Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
สรปเนอหา
วชาคณตศาสตร
(O-Net)
รศ.ดร.กฤษณะ เนยมมณ
ผศ.ดร.ไพศาล นาคมหาชลาสนธ
ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
คณตศาสตร เซต 1
เซต
1. ความรพนฐานเกยวกบเซต
1. การเขยนเซต
1.1 แบบแจกแจงสมาชก เชน {1, 3, 5, 7, 9}
1.2 แบบบอกเงอนไข เชน { |x x เปนจานวนเตมบวกคทนอยกวา 10 }
เขยน x A∈ แทน “x เปนสมาชกของเซต A”
และเขยน x A∉ แทน “x ไมเปนสมาชกของเซต A”
2. เซตจากดและเซตอนนต
2.1 เซตจากด คอเซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนเตมบวกหรอศนย เชน { 3,1, 0,2}−
เขยนแทนจานวนสมาชกของ A ดวย ( )n A เชน ( ){ 3,1, 0,2} 4n − =
2.2 เซตอนนต คอเซตทไมใชเซตจากด เชน {1,2, 3, }…
3. เซตวางและเอกภพสมพทธ
3.1 เซตวาง คอเซตทไมสมาชกเลย เขยนแทนดวย φ หรอ { }
3.2 เอกภพสมพทธ คอเซตทกาหนดขนโดยมขอตกลงวาจะไมกลาวถงสงใดนอกเหนอไปจาก
สมาชกของเซตทกาหนดขน มกเขยนแทนเอกภพสมพทธดวย U
2. ความสมพนธระหวางเซต
1. สบเซต
A เปนสบเซตของ B กตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B และเขยนแทนดวย A B⊂
2. การเทากนของเซต
A B= กตอเมอ 1. สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B และ
2. สมาชกทกตวของ B เปนสมาชกของ A
นนคอ A B= กตอเมอ A B⊂ และ B A⊂
2 เซต คณตศาสตร
ขอสงเกต สาหรบเซต A ใดๆ
1. Aφ ⊂
2. A A⊂
3. A U⊂
4. เรยกสบเซตของ A ทไมเทากบ A วา สบเซตแทของ A
5. ถา A เปนเซตจากด และ ( )n A m= แลว A จะมสบเซตแตกตางกนทงหมด 2m สบเซต
3. เพาเวอรเซต
เพาเวอรเซตของ A เขยนแทนดวยสญลกษณ ( )P A นยามโดย
{ }( ) |P A B B A= ⊂
ตวอยาง กาหนด { }1,2, 3A = จงหา ( )P A
วธทา { }( ) ,{1},{2},{3},{1,2},{1, 3},{2, 3},{1,2, 3}P A φ=
ขอสงเกต สาหรบเซต A ใดๆ
1. ( )P A คอเซตทประกอบดวยสบเซตทงหมดของ A
2. ถา A เปนเซตจากดแลว ( )( ( )) 2n An P A =
3. ( )P Aφ ∈ และ ( )A P A∈
4. ถา A B⊂ แลว ( ) ( )P A P B⊂
5. ( )( ) ( )P A P B P A B∪ ⊂ ∪
6. ( )( ) ( )P A P B P A B∩ = ∩
4. การดาเนนการของเซต
1. อนเตอรเซกชน { |A B x x A∩ = ∈ และ }x B∈
2. ยเนยน { |A B x x A∪ = ∈ หรอ }x B∈
3. คอมพลเมนท { | }A x x A′ = ∉
4. ผลตาง { |A B x x A− = ∈ และ }x B∉
คณตศาสตร เซต 3
ขอสงเกต สาหรบเซต A, B และ C ใดๆ
1. A A A∪ = A A A∩ =
2. A B B A∪ = ∪ A B B A∩ = ∩
3. ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
4. ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
5. ( )A B A B′ ′ ′∪ = ∩ ( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪
6. ( )A A′′ =
7. Uφ′ = U φ′ =
8. A A
A A
φ
φ
∪ =
− =
A
A
φ φ
φ φ
∩ =
− =
9. U A U
U A A
∪ =
′− =
U A A
A U φ
∩ =
− =
10. A A U′∪ = A A φ′∩ =
11. A B A B ′− = ∩
12. ถา A B⊂ แลว B A′ ′⊂
4 จานวนจรง คณตศาสตร
จานวนจรง
1. ผงแสดงความสมพนธของระบบจานวน
2. สมบตของอสมการ
1. ถา a b< และ b c< แลว a c<
2. ถา a b< แลว a c b c+ < +
3. ถา a b< และ 0c > แลว ac bc<
4. ถา a b< และ 0c < แลว ac bc>
5. ถา a b< และ c d< แลว a c b d+ < +
6. ถา 0 a b< < และ 0 c d< < แลว 0 ac bd< <
7. ถา 0 a b< < แลว 1 1
0b a
< <
จานวนจรง ( )
จานวนอตรรกยะ ( )′ จานวนตรรกยะ ( )
จานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม (I )′ จานวนเตม (I)
จานวนเตมลบ (I )− จานวนเตมบวก (I )
+
หรอจานวนนบ ( )
จานวนเตมศนย ({0})
คณตศาสตร จานวนจรง 5
3. คาสมบรณและสมบตของคาสมบรณ
0
0
a aa
a a
≥⎧⎪⎪= ⎨− <⎪⎪⎩
สาหรบจานวนจรง a ใดๆ
1. 2a a=
2. 0a ≥
3. a a= −
4. ab a b=
5. a ab b
=
6. 22a a=
7. a b a b+ ≤ +
8. ถา 0a > แลว
8.1 x a< กตอเมอ a x a− < <
8.2 x a≤ กตอเมอ a x a− ≤ ≤
8.3 x a> กตอเมอ x a<− หรอ x a>
8.4 x a≥ กตอเมอ x a≤− หรอ x a≥
4. การแกอสมการทแยกตวประกอบได
1. ถาจะคณทงสองขางของอสมการดวยคาคงตวหรอนพจน จะตองตรวจสอบวาคาคงตวหรอนพจน
นนมคาเปนบวกหรอลบอยางใดอยางหนงและอาจตองเปลยนเครองหมายอสมการใหเหมาะสม
2. พยายามจดใหขางหนงของอสมการเปน 0 แลวจงแยกตวประกอบ
3. เนองจากจานวนจรงทยกกาลงดวยเลขคจะมเครองหมายคงเดม และจานวนจรงทยกกาลงคจะมคา
เปนศนยหรอบวกเทานน จงสามารถพจารณาอสมการทแยกตวประกอบแลวบางวงเลบมเลขยกกาลงไดดงน
3.1 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหแกอสมการเสมอนหนงวาวงเลบนนยกกาลงหนง
3.2 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหตดวงเลบนนออกไปจากการพจารณากอน แตเมอได
คาตอบแลว จะตองพจารณาอกครงวาวงเลบทตดออกไปกอนนนมผลตอเซตคาตอบหรอไม แลวจงปรบ
คาตอบใหถกตอง
เมอ
เมอ
6 ความสมพนธและฟงกชน คณตศาสตร
ความสมพนธและฟงกชน
1. ผลคณคารทเชยน
กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยน (Cartesian product) ของ A และ B คอ
{( , ) |A B a b a A× = ∈ และ }b B∈
ขอสงเกต โดยทวไปแลว A B B A× ≠ × แต ( ) ( ) ( ) ( )n A B n B A n A n B× = × =
2. ความสมพนธ
ความสมพนธจาก A ไป B คอ สบเซตของ A B×
ขอสงเกต
1. ถา A และ B เปนเซตจากดแลวจานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B คอ ( ) ( )
2n A n B
2. φ เปนความสมพนธเสมอ
3. โดเมนและเรนจ
1. โดเมน (Domain)
โดเมนของความสมพนธ r คอ { |rD x A= ∈ ม y B∈ ททาให ( , ) }x y r∈
2. เรนจ (Range)
เรนจของความสมพนธ r คอ { |rR y B= ∈ ม x A∈ ททาให ( , ) }x y r∈
ขอสงเกต
1. เราอาจมองอยางงายๆ ไดวา rD กคอเซตของสมาชกตาแหนงแรกของ r และ rR กคอเซตของ
สมาชกตาแหนงหลงของ r
2. ในการหา rD นน เราจะเขยนสมการในรป ( )y f x= แลวพจารณาคา x ทเปนไปไดทงหมด
3. ในการหา rR นน เราจะเขยนสมการในรป ( )x g y= แลวพจารณาคา y ทเปนไปไดทงหมด
4. ฟงกชน
เรยกความสมพนธ r วาเปนฟงกชน กตอเมอ ทกคลาดบในความสมพนธนนไมมสมาชกตาแหนง
แรกซากน
คณตศาสตร ความสมพนธและฟงกชน 7
5. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคอฟงกชนทอยในรป xy a= เมอ 0 1a< < หรอ 1a >
ขอสงเกต
1. กราฟของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลผานจด (0,1) เสมอ
2. 1 1
ontoexp :
− +→ นนคอ expD = และ expR +=
3. 0xa > เสมอ (เมอ 0a > )
4. ถา 1a > แลว xa จะเปนฟงกชนเพม นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x<
5. ถา 0 1a< < แลว xa จะเปนฟงกชนลด นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x>
-2 -1 1 2x
1
2
3
4
y
-2 -1 1 2x
1
2
3
4
y
1
xy a
a
=
> 0 1
xy a
a
=
< <
8 ลาดบและอนกรม คณตศาสตร
ลาดบและอนกรม
1. ลาดบ
ลาดบเปนชดของตวเลขทเขยนเรยงตอกนอยางมลาดบ ซงอาจมจานวนพจนเปนจานวนจากดหรออาจ
มจานวนพจนเปนอนนตกได
ลาดบจากดทม n พจนจะอยในรป 1 2 3, , , , na a a a…
2. อนกรม
ให na เปนพจนท n ของลาดบหนง
ลาดบของผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ na คอ
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2n n
S a
S a a
S a a a
S a a a
=
= +
= + +
= + + +
อนกรมอนนตของลาดบอนนต na คอ 1 2 nS a a a= + + + +… เมอผลบวกมคา
ขอสงเกต 1n n na S S −= −
3. ลาดบเลขคณตและอนกรมเลขคณต
ลาดบเลขคณต คอลาดบซง 1n na a+ − เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n
เรยก 1n nd a a+= − ซงเปนคาคงตววา ผลตางรวม
พจนท n ของลาดบเลขคณตคอ ( )1 1na a n d= + −
ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ]1 12 ( 1)2 2n n
n nS a n d a a= + − = +
ตวอยาง ให 3,1, 5, 9,− … เปนลาดบเลขคณต จงหาพจนท n และผลบวก n พจนแรก
วธทา ผลตางรวม ( )1 3 4d = − − = ดงนน ( ) ( )1 1 3 1 (4) 4 7na a n d n n= + − = − + − = −
ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ] ( )12 ( 1) 2( 3) ( 1)4 2 52 2n
n nS a n d n n n= + − = − + − = −
คณตศาสตร ลาดบและอนกรม 9
4. ลาดบเรขาคณตและอนกรมเรขาคณต
ลาดบเรขาคณต คอลาดบซง 1n
n
a
a+
เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n
เรยก 1n
n
ar
a+= ซงเปนคาคงตววา อตราสวนรวม
พจนท n ของลาดบเรขาคณตคอ 1
1n
na a r −=
ผลบวก n พจนแรกคอ ( )1 1
1
n
n
a rS
r
−=
− เมอ 1r ≠
10 ความนาจะเปน คณตศาสตร
ความนาจะเปน
1. กฎการนบเบองตน
1. กฎการคณ
การทางานอยางหนงแบงเปน k ขนตอนยอย ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ
จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 3 kn n n n วธ
2. กฎการบวก
การทางานอยางหนงแบงเปน k กรณยอยทไมซากน ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ
จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 kn n n+ + + วธ
2. แฟกทอเรยล (Factorial)
0! 1= และ ! ( 1)( 2) 2 1n n n n= − − ⋅ เมอ 1n ≥
ขอสงเกต ( )!
( 1)( 2) ( )!
n mn n n n m
n+
+ + + =
3. ความนาจะเปน
1. การทดลองสม คอการทดลองซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกผล
การทดลองในแตละครงไดอยางถกตองแนนอน
2. แซมเปลสเปซ (sample space) คอเซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม
3. เหตการณ (event) คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ
ถา S เปนเซมเปลสเปซซงประกอบดวยสมาชกทมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน แลวความนาจะเปน
ของเหตการณ E คอ ( )
( )( )
n EP E
n S=
คณตศาสตร ความนาจะเปน 11
ขอสงเกต
1. 0 ( ) 1P E≤ ≤ สาหรบเหตการณ E ใดๆ
2. ( ) 0P φ = และ ( ) 1P S =
3. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
ในกรณท A และ B เปนเหตการณทไมเกดรวมกน จะได ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +
4. ถา A และ B เปนเหตการณทอสระตอกนแลว ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =
เหตการณจะเปนอสระตอกน เมอการเกดของเหตการณหนงไมมผลกระทบถงอกการเกด
ของอกเหตการณหนง
5. ถา A′ เปนคอมพลเมนตของ A จะได ( ) 1 ( )P A P A′ = −
12 สถต คณตศาสตร
สถต
1. การวดคากลางของขอมล
ลาดบ คากลาง สตร ขอสงเกต
1.
คาเฉลยเลขคณต
(arithmetic mean)
หรอ x 1
1 N
ii
x xN =
= ∑
1. 1
N
ii
x Nx=
=∑
2. 1
( ) 0N
ii
x x=
− =∑
3. 2
1
( )N
ii
x a=
−∑ นอยทสดเมอ a x=
4. ถา i iy ax b= + แลว y ax b= +
5. min maxx x x≤ ≤
2. มธยฐาน
(median)
หรอ Me
Me = คาของขอมล
ตาแหนงตรงกลางเมอ
เรยงลาดบขอมลแลว
a Me= ทาให 1
N
ii
x a=
−∑ นอยทสด
3. ฐานนยม (mode)
หรอ Mo
Mo = คาของขอมล
ทมความถมากทสด
1. ในกรณทมขอมลมการแจกแจงความถ
อนตรภาคชนของทกชนตองเทากน
2. ขอมลคณภาพนยมหาคากลางโดยวธน
4.
คาเฉลยเรขาคณต
(geometric mean)
หรอ G.M.
1 2. . NNG M x x x=
1. ขอมล 1 2, , , Nx x x… ตองทาให
1 2N
Nx x x มความหมาย
2. 1
1log . . log
N
ii
G M xN =
= ∑
เมอ 0ix >
5.
คาเฉลยฮารโมนก
(harmonic mean)
หรอ H.M. 1
. .1N
i i
NH M
x=
=
∑ H.M. = สวนกลบของคาเฉลยเลขคณต
ของสวนกลบของขอมลแตละตว
6. กงกลางพสย
(mid range)
หรอ M.R.
min max. .2
x xM R
+=
ถาขอมลอยในรปอนตรภาคชนเปด
จะหาคากลางแบบนไมได
คณตศาสตร สถต 13
ในกรณทขอมลมการแจกแจงความถ ใหถวงนาหนกดวยความถของขอมลแตละตวตามความ
เหมาะสม ยกเวนมธยฐานทใหคานวณตามสตรตอไปน
1
1 2
dMo L I
d d
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠
เมอ L = ขดจากดลางของชนทมความถสงสด
I = ความกวางของชนทมความถสงสด
1d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทตากวาหนงชน
2d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทสงกวาหนงชน
ขอสงเกต ถาขอมลทกตวมคาบวกแลว . . . .x G M H M≥ ≥
2. หลกเกณฑสาคญในการใชคากลางชนดตางๆ
1. คาเฉลยเลขคณตเปนคากลางทไดจากการนาทกๆ คาของขอมลมาเฉลย แตมธยฐานและฐานนยม
เปนเพยงคากลางทใชตาแหนงท (position) ของขอมลบางคาเทานน
2. ถาในจานวนขอมลทงหมดมขอมลบางคาทมคาสงหรอตากวาขอมลอนๆ มาก จะมผลกระทบ
กระเทอนตอการหาคากลางโดยใชคาเฉลยเลขคณต กลาวคออาจจะทาใหคากลางทไดมคาสงหรอตากวา
ขอมลทมอยสวนใหญ แตจะไมมผลกระทบกระเทอนตอการหาคากลางโดยใชมธยฐานหรอฐานนยม
3. มธยฐานและฐานนยมใชเพอตองการทราบคากลางของขอมลทงหมดโดยประมาณและรวดเรว
ทงนเนองจากการหามธยฐานและฐานนยมบางวธไมจาเปนตองมการคานวณซงอาจใชเวลามาก
4. ถาการแจกแจงความถของขอมลประกอบดวยอนตรภาคชนทมชวงปด อาจเปนชนตาสดหรอชน
สงสดคชนใดชนหนงหรอทงสองชน การหาคากลางโดยใชคาเฉลยเลขคณตไมสามารถหาได แตสามารถ
หามธยฐานหรอฐานนยมได
5. การแจกแจงความถของขอมลทมความกวางของแตละอนตรภาคชนไมเทากน อาจจะมผลทาใหคา
กลางทหาไดโดยใชคาเฉลยเลขคณตหรอฐานนยมคลาดเคลอนไปจากทควรจะเปนไดบาง แตจะไมม
ผลกระทบกระเทอนตอการหามธยฐาน
6. ในกรณทขอมลเปนประเภทขอมลคณภาพ (qualitative data) จะสามารถหาคากลางไดเฉพาะ
ฐานนยมเทานน แตไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณตหรอมธยฐาน
14 สถต คณตศาสตร
7. ความสมพนธของ x , Me, Mo
โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย
x Me Mo= = x
Mo Me x< <
x Me Mo< <
3. ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล
ให L = ขดจากดลางของชนทคาสถตนนอย
I = ความกวางของชนทคาสถตนนอย
Lf∑ = เปนความถสะสมกอนชนทคาสถตชนอย
if = ความถของชนทคาสถตนนอย
คาสถต ความหมาย ขอมลทไมแจกแจงความถ ขอมลทแจกแจงความถ
มธยฐาน
(Median)
จดทแบงขอมล
ออกเปน2 สวน
เทาๆ กน
ตาแหนงของ Me
คอ 1
2N +
ตาแหนงของ Me คอ 2N
2 L
i
Nf
Med L If
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∑
ควอรไทล
(Quartile)
จดทแบงขอมล
ออกเปน4 สวน
เทาๆ กน
ตาแหนงของ kQ
คอ ( 1)
4N k+
ตาแหนงของ kQ คอ 4
kN
4 L
ki
kNf
Q L If
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∑
เดไซล
(Decile)
จดทแบงขอมล
ออกเปน10 สวน
เทาๆ กน
ตาแหนงของ kD
คอ ( 1)
10N k+
ตาแหนงของ kD คอ 10kN
10 L
ki
kNf
D L If
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∑
เปอรเซนไทล
(Percentile)
จดทแบงขอมล
ออกเปน 100
สวนเทาๆ กน
ตาแหนงของ kP
คอ ( 1)
100N k+
ตาแหนงของ kP คอ 100kN
100 L
ki
kNf
P L If
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∑
คณตศาสตร สถต 15
4. การวดการกระจายของขอมล
1. การวดการกระจายสมบรณ
1.1 พสย (Range) max minx x= −
1.2 สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) 3 1
2Q Q−
=
1.3 สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.) 1
N
ii
x x
N=
−=∑
1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (s)
2
1
( )N
ii
x x
N=
−=
∑
ความแปรปรวน (variance) 2s=
ขอสงเกต
1. ถามขอมล m ชด และ 1 2 mx x x= = = แลว
2 2 22 1 1 2 2
1 2
m m
m
N s N s N ss
N N N+ + +
=+ + +รวม
2. ถา i iy ax b= + แลว y ax b= + และ y xs a s=
2. การวดการกระจายสมพทธ
1. สมประสทธของพสย max min
max min
x xx x
−=
+
2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล 3 1
3 1
Q QQ Q
−=
+
3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย . .M Dx
=
4. สมประสทธของสวนเบยงเบนมาตรฐาน sx
=
16 ขอสอบวชาคณตศาสตร 2 (มนาคม 2548) คณตศาสตร
ขอสอบวชาคณตศาสตร 2 (มนาคม 2548) ตอนท 1 ขอ 1-5 ขอละ 2 คะแนน ขอ 6-10 ขอละ 3 คะแนน
1. ถา { } { } { }{ }, 0,1, 1 , 1,2 , 3A = ∅ และ ( )P A เปนเพาเวอรเซตของ A แลว
จานวนสมาชกของเซต ( )P A A− เทากบเทาใด
2. ถา 2( ) 2 1f x x x= − + และ
2( )( ) 2 6g f x x x= − + แลว ( )(6)f g เทากบเทาใด
3. กาหนดให 1l เปนเสนตรงซงผานจด ( )2, 3− และ ( )1, 7 ถา 2l เปนเสนตรงซงผานจด ( )3, 2−
และขนานกบ 1l แลว ระยะหางระหวาง 1l และ 2l เทากบกหนวย
4. กาหนดให
2 1
1
xA
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
และ 1
1
x xB
x x
⎡ − − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
ถา ( )det 2 28A = แลว ( )1det AB− เทากบเทาใด
5. ให 1 2 10, , ,x x x… เปนขอมลชดหนง ซง 10
1
30ii
x=
=∑ ถา 10
2
1
340ii
x=
=∑ และ คามาตรฐานของ 5x
เทากบ 0.40 แลว 5x มคาเทากบเทาใด
6. กาหนดให P เปนจดศนยกลางของวงกลม 2 2 4 6 12 0x y x y+ − + − = 1l เปนเสนตรง
ซงผานจด P และ จด ( )1,1− 2l เปนเสนตรงซงตงฉากกบ 1l และผานจด ( )5, 6
ถา 2l มสมการเปน 3 0x by c+ + = แลว b c+ มคาเทากบเทาใด
7. ถา 2 2( ) ( 4 5)f x x x= − − และ A เปนเซตคาตอบของอสมการ ( ) 0f x′ < แลว
[ ]5,10A∩ − มสมาชกทเปนจานวนเตมทงหมดกจานวน
8. ถา A และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 3 2
2 14
x−− < ≤ และ
40
5xx+
<−
ตามลาดบ
แลว ผลบวกของสมาชกทเปนจานวนเตมทงหมดของ A B∪ เทากบเทาใด
9. ถา { },a b เปนเซตคาตอบของสมการ ( )2 22 9 2 2x x+ − = − โดยท a b< แลว 2 2
2log 4a b+
เทากบเทาใด
10. ในการสอบครงหนง มขอสอบทงหมด 12 ขอ นกเรยนตองทาขอสอบรวม 8 ขอ โดยตองเลอกทา
อยางนอย 3 ขอจากขอ 1 ถง 6 และเลอกทาอยางนอย 3 ขอ จากขอ 7 ถงขอ 12 จานวนวธทงหมดท
นกเรยนจะสามารถเลอกทาขอสอบเทากบเทาใด
คณตศาสตร ขอสอบวชาคณตศาสตร 2 (มนาคม 2548) 17
ตอนท 2 ขอละ 3 คะแนน
1. นกเรยนชนมธยมปท 4 ของโรงเรยนแหงหนงม 400 คน ในจานวนน มผลงทะเบยนเรยนวชา
คณตศาสตร 225 คน และลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษ 240 คน ถามนกเรยนทไมลงทะเบยน
เรยนวชาคณตศาสตร และไมลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษ 50 คน แลวจานวนนกเรยนท
ลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตรและไมลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษเทากบเทาใดตอไปน
1. 110 คน 2. 115 คน 3. 120 คน 4. 125 คน
2. ถา { } { }24, 3, 2, 1, 0,1,2, 3 , ( , ) | 1A r x y A A y x= − − − − = ∈ × = + และ
{ }( , ) |s x y A A y x= ∈ × = แลว จานวนสมาชกของเซต s rR D− เทากบขอใดตอไปน
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
3. ถา ( ) 1f x x= − และ 2( ) 32g x x= − แลว จานวนสมาฃกทเปนจานวนเตมของ f gR D∩
เทากบขอใดตอไปน
1. 4 2. 5 3. 6 4. 7
4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง ซง 0a > ถาเซตคาตอบของอสมการ 9ax b+ < คอ
ชวงเปด 10 8
,3 3
⎛− ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ แลว a b+ เทากบขอใดตอไปน
1. 3 2. 4 3. 5 4. 6
5. เอกภพสมพทธ U ในขอใด ททาใหขอความ [ ]8(4 ) 16x xx∀ ≥ มคาความจรงเปนจรง
1. [ 20, 0)= −U 2. [ 15, 5)= −U 3. [ 10,10)= −U 4. [ 5,15)= −U
6. พจารณาขอความตอไปน
ก. ถาประพจน ( )[ ]A X Y X→ ∧ → มคาความจรงเปนเทจ
แลวประพจน ( )A Y X∨ → มคาความจรงเปนจรง
ข. ถาเอกภพสมพทธคอชวง ( )1, 0− แลวขอความ 2x x x⎡ ⎤∀ − >⎣ ⎦ มคาความจรงเปนจรง
ขอใดตอไปนถก
1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด
3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด
7. ถา S เปนเซตคาตอบของอสมการ tan 2 sin 0x x+ = โดยท 0 2x π≤ ≤ แลว
ผลบวกของสมาชกในเซต S เทากบขอใดตอไปน
1. 3π 2. 4π 3. 5π 4. 6π
18 ขอสอบวชาคณตศาสตร 2 (มนาคม 2548) คณตศาสตร
8. ถา x เปนจานวนจรงในชวง 0,2π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
ซงสอดคลองกบสมการ 2 sin 2 cot2 cosec2 0x x x− − =
แลว 2 2sin 4 cosx x+ เทากบขอใดตอไปน
1. 12
2. 34
3. 43
4. 32
9. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม ˆABC เปนมมฉาก และมม ˆACB เทากบ 6π
ถา D เปนจดบนดาน BC ซง AD:AC=3:4 และมม ˆADC เทากบ θ
แลว 2cos θ มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 13
2. 23
3. 49
4. 59
10. กาหนดใหวงร 2 24 9 36x y+ = มจด ( , )s t เปนจดโฟกสซง 0s < ถาวงกลม
2 2 4x kx y my+ + + = มจด ( , )s t เปนจดศนยกลาง แลวรศมของวงกลมวงนเทากบขอใด
ตอไปน
1. 2 หนวย 2. 3 หนวย 3. 2 5 หนวย 4. 3 5 หนวย
11. ถา 2 2 12 0kx ly− − = เปนสมการของไฮเพอรโบลาทมจด ( )5, 0 และ ( )5, 0− เปนโฟกส
และความยาวของแกนตามขวางเทากบ 6 หนวย แลว 3 4k l+ เทากบขอใดตอไปน
1. 7 2. 8 3. 9 4. 10
12. ถา x เปนจานวนจรงซง ( ) ( )( ) ( )4 2 2 42 3 3 2 3 2 0x x x x− − =
แลว ( )2log 2 7x + เทากบขอใดตอไปน
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
13. ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ ( )2 22 2log log ( )x x≤ ถา a และ b เปนสมาชกทมคานอย
ทสด และสมาชกทมคามากทสดของ S ตามลาดบแลว 2b a− เทากบขอใดตอไปน
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8
14. ถา A เปน 2 2× เมตรกซ ซง 12 det( ) 3 det(3( ) ) 55 0tA A−+ − =
และ det( )A เปนจานวนเตม แลวขอใดตอไปนถก
1. det( ) 10A ≤ 2. 10 det( ) 20A< ≤
3. 20 det( ) 30A< ≤ 4. det( ) 30A >
คณตศาสตร ขอสอบวชาคณตศาสตร 2 (มนาคม 2548) 19
15. ถา x และ y เปนจานวนจรง ซงสอดคลองกบสมการ 59 8 3
36 4 2
x
y
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
แลว 2 2y x− เทากบขอใดตอไปน
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8
16. กาหนดให f เปนฟงกชนทนยามโดย
2
2
16, 4
4( )2, 4
xx
xf xkx x x
⎧ −⎪⎪ >⎪⎪ −= ⎨⎪⎪ + − ≤⎪⎪⎩
ถา f เปนฟงกชนตอเนองท 4x = แลว ( )(5)f f′ ′ เทากบขอใดตอไปน
1. 1.50 2. 1.75 3. 2.00 4. 2.25
17. ถา 2 1
( )1
xf x
ax+
=−
และ (0) 2f ′ = − แลว ( )(1)f f ′+ เทากบขอใดตอไปน
1. 0 2. 1 3. 2 4. 3
18. กาหนดให 2
1( ) 2f x x dx
x⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ และ ( ) ( )g x xf x= ถา (1) 2f = −
แลว (3)g ′ เทากบขอใดตอไปน
1. 20 2. 25 3. 30 4. 35
19. กาหนดให 3 2( ) 13f x x ax bx= + + + ถา (1) 3f = − และ f มคาสงสดสมพทธท 2x = −
แลวคาสงสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน
1. 32 2. 33 3. 36 4. 37
20. ในการจดคน 7 คน ซงมวชตและกนกรวมอยดวย เพอนงโตะกลมสองตว โตะตวแรกม 4 ทนง
และโตะตวทสองม 3 ทนง วธจดทงหมดทใหวชตและกนกนงโตะตวเดยวกนเทากบขอใดตอไปน
1. 60 วธ 2. 120 วธ 3. 150 วธ 4. 180 วธ
21. ปตนดพบปะสงสรรคกบเพอนในกลมเพอนสนทของเขา 6 คน ความนาจะเปนทเพอนอยางนอย 3
คนจะตอบรบการนดของปต เทากบขอใดตอไปน
1. 2132
2. 4164
3. 1132
4. 3164
20 ขอสอบวชาคณตศาสตร 2 (มนาคม 2548) คณตศาสตร
22. กาหนดให 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x และ 6x คอ 3, 4, 6,13, 8 และ 2 ตามลาดบ
พจารณาขอความตอไปน
ก. 6
2
1
( )ii
x a=
−∑ มคานอยทสดเมอ 6a =
ข. 6
1i
i
x b=
−∑ มคานอยทสดเมอ 5b =
ขอใดตอไปนถก
1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด
3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด
23. กาหนดใหอตราสวนระหวางจานวนนกเรยนชายตอจานวนนกเรยนหญงของนกเรยนหองหนงเทากบ
3 : 2 ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองนทงหองเทากบ 43
คะแนน และ คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชายมากกวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนน
สอบของนกเรยนหญงเทากบ 5 คะแนนแลว อตราสวนระหวางคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของ
นกเรยนชายตอคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนหญง เทากบขอใดตอไปน
1. 6 : 5 2. 7 : 6 3. 8 : 7 4. 9 : 8
24. กาหนดให 1 2 3 10, , , ,x x x x… เปนขอมลทเรยงลาดบจากนอยไปมาก โดยท 10
31
165ii
x x=
= +∑ และ
เปอรเซนไทลท 25 เทากบ 13.5 ถา 1 8x = และ 2 12x =
แลว คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน
1. 18.1 2. 18.0 3. 17.9 4. 17.8
25. ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 20 คน เปนดงน กตสอบได 35 คะแนน และคาเฉลยของ
คะแนนสอบทงหมดเทากบ 60 คะแนน ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนกเรยน 19 คนท
ไมนบรวมกตเทากบ 2.5 แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบชดนเทากบขอใดตอไปน
1. 4 2. 6 3. 8 4. 10
สรปเนอหา
วชาคณตศาสตร
(A-Net)
รศ.ดร.กฤษณะ เนยมมณ
ผศ.ดร.ไพศาล นาคมหาชลาสนธ
ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
คณตศาสตร เซต 1
เซต
1. ความรพนฐานเกยวกบเซต
1. การเขยนเซต
1.1 แบบแจกแจงสมาชก เชน {1, 3,5, 7, 9}
1.2 แบบบอกเงอนไข เชน { |x x เปนจานวนเตมบวกคทนอยกวา 10 }
เขยน x A∈ แทน “x เปนสมาชกของเซต A”
และเขยน x A∉ แทน “x ไมเปนสมาชกของเซต A”
2. เซตจากดและเซตอนนต
2.1 เซตจากด คอเซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนเตมบวกหรอศนย เชน { 3,1, 0,2}−
เขยนแทนจานวนสมาชกของ A ดวย ( )n A เชน ( ){ 3,1, 0,2} 4n − =
2.2 เซตอนนต คอเซตทไมใชเซตจากด เชน {1,2, 3, }…
3. เซตวางและเอกภพสมพทธ
3.1 เซตวาง คอเซตทไมสมาชกเลย เขยนแทนดวย φ หรอ { }
3.2 เอกภพสมพทธ คอเซตทกาหนดขนโดยมขอตกลงวาจะไมกลาวถงสงใดนอกเหนอไปจาก
สมาชกของเซตทกาหนดขน มกเขยนแทนเอกภพสมพทธดวย U
2. ความสมพนธระหวางเซต
1. สบเซต
A เปนสบเซตของ B กตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B และเขยนแทนดวย A B⊂
2. การเทากนของเซต
A B= กตอเมอ 1. สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B และ
2. สมาชกทกตวของ B เปนสมาชกของ A
นนคอ A B= กตอเมอ A B⊂ และ B A⊂
2 เซต คณตศาสตร
ขอสงเกต สาหรบเซต A ใดๆ
1. Aφ ⊂
2. A A⊂
3. A U⊂
4. เรยกสบเซตของ A ทไมเทากบ A วา สบเซตแทของ A
5. ถา A เปนเซตจากด และ ( )n A m= แลว A จะมสบเซตแตกตางกนทงหมด 2m สบเซต
3. เพาเวอรเซต
เพาเวอรเซตของ A เขยนแทนดวยสญลกษณ ( )P A นยามโดย
{ }( ) |P A B B A= ⊂
ตวอยาง กาหนด { }1,2, 3A = จงหา ( )P A
วธทา { }( ) ,{1},{2},{3},{1,2},{1, 3},{2, 3},{1,2, 3}P A φ=
ขอสงเกต สาหรบเซต A ใดๆ
1. ( )P A คอเซตทประกอบดวยสบเซตทงหมดของ A
2. ถา A เปนเซตจากดแลว ( )( ( )) 2n An P A =
3. ( )P Aφ ∈ และ ( )A P A∈
4. ถา A B⊂ แลว ( ) ( )P A P B⊂
5. ( )( ) ( )P A P B P A B∪ ⊂ ∪
6. ( )( ) ( )P A P B P A B∩ = ∩
4. การดาเนนการของเซต
1. อนเตอรเซกชน { |A B x x A∩ = ∈ และ }x B∈
2. ยเนยน { |A B x x A∪ = ∈ หรอ }x B∈
3. คอมพลเมนท { | }A x x A′ = ∉
4. ผลตาง { |A B x x A− = ∈ และ }x B∉
คณตศาสตร เซต 3
ขอสงเกต สาหรบเซต A, B และ C ใดๆ
1. A A A∪ = A A A∩ =
2. A B B A∪ = ∪ A B B A∩ = ∩
3. ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
4. ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
5. ( )A B A B′ ′ ′∪ = ∩ ( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪
6. ( )A A′′ =
7. Uφ′ = U φ′ =
8. A A
A A
φ
φ
∪ =
− =
A
A
φ φ
φ φ
∩ =
− =
9. U A U
U A A
∪ =
′− =
U A A
A U φ
∩ =
− =
10. A A U′∪ = A A φ′∩ =
11. A B A B ′− = ∩
12. ถา A B⊂ แลว B A′ ′⊂
5. สตรเกยวกบจานวนสมาชกของเซตจากด สาหรบเซตจากด A, B, C ใดๆ
1. ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
A BU
U
A B
C
4 ตรรกศาสตร คณตศาสตร
ตรรกศาสตร
1. ประพจน
ประพจน คอประโยคทเปนจรงหรอเทจอยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยว ซงอาจจะอยในรปประโยค
บอกเลาหรอประโยคปฏเสธกได
2. นเสธและตวเชอมประพจน
เราสรางประพจนใหมทมคาความจรงตรงขามกบเดมไดโดยอาศยตวดาเนนการทเรยกวานเสธ
ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ ∼ ซงสามารถแสดงคาความจรงดวยตารางคาความจรงไดดงน
p p∼
T F
F T
นอกจากนประพจนสองประพจนสามารถเชอมกนไดดวยตวเชอมประพจนตางๆ กน 4 แบบคอ
1. ตวเชอม และ เขยนแทนดวย ∧
2. ตวเชอม หรอ เขยนแทนดวย ∨
3. ตวเชอม ถา...แลว เขยนแทนดวย →
4. ตวเชอม กตอเมอ เขยนแทนดวย ↔
ซงสามารถแสดงคาความจรงสาหรบประพจนทมตวเชอมตางๆ ไดดงน
p q p q∧ p q∨ p q→ p q↔
T T T T T T
T F F T F F
F T F T T F
F F F F T T
หลกในการจาคาความจรงสาหรบตวเชอมตางๆ
1. ตวเชอม และ เปน T เมอทงคเปน T นอกนนเปน F
2. ตวเชอม หรอ เปน F เมอทงคเปน F นอกนนเปน T
3. ตวเชอม ถา...แลว เปน F สาหรบ T → F เพยงกรณเดยวเทานน ทเหลอเปน T
4. ตวเชอม กตอเมอ ถาเหมอนกนเปน T และถาตางกนเปน F
คณตศาสตร ตรรกศาสตร 5
3. ตารางคาความจรง
การสรางตารางคาความจรงของประพจนเปนการแจงกรณทเปนไปไดทงหมดทกกรณ ซงทาไดไมยาก
แตเสยเวลา หากมประพจนยอยตางๆ กนอย n ประพจนยอย จะมกรณทแตกตางกนไดทงหมด 2n กรณ
ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของ ( )p q r→ ∧
วธทา
p q r p q→ ( )p q r→ ∧
T T T T T
T T F T F
T F T F F
T F F F F
F T T T T
F T F T F
F F T T T
F F F T F
4. ประพจนทสมมลกน
ประพจนใดๆ สองประพจนสมมลกน เมอไมวาคาความจรงในประพจนยอยจะเปนอยางไร คาความ
จรงของทงสองประพจนนนจะเหมอนกนทกกรณ การตรวจสอบการสมมลสามารถทาไดโดยสรางตารางคา
ความจรงหรออาศยประพจนสมมลพนฐานเขาชวย
ถา p และ q เปนประพจนทสมมลกน จะเขยนแทนดวย p q≡
เพอใหตรวจสอบประพจนทสมมลกนไดงาย เราอาจอาศยรปแบบทสมมลกนตอไปนเขาชวย
1. การสลบท p q q q
p q q p
p q q p
∨ ≡ ∨∧ ≡ ∧↔ ≡ ↔
2. การจดหม
( ) ( )
( ) ( )
p q r p q r
p q r p q r
∨ ∨ ≡ ∨ ∨
∧ ∧ ≡ ∧ ∧
3. การกระจาย
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p q r p q p r
p q r p q p r
∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧
∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨
6 ตรรกศาสตร คณตศาสตร
4. เอกลกษณ
T
F
p p p
p p p
p p
p p
∨ ≡∧ ≡
∧ ≡
∨ ≡
5. ถา...แลว
p q p q q p→ ≡ ∨ ≡ →∼ ∼ ∼
6. นเสธซอน
( )p p≡∼ ∼
7. นเสธ
( )
( )
( )
p q p q
p q p q
p q p q
∨ ≡ ∧
∧ ≡ ∨
→ ≡ ∧
∼ ∼ ∼
∼ ∼ ∼
∼ ∼
8. กตอเมอ
( ) ( )p q p q q p↔ ≡ → ∧ →
5. สจนรนดร
เราจะเรยกประพจนใดวา สจนรนดร กตอเมอไมวาคาความจรงของประพจนยอยจะเปนอะไรกตาม
คาความจรงของประพจนนนจะเปนจรงเสมอ
6. ประโยคเปดและวลบงปรมาณ
ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมตวแปร ประโยคเปดไมเปนประพจน แตถาแทนตว
แปรดวยสมาชกในเอกภพสมพทธแลวเราจะไดประพจน
การทาประพจนเปดใหเปนประพจนสามารถทาไดโดยการใส วลบงปรมาณ ซงมอยดวยกน 2 ตว คอ
“ ∀ ” (for all, ทกๆ) และ “∃” (for some, บางตว) ซงการกาหนดคาความจรงและการใสนเสธเปนไป
ตามตารางตอไปน
ขอความ เงอนไขททาใหจรง เงอนไขททาใหเทจ
[ ]( )x P x∀ ทกๆ x ในเอกภพสมพทธ
ทาให ( )P x จรง
มบาง x ในเอกภพสมพทธ
ททาให ( )P x เทจ
[ ]( )x P x∃ มบาง x ในเอกภพสมพทธ
ททาให ( )P x จรง
ทกๆ x ในเอกภพสมพทธ
ทาให ( )P x เทจ
คณตศาสตร ตรรกศาสตร 7
ในบางครงประโยคเปดของเราอาจมตวแปรมากกวาหนงตวกได เชน ให ( , )P x y เปนประโยคเปดท
แทนขอความวา “ 5x y+ = ” หรอ ( , , )Q x y z แทนขอความ “ 1x y z+ + = ” เปนตน
การกาหนดคาความจรงและการใสนเสธของประโยคเปดสองตวแปรเปนดงน
ขอความ เงอนไขททาใหจรง เงอนไขททาใหเทจ
[ ]( , )x y P x y∀ ∀
ทก x ทก y ในเอกภพสมพทธ
ทาให ( , )P x y จรง
มบาง x และมบาง y ในเอกภพสมพทธ
ททาให ( , )P x y เทจ
[ ]( , )x y P x y∀ ∃
ทก x ในเอกภพสมพทธ จะหา y
ททาให ( , )P x y จรงได
มบาง x ททาใหทก y ในเอกภพสมพทธ
ททาให ( , )P x y เทจ
[ ]( , )x y P x y∃ ∀
มบาง x ซงทก y ในเอกภพสมพทธ
ทาให ( , )P x y เทจ
ทก x ในเอกภพสมพทธ จะหา y
ททาให ( , )P x y เทจได
[ ]( , )x y P x y∃ ∃ มบาง x และมบาง y ในเอกภพสมพทธ
ททาให ( , )P x y จรง
ทก x และทก y ในเอกภพสมพทธ
ทาให ( , )P x y เทจ
7. นเสธของประพจนทมวลบงปรมาณ
1. [ ] [ ]( ) ( )x P x x P x∀ ≡ ∃∼ ∼
2. [ ] [ ]( ) ( )x P x x P x∃ ≡ ∀∼ ∼
3. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∀ ∀ ≡ ∃ ∃∼ ∼
4. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∀ ∃ ≡ ∃ ∀∼ ∼
5. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∃ ∀ ≡ ∀ ∃∼ ∼
6. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∃ ∃ ≡ ∀ ∀∼ ∼
8. การอางเหตผล
การอางเหตผลคอการอางวาเมอมขอความ 1 2, , , np p p… ชดหนงเปนจรง จะสามารถสรปขอความ q
ไดหรอไม นนคอขอความ ( )1 2 np p p q∧ ∧ ∧ → เปนสจนรนดรหรอไมนนเอง
ถาขอความ ( )1 2 np p p q∧ ∧ ∧ → เปนสจนรนดร เราจะกลาววาการอางเหตผลนสมเหตสมผล
(valid) ถาไมเปนสจนรนดรจะกลาววาการอางเหตผลนไมสมเหตสมผล (invalid)
8 จานวนจรง คณตศาสตร
จานวนจรง
1. ผงแสดงความสมพนธของระบบจานวน
2. รากของสมการพหนาม
1. รากตรรกยะของสมการพหนาม
สมการพหนาม 11 1 0( ) 0n n
n np x a x a x a x a−−= + + + + = เมอ 1 0, , ,n na a a− ∈… และ
0na ≠ จะมรากตรรกยะทอยในรปเศษสวนอยางตา pq
เมอ p หาร 0a ลงตวและ q หาร na ลงตว
2. ทฤษฎบทเศษเหลอ
กาหนด 11 1 0( ) n n
n np x a x a x a x a−−= + + + + โดยท 1 0, , ,n na a a− ∈… และ 0na ≠
เมอหาร ( )p x ดวย x c− จะไดเศษเทากบ ( )p c
3. สมบตของอสมการ
1. ถา a b< และ b c< แลว a c<
2. ถา a b< แลว a c b c+ < +
3. ถา a b< และ 0c > แลว ac bc<
4. ถา a b< และ 0c < แลว ac bc>
5. ถา a b< และ c d< แลว a c b d+ < +
6. ถา 0 a b< < และ 0 c d< < แลว 0 ac bd< <
7. ถา 0 a b< < แลว 1 1
0b a
< <
จานวนจรง ( )
จานวนอตรรกยะ ( )′ จานวนตรรกยะ ( )
จานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม (I )′ จานวนเตม (I)
จานวนเตมลบ (I )− จานวนเตมบวก (I )
+
หรอจานวนนบ ( )
จานวนเตมศนย ({0})
คณตศาสตร จานวนจรง 9
4. คาสมบรณและสมบตของคาสมบรณ
0
0
a aa
a a
≥⎧⎪⎪= ⎨− <⎪⎪⎩
สาหรบจานวนจรง a ใดๆ
1. 2a a=
2. 0a ≥
3. a a= −
4. ab a b=
5. a ab b
=
6. 22a a=
7. a b a b+ ≤ +
8. ถา 0a > แลว
8.1 x a< กตอเมอ a x a− < <
8.2 x a≤ กตอเมอ a x a− ≤ ≤
8.3 x a> กตอเมอ x a<− หรอ x a>
8.4 x a≥ กตอเมอ x a≤− หรอ x a≥
5. การแกอสมการทแยกตวประกอบได
1. ถาจะคณทงสองขางของอสมการดวยคาคงตวหรอนพจน จะตองตรวจสอบวาคาคงตวหรอนพจน
นนมคาเปนบวกหรอลบอยางใดอยางหนงและอาจตองเปลยนเครองหมายอสมการใหเหมาะสม
2. พยายามจดใหขางหนงของอสมการเปน 0 แลวจงแยกตวประกอบ
3. เนองจากจานวนจรงทยกกาลงดวยเลขคจะมเครองหมายคงเดม และจานวนจรงทยกกาลงคจะม
คาเปนศนยหรอบวกเทานน จงสามารถพจารณาอสมการทแยกตวประกอบแลวบางวงเลบมเลขยกกาลงไดดงน
3.1 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหแกอสมการเสมอนหนงวาวงเลบนนยกกาลงหนง
3.2 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหตดวงเลบนนออกไปจากการพจารณากอน แตเมอได
คาตอบแลว จะตองพจารณาอกครงวาวงเลบทตดออกไปกอนนนมผลตอเซตคาตอบหรอไม แลวจงปรบ
คาตอบใหถกตอง
เมอ
เมอ
10 ทฤษฎจานวนเบองตน คณตศาสตร
ทฤษฎจานวนเบองตน
1. การหารลงตวและจานวนเฉพาะ
1. m หาร n ลงตวกตอเมอมจานวนเตม c ซง mc n= ใหเขยนแทนดวย |m n
2. จานวนเตมบวก 2p ≥ เปนจานวนเฉพาะกตอเมอจานวนเตมบวกทหาร p ลงตวอยในเซต {1, }p
3. จานวนเตม 1n > จะแยกตวประกอบ 1 21 2
km m mkn p p p= โดยท 1 2, , , kp p p… เปนจานวนเฉพาะ
ไดเพยงชดเดยวเทานน เมอไมคาถงนงลาดบในการเขยน
2. ทฤษฎบททสาคญสาหรบจานวนเตม
1. ถา |a b และ |b c แลว |a c
2. ถา a และ b เปนจานวนเตมบวกซง |a b แลว a b≤
3. ถา |a b และ |a c แลว |a bx cy+ สาหรบจานวนเตม x และ y ใดๆ
4. ถา p เปนจานวนเฉพาะ และ |p mn แลว |p m หรอ |p n
3. ตวหารรวมมาก(ห.ร.ม.) และตวคณรวมนอย(ค.ร.น.)
1. จานวนเตมบวก g จะเหนตวหารรวมมาก(ห.ร.ม.) ของจานวนเตม m กบ n ซง 2 2 0m n+ ≠ เมอ
(1) g เปนตวหารรวมของ m กบ n นนคอ |g m และ |g n
(2) ในบรรดาตวหารรวมทงหมดของ m และ n ตวหารรวมทมคามากทสดคอ g
ห.ร.ม. ของ m และ n เขยนแทนดวย ( , )m n
2. จานวนเตมบวก c จะเปนตวคณรวมนอย(ค.ร.น.) ของจานวนเตม m กบ n ซง 2 2 0m n+ ≠ เมอ
(1) c เปนตวคณรวมของ m กบ n นนคอ |m c และ |n c
(2) ในบรรดาตวคณรวมบวกทงหมดของ m และ n ตวคณรวมทมคานอยทสดคอ c
ค.ร.น. ของ m และ n เขยนแทนดวย [ , ]m n
3. ถา m และ n ม ห.ร.ม. เทากบ 1 แลวจะกลาววา m และ n เปนจานวนเฉพาะสมพทธกน
4. มจานวนเตม x และ y ซง ( , )m n mx ny= +
5. ( , ) 1m n = กตอเมอมจานวนเตม x และ y ซง 1mx ny+ =
6. ถา ( , )g m n= แลว ( , ) 1m ng g
=
7. ผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนเตมสองจานวนมคาเทากบผลคณของจานวนทงสอง
( , )[ , ]m n m n mn=
คณตศาสตร เมทรกซและดเทอรมแนนต 11
เมทรกซและดเทอรมแนนต
1. ความรพนฐานเกยวกบเมทรกซ
1. นยาม
1.1 เมทรกซเปนกลมของจานวนหรอ
นพจนทางคณตศาสตรทเขยนเรยงกน
ในลกษณะของสเหลยมมมฉาก
1.2 เมทรกซ A ขางตน ประกอบดวยแถว m แถว และหลก n หลก
จงกลาววาเมทรกซ A มมต m n×
1.3 ใชสญลกษณ ija แทนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A
1.4 เขยน ij m nA a
×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แทน “A เปนเมทรกซทประกอบดวยสมาชก ija และมมต m n× ”
2. เมทรกซพเศษทสาคญ
2.1 เมทรกซศนย คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย
2.2 เมทรกซจตรส คอ เมทรกซทมจานวนแถวเทากบจานวนหลก
ถา A เปนเมทรกซจตรสมต n n×
เราจะนยาม เสนทแยงมมหลกของเมทรกซ A
เปนแนวของสมาชก 11 22, , , nna a a…
กลาวคอเปนแนวมมซายบนไปมมขวาลาง ดงรป
2.3 เมทรกซเอกลกษณ คอเมทรกซจตรสทมสมาชกทกตว
บนเสนทแยงมมหลกเปน 1 และสมาชกทเหลอเปนศนย
เขยน n nI × แทนเมทรกซเอกลกษณมต n n×
2. การดาเนนการและความสมพนธของเมทรกซ
1. การเทากนของเมทรกซ
A B= กตอเมอ เมทรกซมมตเดยวกนและสมาชกทอยในตาแหนงเดยวกนมคาเทากน
2. การบวกและการลบเมทรกซ
ถา ij m nA a
×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ ij m n
B b×
⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แลว ij ij m nA B a b
×⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦ และ ij ij m n
A B a b×
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦
หลกท 1 หลกท 2 หลกท n
แถวท 1
แถวท 2
แถวท m
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I ×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
12 เมทรกซและดเทอรมแนนต คณตศาสตร
3. การคณเมทรกซดวยสเกลาร
ถา ij m nA a
×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ k เปนสเกลาร (จานวนหรอนพจนทางคณตศาสตร) แลว ij m n
kA ka×
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
4. การคณเมทรกซดวยเมทรกซ
ถา ij m nA a
×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ ij m p
B b×
⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แลวจะได ij m pAB c
×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ โดยท
1 1 2 2ij i j i j in njc a b a b a b= + + +
กลาวงายๆ คอ ijc เปนผลคณระหวางแถวท i ของเมทรกซ A กบหลกท j ของเมทรกซ B
โดยทวไปแลว AB BA≠ นนคอ ไมมสมบตการสลบทสาหรบการคณเมทรกซดวยเมทรกซ
5. ทรานสโพส
ทรานสโพสเปนการสลบเปลยนระหวางแถวกบหลกของเมทรกซ
ถา ij m nA a
×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แลวทรานสโพสของ A เขยนแทนดวย
tA โดยท tij n m
A b×
⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ ij jib a=
3. สมบตทสาคญบางประการของการดาเนนการของเมทรกซ
กาหนด ,A B เปนเมทรกซมต m n× ใดๆ และ [0] เปนเมทรกซศนยมต m n×
1. A B B A+ = + (การสลบทสาหรบการบวก)
2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (การเปลยนกลมสาหรบการบวก)
3. [0] [0]A A A+ = + = (เอกลกษณการบวก)
4. ( ) ( ) [0]A A A A+ − = − + = เมอ ( 1)A A− = − (อนเวอรสการบวก)
กาหนด ,A B เปนเมทรกซใดๆ ทผลคณ AB มความหมาย
5. ( ) ( )AB C A BC= (การเปลยนกลมสาหรบการคณ)
6. ( )A B C AB AC+ = + และ ( )B C A BA CA+ = + (การกระจาย)
7. AI IA A= = เมอ A และ I เปนเมทรกซจตรสมตเดยวกน (เอกลกษณการคณเมทรกซจตรส)
กาหนด ,A B เปนเมทรกซใดๆ ทการดาเนนการในแตละขอตอไปนมความหมาย
8. ( )t tA A=
9. ( )t t tA B A B+ = + และ ( )t t tA B A B− = −
10. ( )t tkA kA= เมอ k เปนสเกลาร
11. ( )t t tAB B A=
คณตศาสตร เมทรกซและดเทอรมแนนต 13
4. ดเทอรมแนนต
สาหรบเมทรกซจตรส A ใดๆ เขยน det( )A หรอ A แทนดเทอรมแนนตของเมทรกซ A โดย
1. ถา [ ]11 1 1A a
×= แลว 11det( )A a=
2. ถา A เปนเมทรกซมต 2 2× แลว det( )A หาไดจาก
3. ถา A เปนเมทรกซมต 3 3× แลว det( )A หาไดโดยวธตอสองหลกแรก
5. อนเวอรสการคณของเมทรกซ
ถา A เปนเมทรกซจตรสมต n n× และมเมทรกซ B มต n n× ซง AB BA I= = เมอ I เปน
เมทรกซเอกลกษณมต n n× แลวจะเรยก B วาอนเวอรสการคณของ A และเขยนแทนดวย 1B A−=
1. ถา A ไมมอนเวอรสการคณ แลวจะเรยก A วาเปนเมทรกซเอกฐาน (singular matrix)
ถา A มอนเวอรสการคณ แลวจะเรยก A วาเปนเมทรกซไมเอกฐาน (nonsingular matrix)
2. 1 1( )A A− − =
3. 1 1 1( )AB B A− − −=
4. 1 11( )kA A
k− −= เมอ k เปนสเกลารและ 0k ≠
5. 1 1( ) ( )t tA A− −=
6. สมบตทสาคญบางประการของดเทอรมแนนต
1. det( ) det( )det( )AB A B=
2. det( ) det( )tA A=
3. A เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ det( ) 0A ≠ และจะได 1 1
det( )det( )
AA
− =
4. ถา A มมต n n× และ k เปนสเกลารแลว det( ) det( )nkA k A=
5. det( ) 1I =
6. ( )det( ) det( )nnA A= เมอ
nA คอผลคณของเมทรกซ A ทงหมด n ตว
11 12 13 11 1211 22 33 12 23 31 13 21 32
21 22 23 21 2213 22 31 11 23 32 12 21 33
31 32 33 31 32
det( )
a a a a a a a a a a a a a aA a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ += = − − −
+ + +
− − −
11 12
11 22 12 2121 22
det( )a a
A a a a aa a= = −
+
−
14 เมทรกซและดเทอรมแนนต คณตศาสตร
7. ไมเนอร โคแฟกเตอร และเมทรกซผกพน
กาหนด A เปนเมทรกซจตรสใดๆ
7.1 ไมเนอร (Minor)
ไมเนอรของสมาชก ija ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย ( )ijM A ซงเทากบดเทอรมแนนต
ของเมทรกซยอยทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A ทงไป เชน
7.2 โคแฟกเตอร (Cofactor)
โคแฟกเตอรของสมาชก ija ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย ( )ijC A นยามโดย
( ) ( 1) ( )i jij ijC A M A+= −
ขอสงเกต ( 1)i j+− เทากบ 1 เมอ ij เปนเลขค และเทากบ 1− เมอ i j+ เปนเลขค
7.3 เมทรกซผกพน (Adjoint Matrix)
เมทรกซผกพนของเมทรกซ A เขยนแทน adj( )A เปนเมทรกซทไดจากการแทนทสมาชก
ทกตวดวยโคแฟกเตอรของสมาชกนนแลวทรานสโพส กลาวคอ adj( ) ( )t
ijA C A⎡ ⎤= ⎣ ⎦
7.4 สมบตทสาคญบางประการของโคแฟกเตอรและเมทรกซผกพน
สาหรบเมทรกซจตรส A ใดๆ ทมมต n n×
1. det( )A หาไดจากการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนง
1 1 2 2det( ) i i i i in inA a C a C a C= + + + (กระจายโคแฟกเตอรตามแถวท i)
1 1 2 2det( ) j j j j nj njA a C a C a C= + + + (กระจายโคแฟกเตอรตามหลกท j)
2. ( )adj( ) adj( ) det( )A A A A A I= =
3. ถา det( ) 0A ≠ นนคอ A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว
1 adj( )
det( )A
AA
− =
ถา a b
Ac d
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
และ det( ) 0A ad bc= − ≠ แลว 1 1 d bA
c aad bc−
⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦
4. ( ) ( ) 1det adj( ) det( )
nA A
−=
11 12 1312 13
21 22 23 21 12 33 13 3232 33
31 32 33
( )
a a a a aA a a a M A a a a aa a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
คณตศาสตร เมทรกซและดเทอรมแนนต 15
8. ระบบสมการเชงเสน
ระบบสมการเชงเสน m สมการ n ตวแปร
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
⎧ + + + =⎪⎪⎪⎪ + + + =⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪ + + + =⎪⎪⎩
เขยนในรปเมทรกซไดดงน
111 12 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n n
ba a a x
a a a x bAX B
a a a x b
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
ถา m n= เมทรกซสมประสทธ A เปนเมทรกซจตรส และถา A เปนเมทรกซไมเอกฐานแลว
1. หาคาตอบของระบบสมการเชงเสนไดจาก 1X A B−=
2. กฎของคราเมอร (Cramer’s Rule)
1 21 2
det( ) det( ) det( ), , ,
det( ) det( ) det( )n
n
A A Ax x x
A A A= = =…
เมอ iA เปนเมทรกซทไดจากการนา B แทนลงในหลกท i ในเมทรกซ A
3. การดาเนนการตามแถว
1. สลบสองแถวใดๆ ( ijR )
2. คณแถวใดแถวหนงดวยคาคงตวทไมใช ( ikR )
3. บวกแถวใดแถวหนงดวยพหคณของอกแถวหนง ( i jR kR+ )
ใหทาการดาเนนการตามแถวจนไดเมทรกซลดรปขนบนได
9. การหาอนเวอรสการคณของเมทรกซโดยการดาเนนการตามแถว
ใหใชการดาเนนการตามแถวกระทากบ A I⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ จนได
1I A−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
A I⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
1I A−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
ดาเนนการตามแถว
16 ความสมพนธและฟงกชน คณตศาสตร
ความสมพนธและฟงกชน
1. ผลคณคารทเชยน
กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยน (Cartesian product) ของ A และ B คอ
{( , ) |A B a b a A× = ∈ และ }b B∈
ขอสงเกต โดยทวไปแลว A B B A× ≠ × แต ( ) ( ) ( ) ( )n A B n B A n A n B× = × =
2. ความสมพนธ
ความสมพนธจาก A ไป B คอ สบเซตของ A B×
ขอสงเกต
1. ถา A และ B เปนเซตจากดแลวจานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B คอ ( ) ( )
2n A n B
2. φ เปนความสมพนธเสมอ
3. โดเมนและเรนจ
1. โดเมน (Domain)
โดเมนของความสมพนธ r คอ { |rD x A= ∈ ม y B∈ ททาให ( , ) }x y r∈
2. เรนจ (Range)
เรนจของความสมพนธ r คอ { |rR y B= ∈ ม x A∈ ททาให ( , ) }x y r∈
ขอสงเกต
1. เราอาจมองอยางงายๆ ไดวา rD กคอเซตของสมาชกตาแหนงแรกของ r และ rR กคอเซตของ
สมาชกตาแหนงหลงของ r
2. ในการหา rD นน เราจะเขยนสมการในรป ( )y f x= แลวพจารณาคา x ทเปนไปไดทงหมด
3. ในการหา rR นน เราจะเขยนสมการในรป ( )x g y= แลวพจารณาคา y ทเปนไปไดทงหมด
4. อนเวอรสของความสมพนธ
ให r เปนความสมพนธ จะไดอนเวอรสของ r คอ
1 {( , ) | ( , ) } {( , ) | ( , ) }r y x x y r x y y x r− = ∈ = ∈ ขอสงเกต 1 rr
D R− = และ 1 rrR D− =
คณตศาสตร ความสมพนธและฟงกชน 17
5. ฟงกชน
1. ความหมายของฟงกชน
เรยกความสมพนธ r วาเปนฟงกชน กตอเมอ ทกคลาดบในความสมพนธนนไมมสมาชกตาแหนง
แรกซากน และเรยก f วาเปนฟงกชนจาก A ไป B ( :f A B→ ) กตอเมอเมอ fD A= และ fR B⊂
2. ฟงกชนทวถง
เรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B และเขยนแทนดวย onto
:f A B→ กตอเมอ
:f A B→ และ fR B=
3. ฟงกชนหนงตอหนง
เรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนหนงตอหนง(1-1) และเขยนแทนดวย 1 1
:f A B−→ กตอเมอ
สาหรบทก 1 2, fx x D∈ ถา 1 2( ) ( )f x f x= แลว 1 2x x=
ขอสงเกต ถา f เปนฟงกชน 1-1 แลวอนเวอรสของ f เปนฟงกชนดวย
6. ฟงกชนคอมโพสท
ให f และ g เปนฟงกชนซง f gR D φ∩ ≠ ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g นยามโดย
( )( )( ) ( )g f x g f x= สาหรบทก x ซง ( ) gf x D∈
7. พชคณตของฟงกชน
ให f และ g เปนฟงกชนซง f gD D φ∩ ≠ นยาม
1. ( )( ) ( ) ( ) f gf g x f x g x x D D+ = + ∀ ∈ ∩
2. ( )( ) ( ) ( ) f gf g x f x g x x D D− = − ∀ ∈ ∩
3. ( )( ) ( ) ( ) f gfg x f x g x x D D= ∀ ∈ ∩
4. ( )
( )( ) { | ( ) 0}( ) f g
f xfx x D D x g x
g g x= ∀ ∈ ∩ − =
8. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด
1. ถา ( ) ( )f a f b< กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนเพม
2. ถา ( ) ( )f a f b> กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนลด
3. ถา ( ) ( )f a f b≤ กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนไมลด
4. ถา ( ) ( )f a f b≥ กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนไมเพม
18 เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย คณตศาสตร
เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย
1. เรขาคณตวเคราะหเบองตน
1. ระยะทางระหวางจด
กาหนดจด 1 1 1( , )P x y และจด 2 2 2( , )P x y จะได 2 21 2 2 1 2 1( ) ( )PP x x y y= − + −
2. การแบงสวนของเสนตรง
พกดของจด P ซงทาให 1 2 1 2: :PP P P r r= คอ 2 1 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
( , )r x r x r y r y
r r r r+ ++ +
ในกรณทจด P แบงครง 1 2PP จะไดพกดของจด P คอ 1 2 1 2( , )2 2
x x y y+ +
3. จดมธยฐานของสามเหลยม
กาหนดสามเหลยม ABC ดงรป พกดของจดมธยฐานคอ 1 2 3 1 2 3( , )3 3
x x x y y y+ + + +
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y3 3( , )C x y
1r
2r( , )P x y
2 2 2( , )P x y
1 1 1( , )P x y
1 1 1( , )P x y
2 2 2( , )P x y
คณตศาสตร เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย 19
2. เสนตรง
1. ความชนของเสนตรง
นยามความชนของเสนตรงทผานจด 1 1 1( , )P x y และ 2 2 2( , )P x y
2 1
2 1
y ym
x x−
=−
เมอ 1 2x x≠
1.1 ถาเสนตรง L ทามม θ กบแกน x แลว tanm θ=
1.2 กาหนดใหเสนตรง 1L และ 2L มความชนเปน 1m และ 2m ตามลาดบ
จะได 1 2//L L กตอเมอ 1 2m m=
และ 1 2L L⊥ กตอเมอ 1 2 1m m = −
2. สมการเสนตรง
2.1 เสนตรงทผานจด 1 1( , )x y และมความชน m มสมการเปน 1 1( )y y m x x− = −
2.2 เสนตรงทตดแกน y ทจด (0, )c และมความชน m มสมการเปน y mx c= +
2.3 สมการทวไปของเสนตรงคอ 0Ax By C+ + = ซงมความชนเปน A
mB
= −
3. ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง และเสนตรงกบเสนตรง
3.1 ระยะทางระหวางจด 1 1( , )x y กบเสนตรง 0Ax By C+ + = คอ
1 1
2 2
Ax By Cd
A B
+ +=
+
3.2 ระยะทางระหวางเสนขนาน 1 0Ax By C+ + = กบ 2 0Ax By C+ + = คอ
1 2
2 2
C Cd
A B
−=
+
1 0Ax By C+ + =
2 0Ax By C+ + =d
0Ax By C+ + =
1 1( , )x y
d
20 เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย คณตศาสตร
3. วงกลม (Circle)
วงกลม คอเซตของจดทกจดบนระนาบซงหางจากจดคงทจดหนง(จดศนยกลาง)เปนระยะทางคงท(รศม)
เสมอ
สมการวงกลมทมจดศนยกลางทจด ( , )h k และรศมยาว r หนวย คอ
2 2 2( ) ( )x h y k r− + − =
4. พาราโบลา (Parabola)
พาราโบลา คอ เซตของจดทกจดบนระนาบซงหางจากเสนตรงคงทเสนหนง(ไดเรกทรกซ)และจด
คงท(โฟกส) จดหนงเปนระยะทางเทากนเสมอ
เรยกจดกงกลางระหวางจดโฟกส(จด F) กบไดเรกทรกซวา จดยอด (จด V)
c > 0 c < 0
2( ) 4 ( )x h c y k− = −
2( ) 4 ( )y k c x h− = −
ขอสงเกต ความกวางของพาราโบลาทจดโฟกสเทากบ 4c
( , )h k
r
( , )V h k
x h c= −
( , )F h c k+
( , )V h k
x h c= −
( , )F h c k+
( , )V h k
y k c= −
( , )F h k c+( , )V h k
y k c= −
( , )F h k c+
คณตศาสตร เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย 21
5. วงร (Ellipse)
วงร คอ เซตของจดทกจดบนระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ในเซตนไปยงจดคงทสองจด
(จดโฟกส) บนระนาบมคาคงท
ถาใหผลบวกคงทนนเทากบ 2a และใหจดโฟกสหางกน 2c โดยท a c>
และกาหนด b โดย 2 2 2a b c= +
จะไดสมการวงรใน 2 รปแบบตอไปน
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y ka b− −
+ =
เมอ 0a b> >
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y kb a− −
+ =
เมอ 0a b> >
เรยกจดกงกลางระหวางโฟกสทงสองวา จดศนยกลาง ซงกคอจด ( , )h k ในรป
เรยกแกนทยาววา แกนเอก
เรยกแกนทสนวา แกนโท
เรยกจดปลายทงสองของแกนเอกวา จดยอด ซงกคอจด V และ V ′ ความหมายของพารามเตอร , ,a b c มดงน
คา a จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดยอดทงสอง (จดปลายแกนเอก) จงอาจเรยก a วา
ระยะครงแกนเอก
คา b จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดปลายทงสองของแกนโท จงอาจเรยก b วาระยะครง
แกนโท
คา c จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดโฟกสทงสอง โดยจดโฟกสจะอยบนแกนเอกเสมอ
V ′
V
( , )h k
a
b
V ′ V( , )h k a
b
22 เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย คณตศาสตร
6. ไฮเพอรโบลา (Hyperbola)
ไฮเพอรโบลา คอ เซตของจดทกจดในระนาบซงผลตางของระยะทางจากจดใดๆในเซตนไปยงจดคงท
(จดโฟกส) สองจดบนระนาบมคาคงตว ถาใหผลตางคงทนนเทากบ 2a และใหจดโฟกสหางกน 2c โดยท a c<
และกาหนด b โดย
2 2 2c a b= +
จะไดสมการไฮเพอรโบลาใน 2 รปแบบตอไปน
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y ka b− −
− = 2 2
2 2
( ) ( )1
y k x ha b− −
− =
จด V และ V ′ เรยกวา จดยอด
สวนของเสนตรง VV ′ เรยกวา แกนตามขวาง
สวนของเสนตรง AA′ เรยกวา แกนสงยค
เสนตรง 1L และ 2L เรยกวา เสนกากบไฮเพอรโบลา
ความหมายของพารามเตอร , ,a b c มดงน
คา a จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดยอดทงสอง(จดปลายแกนตามขวาง)
คา b จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดปลายทงสองของแกนสงยค
คา c จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดโฟกสทงสอง โดยจดโฟกสจะอยบนแกนตามขวางเสมอ
ถา a b= แลวจะเรยกไฮเพอรโบลานนวา ไฮเพอรโบลามมฉาก
นอกจากนยงมไฮเพอรมมฉากในรปพเศษซงมสมการเปน xy k= เมอ k เปนคาคงทและ 0k ≠
V ′
V
F
F ′
1L
2L
a
bc
V ′ V FF ′
2L 1L
a
b c
คณตศาสตร ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม 23
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม
1. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคอฟงกชนทอยในรป xy a= เมอ 0 1a< < หรอ 1a >
ขอสงเกต
1. กราฟของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลผานจด (0,1) เสมอ
2. 1 1
ontoexp :
− +→ นนคอ expD = และ expR +=
3. 0xa > เสมอ (เมอ 0a > )
4. ถา 1a > แลว xa จะเปนฟงกชนเพม นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x<
5. ถา 0 1a< < แลว xa จะเปนฟงกชนลด นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x>
2. ฟงกชนลอการทม
ฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนอนเวอรสของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล
กาหนดฐาน a สอดคลองกบ 0 1a< < หรอ 1a >
xy a= กตอเมอ loga y x=
-2 -1 1 2x
1
2
3
4
y
-2 -1 1 2x
1
2
3
4
y
1
xy a
a
=
> 0 1
xy a
a
=
< <
1 2 3 4x
-2
-1
1
2
y
1 2 3 4x
-2
-1
1
2
y
log
1a y x
a
=
>
log
0 1a y x
a
=
< <
24 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม คณตศาสตร
ขอสงเกต
1. กราฟของฟงกชนลอการทมผานจด (1, 0) เสมอ
2. 1 1
ontolog :
−+ → นนคอ expD += และ expR =
3. ถา 1a > แลว loga x จะเปนฟงกชนเพม นนคอ 1 2log loga ax x< กตอเมอ 1 2x x<
4. ถา 0 1a< < แลว loga x จะเปนฟงกชนลด นนคอ 1 2log loga ax x< กตอเมอ 1 2x x>
3. สมบตทสาคญบางประการของฟงกชนลอการทม
1. log 1 0a = และ log 1a a =
2. log xa a x=
3. log ( ) log loga a axy x y= +
4. log log loga a a
xx y
y= −
5. log logya ax y x=
6. log logpy
aa
yx x
p=
7. log
loglog
ay
a
xx
y=
8. 1
loglogy
x
xy
=
9. loga xa x=
4. ลอการทมฐานธรรมชาต
e เปนคาคงตวและเปนอตรรกยะ โดย 2.7182818e = …
ลอการทมฐาน e นยมเขยนแทนดวย ln x นนคอ ln logex x=
5. การหา 2a b±
เนองจาก ( )2 ( ) 2x y x y xy+ = + +
การหา 2a b± จงทาไดโดยหา x และ y ซง x y a+ = และ xy b= และจะได
2a b x y+ = + และ 2a b x y− = − เมอ x y>
ตวอยาง 5 2 6 3 2+ = + และ 5 2 6 3 2− = −
คณตศาสตร ตรโกณมต 25
ตรโกณมต
1. วงกลมหนงหนวยและการวดมม
วงกลมหนงหนวย คอ วงกลม 2 2 1x y+ =
กาหนดใหมมทจดศนยกลางทรองรบสวนโคงทยาว θ หนวย
มคาเทากบ θ เรเดยน โดยใหมมบวกเปนมมทวดในทศทวนเขมนาฬกา
เทยบกบแกน x ดานบวกและใหมมลบเปนมมทวดในทศทวนเขมนาฬกา
เทยบกบแกน x ดานลบ
1. มม θ และมม 2nθ π+ เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ จะมจดปลายเดยวกน
2. สวนโคงทยาว a ในวงกลมรศม r จะรองรบมมทจดศนยกลางเทากบ ar
θ =
3. π เรเดยน = 180°
2. ฟงกชนตรโกณมต
ถาจดปลายของมม θ มพกดเปน ( , )x y บนวงกลมหนงหนวยแลวจะนยาม
cos xθ = sin yθ = 1 1
seccos x
θθ
= = เมอ 0x ≠ sin
tancos
yx
θθ
θ= = เมอ 0x ≠
1 1cosec
sin yθ
θ= = เมอ 0y ≠
coscot
sinxy
θθ
θ= = เมอ 0y ≠
3. เอกลกษณพนฐาน 2 2sin cos 1θ θ+ = 2 21 tan secθ θ+ = 2 21 cot cosecθ θ+ =
sin( ) sinθ θ− = − cos( ) cosθ θ− = tan( ) tanθ θ− = −
sin( ) cos2π
θ θ− = cos( ) sin2π
θ θ− = tan( ) cot2π
θ θ− =
sin( ) sinπ θ θ− = cos( ) cosπ θ θ− = − tan( ) tanπ θ θ− = − 1sin( ) ( 1) sinnnπ θ θ+− = − cos( ) ( 1) cosnnπ θ θ− = −
2 1sin( ) ( 1) cos
2nn
π θ θ+
− = − 2 1
cos( ) ( 1) sin2
nnπ θ θ
+− = −
4. สตรมมประกอบ
sin( ) sin cos cos sinA B A B A B+ = + sin( ) sin cos cos sinA B A B A B− = −
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B+ = − cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = + tan tan
tan( )1 tan tan
A BA B
A B+
+ =−
tan tan
tan( )1 tan tan
A BA B
A B−
− =+
x
y
(1, 0)
(0,1)
( 1, 0)−
(0, 1)−
θθ
26 ตรโกณมต คณตศาสตร
5. สตรมมสองเทา 2
2 2 2 22
1 tancos2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
1 tanA
A A A A AA
−= − = − = − =
+
2
2 tansin 2 2 sin cos
1 tanA
A A AA
= =+
2
2 tantan2
1 tanA
AA
=−
6. สตรมมสามเทา 3sin 3 3 sin 4 sinA A A= − 3cos 3 4 cos 3 cosA A A= − 3
2
3 tan tantan 3
1 3 tanA A
AA
−=
−
7. สตรมมครงเทา
2 1 cossin
2 2A A−
= 2 1 coscos
2 2A A+
=
sin 1 costan
2 1 cos sinA A A
A A−
= =+
8. สตรแปลงระหวางผลคณกบผลบวกหรอผลตาง
2 sin cos sin( ) sin( )A B A B A B= + + − sin sin 2 sin cos2 2
A B A BA B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜+ = ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 cos sin sin( ) sin( )A B A B A B= + − − sin sin 2 cos sin2 2
A B A BA B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜− = ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 cos cos cos( ) cos( )A B A B A B= + + − cos cos 2 cos cos2 2
A B A BA B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜+ = ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 sin sin cos( ) cos( )A B A B A B= − − + cos cos 2 sin sin2 2
A B A BA B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜− = − ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9. สตรเกยวกบรปสามเหลยม
1. กฎของไซน (Law of Sine)
2sin sin sin
a b cR
A B C= = =
เมอ R เปนรศมของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม
2. กฎของโคไซน (Law of Cosine)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + −
= + −
= + −
เมอกาหนดความยาวดาน , ,a b c สามารถใชกฎของโคไซนหา cos , cos , cosA B C ได
A
B Ca
bc
คณตศาสตร ตรโกณมต 27
3. พนทรปสามเหลยม
พนทรปสามเหลยม 1 1 1
sin sin sin2 2 2ab C ac B bc A= = =
พนทรปสามเหลยม ( )( )( )s s a s b s c= − − − เมอ 2
a b cs
+ +=
10. รปทวไปของมมจากการแกสมการตรโกณมต
1. ถา sin sinθ α= แลว ( 1)nn αθ π= + − หรอเขยนวา 2 , (2 1)n nθ π α π α= + + −
2. ถา cos cosθ α= แลว 2nθ π α= ±
3. ถา tan tanθ α= แลว nθ π α= +
11. อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต
1. ถา arcsiny x= กตอเมอ siny x= และ [ , ]2 2
xπ π
∈ −
2. ถา arccosy x= กตอเมอ cosy x= และ [0, ]x π∈
3. ถา arctany x= กตอเมอ tany x= และ ( , )2 2
xπ π
∈ −
ฟงกชน โดเมน เรนจ
arcsin [ 1,1]− [ , ]2 2π π
−
arccos [ 1,1]− [0, ]π
arctan ( , )2 2π π
−
ขอสงเกต
1. sin(arcsin )x x= เสมอ แต arcsin(sin )x อาจไมเทากบ x ตองพจารณาชวงของ x ดวย
2. 2sin(arccos ) 1x x= − และ 2cos(arcsin ) 1x x= −
3. arcsin( ) arcsin , arccos( ) arccosx x x xπ− = − − = − และ arctan( ) arctanx x− = −
4. arctan arctan arctan1x y
x yxy
⎛ ⎞+ ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ เมอ arctan arctan
2 2x y
π π− < + <
28 เวกเตอร คณตศาสตร
เวกเตอร
1. ความรพนฐานเกยวกบเวกเตอร
สเกลารเปนปรมาณทมขนาดเพยงอยางเดยว
เวกเตอรเปนปรมาณทมทงขนาดและทศทาง ซงสามารถเขยนแทนไดดวยสวนของเสนตรงทมลกศรท
ปลายหนงเพอระบทศทางของเวกเตอรและความยาวของสวนของเสนตรงนนระบขนาดของเวกเตอร
ขนาดของเวกเตอร u เขยนแทนดวย u
จะกลาววา u v= กตอเมอ u และ v มทศทางเดยวกนและมขนาดเทากน
เวกเตอรศนย เปนเวกเตอรทมขนาดเปน 0 เขยนแทนดวย 0
2. การบวกและการลบเวกเตอร
1. การบวกเวกเตอร
ทาไดโดยการเขยนเวกเตอรตอกนในลกษณะหางตอหว
2. การลบเวกเตอร
ทาไดโดยการกลบทศของเวกเตอรตวลบกอนจงบวกเขากบเวกเตอรตวตง
ขอสงเกต
1. v− เปนนเสธของ v กลาวคอมขนาดเทากบ v แตมทศตรงขาม
2. u v+ และ u v− เปนเสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานทม u และ v เปนดาน
3. เนองจากเสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานจะตงฉากกนกตอเมอดานแตละดานยาวเทากน
จงไดวา u v u v+ ⊥ − กตอเมอ u v=
3. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร
ให k เปนสเกลาร และ u เปนเวกเตอร นยาม ku เปนเวกเตอรทมขนาดเปน k เทาของ u และ
1. มทศเดยวกบ u ถา 0k >
2. มทศตรงขามกบ u ถา 0k <
ขอสงเกต
1. ( 1)u u− = −
2. ถา , 0u v ≠ และมสเกลาร k ซง u kv= แลว u ขนานกบ v
uv
u
v
u v+
u
v w
u v w+ +
u
vu v+
u v−
คณตศาสตร เวกเตอร 29
4. สมบตทสาคญบางประการเกยวกบเวกเตอร
สาหรบเวกเตอร , ,u v w ใดๆ และสเกลาร ,a b ใดๆ
1. u v v u+ = +
2. ( ) ( )u v w u v w+ + = + +
3. 0 0u u u+ = + =
4. ( ) ( ) 0u u u u+ − = − + =
5. ( ) ( )a bu ab u=
6. ( )a b u au bu+ = +
7. ( )a u v au av+ = +
8. ถา , 0u v ≠ และ u ไมขนานกบ v และ 0au bv+ = แลว 0a = และ 0b =
5. เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต
ให i เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศบวกของแกน x
และ j เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศบวกของแกน y
เวกเตอร u ทเรมจากจดกาเนดไปสนสดทจด ( , )a b คอ
au ai bj
b
⎡ ⎤⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎣ ⎦
และขนาดของเวกเตอร u คอ 2 2u ai bj a b= + = +
เวกเตอร u ทเรมจากจด 1 1( , )A x y ไปสนสดทจด 2 2( , )B x y คอ
1 2 2 1
1 2 2 1
x x x xu AB AO OB y y y y
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + = − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x
y
( , )a b
a
b
0
u
ai
bj
u ai bj= +
x
y
1 1( , )A x y
O
u2 2( , )B x y
30 เวกเตอร คณตศาสตร
6. เวกเตอรหนงหนวย
1. เวกเตอรหนงหนวยในทศทกาหนดให
กาหนด u ai bj= + โดยท 0u ≠ ขนาดของ u คอ 2 2u a b= +
เวกเตอรหนงหนวยในทศของ u คอ 2 2
u ai bju a b
+=
+
เวกเตอรหนงหนวยในทศตรงขามกบ u คอ 2 2
u ai bju a b
+− = −
+
2. เวกเตอรหนงหนวยในทศทตงฉากกบเวกเตอรทกาหนดให
กาหนด u ai bj= + โดยท 0u ≠ ขนาดของ u คอ 2 2u a b= +
เวกเตอรหนงหนวยในทศทตงฉากกบ u คอ 2 2
bi aj
a b
−±
+
7. ผลคณเชงสเกลาร (Dot Product)
กาหนด u ai bj= + และ v ci dj= +
นยามผลคณเชงสเกลารระหวาง u กบ v เปน u v ab cd⋅ = +
ขอสงเกต สาหรบเวกเตอร , ,u v w ใดๆ
1. u v v u⋅ = ⋅
2. ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅
3. ( ) ( ) ( )a u v au v u av⋅ = ⋅ = ⋅
4. cosu v u v θ⋅ = เมอ θ เปนมมระหวาง u กบ v
ถา , 0u v ≠ เราสามารถหามมระหวางเวกเตอรไดจาก
cosu vu v
θ⋅
=
5. ถา , 0u v ≠ แลว u v⊥ กตอเมอ 0u v⋅ =
6. 2u u u⋅ =
7. ( ) ( ) ( )2 22 2u v u v u v u u v v+ = + ⋅ + = + ⋅ +
( ) ( ) ( )2 22 2u v u v u v u u v v− = − ⋅ − = − ⋅ +
θu
v
คณตศาสตร เวกเตอร 31
8. เงาฉาย (Projection)
ให , 0u v ≠ projection ของ u บน v คอเงาฉายของเวกเตอร u บนเวกเตอร v ดงรป
ให vu เปนเวกเตอรเงาฉายของ u บน v จะเหนวา cosv
u v u vu u u
u v vθ
⎛ ⎞⋅ ⋅⎟⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
ดงนน 2v
u v v u vu v
v v v
⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟= = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ในทานองเดยวกน เงาฉายของ v บน u คอ 2u
u vv u
u
⎛ ⎞⋅ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
9. เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต
ในทานองเดยวกบเวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต จะกาหนดให i เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศ
บวกของแกน x, j เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศบวกของแกน y และ k เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศ
บวกของแกน z จะเหนวาเวกเตอร u ทเรมจากจดกาเนดไปสนสดทจด ( , , )a b c จะเขยนไดในรป
u ai bj ck= + +
10. ผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต
กาหนด 1 1 1 1u a i b j c k= + + และ 2 2 2 2u a i b j c k= + + จะนยาม
1. ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product หรอ Dot Product)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cosu u a a b b c c u u θ⋅ = + + =
เมอ θ เปนมมระหวาง 1u กบ 2u
2. ผลคณเชงเวกเตอร (Vector Product หรอ Cross Product)
( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2
i j k
u u a b c b c b c i c a c a j a b a b k
a b c
× = = − + − + −
หาทศของ 1 2u u× ไดจากกฎมอขวาและ 1 2 1 2 sinu u u u θ× = เมอ θ เปนมมระหวางเวกเตอร
1u กบ 2u นอกจากน 1 2u u× ยงเปนพนทรปสเหลยมดานขนานทม 1u กบ 2u เปนดานประชด
11. ปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน
รปทรงสเหลยมดานขนาน(parallelepiped) ทมเวกเตอร , ,u v w เปนดานประชดคอ
( )V u v w= ⋅ ×
u
vθ
vu
32 จานวนเชงซอน คณตศาสตร
จานวนเชงซอน 1. ความรพนฐานเกยวกบจานวนเชงซอน
1. จานวนเชงซอน
จานวนเชงซอนคอจานวนทเขยนในรป a bi+
โดยท a และ b เปนจานวนจรง และ 2 1i = −
เรยก a วาสวนจรง(real part) และเรยก b วาสวนจนตภาพ(imaginary part)
ถาให z a bi= + เปนจานวนเชงซอน จะกาหนด Re( )z a= และ Im( )z b=
2. ขนาดของจานวนเชงซอน
ถา z a bi= + เปนจานวนเชงซอน จะเขยน z แทนขนาดของ z โดย 2 2z a b= +
3. สงยค(conjugate)ของจานวนเชงซอน
ถา z a bi= + เปนจานวนเชงซอน จะเขยน z แทนสงยคของ z โดย z a bi= −
2. การดาเนนการและความสมพนธของจานวนเชงซอน
กาหนด 1 1 1z a b i= + และ 2 2 2z a b i= + เปนจานวนเชงซอน
1. การเทากนของจานวนเชงซอน
1 2z z= กตอเมอ 1 1a b= และ 2 2a b=
2. การบวกและการลบจานวนเชงซอน
( ) ( )
( ) ( )1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i
z z a a b b i
+ = + + +
− = − + −
3. การคณจานวนเชงซอน
( )( ) 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z a b i a b i a a a b i a b i b b i= + + = + + +
แต 2 1i = − จงได ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z a a b b a b a b i= − + +
ขอสงเกต
1. 2 3 4 5 61, , 1, , ,i i i i i i i i= − = − = = = − …
2. 4 4 1 4 2 2 4 3 31, , 1,n n n ni i i i i i i i+ + += = = = − = = − เมอ n เปนจานวนเตม
3. ถา z a bi= + แลว ( )( ) 2 2 2 2 2 2zz a bi a bi a b i a b z= + − = − = + =
คณตศาสตร จานวนเชงซอน 33
4. การหารจานวนเชงซอน
ถา 2 0z ≠ แลว 1 1 2 1 22
2 2 2 2
z z z z zz z z z
= ⋅ =
นนคอ ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 21 1 1 1 1 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
a a b b a b a b iz a b i a b i a b iz a b i a b i a b i a b
+ + −+ + −= = ⋅ =
+ + − +
ขอสงเกต 2
1 ii
i i= = −
3. สมบตทสาคญบางประการ
สาหรบจานวนเชงซอน 1 2, ,z z z ใดๆ
1. ( )z z=
2. 1 2 1 2z z z z+ = + และ 1 2 1 2z z z z− = −
3. 1 2 1 2z z z z= และ 1 1
2 2
z zz z
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ เมอ 2 0z ≠
4. 2zz z=
5. Re( )2
z zz
+= และ Im( )
2z z
zi−
=
6. z z− =
7. 1 2 1 2z z z z= และ 11
2 2
zzz z
= เมอ 2 0z ≠
8. n nz z= เมอ n เปนจานวนเตม และ 0z ≠ เมอ n เปนจานวนเตมลบ
9. 1 2 1 2z z z z+ ≤ +
10. ( )( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 22Rez z z z z z z z z z z z z z z z z z+ = + + = + + + = + +
( )( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 22Rez z z z z z z z z z z z z z z z z z− = − − = − − + = − +
ตวอยาง กาหนด 1 4 3z i= − และ 2 1z i= + จงหา
6 171
52625
z iz
วธทา จะเหนวา 2 2
1 4 3 4 ( 3) 5z i= − = + − = และ 2 2
2 1 1 1 2z i= + = + =
นอกจากน 1i = ดงนน
( )
6 66 17 17 176 17 6 171 1 11
5 5 55 52 2 2 2
5 1 25625 625 4 2625 625 625 2
z i z i z iz iz z z z
⋅= = = = =
34 จานวนเชงซอน คณตศาสตร
4. จานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขว
จานวนเชงซอน z a bi= + แทนไดดวยจด ( , )a b ในระบบพกดฉาก
เรยกแกน x วาแกนจรง และเรยกแกน y วาแกนจนตภาพ
เรยก r วามอดลส(modulus) และเรยก θ วาอารกวเมนท(argument) ของ z
จะเหนวา ( )cos sin cos sinz a bi r r i r iθ θ θ θ= + = + = +
เรยกจานวนเชงซอนทเขยนอยในรป ( )cos sinz r iθ θ= + เมอ 0r ≥ วารปเชงขว
ขอสงเกต
1. cos sin 1iθ θ+ = และ ( )cos sinr i rθ θ+ =
2. ( ) ( )cos sin cos sini iθ θ θ θ− = − + −
ตวอยาง
1. 1 2 cos sin4 4
i iπ π⎛ ⎞⎟⎜+ = + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2. 1 3 2 cos sin3 3
i iπ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜− = − + − ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
3. 2 2 cos sin2 2
i iπ π⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
4. ( )1 1 cos( ) sin( )iπ π− = − + −
ขอสงเกต
1. รปเชงขวของ z มไดมากมาย เชน 2 cos 2 sin 22 2
i k i kπ π
π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜= + + + ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
เมอ Ik ∈
2. การเขยนจานวนเชงซอนในรปเชงชวทาใหการคณ หาร และยกกาลงทาไดงายขนมาก
x
y
0
( , )z a b=
r
a
b
θ
2 2
tan
r a b
ba
θ
⎧⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎪⎩
cos
sin
a r
b r
θ
θ
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
x
y
1 i+
1 3i−
2i
1−
คณตศาสตร จานวนเชงซอน 35
5. การคณ การหาร และการยกกาลงของจานวนเชงซอนในรปเชงขว
ให ( )1 1 1 1cos sinz r iθ θ= + และ ( )2 2 2 2cos sinz r iθ θ= +
( )
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 11 2 1 2
2 2
cos( ) sin( )
cos( ) sin( )
z z r r i
z ri
z r
θ θ θ θ
θ θ θ θ
= + + +
= − + −
ให ( )cos sinz r iθ θ= + และ n เปนจานวนเตม
( )cos( ) sin( )n nz r n i nθ θ= +
6. การหารากท n ของจานวนเชงซอนในรปเชงขว
ให ( )cos sinz r iθ θ= + และ n เปนจานวนเตม
1 1 2 2cos sinn n k k
z r in n
θ π θ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜= + ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ เมอ 0,1,2, , 1k n= −…
ขอสงเกต รากทง n ตวมขนาดเทากนหมด และมอารกวเมนตหาง 2nπ
เทาๆ กน
ตวอยาง จงหารากท 4 ของ 16i
วธทา เนองจาก 16 16 cos sin2 2
i iπ π⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
ดงนนรากทเหนไดงายทสดคอ 2 cos sin8 8
iπ π⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
สวนรากทเหลออก 3 ตว หาไดโดยการเพมอารกวเมนตของรากตวแรกไปครงละ 24π
ซงจะไดรากทเหลอเปน 5 5 9 9 13 13
2 cos sin , 2 cos sin , 2 cos sin8 8 8 8 8 8
i i iπ π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ + + +⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. รากของสมการพหนาม
พจารณาสมการพหนาม 1
1 1 0 0n nn na z a z a z a−
−+ + + + = เมอ 0na ≠
1. สมการนมราก n ราก (นบรากทซากนดวย)
2. ในกรณท 0 1, , , na a a… เปนจานวนจรง และถา 1z เปนรากแลว 1z จะเปนรากดวย
3. ถา 1 2, , , nz z z… เปนรากทง n ตว (อาจซากนได) แลว
11 2
nn
n
az z z
a−+ + + = − และ ( ) 0
1 2 1 nn
n
az z z
a= −
ในกรณของสมการกาลงสอง 2 0az bz c+ + = เมอ 0a ≠
และ 1 2,z z เปนรากทงสองแลวจะได 1 2
bz z
a+ = − และ 1 2
cz z
a=
36 กาหนดการเชงเสน คณตศาสตร
กาหนดการเชงเสน
1. ปญหากาหนดการเชงเสน (Linear Programming Problem)
ปญหากาหนดการเชงเสนเปนการหาคาสงสดหรอตาสดของฟงกชนจดประสงคทเปนฟงกชนเชงเสน
ภายใตขอจากดทกาหนดให
ขอจากดมกจะอยในรปของระบบอสมการเชงเสน
2. ขนตอนการแกปญหากาหนดการเชงเสน
1. หาฟงกชนจดประสงคและขอจากดทงหมดของปญหา
2. เขยนอาณาบรเวณของผลเฉลยทเปนไปได (feasible region) และหาพกดของจดมมทกจด
3. หาคาฟงกชนจดประสงคทจดมมทกจด แลวเลอกจดทใหคาสงสดหรอคาตาสดตามตองการ
ตวอยาง จงหาคาสงสดและคาตาสดของ 5 4P x y= + ภายใตขอจากด
2 8, 6, 0, 0x y x y x y+ ≤ + ≤ ≥ ≥
วธทา เขยนบรเวณของผลเฉลยทเปนไปได
ไดจดมม 4 จดคอ (0, 0), (0, 6), (2, 4), (4, 0) ซงแทนในฟงกชนจดประสงคไดดงน
(0, 0) 0, (0, 6) 24, (2, 4) 26, (4, 0) 20P P P P= = = =
ดงนน P มคาสงสดเทากบ 26 เมอ 2, 4x y= = และ P มคาตาสดเทากบ 0 เมอ 0, 0x y= =
2 8x y+ =
6x y+ =
x
y
64
6
8
0
(2, 4)
คณตศาสตร การนบและความนาจะเปน 37
การนบและความนาจะเปน
1. กฎการนบเบองตน
1. กฎการคณ
การทางานอยางหนงแบงเปน k ขนตอนยอย ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ
จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 3 kn n n n วธ
2. กฎการบวก
การทางานอยางหนงแบงเปน k กรณยอยทไมซากน ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ
จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 kn n n+ + + วธ
2. แฟกทอเรยล (Factorial)
0! 1= และ ! ( 1)( 2) 2 1n n n n= − − ⋅ เมอ 1n ≥
ขอสงเกต ( )!
( 1)( 2) ( )!
n mn n n n m
n+
+ + + =
3. วธเรยงสบเปลยน
1. วธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรง
1. ของ n สงทตางกน เรยงสบเปลยนเปนเสนตรงได !n วธ
2. ของ n สงทตางกน นามาทละ k สงมาเรยงสบเปลยนเปนเสนตรงได !
( )!n
k
nP
n k=
− วธ
3. การเรยงสบเปลยนของซาเปนเสนตรง
ถาของ n สงแบงได k กลมดงน ทมของเหมอนกน 1 2, , , kn n n… สง ตามลาดบ
แลวจะมวธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรงได 1 2
!! ! !k
nn n n
วธ
ขอสงเกต !
!0 !
nn
nP n= = และ 0
!1
!n nP
n= =
2. วธเรยงสบเปลยนเปนวงกลม
สงของ n สงทตางกน เรยงสบเปลยนเปนวงกลมได ( 1)!n − วธ
ถาจดเปนวงกลมทมองไดสองดาน เชน การรอยมาลย จะทาได ( 1)!
2n −
วธ
38 การนบและความนาจะเปน คณตศาสตร
4. วธจดหม
มของ n สงทตางกน เลอกมาทละ k สงโดยไมสนใจลาดบ จานวนวธททาไดคอ
!!( )!
nk
n nC
k k n k
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠
ขอสงเกต
1. n n
k n k
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ −⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2. 10
n n
n⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠
3. ( 1)( 2) ( 1)
!
n n n n n kk k
⎛ ⎞ − − − +⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 4. !n
k
nP k
k
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
5. การแบงกลมของทตางกน
มของ n สงทตางกน ตองการแบงเปน k กลมตางกน ทม 1 2, , , kn n n… สง ตามลาดบ
จะแบงกลมได 1 2
!! ! !k
nn n n
วธ
6. ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem)
1 2 2 1( ) 0 1 2 1n n n n n k k n n
nn n nn na b a a b a b a b ab bnnk
− − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟+ = + + + + + + +⎜⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜− ⎟⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
ขอสงเกต
1. ในการจาย ( )na b+ จะได 1n + พจน
2. พจนท 1k + คอ 1n k k
k
nT a b
k−
+
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
3. สมประสทธของการกระจายทวนามจดเปนสามเหลยมของปาสคาลได
4. เอกลกษณของปาสคาล 1
1 1
n n n
k k k
⎛ + ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜+ =⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟+⎟ ⎟ +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5. ถาแทน 1a b= = จะได 20 1 1n
n nn n
nn
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎟ ⎟+ + + + =⎜ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜− ⎟⎟ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6. ถาแทน 1, 1a b= = − จะได ( 1) 00 1 2n
n nn n
n⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎟ ⎟− + − + − =⎜ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
คณตศาสตร การนบและความนาจะเปน 39
7. ความนาจะเปน
1. การทดลองสม คอการทดลองซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกผล
การทดลองในแตละครงไดอยางถกตองแนนอน
2. แซมเปลสเปซ (sample space) คอเซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม
3. เหตการณ (event) คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ
ถา S เปนเซมเปลสเปซซงประกอบดวยสมาชกทมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน แลวความนาจะเปน
ของเหตการณ E คอ ( )
( )( )
n EP E
n S=
ขอสงเกต
1. 0 ( ) 1P E≤ ≤ สาหรบเหตการณ E ใดๆ
2. ( ) 0P φ = และ ( ) 1P S =
3. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
ในกรณท A และ B เปนเหตการณทไมเกดรวมกน จะได ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +
4. ถา A และ B เปนเหตการณทอสระตอกนแลว ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =
เหตการณจะเปนอสระตอกน เมอการเกดของเหตการณหนงไมมผลกระทบถงอกการเกด
ของอกเหตการณหนง
5. ถา A′ เปนคอมพลเมนตของ A จะได ( ) 1 ( )P A P A′ = −
8. ความนาจะเปนแบบมเงอนไข
ความนาจะเปนของเหตการณ A เมอมเงอนไขวาเหตการณ B เกดขนแลว เรยกวาความนาจะ
เปนแบบมเงอนไข เขยนแทนดวย ( | )P A B และ
( )( | )
( )P A B
P A BP B
∩=
ขอสงเกต
1. ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P B P A B P A P B A∩ = =
2. ถา A และ B อสระตอกนแลว
( | ) ( )P A B P A= และ ( | ) ( )P B A P B=
ซงจะไดตามมาวา ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =
40 ลาดบและอนกรม คณตศาสตร
ลาดบและอนกรม
1. ความรพนฐานเกยวกบลาดบและอนกรม
1. ลาดบ
ลาดบเปนชดของตวเลขทเขยนเรยงตอกนอยางมลาดบ ซงอาจมจานวนพจนเปนจานวนจากดหรออาจ
มจานวนพจนเปนอนนตกได
ลาดบจากดทม n พจนจะอยในรป 1 2 3, , , , na a a a…
ลาดบอนนตจะอยในรป 1 2 3, , ,a a a …
2. อนกรม
ให na เปนพจนท n ของลาดบหนง
ลาดบของผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ na คอ
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2n n
S a
S a a
S a a a
S a a a
=
= +
= + +
= + + +
อนกรมอนนตของลาดบอนนต na คอ 1 2 nS a a a= + + + +… เมอผลบวกมคา
ขอสงเกต 1n n na S S −= −
3. ลาดบเลขคณตและอนกรมเลขคณต
ลาดบเลขคณต คอลาดบซง 1n na a+ − เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n
เรยก 1n nd a a+= − ซงเปนคาคงตววา ผลตางรวม
พจนท n ของลาดบเลขคณตคอ ( )1 1na a n d= + −
ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ]1 12 ( 1)2 2n n
n nS a n d a a= + − = +
ตวอยาง ให 3,1, 5, 9,− … เปนลาดบเลขคณต จงหาพจนท n และผลบวก n พจนแรก
วธทา ผลตางรวม ( )1 3 4d = − − = ดงนน ( ) ( )1 1 3 1 (4) 4 7na a n d n n= + − = − + − = −
ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ] ( )12 ( 1) 2( 3) ( 1)4 2 52 2n
n nS a n d n n n= + − = − + − = −
คณตศาสตร ลาดบและอนกรม 41
4. ลาดบเรขาคณตและอนกรมเรขาคณต
ลาดบเรขาคณต คอลาดบซง 1n
n
a
a+
เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n
เรยก 1n
n
ar
a+= ซงเปนคาคงตววา อตราสวนรวม
พจนท n ของลาดบเรขาคณตคอ 1
1n
na a r −=
ผลบวก n พจนแรกคอ ( )1 1
1
n
n
a rS
r
−=
− เมอ 1r ≠
ในกรณท 1r < จะหาผลบวกอนนตไดเปน 1
aS
r=
−
2. ลมตของลาดบ
1. ความหมายของลมต
ถา na มคาเขาใกลคาคงตว A ในขณะท n มคามากขนเรอยๆ อยางไมมขอบเขต
จะกลาววาลมตของ na เมอ n → ∞ เทากบ A และเขยนแทนดวย lim nna A
→∞=
ตวอยาง
1. 1n
na
n=
+ ซงกคอ
1 2 3 4, , , ,
2 3 4 5… ซงมคาเขาใกล 1 ดงนน lim lim 1
1nn n
na
n→∞ →∞= =
+
2. 1
32
n
na⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
ซงกคอ 3 3 3 3, , , ,
2 4 8 16… ซงมคาเขาใกล 0 ดงนน
1lim lim 3 0
2
n
nn na
→∞ →∞
⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
2. ลาดบคอนเวอรเจนตและลาดบไดเวอรเจนต
ให na เปนลาดบ
ถา lim nna
→∞ มคา จะเรยก na วาเปนลาดบคอนเวอรเจนต (convergent sequence)
มฉะนนจะเรยก na วาเปนลาดบไดเวอรเจนต (divergent sequence)
ตวอยาง
1. 2
11na
n= − มคาเขาใกล 1 เมอ n → ∞ นนคอ lim 1nn
a→∞
= จงเปนลาดบคอนเวอรเจนต
2. ( 1)nna = − ซงกคอ 1,1, 1,1,− − … ซงไมไดเขาใกลคาใด จงไมมลมต และเปนลาดบไดเวอรเจนต
ขอสงเกต ถาลมตมคา แลวลมตจะตองเปนคาคงตวและมคาเดยวเทานน
42 ลาดบและอนกรม คณตศาสตร
3. ทฤษฎบทเกยวกบลมต
ถา lim nna A
→∞= และ lim nn
b B→∞
= แลว
1. ( )lim nnca cA
→∞= เมอ c เปนคาคงตว
2. ( )lim n nna b A B
→∞+ = + และ ( )lim n nn
a b A B→∞
− = −
3. ( )lim n nna b AB
→∞= และ lim n
nn
a Ab B→∞
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ เมอ 0B ≠
4. lim nna A
→∞=
5. lim c cnn
a A→∞
= เมอ c เปนคาคงตว
6. limn
c c→∞
= เมอ c เปนคาคงตว
7. 0 1
lim1 1
n
n
rr
r→∞
⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩ และ lim n
nr
→∞ ไมม เมอ 1r = − หรอ 1r >
8. 0 0
lim1 0
p
n
pn
p→∞
<⎧⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩ และ lim p
nn
→∞ ไมม เมอ 0p >
9. 1
1 1 01
1 1 0
lim0
pp p
p pq
q qnq q
ap qa n a n a n a b
b n b n b n b p q
−−
−→∞−
⎧⎪ =⎪+ + + + ⎪⎪= ⎨⎪+ + + + ⎪ <⎪⎪⎩
และไมมลมตเมอ p q>
4. อนกรมคอนเวอรเจนตและอนกรมไดเวอรเจนต
ให nS เปนลาดบของผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ na
ถา lim nnS
→∞ มคา จะเรยกผลบวก 1 2 3a a a+ + + วา อนกรมคอนเวอรเจนต
มฉะนนจะเรยกวา อนกรมไดเวอรเจนต
ขอสงเกต
1. อนกรมเลขคณตเปนอนกรมไดเวอรเจนตเสมอ ยกเวนเมอ 1 0a d= = ซงคอลาดบ 0, 0,…
2. อนกรมเรขาคณตจะเปนอนกรมคอนเวอรเจนตเมอ 1r <
และเปนอนกรมไดเวอรเจนตเมอ 1r ≥ ทงนเมอ 1 0a ≠
เมอ
เมอ
เมอ
เมอ
เมอ
เมอ
คณตศาสตร ลาดบและอนกรม 43
3. ความสมพนธระหวางการลเขาและลออกของลาดบและอนกรม
กรณทสรปไดแนนอนมสองกรณ คอ
3.1 ถาอนกรมคอนเวอรเจนตแลว ลาดบตองคอนเวอรเจนตเขาส 0 เสมอ
นนคอ ถา lim nnS
→∞ มคา แลว lim 0nn
a→∞
=
3.2 ถาลาดบไดเวอรเจนตแลว อนกรมตองไดเวอรเจนตเสมอ
กรณทสรปผลไมไดมสองกรณ คอ
3.3 ถาอนกรมไดเวอรเจนตแลว ลาดบอาจจะคอนเวอรเจนตหรอไดเวอรเจนตกได
3.4 ถาลาดบคอนเวอรเจนตแลว อนกรมอาจจะคอนเวอรเจนตหรอไดเวอรเจนตกได
3. เครองหมายรวมยอด (Summation)
ให na เปนลาดบ กาหนด 1 21
n
i ni
a a a a=
= + + +∑
1. สมบตบางประการของเครองหมายรวมยอด
1. ( )1 1
n n
i ii i
ca c a= =
=∑ ∑ เมอ c เปนคาคงตว
2. ( )1 1 1
n n n
i i i ii i i
a b a b= = =
+ = +∑ ∑ ∑
3. ( )1 1 1
n n n
i i i ii i i
a b a b= = =
− = −∑ ∑ ∑
2. ผลรวมทควรทราบ
1. 1
n
i
c c c c nc=
= + + + =∑
2. ( )
1
11 2
2
n
i
n ni n
=
+= + + + =∑
3. ( )( )2 2 2 2
1
1 2 11 2
6
n
i
n n ni n
=
+ += + + + =∑
4. 2
3 3 3 3
1
( 1)1 2
2
n
i
n ni n
=
⎡ ⎤+⎢ ⎥= + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
44 แคลคลส คณตศาสตร
แคลคลส
1. ลมตและทฤษฎบทเกยวกบลมต
1. ลมตสองดาน
เขยน lim ( )x a
f x L→
= แทน “ ( )f x มคาเขาใกล L ขณะ x มคาเขาใกล a”
ถา lim ( )x a
f x→
และ lim ( )x a
g x→
มคาแลว
1. lim ( ) lim ( )x a x a
c f x c f x→ →
= เมอ c เปนคาคงตว
2. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x→ → →
+ = + และ [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x→ → →
− = −
3. [ ] ( )( )lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x→ → →
=
4. lim ( )( )
lim( ) lim ( )
x a
x ax a
f xf xg x g x
→
→→
= เมอ lim ( ) 0x a
g x→
≠
5. ถา ( )f x เปนฟงกชนพหนามแลว lim ( ) ( )x a
f x f a→
=
6. lim ( ) lim ( )n nx a x a
f x f x→ →
= เมอการหารากมความหมาย
2. ลมตดานเดยว
เขยน lim ( )x a
f x L−→
= แทน “ ( )f x มคาเขาใกล L ขณะ x มคาเขาใกล a จากทางซาย”
เขยน lim ( )x a
f x L+→
= แทน “ ( )f x มคาเขาใกล L ขณะ x มคาเขาใกล a จากทางขวา”
ทฤษฎบทสาหรบลมตสองดานยงคงใชไดกบลมตดานเดยว
ถา lim ( ) lim ( )x a x a
f x f x L− +→ →
= = แลว lim ( )x a
f x L→
=
2. ความตอเนอง
ฟงกชน f จะมความตอเนองท x a= กตอเมอ
1. ( )f a มคา และ
2. lim ( )x a
f x→
มคา และ
3. lim ( ) ( )x a
f x f a→
=
คณตศาสตร แคลคลส 45
3. อตราการเปลยนแปลงเฉลย
กาหนด ( )y f x=
ถา x เปลยนไปเปน x h+ แลวการเปลยนแปลงของ x คอ ( )x x h x hΔ = + − =
และการเปลยนแปลงของ y คอ ( ) ( )y f x h f xΔ = + −
อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x h+ คอ
( ) ( )f x h f xyx h
+ −Δ=
Δ
4. อนพนธ
กาหนด ( )y f x= อนพนธของ y เทยบกบ x เขยนแทนดวย ( )
, , ( ),df xdy
y f xdx dx
′ ′ โดยท
0 0
( ) ( )lim limx h
f x h f xdy ydx x hΔ → →
+ −Δ= =
Δ
เราอาศยสตรตอไปนชวยในการหาอนพนธของฟงกชน
1. 0dcdx
= เมอ c เปนคาคงตว
2. 1dxdx
=
3. 1n
ndxnx
dx−= เมอ n เปนจานวนตรรกยะ
ให u และ v เปนฟงกชนของ x
4. ( )d cu du
cdx dx
= เมอ c เปนคาคงตว
5. ( )d u v du dvdx dx dx+
= +
6. สตรผลคณ ( )d uv dv du
u vdx dx dx
= +
7. สตรผลหาร 2
du dvv ud u dx dx
dx v v
−⎛ ⎞⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
ถา z เปนฟงกชนของ y และ y เปนฟงกชนของ x แลว
8. กฎลกโซ dz dz dydx dy dx
= ⋅
46 แคลคลส คณตศาสตร
5. ความชนและเสนสมผสเสนโคง
กาหนดเสนโคง ( )y f x= ความชนเสนสมผสเสนโคงทจดใดกคออนพนธทจดนน
6. อนพนธอนดบสง
กาหนด ( )y f x= เราเรยก ( )dy
f xdx
′= วาอนพนธอนดบหนง
เรยก
2
2 ( )d y d dy
f xdx dx dx
⎛ ⎞⎟⎜′′= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ วาเปนอนพนธอนดบสอง
และสามารถหาอนพนธอนดบอนๆ ไดในทานองเดยวกน
7. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด
ให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง [ , ]a b
สาหรบทก [ ]1 2, ,x x a b∈
1. ถา 1 2( ) ( )f x f x< ทก 1 2x x< แลวจะกลาววา f เปนฟงกชนเพมบนชวง [ , ]a b
2. ถา 1 2( ) ( )f x f x> ทก 1 2x x< แลวจะกลาววา f เปนฟงกชนลดบนชวง [ , ]a b
ถา ( )f x′ หาคาไดททกจดในชวง ( , )a b แลวจะตรวจสอบวา f เปนฟงกชนเพมหรอลดไดดงน
( )y f x=( , ( ))a f a
x
y( ) ( )( )y f a f a x a′− = −
x
y( )y f x=
ฟงกชนเพม
x
y( )y f x=
ฟงกชนลด
คณตศาสตร แคลคลส 47
1. ถา ( ) 0f x′ > ทก ( , )x a b∈ แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [ , ]a b
2. ถา ( ) 0f x′ < ทก ( , )x a b∈ แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง [ , ]a b
8. คาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธ
เมอกาหนด ( )y f x= หาจดสงสดสมพทธและจดตาสดสมพทธของฟงกชน f ไดดงน
1. หาอนพนธ ( )f x′
2. แกสมการ ( ) 0f x′ = คาตอบทไดเรยกวาจดวกฤต (จดทหา ( )f x′ ไมไดเปนจดวกฤตดวย)
3. จดวกฤตแตละจดอาจเปนจดสงสดสมพทธ หรอจดตาสดสมพทธ หรอไมใชทงสองอยาง
ซงสามารถทดสอบจดวกฤต 0x x= ไดดวยวธใดวธหนงตอไปน
3.1 วธอนพนธอนดบสอง
- ถา 0( ) 0f x′′ > แลว 0x จะใหจดตาสดสมพทธ
- ถา 0( ) 0f x′′ < แลว 0x จะใหจดสงสดสมพทธ
- ถา 0( ) 0f x′′ = แลวยงสรปไมได ตองทดสอบโดยวธอน
3.2 วธอนพนธอนดบหนง
พจารณาการเปลยนเครองหมายของ ( )f x′ ทจด 0x ขณะ x มคาเพมขนจากทางซาย
ของ 0x ไปทางขวาของ 0x
- ถา ( )f x′ มคาเปลยนจากบวกไปเปนลบ แสดงวาเปลยนจากฟงกชนเพมไปเปน
ฟงกชนลด จงใหจดสงสดสมพทธ
- ถา ( )f x′ มคาเปลยนจากลบไปเปนบวก แสดงวาเปลยนจากฟงกชนลดไปเปนฟงกชน
เพม จงใหจดตาสดสมพทธ
x
yจดสงสดสมพทธ
จดตาสดสมพทธ
48 แคลคลส คณตศาสตร
- ถา ( )f x′ ไมเปลยนเครองหมาย แสดงวาไมใชจดสงสดสมพทธและจดตาสดสมพทธ
9. ปฏยานพนธและอนทกรลไมจากดเขต
ถา F เปนฟงกชนซง ( )
( )dF x
f xdx
= แลวจะเรยก ( )F x วาปฏยานพนธของ ( )f x และเขยน
แทนดวย ( ) ( )F x f x dx= ∫
ขอสงเกต ถา ( )F x เปนปฏยานพนธของ ( )f x แลว ( )F x c+ เมอ c เปนคาคงตวใดๆ
จะเปนปฏยานพนธของ ( )f x
เราอาศยสตรตอไปนชวยในการหาปฏยานพนธ
1. dx x c= +∫ และ 1
1
nn x
x dxn
+
=+∫ เมอ 1n ≠ −
2. ( ) ( )a f x dx a f x dx=∫ ∫ เมอ a เปนคาคงตว
3. [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
10. อนทกรลจากดเขตและพนทใตกราฟ
ถา ( )F x เปนปฏยานพนธของ ( )f x แลวนยาม ( ) ( ) ( ) ( )b b
aaf x dx F x F b F a= = −∫
ถา ( ) 0f x ≥ สาหรบทก ( , )x a b∈ แลว ( )b
af x dx∫ จะมความหมายเปนพนทใตกราฟ
ของ ( )y f x= ในชวง x a= ถง x b=
ถา ( ) 0f x ≤ สาหรบทก ( , )x a b∈ แลว ( )b
af x dx∫ จะมความหมายเปนพนทระหวางกราฟ
( )y f x= กบแกน x ในชวง x a= ถง x b=
คณตศาสตร สถต 49
สถต
1. การวดคากลางของขอมล
ลาดบ คากลาง สตร ขอสงเกต
1.
คาเฉลยเลขคณต
(arithmetic mean)
หรอ x 1
1 N
ii
x xN =
= ∑
1. 1
N
ii
x Nx=
=∑
2. 1
( ) 0N
ii
x x=
− =∑
3. 2
1
( )N
ii
x a=
−∑ นอยทสดเมอ a x=
4. ถา i iy ax b= + แลว y ax b= +
5. min maxx x x≤ ≤
2. มธยฐาน
(median)
หรอ Me
Me = คาของขอมล
ตาแหนงตรงกลางเมอ
เรยงลาดบขอมลแลว
a Me= ทาให 1
N
ii
x a=
−∑ นอยทสด
3. ฐานนยม (mode)
หรอ Mo
Mo = คาของขอมล
ทมความถมากทสด
1. ในกรณทมขอมลมการแจกแจงความถ
อนตรภาคชนของทกชนตองเทากน
2. ขอมลคณภาพนยมหาคากลางโดยวธน
4.
คาเฉลยเรขาคณต
(geometric mean)
หรอ G.M.
1 2. . NNG M x x x=
1. ขอมล 1 2, , , Nx x x… ตองทาให
1 2N
Nx x x มความหมาย
2. 1
1log . . log
N
ii
G M xN =
= ∑
เมอ 0ix >
5.
คาเฉลยฮารโมนก
(harmonic mean)
หรอ H.M. 1
. .1N
i i
NH M
x=
=
∑ H.M. = สวนกลบของคาเฉลยเลขคณต
ของสวนกลบของขอมลแตละตว
6. กงกลางพสย
(mid range)
หรอ M.R.
min max. .2
x xM R
+=
ถาขอมลอยในรปอนตรภาคชนเปด
จะหาคากลางแบบนไมได
50 สถต คณตศาสตร
ในกรณทขอมลมการแจกแจงความถ ใหถวงนาหนกดวยความถของขอมลแตละตวตามความ
เหมาะสม ยกเวนมธยฐานทใหคานวณตามสตรตอไปน
1
1 2
dMo L I
d d
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠
เมอ L = ขดจากดลางของชนทมความถสงสด
I = ความกวางของชนทมความถสงสด
1d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทตากวาหนงชน
2d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทสงกวาหนงชน
ขอสงเกต ถาขอมลทกตวมคาบวกแลว . . . .x G M H M≥ ≥
2. หลกเกณฑสาคญในการใชคากลางชนดตางๆ
1. คาเฉลยเลขคณตเปนคากลางทไดจากการนาทกๆ คาของขอมลมาเฉลย แตมธยฐานและฐานนยม
เปนเพยงคากลางทใชตาแหนงท (position) ของขอมลบางคาเทานน
2. ถาในจานวนขอมลทงหมดมขอมลบางคาทมคาสงหรอตากวาขอมลอนๆ มาก จะมผลกระทบ
กระเทอนตอการหาคากลางโดยใชคาเฉลยเลขคณต กลาวคออาจจะทาใหคากลางทไดมคาสงหรอตากวา
ขอมลทมอยสวนใหญ แตจะไมมผลกระทบกระเทอนตอการหาคากลางโดยใชมธยฐานหรอฐานนยม
3. มธยฐานและฐานนยมใชเพอตองการทราบคากลางของขอมลทงหมดโดยประมาณและรวดเรว
ทงนเนองจากการหามธยฐานและฐานนยมบางวธไมจาเปนตองมการคานวณซงอาจใชเวลามาก
4. ถาการแจกแจงความถของขอมลประกอบดวยอนตรภาคชนทมชวงปด อาจเปนชนตาสดหรอชน
สงสดคชนใดชนหนงหรอทงสองชน การหาคากลางโดยใชคาเฉลยเลขคณตไมสามารถหาได แตสามารถ
หามธยฐานหรอฐานนยมได
5. การแจกแจงความถของขอมลทมความกวางของแตละอนตรภาคชนไมเทากน อาจจะมผลทาใหคา
กลางทหาไดโดยใชคาเฉลยเลขคณตหรอฐานนยมคลาดเคลอนไปจากทควรจะเปนไดบาง แตจะไมม
ผลกระทบกระเทอนตอการหามธยฐาน
6. ในกรณทขอมลเปนประเภทขอมลคณภาพ (qualitative data) จะสามารถหาคากลางไดเฉพาะ
ฐานนยมเทานน แตไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณตหรอมธยฐาน
คณตศาสตร สถต 51
7. ความสมพนธของ x , Me, Mo
โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย
x Me Mo= = x
Mo Me x< <
x Me Mo< <
3. ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล
ให L = ขดจากดลางของชนทคาสถตนนอย
I = ความกวางของชนทคาสถตนนอย
Lf∑ = เปนความถสะสมกอนชนทคาสถตชนอย
if = ความถของชนทคาสถตนนอย
คาสถต ความหมาย ขอมลทไมแจกแจงความถ ขอมลทแจกแจงความถ
มธยฐาน
(Median)
จดทแบงขอมล
ออกเปน2 สวน
เทาๆ กน
ตาแหนงของ Me
คอ 1
2N +
ตาแหนงของ Me คอ 2N
2 L
i
Nf
Med L If
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∑
ควอรไทล
(Quartile)
จดทแบงขอมล
ออกเปน4 สวน
เทาๆ กน
ตาแหนงของ kQ
คอ ( 1)
4N k+
ตาแหนงของ kQ คอ 4
kN
4 L
ki
kNf
Q L If
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∑
เดไซล
(Decile)
จดทแบงขอมล
ออกเปน10 สวน
เทาๆ กน
ตาแหนงของ kD
คอ ( 1)
10N k+
ตาแหนงของ kD คอ 10kN
10 L
ki
kNf
D L If
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∑
เปอรเซนไทล
(Percentile)
จดทแบงขอมล
ออกเปน 100
สวนเทาๆ กน
ตาแหนงของ kP
คอ ( 1)
100N k+
ตาแหนงของ kP คอ 100kN
100 L
ki
kNf
P L If
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∑
52 สถต คณตศาสตร
4. การวดการกระจายของขอมล
1. การวดการกระจายสมบรณ
1.1 พสย (Range) max minx x= −
1.2 สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) 3 1
2Q Q−
=
1.3 สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.) 1
N
ii
x x
N=
−=∑
1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (s)
2
1
( )N
ii
x x
N=
−=
∑
ความแปรปรวน (variance) 2s=
ขอสงเกต
1. ถามขอมล m ชด และ 1 2 mx x x= = = แลว
2 2 22 1 1 2 2
1 2
m m
m
N s N s N ss
N N N+ + +
=+ + +รวม
2. ถา i iy ax b= + แลว y ax b= + และ y xs a s=
2. การวดการกระจายสมพทธ
1. สมประสทธของพสย max min
max min
x xx x
−=
+
2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล 3 1
3 1
Q QQ Q
−=
+
3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย . .M Dx
=
4. สมประสทธของสวนเบยงเบนมาตรฐาน sx
=
5. คามาตรฐานและการแจกแจกปกต
คามาตรฐาน(Z-score) กาหนดโดย x x
Zs−
=
ขอสงเกต
1. คาเฉลยของ Z เทากบ 0 เสมอ
2. สวนเบยงเบนมาตรฐานของ Z เทากบ 1 เสมอ
คณตศาสตร สถต 53
ถาขอมลมการแจกแจงปกต แลว Z จะมการกระจายดงแสดงในรป
-3 -2 -1 1 2 3Z
0.1
0.2
0.3
0.4
กราฟนมสมมาตรเทยบกบ 0Z = และเปดตารางหาพนท A ระหวาง 0 ถง Z ได
6. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
1. ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรง
สมการทวไปคอ y mx c= +
สมการปกตคอ 1 1
2
1 1 1
N N
i ii i
N N N
i i i ii i i
y m x Nc
x y m x c x
= =
= = =
⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩
∑ ∑
∑ ∑ ∑
ขอสงเกต y mx c= +
2. ความสมพนธเชงฟงกชนทไมเปนเสนตรง
1. สมการพาราโบลา 2y ax bx c= + +
สมการปกตคอ
2
1 1 1
3 2
1 1 1 1
2 4 3 2
1 1 1 1
i
N N N
i ii i i
N N N N
i i i i ii i i i
N N N N
i i i i ii i i i
y a x b x Nc
x y a x b x c x
x y a x b x c x
= = =
= = = =
= = = =
⎧⎪⎪ = + +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = + +⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = + +⎪⎪⎪⎩
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
2. สมการเอกซโพเนนเชยล xy ab= หรอ log log logy a x b= +
สมการปกตคอ 1 1
2
1 1 1
log log (log )
log (log ) (log )
N N
i ii i
N N N
i i i ii i i
y N a b x
x y a x b x
= =
= = =
⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩
∑ ∑
∑ ∑ ∑
54 ขอสอบวชาคณตศาสตร 1 (มนาคม 2548) คณตศาสตร
ขอสอบวชาคณตศาสตร 1 (มนาคม 2548) ตอนท 1 ขอ 1-5 ขอละ 2 คะแนน ขอ 6-10 ขอละ 3 คะแนน
1. ผลบวกของคาตอบของสมการ ( ) ( )12 2 3 9 4 18 0x x x− − + = มคาเทากบเทาใด
2. พจนทเปนคาคงตวทเกดจากการกระจาย ( )8tan 2 cotx x− มคาเทากบเทาใด
3. ในคณะกรรมการนกเรยนจานวน 10 คน จะมวธเลอกประธาน รองประธาน และเลขานการ ไดกวธ
ถากรรมการคนหนงไมสมครทจะเปนประธาน
4. นายแดงนาเงนไปฝากธนาคารออมสนโดยฝากเดอนแรก 100 บาท เดอนตอไปฝากเพมขนเดอนละ 5
บาททกเดอน เมอครบ 2 ป นายแดงนาเงนไปฝากทงหมดเทาใด
5. กาหนดให , ,u v w เปนเวคเตอรทสอดคลองกบสมการ 5 2 0u v w+ − = โดยท 3 4u i j= +
และ u ตงฉากกบ v ถา θ เปนมมระหวาง u และ w แลวคาของ cosw θ เทากบเทาใด
6. ขอมลชดหนงประกอบดวย 1 2 13, ,x x x… โดยท 5nx n= − เมอ 1,2, ,13n = … จานวนจรง a
ททาให 13
1n
n
x a=
−∑ มคานอยทสดเทากบเทาใด
7. กาหนดใหเสนตรง x y= ตดวงร
2 2( 1) ( 1)1
9 4x y− −
+ = ทจด A และ B ถา 1F และ 2F
เปนจดโฟกสของวงรนแลว 1 2 1 2AF AF BF BF+ + + มคาเทากบเทาใด
8. กาหนดใหพาราโบลารปหนงทสมการเปน 2 4 16 12 0y y− − − = ถา l เปนเสนตรงทผานโฟกส
ของพาราโบลารปน และตงฉากกบเสนตรง 3 2 5 0x y− + = แลว ระยะตดแกน y ของเสนตรง l
มคาเทากบเทาใด
9. ถา 1 4(cos145 sin145 )z i= + และ 2 3(cos115 sin115 )z i= + แลว คาของ 2
1 2z z−
เทากบเทาใด
10. ถา n เปนจานวนเตมบวกซงมสมบตดงน
100 1000n≤ ≤
45 และ 75 หาร n ลงตว
7 หาร n เหลอเศษ 3
แลว n มคาเทากบเทาใด
คณตศาสตร ขอสอบวชาคณตศาสตร 1 (มนาคม 2548) 55
ตอนท 2 ขอละ 3 คะแนน
1. สาหรบเซต A และ B ใดๆ ขอใดตอไปน ผด
1. ถา A B∩ = ∅ แลว A B ′⊂ และ B A′⊂
2. ( )A A B A B− ∩ = −
3. ( )A B A B∪ − =
4. ถา ( )A B A∩ = แลว A B⊂
2. ขอใดตอไปน ผด
1. เสนตรง 3 2y x= + ขนานกบเสนตรง 3 4 0x y− − =
2. เสนตรง 5 8 0y x+ + = ตงฉากกบเสนตรง 5 3y x= +
3. ระยะหางระหวางจด (0, 0) กบเสนตรง 3 4 10 0x y+ − = เทากบ 2
4. ระยะหางระหวางเสนตรง 2 5 0x y− + = กบเสนตรง 2 5 0x y− − = เทากบ 2
3. เซตในขอใดตอไปนเปนเซตคาตอบของสมการ 3 29 12 2 0x x x+ + − =
1. 1 3
{ 2, , }3 2
− 2. 2 1
{ 1, , }3 2
− − 3. 1 2
{ 1, , }3 3
− 4. 2 1
{ 1, , }3 3
− −
4. พจารณาขอความตอไปน
ก. ถา f และ g เปนฟงกชนซง 0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim ( )h h
f x h f x f x h f xg x
h h+ −→ →
+ − + −= =
แลว ( ) ( )g x f x′=
ข. ถา f เปนฟงกชนซง ( ) 0f x > สาหรบทกๆ จานวนจรง x และ ( ) 0f a′ ≠
แลวความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชน 1( )
yf x
= ทจด a คอ 1( )f a′
ขอใดตอไปนถก
1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด
3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด
5. คาของ 2
2
24 x dx
−−∫ อยในชวงใดตอไปน
1. (3.1, 3.2) 2. (3.2, 3.3) 3. (6.1, 6.2) 4. (6.2, 6.3)
6. ให , , ,p q r s เปนประพจน ถา ( )[ ] ( )p q r q s→ ∨ ∧ ∨∼ มคาความจรงเปนจรง และ
( )p s r∧ → มคาความจรงเปนเทจแลว ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปน เทจ
1. p q→ 2. q r→ 3. r s→ 4. s p→
56 ขอสอบวชาคณตศาสตร 1 (มนาคม 2548) คณตศาสตร
7. พจารณาขอความตอไปน
ก. ถาเอกภพสมพทธคอเซตของจานวนเตมแลวขอความ [ ]5 7 1m n m n∃ ∃ + = มคาความจรงเปนจรง
ข. นเสธของขอความ 2( 2 2) ( sin )x y x x y y x⎡ ⎤∀ ∃ − ≥ − ∧ ≥⎣ ⎦ คอ
2( 2 2) ( sin )x y x x y y x⎡ ⎤∃ ∀ − < − ∨ <⎣ ⎦
ขอใดตอไปนถก
1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด
3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด
8. ถา
2 2
2 2
sin 3 cos 32
sin cosA AA A
− = แลว cos2A มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 14
2. 12
3. 12
4. 13
9. ถา ( )tan arccos 3x = − แลว คาของ sin(2 arccos )x x เทากบขอใดตอไปน
1. 34
− 2. 12
− 3. 12
4. 34
10. พจารณาขอความตอไปน
ก. เซตคาตอบของ 4 3 22 4 6 0x x x x− + + − = คอ { 2, 2, 1 2 , 2 }i i− + +
ข.
6 61 3 1 3
22 2
i i⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ ≤⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ขอใดตอไปนถก
1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด
3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด
11. ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ ( ) 2log log log(9 log )x x+ − ≥1ถา a และ b เปนสมาชก
ของ S ทมคามากทสดและคานอยทสดตามลาดบแลว ab มคาเทากบขอใด
1. 7210 2.
9210 3.
11210 4.
13210
12. กาหนดให
1 1 0 1
0 1 2 , 0 ,
3 0 1 2
x
B C X y
z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
และ I เปนเมตรกซเอกลกษณ
ถา A เปนเมตรกซมต 3 3× ซงสอดคลองกบสมการ 2AB I= และ AX C= แลว
คาของ x y z+ + เทากบขอใดตอไปน
1. 20 2. 24 3. 26 4. 30
คณตศาสตร ขอสอบวชาคณตศาสตร 1 (มนาคม 2548) 57
13. กาหนดให
4 12 9
7 10 5
1 0 0
A
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥
= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
และ , ,B C D เปนเมตรกซมต 3 3× ซง A B C D∼ ∼ ∼
โดยท B ไดจาก A โดยการดาเนนการ 1 2
43
R R−
C ไดจาก B โดยการดาเนนการ 15R
D ไดจาก C โดยการดาเนนการ 23R
แลว det( )D เทากบขอใดตอไปน
1. –3,750 2. –150 3. 150 4. 3,750
14. ถา na เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมล
1,2,2, 3, 3, 3, , , , ,n
n n n n… … แลว lim n
n
an→∞
เทากบขอใดตอไปน
1. 0 2. 12
3. 13
4. 23
15. กาหนดให
11
1( ) det1 1
xf x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
เมอ 1x ≠ ขอใดตอไปนถก
1. f เปนฟงกชน 1-1 และ
1
1
11
1( ) det1 1
xf x
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
เมอ 0, 1x x≠ ≠
2. f เปนฟงกชน 1-1 และ 1
1 1
( ) det 11
1
f x
x
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
เมอ 1x ≠−
3. f ไมเปนฟงกชน 1-1 เนองจากม x ททาให
11
1det 01 1
x⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
4. f ไมเปนฟงกชน 1-1 และ
211
1( )( ) det1 1
xf f x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
เมอ 1x ≠
16. กาหนดให 1, 0
( )0, 0
xf x
x
⎧ ≤⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩ พจารณาขอความตอไปน
ก. 0
lim( )( ) 0x
f f x−→
= ข. 0
lim( )( ) 1x
f f x+→
=
ขอใดตอไปนถก
1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด
3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด
58 ขอสอบวชาคณตศาสตร 1 (มนาคม 2548) คณตศาสตร
17. ถาความชนของเสนสมผสเสนโคง ( )y f x= ทจด ( , )x y ใดๆ เปน 2 4x − และ f มคาตาสด
สมพทธเทากบ 10 หนวย แลว พนทปดลอมดวยกราฟของ ( )y f x= กบแกน X จาก 0x = ถง
3x = เทากบขอใดตอไปน
1. 33 2. 36 3. 39 4. 42
18. ให {1,2, 3, 4}A = และ {1,2, 3, 4, 5}B = ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B โดยท (1) 2f =
หรอ (2)f m= เมอ m เปนจานวนค แลวจานวนฟงกชน f ทมสมบตดงกลาวเทากบขอใด
1. 75 2. 150 3. 425 4. 500
19. กลองใบหนงมลกบอลสดา 4 ลกและสแดง 6 ลก ถาสมหยบลกบอลจากกลองใบนมา 3 ลก ความ
นาจะเปนทจะไดลกบอลสละอยางนอยหนงลกเทากบขอใดตอไปน
1. 0.78 2. 0.80 3. 0.82 4. 0.84
20. ในการสมหยบเลข 3 หลกทมากกวาหรอเทากบ 100 มาหนงจานวน ความนาจะเปนทเลขจานวนนนม
เลข 8 อยางนอย 1 หลกและไมมเลข 9 ในหลกใดๆ จะเทากบขอใดตอไปน
1. 18
2. 19
3. 28
4. 29
21. กาหนดสมการจดประสงค z ax by= + โดยท 0, 0a b> > และมอสมการขอจากดคอ
2 0
3
2 4
0
0
x y
x y
x y
x
y
− ≤
+ ≥
+ ≥
≥
≥
เมอ 0z = จะไดเสนตรง 0ax by+ = มความชนเทากบ 32
− ถา z มคานอยสดทจด 0 0( , )x y
แลวคาของ 0 0x y− เทากบขอใดตอไปน
1. 4− 2. 1− 3. 1 4. 3
22. กาหนดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง 0z = ถง 1z = เทากบ 0.3413 ถาคะแนนสอบวชา
คณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงซงมจานวน 20,000 คน มการแจกแจงปกตแลว จานวนนกเรยนท
สอบไดคะแนนซงตางจากคะแนนเฉลยมากกวาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบขอใดตอไปน
1. 3,413 2. 6,348 3. 6,826 4. 13,652
คณตศาสตร ขอสอบวชาคณตศาสตร 1 (มนาคม 2548) 59
23. กาหนดฮสโทแกรมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 80 คน ดงน
ขอใดตอไปนถก
1. นกเรยนทสอบไดคะแนนระหวาง 50-79 มจานวนมากกวานกเรยนทสอบไดคะแนน 90 คะแนนขน
ไปเทากบ 50 คน
2. นกเรยนทสอบไดคะแนน 90 คะแนนขนไป มรอยละ 10 ของนกเรยนทงหมด
3. ควอรไทลทหนงของคะแนนสอบมคาอยระหวาง 60-69 คะแนน
4. ควอรไทลทสามของคะแนนสอบมคาอยระหวาง 80-89 คะแนน
24. กาหนดใหวงกลม 2 2 2 2 0x y ax by c+ + + + = ตดแกน Y ทจด 2 จดแตไมตดแกน X
ขอความในขอใดตอไปนเปนจรง
1. 2a c> และ 2b c>
2. 2a c> และ 2b c<
3. 2a c< และ 2b c>
4. 2a c< และ 2b c<
25. ถา S เปนเซตของจานวนเตม m ทมสมบตดงน
50 100m≤ ≤
7 หาร 3m เหลอเศษ 6
แลวจานวนสมาชกของ S เทากบขอใดตอไปน
1. 7 2. 14 3. 21 4. 28
0.375
0.350
0.0750.0500.025
คะแนน
ความถสมพทธ
29.539.5
49.559.5
69.579.5
89.599.5