Click here to load reader
Upload
ali-zacky
View
120
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
1
6. Distribusi Eksponensial Nilai Variabel Random 𝑥; 𝑥 > 0 Parameter 𝛽; 𝛽 > 0 Notasi 𝑋 ~ eksponensial 𝛽 Fungsi Distribusi Probabilitas
𝑓 𝑥 =
1
𝛽𝑒−𝑥𝛽 ; ; 𝑥 > 0
0 ; lainnya
Fungsi Distribusi Probabilitas Kumulatif
𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒−𝑥𝛽 ; ; 𝑥 > 0
0 ; 𝑥 < 0
Rerata 𝜇𝑋 = 𝛽 Variansi
𝜎𝑋2 = 𝛽2
2
Kurva Distribusi Eksponensial
eksponensial 𝛽 = 5
Hubungan dengan Distribusi Gamma
𝑋 ~gamma 𝛼,𝛽
𝛼 = 1 ⇒ 𝑋 ~ eksponensial 𝛽
Hubungan dengan Distribusi Erlang
𝑋𝑖 ~ eksponensial 𝛽 ; 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑘
𝑋𝑖 saling independen
𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑘
⇒ 𝑌 ~ Erlang 𝑘, 1/𝛽
Notasi Lain: Parameter 𝜆; 𝜆 > 0 Notasi Lain: Fungsi Distribusi Probabilitas
𝑓 𝑥 = 𝜆𝑒−𝜆𝑥 ; ; 𝑥 > 00 ; lainnya
Notasi Lain: Fungsi Distribusi Probabilitas Kumulatif
𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒−𝜆𝑥 ; ; 𝑥 > 00 ; 𝑥 < 0
Rerata
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0 10 20 30 40 50
f(x)
x
3
𝜇𝑋 =1
𝜆
Variansi
𝜎𝑋2 =
1
𝜆2
Hubungan dengan Distribusi Poisson 𝑋 ~ Poisson 𝜆𝑡
𝑃 𝑋 = 0 = 𝑃 tidak ada kejadian pada interval 𝑡 = 𝑃 kejadian terjadi setelah 𝑡
= 𝑒−𝜆𝑡 𝜆𝑡 0
0!= 𝑒−𝜆𝑡
𝑃 𝑇 > 𝑡 = 𝑒−𝜆𝑡
𝑃 𝑇 < 𝑡 = 𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒−𝜆𝑡
𝑓 𝑡 =𝑑𝐹 𝑡
𝑑𝑡= 𝜆𝑒−𝜆𝑡
Jika frekuensi kejadian per satuan waktu berdistribusi Poisson dengan rerata 𝜆, maka waktu antar kejadian berdistribusi eksponensial dengan rerata 1/𝜆. Hubungan dengan Distribusi Geometrik
𝑋 ~eksponensial 𝛽
𝑌 = 𝑋 ⇒ 𝑋 ~ geometrik 𝑝 = 1 − 𝑒
−1𝛽
Keandalan
𝑅 𝑡 = 𝑃 𝑇 > 𝑡 = 𝑓 𝑡 ∞
𝑡
= 1 − 𝐹 𝑡
Tingkat Kegagalan
𝑍 𝑡 =𝑓 𝑡
𝑅 𝑡 =
𝑓 𝑡
1 − 𝐹 𝑡
4
Contoh 1 Umur suatu komponen (dinyatakan dengan 𝑇) diketahui memiliki distribusi eksponensial dengan rerata 5 bulan. a. Tentukan probabilitas bahwa komponen dapat berumur lebih dari 10 bulan (keandalan
komponen pada 10 bulan) b. Jika keandalan komponen pada 10 bulan adalah 0,5; tentukan parameter dari
komponen. Jawab (a); 𝑇 ~ eksponensial 𝛽 𝜇𝑇 = 5 ⇒ 𝛽 = 5 𝑃 𝑇 > 10 = 1 − 𝑃 𝑇 < 10
= 1 − 1
5𝑒−
𝑡5 𝑑𝑡
10
0
= 1 − 𝐹 𝑡
= 1 − 1 − 𝑒−105
= 1 − 1 − 𝑒−2 = 𝑒−2 = 0,1353 Jawab (b) 𝑅 𝑡 = 𝑃 𝑇 > 𝑡 = 1 − 𝐹 𝑡 = 0,5
1 − 1 − 𝑒−
10𝛽 = 0,5
𝑒−
10𝛽 = 0,5
−10
𝛽= ln(0,5)
−10
𝛽= −0,6931
𝛽 =10
0,6931
𝛽 = 14,427
Contoh 2 Suatu sistem terdiri atas dua komponen yang terhubung secara serial sebagai berikut:
1 2
Jika salah satu komponen gagal, maka keseluruhan sistem akan gagal. Misal umur komponen 1 (dinyatakan 𝑋1) dengan adalah berdistribusi eksponensial dengan rerata 𝛽1 bulan. Misal umur
5
komponen 2 (dinyatakan 𝑋2) dengan adalah berdistribusi eksponensial dengan rerata 𝛽2 bulan. Anggap bahwa umur komponen 1 dan 2 adalah saling independen. a. Misal 𝑇 menyatakan umur dari sistem, tentukan fungsi distribusi probabilitas dari 𝑌,
𝑓 𝑡 b. Jika rerata umur komponen 1 dan 2 masing-masing adalah 5 dan 10 bulan, tentukan
rerata umur sistem. c. Tentukan kendalan sistem pada 10 bulan. Jawab (a) 𝑃 𝑇 > 𝑡 = 𝑃 𝑋1 > 𝑡 𝑃 𝑋2 > 𝑡
= 𝑒−𝑡𝛽1 𝑒
−𝑡𝛽2
= 𝑒−
1𝛽1
+1𝛽2 𝑡
= 𝑒−𝑡
𝛽1𝛽2𝛽1+𝛽2
𝐹 𝑡 = 1 − 𝑃 𝑇 > 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡
𝛽1𝛽2𝛽1+𝛽2
𝑓 𝑡 =𝑑𝐹 𝑡
𝑑𝑡=
1
𝛽1𝛽2
𝛽1 + 𝛽2 𝑒−𝑡
𝛽1𝛽2𝛽1+𝛽2
Jawab (b)
𝜇𝑇 =𝛽1𝛽2
𝛽1 + 𝛽2= 5 10
5 + 10=
50
15= 3,33 bulan
Jawab (c) 𝑅 15 = 𝑃 𝑇 > 15
= 𝑒−15
5 (10)5+10
= 𝑒−15
5015
= 𝑒−4,5 = 0,0111
Contoh 3 Frekuensi kerusakan suatu mesin per jam diketahui berdistribusi Poisson dengan rata-rata 5 gangguan per jam. a. Tentukan rata-rata waktu antar gangguan. b. Tentukan probabilitas bahwa waktu antar gangguan mesin antara 3 dan 6 menit. Jawab (a) Misal frekuensi gangguan per jam adalah 𝑋 ~ Poisson 𝜆
6
𝜇𝑋 = 𝜆 = 5 𝑋 ~ Poisson 𝜆 ⇒ Waktu antar gangguan 𝑇 ~ eksponensial
𝜇𝑇 =1
𝜆=
1
5 jam = 12 menit
𝜇𝑇 = 𝛽 = 12 Jawab (b) 𝑃 3 < 𝑇 < 6 = 𝐹 6 − 𝐹(3)
= 1 − 𝑒−6
12 − 1 − 𝑒−3
12
= 𝑒−0,25 − 𝑒−0,5 = 0,7788 − 0,6065 = 0,1723
Microsoft Excel 𝑋 ~eksponensial 𝛽 𝑃 𝑋 < 𝑥 = EXPONDIST 𝑥, 1/𝛽, true
Contoh: 𝑋 ~ eksponensial 5 𝑃 𝑋 > 10 = 1 − 𝑃 𝑋 < 10 = 1 − EXPONDIST 10; 1/5; true = 1 − EXPONDIST 10; 1/5; true = 1 − 0,8647 = 0,1353