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Unidade II - Teoria Da Probabilidade

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Aula de Estatistica

Text of Unidade II - Teoria Da Probabilidade

  • Probabilidade e Estatstica

    Prof. Jefferson Herclito

    Curso de Engenharia Civil

  • Unidade II

    Teoria das Probabilidades

  • Introduo

    Aleatoriedade

    Experimento aleatrio

    Espao amostral

    Evento

    Eventos mutuamente exclusivos

    Probabilidade

    Teoria das Probabilidades - Sumrio

  • Teoremas fundamentais

    Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos

    Teoria da contagem

    Espaos amostrais finitos equiprovveis

    Probabilidade condicional

    Teorema do produto

    Independncia estatstica

    Teorema de Bayes

    Teoria das Probabilidades - Sumrio

  • Introduo

    Aleatoriedade

    Experimento aleatrio

    Espao amostral

    Evento

    Eventos mutuamente exclusivos

    Probabilidade

    Teoria das Probabilidades - Sumrio

  • 2.1 Introduo

    A estatstica tem por objetivo obter, organizar e analisar dados

    estatsticos, a fim de descrev-los e explic-los, alm de

    determinar possveis correlaes e nexos causais.

    A estatstica se utiliza das teorias probabilsticas para explicar a

    freqncia da ocorrncia de eventos, tanto em estudos

    observacionais quanto experimentais.

    Em outras palavras, a estatstica procura modelar a aleatoriedade

    e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previso de

    fenmenos futuros, conforme o caso.

  • Estudo dos fenmenos de observao: deve-se distinguiro prprio fenmeno e o modelo matemtico que melhor o

    explique, se determinstico ou probabilstico.

    Modelo determinstico:

    Adotado para explicar fenmenos submissos s leis

    sistemticas.

    Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a

    relao causa-efeito pressupe nexos definidos em

    forma unvoca e imutvel.

    2.1 Introduo

  • Modelo probabilstico:

    Adotado para explicar os fenmenos aleatrios, que

    so aqueles cujos resultados, mesmo em condies

    normais de experimentao, variam de uma

    observao para outra, dificultando dessa maneira a

    previso de um resultado futuro.

    Portanto, esses fenmenos so insubmissos s leis

    sistemticas, pois so regidos ou influenciados pelo

    acaso.

    2.1 Introduo

  • A estatstica estuda os fenmenos aleatrios e o modelomatemtico ser o clculo das probabilidades.

    Diante de um acontecimento aleatrio possvel, svezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuio de

    probabilidade.

    2.1 Introduo

  • Introduo

    Aleatoriedade

    Experimento aleatrio

    Espao amostral

    Evento

    Eventos mutuamente exclusivos

    Probabilidade

    Teoria das Probabilidades - Sumrio

  • 2.2 Aleatoriedade

    Aleatoriedade ou acontecimento aleatrio pode ser explicadoconsiderando-se as seguintes afirmaes:

    a- Se x + 8 = 3x 4, ento x = 6;

    b- A prxima carta retirada de um baralho ser um s.

    A afirmao a pode ser confirmada ou negada de forma

    conclusiva, utilizando-se elementos da matemtica;

    uma afirmao categrica (verdadeira ou falsa).

    Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmado

    que o fato possvel, mas que possvel, tambm, a

    sada de qualquer uma das 52 cartas do baralho.

  • No segundo caso somente a realizao do experimentopermitir estabelecer se a afirmao falsa ou verdadeira;

    trata-se de um acontecimento aleatrio

    Em geral, os acontecimentos aleatrios se caracterizam poradmitirem dois ou mais resultados possveis, e no se tem

    elementos de juzo suficientes para predizer qual deles

    ocorrer em um determinado experimento.

    2.2 Aleatoriedade

  • Introduo

    Aleatoriedade

    Experimento aleatrio

    Espaos amostral

    Evento

    Eventos mutuamente exclusivos

    Probabilidade

    Teoria das Probabilidades - Sumrio

  • Definio:

    Um experimento que pode fornecer diferentes resultados,

    muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira,

    chamado de um Experimento Aleatrio. (Montgomery e

    Runger, 2013).

    2.3 Experimento Aleatrio

  • 2.3 Experimento Aleatrio

    Caractersticas:

    Para que um experimento seja considerado aleatrio

    necessrio que apresente as seguintes caractersticas:

    1. Cada experimento poder ser repetido indefinidamente

    sob as mesmas condies;

    2. No se conhece, a priori, um particular valor do

    experimento; entretanto, pode-se descrever todos os

    possveis resultados (as possibilidades);

  • Caractersticas:

    3. Quando o experimento for repetido um grande nmero

    de vezes, surgir uma regularidade na apresentao dos

    resultados, ou seja, ocorrer uma estabilizao da

    frao freqncia relativa:

    n

    rf

    onde: n o nmero de repeties, e

    r o nmero de sucessos de um particular

    resultado estabelecido antes da realizao do

    experimento.

    2.3 Experimento Aleatrio

  • Exemplos:

    Jogar um dado e observar o nmero mostrado na face

    superior.

    Jogar uma moeda um certo nmero de vezes e observar o

    nmero de coroas obtidas.

    Contar o nmero de peas defeituosas da produo diria

    da mquina A.

    2.3 Experimento Aleatrio

  • Introduo

    Aleatoriedade

    Experimento aleatrio

    Espao amostral

    Evento

    Eventos mutuamente exclusivos

    Probabilidade

    Teoria das Probabilidades - Sumrio

  • 2.4 Espao Amostral

    Definio:

    Para cada experimento aleatrio E, define-se espao

    amostral S como o conjunto de todos os possveis

    resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996).

    O conjunto de todos os resultados possveis de um

    experimento aleatrio chamado de espao amostral do

    experimento. O espao amostral denotado por S.

    (Montgomery e Runger, 2013).

  • 2.4 Espao Amostral

    - Exemplos:

    i. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

    S = R+ ={x | x > 0}

    ii. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

    S = {x | 10 < x < 11}

    iii. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

    S = {baixa,mdia, alta}

    iv. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

    S = {sim, no}

  • 2.4 Espao Amostral

    - Exemplos:

    a) E: jogar um dado e observar o nmero na face superior.

    S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    b) E: lanar duas moedas e observar o resultado.

    S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.

    c) E: Fabricar um lmpada, coloc-la em um suporte,

    acend-la e registrar o tempo de funcionamento at

    fundir o filamento:

    S = {t : t 0}

  • - Exemplos:

    d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um

    perodo de 24 horas em uma determinada localidade; as

    temperaturas mnima e mxima so registradas:

    S = {(x, y) : x y}, onde x a temperatura mnima e y a

    mxima

    e) E: Admitir que a temperatura mnima nessa localidade no

    poder ser menor que um certo valor (m) e a temperatura

    mxima no poder ser superior a um certo valor (M).

    S = {(x, y) : m x y M}

    2.4 Espao Amostral

  • 2.4 Espao Amostral

    Diagrama em forma de rvore:

  • 2.4 Espao Amostral

    Exerccio 01:

    Cada mensagem em um sistema digital de comunicao

    ser classificada dependendo de ela ser recebida dentro de

    um tempo especfico pelo projeto do sistema. Se trs

    mensagens forem classificadas, aplique o diagrama em

    forma de rvore para representar o espao amostral de

    resultados possveis.

  • 2.4 Espao Amostral

    Exerccio 02:

    Uma construtora fornece imveis com alguns opcionais.

    Cada imvel encomendado:

    com ou sem garagem; com ou sem ar-condicionado; com uma das trs escolhas de esquadrias; com uma das quatro cores existentes.

    Se o espao amostral consistir no conjunto de todos os

    tipos possveis de imveis, qual ser o nmero de

    resultados no espao amostral?

  • Introduo

    Aleatoriedade

    Experimento aleatrio

    Espao amostral

    Evento

    Eventos mutuamente exclusivos

    Probabilidade

    Teoria das Probabilidades - Sumrio

  • 2.5 Evento

    Definio:

    um conjunto de resultados do experimento.

    Em analogia com os conjuntos, um subconjunto de S.

    Observao:

    - Em particular, o espao amostral, S, e o conjunto vazio,

    , so eventos.

    - S dito o evento certo e o evento impossvel.

  • - Exemplo 1:

    E: lanar o dado e observar o nmero da face superior.

    S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Eventos:

    A: ocorrer nmero par: A = {2, 4, 6}

    B: ocorrer nmero impar: B = {1, 3, 5}

    C: ocorrer nmero mltiplo de 2 e 3: C = {6}.

    2.5 Evento

  • - Exemplo 2:

    E: jogar trs moedas e observar o resultado.

    S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c),

    (k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)}

    Eventos:

    A: ocorrer pelo menos duas caras:

    A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)}

    B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.

    2.5 Evento

  • Observaes:

    - Sendo S um espao amostral finito com n elementos, pode-

    se verificar que o nmero total de eventos extrados de S

    dado por 2n;

    - No exemplo 1 (lanamento do dado), o nmero total de

    eventos 26 = 64.

    2.5 Evento

  • Observaes:

    - A partir do uso das operaes com conjuntos, novos

    eventos podem ser formados:

    a) o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou

    ambos ocorrem;

    b) o evento que ocorre se A e B ocorrem

    simultaneamente;

    c) ou A