5. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

Dalla geometria: angolo 𝛼 tra due segmenti con un estremità in comune

𝛼

Angolo 𝛼 in radianti: 𝛼 = 𝑙 𝑅

O A

P

𝑅

𝑙

𝛼 Valore dell’angolo indipendente dalla scelta del raggio 𝑅

Angolo giro = 2𝜋

Sono definiti angoli 𝛼 < 0 e 𝛼 > 2𝜋

Corrispondenza con gli angoli misurati in gradi sessagimali gradi: 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° radianti: 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 𝜋 3𝜋 2 2𝜋

1

2

Funzioni seno e coseno dalla rappresentazione cartesiana del punto

sin (𝛼) ≔ 𝑦 𝑅

cos (𝛼) ≔ 𝑥 𝑅

P=(𝑥, 𝑦)

O 𝑥 𝑅

𝑦

𝛼

−1 ≤ sin (𝛼) ≤ 1

−1 ≤ cos (𝛼) ≤ 1

(𝑅, 𝛼): coordinate polari del punto P

Dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane: 𝑥 = 𝑅 cos 𝛼, 𝑦 = 𝑅 sin 𝛼

Proprietà fondamentale delle funzioni trigonometriche: cos 𝛼 2 + sin𝛼 2 = 1 𝑅2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 cos 𝛼 2 + 𝑅2 sin 𝛼 2

Per fissato angolo 𝛼, data una funzione trigonometrica, risulta determinata il

valore assoluto dell’altra, ad esempio sin 𝛼 = 1 − cos𝛼 2

Il segno è determinabile secondo il quadrante: 1° quadrante: 0 ≤ 𝛼 < 𝜋 2, sin 𝛼, cos 𝛼 ≥ 0 2° quadrante: 𝜋 2 ≤ 𝛼 < 𝜋, sin 𝛼 ≥ 0, cos 𝛼 ≤ 0 3° quadrante: π ≤ 𝛼 < 3𝜋 2, sin 𝛼, cos 𝛼 ≤ 0

4° quadrante: 3𝜋 2 ≤ 𝛼 < 3𝜋, sin 𝛼 ≤ 0, cos 𝛼 ≥ 0

3

-1,25

-1

-0,75

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

sin𝛼

𝛼

cos 𝛼

𝜋 𝜋2 −𝜋

2 3𝜋2 2𝜋 5𝜋

2 3𝜋

Sono ambedue funzioni periodiche con periodo 2𝜋: ∀𝑛 ∈ ℤ: sin 𝛼 + 𝑛2𝜋 = sin𝛼 cos 𝛼 + 𝑛2𝜋 = cos 𝛼

4

Simmetria delle funzioni trigonometriche: 1) Riflessione del punto rispetto all’asse delle ascisse

sin −𝛼 = −sin𝛼 funzione dispari rispetto all’argomento

cos −𝛼 = cos 𝛼 funzione pari rispetto all’argomento

𝛼

−𝛼

2) Riflessione del punto rispetto all’asse delle ordinate

sin 𝜋 − 𝛼 = sin𝛼 cos 𝜋 − 𝛼 = −cos𝛼

𝛼

𝜋 − 𝛼

3) Rotazione di 𝜋 dell’argomento

sin 𝛼 + 𝜋 = −sin𝛼

cos 𝛼 + 𝜋 = −cos𝛼 𝛼 𝛼 + 𝜋

5

3) Riflessione rispetto alla bisettrice del primo quadrante

sin𝜋

2− 𝛼 = cos 𝛼

cos𝜋

2− 𝛼 = sin𝛼 𝛼

𝜋

2− 𝛼

6

Valori particolari delle funzioni trigonometriche

𝛼 = 𝜋 6 (30°)

𝛼

P

P’

O

𝑅 OPP’= triangolo equilatero: 𝑅 = 2𝑦 = 2𝑅 sin 𝜋 6

sin 𝜋 6 = 1 2

cos 𝜋 6 = 1 − cos 𝜋 6 2 = 3 2

𝛼 = 𝜋 6 (45°)

OPH= triangolo rettangolo isoscele: 𝑥 = 𝑦 = 𝑅 2 sin 𝜋 4 = cos 𝜋 4 = 1 2

𝛼

P

O

𝑅

H 𝛼 = 𝜋 3 (60°)

OPP’= triangolo equilatero: 𝑅 = 2𝑥 = 2𝑅 cos 𝜋 3

cos 𝜋 3 = 1 2

sin 𝜋 3 = 1 − sin 𝜋 3 2 = 3 2 𝛼

P

O

𝑅

P’

7

Definizione della funzione tangente di un angolo: ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝛼 ≠ 2𝑛 + 1 𝜋 2 , tan𝛼 ≔ sin 𝛼 cos 𝛼

Proprietà di simmetria: Spesso viene indicata con il simbolo tg𝛼

tan −𝛼 =sin −𝛼

cos −𝛼=−sin 𝛼

cos 𝛼= − tan𝛼

tan 𝜋 − 𝛼 =sin 𝜋 − 𝛼

cos 𝜋 − 𝛼=

sin 𝛼

−cos 𝛼= − tan𝛼

tan 𝛼 + 𝜋 =sin 𝛼 + 𝜋

cos 𝛼 + 𝜋=−sin 𝛼

−cos 𝛼= tan𝛼

La funzione tangente è periodica con periodo 𝜋!

tan 𝜋2−𝛼 =

sin 𝜋2 − 𝛼

cos 𝜋2 − 𝛼

=cos𝛼

sin𝛼=

1

tan𝛼

8

Noto il valore di una delle tre funzioni trigonometriche sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan𝛼 in un dato quadrante, si può calcolare il valore delle altre due. Ad esempio, noto che 𝑎 = tan𝛼

𝑎 = sin 𝛼 cos𝛼 𝑎2 cos 𝛼 2 = sin𝛼 2 = 1 − cos𝛼 2

cos 𝛼 2 =1

1 + 𝑎2 |cos 𝛼| =

1

1 + 𝑎2=

1

1 + tan𝛼 2

-6

-4

-2

0

2

4

6

-1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 𝛼

tan𝛼

−𝜋2

𝜋2

9

Esercizio: risolvere l’equazione tan 𝑥 = − 3 e calcolare i corrispondenti valori delle funzioni seno e coseno

−𝜋 2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 : tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥= − 3 ⇒ sin 𝑥 = − 3 cos 𝑥

sin 𝑥 2 = 1 − cos 𝑥 2 = 3 cos 𝑥 2 ⇒ cos 𝑥 2 = 1 4 ⇒ cos 𝑥 = 1 2 ⇒ 𝑥 = −𝜋/3

𝑥 + 𝜋

𝑥 Periodicità secondo 𝜋: 𝑥 = −𝜋 3 + 𝑛𝜋 ∀𝑛 ∈ ℤ

𝑛 = pari: 𝑥 = −𝜋 3 + 2𝑚𝜋 ∀𝑚 ∈ ℤ

sin 𝑥 = sin −𝜋 3 = − 3 2 cos 𝑥 = 1 2

𝑛 = dispari: 𝑥 = −𝜋 3 + (2𝑚 + 1)𝜋 ∀𝑚 ∈ ℤ

sin 𝑥 = sin 2 𝜋 3 = 3 2 cos 𝑥 = cos 2𝜋 3 = − 1 2

10

Addizione e sottrazione negli argomenti delle funzioni trigonometriche, relazione fondamentale:

cos 𝛼 − 𝛽 = cos𝛼 cos 𝛽 + sin𝛼 sin𝛽

A

𝛽

𝑅

𝛼 𝛼 − 𝛽

B

C

D Dimostrazione: per 𝛼 > 𝛽

A: 𝑅, 0 B: 𝑅 cos 𝛼 − 𝛽 , 𝑅 sin 𝛼 − 𝛽 C: 𝑅 cos 𝛽 , 𝑅 sin𝛽 D: 𝑅 cos𝛼 , 𝑅 sin 𝛼

Distanza tra i punti A e B: 𝑑𝐴𝐵

𝑑𝐴𝐵2 = 𝑅 cos 𝛼 − 𝛽 − 𝑅 2 + 𝑅 sin 𝛼 − 𝛽 2

= 𝑅2 2 − 2 cos 𝛼 − 𝛽

Distanza tra i punti C e D: 𝑑𝐶𝐷

𝑑𝐶𝐷2 = 𝑅 cos𝛼 − 𝑅 cos𝛽 2 + 𝑅 sin𝛼 − sin𝛽 2

= 𝑅2 2 − 2 cos 𝛼 cos 𝛽 − 2 sin𝛼 sin𝛽

La relazione fondamentale si deduce dall’uguaglianza 𝑑𝐴𝐵 = 𝑑𝐶𝐷 delle due distanze che sono sottese da uno stesso angolo.

La relazione è valida anche per 𝛼 < 𝛽 poiché, per simmetria: cos 𝛼 − 𝛽 = cos 𝛽 − 𝛼

11

cos 𝛼 − 𝛽 = cos𝛼 cos 𝛽 + sin𝛼 sin𝛽

Dalle proprietà di simmetria delle funzioni trigonometriche le altre relazioni per l’addizione/sottrazione degli argomenti:

cos 𝛼 + 𝛽 = cos 𝛼 − (−𝛽) = cos 𝛼 cos −𝛽 + sin𝛼 sin −𝛽 = = cos𝛼 cos 𝛽 − sin𝛼 sin𝛽

sin 𝛼 + 𝛽 = cos 𝜋 2 − (𝛼 + 𝛽) = cos (𝜋 2 − 𝛼) − 𝛽 = = cos (𝜋 2 − 𝛼) cos 𝛽 + sin (𝜋 2 − 𝛼) sin 𝛽 = = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin𝛽

sin 𝛼 − 𝛽 =sin 𝛼 + (−𝛽) = sin𝛼 cos −𝛽 + cos𝛼 sin −𝛽 = = sin𝛼 cos 𝛽 − cos𝛼 sin𝛽

12

Note le funzioni trigonometriche per alcuni valori dell’angolo, si possono calcolare le funzioni per altri angoli sfruttando le relazioni si somma/differenza degli argomenti.

Ad esempio si può raddoppiare l’angolo:

cos 2𝛼 = cos 𝛼 + 𝛼 = cos 𝛼 cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 = cos 𝛼 2 − sin𝛼 2 = = 2 cos 𝛼 2 − 1

sin 2𝛼 = sin 𝛼 + 𝛽 = sin𝛼 cos 𝛼 + cos 𝛼 sin 𝛼 = 2sin 𝛼 cos 𝛼

o dimezzare l’angolo: 𝛽 ≔ 2𝛼

cos 𝛽 = 2 cos 𝛽 2 2 − 1 ⇒ cos 𝛽 2 =1 + cos𝛽

2

sin𝛽 = 2 sin 𝛽 2 cos 𝛽 2 ⇒ sin 𝛽 2 =sin𝛽

2cos 𝛽 2

⇒ sin 𝛽 2 2 =sin𝛽 2

4 cos 𝛽 2 2=1 − cos𝛽 2

2 1 + cos𝛽=1 − cos𝛽

2

⇒ sin 𝛽 2 =1 − cos𝛽

2

13

Esercizio: calcolare il valore delle funzioni trigonometriche principali per 𝛼 = 𝜋 12 (15°) e β = 5𝜋 12 (75°)

𝛾 = 𝜋 6 30° : sin 𝛾 = 1 2 cos 𝛾 = 3 2

𝛼 = 𝛾 2 cos 𝛼 = cos 𝛾 2 =1 + cos 𝛾

2=

1 + 3 2

2=

2 + 3

2

sin 𝛼 = 1 − cos𝛼 2 = 1 −2 + 3

4=

2 − 3

2

tan𝛼 =sin𝛼

cos 𝛼=

2 − 3

2 + 3= 2 − 3

𝛽 =𝜋

2− 𝛼 cos 𝛽 = sin𝛼 =

2 − 3

2

sin𝛽 = cos 𝛼 =2 + 3

2

tan𝛽 =sin𝛽

cos 𝛽=cos 𝛼

sin𝛼=

1

tan𝛼=

1

2 − 3= 2 + 3

14

Rielaborando le relazioni per la somma/differenza degli angoli

cos 𝛼 − 𝛽 = cos𝛼 cos 𝛽 + sin𝛼 sin𝛽

cos 𝛼 + 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin𝛼 sin𝛽

sin 𝛼 + 𝛽 = sin𝛼 cos𝛽 + cos𝛼 sin𝛽

sin 𝛼 − 𝛽 = sin𝛼 cos𝛽 − cos𝛼 sin𝛽

si ottengono le relazioni per la somma/differenza tra le funzioni trigonometriche

𝑝 ≔ 𝛼 + 𝛽 𝑞 ≔ 𝛼 − 𝛽 ⇒ 𝛼 =𝑝 + 𝑞

2 𝛽 =

𝑝 − 𝑞

2

cos 𝑝 + cos 𝑞 = cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 = 2 cos 𝛼 cos 𝛽 = 2 cos𝑝 + 𝑞

2cos

𝑝 − 𝑞

2

cos 𝑝 − cos 𝑞 = cos 𝛼 + 𝛽 − cos 𝛼 − 𝛽 = −2 sin𝛼 sin𝛽 = −2 sin𝑝 + 𝑞

2sin

𝑝 − 𝑞

2

sin 𝑝 + sin 𝑞 = sin 𝛼 + 𝛽 + sin 𝛼 − 𝛽 = 2 sin𝛼 cos 𝛽 = 2 sin𝑝 + 𝑞

2cos

𝑝 − 𝑞

2

sin 𝑝 − sin 𝑞 = sin 𝛼 + 𝛽 − sin 𝛼 − 𝛽 = 2 cos 𝛼 sin𝛽 = 2 cos𝑝 + 𝑞

2sin

𝑝 − 𝑞

2