www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 1

อนุพันธ์ของฟังกชัน

ข้อตกลง ถ้า y = f(x) เป็นฟังก์ชันที่โดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจ านวนจริง และ

h

xfhxflim

0

x

หาค่าได้ เรียกค่าลิมิตที่ได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

f ที่ x เขียนแทดด้วย (x)f

ขยายความจากข้อตกลง สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของ f ที่ x ก็คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใด ๆ นั่นเอง (x)f ดังนั้น

h

xfhxflim

0

x

สัญลักษณ์ (x)f ยังมีสัญลักษณ์อ่ืน ๆ ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของ f ที่ x เช่น

dx

dy อ่านว่า ดีวายบายดีเอ็กซ์ หรือ dx

df(x) อ่านว่า ดีเอฟเอกซ์บายดีเอ็กซ์ หรือ y

ส าคัญห้ามเข้าใจผิดว่า dx

dy = x

y เนื่องจาก dx

dy เป็นอนุพันธ์ของ f ที่ x ไม่ได้หมายถึง

d คูณ y หารด้วย d คูณ x ดังนั้น dx

dy x

y น่ะครับ แล้ว (2)f จะหมายความว่า

อย่างไร

(2)f ก็คือ อนุพันธ์ของ f ที่ x เมื่อ x = 2 (หาอนุพันธ์ได้แล้วก็แทน x ลงไปด้วย 2 นั่นเอง)

หรือจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้ก็ได้ (2)f = h

f(2)h)f(2

2dx

dylim

0h

x

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 2

ตัวอย่างท่ี 1 ก าหนด y = f(x) = 3x + 1 จงหา (x)f ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………… ตัวอย่างท่ี 2 ก าหนด y = f(x) = 2x จงหา

dx

dy

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………

แบบฝึกความม่ันใจ 1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้โดยใช้บทนิยาม 1) f(x) = -4 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………… 2) f(x) = 3 2x - 5x + 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 3

3) f(x) = 1-x

1x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………… 4. ก าหนดให้ f(x) =

2x

1 จงหา (2)f

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยการใช้สูตร สูตรที่ 1 ถ้า y = f(x) = c เมื่อ c เป็นจ านวนจริงใด ๆ แล้ว จะได้

dx

dc = 0 (ดิฟค่าคงท่ีเท่ากับศูนย์)

เช่น y = 7 ดังนั้น dx

dy = )7(dx

d = 0

y = 4

3 ดังนั้น

dx

dy = )4

3(

dx

d = 0

สูตรที่ 2 ถ้า y = f(x) = x แล้ว จะได้ dx

dx = 1 (ดิฟตัวมันเองเทียบกับตัวมันเองได้ 1)

เช่น y = 1 ดังนั้น dx

dy = dx

dx = 1

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 4

สูตรที่ 3 ถ้า y = f(x) = nx แล้ว จะได้ 1nn nxxdx

d (แตะ n ลงมาข้างหน้าแล้วก าลังของ x ลดลง 1

( n-1) ) เช่น y = 5x ดังนั้น

dx

dy = 5xdx

d = 45x

y = 3x

1 ดังนั้น dx

dy = 3

dx

d x = 4-3x-

สูตรที่ 4 ถ้า y = f(x) = xcf เมื่อ c เป็นจ านวนจริงแล้ว จะได้ xcfdx

d = xfdx

dc

(ดิฟค่าคงท่ีของฟังก์ชัน = ค่าคงท่ีของดิฟ)

เช่น y = x2x

3

x 23

dx

dy =

xx

x 23

23dx

d

= x

dx

d2x

dx

d

3

x

dx

d 23

= xdx

dx

dx

d2

3

1 23 xdx

d

= 12x23x3

1 2

= 14xx2 สูตรที่ 5 ถ้า y = f(x) + g(x) แล้ว จะได้ xgxf

dx

d = xg

dx

dxf

dx

d

(ดิฟผลบวก = ผลบวกของดิฟ) เช่น y = 42 xx

dx

dy = 42 xxdx

d

= 42 xdx

dx

dx

d

= 34x2x

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 5

สูตรที่ 6 ถ้า y = f(x) - g(x) แล้ว จะได้ xg xfdx

d = xg

dx

d xf

dx

d

(ดิฟผลต่าง = ผลต่างของดิฟ) เช่น y = 3 xx

dx

dy = 3xxdx

d

= 3xdx

dx

dx

d

= 23x1 สูตรที่ 7 ถ้า y = f(x) . g(x) แล้ว จะได้

dx

dy = xfdx

dxg xg

dx

dxf

(ดิฟผลคูณ = หน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า) เช่น y =

5

43

423 x

xx

dx

dy =

5

4

x3xx

dx

d 423

= 2344

23 3xxdx

d5

4

x 5

4

x

dx

d3xx

= 6x3x54

x 3xx 2

4323

x

สูตรที่ 8 ถ้า y = xg

xf โดยที่ g(x) 0 แล้ว จะได้ dx

dy =

2xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

(ดิฟผลหาร = ล่างดิฟบนลบบนดิฟล่างส่วนล่างก าลังสอง) เช่น y =

12

12

x

x

dx

dy =

212x

12xdx

d12x 12x

dx

d12x

=

212x

0212x 0212x

=

212x

24x 24x

= 212x

4

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 6

แบบฝึกหัดเสริมความเข้าใจ 1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1. y = 15 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2. y = π …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3. y = 5x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4. y = x

2

1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. y = 5x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. y = 35x- …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. y = 4x

3

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 8. y =

8x

1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9. y = x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 10. y = 5 2x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 11. y =

3 2

1

x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ระดับ

คุณล าไย อิอ ิ

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 7

12. y = 4

1

x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 13. y =

x

x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 14. y =

3

7

x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 15. y = 3 2 x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 16. y = x5x- …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 17. y =

3 2x

6-

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 18. y = xx 512 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 19. 5x – y + 7 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

20. yyx

62

3 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ระดับต้อง

หยุดคิดสัก

หน่อย 555

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 8

21. y = xxx 243 34 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 22. y =

2

2

x

1 15 x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 23. y =

x

x 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 24. y = 94 33 4 xx …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 25. y = 622 xxx …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 26. y = 463 2 xxx …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

27. y = 2

23 745

x

xxx

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 9

28. y = 4

3

4

1

4

3

42

xx …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 29. y = xx3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 30. y =

2

11

xx

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 31. y = 212 x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 32. y = (5x - 3)(2x + 7) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 33. y = 4xx2x 23 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 34. y = 25x1x32x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 10

35. y = 13

13

x

x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 36. y =

xx

x

2

52

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 37. y = 14t

t

1

t

1 3

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

39. y = 1t

13t2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 11

2. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดที่ก าหนดให้ 1. f(x) = 4523 23 xxx ที่ x = 0 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. f(x) =

xx

12 ที่ x = 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. f(x) = 53

2

1

3

2 23 xxx ที่ x = 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. f(x) = 41 22 xx ที่ x = 2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. f(x) =

11

xx

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 12

อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ (ฟังก์ชันคอมโพสิท) เรียกว่า กฎลูกโซ่ (Chain rule) สูตร ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้มี f(x) แล้วฟังก์ชัน gof หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว xfxfgxgof '''

จากสูตรถ้า u = f(x), y = g(u) = g(f(x)) และ

du

dy , dx

du

dx

dy = du

dy . dx

du

เช่น y = 42 13 x ให้ u = 13 2 x y = 4u

du

dy = du

du4 = 4 3u

และ dx

du = dx

13xd 2 = 6x

dx

dy = du

dy . dx

du

= 4 6x13x32

= 32 13x24 x เพ่ือความสะดวกในการหาฟังก์ชันประกอบสามารถมองสูตรเป็น y = nu

dx

dy = dx

dunu 1-n

เช่น y = 42 13 x

dx

dy = 13xdx

d13x4 232

= 4 6x13x32

= 32 13x24 x

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 13

แบบฝึกหัดความเข้าใจ จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1. y = 42x3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. y = 72 43x x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3. y = 32 2 x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4. y = 3 2234 x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 5. y =

24

1

x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 14

6. y = 92

1

2 x

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 7. y = 32

21 xx …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 8. y = 32

2312 xx …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9. y = 4

12

21

x

x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 10. y =

2

32

43

32

x

x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….