dela se pode deduzir a

sua disjuno com qualquer outra proposio, isto , deduzir p V q, ou p V r, ou s V p, ou t V p, etc.

Exemplos:

(a) (1) p P (b) (1) ~ p P (2) p V ~ q (2) q V ~ p

(c) (1) p q P (b) (1) p V q P (2) (p q) V r (2) (r s) V (p V q)

(c) (1) x 0 P (b) (1) x 0 P (2) x 0 V x 1 (2) x = 2 V x < 1 II. Regra da Simplificao Da conjuno p q de duas proposies

se pode deduzir cada uma das proposies, p ou q. Exemplos:

(a) (1) (p V q) r P (b) (1) p ~ q P (2) p V q (2) ~ q

(c) (1) x > 0 x 1 P (b) (1) x A x B P (2) x 1 (2) x A III. Regra da Conjuno -- Permite deduzir de duas proposies dadas

p e q (premissas) a sua conjuno p q ou q p (concluso).

(a) (1) p V q P (b) (1) p V q P (2) ~ r P (2) q V r P (3) (p V q) ~ r (3) (p q) V (q V r)

(c) (1) x < 5 P (d) (1) x A P (2) x > 1 P (2) x B P (3) x > 1 x < 5 (3) x B x A IV. Regra da Absoro Esta regra permite, dada uma condicional - co-

mo premissa, dela deduzir como concluso uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo consequente a conjuno p q das duas proposies que integram a premissa, isto , p p q.

Exemplos: (a) (1) x = 2 x < 3 P (2) x = 2 x = 2 x < 3

(b) (1) x A x A B P (2) x A x A x A B V. Regra Modus ponens - Tambm chamada Regra de separao e

permite deduzir q (concluso) a partir de p q e p (premissas). Exemplos:

(a) (1) ~ p ~ q P (b) (1) p q r P (2) ~ p P (2) p q P (3) ~ q (3) r

(b) (1) p q r P (c) (1) ~ p V r s ~ q P (2) p P (2) ~ p V r P (3) q r (3) s ~ q

(e) (1) x 0 x + y > 1 P (f) (1) x A B x A P (2) x 0 P (2) x A B P (3) x + y > 1 (3) x A VI. Regra Modus tollens - Permite, a partir das premissas p q

(condicional) o ~ q (negao do consequente), deduzir como concluso ~ p (negao do antecedente).

Exemplos:

(a) (1) q r s P (2) ~ s P (3) ~ (q r)

(b) (1) p ~ q P (2) ~ ~ q P (3) ~ p

(c) (1) p q r P (2) ~(q r) P (3) ~ p

(d) (1) x 0 x = y P (2) x y P (3) x = 0

VII. Regra do Silogismo disjuntivo Permite deduzir da disjuno p

V q de duas proposies e da negao ~ p (ou ~ q) de uma delas a outra proposio q (ou p).

Exemplos:

(a) (1) (p q) V r P (b) (1) ~ p V ~ q P (2) ~ r (2) ~~ p (3) p q (3) ~ q

(b) (1) x = 0 V x = 1 P (d) (1) ~ (p q) V r P (2) x 1 P (2) ~ ~ (p q) P (3) x = 0 (3) r VIII. Regra do Silogismo hipottico Esta regra permite, dadas duas

condicionais: p q e q r (premissas), tais que o consequente da primei-ra coincide com o antecedente da segunda, deduzir uma terceira condicio-nal p r (concluso) cujo antecedente e consequente so respectivamen-te o antecedente da premissa p q e o consequente da outra premissa q r (transitividade da seta ).

(a) (1) ~ p ~ q P (b) (1) ~ p q V r P (2) ~ q ~ r P (2) q V r ~ s P (3) ~ p ~ r (3) ~ p ~s

(c) (1) (p q) r P (d) (1) | x | = 0 x = 0 P (2) r (q s) P (2) x = 0 x + 1 = 1 P (3) (p q) (q s) (3) | x | = 0 x + 1 = 1



IX. Regra do Dilema construtivo Nesta regra, as premissas so duas condicionais e a disjuno dos seus antecedentes, e a concluso a disjuno dos consequentes destas condicionais.

(a) (1) (p q) ~ r P (b) (1) x < y x = 2 P (2) s t P (2) x < y x = 2 P (3) (p q) V s P (3) x < y V x < y P (4) ~ r V t (4) x = 2 V x > 2 X. Regra do Dilema destrutivo Nesta regra, as premissas so duas

condicionais e a disjuno da negao dos seus consequentes, e a conclu-so a disjuno da negao dos antecedentes destas condicionais.

(a) (1) ~ q r P (b) (1) x + y = 7 x = 2 P (2) p ~ s P (2) y - x =2 x = 3 P (3) ~ r V ~~s P (3) x 2 V x 3 P (4) ~~ q V ~p (4) x + y 7 V y x 2

DIAGRAMAS E ESQUEMAS LGICOS (TEORIA DOS CONJUNTOS);

1. Conceitos primitivos Antes de mais nada devemos saber que conceitos primitivos so

noes que adotamos sem definio. Adotaremos aqui trs conceitos primitivos: o de conjunto, o de elemen-

to e o de pertinncia de um elemento a um conjunto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase: determinado elemento pertence a um conjunto, sem que tenhamos definido o que conjunto, o que elemento e o que significa dizer que um elemento pertence ou no a um conjunto.

2. Notao Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notao: os conjuntos so indicados por letras maisculas: A, B, C, ... ; os elementos so indicados por letras minsculas: a, b, c, x, y, ... ; o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C indicado

com x e C; o fato de um elemento y no pertencer a um conjunto C

indicado mm y t C. 3. Representao dos conjuntos Um conjunto pode ser representado de trs maneiras: por enumerao de seus elementos; por descrio de uma propriedade caracterstica do conjunto; atravs de uma representao grfica. Um conjunto representado por enumerao quando todos os seus

elementos so indicados e colocados dentro de um par de chaves. Exemplo: a) A = ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjunto formado pelos

algarismos do nosso sistema de numerao. b) B = ( a, b, c, d, e, f, g, h, 1, j,1, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, z )

indica o conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto. c) Quando um conjunto possui nmero elevado de elementos,

porm apresenta lei de formao bem clara, podemos representa-lo, por enumerao, indicando os primeiros e os ltimos elementos, intercalados por reticncias. Assim: C = ( 2; 4; 6;... ; 98 ) indica o conjunto dos nmeros pares positivos, menores do que100.

d) Ainda usando reticncias, podemos representar, por enumerao, conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de formao bem clara, como os seguintes:

D = ( 0; 1; 2; 3; .. . ) indica o conjunto dos nmeros inteiros no negativos;

E = ( ... ; -2; -1; 0; 1; 2; . .. ) indica o conjunto dos nmeros inteiros;

F = ( 1; 3; 5; 7; . . . ) indica o conjunto dos nmeros mpares positivos.

A representao de um conjunto por meio da descrio de uma propri-edade caracterstica mais sinttica que sua representao por enumera-o. Neste caso, um conjunto C, de elementos x, ser representado da seguinte maneira:

C = { x | x possui uma determinada propriedade } que se l: C o conjunto dos elementos x tal que possui uma

determinada propriedade:

Exemplos a) O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser representado por

descrio da seguinte maneira: A = { x | x algarismo do nosso sistema de numerao }

b) O conjunto G = { a; e ;i; o, u } pode ser representado por descrio da seguinte maneira: G = { x | x vogal do nosso alfabeto }

c) O conjunto H = { 2; 4; 6; 8; . . . } pode ser representado por descrio da seguinte maneira: H = { x | x par positivo }

A representao grfica de um conjunto bastante cmoda. Atravs

dela, os elementos de um conjunto so representados por pontos interiores a uma linha fechada que no se entrelaa. Os pontos exteriores a esta linha representam os elementos que no pertencem ao conjunto.

Exemplo

Por esse tipo de representao grfica, chamada diagrama de Euler-

Venn, percebemos que x C, y C, z C; e que a C, b C, c C, d C.

Exerccios resolvidos Sendo A = {1; 2; 4; 4; 5}, B={2; 4; 6; 8} e C = {4; 5}, assinale V

(verdadeiro) ou F (falso): a) 1 A ( V ) b) 1 B ( F ) c) 1 C ( F ) d) 4 A ( V ) e) 4 B ( V ) f) 4 C ( V ) g) 7 A ( F ) h) 7 B ( F ) i) 7 C ( F )

l) 1 A ou 1 B ( V ) m) 1 A e 1 B ( F ) n) 4 A ou 4 B ( V ) o) 4 A e 4 B ( V ) p) 7 A ou 7 B ( F ) q) 7 A e 7 B ( F )

Represente, por enumerao, os seguintes conjuntos: a) A = { x | x ms do nosso calendrio } b) B = { x | x ms do nosso calendrio que no possui a letra r } c) C = { x | x letra da palavra amor } d) D = { x | x par compreendido entre 1e 11} e) E = {x | x2 = 100 }

Resoluo a) A = ( janeiro ; fevereiro; maro; abril; maio ; junho; julho ; agosto ;

setembro ; outubro ; novembro ; dezembro ) . b) B = (maio; junho; julho; agosto ) c) C = (a; m; o; r ) d) D = ( 2; 4; 6; 8; ia ) e) E = ( 10; -10 ), pois 102 = 100 e -(-102) = 100 . 4. Nmero de elementos de um conjunto Consideremos um conjunto C. Chamamos de nmero de elementos

deste conjunto, e indicamos com n lcl, ao nmero de elementos diferentes entre si, que pertencem ao conjunto.

Exemplos a) O conjunto A = { a; e; i; o; u }

tal que n(A) = 5. b) O conjunto B = { 0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } tal que n(B) = 10. c) O conjunto C = ( 1; 2; 3; 4;... ; 99 ) tal que n (C) = 99.



5. Conjunto unitrio e conjunto vazio Chamamos de conjunto unitrio a todo conjunto C, tal que n (C) = 1.

Exemplo: C = ( 3 ) E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que n(C) = 0. Exemplo: M = { x | x2 = -25} O conjunto vazio representado por { } ou por . Exerccio resolvido Determine o nmero de elementos dos seguintes com juntos :

a) A = { x | x letra da palavra amor } b) B = { x | x letra da palavra alegria } c) c o conjunto esquematizado a seguir d) D = ( 2; 4; 6; . . . ; 98 ) e) E o conjunto dos pontos comuns s relas r e s, esquematizadas a

seguir :

Resoluo

a) n(A) = 4 b) n(B) = 6,'pois a palavra alegria, apesar de possuir dote letras, possui

apenas seis letras distintas entre si. c) n(C) = 2, pois h dois elementos que pertencem a C: c e C e d e C d) observe que:

2 = 2 . 1 o 1 par positivo 4 = 2 . 2 o 2 par positivo 6 = 2 . 3 o 3 par positivo 8 = 2 . 4 o 4 par positivo . . . . . . 98 = 2 . 49 o 49 par positivo logo: n(D) = 49

e) As duas retas, esquematizadas na figura, possuem apenas um ponto comum. Logo, n( E ) = 1, e o conjunto E , portanto, unitrio. 6. Igualdade de conjuntos Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 so iguais, e indicaremos com A

= 8, se ambos possurem os mesmos elementos. Quando isto no ocorrer, diremos que os conjuntos so diferentes e indicaremos com A B.

Exemplos . a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u} b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a} c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u} d) {a;e;i;o;u} {a;e;i;o} e) { x | x2 = 100} = {10; -10} f) { x | x2 = 400} {20}

7. Subconjuntos de um conjunto Dizemos que um conjunto A um subconjunto de um conjunto B se

todo elemento, que pertencer a A, tambm pertencer a B. Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o conjunto A estar

"totalmente dentro" do conjunto B:

Indicamos que A um subconjunto de B de duas maneiras: a) A B; que deve ser lido : A subconjunto de B ou A est contido

em B ou A parte de B; b) B A; que deve ser lido: B contm A ou B inclui A.

Exemplo Sejam os conjuntos A = {x | x mineiro} e B = {x | x brasileiro} ; temos

ento que A B e que B A.

Observaes: Quando A no subconjunto de B, indicamos com A B ou B

A. Admitiremos que o conjunto vazio est contido em qualquer conjunto.

8. Nmero de subconjuntos de um conjunto dado Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n elementos, ento este

conjunto ter 2n subconjuntos. Exemplo O conjunto C = {1; 2 } possui dois elementos; logo, ele ter 22 = 4

subconjuntos.

Exerccio resolvido: 1. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto C = la; e; 1; o; u ) . Resoluo: Como o conjunto C possui cinco elementos, o nmero dos

seus subconjuntos ser 25 = 32.

Exerccios propostas: 2. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } Resposta: 1024

3. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto

C = 12

13

14

24

34

35

; ; ; ; ;

Resposta: 32

OPERAES COM CONJUNTOS 1. Unio de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos unio ou reunio de A com B,

e indicamos com A B, ao conjunto constitudo por todos os elementos que pertencem a A ou a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a

interseo dos conjuntos, temos:

Exemplos a) {a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e} b) {a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d} c) {a;b;c} U {a;c}={a;b;c}

2. Interseco de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseo de A com B, e

indicamos com A B, ao conjunto constitudo por todos os elementos que pertencem a A e a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a interseco dos conjuntos, temos:

Exemplos a) {a;b;c} {d;e} = b) {a;b;c} {b;c,d} = {b;c} c) {a;b;c} {a;c} = {a;c}

Quando a interseco de dois conjuntos vazia, como no exemplo a,

dizemos que os conjuntos so disjuntos.



Exerccios resolvidos 1. Sendo A = ( x; y; z ); B = ( x; w; v ) e C = ( y; u; t), determinar os

seguintes conjuntos: a) A B f) B C b) A B g) A B C c) A C h) A B C d) A C i) (A B) U (A C) e) B C

Resoluo

a) A B = {x; y; z; w; v } b) A B = {x } c) A C = {x; y;z; u; t } d) A C = {y } e) B C={x;w;v;y;u;t} f) B C= g) A B C= {x;y;z;w;v;u;t} h) A B C= i) (A B) u (A C)={x} {y}={x;y}

2. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras os conjuntos: a) A B C b) (A B) (A C)

Resoluo

3. No diagrama seguinte temos: n(A) = 20 n(B) = 30 n(A B) = 5

Determine n(A B). Resoluo

Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos de B,

estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas vezes; o que, evidentemente, incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B; teremos ento: n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) ou seja: n(A B) = 20 + 30 5 e ento: n(A B) = 45.

4. Conjunto complementar Dados dois conjuntos A e B, com B A, chamamos de conjunto

complementar de B em relao a A, e indicamos com CA B, ao conjunto A - B.

Observao: O complementar um caso particular de diferena em

que o segundo conjunto subconjunto do primeiro.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras o complementar de B em relao a A, temos:

Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f} Observao: O conjunto complementar de B em relao a A formado

pelos elementos que faltam para "B chegar a A"; isto , para B se igualar a A.

5 Princpios de contagem e probabilidade.

Princpio fundamental da contagem (PFC) Se um primeiro evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e um

segundo evento, de k maneiras diferentes, ento, para ocorrerem os dois sucessivamente, existem m . k maneiras diferentes.

Aplicaes 1) Uma moa dispe de 4 blusas e 3 saias. De quantos modos dis-

tintos ela pode se vestir? Soluo: A escolho de uma blusa pode ser feita de 4 maneiras diferentes e a de

uma saia, de 3 maneiras diferentes. Pelo PFC, temos: 4 . 3 = 12 possibilidades para a escolha da blusa e

saia. Podemos resumir a resoluo no seguinte esquema;

Blusa saia

4 . 3 = 12 modos diferentes

2) Existem 4 caminhos ligando os pontos A e B, e 5 caminhos ligan-

do os pontos B e C. Para ir de A a C, passando pelo ponto B, qual o nmero de trajetos diferentes que podem ser realizados?

Soluo: Escolher um trajeto de A a C significa escolher um caminho de A a B e

depois outro, de B a C.

Como para cada percurso escolhido de A a B temos ainda 5 possibili-dades para ir de B a C, o nmero de trajetos pedido dado por: 4 . 5 = 20.

Esquema:

Percurso AB

Percurso BC

4 . 5 = 20

3) Quantos nmeros de trs algarismos podemos escrever com os algarismos mpares?

Soluo: Os nmeros devem ser formados com os algarismos: 1, 3, 5, 7, 9. Exis-

tem 5 possibilidades para a escolha do algarismo das centenas, 5 possibili-dades para o das dezenas e 5 para o das unidades.

Assim, temos, para a escolha do nmero, 5 . 5 . 5 = 125.



algarismos da centena

algarismos da dezena

algarismos da unidade

5 . 5 . 5 = 125

4) Quantas placas podero ser confeccionadas se forem utilizados

trs letras e trs algarismos para a identificao de um veculo? (Considerar 26 letras, supondo que no h nenhuma restrio.)

Soluo: Como dispomos de 26 letras, temos 26 possibilidades para cada posi-

o a ser preenchida por letras. Por outro lado, como dispomos de dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), temos 10 possibilidades para cada posio a ser preenchida por algarismos. Portanto, pelo PFC o nmero total de placas dado por:

5) Quantos nmeros de 2 algarismos distintos podemos formar com

os algarismos 1, 2, 3 e 4? Soluo: Observe que temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo e, para

cada uma delas, 3 possibilidades para o segundo, visto que no permitida a repetio. Assim, o nmero total de possibilidades : 4 . 3 =12

Esquema:

6) Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar com

os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Soluo: Existem 9 possibi1idades para o primeiro algarismo, apenas 8 para o

segundo e apenas 7 para o terceiro. Assim, o nmero total de possibilida-des : 9 . 8 . 7 = 504

Esquema:

7) Quantos so os nmeros de 3 algarismos distintos?

Soluo: Existem 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Temos 9 possibilida-

des para a escolha do primeiro algarismo, pois ele no pode ser igual a zero. Para o segundo algarismo, temos tambm 9 possibilidades, pois um deles foi usado anteriormente.

Para o terceiro algarismo existem, ento, 8 possibilidades, pois dois de-les j foram usados. O nmero total de possibilidades : 9 . 9 . 8 = 648

Esquema:

8) Quantos nmeros entre 2000 e 5000 podemos formar com os

algarismos pares, sem os repetir? Soluo: Os candidatos a formar os nmeros so : 0, 2, 4, 6 e 8. Como os

nmeros devem estar compreendidos entre 2000 e 5000, o primeiro algarismo s pode ser 2 ou 4. Assim, temos apenas duas possibilidades para o primeiro algarismo e 4 para o segundo, trs para o terceiro e duas paia o quarto. O nmero total de possibilidades : 2 . 4 . 3 . 2 = 48

Esquema:

Exerccios

1) Uma indstria automobilstica oferece um determinado veculo em trs padres quanto ao luxo, trs tipos de motores e sete tonalidades de cor. Quantas so as opes para um comprador desse carro?

2) Sabendo-se que num prdio existem 3 entradas diferentes, que o prdio dotado de 4 elevadores e que cada apartamento possui uma nica porta de entrada, de quantos modos diferentes um morador po-de chegar rua?

3) Se um quarto tem 5 portas, qual o nmero de maneiras distintas de se entrar nele e sair do mesmo por uma porta diferente da que se utilizou para entrar?

4) Existem 3 linhas de nibus ligando a cidade A cidade B, e 4 outras ligando B cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de nibus diferentes poder utilizar na viagem de ida e volta, sem utilizar duas vezes a mesma linha?

5) Quantas placas podero ser confeccionadas para a identificao de um veculo se forem utilizados duas letras e quatro algarismos? (Ob-servao: dispomos de 26 letras e supomos que no haver nenhuma restrio)

6) No exerccio anterior, quantas placas podero ser confeccionadas se forem utilizados 4 letras e 2 algarismos?

7) Quantos nmeros de 3 algarismos podemos formar com os algaris-mos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

8) Quantos nmeros de trs algarismos podemos formar com os alga-rismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

9) Quantos nmeros de 4 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

10) Quantos nmeros de 5 algarismos no repetidos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

11) Quantos nmeros, com 4 algarismos distintos, podemos formar com os algarismos mpares?

12) Quantos nmeros, com 4 algarismos distintos, podemos formar com o nosso sistema de numerao?

13) Quantos nmeros mpares com 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

14) Quantos nmeros mltiplos de 5 e com 4 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7, sem os repetir?

15) Quantos nmeros pares, de 3 algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? E quantos mpares?

16) Obtenha o total de nmeros de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto (1, 2, 4, 5, 9), que contm 1 e no contm 9.

17) Quantos nmeros compreendidos entre 2000 e 7000 podemos escre-ver com os algarismos mpares, sem os repetir?



18) Quantos nmeros de 3 algarismos distintos possuem o zero como algarismo de dezena?

19) Quantos nmeros de 5 algarismos distintos possuem o zero como algarismo das dezenas e comeam por um algarismo mpar?

20) Quantos nmeros de 4 algarismos diferentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a 2?

21) Quantos nmeros se podem escrever com os algarismos mpares, sem os repetir, que estejam compreendidos entre 700 e 1 500?

22) Em um nibus h cinco lugares vagos. Duas pessoas tomam o ni-bus. De quantas maneiras diferentes elas podem ocupar os lugares?

23) Dez times participam de um campeonato de futebol. De quantas formas se podem obter os trs primeiros colocados?

24) A placa de um automvel formada por duas letras seguidas e um nmero de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos pares, quantas placas diferentes podem ser confeccionadas, de modo que o nmero no tenha nenhum algarismo repetido?

25) Calcular quantos nmeros mltiplos de 3 de quatro algarismos distin-tos podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

26) Obtenha o total de nmeros mltiplos de 4 com quatro algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

ARRANJOS SIMPLES

Introduo: Na aplicao An,p, calculamos quantos nmeros de 2 algarismos distin-

tos podemos formar com 1, 2, 3 e 4. Os nmeros so : 12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43

Observe que os nmeros em questo diferem ou pela ordem dentro do agrupamento (12 21) ou pelos elementos componentes (13 24). Cada nmero se comporta como uma seqncia, isto :

(1,2) (2,1) e (1,3) (3,4) A esse tipo de agrupamento chamamos arranjo simples.

Definio: Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se arranjo simples dos n

elementos de /, tomados p a p, a toda sequncia de p elementos distintos, escolhidos entre os elementos de l ( P n).

O nmero de arranjos simples dos n elementos, tomados p a p, indicado por An,p

Frmula:

Aplicaes 1) Calcular: a) A7,1 b) A7,2 c) A7,3 d) A7,4

Soluo: a) A7,1 = 7 c) A7,3 = 7 . 6 . 5 =

210 b) A7,2 = 7 . 6 = 42 d) A7,4 = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 2) Resolver a equao Ax,3 = 3 . Ax,2. Soluo: x . ( x - 1) . ( x 2 ) = 3 . x . ( x - 1) x ( x 1) (x 2) - 3x ( x 1) =0 x( x 1)[ x 2 3 ] = 0

x = 0 (no convm) ou x = 1 ( no convm) ou x = 5 (convm)

S = { }5

3) Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Soluo: Essa mesma aplicao j foi feita, usando-se o princpio fundamental

da contagem. Utilizando-se a frmula, o nmero de arranjos simples : A9, 3 =9 . 8 . 7 = 504 nmeros Observao: Podemos resolver os problemas sobre arranjos simples

usando apenas o princpio fundamental da contagem. Exerccios 1) Calcule: a) A8,1 b) A8,2 c ) A8,3 d) A8,4

2) Efetue:

a) A7,1 + 7A5,2 2A4,3 - A 10,2 b) 1,102,5

4,72,8

AAAA

+

3) Resolva as equaes: a) Ax,2 = Ax,3 b) Ax,2 = 12 c) Ax,3 = 3x(x - 1)

FATORIAL

Definio: Chama-se fatorial de um nmero natural n, n 2, ao produto de

todos os nmeros naturais de 1 at n. Assim : n ! = n( n - 1) (n - 2) . . . 2 . 1, n 2 (l-se: n fatorial) 1! = l 0! = 1

Frmula de arranjos simples com o auxlio de fatorial: Aplicaes 1) Calcular:

a) 5! c) ! 6! 8

e) 2)! - (n! n

b) ! 4! 5

d) ! 10

! 10 ! 11 +

Soluo: a) 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

b) 5! 4

! 4 5

! 4! 5

=

=

c) 56! 6

! 6 7 8! 6! 8

=

=

d) ( ) 12

! 10111! 10

!10! 10 ! 10 11

! 10! 10 ! 11

=

+=

+=

+

e) ( ) ( )

( ) nn! 2 - n ! 2 - n 1 - n n

2)! - (n! n 2

=

=

2) Obter n, de modo que An,2 = 30. Soluo: Utilizando a frmula, vem :

== 302)! - (n

! 2) - n ( 1) - n ( n302)! - (n! n

n = 6 n2 - n - 30 = 0 ou

n = -5 ( no convm) 3) Obter n, tal que: 4 . An-1,3 = 3 . An,3. Soluo: ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) =

=

! 1 - n ! n3

! 4 - n ! 3 - n 4

! 3 - n ! n3

! 4 - n ! 1 - n 4

( )( )

( )( )

( )21n n312n4

! 1 - n ! 1 - n n3

! 4 - n ! 4 - n 3 - n 4

==

=

A n,p = n . (n -1) . (n 2) . . . (n (p 1)), { } N n p, e np

( ) { } lN np, e n p ,! pn ! nA P,N

=



4) Obter n, tal que : 4! n

! ) 1n ( - ! ) 2 n (=

++

Soluo:

=+++ 4

! n! n ) 1 n ( - ! n ! ) 1n ( ! ) 2 n (

[ ] 4

! n 1- 2 n ) 2 n ( ! n

=

++

n + 1 = 2 n =1

(n + 1 )2 = 4 n + 1 = -2 n = -3 (no convm )

Exerccios 1) Assinale a alternativa correta:

a) 10 ! = 5! + 5 ! d) ! 2 ! 10

= 5

b) 10 ! = 2! . 5 ! e) 10 ! =10. 9. 8. 7! c) 10 ! = 11! -1!

2) Assinale a alternativa falsa; a) n! = n ( n-1)! d) ( n 1)! = (n- 1)(n-

2)! b) n! = n(n - 1) (n - 2)! e) (n - 1)! = n(n -1) c) n! = n(n 1) (n - 2) (n - 3)! 3) Calcule:

a) ! 10! 12

c) ! 4 ! 3

! 7

b) ! 5

! 5 ! 7 + d)

! 5! 6 - ! 8

4) Simplifique:

a) ! 1) - n (

! n d)

! 1) - n ( n ! n

b) ( )( )[ ]2 ! 1 n

! n ! 2 n +

+ e)

! M! ) 1 - M ( 2 - ! 5M

c) ! n

! ) 1 n ( ! n ++

5) Obtenha n, em:

a) 10! n1)!(n

=

+ b) n!+( n - 1)! = 6 ( n -

1)!

c) 62)! - (n1)! - (n n

= d) (n - 1)! = 120

6) Efetuando 1)! (n

n

! n1

+ , obtm-se:

a) ! 1)(n

2+

d) ! 1)(n

1 2n+

+

b) ! n

1 e) 0

c) 1 - n

! 1) n ( ! n +

7) Resolva as equaes: a) Ax,3 = 8Ax,2 b) Ax,3 = 3 . ( x - 1)

8) obtenha n, que verifique 8n ! = 1 n

! 1) (n ! 2) (n+

+++

9) o nmero n est para o nmero de seus arranjos 3 a 3 como 1 est para 240, obtenha n.

PERMUTAES SIMPLES

Introduo: Consideremos os nmeros de trs algarismos distintos formados com

os algarismos 1, 2 e 3. Esses nmeros so : 123 132 213 231 312 321 A quantidade desses nmeros dada por A3,3= 6. Esses nmeros diferem entre si somente pela posio de seus elemen-

tos. Cada nmero chamado de permutao simples, obtida com os alga-rismos 1, 2 e 3.

Definio: Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se permutao simples

dos n elementos de l a toda a seqncia dos n elementos. O nmero de permutaes simples de n elementos indicado por Pn. OBSERVA O: Pn = An,n . Frmula: Aplicaes 1) Considere a palavra ATREVIDO. a) quantos anagramas (permutaes simples) podemos formar? b) quantos anagramas comeam por A? c) quantos anagramas comeam pela slaba TRE? d) quantos anagramas possuem a slaba TR E? e) quantos anagramas possuem as letras T, R e E juntas? f) quantos anagramas comeam por vogal e terminam em

consoante? Soluo: a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posies disponveis. Assim:

Ou ento, P8 = 8 ! = 40 320 anagramas b) A primeira posio deve ser ocupada pela letra A; assim, devemos

distribuir as 7 letras restantes em 7 posies, Ento:

c) Como as 3 primeiras posies ficam ocupadas pela slaba TRE, de-

vemos distribuir as 5 letras restantes em 5 posies. Ento:

d) considerando a slaba TRE como um nico elemento, devemos

permutar entre si 6 elementos,

e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo considerado as letras

T, R, E como um nico elemento:



Devemos tambm permutar as letras T, R, E, pois no foi especificada a ordem :

Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E podem ser dispostas

de P3 maneiras. Assim, para P6 agrupamentos, temos P6 . P3 anagramas. Ento: P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas

f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 consoantes. Assim:

PROBABILIDADE

ESPAO AMOSTRAL E EVENTO Suponha que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma bola

branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, mais provvel que esta seja vermelha. Isto iro significa que no saia a bola branca, mas que mais fcil a extrao de uma vermelha. Os casos possveis seu seis:

Cinco so favorveis extrao da bola vermelha. Dizemos que a pro-

babilidade da extrao de uma bola vermelha 65

e a da bola branca, 61

.

Se as bolas da urna fossem todas vermelhas, a extrao de uma ver-melha seria certa e de probabilidade igual a 1. Consequentemente, a extrao de uma bola branca seria impossvel e de probabilidade igual a zero.

Espao amostral: Dado um fenmeno aleatrio, isto , sujeito s leis do acaso, chamamos

espao amostral ao conjunto de todos os resultados possveis de ocorrerem. Vamos indica-lo pela letra E.

EXEMPLOS: Lanamento de um dado e observao da face voltada para cima: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lanamento de uma moeda e observao da face voltada para cima : E = {C, R}, onde C indica cara e R coroa. Lanamento de duas moedas diferentes e observao das faces voltadas

para cima: E = { (C, C), (C, R), (R, C), (R, R) } Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espao amostral. Tome-

mos, por exemplo, o lanamento de um dado : ocorrncia do resultado 3: {3} ocorrncia do resultado par: {2, 4, 6} ocorrncia de resultado 1 at 6: E (evento certo)

ocorrncia de resultado maior que 6 : (evento impossvel) Como evento um conjunto, podemos aplicar-lhe as operaes entre

conjuntos apresentadas a seguir. Unio de dois eventos - Dados os eventos A e B, chama-se unio

de A e B ao evento formado pelos resultados de A ou de B, indica-se por A B.

Interseco de dois eventos - Dados os eventos A e B, chama-se in-terseco de A e B ao evento formado pelos resultados de A e de B. Indica-se por A B.

Se A B = , dizemos que os eventos A e B so mutuamente exclusivos, isto , a ocorrncia de um deles elimina a possibilidade de ocorrncia do outro.

Evento complementar Chama-se evento complementar do evento A

quele formado pelos resultados que no so de A. indica-se por A .

Aplicaes 1) Considerar o experimento "registrar as faces voltadas para cima",

em trs lanamentos de uma moeda. a) Quantos elementos tem o espao amostral? b) Escreva o espao amostral. Soluo: a) o espao amostral tem 8 elementos, pois para cada lanamento

temos duas possibilidades e, assim: 2 . 2 . 2 = 8. b) E = { (C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R,C), (R, C, R), (C,

R, R), (R, R, R) } 2) Descrever o evento "obter pelo menos uma cara no lanamento de

duas moedas". Soluo: Cada elemento do evento ser representado por um par ordenado.

Indicando o evento pela letra A, temos: A = {(C,R), (R,C), (C,C)} 3) Obter o nmero de elementos do evento "soma de pontos maior

que 9 no lanamento de dois dados". Soluo: O evento pode ser tomado por pares ordenados com soma 10, soma 11

ou soma 12. Indicando o evento pela letra S, temos: S = { (4,6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} n(S) = 6 elementos

4) Lanando-se um dado duas vezes, obter o nmero de elementos do

evento "nmero par no primeiro lanamento e soma dos pontos i-gual a 7".

Soluo: Indicando o evento pela letra B, temos: B = { (2, 5), (4, 3), (6, 1)} n(B) = 3 elementos Exerccios 1) Dois dados so lanados. O nmero de elementos do evento

"produto mpar dos pontos obtidos nas faces voltadas para cima" : a) 6 b) 9 c) 18 d) 27

e) 30 2) Num grupo de 10 pessoas, seja o evento ''escolher 3 pessoas sen-

do que uma determinada esteja sempre presente na comisso".



Qual o nmero de elementos desse evento? a) 120 b) 90 c) 45 d) 36 e) 28

3) Lanando trs dados, considere o evento "obter pontos distintos". O

nmero de elementos desse evento : a) 216 b) 210 c) 6 d) 30 e) 36

4) Uma urna contm 7 bolas brancas, 5 vermelhas e 2 azuis. De quan-

tas maneiras podemos retirar 4 bolas dessa urna, no importando a ordem em que so retiradas, sem recoloca-las?

a) 1 001 d) 6 006

b) 24 024 e) ! 2 ! 5 ! 7

! 14 c) 14!

PROBABILIDADE Sendo n(A) o nmero de elementos do evento A, e n(E) o nmero de

elementos do espao amostral E ( A E), a probabilidade de ocorrncia do evento A, que se indica por P(A), o nmero real:

OBSERVAES:

1) Dizemos que n(A) o nmero de casos favorveis ao evento A e n(E) o nmero de casos possveis.

2) Esta definio s vale se todos os elementos do espao amostral tiverem a mesma probabilidade.

3) A o complementar do evento A.

Propriedades:

Aplicaes

4) No lanamento de duas moedas, qual a probabilidade de obtermos cara em ambas?

Soluo: Espao amostral: E = {(C, C), (C, R), (R, C), (R,R)} n(E).= 4

Evento A : A = {(C, C)} n(A) =1

Assim: 41

) E ( n) A ( n

) A ( P == 5) Jogando-se uma moeda trs vezes, qual a probabilidade de se

obter cara pelo menos uma vez? Soluo: E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R,

R), (R. R, R)} n(E)= 8

A = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R) n(A) = 7

87P(A) ) E ( n

) A ( n ) A ( P ==

6) (Cesgranrio) Um prdio de trs andares, com dois apartamentos por

andar, tem apenas trs apartamentos ocupados. A probabilidade de que cada um dos trs andares tenha exatamente um apartamento ocupado : a) 2/5 c) 1/2 e) 2/3 b) 3/5 d) 1/3

Soluo: O nmero de elementos do espao amostral dado por : n(E) = C6,3 =

! 3 ! 3! 6

= 20

O nmero de casos favorveis dado por n (A) = 2 . 2 . 2 = 8, pois em cada andar temos duas possibilidades para ocupa-lo. Portanto, a probabi-lidade pedida :

52

208

) E ( n) A ( n

) A ( P === (alternativa a)

7) Numa experincia, existem somente duas possibilidades para o

resultado. Se a probabilidade de um resultado 31

, calcular a

probabilidade do outro, sabendo que eles so complementares. Soluo:

Indicando por A o evento que tem probabilidade 31

, vamos indicar por

A o outro evento. Se eles so complementares, devemos ter:

P(A) + P( A ) = 1 31

+ P( A ) = 1

8) No lanamento de um dado, qual a probabilidade de obtermos na

face voltada para cima um nmero primo? Soluo: Espao amostral : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(E) = 6 Evento A : A = {2, 3, 5} n(A) = 3

Assim: 21)A(P

63

) E ( n) A ( n

) A ( P === 9) No lanamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter

soma dos pontos igual a 10? Soluo: Considere a tabela, a seguir, indicando a soma dos pontos:

A B

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

Da tabela: n(E) = 36 e n(A) = 3

Assim: 121

363

) E ( n) A ( n

) A ( P ===

Exerccios 1) Jogamos dois dados. A probabilidade de obtermos pontos iguais nos dois :

a) 31

c) 61

e) 367

b) 365

d) 361

2) A probabilidade de se obter pelo menos duas caras num

lanamento de trs moedas ;

a) 83

c) 41

e) 51

b) 21

d) 31

) E ( n) A ( n

) A ( P =

32)A(P =



ADIO DE PROBABILIDADES Sendo A e B eventos do mesmo espao amostral E, tem-se que:

"A probabilidade da unio de dois eventos A e B igual soma das pro-

babilidades de A e B, menos a probabilidade da interseco de A com B."

Justificativa: Sendo n (A B) e n (A B) o nmero de elementos dos eventos A

B e A B, temos que: n( A B) = n(A) +n(B) n(A B)

+=

)E(n)BA(n

)E(n)B(n

)E(n)A(n

)E(n)BA(n

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) OBSERVA O:

Se A e B so eventos mutuamente exclusivos, isto : A B = , ento, P(A B) = P(A) + P(B).

Aplicaes 1) Uma urna contm 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se

uma bola da urna, qual a probabilidade de que ela seja branca ou verde?

Soluo: Nmero de bolas brancas : n(B) = 2 Nmero de bolas verdes: n(V) = 3 Nmero de bolas azuis: n(A) = 4 A probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma bola verde dada

por: P( B V) = P(B) + P(V) - P(B V) Porm, P(B V) = 0, pois o evento bola branca e o evento bola verde

so mutuamente exclusivos. Logo: P(B V) = P(B) + P(V), ou seja:

P(B V) = 95)VB(P

93

92

=+

2) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o nmero 4

ou um nmero par? Soluo: O nmero de elementos do evento nmero 4 n(A) = 1. O nmero de elementos do evento nmero par n(B) = 3. Observando que n(A B) = 1, temos: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

P(A B) = 21)BA(P

63

61

63

61

==+

3) A probabilidade de que a populao atual de um pais seja de 110

milhes ou mais de 95%. A probabilidade de ser 110 milhes ou menos 8%. Calcular a probabilidade de ser 110 milhes.

Soluo: Temos P(A) = 95% e P(B) = 8%.

A probabilidade de ser 110 milhes P(A B). Observando que P(A

B) = 100%, temos:

P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) 100% = 95% + 8% - P(A B) (A B) = 3% Exerccios 1) (Cescem) Uma urna contm 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o

experimento "retirada de uma bola" e considere os eventos; A = a bola retirada possui um nmero mltiplo de 2 B = a bola retirada possui um nmero mltiplo de 5 Ento a probabilidade do evento A B :

a) 2013

c) 107

e) 2011

b) 54

d) 53

2) (Santa casa) Num grupo de 60 pessoas, 10 so torcedoras do So

Paulo, 5 so torcedoras do Palmeiras e as demais so torcedoras do Corinthians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a proba-bilidade de ele ser torcedor do So Paulo ou do Palmeiras :

a) 0,40 c) 0,50 e) n.d.a. b) 0,25 d) 0,30

3) (So Carlos) S um espao amostral, A e B eventos quaisquer em

S e P(C) denota a probabilidade associada a um evento genrico C

em S. Assinale a alternativa correta. a) P(A C) = P(A) desde que C contenha A b) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) c) P(A B) < P(B) d) P(A) + P(B) 1 e) Se P(A) = P(B) ento A = B

4) (Cescem) Num espao amostral (A; B), as probabilidades P(A) e

P(B) valem respectivamente 31

e 32

Assinale qual das alternativas

seguintes no verdadeira.

a) S BA = d) A B = B b) A B = e) (A B) (A B) = S c) A B = BA

5) (PUC) Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 a um

clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos trs clubes. Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes, a probabilidade de ela:

a) Pertencer aos trs Clubes 53

;

b) pertencer somente ao clube C zero; c) Pertencer a dois clubes, pelo menos, 60%; d) no pertencer ao clube B 40%; e) n.d.a.

6) (Maring) Um nmero escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de

1 a 20. A probabilidade de o nmero escolhido ser primo ou quadra-do perfeito :

a) 51

c) 254

e) 53

b) 252

d) 52

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento ocorreu modifica a probabilidade que atribumos a outro evento. Indicaremos por P(B/A) a proba-bilidade do evento B, tendo ocorrido o evento A (probabilidade condicional de

P(A B) = P (A) + P(B) P(A B)

P(A B) = P(A) . P(B/A)



B em relao a A). Podemos escrever: Multiplicao de probabilidades: A probabilidade da interseco de dois eventos A e B igual ao produto

da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relao ao primeiro.

Em smbolos: Justificativa:

= )A( n)BA( n)A/B(P

=

)E(n)A( n)E(n

)BA( n)A/B(P

)A( P)BA( P)A/B(P =

P(A B) = P(A) . P(B/A) Analogamente: P(A B) = P(B) . P(A/B)

Eventos independentes: Dois eventos A e B so independentes se, e somente se: P(A/B) = P(A)

ou P(B/A) = P(B)

Da relao P(A B) = P(A) . P(B/A), e se A e B forem independentes, temos:

Aplicaes:

1) Escolhida uma carta de baralho de 52 cartas e sabendo-se que esta carta de ouros, qual a probabilidade de ser dama?

Soluo: Um baralho com 52 cartas tem 13 cartas de ouro, 13 de copas, 13 de

paus e 13 de espadas, tendo uma dama de cada naipe.

Observe que queremos a probabilidade de a carta ser uma dama de ou-ros num novo espao amostral modificado, que o das cartas de ouros. Chamando de:

evento A: cartas de ouros evento B: dama evento A B : dama de ouros

Temos:

2) Jogam-se um dado e uma moeda. D a probabilidade de obtermos

cara na moeda e o nmero 5 no dado.

Soluo: Evento A : A = {C} n(A) = 1 Evento B : B = { 5 } n ( B ) = 1

Sendo A e B eventos independentes, temos:

P(A B) = P(A) . P(B) P(A B) = 61

21

P(A B) = 121

3) (Cesgranrio) Um juiz de futebol possui trs cartes no bolso. Um todo

amarelo, outro todo vermelho, e o terceiro vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um carto do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz v ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela :

a) 21

b) 52

c) 51

d) 32

e ) 61

Soluo: Evento A : carto com as duas cores Evento B: face para o juiz vermelha e face para o jogador amarela, tendo sado o carto de duas cores Temos:

P(A B) = P(A) . P(B/A), isto , P(A B) =21

31

P(A B) = 61

(alternativa e)

Respostas: Espao amostral e evento 1) b 2) d 3) b 4) a Probabilidade 1) c 2) b Adio de probabilidades 1) d 2) b 3) a 4) b 5) b 6) e

6 Operaes com conjuntos.

1. Conjunto dos nmeros naturais Chamamos de conjunto dos nmeros naturais, e indicamos com lN, o

seguinte conjunto: lN = { 0; 1; 2; 3; 4; ...}

2. Conjunto dos nmeros inteiros Chamamos de conjuntos dos nmeros inteiros, e indica M os com Z, o seguinte conjunto:

Z = { ...; -2; -1; 0; 1; 2;...)

3. Conjunto dos nmeros racionais: Chamamos de conjunto dos nmeros racionais, e indicamos com Q, o

seguinte conjunto:

== 0 q e Z q,p|qp

xQ

Observe que os nmeros racionais so aqueles que podem ser escritos

como quocientes de dois inteiros. Exemplos

a) 15

=5; logo 5 Q

b) 52

= 0,4 ; logo 0,4 Q

c) 6

15 = 2,5 ; logo 2,5 Q

d) 31

= 0,333 . . . ; logo 0,333.. . Q

)A( n)BA( n)A/B(P =

P(A B) = P(A) . P(B)

131

)A( n)BA( n)A/B(P ==



Observao: Nmeros como 5, 0,4 e 2,5 so nmeros racionais com representao decimal finita, ou seja, podemos escrev-los, em sua forma decimal, com um nmero finito de algarismos. O nmero 0,333..., por sua vez, um nmero racional com representao decimal infinita e peridica, ou seja, s podemos escrev-lo, em sua forma decimal, com um nmero infinito de algarismos, embora, a partir de um determinado ponto, haja uma repetio de algarismos at o fim.

Outro exemplo de nmero, que admite representao decimal infinita e peridica, 2,35474747...

Observao Importante Todos os nmeros que tenham representao decimal finita ou infinita

e peridica so nmeros racionais, ou seja, pertencem a Q..

4. Conjunto dos nmeros reais: H nmeros que no admitem representao decimal finita nem

representao decimal infinita e peridica, como, por exemplo: n = 3,14159265...

2 = 1,4142135... 3 = 1,7320508... 5 = 2,2360679...

Estes nmeros no so racionais: n Q, 2 Q, 3 Q, 5 Q; e, por isso mesmo, so chamados de irracionais.

Podemos ento definir os irracionais como sendo aqueles nmeros que

possuem uma representao decimal infinita e no-peridica. Chamamos ento de conjunto dos nmeros reais, e indicamos com IR,

o seguinte conjunto: IR = ( x x racional ou x irracional ) Como vemos, o conjunto IR a unio do conjunto dos nmeros

racionais com o conjunto dos nmeros irracionais. Usaremos o smbolo estrela (* ) quando quisermos indicar que o

nmero zero foi excludo de um conjunto. Exemplo: N * = { 1 ; 2; 3; 4; .. .} ; o zero foi excludo de N. Usaremos o smbolo mais (+) quando quisermos indicar que os

nmeros negativos foram excludos de um conjunto. Exemplo: Z+ = { 0; 1; 2; ... } ; os negativos foram excludos de Z. Usaremos o smbolo menos ( - ) quando quisermos indicar que os

nmeros positivos foram excludos de um conjunto. Exemplo: Z- = { ... ; -2; -1; 0 } ; os positivos foram excludos de Z. Algumas vezes combinamos o smbolo (*) com o smbolo (+) ou com o

smbolo (-) . Exemplos

a) *Z

= { 1; 2; 3; . .. } ; o zero e os negativos foram excludos de Z.

b) *Z+ = { ... ; -3; -2; -1 }; o zero e os positivos foram excludos de Z.

OPERAES COM CONJUNTOS 1. Conceitos primitivos Antes de mais nada devemos saber que conceitos primitivos so

noes que adotamos sem definio. Adotaremos aqui trs conceitos primitivos: o de conjunto, o de elemen-

to e o de pertinncia de um elemento a um conjunto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase: determinado elemento pertence a um conjunto, sem que tenhamos definido o que conjunto, o que elemento e o que significa dizer que um elemento pertence ou no a um conjunto.

2. Notao Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notao: os conjuntos so indicados por letras maisculas: A, B, C, ... ;

os elementos so indicados por letras minsculas: a, b, c, x, y, ... ; o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C indicado

com x e C; o fato de um elemento y no pertencer a um conjunto C

indicado mm y t C. 3. Representao dos conjuntos Um conjunto pode ser representado de trs maneiras: por enumerao de seus elementos; por descrio de uma propriedade caracterstica do conjunto; atravs de uma representao grfica. Um conjunto representado por enumerao quando todos os seus

elementos so indicados e colocados dentro de um par de chaves.

Exemplo: e) A = ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjunto formado pelos

algarismos do nosso sistema de numerao. f) B = ( a, b, c, d, e, f, g, h, 1, j,1, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, z )

indica o conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto. g) Quando um conjunto possui nmero elevado de elementos,

porm apresenta lei de formao bem clara, podemos representa-lo, por enumerao, indicando os primeiros e os ltimos elementos, intercalados por reticncias. Assim: C = ( 2; 4; 6;... ; 98 ) indica o conjunto dos nmeros pares positivos, menores do que100.

h) Ainda usando reticncias, podemos representar, por enumerao, conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de formao bem clara, como os seguintes:

D = ( 0; 1; 2; 3; .. . ) indica o conjunto dos nmeros inteiros no negativos;

E = ( ... ; -2; -1; 0; 1; 2; . .. ) indica o conjunto dos nmeros inteiros;

F = ( 1; 3; 5; 7; . . . ) indica o conjunto dos nmeros mpares positivos.

A representao de um conjunto por meio da descrio de uma propri-

edade caracterstica mais sinttica que sua representao por enumera-o. Neste caso, um conjunto C, de elementos x, ser representado da seguinte maneira:

C = { x | x possui uma determinada propriedade }

que se l: C o conjunto dos elementos x tal que possui uma determinada propriedade:

Exemplos d) O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser representado por

descrio da seguinte maneira: A = { x | x algarismo do nosso sistema de numerao }

e) O conjunto G = { a; e ;i; o, u } pode ser representado por descrio da seguinte maneira: G = { x | x vogal do nosso alfabeto }

f) O conjunto H = { 2; 4; 6; 8; . . . } pode ser representado por descrio da seguinte maneira: H = { x | x par positivo }

A representao grfica de um conjunto bastante cmoda. Atravs

dela, os elementos de um conjunto so representados por pontos interiores a uma linha fechada que no se entrelaa. Os pontos exteriores a esta linha representam os elementos que no pertencem ao conjunto.

Exemplo

Por esse tipo de representao grfica, chamada diagrama de Euler-

Venn, percebemos que x C, y C, z C; e que a C, b C, c C, d C.



Exerccios resolvidos Sendo A = {1; 2; 4; 4; 5}, B={2; 4; 6; 8} e C = {4; 5}, assinale V

(verdadeiro) ou F (falso): j) 1 A ( V ) k) 1 B ( F ) l) 1 C ( F ) m) 4 A ( V ) n) 4 B ( V ) o) 4 C ( V ) p) 7 A ( F ) q) 7 B ( F ) r) 7 C ( F )

r) 1 A ou 1 B ( V ) s) 1 A e 1 B ( F ) t) 4 A ou 4 B ( V ) u) 4 A e 4 B ( V ) v) 7 A ou 7 B ( F ) w) 7 A e 7 B ( F )

Represente, por enumerao, os seguintes conjuntos: f) A = { x | x ms do nosso calendrio } g) B = { x | x ms do nosso calendrio que no possui a letra r } h) C = { x | x letra da palavra amor } i) D = { x | x par compreendido entre 1e 11} j) E = {x | x2 = 100 }

Resoluo f) A = ( janeiro ; fevereiro; maro; abril; maio ; junho; julho ; agosto ;

setembro ; outubro ; novembro ; dezembro ) . g) B = (maio; junho; julho; agosto ) h) C = (a; m; o; r ) i) D = ( 2; 4; 6; 8; ia ) j) E = ( 10; -10 ), pois 102 = 100 e -(-102) = 100 . 4. Nmero de elementos de um conjunto Consideremos um conjunto C. Chamamos de nmero de elementos

deste conjunto, e indicamos com n lcl, ao nmero de elementos diferentes entre si, que pertencem ao conjunto.

Exemplos d) O conjunto A = { a; e; i; o; u }

tal que n(A) = 5. e) O conjunto B = { 0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } tal que n(B) = 10. f) O conjunto C = ( 1; 2; 3; 4;... ; 99 ) tal que n (C) = 99.

5. Conjunto unitrio e conjunto vazio Chamamos de conjunto unitrio a todo conjunto C, tal que n (C) = 1.

Exemplo: C = ( 3 ) E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que n(C) = 0. Exemplo: M = { x | x2 = -25} O conjunto vazio representado por { } ou por . Exerccio resolvido Determine o nmero de elementos dos seguintes com juntos :

f) A = { x | x letra da palavra amor } g) B = { x | x letra da palavra alegria } h) c o conjunto esquematizado a seguir i) D = ( 2; 4; 6; . . . ; 98 ) j) E o conjunto dos pontos comuns s relas r e s, esquematizadas a

seguir :

Resoluo

f) n(A) = 4 g) n(B) = 6,'pois a palavra alegria, apesar de possuir dote letras, possui

apenas seis letras distintas entre si.

h) n(C) = 2, pois h dois elementos que pertencem a C: c e C e d e C i) observe que:

2 = 2 . 1 o 1 par positivo 4 = 2 . 2 o 2 par positivo 6 = 2 . 3 o 3 par positivo 8 = 2 . 4 o 4 par positivo . . . . . . 98 = 2 . 49 o 49 par positivo logo: n(D) = 49

j) As duas retas, esquematizadas na figura, possuem apenas um ponto comum. Logo, n( E ) = 1, e o conjunto E , portanto, unitrio. 6. Igualdade de conjuntos Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 so iguais, e indicaremos com A

= 8, se ambos possurem os mesmos elementos. Quando isto no ocorrer, diremos que os conjuntos so diferentes e indicaremos com A B.

Exemplos . a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u} b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a} c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u} d) {a;e;i;o;u} {a;e;i;o} e) { x | x2 = 100} = {10; -10} f) { x | x2 = 400} {20}

7. Subconjuntos de um conjunto Dizemos que um conjunto A um subconjunto de um conjunto B se

todo elemento, que pertencer a A, tambm pertencer a B. Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o conjunto A estar

"totalmente dentro" do conjunto B:

Indicamos que A um subconjunto de B de duas maneiras: c) A B; que deve ser lido : A subconjunto de B ou A est contido

em B ou A parte de B; d) B A; que deve ser lido: B contm A ou B inclui A.

Exemplo Sejam os conjuntos A = {x | x mineiro} e B = {x | x brasileiro} ; temos

ento que A B e que B A. Observaes:

Quando A no subconjunto de B, indicamos com A B ou B A.

Admitiremos que o conjunto vazio est contido em qualquer conjunto.

8. Nmero de subconjuntos de um conjunto dado Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n elementos, ento este

conjunto ter 2n subconjuntos. Exemplo O conjunto C = {1; 2 } possui dois elementos; logo, ele ter 22 = 4

subconjuntos.

Exerccio resolvido: 1. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto C = la; e; 1; o; u ) . Resoluo: Como o conjunto C possui cinco elementos, o nmero dos

seus subconjuntos ser 25 = 32. Exerccios propostos: 2. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } Resposta: 1024

3. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto

C = 12

13

14

24

34

35

; ; ; ; ;

Resposta: 32



OPERAES COM CONJUNTOS 1. Unio de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos unio ou reunio de A com B,

e indicamos com A B, ao conjunto constitudo por todos os elementos que pertencem a A ou a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a interseo dos conjuntos, temos:

Exemplos d) {a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e} e) {a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d} f) {a;b;c} U {a;c}={a;b;c}

2. Interseco de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseo de A com B, e

indicamos com A B, ao conjunto constitudo por todos os elementos que pertencem a A e a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a interseco dos conjuntos, temos:

Exemplos a) {a;b;c} {d;e} = b) {a;b;c} {b;c,d} = {b;c} c) {a;b;c} {a;c} = {a;c} Quando a interseco de dois conjuntos vazia, como no exemplo a,

dizemos que os conjuntos so disjuntos.

Exerccios resolvidos 2. Sendo A = ( x; y; z ); B = ( x; w; v ) e C = ( y; u; t), determinar os

seguintes conjuntos: a) A B f) B C b) A B g) A B C c) A C h) A B C d) A C i) (A B) U (A C) e) B C

Resoluo

j) A B = {x; y; z; w; v } k) A B = {x } l) A C = {x; y;z; u; t } m) A C = {y } n) B C={x;w;v;y;u;t} o) B C= p) A B C= {x;y;z;w;v;u;t} q) A B C= r) (A B) u (A C)={x} {y}={x;y}

2. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras os conjuntos: a) A B C b) (A B) (A C)

Resoluo

3. No diagrama seguinte temos: n(A) = 20 n(B) = 30 n(A B) = 5

Determine n(A B). Resoluo

Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos de B,

estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas vezes; o que, evidentemente, incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B; teremos ento: n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) ou seja: n(A B) = 20 + 30 5 e ento: n(A B) = 45.

4. Conjunto complementar Dados dois conjuntos A e B, com B A, chamamos de conjunto

complementar de B em relao a A, e indicamos com CA B, ao conjunto A - B. Observao: O complementar um caso particular de diferena em

que o segundo conjunto subconjunto do primeiro. Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras o

complementar de B em relao a A, temos:

Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f} Observao: O conjunto complementar de B em relao a A formado

pelos elementos que faltam para "B chegar a A"; isto , para B se igualar a A.

7 Raciocnio lgico envolvendo problemas aritmticos, geomtricos e matriciais.

1. Todos os marinheiros so republicanos. Assim sendo, (A) o conjunto dos marinheiros contm o conjunto dos republicanos. (B) o conjunto dos republicanos contm o conjunto dos marinheiros. (C) todos os republicanos so marinheiros. (D) algum marinheiro no republicano. (E) nenhum marinheiro republicano. 2. Assinale a alternativa que apresenta uma contradio. (A) Todo espio no vegetariano e algum vegetariano espio. (B) Todo espio vegetariano e algum vegetariano no espio. (C) Nenhum espio vegetariano e algum es pio no vegetariano. (D) Algum espio vegetariano e algum es pio no vegetariano. (E) Todo vegetariano espio e algum espio no vegetariano. 3. Todos os que conhecem Joo e Maria admiram Maria. Alguns que

conhecem Maria no a admiram. Logo, (A) todos os que conhecem Maria a admiram. (B) ningum admira Maria. (C) alguns que conhecem Maria no conhecem Joo. (D) quem conhece Joo admira Maria. (E) s quem conhece Joo e Maria conhece Maria.


Raciocnio Lgico A Opo Certa Para a Su

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