Proiect de tehnologie didactica

Profesor:Catalina MazareDisciplina: Matematică

Data:16.05.2012Clasa: a 11 a ,M1Tema: Aplicatii teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange, teorema lui Cauchy

Structuri de competenţe

Competenţe de cunoaştere Identificarea unor date si relatii matematice si corelarea lor in functie de contextul in care au fost definite; Exprimarea caracteristicilor cantitative sau calitative ale unei situatii concrete si a algoritmilor de prelucrare a

acestoraCompetenţe de execuţie

Prelucrarea datelor de tip cantitativ,calitativ,structural sau contextual cuprinse in enunturi matematice Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii

concrete Utilizarea reprezentarii grafice a unor functii pentru verificarea unor rezultate si pentru identificarea unor

proprietatiCompetenţe sociale

identifică surse de informaţie în domeniul în care îşi desfăşoară activitatea; lucrează în echipă; susţine în mod argumentat punctele de vedere personale; are un comportament decent şi civilizat; dă dovadă de disciplină, spirit organizatoric, atenţie şi comportament civilizat; dovedeşte autocontrol şi stăpânire de sine;

Competenţe specifice

Pe baza cunoştinţelor ce vor fi tratate în cadrul lecţiei, elevii trebuie şi demonstreze că au dobândit performanţele preconizate explicite în următoarele competenţe specifice:

Competenţe de cunoaştere: cunoasterea terminologiei specifice functiilor derivabile si functiilor continue cunoasterea notiunilor de limita ,derivata,punct de extrem cunoasterea interpretarii geometrice a notinunii de derivata cunoasterea enunturilor teoremelor lui Rolle,Lagrange,Cauchy,propritatea lui Darboux cunoasterea conditiilor de aplicare a teoremelor lui Rolle ,Lagrange,Cauchy cunoasterea etapelor formarii sirului lui Rolle cunoasterea rezolvarilor de ecuatii cunoasterea algoritmului determinarii semnului unei functii cunoasterea determinarii monotoniei unei functii cunoasterea algoritmului de determinare a punctelor de extrem

Competenţe de execuţie: executarea corecta a derivarilor; executarea corecta a aplicarii teoremei lui Rolle; executarea corecta a aplicarii teoremei lui Lagrange executarea corecta a rezolvarilor de ecuatii executarea corecta a determinarii semnului unei functii executarea corecta a calculului limitelor de functii executarea corecta a etapelor algoritmului de determinarea a punctelor de extrem executarea corecta a etapelor algoritmului determinarii monotoniei unei functii

Competenţe sociale: cooperarea cu colegii; identifică surse de informaţie în domeniul în care îşi desfăşoară activitatea; lucrează în echipă; susţine în mod argumentat punctele de vedere personale; are un comportament decent şi civilizat; dă dovadă de disciplină, spirit organizatoric, atenţie şi comportament civilizat; dovedeşte autocontrol şi stăpânire de sine;

Conţinut esenţializat Se realizează fixarea si sistematizarea rezolvarilor de ecuatii cu ajutorul continuitatii si derivabilitatii .

Nivelul iniţial al clasei În aprecierea nivelului iniţial al clasei se ţine seama de modul în care şi-au asimilat cunoştinţele referitoare la lecţiile anterioare.

Competenţe derivate Pe baza cunoştinţelor ce vor fi tratate în cadrul lecţiei, elevii trebuie să demonstreze că au dobândit performanţele preconizate explicit în următoarele competenţe derivate:

Consolidarea cunoştinţelor dobândite in cadrul lectiilor Teorema lui Rolle,Teorema lui Lagrange,Teorema lui Cachy şi aprofundarea eventualelor noţiuni la care se observă rămâneri în urmă;

Dezvoltarea capacităţii de sinteză a elevilor; Evaluarea competenţelor specifice şi a strategiilor utilizate în scopul realizării lor; Reglarea şi perfecţionarea continuă a metodologiei instruirii pe baza informaţiilor obţinute în urma evaluării.

Tipul de lecţie: Lecţie de fixare si sistematizare

Metode şi procedee: explicaţie; conversaţie; descoperire independentă; problematizarea algoritmizarea metoda exercitiului

Mijloace de învăţământ: manual, caiet de notiţe; culegeri ,fise de lucru;tabla material bibliografic.

Forme şi moduri de organizare Individuală, frontală şi diferenţiată

EvaluareIndividuala,frontala

Surse documentare, materiale auxiliare

Pentru elevi Manual pentru clasa a 11a

Pentru profesori Manual pentru clasa a 11a ,autor Mircea Ganga,Editura Mathpress,editia 2003,2006 Elemente de algebra liniara.Elemente de analiza matematica,autor Marius Burtea,Georgeta Burtea,editura

Carminis,editia 2006 Subiecte Bacalaureat,an 2010 Analiza matematica,exercitii si probleme clasa a 11a,autori Eugen Radu,Ovidiu Sontea,Mugurel

Stefan,Cristina Stefan Metodica predarii matematicii.autori Ileana Rus,Doina Varna,Editura didactica si pedagogica,editia 1983 Didactica Matematicii,autori Liviu Ardelean,Nicolae Secelean, editura Universitatii”Lucian Blaga”,editia 2007 Documentele profesorului de matematica,editura Sigma,editia 2011

Evaluare. Recuperări. Evaluarea se face fontal si individual in timpul rezolvarii exercitiilor.Recuperarea se va efectua pe prin studiu individual pe baza fiselor de lucru.

Activităţi de pregătire pentru lecţie (în afara orelor de curs)

Desfăşurate de profesor Stabileşte competenţele derivate; Stabileşte conţinutul de instruire corespunzător; Alege resurse materiale necesare; Confecţionează materiale noi (fişe, planşe); Selecţionează instrumentele de evaluare; Întocmeşte fişe de activitate independentă; Stabileşte secvenţele lecţiei, modul de lucru cu elevii, formele de organizare a instruirii; Întocmeşte proiectul de tehnologie didactică.

Desfăşurate de elevi Studiază notiţele; Studiază materialul bibliografic; Aplică cunoştinţele însuşite în rezolvarea temei.

Secventele lectiei

Metodica lectiei StrategieActivitatea profesorului Activitatea elevilor Metode Mijloace Organizare

1 Moment organizatoric 2

Noteaza absentele Observatii

Se pregatesc pentru lectie Frontala

2Sensibilizarea pentru activitate si comunicarea obiectivelor operationale

3

Comunica elevilor subiectul lectie si obiectivele operationale pe care le scrie pe tablaStarneste curiozitatea si interesul si dorinta de a aborda acesta problematica

Noteaza in caiet titlul lectiei Conversatie

TablaCaiete de notite

Frontala

3

Reactualizarea continuturilor predate anterior

5

Solicita raspunsuri la urmatoarele intrebari:a)Ce este derivata unei functii intr-un punct?b)Care este interpretarea geometrica a derivatei unei functii intr-un punct?c)Care este Teorema lui Rolle?d)Ce este sirul lui Rolle?e)Care este Teorema lui Lagrange?f)Care sunt consecintele teoremei lui Lagrange?g)Care este teorema lui Cauchy?

Dau raspunsuri la intrebarile care le-au fost adresateIsi reactualizeaza cunostintele invatate anteriorFac conexiuni cu continuturile care au fost predate in capitolele precedente(continuitate,limita)Refac demonstratii pe baza teoriei insusite in prealabil

Conversatie

TablaCaiete de notiteManual

FrontalaIndividualaPe grupe

Propune spre rezolvare urmatorele exercitii:

Rezolva exercitiile ,pun intrebari Conversa

TablaCaiete

FrontalaIndividuala

4Aplicarea si dezvoltarea continutului reactualizat insusit de elevi prin rezolvari de exercitii

25

a) .Aratati ca ecuatia x +x

+x-1=0 are o unica solutie in intervalul (0,1)b)Sa se arate ca ecuatia 6x+4x -2x-1=0 are cel putin o

ecuatie in intervalul (0,1).c)Rezolvati ecuatia x +3x -mx+5=0 in functie de valorile parametrului real m.d)Rezolvati ecuatia 3 +6 =5+4

e ) Fie f :R R o functie de doua ori derivabila .Sa se arate ca pentru orice a,b R ecuatia f(b) b b 1 f(a) a a 1 f’(a) 2a 1 0 =0 f”(x) c 0 0are o solutie in intervalul (a,b)

suplimentare,compara metodele de rezolvare si teoremele utilizate in rezolvarea exercitiilor,verifica aplicativitatea teoremelor in rezolvarea exercitiilor propuse.

tia euristicaMetoda exercitiluiAlgoritmizareaProblematizareaInvatarea prin descoperire

de notitemanual

Pe grupe

5Sistematizarea modurilor de rezolvare

3

Solicita elevilor o prezentare succinta a metodelor de rezolvare si contextelor in care se pot aplica aceste metode.

Realizeaza o structurare a materialului prezentatOpereaza comparatii intre metodele de rezolvarePledeaza pentru una sau alta dintre metode

Metoda conversatiei

TablaCaiet de notiteManual

Frontalaindividuala

Propune exercitiile:a)Generalizare ex:2

Rezolva exercitiile ,pun intrebari Conversa Tabla Frontala

6

Evaluarea si feed-back-ul

10

Daca ecuatia a x +a x+a x +….+a x =0 are o solutie strict pozitiva x atunci ecuatia na x +(n-1)a x +(n-2)a x +…+a =0 are o radacina strict pozitiva stric t mai mica decat xb) Fie functiile f,g,h:[a,b]R,continue pe [a,b] ,derivabile pe (a,b) si F:[a,b] R, f(x) g(x) h(x)F(x)= f(a) g(a) h(a) f(b) g(b) h(b)a)Aratati ca ecuatia F’(x)=0 are o solutie in intervalul (a,b)b)Determinati g(x) si h(x) astfel incat sa deduceti teorema lui Lagrange si teorema lui Cauhy.

suplimentare,compara metodele de rezolvare si teoremele utilizate in rezolvarea exercitiilor,verifica aplicativitatea teoremelor in rezolvarea exercitiilor propuse.a exercitiile propuse

tia euristica Metoda exercitiluiAlgoritmizareaProblematizareaInvatarea prin descoperire

Caiet de notiteManualCulegeriFise de lucru

individuala

7

CONCLUZIIsiincheierea lectiei

2

Se vor face aprecieri asupra modului in care elevii au colaborat evidentiindu-i pe cei mai activiPropune tema pentru acasa

Noteaza tema pentru acasa Manual Caiet de notieTablaCulegeri

Individuala

Fise de lucru

CONTINUT ESENTIALIZAT

REACTUALIZARE

Derivata unei functii intr-un punct

Definitie:Fie f:D→R,f continua pe D,spunem ca f este derivabila in a D,daca exista limita

R. daca limita exista in R se noteaza cu f’(a) si se numeste derivata functiei f in a.

Interpretarea geometrica a derivatei unei functii intr-un punct Se considera functia f:[a,b]→R,f continua pe domeniu.Fie a R.f’(a) este panta tangentei la curba in punctul A(a,f(a))

Teorema lui Rolle

Fie f:[a,b]→R astfel incat: f continua pe [a,b] f derivabila pe (a,b) f(a)=f(b)

atunci exista cel putin un punct c (a,b) care verifica f’(c)=0.

Interpretarea geometrica:Exista cel puntin un punct interior domeniului in care tangenta la curba este paralela cu xx’ Sirul lui Rolle Lema:Intre doua radacini ale derivatei exista cel mult o radacina a functiei.

Teorema lui Lagrange

Fie f:[a,b] o functie Rolle.Atunci exista cel putin un punct c (a,b) pentru care are loc:

f’(c)=

Interpretarea geometrica:Exista cel putin un punct interior domeniului in care tangenta la curba este paralela cu coarda A(a,f(a)),B(b,f(b))

Consecinte ale teoremei lui Lagrange

1. Functie cu derivata nulaDaca o functie are derivate nula pe un interval ,atunci functia este constanta pe acel interval.2Functii cu derivate egale.Daca doua functii au derivate egale pe un interval atunci ele difera pe o constant ape acel interval.3.Intervalele de monotonie ale unei functiiFie f:I→R, I R,f derivabila pe I.

daca f’(x)≤0 , x I atunci functia f este monoton descrescatoare pe I. daca f’(x)≥0, x I atunci functia f este monoton crescatoare pe I.

Daca inegalitatile sunt stricte atunci si monotonia este stricta.4.Derivabilitatea unei functii intr-un punct

Fie f:I→R, I R,f derivabila pe I-{a} astfel incat exista f’(a) R atunci f este derivabila in a.

Teorema lui Cauchy

Fie funcțiile f,g:[a,b]care verifică condițiile:

f și g sunt continue pe intervalul [a,b] f și g sunt derivabile pe intervalul (a,b)

g’(x) 0 pentru orice x (a,b)

atunci există c (a,b) astfel încât:

APLICARE SI DEZVOLTARE

Exercitii propuse

1.Aratati ca ecuatia x +x +x-1=0 are o unica solutie in intervalul (0,1)

Solutie:Rezolvarea ecuatiei presupune doua etape.Prima ,de demonstrare a existentei unei solutii in interval si cea de a doua de demonstrare a unicitatii solutiei.ExistentaFie f:[0.1]→R,f(x)= x +x +x-1Functie este continua pe domeniu fiind o functie polinomiala. f(0)=-1,f(1)=2 f(0) f(1)<0 Conform consecintei proprietatii lui Darboux c (0,1) astfel incat f(c)=0.Deci ecuatia are o solutie in intervalul (0,1).UnicitateaMetoda 1Presupunem exista c’ (0,1) astfel incat f(c’)=0.Suntem in conditiile teoremei lui Rolle deci exista c” intre c si c’astfel incat f’(c”)=0.Dar pe de alta parte f’(x)=13x +7x +1 este strict pozitiva pe (0,1) deci f’(c”)=0 absurd.Concluzie solutia este unica.Metoda 2

Derivata este strict pozitiva deci functia f este strict crescatoare (prin corolarul teoremei lui Lagrange).Atunci f este injectiva. In concluzie ecuatia f(x)=0 are solutie unica.

2.Sa se arate ca ecuatia 6x +4x -2x-1=0 are cel putin o ecuatie in intervalul (0,1).

SolutieSe observa ca ecuatia poate fi adusa la forma f’(x)=0 unde f:[0,1] R,f(x)=x +x -x -x este o functie Rolle si in plus f(0)=f(1)=0. Conform corolarului tepremei lui Rolle va exista c (0,1) astfel incat f’(c )=0.In concluzie ecuatia are cel putin o solutie in intervalul dat.

3.Rezolvati ecuatia x +3x -mx+5=0 in functie de valorile parametrului real m.

SolutieDaca se va considera f:R R,f(x)= x +3x -mx+5 aceasta conduce catre forme complicate ale punctelor critice lucru care va ingreuna discutia sirului de semne din sirul lui Rolle.Se obseva ca x=0 nu este solutie astfel incat putem aduce ecuatia la o forma echivalenta prin impartirea la x, izoland parametrul ,ceea ce prin derivare va conduce la eliminarea sa.

Asociem functia g: R* R,g(x)=x +3x + -m.

Derivata g’(x)=2x- +3. Ecuatia g’(x)=0 este echivalenta cu ecuatia

2x +3x -5=0 care se rezolva usor prin descompunere, conducand doar catre solutia x=1

Discutia ecuatiei astfel este

x -oo 0 1 oo concluzii

g(x) + - I + 9-m +m<9 + - I + + + Exista o singura

radacina reala in Exista o singura radacina reala in

intervalulm=9 + - I + 0 + Exista 3 radacini

reale ,prima in intervalul (-oo,0) si

o radacina dubla x=1

m>9 + - I + - + Exista 3 radacini reale in intervalele(-oo,0),(0,1),(1,oo)

4.Rezolvati ecuatia 3 +6 =5 +4

SolutieSe aduce ecuatia la forma 6 -5 =4 -3 observand o similitudine cu teorema lui Lagrange ceea ce conduce la definirea unei functii f(x)=t (datorita variatiei bazei) si la aplicare teoremei lui Lagrange pe intervalele [3,4] si [5,6].Deci vor exista c

[3,4] si c [5,6] astfel incat f’(c )=f’(c ) ecuatia devenind xc =xc .Solutia se obtine dupa calcule elementare x=1.

5.Fie f :R R o functie de doua ori derivabila .Sa se arate ca pentru orice a,b R ecuatia f(b) b b 1 f(a) a a 1 f’(a) 2a 1 0 =0 are o solutie in intervalul (a,b) f”(x) c 0 0

SolutieDupa dezvoltarea determinantului se aduce ecuatia la forma echivalenta (a-b) f”(x)=2(a-b)f’(a)-2(f(a)-f(b)) ceea ce sugereaza aplicarea teoremei lui Lagrange pe interval convenabil ales pentru f’. Se observa ca prin aplicare teorei lui Lagrange pentru f’:[a,d] R atunci exista un c (a,d) astefel incat

f”(c )= (1),

dar f’(c) are forma f”(c)= (2)

Se observa ca se aplica derivata in punctul a ceea ce conduce la aplicarea teoremei lui Cauchy pentru functii in care argumentul se obtine prin inlocuirea lui a cu x.

Definim g,h:[a,b] R,g(x)=f’(x)(x-b)-f(x )si h(x)=

Pentru aceste functii exista un d (a,b) astfel incat

= (3)

unde

=

Dar g’(x) duce la f”(x) astfel incat este suficient sa modificam f’(x) cu f’(a) si x-b cu x in expresia lui g(x) .In plus observam

ca in aplicarea lui h’(d) va ramane b deci schimbam h(x)= .Deci g(x) =f’(a)x-f(x) si h(x)= .

Astfel = (4)

.In concluzie Pentru functiile g si h prin aplicarea teoremei lui Cauchy exista d (a,b) astfel incat

=

Iar pentru f’ pe intervalul [a,d] prin Lagrange exista c (a,d) astfel incat

f”(c )= .

Din (1) ,(2),(3) si (4)

f”(c )= = = = .

deci ecuatia

(a-b) f”(x)=2(a-b)f’(a)-2(f(a)-f(b)) are solutia c in (a,d) (a,b) pentru orice a,b R.

SISTEMATIZAREA

Realizeaza o structurare a materialului prezentat.Opereaza comparatii intre metodele de rezolvare.

Ecuatii cu solutie intr-un interval(solutie unica) Existenta:proprietatea lui Darboux Unicitatea:teorema lui Rolle sau consecinta teoremei Lui Lagrange

sau rezolvabile prin Teorema lui Rolle daca se observa derivate unei functii Ecuatiile cu parametru

Izolare parametrului si rezolvarea unei ecuatiei echivalente Ecuatiile exponentiale cu solutie unica

Identificarea functiei si aplicarea teoremei lui Lagrange

EVALUAREA

Propune exercitiile:

1.Generalizare exercitiul 2Daca ecuatia a x +a x +a x +….+a x =0 are o solutie strict pozitiva x atunci ecuatia na x +(n-1)a x +(n-2)a x +…+a =0 are o radacina strict pozitiva strict mai mica decat xSolutie:Fie f:[0, x ] R,f(x)= a x +a x +a x +….+a x.

f este continua pe:[0, x ] f derivabila pe (0, x )

f(0)=f(x )Suntem in conditiile corolarului teoremei lui Rolle deci

exista c (0, x ) astfel incat f’(c)=0.In concluzie ecuatia na x +(n-1)a x +(n-2)a x +…+a =0 are o radacina strict pozitiva si strict mai mica decat x

2.Fie functiile f,g,h:[a,b] R,continue pe [a,b] derivabile pe (a,b) si

f(x) g(x) h(x) F:[a,b] R,F(x)= f(a) g(a) h(a) f(b) g(b) h(b)

a)Aratati ca ecuatia F’(x)=0 are o solutie in intervalul (a,b)b)Determinati g(x) si h(x) astfel incat sa deduceti teorema lui Lagrange si teorema lui Cauhy.

Solutiea)Cum F(x)=Af(x)+Bg(x)+Ch(x) , A,B,C sunt numere reale este functie Rolle pe [a,b].si in plus se observa ca F(a)=F(b) atunci din corolarul teoremei lui Rolle va exista c (a,b) pentru care F’(c)=0 deci ecuatia va avea o solutie in intervalul (a,b).b)Se observa ca pentru g(x)=x si h(x)=1 obtinem teorema lui Lagrange ,iar pentru h(x) =x obtinem teorema lui Cauchy.

FISA DE LUCRU

1.Sa se arate ca daca ecuatia f(x) =o unde f:R→Rf(x)= a x +a x +a x +….+ a x+a are toate n solutii reale atunci ecuatiile f’(x)=o,f”(x)=0…,f (x)=o formate cu derivatele succesive ale functiei au toate solutiile reale.Aplicatii:a)Aratati ca Polinomul Legendre

P (x)= [(x -1) ] are toate radacinile in intervalul (-1,1)

b)Aratati ca Polinomul Cebisev-LaguerreL (x)=e (x e ) are toate radacinile pozitive.c)Aratati ca polinomul Cebisev-Hermite H (X)=(-1) e (e ) are toate radacinile reale.

2.Sa se arate ca ecuatia x +px+q=0 unde p,q R are cel mult doua solutii reale daca n este par si cel mult 3 daca n este impar. Aplicatii:a)Aratati ca ecuatia x +2x+3=0 are cel mult doua radacini reale.b)Determinati p,q R pentru care ecuatia x +px+q=0 are o singura radacina reala.3.Rezolvati ecuatiile:a)9 =2 +8 -1b)6 7 =2 +5 84.Este valabila teorema cresterilor finite pentru functia f(x) =1/x pe intervalul [a,b] daca a b<0?5.Fie f:[a,b]→R o functie Rolle cu derivate continua pe (a,b) .Exista x’,x” (a,b) pentru c (a,b) astfel incat:f(x’)-f(x”)=(x’-x”) f’(c ) ,x’<c<x”? Verificati afirmatia pentru f(x)=x pentru c=0 pe intervalul [-1,1].6.Fie f:R→R,f(x)=me -(1+m)e .Determinati m astfel incat functia sa fie monoton descrescatoare pe R.

7.Fie f:R→R,f(x)= xsin ,x (0,1]

0,x=0a) Aratati ca functia este continua pe [0,1]b)Determinati domeniul de derivabilitate.

c) Daca n N ,ecuatia f(x)=cos are cel putin o solutie in intervalul ( ).