TEORIA ELEMENTAR DE PROBABILIDADEINTRODUOAs origens da probabilidade remontam ao sculo XVII, sendo que inicialmente as aplicaes referiam-se quase todas a jogos de azar, onde os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para planejar estratgias de apostas. Atualmente, a utilizao das probabilidades ultrapassou o mbito desses jogos de azar e utilizada em vrios segmentos, como empresas, governo, organizaes, e tambm nas reas do conhecimento, como Administrao, Economia, Biologia, Gentica, etc.

Samuel Martim de Conto 2009

1

INTRODUO cont.Independentemente de qual seja a aplicao em particular, a utilizao das probabilidades indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto ocorrncia ou no de um evento futuro. Assim que, em muitos casos, pode ser virtualmente impossvel afirmar por antecipao o que ocorrer, mas possvel dizer o que pode ocorrer. Por exemplo, a previso da procura de um novo produto, a previso das safras, a compra de aplices de seguros, a avaliao da reduo de impostos sobre a inflao. As probabilidades so teis, pois ajudam a desenvolver estratgias. O ponto central em todas as situaes a possibilidade de quantificar quo provvel determinado evento. As probabilidades so utilizadas para verificar a chance de ocorrncia de determinado evento. O estudo das probabilidades importante pois elas so a base para o estudo estatstico.

Um caso verdico...Os processadores Pentium da Intel operam a maioria dos computadores em todo o mundo. Em 1994, no chip do Pentium foi descoberto um bug, que veio a ser conhecido como Pentium PDIV, e que fazia com que algumas operaes de diviso resultassem em valores incorretos. A Intel alegou que a probabilidade de ocorrer um erro desse tipo era de 1 em 9 bilhes. Com essa taxa, dizia a empresa responsvel pelo chip, um usurio de uma planilha eletrnica que executa 1000 divises por dia encontraria um diviso incorreta somente uma vez a cada 25.000 anos. A probabilidade de um ou mais erros ocorrerem em funo do bug PDIV em 365 dias de trabalho seria de somente cerca de 0,00004. Um grupo de pesquisadores da IBM discordou disso. Baseando-se em dados da simulaes de probabilidade, a IBM concluiu que uma estimativa mais razovel da probabilidade de ocorrer um erro da diviso seria de 1 em 100 milhes, ou seja, um valor 90 vezes maior do que o estimado pela Intel. Inicialmente a Intel disse que os erros causados pelo bug seriam to raros que ela no faria a reposio dos chips defeituosos que j haviam sido comercializados, que eram em torno de 2 milhes. No entanto, diante dos resultados como os da IBM e da crescente reclamao dos consumidores, a Intel concordou em trocar os chips. Resultado: um custo de US$ 475 milhes Intel.

CLASSIFICAO DOS CONCEITOS DE PROBABILIDADE Clssico ou conceito de Laplace o conceito mais primitivo e parte do princpio de que todos os eventos de um experimento tem iguais possibilidades. Assim, podemos elucidar que probabilidade o quociente entre o nmero de casos favorveis do evento com o nmero de casos possveis, desde que os eventos sejam equiprovveis, ou seja, de igual critrio de provao. Aplicvel quando os experimentos possam ser repetidos sob as mesmas condies. Ex.: Retirada de uma carta do baralho com reposio; Retirada de uma bola branca da caixa com reposio.

Conceito subjetivoNeste conceito a definio da medida matemtica de cada evento depende do grau de certeza de cada observador; sendo assim, podemos considerar que probabilidade de certo evento medida pelo grau de crena que cada pessoa atribui ocorrncia do evento. Este conceito melhor interpretado atravs da anlise bayesiana (Bayes).

Conceito modernoNeste conceito, a probabilidade abordada pelas ocorrncias ocorridas de cada evento (ou seja, utiliza um histrico de ocorrncias) e no pelo princpio de que cada evento tem a mesma probabilidade de ocorrer. Tanto o conceito clssico quanto o moderno, indicam valores objetivos de probabilidade, ou seja, indicam a taxa relativa de ocorrncia de um evento no longo prazo.

Alguns jogadores de moeda:O conde Buffon (1707 1788), naturalista francs, jogou uma moeda 4.040 vezes. O resultado: 2.048 caras, ou um proporo de 0,5069 caras.

Por volta de 1900, o estatstico ingls Karl Person heroicamente lanou uma moeda 24.000 vezes, obtendo 12.012 caras, ou uma proporo de 0,5005.

Enquanto foi prisioneiro dos alemes na Segunda Guerra Mundial, o matemtico sul-africano John Kerrich lanou uma moeda 10.000 vezes, obtendo 5.067 caras, ou uma proporo de 0,5067.

Conceitos bsicosExperimento aleatrio: So os fenmenos ou aes que geralmente podem ser repetidos sob as mesmas condies. indicado pela letra E. Exemplos: - jogar um dado - retirar uma carta do baralho - contar o nmero de produtos defeituosos numa linha de produo - sortear um aluno

Espao amostral: o conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio e indicado por S. Exemplos: - lanamento de um dado: S={1,2,3,4,5,6} - lanamento de uma moeda: S = { cara , coroa }

Evento: Qualquer conjunto de resultados de um experimento denominado de evento. Os eventos so indicados por letras maisculas: A, B, C, D, ... Exemplo: - Experimento: E = lanar um dado - Espao amostral: S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } - Evento A: sair um nmero mpar: A = { 1 , 3 , 5 } Os eventos so classificados em duas categorias: Evento simples: qualquer subconjunto do espao amostral unitrio, por exemplo, Evento A = sair o nmero 3 no lanamento do dado. Evento composto: qualquer subconjunto do espao amostral formado por mais de um elemento, por exemplo, Evento A: sair um nmero mpar no lanamento do dado, ou seja, existem 3 possibilidades.

Quanto forma de realizao dos eventos, h duas categorias: Eventos mutuamente exclusivos: ou seja, quando dois eventos (A e B) no puderem ocorrer simultaneamente. Exemplo: Experimento: E = lanamento de uma moeda Evento A = sair uma cara Evento B = sair uma coroa Estes dois eventos no podem ocorrer ao mesmo tempo. Eventos independentes: ou seja, quando a realizao de um evento no afeta a probabilidade de realizao do outro. Exemplo: Experimento: E = lanamento de duas moedas Evento A = sair uma cara Evento B = sair uma coroa Os dois eventos so independentes, pois a realizao de um no afeta o resultado do outro.

Definies axiomticas de probabilidadeP(A): probabilidade de ocorrncia do evento A P(B): probabilidade de ocorrncia do evento B P(A+B): probabilidade de ocorrncia de ao menos 1 entre os eventos A e B (regra do ou) P(AB): probabilidade de ocorrncia dos eventos A e B simultaneamente (regra do e) P(A/B): probabilidade de ocorrer A depois que tenha ocorrido evento B P(B/A): probabilidade de ocorrer B depois que tenha ocorrido evento A

Axiomas1 A probabilidade de um evento P qualquer um nmero compreendido entre 0 e 1, ambos os limites includos: 0< P < 1 2 A probabilidade de um evento certo igual a 1Por exemplo, se numa urna s existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) igual a 1.

3 A probabilidade de um evento impossvel igual a 0Por exemplo, se numa urna s existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossvel, neste caso) nula.

4 A probabilidade de dois eventos ocorrerem simultaneamente igual ao produto da probabilidade de um evento pela probabilidade do outro, sob a condio do primeiro j ter sido realizado. P(AB) = { P (A) . P(B/A) }Por exemplo, numa caixa h 16 peas boas e 4 defeituosas (20 peas). Qual a probabilidade de retirar 2 peas defeituosas? Evento A = 1 pea defeituosa, ou seja, 4 possibilidades Evento B = 2 pea defeituosa, ou seja, 3 possibilidades P(AB)= 4/20 . 3/19 = 0,03 ou 3,16%

Axiomas cont.5 Se A o evento complementar de A, entoP (A) = 1 P (A), ou seja, Se Evento A = sortear o nmero 7 no espao amostral de 1 a 10, ento: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}

6 Probabilidade condicionalA probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B, indicada por P(A/B), e definida pela relao dos elementos do evento A em relao aos elementos do evento B. Por exemplo: Experimento = retirada de uma carta de um baralho Evento A = retirar um rei Evento B = retirar uma carta de espada A probabilidade do Evento A = 4/52 ou 7,69% A probabilidade do Evento B, depois que ocorreu o Evento A = 1/4 ou 25% Ou seja, a probabilidade de retirar um rei de um baralho com 52 cartas de 7,69% e a probabilidade posteriormente de que este rei seja de espada de 25%

Axiomas cont.7 A probabilidade de ocorrer ao menos 1 entre 2 eventos igual a soma das probabilidades de eles ocorrerem individualmente, menos a probabilidade de ambos ocorrerem simultaneamenteP(A+B) = P(A) + P(B) P(AB) Exemplo: No lanamento de um dado, qual a probabilidade de sair um nmero maior que 4 ou um nmero mpar? Evento A = {sair um nmero maior do que 4} = {5, 6} Evento B = {sair um nmero mpar} = {1, 3, 5} Logo, os dois eventos tm um elemento em comum, ou seja, o 5. O conjunto interseo dos dois o conjunto AB = 5, ou seja, contm o nmero comum. Ento, P(A+B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A+B) = P(2/6) + P(3/6) P(1/6) = P(A+B) = 66,67%

Avaliao de probabilidadeP(A) = Nmero de casos favorveisNmero de casos possveis Se n for o nmero de elementos de S (espao amostral), ento a probabilidade de cada evento simples ser 1/n Exemplo 1: Experimento = Lanamento de um dado Espao amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento A = sair o nmero 3 Logo, P(A) = 1/6 ou 16,67% Exemplo2: Experimento = tirar uma carta do baralho Espao amostral = {52 cartas} Evento A = tirar um rei P(A) = 4/52 ou 7,69%

Outras avaliaes de probabilidade- ou (da soma): P(A+B) = P(A) + P(B) - ou modificada (eventos no mutuamente exclusivos): P(A+B)= P(A) + P(B) - P(AB) - e (da multiplicao): P(AB) = P(A) x P(B) - e modificada (eventos condicionais): P(AB)=P(A) x P(B/A) Ou seja, neste caso a probabilidade de B depois da ocorrncia de A - evento complementar: P(A) = 1 P(A)

DEMAIS EXEMPLOS 1Exemplo 1: jogar dois dados e obter a soma de 7 1 - N de eventos possveis: P(AB) = P(A) . P(B), ou seja, a regra e P(AB) = 1/6 . 1/6 = 1/36 ou 2,78%

2 - N de eventos favorveis: P(A + B) = soma de diferentes alternativas, ou seja, a regra ou Assim: P(A + B) = 1/36+1/36+1/36+1/36+1/36+1/36 = P(A + B) = 6/36 = 1/6 ou seja, a probabilidade de se obter a soma 7 de dois dados 16,67% 1 Dado 1 2 3 4 5 6 2 Dado 6 5 4 3 2 1 Soma 7 7 7 7 7 7

DEMAIS EXEMPLOS 2Exemplo 2: jogar dois dados e obter a soma de 6 1 - N de eventos possveis: P(AB) = P(A) . P(B), ou seja, a regra e P(AB) = 1/6 . 1/6 = 1/36 ou 2,78%

2 - N de eventos favorveis: P(A + B) = soma de diferentes alternativas, ou seja, a regra ou Assim: P(A + B) = 1/36+1/36+1/36+1/36+1/36 = P(A + B) = 5/36 = 0,1389 ou seja, a probabilidade de se obter a soma 6 de dois dados 13,89% 1 Dado 1 2 3 4 5 2 Dado 5 4 3 2 1 Soma 6 6 6 6 6

DEMAIS EXEMPLOS 3Exemplo 3: a probabilidade de aparecer um cinco (5) pelo menos uma vez em dois lanamentos de um dado honesto: Evento A: aparecimento do 5 no 1 lanamento Evento B: aparecimento do 5 no 2 lanamento Observao: como o 5 pode aparecer nos dois lanamentos, os eventos no so mutuamente exclusivos, ou seja, um lanamento no interfere no outro. P(A + B)= P(A) + P(B) - P(AB) P(A) = 1/6 ou 0,1667 P(B) = 1/6 ou 0,1667 P(AB) = 1/6 . 1/6 = 1/36 ou 0,0278 P(A+B) = 0,1667 + 0,1667 0,0278 = 0,3056 ou 30,56%

DEMAIS EXEMPLOS 4Exemplo 4: uma bolsa contm 4 bolas brancas e 2 pretas (6 bolas no total), outra bolsa contm 3 bolas brancas e 5 pretas (8 bolas no total). Se retirar-mos uma bola de cada bolsa, qual a probabilidade de: a) Ambas serem brancas b) Ambas serem pretas c) Uma ser branca e a outra ser preta Logo, quais so as possibilidades: Evento A: retirar uma bola branca da primeira bolsa, ento P(A): 4/6 ou 0,6667 Evento B: retirar uma bola branca da segunda bolsa, ento P(B): 3/8 ou 0,375 Evento C: retirar uma bola preta da primeira bolsa, ento P(C): 2/6 ou 0,3333 Evento D: retirar uma bola preta da segunda bolsa, ento P(D): 5/8 ou 0,625 Obs.: como retirada uma bola de cada bolsa, os eventos so independentes e mutuamente exclusivos. a) Ambas serem brancas regra e multiplicao P(AB) = P(A) . P(B) P(AB) = 0,6667 . 0,375 = 0,25 ou 25% b) Ambas serem pretas regra e multiplicao P(CD) = P(C) . P(D) P(CD) = 0,3333 . 0,625 = 0,2083 ou 20,83%

c) Uma ser branca e a outra preta regra e multiplicao e regra ou soma P(AD) = P(A) . P(D) ou P(CB) = P(C) . P(B) P(AD) = 0,6667 . 0,625 P(CB) = 0,3333 . 0,375 P(AD) + P(CB) = 0,4167 + 0,1250 = 0,5417 ou 54,17%

TEOREMA DE BAYESO Teorema de Bayes possibilita o clculo da probabilidade a posteriori P(Ai / B), ou seja, as probabilidades associadas aos resultados do primeiro estgio, dado o resultado do segundo estgio.

PAi / B !

P Ai x PB / Ai PA1 x PB / A1 PA2 x PB / A2 ... PAn x PB / An

Exemplo: Duas caixas, onde na primeira h trs bolas brancas e sete pretas, e na segunda, uma bola branca e cinco pretas. Retirada uma bola ao acaso, observa-se que a mesma preta. Qual a probabilidade de que a caixa de onde foi extrada a bola seja a primeira? P(A1) = 1 caixa = 7/10 ou seja, 7 pretas em 10 bolas = 0,70 P(A2) = 2 caixa = 5/6 ou seja, 5 pretas em 6 bolas = 0,8333 P(B/A1) = 1/2, ou seja, tirar uma bola da 1 caixa = 0,5 P(B/A2) = 1/2, ou seja, tirar uma bola da 2 caixa = 0,5 P(A1/B) = 0,70 . 0,5 = 0,70 . 0,5 + 0,8333 . 0,5 0,35 = 0,4566 ou 45,66% 0,35 + 0,4166

DISTRIBUIES DE PROBABILIDADEQuando o nmero de observaes referem-se populao (ou seja, nmero de observaes for muito grande), utilizamos as distribuies de probabilidade P(X) em relao a Xi, enquanto que as distribuies de freqncias relativas (fr) referem-se amostra dela extrada. Assim sendo, quando ocorre acumulao das probabilidades obtemos distribuies de probabilidades acumuladas, e quando ocorre acumulao de freqncias relativas obtemos freqncia relativa acumulada. Dependendo da varivel ser discreta ou contnua, do tipo de evento, da quantidade de dados disponveis, do tamanho da amostra, existem diversas formas de distribuies de probabilidades: Binominal ou Distribuio de Bernoulli para eventos independentes e mutuamente exclusivos, em experimentos estticos Distribuio de Poisson para eventos independentes e mutuamente exclusivos, em experimentos dinmicos Distribuio Hipergeomtrica para eventos condicionais e mutuamente exclusivos Distribuio Normal para dados contnuos e grandes amostras Distribuio t de Student para dados contnuos e pequenas amostras Distribuio Qui-Quadrado para variveis discretas qualitativas com duas ou mais categorias