Capitulo 1 - Teoria Da Probabilidade - Parte 1

Captulo 1 Teoria da Probabilidade 1

CAPTULO 1 - TEORIA DA PROBABILIDADE

1 Espaos Amostrais

A teoria da probabilidade tem suas razes em situaes da vida real quando se realiza uma experincia cujo resultado no pode ser previsto com certeza Experincia Aleatria. Exemplos: Jogos de azar, campanha de marketing, lanamento de um foguete, etc.

qualquer experimento aleatrio tem-se associado um conjunto de todos os resultados possveis. Este conjunto denominado de Espao Amostral do experimento aleatrio e denotado por S.

1.1 Combinaes de Conjuntos

Na maioria da aplicaes conhece-se o espao amostral S, mas o interesse de uma anlise consiste de apenas alguns elementos de S, que gozam de certa propriedade comum que os distinguem dos demais elementos de S que no a possuem.

Igualdade : Dois conjuntos A e B so denominados conjuntos iguais, A = B, se contm os mesmos pontos amostrais. Exemplo: Se A={1,2}, B={2,1}, C={1,2,1,2,1} e D={1,2,3,1,2,1,2}, ento A = B = C D.

Subconjuntos : Um conjunto A dito um subconjunto de B, AB, se todo ponto amostral, ou elemento, de A tambm elemento de B. Exemplo: No exemplo anterior, A B e B A A = B e A D.


Unies : Sejam A e B dois conjuntos. A unio de A e B, AB, o conjunto de elementos pertencentes ou a A ou a B (ou ambos). Exemplo: Uma moeda arremessada duas vezes. Se os conjuntos A e B so definidos por: A=O resultado do primeiro arremesso cara = {cara-cara, cara-coroa}; B=O resultado dos dois arremessos so iguais={cara-cara, coroa-coroa}. Ento, AB={cara-cara, cara-coroa, coroa-coroa}.

Intersees : Sejam dois conjuntos A e B. A interseo de A e B, AB, o conjunto cujos elementos pertencem a ambos A e B. Exemplo: No exemplo anterior, AB={cara-cara}.

Complementos : Seja um subconjunto de S. O complemento de A, , o conjunto cujos elementos pertencem a S mas no a A. Exemplo: no arremesso da moeda, =o primeiro resultado no cara={coroa-cara, coroa-coroa}.

1.2 Diagramas de Venn

Estes diagramas so uma maneira conveniente para se analisar algumas relaes entre conjuntos.

Ou

S

S

A B

B A


1.3 Eventos

Qualquer subconjunto do espao amostral que seja de interesse numa anlise denominado de Evento, sendo geralmente denotado por letras maiusclas com A, B, etc. Exemplo: Seja o experimento do lanamento de um dado. O espao amostral dado por S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. O evento A=o resultado um nmero par={2, 4, 6}.

2 - Probabilidade Combinatria

Probabilidade de um Evento Pr[A] : valor associado a um evento, que mede o grau de possibilidade de ocorrncia deste evento:

onde: fn /n a proporo de sucessos numa amostra de tamanho n.

2.1 - Axiomas da Probabilidade

(a) 0 fn /n 1, para qualquer n 0 Pr[A] 1, para qualquer A (b) Se A evento certo fn /n = 1 Pr[A] = 1 (c) Se A e B so eventos mutuamente exclusivos, ento:

Pr[AB] = Pr[A] + Pr[B]

nlim]APr[ nfn =


2.2 - Propriedades da Probabilidade

(a) Para qualquer evento A Pr[] = 1 - Pr[A]

(b) Se evento impossvel Pr[] = 0 (c) Se A1 e A2 so dois eventos quaisquer, ento:

Pr[A1 A2] = Pr[A1] + Pr[A2] - Pr[A1 A2]

2.3 Contagem: Permutaes e Combinaes Um grande nmero de problemas envolve a questo de contagem, a qual se baseia no princpio: quando dois atos distintos devem ser realizados sucessivamente, se o primeiro pode ser realizado de m maneiras diferentes, e se, o segundo ato pode ser realizado de n maneiras diferentes, h ento, um total de mn maneiras diferentes pelas quais os dois atos podem ser realizados.

a) Permutao: uma permutao consiste de um conjunto de objetos dispostos em alguma ordem. Ou seja, para que duas permutaes sejam iguais, elas devem, no somente conter os mesmos objetos, como tambm t-los disposto na mesma ordem.

Dado um total de n objetos, deseja-se frequentemente conhecer o nmero total de permutaes possveis de k desses n objetos, kn, no se permitindo nenhuma repetio em qualquer das permutaes dadas. Este nmero dado por:

P(n,k) = nmero de permutaes de n objetos distintos, tomados k a k. onde: P(n,k)=n.(n-1).(n-2)...(n-k+1)


Exemplo: Dados os objetos A, B e C, o nmero de permutaes de dois destes objetos pode ser encontrado por enumerao direta: (AB), (BA), (AC), (CA), (BC) e (CB). Assim, P(3,2)=3(3-1)=32=6 .

Observaes: 1) quando n=k, o nmero total de permutaes possveis de k objetos distintos dado por:

P(n,k)=k! 2) quando repeties de um mesmo objeto so permitidas numa dada permutao tem-se que o nmero de permutaes ser dado por:

n.n.n...n=nk

b) Combinao: por uma combinao entende-se qualquer conjunto de objetos, no se levando em conta o fator ordem. Assim a combinao {A,B,C} idntica combinao {B,C,A}. O nmero de combinaes possveis de k objetos que podem ser selecionados de um dado conjunto de n objetos, com kn, dado por: C(n,k) = nmero de combinaes de n objetos diferentes, tomados k a k.

onde: C(n,k)=P(n,k) / k! Exemplo: Dados os objetos A, B e C, o nmero de combinaes de dois destes objetos pode ser encontrado por enumerao direta: (AB), (AC), (BC). Assim, C(3,2)=3 (3-1)/2!=32 / 21=3.


2.4 - Conceitos de Probabilidade

(a) Probabilidade Condicional: se A e B so eventos, ento a quantidade denominada probabilidade condicional do evento A dado que o evento B ocorre, Pr[A/B] definida pela relao:

Generalizando para n eventos Ai, i=1,2,...,n, tem-se:

Exemplo: Seja o experimento do lanamento de um dado. Se o evento A for definido como um nmero maior ou igual a 4 ocorre e B como um nmero par ocorre, ento tem-se que a probabilidade de A ocorrer dado que B se verifica, P[A/B], dada por:

]BPr[]BAPr[]B/APr[ ====

]BPr[].B/APr[]BAPr[ ====

]A...AAAPr[]AA...AAAPr[]A,...,A,A,A/APr[

n

nnnn

1321

13211321

====

(1)

32

6/36/2

]BPr[]BAPr[]B/APr[ ===

1 3 S

2 4 6

5

B

A


(a) Probabilidade Total : seja {B1 , B2 , B3 , ..., Bn } uma seqncia de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos. Seja A um evento qualquer.

Ento:

Usando (1) e (2) encontra-se:

========

n

iii ]BPr[].B/APr[]APr[

1 (2)

]BA[...]BA[]BA[]BA[A n==== 321

]APr[]ABPr[]A/BPr[ jj

====

====

====

n

iii

jj

]BPr[].B/APr[

]BPr[].B/APr[

1

B1

B2

B3

B4

B5

Bn ...

A


Exemplo: Uma companhia que produz televisores tem 3 fbricas de montagem produzindo 15%, 35% e 50%, respectivamente, de sua produo. Suponha que as probabilidades de que um televisor produzido por essas fbricas esteja com defeito sejam 0.01, 0.05 e 0.02, respectivamente. Se um televisor da produo da companhia for escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de que esteja defeituoso?

Seja: A - Evento: televisor defeituoso B1 - Evento: televisor fabricado na fbrica 1 B2 - Evento: televisor fabricado na fbrica 2 B3 - Evento: televisor fabricado na fbrica 3

Ento:

Pr[A] = 0,01 . 0,15 + 0,05 . 0,35 + 0,02 . 0,50 = 0,029

Suponha que o televisor selecionado seja defeituoso. Qual a probabilidade de que ele seja proveniente da fbrica 2?

Pr[B2 /A] =Pr[A/ B2 ]. Pr[B2] / Pr[A] Pr[B2 /A] =0,05 . 0,35 / 0,029 = 0,603

Assim, o conhecimento de que o televisor defeituoso aumenta a probabilidade de ser proveniente da fbrica 2, de 35% para mais de 60%.

==

n

1iii ]BPr[].B/APr[]APr[


Exemplo: A incerteza do ambiente X indica a perspectiva econmica do pas para os prximos 3 anos. Considera-se trs estados: (x1) depresso, (x2) estagnao, (x3) expanso. Y indica o resultado das prximas eleies presidenciais. Para esta grandeza so estabelecidos apenas dois eventos possveis: (y1) vitria liberal e (y2) vitria socialista. Para o comportamento da economia nos prximos anos estimam-se as seguintes probabilidades: p(x1)=0.2, p(x2)=0.65, p(x3)=0.15

As probabilidades de vitria das duas correntes polticas dependem da evoluo da economia. Supe-se que as chances dos socialistas sero maiores se a perspectiva econmica futura for desfavorvel. A partir disto, estimam-se a probabilidades condicionais:

p(y1 / x1)=0.4 p(y2 / x1)=0.6 p(y1 / x2)=0.5 p(y2 / x2)=0.5 p(y1 / x3)=0.6 p(y2 / x3)=0.4

Qual a probabilidade dos liberais vencerem as prximas eleies?

Determinando-se as probabilidades conjuntas tem-se:

Y - Perspectivas Polticas y1 (liberal) y2 (social) X - Perspectivas Econmicas ---------------------------------------------------------------------

x1 (depresso) 0.20 0.080 0.120 x2 (estagnao) 0.65 0.325 0.325 x3 (expanso) 0.15 0.090 0.060

---------------------------------------------------------------------

Soma 1 0.495 0.505 ==================================

Assim, a probabilidade do partido liberal vencer as eleies seria de 0.495


2.5 - Eventos Independentes

Existem casos importantes onde o conhecimento da ocorrncia de um evento no muda a probabilidade de um outro evento. Por exemplo: 1) Se uma moeda lanada duas vezes, pode-se supor com razo que a probabilidade do evento cara no segundo arremesso no seria influenciada se se soubesse que o evento cara no primeiro arremesso tivesse ocorrido. 2) razovel supor que o tempo de vida de uma lmpada no depende, de maneira alguma, do tempo de vida de qualquer outra lmpada.

Estes exemplos sugerem que se defina dois eventos A e B, como sendo independentes (ou estatisticamente independentes) se:

Usando (1), tem-se que a expresso anterior equivalente :

Exemplo: Um circuito eletrnico consiste de um transistor e de um condensador. O transistor selecionado entre 100, 10 dos quais so defeituosos, e o condensador selecionado a partir de um lote de 300, 15 dos quais so defeituosos. Seja A o evento o transistor defeituoso (Pr[A]= 10/100=0,10) e B o evento o condensador defeituoso (Pr[B]=15/300=0,05). Uma vez que as escolhas partem de lotes diferentes, parece razovel esperar que A e B sejam independentes. H um total de 100.300=30000 circuitos possveis, dos quais 10.15=150 tm ambas as partes defeituosas. Assim Pr[AB]=150/30000=0,005, que igual a Pr[A].Pr[B]=0,10.0,05 = 0,005.

]APr[]B/APr[ ====

]BPr[].APr[]BAPr[ ====


Exemplo: Um agricultor estima a probabilidade de que sua plantao seja atacada por uma praga, P[A], em 0.2 e a probabilidade de ocorrer um perodo de seca, P[B], em 0.15. Qual a probabilidade de que a colheita seja destruda supondo que isto acontea se qualquer uma das ocorrncias, a praga e a seca venha a se verificar? Precisa-se determinar a probabilidade comum entre praga e seca. Para tanto existem trs possibilidades:

i) Caso os eventos (praga e seca) sejam independentes entre si, ento a probabilidade comum resulta do produto 0.2*0.15=0.03. A probabilidade do agricultor perder a colheita ento 0.2+0.15-0.03=0.32.

ii) Caso os eventos sejam dependentes entre s, ou seja, a ocorrncia de um evento tem influncia na chance de ocorrer o outro devemos conhecer adicionalmente a probabilidade condicional de ocorrncia de um evento em relao ao outro. Supondo que havendo seca, a ocorrncia de uma praga seja mais provvel do que se chover suficientemente, e que o agricultor estima a probabilidade de ocorrer a praga em 1/3 caso haja seca. Ento, o termo comum, P[AB], 0.15*1/3=0.05 e o perigo de perder a colheita de 0.2+0.15-0.05=0.3.

iii) Caso os eventos sejam mutuamente exclusivos, isto , ambos no podem ocorrer simultaneamente. Nesta situao, o termo comum, P[AB], igual a zero. Ento, se houver seca, e em virtude disso, a praga no sobreviver, a probabilidade da colheita ser perdida 0.2+0.15=0.35.


3 Variveis Aleatrias

Sejam os experimentos aleatrios:

Experimento Aleatrio Espao Amostral Evento (Exemplo) Probabilidade

Arremesso de uma moeda S={Cara,Coroa} A-cara ou coroa Pr[A]=1

Arremesso de um dado S={1,2,3,4,5,6} A-nmero par Pr[A]=1/2

Lanamento de um foguete S={sucesso,insucesso) A-sucesso Pr[A]=0,80 Controle de Qualidade S={bom,defeituoso} A=defeituoso Pr[A]=0,05

Alguns experimentos apresentam espaos amostrais cujos elementos so nmeros e em outros no os apresentam. Para fins matemticos conveniente que se tenham nmeros associados aos resultados. Variveis aleatrias so construes matemticas que permitem fazer esta associao.

3.1 Definio

Uma varivel aleatria , na verdade, uma funo que associa cada ponto do espao amostral, a um nmero, geralmente um valor real. Se X uma varivel aleatria e x um nmero real fixado, o espao amostral S denominado o domnio da varivel aleatria e o conjunto de todos os valores de X denominado de contradomnio da varivel aleatria.

S

s

x

X(s)


Exemplo: Seja X a funo altura ou varivel aleatria, ento a afirmao Joo tem 1,78 m de altura pode ser escrita como:

X(Joo)=1,78m Dois ou mais elementos amostrais podem implicar no mesmo valor para X (duas pessoas podem ter a mesma altura), mas dois nmeros diferentes no contradomnio no podem ser atribudos ao mesmo espao amostral (uma pessoa no pode ter duas alturas diferentes).

Na prtica, a escolha de uma varivel aleatria para um uso especfico no est fixada dentro da estrutura de probabilidade. A escolha apenas uma questo de convenincia sendo ditada pelos questionamentos relativos ao experimento que se procura responder.

Exemplo: Seja o experimento de lanar uma moeda. Seja X a associao do resultado Cara ao nmero real 0 e Coroa ao nmero 1. Ento, esquematicamente ter-se-ia a seguinte representao para a varivel aleatria X:

S Cara

Coroa

0

X(Cara)=0

1

X(Cara)=0

X(Coroa)=1


3.2 Definio de Eventos usando Variveis Aleatrias

A probabilidade uma funo de conjunto, definida como a associao de nmeros a certos subconjuntos (eventos) do espao amostral S. Uma varivel aleatria, por sua vez, uma funo que associa nmeros a todos os elementos do espao amostral S, e no de um subconjunto de S. Se X uma varivel aleatria e x um nmero real fixado, pode-se definir o evento Ax como o subconjunto de S consistindo de todos os pontos amostrais s para os quais a varivel X associa o nmero x: Ax = { s : X(s) = x} Como um evento, Ax tem probabilidade p = Pr [Ax]

De um modo geral, pode-se interpretar p como a probabilidade da varivel aleatria X assumir o valor x. Por simplicidade, usa-se a notao [X=x] para representar o subconjunto Ax. Assim,

[X=x] = {s:X(s)=x} Pr[X=x] = Pr{s:X(s)=x}

Pr[X=x] a probabilidade da varivel aleatria X ser igual a x.

Ax

S

s1

s2

x

X(S1)

X(S2)

0 1 p

X(s)=x para s Ax

Pr[Ax] = p = Pr[{x:X(s)=x}]

Ax={s:X(s)=x}


Exemplo: Seja S={s1, s2, s3, s4, s5} com as probabilidades: p1=Pr[{s1}], p2=Pr[{s2}], p3=Pr[{s3}], p4=Pr[{s4}], p5=Pr[{s5}], com pi=1. Seja ainda a varivel aleatria X definida por X(s1)= X(s3)=0, X(s2)= X(s4)=1, X(s5)=2. Assim, A0={s:X(s)=0}={s1, s3} e p=Pr[A0]=Pr[{s1, s3}]= p1+ p3 , e assim por diante.

A notao [X=x] para representar o subconjunto Ax pode ser estendida para definir outros tipos de eventos em termos de uma varivel aleatria, como por exemplo: [X x] = {s:X(s) x} [X > x] = {s:X(s) > x} [a < X < b] = {s: a < X(s) < b} Estes eventos tm, respectivamente, probabilidade: Pr[X x] = a probabilidade de que X assuma um valor x Pr[X > x] = a probabilidade de que X assuma um valor > x = 1- Pr[X x] Pr[a < X < b] = a probabilidade de que X assuma um valor maior

que a e menor que b

A0 S

s1

s3

0

X(S1 )

X(S3 )

0 1 p=p1+p3

Pr[A0] = p = Pr[{s1, s3}]

1 2

s2

s4

X(S2 )

X(S4 ) s5

X(S5 )


Exemplo: Uma moeda honesta arremessada trs vezes. Considere o espao amostral consistindo dos oito pontos amostrais, igualmente provveis: S={(KKK),...,(CCC)}, onde K=Cara e C=Coroa. Seja X a varivel aleatria que determina o nmero de caras em cada ponto amostral. Assim, X tem contradomnio 0,1,2,3 com probabilidades dadas na tabela abaixo.

s X(s) [X=s] Pr[X=x] KKK 3 [X=3]={ KKK } Pr[X=3]=1/8 KKC 2 KCK 2 CKK 2

[X=2]={ KKC, KCK, CKK }

Pr[X=2]=3/8

KCC 1 CKC 1 CCK 1

[X=1]={ KCC, CKC, CCK }

Pr[X=1]=3/8

CCC 0 [X=0]={ CCC } Pr[X=0]=1/8

Note-se que: [X1] = {CCC,KCC,CKC,CCK} = [X=0] [X=1]

Pr[X1] =Pr [X=0] + Pr[X=1] = 1/8 + 3/8 = 1/2 [X1] [X>1] = S Pr[X1] + Pr[X>1] = Pr[S] = 1 ou Pr[X>1] = 1 - Pr[X1] = 1 1/2 = 1/2 [0


3.3 Funes de Distribuio

Se X uma varivel aleatria e x um nmero, tem-se definido o evento [ X x ] = { s: X(s) x } com probabilidade Pr[ X x ].

A probabilidade Pr[ X x ] depende de x, ou seja uma funo de x, sendo definida como funo de distribuio da varivel aleatria X. representada simplesmente por F(x), ou seja:

F(x) = Pr[ X x ] para - < x <

O domnio da Funo de Distribuio o conjunto de todos os nmeros reais e seu contradomnio um conjunto de nmeros compreendidos entre 0 e 1.

Exemplo: Seja o exemplo anterior de lanamento de uma moeda honesta com Pr[X x]. Colocando os valores de F(x)=Pr[X x] num grfico tem-se:

-1 0 1 2 3 4

1

1/4

1/2

3/4

F(x)

x


Propriedades de F(x):

(a) 0 F(x) 1 para - < x < (pois F(x) um valor de probabilidade)

(b) Se x1 x2 ento F(x1) F(x2) (pois qualquer ponto amostral s[xx1] tambm deve estar

contido em [xx2])

(c ) lim x+ F(x) = F() = 1, lim x- F(x) = F(-) = 0 (para x- , F(x)=Pr[Xx]Pr[X - ]=Pr[]=0 para x+, F(x)=Pr[Xx]Pr[X+]=Pr[S]=1)

(d) lim xxo+ F(x) = F(x0)

(ou seja, F(x) continua direita e nem sempre esquerda)

Qualquer funo F(x) que atenda (a), (b), (c) e (d) uma funo de distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria.

Exemplos: As funes abaixo representam funes de distribuio de probabilidade:

a)

>

+a]=1 tem-se que Pr[Xa]+Pr[X>a]=Pr[S]=1

Assim, Pr[X>a]=1-Pr[Xa]=1 - F(a)

(b) Desde que: [Xa][a


3.5 Variveis Aleatrias Discretas

Variveis aleatrias discretas tm funo de distribuio que se desenvolve aos saltos. As nicas contribuies no nulas para F(x) ocorrem em um conjunto discreto de pontos x0, x1, x2, ...

A funo que assume os valores no nulos em xi definida como a funo de densidade de probabilidade, p(x), para a varivel aleatria discreta X. Assim,

p(x)=Pr[X = x]

A funo p(x) tem as seguintes propriedades:

(a) p(x) = 0 com exceo para x igual a x0, x1, x2,.. ; (b) 0 p(xi) 1, para qualquer xi do domnio; (c) 1]xXPr[)x(p

i iii = ==

As funes F(x) e p(x) so relacionadas entre x por:

=====xx

iiii

]xXPr[]xxtodopara,xXPr[]xXPr[)x(F

Esta relao est ilustrada na figura abaixo.

F(x)

x

F(x)=xix p(xi)

x2 x x0

f(x0)

1

x1

f(x1) f(x2)

f(x3)

x3

f(x)

x x2 x0

f(x0) x1

f(x1) f(x2) f(x3) x3


Exemplo: Seja o experimento de arremessar trs vezes uma moeda honesta e X representa o nmero de caras. A correspondente funo densidade de probabilidade expressa por:

p0=p(0)=Pr[X=0]=1/8

p1=p(1)=Pr[X=1]=3/8

p2=p(2)=Pr[X=2]=3/8

p3=p(3)=Pr[X=3]=1/8

e p(x)=0 para x 0, 1, 2, 3


3.6 Variveis Aleatrias Contnuas

Uma varivel aleatria X definida ser contnua se sua distribuio F(x): (a) for contnua; (b) tiver derivada f(x)=(d/dx)F(x) para todo x, salvo possivelmente,

em um conjunto finito de pontos; (c) sua derivada for seccionalemente contnua.

Observaes:

1) o domnio de X consistir de um ou mais intervalos, finitos ou infinitos;

2) as probabilidades Pr[X=x] so todas nulas; assim a equao p(x)=Pr[X=x] no constitui uma definio apropriada para a funo densidade de probabilidade no caso contnuo;

3) a generalizao natural da equao

=

xxi

i

)x(p)x(F uma

integral. Assim, a funo de densidade de probabilidade, f(x), no caso contnuo dada pela derivada:

)x(Fdxd)x(f =

Ou seja,

=

==

xdt)t(fdt)t(F

x

dtd)(F)x(F)x(F

4) Como Pr[X=b]=0 tem-se que:

==


A funo densidade de probabilidade f(x) tem as seguintes propriedades:

1) f(x)=0 se x no pertence ao domnio X (fora deste intervalo, F(x) constante e sua derivada nula);

2) f(x) 0 para todo x (pois F(x) uma funo no-decrescente);

3) +

= 1dx)x(f (todo o domnio de X ou espao amostral);

4) f(x) seccionalmente contnua.

A relao entre f(x) e F(x) ilustrada na figura abaixo. Probabilidades so representadas por reas sob a curva de f(x). A rea total sob a curva tem valor unitrio.

F(x)

x

Pr[a


Exemplo: Seja a funo

=

xdevaloroutroqualquerpara,01x0se,x2)x(f

Esta funo corresponde a uma funo de densidade de probabilidade pois: a) f(x) 0 para qualquer x;

b) 1dx0xdx2dx0dx)x(f0 1

0 1=++=

c) f(x) seccionalmente contnua com descontinuidade em x=1;

A funo de distribuio de probabilidade correspondente dada por:

>

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