1

6. Distribusi Eksponensial Nilai Variabel Random 𝑥; 𝑥 > 0 Parameter 𝛽; 𝛽 > 0 Notasi 𝑋 ~ eksponensial 𝛽 Fungsi Distribusi Probabilitas

𝑓 𝑥 =

1

𝛽𝑒−𝑥𝛽 ; ; 𝑥 > 0

0 ; lainnya

Fungsi Distribusi Probabilitas Kumulatif

𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒−𝑥𝛽 ; ; 𝑥 > 0

0 ; 𝑥 < 0

Rerata 𝜇𝑋 = 𝛽 Variansi

𝜎𝑋2 = 𝛽2

2

Kurva Distribusi Eksponensial

eksponensial 𝛽 = 5

Hubungan dengan Distribusi Gamma

𝑋 ~gamma 𝛼,𝛽

𝛼 = 1 ⇒ 𝑋 ~ eksponensial 𝛽

Hubungan dengan Distribusi Erlang

𝑋𝑖 ~ eksponensial 𝛽 ; 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑘

𝑋𝑖 saling independen

𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑘

⇒ 𝑌 ~ Erlang 𝑘, 1/𝛽

Notasi Lain: Parameter 𝜆; 𝜆 > 0 Notasi Lain: Fungsi Distribusi Probabilitas

𝑓 𝑥 = 𝜆𝑒−𝜆𝑥 ; ; 𝑥 > 00 ; lainnya

Notasi Lain: Fungsi Distribusi Probabilitas Kumulatif

𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒−𝜆𝑥 ; ; 𝑥 > 00 ; 𝑥 < 0

Rerata

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0 10 20 30 40 50

f(x)

x

3

𝜇𝑋 =1

𝜆

Variansi

𝜎𝑋2 =

1

𝜆2

Hubungan dengan Distribusi Poisson 𝑋 ~ Poisson 𝜆𝑡

𝑃 𝑋 = 0 = 𝑃 tidak ada kejadian pada interval 𝑡 = 𝑃 kejadian terjadi setelah 𝑡

= 𝑒−𝜆𝑡 𝜆𝑡 0

0!= 𝑒−𝜆𝑡

𝑃 𝑇 > 𝑡 = 𝑒−𝜆𝑡

𝑃 𝑇 < 𝑡 = 𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒−𝜆𝑡

𝑓 𝑡 =𝑑𝐹 𝑡

𝑑𝑡= 𝜆𝑒−𝜆𝑡

Jika frekuensi kejadian per satuan waktu berdistribusi Poisson dengan rerata 𝜆, maka waktu antar kejadian berdistribusi eksponensial dengan rerata 1/𝜆. Hubungan dengan Distribusi Geometrik

𝑋 ~eksponensial 𝛽

𝑌 = 𝑋 ⇒ 𝑋 ~ geometrik 𝑝 = 1 − 𝑒

−1𝛽

Keandalan

𝑅 𝑡 = 𝑃 𝑇 > 𝑡 = 𝑓 𝑡 ∞

𝑡

= 1 − 𝐹 𝑡

Tingkat Kegagalan

𝑍 𝑡 =𝑓 𝑡

𝑅 𝑡 =

𝑓 𝑡

1 − 𝐹 𝑡

4

Contoh 1 Umur suatu komponen (dinyatakan dengan 𝑇) diketahui memiliki distribusi eksponensial dengan rerata 5 bulan. a. Tentukan probabilitas bahwa komponen dapat berumur lebih dari 10 bulan (keandalan

komponen pada 10 bulan) b. Jika keandalan komponen pada 10 bulan adalah 0,5; tentukan parameter dari

komponen. Jawab (a); 𝑇 ~ eksponensial 𝛽 𝜇𝑇 = 5 ⇒ 𝛽 = 5 𝑃 𝑇 > 10 = 1 − 𝑃 𝑇 < 10

= 1 − 1

5𝑒−

𝑡5 𝑑𝑡

10

0

= 1 − 𝐹 𝑡

= 1 − 1 − 𝑒−105

= 1 − 1 − 𝑒−2 = 𝑒−2 = 0,1353 Jawab (b) 𝑅 𝑡 = 𝑃 𝑇 > 𝑡 = 1 − 𝐹 𝑡 = 0,5

1 − 1 − 𝑒−

10𝛽 = 0,5

𝑒−

10𝛽 = 0,5

−10

𝛽= ln(0,5)

−10

𝛽= −0,6931

𝛽 =10

0,6931

𝛽 = 14,427

Contoh 2 Suatu sistem terdiri atas dua komponen yang terhubung secara serial sebagai berikut:

1 2

Jika salah satu komponen gagal, maka keseluruhan sistem akan gagal. Misal umur komponen 1 (dinyatakan 𝑋1) dengan adalah berdistribusi eksponensial dengan rerata 𝛽1 bulan. Misal umur

5

komponen 2 (dinyatakan 𝑋2) dengan adalah berdistribusi eksponensial dengan rerata 𝛽2 bulan. Anggap bahwa umur komponen 1 dan 2 adalah saling independen. a. Misal 𝑇 menyatakan umur dari sistem, tentukan fungsi distribusi probabilitas dari 𝑌,

𝑓 𝑡 b. Jika rerata umur komponen 1 dan 2 masing-masing adalah 5 dan 10 bulan, tentukan

rerata umur sistem. c. Tentukan kendalan sistem pada 10 bulan. Jawab (a) 𝑃 𝑇 > 𝑡 = 𝑃 𝑋1 > 𝑡 𝑃 𝑋2 > 𝑡

= 𝑒−𝑡𝛽1 𝑒

−𝑡𝛽2

= 𝑒−

1𝛽1

+1𝛽2 𝑡

= 𝑒−𝑡

𝛽1𝛽2𝛽1+𝛽2

𝐹 𝑡 = 1 − 𝑃 𝑇 > 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡

𝛽1𝛽2𝛽1+𝛽2

𝑓 𝑡 =𝑑𝐹 𝑡

𝑑𝑡=

1

𝛽1𝛽2

𝛽1 + 𝛽2 𝑒−𝑡

𝛽1𝛽2𝛽1+𝛽2

Jawab (b)

𝜇𝑇 =𝛽1𝛽2

𝛽1 + 𝛽2= 5 10

5 + 10=

50

15= 3,33 bulan

Jawab (c) 𝑅 15 = 𝑃 𝑇 > 15

= 𝑒−15

5 (10)5+10

= 𝑒−15

5015

= 𝑒−4,5 = 0,0111

Contoh 3 Frekuensi kerusakan suatu mesin per jam diketahui berdistribusi Poisson dengan rata-rata 5 gangguan per jam. a. Tentukan rata-rata waktu antar gangguan. b. Tentukan probabilitas bahwa waktu antar gangguan mesin antara 3 dan 6 menit. Jawab (a) Misal frekuensi gangguan per jam adalah 𝑋 ~ Poisson 𝜆

6

𝜇𝑋 = 𝜆 = 5 𝑋 ~ Poisson 𝜆 ⇒ Waktu antar gangguan 𝑇 ~ eksponensial

𝜇𝑇 =1

𝜆=

1

5 jam = 12 menit

𝜇𝑇 = 𝛽 = 12 Jawab (b) 𝑃 3 < 𝑇 < 6 = 𝐹 6 − 𝐹(3)

= 1 − 𝑒−6

12 − 1 − 𝑒−3

12

= 𝑒−0,25 − 𝑒−0,5 = 0,7788 − 0,6065 = 0,1723

Microsoft Excel 𝑋 ~eksponensial 𝛽 𝑃 𝑋 < 𝑥 = EXPONDIST 𝑥, 1/𝛽, true

Contoh: 𝑋 ~ eksponensial 5 𝑃 𝑋 > 10 = 1 − 𝑃 𝑋 < 10 = 1 − EXPONDIST 10; 1/5; true = 1 − EXPONDIST 10; 1/5; true = 1 − 0,8647 = 0,1353