03_determinanteak_soluzioak

3. unitatea. Determinanteak1

77. orrialdea

HAUSNARTU ETA EBATZI

2 ordenako determinanteak

n Ebatzi honako sistema hauek, eta kalkulatu koefizienteen matrize bakoitzarendeterminantea:

a) b)

c) d)

e) f )

a) = –11 ? 0 Soluzioa: x = 4, y = 7

b) = 0 Soluzioa: x = + l, y = l

c) = 3 ? 0 Soluzioa: x = 5, y = –3

d) = 0 Bateraezina

e) = 0 Soluzioa: x = – l, y = l

f) = –109 ? 0 Soluzioa: x = , y = 886109

1 402109|3 11

8 –7|°¢£

3x + 11y = 128

8x – 7y = 46

43

13|18 24

15 20|°¢£

18x + 24y = 6

15x + 20y = 5

|9 –6–6 4|°

¢£

9x – 6y = 7

–6x + 4y = 11

|4 15 2|°

¢£

4x + y = 17

5x + 2y = 19

35

85|5 –3

–10 6|°¢£

5x – 3y = 8

–10x + 6y = –16

|2 33 –1|°

¢£

2x + 3y = 29

3x – y = 5

3x + 11y = 128

8x – 7y = 46

°¢£

18x + 24y = 6

15x + 20y = 5

°¢£

9x – 6y = 7

–6x + 4y = 11

°¢£

4x + y = 17

5x + 2y = 19

°¢£

5x – 3y = 8

–10x + 6y = –16

°¢£

2x + 3y = 29

3x – y = 5

°¢£

DETERMINANTEAK3


n Errenkada bakoitzeko eta zutabe bakoitzeko elementu bat agertzen duten biderka-dura posible guztiak (hiru faktorekoak) kalkulatu nahi ditugu matrize honetan:

a) Aurkitu zenbat biderkadura dauden eta kalkulatu.

b) Egin berriro 3 Ò 3 dimentsioko edozein matrizetarako.

a) 6 biderketa daude:

6 · 5 · 1 = 30 3 · 5 · 4 = 60

2 · 7 · 3 = 42 7 · 8 · 6 = 336

9 · 8 · 4 = 288 2 · 9 · 1 = 18

b) a11 a22 a33 a13 a22 a31

a13 a21 a32 a11 a23 a32

a12 a23 a31 a12 a21 a33


n 4 Ò 4 matrize batean, errenkada bakoitzeko eta zutabe bakoitzeko elementubatek parte hartzen duten 4 faktoreko zenbat biderkadura daude?

4! = 24 biderketa era daitezke.

n ordenako determinanteak

n Jakingo zenuke esaten, orokorrean, n Ò n matrize karratu batean n faktoreko(errenkada bakoitzeko bat eta zutabe bakoitzeko bat) zenbat biderkadura dauden?

n! biderketa egin daitezke.

)a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

(

)a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33(

)6 9 32 5 84 7 1(


80. orrialdea

1. Kalkulatu honako determinante hauen balioa, eta esan zergatik diren horie-tako batzuk zero:

a) b) c)

d) e) f)

a) = 2

b) = –50

c) = 0, zeroen zutabe bat duelako.

d) = 0, errenkada biak berdinak direlako.

e) = 0, bere errenkadak proportzionalak direlako: (1.a) · 7 = (2.a)

f) = 0, zutabe biak proportzionalak direlako: (2.a) · (–20) = (1.a)

2. Kalkulatu honako determinante hauen balioa, datu hauek kontuan hartuta:

A = |A| = –13

a) b) |6A| c) d) |A–1|

a) = – = –(–13) = 13

b) |6A | = = 6 · 6 = 36 · (–13) = –468

c) = 4 = 4 · (–13) = –52

d) |A · A–1| = |A| · |A–1| = 1 8 |A–1| = = = –113

1–13

1|A|

|l m

n p||l 4m

n 4p|

|l m

n p||6l 6m

6n 6p|

|l m

n p||n p

l m|

|l 4m

n 4p||n p

l m|)l m

n p(

|–140 760 –3|

|3 1121 77|

|7 –27 –2|

|1 011 0|

|13 64 –2|

|13 64 2|

|–140 760 –3||3 11

21 77||7 –27 –2|

|1 011 0||13 6

4 –2||13 64 2|


3

81. orrialdea

1. Kalkulatu honako determinante hauek:

a) b)

a) = –114 b) = 3

2. Aurkitu determinante hauen balioa:

a) b)

a) = 14 b) = 1 000

83. orrialdea

3. Justifikatu, garatu gabe, berdintza hauek:

a) = 0 b) = 0

c) = 0 d) = 0

a) Zeroen errenkada bat duelako (2. propietatea).

b) 3. errenkada 1.aren proportzionala delako:

(3.a = (–2) · 1.a) (6. propietatea)

c) 3. errenkada beste bien konbinazio lineala delako:

(3.a = 1.a + 10 · 2.a) (9. propietatea)

d) 1. errenkada beste bien konbinazio lineala delako:

(1.a = 10 · 2.a + 3.a) (9. propietatea)

|45 11 104 1 15 1 0

||7 4 12 9 727 94 71|

|4 1 72 9 1

–8 –2 –14||3 –1 7

0 0 01 11 4

|

|10 47 590 10 910 0 10

||0 4 –11 2 13 0 1

||10 47 59

0 10 910 0 10

||0 4 –11 2 13 0 1

|

|9 0 3–1 1 00 2 1

||5 1 40 3 69 6 8

||9 0 3

–1 1 00 2 1

||5 1 40 3 69 6 8

|


4. Ematen den determinantearen emaitza kontuan hartuta, kalkulatu kendura,garatu barik:

= 1 a) b) c)

a) = 3 = 3 · 1 = 3

b) = 5 · = 1 · 1 = 1

c) = = 1

84. orrialdea

1. Justifikatu honako determinante hauen balioa hau dela:

a) 0

b) 0

c) 96 edo –96

d) 1 edo –1

a) b)

c) d)

a) 4.zutabea 2.aren proportzionala delako (4.a = 9 · 2.a), beraz, determinantea 0 da (6. propietatea).

b) 3. errenkada beste hiruren konbinazio lineala delako (3.a = 100 · 4.a + 10 · 1.a + 2.a),hortaz, determinantea 0 da (9. propietatea).

c) 4 · 8 · 1 · (–3) = –96; hau zerotik ezberdina den biderketa bakarra. Beraz, determi-nantea 96 edo –96 izango da biderketari tokatzen zaion zeinuaren arabera.

d) 1 · (–1) · 1 · 1 = –1 ; hau zerotik ezberdina den biderketa bakarra. Beraz, determi-nantea 1 edo –1 izango da biderketari tokatzen zaion zeinuaren arabera.

|1 0 0 04 –1 0 07 –1 1 03 1 4 1||4 0 0 0

0 0 8 00 0 0 10 –3 0 0|

|1 0 1 02 4 0 3

612 704 410 1036 7 4 1

||4 3 1 271 1 4 92 4 –1 360 6 2 54|

|x y z

5 0 31 1 1

||x y z

2x + 5 2y 2z + 3x + 1 y + 1 z + 1

||x y z

5 0 31 1 1

|15|5x 5y 5z

1 0 3/51 1 1

||x y z

5 0 31 1 1

||3x 3y 3z

5 0 31 1 1

||x y z

2x + 5 2y 2z + 3x + 1 y + 1 z + 1

||5x 5y 5z

1 0 3/51 1 1

||3x 3y 3z

5 0 31 1 1

||x y z

5 0 31 1 1

|


3

85. orrialdea

1. Kalkulatu M matrize horren bi ordenako bi minor eta hiru ordenako bestebi minor.

M =

Bi ordenako minoreak; adibidez:

M = = 0, = 4

Hiru ordenako minoreak; adibidez:

M = = 68, = 21

2. Kalkulatu a12, a33 eta a43 elementuen minor osagarria eta adjuntua.

A =

a12 = = –2; A12 = (–1)1 + 2 · a12 = –1 · (–2) = 2

a33 = = 108; A33 = (–1)3 + 3 · a33 = 1 · 108 = 108

a43 = = 16; A43 = (–1)4 + 3 · a43 = –1 · 16 = –16|0 2 62 –1 51 1 3

||0 2 6

2 –1 54 6 7

||2 3 5

1 2 34 5 7

|)0 2 4 6

2 –1 3 51 1 2 34 6 5 7

(

|–1 2 61 1 50 3 4

||2 3 –14 6 25 –1 2

|)2 3 –1 54 6 2 75 –1 2 64 1 1 50 0 3 4)

|2 61 5||2 3

4 6|)2 3 –1 54 6 2 75 –1 2 64 1 1 50 0 3 4)

)2 3 –1 54 6 2 75 –1 2 64 1 1 50 0 3 4)


87. orrialdea

1. Kalkulatu honako determinante hau Sarrus-en erregela erabiliz, eta bereerrenkadetako bakoitzetik eta zutabe bakoitzetik abiatuta garatuz:

Egiaztatu zazpi kasuetan emaitza bera lortzen dela.

Sarrus-en erregela ezarriz:

= 3 · 2 · 4 + (–5) · 8 · (–1) + 7 · 6 · 9 – (–1) · 2 · 9 – 6 · 8 · 3 – 7 · (–5) · 4 = 456

1. errenkadatik abiatuta garatuz:

= 3 – 7 – 1 = 3 · (–40) – 7 · (–74) – 1 · (–58) =

= –120 + 518 + 58 = 456

2. errenkadatik abiatuta garatuz:

= 5 + 2 – 6 = 5 · 36 + 2 · 21 – 6 · (–39) =

= 180 + 42 + 234 = 456

3. errenkadarekiko garatuz:

= 9 – 8 + 4 = 9 · 44 – 8 · 13 + 4 · 41 =

= 396 – 104 + 164 = 456

1. zutabearekiko garapena:

= 3 + 5 + 9 = 3 · (–40) + 5 · 36 + 9 · 44 =

= –120 + 180 + 396 = 456

2. zutabetik abiatuta garatuz:

= –7 + 2 – 8 = –7 · (–74) + 2 · 21 – 8 · 13 =

= 518 + 42 – 104 = 456

|3 –1–5 6||3 –1

9 4||–5 69 4||3 7 –1

–5 2 69 8 4

|

|7 –12 6||7 –1

8 4||2 68 4||3 7 –1

–5 2 69 8 4

|

|3 7–5 2||3 –1

–5 6||7 –12 6||3 7 –1

–5 2 69 8 4

|

|3 79 8||3 –1

9 4||7 –18 4||3 7 –1

–5 2 69 8 4

|

|–5 29 8||–5 6

9 4||2 68 4||3 7 –1

–5 2 69 8 4

|

|3 7 –1–5 2 69 8 4

|

|3 7 –1–5 2 69 8 4

|


3

3. zutabetik abiatuta garatuz:

= –1 – 6 + 4 = –1 · (–58) – 6 · (–39) + 4 · 41 =

= 58 + 234 + 164 = 456

2. matrizea emanda:

a) Kalkulatu 1. errenkadako elementu bakoitzaren eta 3. errenkadari dagokionadjuntuaren arteko biderkadura guztien arteko batura.

b)Kalkulatu 3. zutabeko elementu bakoitzaren eta 2. zutabeko elementueidagokien adjuntuaren arteko biderkadura guztien arteko batura.

c) Justifikatu zergatik diren zero aurreko bi emaitzak.

a) a11 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 3 · + 7 · (–1) · – 1 · =

= 3 · 44 – 7 · 13 – 1 · 41 = 132 – 91 – 41 = 0

b) a13 · A12 + a23 · A22 + a33 · A32 = –1 · (–1) · + 6 · + 4 · (–1) · =

= 1 · (–74) + 6 · 21 – 4 · 13 = –74 + 126 – 52 = 0

c) 12. propietateagatik.


a) b) c) d)

a) =(1)

–7 = –7 · 290 = –2 030

(1) 2. zutabetik abiatuta garatuz.

b) =(1)

–2 + 2 = –2 · 28 + 2 · 28 = 0

(1) 4. errenkadatik abiatuta garatuz.

4. zutabea beste hiru zutabeen batuketa denez, zero da determinantea.

|3 1 –11 4 –10 3 2

||1 –1 34 –1 43 2 5

||3 1 –1 31 4 –1 40 3 2 52 0 0 2|

|7 –3 44 4 71 1 9

||7 0 –3 44 0 4 73 7 6 91 0 1 9|

|3 –1 4 05 6 2 00 1 3 08 6 7 1||0 0 3 4

1 1 1 02 0 3 50 2 0 1||3 1 –1 3

1 4 –1 40 3 2 52 0 0 2||7 0 –3 4

4 0 4 73 7 6 91 0 1 9|

|3 –1–5 6||3 –1

9 4||–5 69 4|

|3 7–5 2||3 –1

–5 6||7 –12 6|

)3 7 –1–5 2 69 8 4(

|3 7–5 2||3 7

9 8||–5 29 8||3 7 –1

–5 2 69 8 4

|


c) =(1)

3 · – 4 = 3 · (–12) – 4 · (–2) = –36 + 8 = –28


d) =(1)

= 83


88. orrialdea


a) b) c) d)

a) = =(1)

2 · =

= 2 · 145 = 290


b) = =(1)

= 0


c) = = – =

= – = = –16|–2 2 –83 1 1–1 –3 9||–2 2 0 –8

1 0 1 43 1 0 1–1 –3 0 9|(1.a) – 3 · (2.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) + (2.a)

ERRENKADAK

|1 2 3 41 0 1 43 1 0 1–2 –3 –1 5||1 2 0 3 4

0 0 1 –1 31 0 0 1 43 1 0 0 1–2 –3 0 –1 5

|(1.a)

(2.a)

(3.a) + (2.a)

(4.a)

(5.a) + (2.a)

ERRENKADAK

|1 2 0 3 40 0 1 –1 31 0 –1 2 13 1 0 0 1–2 –3 –1 0 2

|

|28 2 32–31 8 –15–24 3 –18||28 –5 2 32

–31 7 8 –15–24 5 3 –180 1 0 0

|(1.a) – 5 · (2.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) – 6 · (2.a)

ZUTABEAK

|3 –5 2 24 7 8 271 5 3 125 1 0 6|

|–2 –1 117 23 62 4 –3

||–2 2 –1 117 –5 23 62 0 4 –30 2 0 0

|(1.a) – 3 · (2.a)

(2.a)

(3.a) – 4 · (2.a)

(4.a)

ZUTABEAK

|4 2 7 12 –5 3 62 0 4 –36 2 8 0|

|0 0 1 23 0 1 0–2 1 0 30 –4 2 1

||1 2 0 3 40 0 1 –1 31 0 –1 2 13 1 0 0 1–2 –3 –1 0 2

||3 –5 2 24 7 8 271 5 3 125 1 0 6||4 2 7 1

2 –5 3 62 0 4 –36 2 8 0|

|3 –1 45 6 20 1 3

||3 –1 4 05 6 2 00 1 3 08 6 7 1|

|1 1 12 0 30 2 0

||1 1 02 0 50 2 1

||0 0 3 41 1 1 02 0 3 50 2 0 1|


3

d) = = – =

= – = = 27 – 16 = 9

90. orrialdea

1. Kalkulatu honako matrize hauen heinak:

A= B =

C = D =

A =

Nulua ez den 2 ordenako minore bat hautatuko dugu: = –7 ? 0

Beraz, lehenengo errenkada biak linealki independenteak dira.

Begiratu 3. errenkada lehenengo errenkada bien batuketa dela eta 4. errenkada 2. eta3. errenkaden batuketa. Hortaz: hein (A) = 2

B =

Zero ez den 2 ordenako minore bat hautatuko dugu: = 8 ? 0

Beraz, lehenengo errenkada biak linealki independenteak dira.

|4 22 3|

)4 2 1 5 32 3 2 6 56 5 3 12 812 10 6 23 16(

|1 23 –1|

)1 2 3 0 –1 43 –1 0 1 1 24 1 3 1 0 67 0 3 2 1 8(

)2 1 0 –15 1 –3 –77 2 –3 –81 0 2 2

()1 0 0 1 –11 –1 2 1 00 0 0 0 11 1 0 0 0

()4 2 1 5 3

2 3 2 6 56 5 3 12 812 10 6 23 16()1 2 3 0 –1 4

3 –1 0 1 1 24 1 3 1 0 67 0 3 2 1 8

(

|3 –2–8 9||0 1 0

3 1 –2–8 2 9|(1.a)

(2.a)

(–2) · (2.a) + (3.a)

ZUTABEAK

|0 1 23 1 0–8 2 13||0 0 1 2

3 0 1 0–2 1 0 3–8 0 2 13|(1.a)

(2.a)

(3.a)

4 · (3.a) + (4.a)

ERRENKADAK

|0 0 1 23 0 1 0–2 1 0 30 –4 2 1

|


Ikus dezagun 3. errenkada beste bi horiekiko linealki menpekoa den:

= 8 ? 0 8 Lehenengo 3 errenkadak linealki independenteak dira.

Ikus dezagun 4. errenkada besteekiko linealki menpekoa den:

= 0 eta = 0

Beraz, hein (B) = 3.

C =

Nulua ez den 2 ordenako minore bat hautatu dugu: = 1 ? 0. Beraz, lehenengobi errenkadak linealki independenteak dira.

= = –2 ≠ denez, lehenengo 3 errenkadak linealki independenteakdira.

= – = 2 ? 0 denez, hein (C ) = 4.

D =

Nulua ez den 2 ordenako minore bat hautatzen dugu: = –3 ? 0. Beraz, lehe-nengo errenkada biak linealki independenteak dira.

= –9 ? 0 denez, 1., 2. eta 4. errenkadak linealki independenteak dira.

3. errenkada lehenengo bien batura da. Beraz, hein (D) = 3.

|2 1 05 1 –31 0 2

||2 1

5 1|

)2 1 0 –15 1 –3 –77 2 –3 –81 0 2 2(

|0 1 –12 1 00 0 1

||0 0 1 –1–1 2 1 00 0 0 11 0 0 0

||0 1

2 1||0 1 –12 1 00 0 1

||1 –1

1 0|

)1 0 0 1 –11 –1 2 1 00 0 0 0 11 1 0 0 0(

|4 2 5 32 3 6 56 5 12 812 10 23 16||4 2 1 5

2 3 2 66 5 3 1212 10 6 23|

|4 2 52 3 66 5 12

|


3

95. orrialdea

PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK

2 eta 3 ordenako determinanteak

1 Kalkulatu determinante hauen balioak:

a) b) c)

d) e) f )

a) = 1 b) = 12 c) = –25

d) = 10 e) = 14 f ) = 2

2 Ebatzi ekuazio hauek:

a) = 12

b) = 6

a) = 12 8 (1 + x)2 – (1 – x)2 = 12 8

8 1 + 2x + x2 – 1 + 2x – x2 = 12 8 4x = 12 8 x = 3

b) = 6 8 x (x – 2) – x (1 – 2x) = 6 8 x (x – 2 – 1 + 2x) = 6 8

8 x(3x – 3) = 6 8 3x2 – 3x – 6 = 0 8 x2 – x – 2 = 0 8

8 x = = x = 2

x = –1

1 ± 3

2

1 ± √1 + 8

2

|x – 2 1 – 2x

x x|

|1 + x 1 – x1 – x 1 + x|

|x – 2 1 – 2x

x x||1 + x 1 – x

1 – x 1 + x|

|1 0 1–2 1 11 –1 0

||0 4 –11 2 13 0 1

||0 3 1–2 0 23 4 0

||7 8 0

0 –7 31 0 1

||15 8–9 –4||7 –3

5 –2|

|1 0 1–2 1 11 –1 0

||0 4 –11 2 13 0 1

||0 3 1–2 0 23 4 0

||7 8 0

0 –7 31 0 1

||15 8–9 –4||7 –3

5 –2|

TREBATZEKO



3

s3 Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) = 0 b) = 0

c) = 0 d) = 0

a) = –3 + 5 + 4 – 5 + 3 – 4a = 4 – 4a = 0 8 a = 1

b) = 3(a – 1) + (a – 1) (a + 6) – 6(a – 1) =

= (a – 1) [3 + a + 6 – 6] = (a – 1) (3 + a) = 0

c) = 4a2 + 4 – 4 – 12 = 4a2 – 12 = 0 8 a2 = 3

d) = 4(a + 1) + a + a – 2 – a2(a + 1) – 2 =

= 4a + 4 + 2a – 2 – a3 – a2 · 2 = –a3 – a2 + 6a = –a (a2 + a – 6) = 0 8

a = 0

a2 + a – 6 = 0 8 a = =

Determinanteen propietateak

4 Si = 7 bada, arrazoitu zenbatekoak diren honako determinante

hauen balioak:

a) b) c) d) e)

a) = 7, matrize baten determinantea eta bere irauliarena balio berekoakdirelako.

b) = –7, bi zutabe elkarrekin trukatuz gero, determinantearen zeinua aldatzendelako.

c) = 3 · 7 = 21, 1. zutabea bider 3 egiten badugu, determinantea bider 3eginda geratzen delako.

|3a b

3c d|

|b a

d c|

|a c

b d||2a 2b

2c 2d||a b + 2a

c d + 2c||3a b

3c d||b a

d c||a c

b d|

|a b

c d|

a = 2

a = –3–1 ± 5

2–1 ±√1 + 24

2

|a + 1 1 11 2 a

1 a 2|

a = √3

a = –√3|2 1 10 2 22 3 a2|

a = 1

a = –3

|a – 1 1 –10 a + 6 3

a – 1 2 0|

|3 4 –51 –1 11 –1 a|

|a + 1 1 11 2 a

1 a 2||2 1 1

0 2 22 3 a2|

|a – 1 1 –10 a + 6 3

a – 1 2 0||3 4 –5

1 –1 11 –1 a

|

d) = 7, 2. zutabeari batzen badiogu 2 aldiz 1. zutabea, determinantea-ren balioa aldatzen ez delako.

e) = 2 · 2 · 7 = 28, errenkada biak 2-az bidertzen baditugu, determinan-tea 4-az bederkaturik geratzen delako.

s5 2 ordenako determinanteen honako eragiketa hauetatik, esan zein direnzuzenak, eta kasu horietan, enuntziatu zer propietate erabiltzen diren:

a) = 0 b) = 4 c) = 2

d) = e) = 2b

a) Egia da. Bi zutabeak berdinak dituelako.

b) Egia da. Errendaka bat zenbaki batez bidertuta egonez gero, determinantea zen-baki horrez biderkatuta geratuko da.

c) Gezurra. = 4 izan beharko zen.

d) Egia da. 1. zutabeari 2. kentzen badiogu determinantearen balioa ez da aldatzen.

e) Egia da. Errenkada edo zutabe bat zenbaki batez bidertuta badago, determinan-tea ere zenbaki horretaz bidertuta geratzen da.

s6 = –5 bada, zenbatekoa da honako determinante hauetako bakoitzaren

balioa? Justifikatu erantzunak:

a) b) c)

d) e) f )

a) =(1)

=(2)

= –5

b) =(2)

=(3)

– = –(–5) = 5

c) =(4)

–3 =(3)

3 = 3 · (–5) = –15

d) =(4)

2 =(2)

2 =(3)

–2 = –2 · (–5) = 10

e) =(4)

· m = = –5|m n

p q||m n

p q|1m|1 n/m

mp mq||m n

p q||p q

m n||p m

q n||p 2m

q 2n||m n

p q||n m

q p||3n –m

3q –p||m n

p q||p q

m n||p m

q n||m n

p q||m p

n q||m + 3n p + 3q

n q||m 5m

p 5p||1 n/m

mp mq||p 2m

q 2n||3n –m

3q –p||p m

q n||m + 3n p + 3q

n q|

|m n

p q|

|1 11 3||2 2

2 6|

|a a – b1 1||2a a – b

2b b||–1 a

2 b||a – 1 a

b + 2 b||1 1

1 3||2 22 6||1 1

1 3||2 22 6||a a

b b|

|2a 2b

2c 2d|

|a b + 2a

c d + 2c|


f) = 0, zutabe biak proportzionalak dira.

(1) Errenkada bati beste errenkada bat batzen badiogu zenbaki batekin bidertuta,determinantea ez da aldatzen.

(2) Matrize baten determinantea eta bere irauliarena berbera da.

(3) Bi errenkada edo bi zutabe elkarren artean trukatuz gero, determinantea zeinuz aldatzen da.

(4) Errenkada edo zutabe bat zenbaki batekin bidertzen badugu, determinanteazenbaki horrekin bidertuta geratuko da.

7 Jarri hiru puntuen lekuan honako berdintza hauek egiaztatuko dituzten zen-baki egokiak:

a) = + b) = +

a) = + b) = +

s8 = 5 dela jakinda, kalkulatu honako determinante hauen balioak:

a) b) c)

d) e)

a) =(1)

+ =(2)

= + 0 = · 5 =

(1) Determinante biren batura moduan deskonposatu dugu.

(2) 1. determinantearen 3. errenkadatik biderkagai komuna atera dugu.

2. determinantea 0 da lehenengo bi errenkadak proportzionalak dituelako.

12

52

12|1 1 1

a b c

x y z|1

2

|1 1 17 7 7

x/2 y/2 z/2||1 1 1

a b c

x/2 y/2 z/2||1 1 1

a + 7 b + 7 c + 7x/2 y/2 z/2

||x y z

x – a y – b z – c3 3 3

||1 – x 1 – y 1 – za + 2x b + 2y c + 2z

2x 2y 2z|

|0 0 1c – a b – c c

z – x y – z z||a b c

x y z

1 1 1||1 1 1

a + 7 b + 7 c + 7x/2 y/2 z/2

||1 1 1

a b c

x y z|

|–10 42 0||6 –1

2 0||–4 32 0||1 7

2 –3||2 73 –3||3 7

5 –3||L L

2 0||6 –12 0||–4 3

2 0||L 7L –3||2 7

3 –3||3 75 –3|

|m 5m

p 5p|


3

b) =(1)

– =(1)

= 5

(1) Bi errenkada elkarrekin trukatzen ditugunean determinantearen zeinuaaldatu egiten da.

c) = =(1)

– = –5

(1) 1. zutabean –1 biderkagai komuna aterako dugu.

d) = =(1)

= 2 = 2 = 2 · 5 = 10

(1) 3. errenkadan 2 biderkagai komuna aterako dugu.

e) = =(1)

– =(2)

= =(3)

3 = 15

(1) Errenkada bi trukatzen baditugu, determinantearen zeinua aldatu egiten da.

(2) 2. errenkadan –1 biderkagai komuna aterako dugu.

(3) 1. errenkadan 3 biderkagai komuna aterako dugu.

Edozein ordenatako determinanteak

9 Kalkulatu 4 ordenako honako determinante hauen balioak:

a) b)

a) =(1)

2 = 2 · (–12) = –24

(1) 3. zutabearekiko garatuz.

|0 3 04 0 50 6 1||1 0 2 0

0 3 0 04 0 0 50 6 0 1|

|2 1 –3 13 1 1 04 0 3 15 2 –2 1||1 0 2 0

0 3 0 04 0 0 50 6 0 1|

|1 1 1a b c

x y z||3 3 3

a b c

x y z|

|3 3 3–a –b –c

x y z||x y z

–a –b –c

3 3 3|(1.a)

(2.a) – (1.a)

(3.a)

ERRENKADAK

|x y z

x – a y – b z – c3 3 3

|

|1 1 1a b c

x y z|(1.a) + (3.a)

(2.a)

(3.a)

ERRENKADAK

|1 – x 1 – y 1 – za b c

x y z|

|1 – x 1 – y 1 – za b c

2x 2y 2z|(1.a)

(2.a) – (3.a)

(3.a)

ERRENKADAK

|1 – x 1 – y 1 – za + 2x b + 2y c + 2z

2x 2y 2z|

|1 1 1a b c

x y z||–1 1 1

–a b c

–x y z|(1.a) – (3.a)

(2.a) + (3.a)

(3.a)

ZUTABEAK

|0 0 1c – a b – c c

z – x y – z z|

|1 1 1a b c

x y z||a b c

1 1 1x y z||a b c

x y z

1 1 1|


b) = =(1)

0

(1) 2. eta 4. errenkadak berdinak direnez, determinantearen balioa 0 da.

96. orrialdea

s10 Kalkulatu honako determinante hauen balioa:

a) b)

c) d)

a) = –72 b) = –18

c) = 0 d) = 938

Matrize baten heina

s11 Aurkitu honako matrize hauen heina:

A = B = C = D =

• A = )3 5 16 10 –21 0 14 5 0(

)1 2 0 30 1 –1 –22 7 –3 0()2 –1 0 0

0 0 2 –10 2 –1 02 0 –1 0

()1 2 3 1 –14 5 6 2 11 0 0 3 4()3 5 1

6 10 –21 0 14 5 0

(

|–1 3 2 –12 –2 1 30 –5 10 47 –8 9 –2

||1 2 3 42 1 2 11 2 4 53 4 1 2|

|1 –1 2 02 1 3 13 1 4 32 1 7 0||1 0 –1 2

2 3 2 –22 4 2 13 1 5 –3|

|–1 3 2 –12 –2 1 30 –5 10 47 –8 9 –2

||1 2 3 42 1 2 11 2 4 53 4 1 2|

|1 –1 2 02 1 3 13 1 4 32 1 7 0||1 0 –1 2

2 3 2 –22 4 2 13 1 5 –3|

|2 1 –3 13 1 1 02 –1 6 03 1 1 0|(1.a)

(2.a)

(3.a) – (1.a)

(4.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|2 1 –3 13 1 1 04 0 3 15 2 –2 1|


3

Nulua ez den 2 ordenako minore bat hartzen dugu: = –5 ? 0 8 hein (A) Ó 2

Azkeneko errenkada biak linealki independenteak dira.

Ikus dezagun 2. errenkada azkeneko biekiko linealki menpekoa den:

= 0. 2. errenkada azkeneko biekiko linealki menpekoa da.

Ikus dezagun 1. errenkada azkeneko biekiko linealki menpekoa den.

= 10 ? 0. Hortaz, hein (A) = 3.

• B =

Nulua ez den 2 ordenako minorea hartzen dugu: = –5 ? 0

Lehenengo zutabe biak linealki independenteak dira. Beraz, hein (B) Ó 2.

Ikus dezagun 3. zutabea lehenengo biekiko linealki menpekoa den.

= = –3 ? 0. Beraz, hein (B) = 3.

• C =

|C | kalkulatuko dugu:

|C | = = =(1)

2 =

= 2(2 – 1) = 2 ? 0 8 hein (C ) = 4


• D =

0 ez den 2 ordenako minore bat aukeratuko dugu: ? 0|1 20 1|

)1 2 0 30 1 –1 –22 7 –3 0(

|0 2 –12 –1 01 –1 0||2 –1 0 0

0 0 2 –10 2 –1 00 1 –1 0|(1.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|2 –1 0 00 0 2 –10 2 –1 02 0 –1 0|

)2 –1 0 00 0 2 –10 2 –1 02 0 –1 0

(|2 3

5 6||1 2 34 5 61 0 0|

|4 51 0|

)1 2 3 1 –14 5 6 2 11 0 0 3 4(

|3 5 11 0 14 5 0|

|6 10 –21 0 14 5 0|

|0 15 0|


Lehenengo errenkada biak linealki independenteak dira.

Ikusiko dugu ea 3. errenkada bi horien menpekoa den ala ez:

= –3 – 4 + 7 = 0

= –8 – 6 + 14 = 0

Beraz, hein (D ) = 2.

s12 Aztertu matrize hauen heina bertan ageri den parametroaren balioaren arabera:

a) A = b)B =

c) C = d)D =

a) |A|= = 2a – 6 + 4 – a = a – 2 = 0 8 a = 2

• a = 2 bada 8 |A|= 0 eta = 1 ? 0 direnez 8 hein (A) = 2

• a ? 2 bada 8 |A|? 0 8 hein (A) = 3

b) |B|= = 4a2 – 2 – 2a + 2 = 4a2 – 2a = 0 8

8 2a(2a – 1) = 0

= 2 ? 0 denez 8 hein (B ) Ó 2

• a = 0 bada 8 |B| = 0 8 hein (B ) = 2

• a = bada 8 |B| = 0 8 hein (B ) = 2

• a ? 0 eta a ? bada 8 |B| ? 0 8 hein (B ) = 31

2

1

2

|1 0–1 2|

a = 01

a = —2

|a 1 0–1 2a –21 –1 2

|

|2 11 1|

|2 1 01 1 –23 1 a

|)1 1 1

1 –a 11 1 a()2 –1 a

a 3 43 –1 2(

)a 1 0–1 2a –21 –1 2()2 1 0

1 1 –23 1 a(

|1 2 30 1 –22 7 0|

|1 2 00 1 –12 7 –3|


3

3.errenkada bi horien menpekoa da.

c) |C|= = 12 – a2 – 12 – 9a + 8 + 2a = –a2 – 7a + 8 = 0 8

8 a = = =

= 10 ? 0 denez 8 hein (C) Ó 2

Beraz:

• a = 1 bada 8 |C|= 0 8 hein (C ) = 2

• a = –8 bada 8 |C|= 0 8 hein (C ) = 2

• a ? 1 eta a ? –8 bada 8 |C|? 0 8 hein (C ) = 3

d) |D|= = –a2 + 1 + 1 + a – 1 – a = –a2 + 1 = 0

• a = 1 bada 8 D = 8 ? 0 8 hein (D ) = 2

• a = –1 bada 8 D = 8 ? 0 8 hein (D ) = 2

• a ? 1 eta a ? –1 bada 8 |D| ? 0 8 hein (D ) = 3

s13 Aztertu matrize hauen heina a parametroaren balioaren arabera:

a) A = b)B =

c) C = d)D =

a) |A| = 0 bada 8 a = 2

• a = 2 bada 8 hein (A) = 3

• a ? 2 bada 8 hein (A) = 4

b) B =

• a = 4 bada 8 Hiru errenkadak proportzionalak dira 8 hein (B ) = 1

• a ? 4 bada 8 ? 0 8 hein (B ) = 2|3 a

6 8|

)1 2 3 a

2 4 6 83 6 9 12(

)a – 2 1 – 2a –1a a 2a()a –1 1

1 –a 2a –1()1 2 3 a

2 4 6 83 6 9 12()1 1 1 2

1 2 –3 8a –1 –1 11 –1 1 –2

(

|1 11 –1|)1 1 1

1 1 11 1 –1(

|1 11 –1|)1 1 1

1 –1 11 1 1(

a = 1

a = –1|1 1 11 –a 11 1 a

|

|3 4–1 2|

a = –8a = 1

7 ± 9–2

7 ± √81–2

7 ± √49 + 32–2

|2 –1 a

a 3 43 –1 2

|


c) C = 8 = –a2 + 1 = 0

• a = 1 bada, geratzen da:

C = 8 hein (C ) = 1

• a = –1 bada, geratzen da:

C = 8 = 2 ≠ 0 8 hein (C ) = 2

• a ? 1 eta a ? –1 bada 8 hein (C ) = 2

d) D = 8 = a2 – 2a – a + a2 =

= 2a2 – 3a = 0

• a = 0 bada 8 D = 8 hein (D ) = 1

• a = bada 8 D =

Errenkada biak proportzionalak dira 8 hein (D ) = 1

• a ? 0 eta a ? bada 8 hein (D ) = 2

s14 Justifikatu, garatu barik, honako determinante hauek nuluak direla:

a) b)

a) 1. eta 3. zutabeak proportzionalak dira (3.a = –5 bider 1.a)

b) Batu 3. errenkada 2.ari:

= =

= 5(a + b +c) =(*)

0

(*) Bi errenkada berdinak dituelako.

|1 1 11 1 1

b + c a + c a + b|

|5 5 5a + b + c a + b + c a + b + c

b + c a + c a + b||5 5 5

a b c

b + c a + c a + b|

|5 5 5a b c

b + c a + c a + b||–8 25 40

2/5 3 –20 27 0

|

EBAZTEKO

3

2

)–1/2 –1/2 –13/2 3/2 3(3

2

)–2 1 –10 0 0(

a = 03

a = —2

|a – 2 1 – aa a|)a – 2 1 – 2a –1

a a 2a(

|–1 11 –3|)–1 –1 1

1 1 –3(

)1 –1 11 –1 1(

a = 1a = –1|a –1

1 –a|)a –1 11 –a 2a – 1(


3

s15 Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) = 0 b) = 0

c) = 0 d) = 0

a) =(1)

x – =(2)

x · x3 – 1 = x4 – 1 = 0 8

8 x = ±


(2) Matrize triangeluarren determinanteak dira.

b) = = a (x – b) (x – c) = 0

(a ? 0 dela suposatzen dugu).

c) =(1)

=(2)

(2 – x) =

= =(3)

=(4)

= –x = –x [(–x – 1)2 – 1] = –x [x2 + 1 + 2x – 1] =

= –x (x2 + 2x) = –x2(x + 2) = 0

(1) 1. zutabeari besteak batu.

(2) 1. zutabetik (2 – x) faktore komuna atera.



x = 0x = –2

|–x – 1 –1–1 –x – 1|

|–x – 1 1 –10 –x 0–1 1 –x – 1

||1 1 0 10 –x – 1 1 –10 0 –x 00 –1 1 –x – 1|(1.a)

(2.a) – (1.a)

(3.a) – (1.a)

(4.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|1 1 0 11 –x 1 01 1 –x 11 0 1 –x||2 – x 1 0 1

2 – x –x 1 02 – x 1 –x 12 – x 0 1 –x||–x 1 0 1

1 –x 1 00 1 –x 11 0 1 –x

|

x = bx = c|a b c

0 x – b 00 0 x – c

|(1.a)

(2.a) – (1.a)

(3.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|a b c

a x c

a b x|

x = 1x = –1

4√1

|1 0 0x 1 00 x 1

||x 1 00 x 10 0 x

||x 1 0 00 x 1 00 0 x 11 0 0 x|

|x –1 –1 0–x x –1 11 –1 x 11 –1 0 x

||–x 1 0 11 –x 1 00 1 –x 11 0 1 –x

||a b c

a x c

a b x||x 1 0 0

0 x 1 00 0 x 11 0 0 x|


d) =(1)

=(2)

(x – 1) =

= (x – 1) (x3 + 1 + x – x) = (x – 1) (x3 + 1) = 0

(1) 1. zutabeari 2. zutabea batuz.

(2) 1. zutabeko elementuekiko garatuz.

16 Aztertu honako matrize hauen heina, hartzen duten parametroaren balioenarabera:

a) A = b) B = c) C =

a) |A | = = =(1)

= =(2)

–5 = – 40k = 0 8 k = 0



• k = 0 bada 8 A = 8 ? 0 8 hein (A ) = 3

• k ? 0 bada 8 |A | ? 0 8 hein (A ) = 4

b) B = 8 = 0 egingo dugu 8 6k – 18 = 0 8 k = 3

• k = 3 bada 8 B = 8 ? 0 8 hein (B ) = 3

• k ? 3 bada 8 hein (B ) = 3

Beraz, k edozein izanda hein (B ) = 3.

|1 3 13 3 –1–1 3 0|)1 3 3 1

3 3 3 –1–1 3 3 0(

|1 3 3k k 3–1 3 3|)1 3 3 1

k k 3 –1–1 3 3 0(

|0 –1 25 0 01 2 1|)0 0 –1 2

3 0 0 05 0 0 01 0 2 1

(

|3 –k

5 k||k – 2 k –53 –k 05 k 0

|

|k – 2 k –5 03 –k 0 05 k 0 01 0 2 1

|(1.a) – 2 · (4.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a)

ERRENKADAK

|k k –1 23 –k 0 05 k 0 01 0 2 1|

)m m – 1 m(m – 1)m 1 m

m 1 m – 1()1 3 3 1k k 3 –1–1 3 3 0()k k –1 2

3 –k 0 05 k 0 01 0 2 1

(

x = 1x3 + 1 = 0 8 x = –1

|x –1 1–1 x 1–1 0 x||x – 1 –1 –1 0

0 x –1 10 –1 x 10 –1 0 x

||x –1 –1 0–x x –1 11 –1 x 11 –1 0 x

|


3

c) |C | = =(1)

m =

= m (m – 2) = 0

(1) 1. zutabetik m biderkagai komuna aterako dugu.

• m = 0 bada 8 C = 8 ? 0 8 hein (C ) = 2

• m = 2 bada 8 C = 8 ? 0 8 hein (C ) = 2

• m ? 0 eta m ? 2 bada 8 |C | ? 0 8 hein (C ) = 3

17 Aztertu, parametroaren balioen arabera, matrize hauetako bakoitzaren heina:

a) A = b)B =

c) C = d)D =

a) A = 8 = –k2 + 1 = 0

• k = 1 bada 8 A = 8 ? 0 8 hein (A ) = 3

• k = –1 bada 8 A = 8 = 0 eta ? 0 8

8 hein (A ) = 2

• k ? –1 bada 8 hein (A) = 3

b) B = 8 |B | = = t3 – 2t = 0

t = 0

t = √—2

t = –√—2

|t 2 22 t 01 t t

|)t 2 22 t 01 t t(

|–2 0–1 1||1 1 0

–1 –1 11 1 –1

|)1 1 –2 0–1 –1 –1 11 1 1 –1(

|1 –2 0–1 1 11 1 1

|)1 1 –2 0–1 –1 1 11 1 1 1(

k = 1k = –1|k 1 –2

–1 –1 k

1 1 1|)k 1 –2 0

–1 –1 k 11 1 1 k(

)1 0 –a –11 a + 3 4 – a 01 a + 3 a2 + 2 a + 2()1 1 –1 0

2 1 –1 0–t 6 3 – t 9 – t(

)t 2 22 t 01 t t()k 1 –2 0

–1 –1 k 11 1 1 k(

|1 21 1|)2 1 2

2 1 22 1 1(

|1 01 –1|)0 –1 0

0 1 00 1 –1(

m = 0m = 2

|1 m – 1 m (m – 1)1 1 m

1 1 m – 1||m m – 1 m (m – 1)

m 1 m

m 1 m – 1|


• t = 0 bada 8 B = 8 ? 0 8 hein (B ) = 2

• t = √—2 bada 8 B = 8 ? 0 8 hein (B ) = 2

• t = –√—2 bada 8 B = 8 ? 0 8 hein (B ) = 2

• t ? 0, t ? √—2 eta t ? –√

—2 bada 8 |B | ? 0 8 hein (B) = 3

c) C = 8 = t – 9 = 0 8 t = 9

• t = 9 bada 8 C = 8 ? 0 8 hein (C ) = 2

• t ? 9 bada 8 hein (C ) = 3

d) D = 8 =(1)

=(1)

(a + 3) = (a + 3)(a2 + a – 2) = 0

(1) 2. zutabetik (a + 3) biderkagai komuna aterako dugu.

• a = 1 bada 8 D = 8 ? 0 8 hein (D ) = 3

• a = –2 bada 8 D = 8 = 0 y ? 0 8

8 hein (D ) = 2

• a = –3 bada 8 D = 8 ? 0 8 hein (D ) = 3

• a ? –2 bada 8 hein (D ) = 3

|1 3 –11 7 01 11 –1|)1 0 3 –1

1 0 7 01 0 11 –1(

|1 01 1||1 0 –1

1 1 01 1 0|)1 0 2 –1

1 1 6 01 1 6 0(

|0 –1 –14 3 04 3 3|)1 0 –1 –1

1 4 3 01 4 3 3(

a = 1

a = –2

a = –3|1 0 –a

1 1 4 – a1 1 a2 + 2|

|1 0 –a

1 a + 3 4 – a1 a + 3 a2 + 2|)1 0 –a –1

1 a + 3 4 – a 01 a + 3 a2 + 2 a + 2(

|1 12 1|)1 1 –1 0

2 1 –1 0–9 6 –6 0(

|1 1 –12 1 –1–t 6 3 – t|)1 1 –1 0

2 1 –1 0–t 6 3 – t 9 – t(

|–√—2 2

2 –√—2|)–√

—2 2 2

2 –√—2 0

1 –√—2 –√

—2

(|√

—2 2

2 √—2|)√

—2 2 2

2 √—2 0

1 √—2 √

—2

(|0 2

2 0|)0 2 22 0 01 0 0(


3

97. orrialdea

18 Kalkulatu matrize hauen heina t parametroaren funtzioan:

a) A =

b) B =

c) C =

a) A = 8 = –t3 + 3t2 – 2t = 0

• t = 0 bada 8 A = 8 ? 0 8 hein (A ) = 3

• t = 1 bada 8 A = 8 ? 0 8 hein (A ) = 3

• t = 2 bada 8 A = 8 = 0 eta ? 0 8

8 hein (A ) = 2

• t ? 2 bada 8 hein (A ) = 3

b) B = 8 |B | = =

= t (t2 – 3t + 2) = 0

• t = 0 bada 8 B = 8 ? 0 8 hein (B ) = 2

• t = 1 bada 8 B = 8 ? 0 8 hein (B ) = 2|2 23 0|)1 1 0

2 2 03 0 –4(

|2 11 0|)0 0 0

2 1 –11 0 –3(

t = 0

t = 1

t = 2

|t t 02 t + 1 t – 1

2t + 1 0 –t – 3|)t t 02 t + 1 t – 1

2t + 1 0 –t – 3(

|2 12 2||2 1 2

2 2 12 1 2|)2 1 1 2

2 2 4 12 1 1 2(

|1 1 22 1 12 1 2|)1 1 1 2

2 1 1 12 1 1 2(

|0 1 22 0 12 1 2|)0 1 1 2

2 0 0 12 1 1 2(

t = 0

t = 1

t = 2|t 1 1

2 t t2

2 1 1|)t 1 1 22 t t2 12 1 1 2(

)3 – t 3 2t

–2 0 –11 3 2 + t

t + 2 0 t(

)t t 02 t + 1 t – 1

2t + 1 0 –t – 3()t 1 1 2

2 t t2 12 1 1 2(


• t = 2 bada 8 B = 8 ? 0 8 hein (B ) = 2

• t ? 0, t ? 1 eta t ? 2 bada 8 hein (B ) = 3

c) C = 8 = –3(3t – 6) = 0 8 t = 2

• t = 2 bada 8 C = 8 = 0 eta ? 0 8

8 hein (C ) = 2

• t ? 2 bada 8 hein (C ) = 3

s19 Aurkitu, a-ren funtzioan, honako determinante hauen balioak:

A1 =

A2 =

A1 = =(1)

=(2)

= (4a + 1) = (4a + 1) =(3)

= (4a + 1) = (4a + 1) · 1 = 4a + 1

(1) 1. zutabeari besteak batzen dizkiogu.

(2) 1. zutabetik (4a + 1) faktore komuna atereaz.


|1 0 00 1 00 0 1|

|1 a a a

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1|(1.a)

(2.a) – (1.a)

(3.a) – (1.a)

(4.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|1 a a a

1 a + 1 a a

1 a a + 1 a

1 a a a + 1|

|4a + 1 a a a

4a + 1 a + 1 a a

4a + 1 a a + 1 a

4a + 1 a a a + 1||a + 1 a a a

a a + 1 a a

a a a + 1 a

a a a a + 1|

|a a a a

2 a a a

3 2 a a

4 3 2 a|

|a + 1 a a a

a a + 1 a a

a a a + 1 a

a a a a + 1|

|1 3–2 0||1 3 4

–2 0 –14 0 2

|)1 3 4–2 0 –11 3 44 0 2

(|3 – t 3 2t

–2 0 –11 3 2 + t

|)3 – t 3 2t

–2 0 –11 3 2 + t

t + 2 0 t(

|2 22 3|)2 2 0

2 3 15 0 –5(


3

A2 = = =(1)

= –a =(2)

–a (2 – a)3 = a (a – 2)3


(2) Matrize triangeluar baten determinantea da.

s20 Frogatu, garatu barik, honako determinante hauen balioa 0 dela:

a) b)

a) = = 0,

azkenengo bi errenkadak proportzionalak direlako.

b) =(1)

=(2)

0

(1) , eta biderkagai komuna aterako dugu 1., 2. eta 3. errenkadetatik,hurrenez hurren.

(2) 1. eta 3. errenkadak proportzionalak dira (1.a = xyz · 3.a).

s21 A = matrizea dugu, eta bertan a, b eta c ez dira nuluak.

a) Zehaztu linealki independenteak diren A-ren zutabe kopurua.

b) Kalkulatu A-ren heina.

|A | = = a b c = abc · 0 = 0

Baina, = –ab + 2ab = ab ? 0, a eta b nuluak ez direlako.|a b

2a –b|

|1 1 12 –1 33 0 4||a b c

2a –b 3c

3a 0 4c|

)a b c

2a –b 3c

3a 0 4c(

1

z

1

y

1

x

|xyz xyz xyz

x y z

1 1 1|1

z

1

y

1

x|yz xz xy

1 1 11/x 1/y 1/z

|

|x x + 1 x + 20 2 20 4 4|(1.a)

(2.a) – (1.a)

(3.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|x x + 1 x + 2x x + 3 x + 4x x + 5 x + 6|

|yz xz xy

1 1 11/x 1/y 1/z

||x x + 1 x + 2x x + 3 x + 4x x + 5 x + 6|

|2 – a 0 03 – a 2 – a 04 – a 3 – a 2 – a|

|a a a a

2 – a 0 0 03 – a 2 – a 0 04 – a 3 – a 2 – 0 0|(1.a)

(2.a) – (1.a)

(3.a) – (1.a)

(4.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|a a a a

2 a a a

3 2 a a

4 3 2 a|


Hortaz:

a) A matrizean linealki independenteak diren bi zutabe daude.

b) hein (A) = 2

s22 Aztertu honako matrize honen heina a, b eta c-ren balio desberdinetarako:

M =

|M | = =(1)

=(2)

= (a + b + c) =(3)

0

(1) 2. errenkadari 3.a batzen diogu.

(2) (a + b + c) faktore komuna 2. errenkadatik aterata.

(3) Lehenengo errenkada biak proportzionalak dira.

Beraz, hein (M) Ì 2. Orduan ondorengoa daukagu:

= 5b – 5a = 0 8 b = a

= 5c – 5b = 0 8 c = b

= 5c – 5a = 0 8 a = c

Hortaz:

• a = b = c bada 8 hein (M) = 1

• a ? b edo b ? c edo a ? c badira 8 hein (M) = 2

s23 Aztertu matrize honen heina:

A =

|A | = =(1)

= cos2 a + sen2 a = 1

(1) Determinantea 3. errenkadatik edo 3. zutabetik abiatuta garatuz.

Beraz, |A | ? 0 denez, hein (A) = 3.

|cos a –sen asen a cos a||cos a –sen a 0

sen a cos a 00 0 1

|)cos a –sen a 0

sen a cos a 00 0 1(

|5 5a c|

|5 5b c|

|5 5a b|

|5 5 51 1 1

b + c a + c a + b|

|5 5 5a + b + c a + b + c a + b + c

b + c a + c a + b||5 5 5

a b c

b + c a + c a + b|

)5 5 5a b c

b + c a + c a + b(


3

24 Zein da n ordenako unitate-matrizearen determinantearen balioa? Eta nordenako matrize triangeluar batena?

Justifikatu erantzunak.

det (In) = 1. n ordenako matrize triangeluar baten determinantea, diagonal han-dieneko elementuen biderkadura da (determinantearen balioa aurkitzeko partehartzen duten beste elementuen biderkadura 0 izango delako). n ordenako uni-tate matrizearen kasuan, matrize triangeluarra daukagu, diagonal nagusiko ele-mentuak 1 izanik. Hortaz, determinantearen balioa 1 da.

25 Frogatu 3 ordenako matrize baten determinantea bere irauliaren determi-nantearen berdina dela.

A = bada, orduan At = .

Determinantearen definizioa aplikatuz |At | = |A | dela dakigu. Ikus dezagun:

|A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

|At |= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

Beraz, |A | = |At |.

26 Jakingo zenuke honako bi biderkadura hauetako zein izan daitekeen 4 orde-nako determinante baten garapenekoa?:

a) a12 · a23 · a31 · a42 b)a14 · a41 · a23 · a32

b) Da erantzuna, biderketa bakoitzean zutabe bakoitzeko eta errenkada bakoitzekofaktore bat egon behar delako.

27 Egiaztatu honako hau: det (A · B) = det (A) · det (B). A eta B bi matrize dia-gonal izanik, 3 ordenakoak.

A = ; B = izanik:

A · B = 8 |A · B | = a11 b11 a22 b22 a33 b33

|A | · |B | = a11 b11 a22 b22 a33 b33

Beraz, |A · B | = |A | · |B |.

°¢£

|A | = a11 a22 a33

|B | = b11 b22 b33

)a11b11 0 00 a22b22 00 0 a33b33

()b11 0 0

0 b22 00 0 b33

()a11 0 00 a22 00 0 a33

(

)a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

()a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

(

GALDERA TEORIKOAK


s28 Justifikatu det (A–1) = dela.

* Kontuan hartu honako hau: A · A–1 = I

|A · B | = |A | · |B | dela dakigu. A · A–1 = I denez:

|A | · |A–1 | = | I | dela daukagu. Baina | I | = 1 (24. ariketa ikusi). Honela gelditukoda:

|A | · |A–1 | = 1 8 |A–1 | =

(Oharra: |A | ? 0, A–1 existitzen denez, |A | -z zatitzea posiblea da).

29 A matrizea 4 ordenako matrize karratua bada, jakin dezakezu honako hauenbalioak:

a21 A11 + a22 A12 + a23 A13 + a24 A14

matrizeko elementuen balioa jakin barik?

Emaitza 0 da, 2. errenkadako elementuak eta 1. errenkadako elementuen adjuntuakbidertuta lortu dugulako.

s30 A eta B matrizeek 3 errenkada eta 12 zutabe dituzte, baina, editatu direnean,lerroetako batzuk ezabatu egin dira.

A = B =

Jakin dezakegu horren heinak izan ditzakeen balioari buruzko zerbait?

A eta B matrizeak eratzen dituzten 24 zutabeko matrizeari C esatenbadiogu, zein izango da C-ren heina?

A = . = –4 ? 0 denez eta = 0,

hein (A) Ó 2 dela dakigu. A-k hiru errenkada baino ez duenez, hein (A) Ì 3 delaere badakigu. Beraz, 2 Ì hein (A) Ì 3 dela baiezta dezaket. Hau da: hein (A) 2edo 3 izango dela.

• B matrizearen kasuan:

B = . = 23 ? 0 denez eta B-k soilik hiru errenkada

dituenez, hein (B) = 3.

• C matrizea, A eta B matrizeek eratzen duten 24 zutabeko matrizea izanik etaaurreko emaitzak kontuan hartuta, hein (C ) = 3 dela baiezta dezakegu.

|2 –1 33 0 15 4 0|)2 –1 3 …

3 0 1 …5 4 0 …(

|1 1 –13 –1 0–7 5 –2||1 1

3 –1|)1 1 –1 …3 –1 0 …–7 5 –2 …(

)2 –1 3 L L L

3 0 1 L L L

5 4 0 L L L

()1 1 –1 L L L

3 –1 0 L L L

–7 5 –2 L L L

(

1|A|

1

det (A)


3

98. orrialdea

31 A = matrizearen heina 2 bada, zein izango da B matrizearen heina?

B =

B-ren 3. errenkada (A-ri erantsi dioguna) beste bien konbinazio lineala da (2.a – 1.a). Hortaz, B-k A-ren heina izango du: hein (B) = 2

s32 A eta B 4 Ò 4 ordenako matrizeak izanda, eta |A| = 3 eta |B | = 2 izanda,kalkulatu |A–1|, |B t A| eta |(AB–1)t | . Justifikatu erantzunak.

|A–1| = = (28. ariketa ikusi).

|Bt · A | =(1)

|Bt | · |A | =(2)

|B | · |A | = 2 · 3 = 6

|(AB–1)t | =(2)

|AB–1 | =(1)

|A | · |B–1 | = |A | · = =

(1) |A · B | = |A | · |B | dela kontuan hartuta.

(2) Matrize baten determinantea bere irauliaren berbera da.

s33 A matrize karratu bati buruz badakigu bere determinanteak –1 balio duela,eta 2A-ren determinanteak –8 balio duela. Zein da A matrizearen ordena?Arrazoitu erantzuna.

|2A | = –8 = –1 · 8 = –1 · 23 = 23 · |A |. Determinanteen ondorengo propietateakkontuan harturik:

“Errenkada edo zutabe bat zenbaki batekin biderkatzen badugu, determinanteazenbaki horrekin biderkatzen da; orduani A n ordenako matrize karratua bada:

|2A | = 2n · |A |. Gure kasuan n = 3 izango da.

Orduan, A 3 ordenako matrizea dela esango dugu.

s34 c1, c2, c3 esaten badiegu A matrize bateko zutabe-bektoreei, determi-nantea honela izendatu dezakegu:

det (A) = det (c1, c2, c3)

det (A) = 5 bada, zein ote dira determinante hauen balioak?

a) det (c1 – 3c2, c2, c3)

b) det (c1, c2, 2c3)

c) det (c1, c1 – c2, c3)

32

|A|

|B|1

|B|

13

1|A|

)a b c

m n p

m – a n – b p – c()a b c

m n p(


a) det (c1 – 3c2, c2, c3) =(1)

det (c1, c2, c3) = 5

(1) 1. zutabeari 2. zutabea bider 3 batu diogu.

b) det (c1, c2, 2c3) =(2)

2 det (c1, c2, c3) = 2 · 5 = 10

(2) Matrize bateko zutabea zenbaki batekin bidertzen badugu, determinanteazenbaki horrekin bidertuta geratzen baita.

c) det (c1, c1 – c2, c3) =(3)

det (c1, –c2, c3) =(2)

–det (c1, c2, c3) = –5

(3) 2. zutabeari 1. zutabea kendu diogu.

35 a) Definitu zeri esaten diogun matrize baten heina.

b) Esan, erantzuna arrazoituz, honako baieztapen hauetatik zein diren egia:

I) hein (A) = hein (–A) (–A da A-ren aurkako matrizea).

II) hein (A) = hein (At) (At da A-ren matrize iraulia).

III) hein (A + B) = hein (A) + hein (B)

IV) hein (A2) = [hein (A)]2

V) hein (A) = hein (A–1) baldin eta A-k alderantzizkoa badu (A–1 da A-ren alderantzizko matrizea).

a) Matrize baten heina linealki independenteak diren errenkada edo zutabe kopurua da. Honela ere defini dezakegu: minore ez nuluen ordena maximoa.

b) I) Egia. A-ren elementuen zeinuen aldaketak minoreen zeinuei bakarrik eragingodio, baina minore ez nuluen orden maximoan (heina) ez du eraginik izango.

II) Egia. Linealki independenteak diren errenkada kopurua eta zutabe kopuruaberdina baita. At-an errenkadak zutabe bihurtu ditugu.

III) Gezurra. Adibidez:

A = B = 8 A + B =

hein (A) = hein (B) = 2 (|A | ? 0 eta |B | ? 0) eta hein (A + B) = 1.

IV) Gezurra. Adibidez: A 2 ordenako matrizea bada eta hein (A) = 2, A2 2ordenakoa izango da eta beraren heina: hein (A2) Ì 2. Baina, [hein (A)]2 == 22 = 4 (A2 2 ordenakoa bada ezin du 4 heina izan).

V) A n ordenako matrize karratua bada eta bere alderantzizkoa existitzen bada,orduan |A | ? 0 eta |A–1 | ? 0. Beraz, hein (A) = hein (A–1) = n. Orduan ber-dintasuna egia da.

)2 40 0()1 2

–2 –3()1 22 3(


3

s36 A matrize karratu bat da, A2 = A izanik. Egiaztatu det (A) = 0 edo det (A) = 1dela.

|A2 | = |A · A | = |A | · |A | = |A |2 = |A | 8 |A |2 – |A | = 0 8

8 |A | (|A | – 1) = 0

(|A · B | = |A | · |B | dela kontutan izan dugu).

s37 Idatzi A eta B é M 2 Ò 2 bi matrize, hau beteko dutenak:

a) det (A + B) ? det (A) + det (B)

b)det (A + B) = det (A) + det (B)

a) Adibidez: A = ; B = ; A + B =

|A | = 7; |B | = –11; |A + B | = 0 ≠ |A | + |B | = –4

b) Adibidez: A = ; B = ; A + B =

|A | = 0; |B | = 0; |A + B | = 0 = |A | + |B |

s38 Egiaztatu, determinantea garatu barik, honako hau:

= (a – b)3

* Egin c1 – c3 eta c2 – c3 . Horrela (a – b)2 faktore komuna aterako duzu. Gero,

egin c1 – 2c2 .

= =

= =(1)

(a – b)2 =(2)

= (a – b)2 = (a – b)2 (a + b – 2b) = (a – b)2 (a – b) = (a – b)3

(1) 1. eta 2. zutabetik biderkagai komuna atera.


|a + b b

2 1|

|a + b b b2

2 1 2b

0 0 1||(a + b) (a – b) b(a – b) b2

2(a – b) (a – b) 2b

0 0 1|

|a2 – b2 ab – b2 b2

2a – 2b a – b 2b

0 0 1|(1.a) – (3.a)

(2.a) – (3.a)

(3.a)

ZUTABEAK

|a2 ab b2

2a a + b 2b

1 1 1|

|a2 ab b2

2a a + b 2b

1 1 1|

SAKONTZEKO

)3 46 8()1 1

2 2()2 34 6(

)5 80 0()3 5

1 –2()2 3–1 2(

|A | = 0|A | = 1


39 Egiaztatu, garatu barik, honako hau:

=

* Bigarren atalean, biderkatu eta zatitu lehenengo errenkada a-rekin; bigarrena

b-rekin, eta hirugarrena, c-rekin.

Oharrean esaten dena eginez:

= = =

40 Egiaztatu honako hau: = (b – a) (c – a) (c – b)

* Determinante horri Vandermonde-rena esaten zaio. Egin c2 – c1 eta c3 – c1 . Atera

(b – a) faktore komuna 2. zutabetik, eta (c – a) faktorea, 3.etik.

= = =

= (b – a) (c – a) = (b – a) (c – a) (c + a – b – a) =

= (b – a) (c – a) (c – b)

s41 Zehaztu elementutzat zenbaki osoak dituzten, determinantea –1 duten etaalderantzizkoa eta iraulia berdinak dituzten 2 ordenako matrize karratuak.

* Egin A · At = I eta |A | = –1.

4 soluzio daude.

A = bada, orduan At = . At = A–1 bada, hauxe daukagu:

A · At = I 8 = = 8

a, b, c, d osoak direnez, bakarrik lau soluzio ditugu:

; ; ; )–1 00 1()1 0

0 –1()0 –1–1 0()1 0

0 1(

°§§¢§§£

a2 + b2 = 1

ac + bd = 0

ac + bd = 0

c2 + d2 = 1

)1 00 1()a2 + b2 ac + bd

ac + bd c2 + d2()a c

b d()a b

c d()a c

b d()a b

c d(

|1 0 0a 1 1a2 b + a c + a|

|1 0 0a (b – a) (c – a)a2 (b + a) (b – a) (c + a) (c – a)||1 0 0

a b – a c – aa2 b2 – a2 c2 – a2||1 1 1

a b c

a2 b2 c2|

|1 1 1a b c

a2 b2 c2||1 a2 a3

1 b2 b3

1 c2 c3||1 a2 a3

1 b2 b3

1 c2 c3|abc

abc|bca a2 a3

acb b2 b3

abc c2 c3|1

abc|bc a a2

ac b b2

ab c c2|

|bc a a2

ac b b2

ab c c2||1 a2 a3

1 b2 b3

1 c2 c3|


3

s42 Idatzi 3 errenkada eta 3 zutabe dituen matrize bat, 3 elementu nulu dituenaeta 2 ordenako bere minor bat ere nulua ez duena.

Adibidez:

? 0, ? 0, ? 0 eta ? 0 direlako.

43 Kalkulatu determinante hauen balioak:

a) b)

a) = =(1)

=

= =(1)

– =

= – =(2)

–(–2) = 2

(1) 1. zutabearekiko garatuko dugu.

(2) Matrize triangular baten determinantea da.

b) = =(1)

=

= =(2)

= 8



|2 1 0–1 1 10 –1 2

||2 1 0 0–1 1 1 00 –1 2 00 0 –1 1

|(1.a)

(2.a)

(3.a) – (4.a)

(4.a)

ERRENKADAK

|2 1 0 0–1 1 1 00 –1 1 10 0 –1 1

||1 1 0 0 00 2 1 0 00 –1 1 1 00 0 –1 1 10 0 0 –1 1

|(1.a)

(2.a) + (1.a)

(3.a)

(4.a)

(5.a)

ERRENKADAK

|1 1 0 0 0–1 1 1 0 00 –1 1 1 00 0 –1 1 10 0 0 –1 1

|

|1 1 10 2 10 0 –1|(1.a)

(2.a)

(3.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|1 1 10 2 11 1 0||–1 0 1 0

0 1 1 10 0 2 10 1 1 0

|(1.a)

(2.a) + (1.a)

(3.a) + (1.a)

(4.a)

ERRENKADAK

|–1 0 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 0

||1 1 0 0 10 –1 0 1 00 1 1 0 10 1 0 1 10 0 1 1 0

|(1.a)

(2.a) – (1.a)

(3.a)

(4.a)

(5.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|1 1 0 0 11 0 0 1 10 1 1 0 10 1 0 1 11 1 1 1 1

||1 1 0 0 0

–1 1 1 0 00 –1 1 1 00 0 –1 1 10 0 0 –1 1

||1 1 0 0 11 0 0 1 10 1 1 0 10 1 0 1 11 1 1 1 1

||1 1

1 0||1 10 1||0 1

1 1||0 11 0|

)0 1 11 0 11 1 0(


99. orrialdea

44 2 ordenako determinanteetan |A · B | = |A| · |B | dela frogatzeko egiaztapena:

|AB | = · = =

= + +

(1) (2)

+ +

(3) (4)

a) Egiaztatu (1) eta (4) determinanteak biak zero direla.

b) (2) eta (3)-n ate bij elementuak faktore komuntzat. |A| · |B | biderkadurarahelduko zara, egiaztatu nahi genuen bezala.

a) (1) = a11b11a21b12 – a11b12a21b11 = a11a21b11b12 – a11a21b11b12 = 0

(4) = a12b21a22b22 – a12b22a22b21 = a12a22b21b22 – a12a22b21b22 = 0

b) (2) = b11b22 = b11b22|A |

(3) = b21b12 = –b21b12 = –b21b12|A |

Orduan, hauxe daukagu:

|AB | = 0 + b11b22|A | – b21b12

|A | + 0 = |A | (b11b22 – b21b12) =

= |A | = |A | · |B |

45 Honako matrize hau izanda:

A =

a) Aurkitu A-ren elementuen adjuntuekin eratutako (Aij) matrizea.

b)Frogatu A · (Aij)t = dela.

c) Zer erlazio dago |A| eta |(Aij)|-ren artean?

)|A| 0 00 |A| 00 0 |A|(

)2 –1 03 0 42 1 1(

|b11 b12b21 b22

|

|a11 a12a21 a22

||a12 a11a22 a21

||a12b21 a11b12a22b21 a21b12|

|a11 a12a21 a22

||a11b11 a12b22a21b11 a22b22|

|a12b21 a12b22a22b21 a22b22|

|a11b11 a11b12a21b11 a21b12|

|a12 b21 a12 b22a22 b21 a22 b22||a12 b21 a11 b12

a22 b21 a21 b12|

|a11 b11 a12 b22a21 b11 a22 b22||a11 b11 a11 b12

a21 b11 a21 b12|

|a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22||)b11 b12

b21 b22()a11 a12

a21 a22(|


3

a) A = 8 A11 = = –4 A12 = – = 5 A13 = = 3

A21 = – = 1 A22 = = 2 A23 = – = –4

A31 = = –4 A32 = – = –8 A33 = = 3

(Aij) =

b) |A | = –8 – 8 + 3 = –13

A · (Aij)t = ·

t

= · =

= =

c) |(Aij)| = 169 = (–13)2 = |A | 2

46 A izan bedi 3 ordenako matrize karratu bat, |A| ? 0 izanik. Bilatu zer erlaziodagoen |A | eta |(Aij)|-ren artean.

Horretarako, kontuan hartu aurreko problemako b) atala, eta berdintza hau:

|A · B | = |A| · |B |

• Matrize bat eta bere irauliaren determinanteak berdinak dira:

|Aij| = |Aji

|

• Beste alde batetik, hauxe daukagu (A–1 dagoela suposatuko dugu):

A–1 = (Aji) 8 |A–1| = 3

· |Aji| = · |Aij

| = |A–1|

• Badakigu ere:

A · A–1 = I 8 |A| · |A–1| = | I | = 1 8 |A–1| =

• Aurreko bi berdinketak kontutan izanda, lortuko dugu:

= · |Aij| 8 |Aij

| = |A|2 (A 3 Ò 3 ordenakoa izanda)1

|A|3

1|A|

1|A|

1

|A|3)1|A|(1

|A|

)|A| 0 00 |A| 00 0 |A|()–13 0 0

0 –13 00 0 –13(

)–4 1 –45 2 –83 –4 3()2 –1 0

3 0 42 1 1()–4 5 3

1 2 –4–4 –8 3()2 –1 0

3 0 42 1 1(

)–4 5 31 2 –4–4 –8 3(

|2 –13 0||2 0

3 4||–1 00 4|

|2 –12 1||2 0

2 1||–1 01 1|

|3 02 1||3 4

2 1||0 41 1|)2 –1 0

3 0 42 1 1(


47 A matrizea n ordenako matrize karratu bat bada, eman |(Aij)|-ren balioa|A|-ren funtzioan.

Aurreko ariketan jarraitu dugun arrazonamendua aplikatuz, A n Ò n-koa izandalortuko dugu:

|A–1| = |Aij|

8 |Aij| = |A |n – 1

|A–1| =

AUTOEBALUAZIOA

1. Kalkulatu determinante honen balioa, emaitza faktorizatuta emanez:

=(1)

=(2)

(3 + 3x) =

= (3 + 3x) =(3)

= (3 + 3x) = (3 + 3x) (3 – x)3 = 3(1 + x) (x – 3)3

(1) 1. zutabea besteei batzen diegu.

(2) (3 + 3x) faktore komuna 1. zutabetik aterata.


|3 – x 0 00 3 – x 00 0 3 – x

||1 x x x

0 3 – x 0 00 0 3 – x 00 0 0 3 – x|(1.a)

(2.a) – (1.a)

(3.a) – (1.a)

(4.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|1 x x x

1 3 x x

1 x 3 x

1 x x 3||3 + 3x x x x

3 + 3x 3 x x

3 + 3x x 3 x

3 + 3x x x 3||3 x x x

x 3 x x

x x 3 x

x x x 3|

|3 x x x

x 3 x x

x x 3 x

x x x 3|

1|A |

1|A | n


3

°§§§¢§§§£

2. Kalkulatu honako matrize honen heina:

M =

a parametroaren balioen arabera.

|M | = = =(1)

= =(2)

=

= 4(1 + a) – 8(2a – 1) – 12(1 + a) + 16(1 + a) =

= 8(1 + a) – 8(2a – 1) = 16 – 8a = 0 8 a = 2


(2) 2. eta 3. errenkaden zeinua aldatu dugu.

• a = 2 bada 8 M = 8 = –15 ? 0 8 hein (M) = 3

• a ? 2 bada 8 hein (M ) = 4

3. Honako matrize hau dugu:

N =

Aztertu horren heina a parametroaren balioen arabera.

Lehenengo hiru errenkadek eta lehenengo hiru zutabeek osatutako determinantea 0egiten duten balioak bilatuko ditugu:

= (a + 1)3 + 1 + 1 – (a + 1) – (a + 1) – (a + 1) =

= (a + 1)3 – 3(a + 1) + 2 = a3 + 3a2 + 3a + 1 – 3a – 3 + 2 =

= a3 + 3a2 = 0 a = 0

a = –3

|a + 1 1 11 a + 1 11 1 a + 1

|

)a + 1 1 1 a

1 a + 1 1 a

1 1 a + 1 a(

|1 1 11 2 –32 –1 –1

|)1 1 1 21 2 –3 82 –1 –1 11 –1 1 –2

(

|1 –4 61 + a 1 + a 2a – 1

2 0 4||1 –4 6

–1 – a –1 – a 1 – 2a

–2 0 –4|

|1 1 1 20 1 –4 60 –1 – a –1 – a 1 – 2a

0 –2 0 –4|(1.a)

(2.a) – (1.a)

(3.a) – a · (1.a)

(4.a) – (1.a)

ERRENKADAK

|1 1 1 21 2 –3 8a –1 –1 11 –1 1 –2

|)1 1 1 2

1 2 –3 8a –1 –1 11 –1 1 –2

(


• a = 0 bada 8 N = 8 Hiru errenkadak berdinak direnez 8

8 hein (N ) = 1

• a = –3 bada 8 N =

0 ez den 3 ordenako minore bat bilatuko dugu:

=(1)

–3 = –3 · 9 = 27 ? 0 8 hein (N ) = 3

(1) 3. zutabetik –3 biderkagai komuna aterako dugu.

• a ? 0 bada 8 hein (N ) = 3

4. Egiaztatu honako hau, garapenik egin barik:

= 0

=(1)

+ =(2)

0 + 0 = 0

(1) Determinantea beste bi determinanteen baturan deskonposatzen dugu.

(2) Determinante bakoitzean bi errenkada berdin daude.

5. c1, c2, c3 lehenengo, bigarren eta hirugarren zutabeak dira 3 ordenako Amatrize batean, eta matrize horren determinanteak 6 balio du.

Kalkulatu, erabili dituzun propietateak zehaztuz:

a) |A3 | b) |A–1| c) |2A |

d)Zein den, lehenengo, bigarren eta hirugarren zutabeak, hurrenez hurren,3c1 – c3, 2c3 eta c2 dituen matrize karratu baten determinantea.

a) |A| = 6 denez 8 |A3| = |A · A · A| =(1)

|A|3 = 63 = 216

(1) Matrizeen biderkaduraren determinantea determinanteen biderkadura da.

b) Badakigu:

A · A–1 = I 8 |A · A–1| = |I | = 1 8 |A| · |A–1| = 1 8 |A–1| = = 1

6

1

|A|

|1 2 3 4a a a a

a a a a

5 6 7 8||1 2 3 4

1 2 3 4a a a a

5 6 7 8||1 2 3 4

1 + a 2 + a 3 + a 4 + aa a a a

5 6 7 8|

|1 2 3 41 + a 2 + a 3 + a 4 + a

a a a a

5 6 7 8|

|–2 1 11 –2 11 1 1

||–2 1 –31 –2 –31 1 –3

|

)–2 1 1 –31 –2 1 –31 1 –2 –3(

)1 1 1 01 1 1 01 1 1 0(


3

c) |2A| =(1)

23 |A| = 8 · 6 = 48

(1) 2A matrizea lortzeko A-ren elementu guztiak 2 zenbakiaz bidertu ditugu.Horregatik ahal dugu atera 2 biderkagai komuna errenkada bakoitzetik.

d) |3c1 – c2 2c3 c2| =(1)

2|3c1 – c2 c3 c2| =(2)

–2|3c1 – c2 c2 c3| =(3)

=(3)

–2|3c1 c2 c3| =(4)

–6|c1 c2 c3| = –6 · 6 = –36

(1) 2. zutabetik 2 biderkagai komuna atera dugu.

(2) 2. eta 3. zutabeak trukatzerakoan determinantea zeinuz aldatzen da.

(3) 1. zutabeari batzen badiogu 2.a, determinantea ez da aldatzen.

(4) 1. zutabetik 3 biderkagai komuna atera dugu.

6. A eta B ordena bereko bi matrize karratu badira, egiaztatzen da|A · B | = |B · A| dela?

Justifikatu eheintzuna, eta eman adibide bat.

|A · B | = |A | · |B | kontutan izango dugu. Orduan:

|A · B | = |A | · |B | =(*)

|B | · |A | = |B · A |. Beraz, berdinketa betetzen da.

(*) Nahiz eta matrizeen biderketa trukakorra ez den, zenbakien biderketa bai da trukakorra.

Adibidez:

A = , B =

|A · B | = –1 – 3 = –4

|B · A | = –16 + 12 = –4

Egiaztatu dugu |A · B | = |B · A | dela.

)3 –1–2 0()1 2

–1 0(


A · B = =

B · A = = )4 6–2 –4()1 2

–1 0()3 –1–2 0(

)–1 –1–3 1()3 –1

–2 0()1 2–1 0(

Documents

03_determinanteak_soluzioak