1. 理解直线的方向向量与平面的法向量 .

2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、

平面与平面的垂直、平行关系 .

3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关 系的一些定理（包括三垂线定理） .

4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平 面、平面与平面的夹角的计算问题，了解 向量方法在研究立体几何问题中的应用 .

1. 直线的方向向量与平面的法向量

[ 思考探究 ]

　　所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何

求法向量？

提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组

非零解，即可作为法向量的坐标 .

2. 利用空间向量求空间角

(1) 如图①， AB、 CD 是二面角 α－ l－ β 的两个面内与棱 l 垂 直的直线，则二面角的大小 θ＝ 〈 〉 .

(2) 如图②③， n1、 n2 分别是二面角 α－ l－ β 的两个半平面

α、 β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 |cosθ| ＝

.

1. 若直线 l1， l2 的方向向量分别为 a＝ (2,4 ，－ 4)， b＝

(－ 6 ， 9,6) ，则 ( 　　 )

A.l1∥ l2 　　　　　　　　　　　 B.l1⊥ l2

C.l1与 l2 相交但不垂直 D. 以上均不正确

解析：∵ a·b＝ 2×(－ 6)＋ 4×9＋ 6×(－ 4)＝ 0 ，

∴ a⊥b ，从而 l1⊥ l2.答案： B

2. 若平面 α 与平面 β 的法向量分别是 a＝ (4,0 ，－ 2)， b

＝ ( －

4,0,2) ，则平面 α与 β 的位置关系是 ( 　

)

A. 平行 B. 垂直

C. 相交但不垂直 D. 无法判断

解析：由题意，有 a ＝－ b ，∴ a与 b 共线，从而 α与 β

平行 .答案： A

3. 已知正四棱锥 S－ ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，

E

是 SB 的中点，则 AE、 SD 所成的角的余弦值为

( 　　 )

A. 　　　　　 　　 B.

C. D.

解析：令正四棱锥的棱长为 2 ，

则 A(1 ，－ 1,0)， D(－ 1 ，－ 1,0) ，

S(0,0 ， )， E ，

，

＝ (－ 1 ，－ 1 ，－ ) ，

∴ cos 〈 〉＝ ＝－ .

∴ AE、 SD 所成的角的余弦值为 .

答案： C

4. 已知两平面的法向量分别为 m＝ (0,1,0)， n＝

(0,1,1) ，

则两平面所成的二面角的大小为　　　　 .解析： cos〈m， n 〉＝ ＝ ＝ ，即〈m， n 〉＝ 45° ，其补角为 135°.

∴ 两平面所成二面角为 45°或 180°－ 45°＝ 135°.

答案： 45°或 135°

5. 正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1BD 所

成 角的余弦值为　　　　 .解析：如图，建立直角坐

标系，设正方体棱长为 1 ，

则 D(0,0,0)， A1(1,0,1)， B

(1,1,0)， C1(0,1,1) ，

∴ ＝ (1,0,1) ， ＝ (1,1,0) ， ＝ (－ 1,0,1).

设 n＝ (x， y， z) 为平面 A1BD 的法向量

则 ∴

取 n＝ (1 ，－ 1 ，－ 1) ，

设直线 BC1 与平面 A1BD 所成角为 θ ，

则 sinθ＝ |cos〈 n ， 〉 | ＝ ＝ ＝ .

∴ cosθ ＝ .答案：

1. 证线线平行与垂直 .

若直线 l1和 l2 的方向向量分别为 v1和 v2 ，则：

(1)l1∥ l2⇔ v1∥ v2.(2)l1⊥ l2⇔ v1⊥v2⇔ v1·v2＝ 0.

2. 证线面平行与垂直 若直线 l 的方向向量为 v ，平面 α 的法向量为 n ，则： (1)l∥ α⇔ v⊥n.(2)l⊥α⇔ v∥ n.

3. 证面面平行与垂直

若⇔平面 α和 β 的法向量分别为 n1， n2 ，则

(1)α∥ β⇔ n1∥ n2.(2)α⊥ β n1⊥n2.

如图所示，在四棱锥 P－ ABCD

中， PC⊥ 平面 ABCD， PC＝ 2 ，在四边形 ABCD 中，∠ B ＝∠ C＝ 90°， AB＝ 4 ，CD＝ 1 ，点 M在 PB 上， PB＝ 4PM， PB

与平面 ABCD成 30° 的角 .

(1) 求证： CM∥ 平面 PAD ；(2) 求证：平面 PAB⊥ 平面 PAD.

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] 　以 C 为坐标原点， CB为 x

轴， CD为 y 轴， CP为 z 轴建立如图所示

的空间直角坐标系 C－ xyz.

∵ PC⊥ 平面 ABCD ，

∴∠PBC为 PB 与平面 ABCD 所成的角，

∴∠PBC＝ 30°.

∵ PC＝ 2 ，∴ BC＝ 2 ， PB＝ 4.

∴ D(0,1,0)， B(2 ， 0,0)， A(2 ， 4,0) ，P(0,0,2)，M( ， 0 ， ) ，∴ ＝ (0 ，－ 1,2) ， ＝ (2 ， 3,0) ， ＝ ( ， 0 ， ) ，

(1)令 n＝ (x， y， z) 为平面 PAD 的一个法向量，则

令 y＝ 2 ，得 n＝ ( － ， 2,1).

∵ n· ＝－ × ＋ 2×0＋ 1× ＝ 0 ，

∴ n ⊥ ，又 CM⊄ 平面 PAD ，

∴ CM∥ 平面 PAD.

(2)取 AP 的中点 E ，则 E( ， 2,1) ， ＝ ( － ， 2,1).

∵ PB＝ AB ，∴ BE⊥PA.

又∵ ·

＝ ( － ， 2,1)·(2 ， 3,0)＝ 0 ，

∴ ⊥ ，∴ BE⊥DA ，又 PA∩DA＝ A.

∴ BE⊥ 平面 PAD ，

又∵ BE⊂ 平面 PAB ，

∴ 平面 PAB⊥ 平面 PAD.

1. 若异面直线 l1和 l2 的方向向量分别为 v1和 v2 ，它们

所

成的角为 θ ，则 cosθ＝ |cos〈 v1， v2〉 |.

2. 利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有

两种办法：

(1) 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，

转化为求两个方向向量的夹角 ( 或其补角 ) ；

(2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与

平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平

面所成的角 .

3. 利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法：(1) 分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂 足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是 二面角的平面角的大小；(2) 通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向

量分别为 n1和 n2 ，则二面角的大小等于

〈 n1， n2〉 ( 或

π－〈 n1， n2〉 ).

[ 特别警示 ] 　利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 .

(2009· 全国卷Ⅱ ) 如图，

直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， AB⊥

AC， D、 E 分别为 AA1、 B1C 的中

点， DE⊥ 平面 BCC1.

(1) 证明： AB＝ AC ；

(2) 设二面角 A－ BD－ C为 60° ，求 B1C 与平面 BCD 所

成的角的大小 .

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] (1) 证明：以 A 为坐标

原点， AB为 x 轴， AC为 y 轴， AA1

为 z轴 . 建立如图所示的直角坐标

系 A－ xyz.

设 B(1,0,0)， C(0， b,0)， D(0,0， c) ，则 B1(1,0,2c) ，

E( ， ， c).

于是 ＝ ( ， ， 0) ， ＝ (－ 1， b,0).

由 DE⊥ 平面 BCC1知 DE⊥BC ， · ＝ 0 ，

求得 b＝ 1 ，所以 AB＝ AC.

(2) 设平面 BCD 的法向量 ＝ (x， y， z) ，

则 · ＝ 0 ， · ＝ 0.

又 ＝ (－ 1,1,0) ， ＝ (－ 1,0， c) ，故

令 x＝ 1 ，则 y＝ 1， z ＝ ， ＝ (1,1 ， ).

又平面 ABD 的法向量 ＝ (0,1,0).

由二面角 A－ BD－ C为 60° 知， 〈 〉＝ 60° ，故 ·cos60° ，求得 c ＝ .

于是 ＝ (1,1 ， ) ， ＝ (1 ，－ 1 ， ) ，

Cos 〈 〉＝ ＝ ，

〈 〉＝ 60°.

所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30°.

解：由本例 (2) 知， ＝ (－ 1,1 ，－ ) ，

又 B(1,0,0)， A1(0,0 ， )，∴ ＝ (－

1,0 ， ).

∴ ＝ 1 － × ＝－ 1 ，又 | |＝ 2， | | ＝ ，

∴ cos 〈 〉＝

∴ 异面直线 B1C与 BA1 所成角的余弦值为 .

在本例 (2) 的条件下，能否求出异面直线 B1C与

BA1 所成角的余弦值 .

利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法 . 另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型 .

[ 考题印证 ]

(2009· 福建高考 )(12分 )

如图，四边形 ABCD 是边长为1 的正方形， MD⊥ 平面 ABCD ，NB⊥ 平面 ABCD ，且 MD＝ NB

＝ 1， E为 BC 的中点 .

(1) 求异面直线 NE与 AM 所成角的余弦值； (2) 在线段 AN 上是否存在点 S ，使得 ES⊥ 平面AMN ？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由 .

【解】 (1) 如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D－ xyz.

依题意，易得 D(0,0,0)， A(1,0,0) ，M(0,0,1)， C(0,1,0)， B(1,1,0) ，N(1,1,1)， E( ， 1,0).┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分 )

∴ ＝ ( － ， 0 ，－ 1) ， ＝(－ 1,0,1).┄┄┄┄┄┄┄(3分 )

∴ cos 〈 〉＝ ＝ ＝－ ，

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (5分 )

所以异面直线 NE与 AM 所成角的余弦值为 .(6分 )

(2)假设在线段 AN 上存在点 S ，使得 ES⊥ 平面 AMN.

∵ ＝ (0,1,1) ，可设 ＝ λ ＝ (0， λ， λ) ，又 ＝ ( ，－ 1,0) ，∴ ＝ ＝ ( ， λ－ 1， λ).┄┄┄┄(8分 )

由 ES⊥ 平面 AMN ，得

即 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (9分 )

故 λ ＝ ，此时 ＝ (0 ， )， | | ＝ .┄┄(10

分 )

经检验，当 AS ＝ 时， ES⊥ 平面 AMN.┄┄┄┄(11分 )

故线段 AN 上存在点 S ，使得 ES⊥ 平面 AMN ，此时 AS ＝

.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分 )

　 [自主体验 ]

直三棱柱 A1B1C1－ ABC 的三视图如图所示， D、 E

分别为棱 CC1和 B1C1 的中点 .

　

(1) 求二面角 B－ A1D－ A 的余弦值；

(2)在 AC 上是否存在一点 F ，使 EF⊥ 平面 A1BD ，

若存在确定其位置；若不存在，说明理由 .

解： (1) 如图建立空间直角坐标系 .

则 B(0,2,0)， D(0,0,1) ，

A1(2,0,2) ，

∴ ＝ (－ 2,0 ，－ 1) ， ＝ (－ 2,2 ，－ 2).

设平面 A1DB 的法向量为

n1＝ (1， x， y) ，

则

n1＝ (1 ，－ 1 ，－ 2).

而平面 ACC1A1 的法向量为 n2＝ (0,1,0) ，

∴ cos〈 n1， n2 〉＝ .

∴ 二面角 B－ A1D－ A 的余弦值为 .

(2)当 F为 AC 的中点时， EF⊥ 平面 A1BD ，

证明：设 F(x,0,0) ，

由 E(0,1,2) ，得 ＝ (x ，－ 1 ，－ 2).

若 EF⊥ 平面 A1BD ，则 ∥ n1.

由 n1＝ (1 ，－ 1 ，－ 2)得 x＝ 1 ，∴ F为 AC 的中点 .

∴ 存在 F为 AC 的中点，使 EF⊥ 平面 A1BD.

1. 设平面 α 的法向量为 (1,2 ，－ 2) ，平面 β 的法向量为( － 2 ，－ 4， k) ，若 α∥ β，则 k ＝ ( 　　 )

A.2 　　　　　　　　　　 B.－ 4

C.4 D.－ 2

解析：∵ α∥ β，∴两平面的法向量平行，即有 ＝ ∴ k＝ 4.

答案： C

2. 若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120° ， 则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( 　 )

A.120° B.60°

C.30° D. 以上均错解析：如图所示，可知直线 l 与平面所成的角等于 30°.

答案： C

3.若 A、 B 两点的坐标分别是 A(2cosθ， 2sinθ， 1) ， B(3cosα， 3sinα， 1) ，则 | | 的取值范围是 ( 　 )

A.[0,5] B.[1,5]

C.(1,5) D.[1,25]解析：∵ ＝ (3cosα－ 2cosθ， 3sinα－ 2sinθ， 0) ，

∵－ 1≤cos(θ－ α)≤1 ，∴ | |∈ [1,5].答案： B

4.(2010·南京模拟 ) 若直线 l 的方向向量 e＝ (2,1，m) ，平

面 α 的

法向量 n＝ (1 ， ， 2) ，且 l⊥α ，则 m ＝　　　 .解析：∵ l⊥α ，∴ e∥ n ，∴ ＝ ， m＝ 4.

答案： 4

5. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD －

A1B1C1D1 中， M和 N 分别是 A1B1和 BB1

的中点，那么直线 AM与 CN 所成角的

余弦值为　　　　 .

解析：建立如图所示的坐标系，则 A(1,0,0)，M(1 ， ， 1)， C(0,1,0)， N(1,1 ， ， )

则 ＝ (0 ， ， 1) ，

＝ (1,0 ， ).

∴ cos 〈 〉＝ ＝

＝ .

∴ 直线 AM与 CN 所成角的余弦值为 .答案：

6. 如图，已知点 P 在正方体

ABCD－ A′B′C′D′的

对角线 BD′上，∠ PDA＝ 60°.

(1)求 DP与 CC′所成角的大小；

(2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小 .

解：如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 D－ xyz.

则 ＝ (1,0,0) ， ＝ (0,0,1).

连接 BD， B′D .′

在平面 BB′D′D 中，延长DP交 B′D′于 H.

设 ＝ (m，m,1)(m＞ 0) ，由已知 〈 〉＝ 60° ，由可得 2m ＝ .

解得 m ＝ ，所以 ＝（ ， 1).

(1) 因为 cos 〈 〉＝ ＝ ，

所以 〈 〉＝ 45° ，

即 DP与 CC′所成的角为 45°.

(2) 平面 AA′D′D 的一个法向量是 ＝ (0,1,0).

因为 cos 〈 〉＝ ＝ ，

所以 〈 〉＝ 60° ，

可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30°.