建筑制图

第五章 直线与平面、平面与平面的相对关系

§5.1 直线与平面、平面与平面的平行

§5.2 直线与平面、平面与平面的垂直

§5.3 直线与平面、平面与平面相交

§5.4 点、直线、平面的综合题

§5-5 换面法

建筑制图

§5.1 直线与平面、平面与平面的平行

一、直线与平面相互平行

二、平面与平面相互平行

建筑制图

一、直线与平面相互平行

1.直线与一般面相互平行

2.直线与投影面垂直面相互平行

建筑制图

1. 直线与一般面相互平行

(1) 直线与一般面相互平行

(2) [例题1]

建筑制图

H

G

(1) 直线与一般面相互平行

C

D

AB 平行于平面P

EF 平行于平面P

建筑制图

建筑制图

l

l'

(2) [ 例题 1] 过点 A 作一水平线平行于平面 BCD 。

e

e'

建筑制图

建筑制图

H

V

P

2. 直线与投影面垂直面相互平行

PH

cd

a

b

c'

d'

a'

b'B

AC

D

(a)

PH

c

d

c'

d'

a'

b'

b

a

(b)

a'

b'

b

a

PH

(c)

c'

d'

d

c

(d)

QV

投影面垂直面和直线相互平行，则该投影面垂直面的积聚投影与该直线的同面投影平行。

建筑制图

2. 直线与投影面垂直面相互平行

建筑制图

建筑制图

二、平面与平面相互平行

1. 两投影面垂直面相互平行

2. 两一般位置平面相互平行

3. [例题2] 过点D作一平面与△ABC平行

建筑制图

1. 两投影面垂直面相互平行

PH QH

P Q

建筑制图

建筑制图

2. 两一般位置平面相互平行

hi

h'

i'

g

g'

建筑制图

建筑制图

e f

（ 3 ） [ 例题 2] 过点 D作一平面与△ ABC平行

e' f'

建筑制图

建筑制图

§5.2 直线与平面、平面与平面的垂直

一、直线与平面相互垂直

二、平面与平面相互垂直

建筑制图

一、直线与平面相互垂直

1.直线垂直于一般位置平面

2. 直线垂直于投影面垂直面

建筑制图

1. 直线垂直于一般位置平面

f

gf'

g

建筑制图

建筑制图

d

d'

b

b'

2. 直线垂直于投影面垂直面

ab

A

B

建筑制图

建筑制图

二、平面与平面相互垂直

1. 两平面相互垂直

2. [例题3] 试判别△ABC是否垂直于平面EFHG。

建筑制图

1. 两平面相互垂直

建筑制图

建筑制图

2. [ 例题 3] 试判别△ ABC 是否垂直于平面 EFHG 。

i'

j

i

j'

d

d'

建筑制图

建筑制图

§5.3 直线与平面、平面与平面相交

一、直线与投影面垂直面相交

二、一般位置面与投影面垂直面相交

三、两投影面垂直面相交

四、一般位置线与一般位置面相交

五、两一般位置面相交

建筑制图

一、直线与投影面垂直面相交

1. 直线与投影面垂直面相交

2. [例题4] 求四棱锥与正垂面Q的截交线

建筑制图

c'

c

直线与投影面垂直面相交时，该面的积聚投影与直线的同面投影的交点，就是所求交点的同面投影。

1. 直线与投影面垂直面相交

建筑制图

建筑制图

s'

2. [ 例题 4] 求四棱锥与正垂面 Q 的截交线。

Qv

e

f

gh

(h')e'

f'(g')

a

建筑制图

建筑制图

二、一般位置平面与投影面垂直面相交

e

d

e'

d'

建筑制图

建筑制图

三、两投影面垂直面相交

l

l'

QH PH

m

m'PV QV

PWQW

n'

n

n"

建筑制图

建筑制图

四、一般位置直线与一般位置平面相交

1.一般位置直线与一般位置平面相交，求交线

2.一般位置直线与一般位置平面相交，判别其可见性

建筑制图

1. 一般位置直线与一般位置平面相交

g

k

f

f'

k' g'

PH

步骤：1 ．过 DE 作铅垂平面 P 。

2 ．求 P 平面与 ΔABC 的交线 FG 。

3 ．求交线 FG 与 DE 的交点 K 。

建筑制图

建筑制图

4'（ 4' ）

2'（ 2' ）

2. 直线 DE 与 ABC 相交，判别其可见性。

e

a

e'

k

k'

1

3'

4'

2

1'

3'

建筑制图

建筑制图

五、两一般位置平面相交

1. 两一般位置平面相交的交线

2 . 两一般位置平面相交（辅助平面法）

3 . 两一般位置平面相交（线面交点法）

4 . 两一般位置平面相交，判别可见性

建筑制图

1. 两一般位置平面相交的交线

（ a ）交线在两平面图形之外 （ b ）交线在一个面的轮廓之内 （ c ）交线互相穿插

建筑制图

建筑制图

2. 两一般位置平面相交（辅助平面法）

PH

QH

1'

5'

6'

2'

4'

3'8'

7'

7 865

1 2 3 4

n

m

n'

m'

建筑制图

建筑制图

PV

QV

两一般位置平面相交，求交线步骤：

1 ．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点 K 、 E 。

3 . 两一般位置平面相交（线面交点法）

1'

2'

2

1

k

e'

e2 ．连接两个共有点，画出交线 KE 。

k'

建筑制图

建筑制图

(2')

(4)4

2'

4 . 两一般位置平面相交，判别可见性

3'

4'

2

1

3

1'

建筑制图

建筑制图

§5.4 点、直线、平面的综合题

[例题5] 给出一个矩形相邻两边AB、BC的V投影及其中一边AB的H

投影，试完成矩形的投影

建筑制图

[ 例题 5] 给出一个矩形相邻两边 AB 、 BC 的 V 投影及其中一边 AB 的 H 投影，试完成矩形的投影。

e

fl

c

e'

f'l'

建筑制图

建筑制图

§5-5 换面法

一、问题的提出

二、换面法的基本概念

三、新投影面的选择原则

四、点的投影变换规律

五、六个基本问题

建筑制图

一、问题的提出

1. 定位问题和度量问题

2. 两平行线间距离求解方法的比较

建筑制图

1. 定位问题和度量问题

a'

a b

b'

直线的实长

a'

a b

b'

c'

c

平面的实形

a'

a

b

b'

c'

cd

d'

直线与平面的交点

f'

e'

f

e

a'

b'

c'

d'

a b

cd

两平面夹角

建筑制图

建筑制图

2. 两平行线间距离求解方法的比较

换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。

建筑制图

建筑制图

二、换面法的基本概念

a1

c1

b1V1

X1X1

换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。

c1

b1a1

建筑制图

建筑制图

V1

O1

X1

三、新投影面的选择原则

a'1

b'1α α

建筑制图

建筑制图

四、点的投影变换规律

1 ．点在H/V1体系中的投影

2 ．点在V/H1体系中的投影

3 ．点的两次变换

建筑制图

V 1

a'1

V1

1. 点在 H/V1 体系中的投影z

z

z

z

zX1

O1

aX1

a'1

建筑制图

建筑制图

2. 点在 V/H1 体系中的投影

H1

a1

H 1

aX1 a1

X1

O1

y

y

y

y

建筑制图

建筑制图

a2

a1X 1H

V 1

3 ． 点的两次变换

X2 H

2

V1

2

X 2

a2

z

z

l

l建筑制图

建筑制图

五、六个基本问题

（一） 把一般位置直线变为投影面平行线

（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线

（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线

（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面

（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面

（六） 把一般位置平面变为投影面平行面

建筑制图

（一） 把一般位置直线变为投影面平行线

[ 例 1] 求一般位置直线的实长及α角

[ 例 2] 求一般位置直线的实长及 角

建筑制图

V1

X1

[ 例 1] 求一般位置直线的实长及 α 角

a1

b1

a1

b1

X 1V 1

H建筑制图

建筑制图

[ 例 2] 求一般位置直线的实长及 角

X 1H

1V

a1

b1

建筑制图

建筑制图

1

X1

a1

b1

X1 H

1V

a1 b1

（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线

建筑制图

建筑制图

（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线

[ 例题 3] 把一般位置直线变为投影面垂直线

[ 例题 4] 求两平行线的距离

建筑制图

[ 例题 3] 把一般位置直线变为投影面垂直线

V1

X1

a1

b12

a2 b2

建筑制图

建筑制图

[ 例题 3] 把一般位置直线变为投影面垂直线

X2 H

2

V1 a2 b2

X 1H

V 1

a1

b1

建筑制图

建筑制图

[ 例题 4] 求两平行线的距离

H2

V1

X

lb2 (a2)

d2 (c2)

d1

a1

b1

c1V

1H

X1

建筑制图

建筑制图

（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面

[ 例题 5] 求平面与H面的夹角β

[ 例题 6] 求平面与V面的夹角α

[ 例题 7] 求点 F 到平面 ABC 的距离

建筑制图

a' c'

XV

H

b'

b

ac

[ 例题 5] 求平面与 H 面的夹角 β

c d

d'

D

X1

H1a1

c1

b1

d1

d'X

1 H1V

d

b1

a1

c1

d1

建筑制图

建筑制图

d

[ 例题 6] 求平面与 H 面的夹角 α

c'1

α

a'1（ d'1 ）V 1

X 1

H

d'

b'1

作 X1 轴垂直于 ad

建筑制图

建筑制图

[ 例题 7] 求点 F 到平面 ABC 的距离

f'1d

c'1

α

a'1（ d'1 ）V 1

X 1

H

d'

b'1

g'

g

g'1

作 X1 轴垂直于 ad

作 FG 于 X1

建筑制图

建筑制图

（五）把投影面垂直面变为投影面平行面

H1

y

y

b1

a1

c1

O1

X1

X

H1V

a1b1

c1

（ a ） （ b ） （ c ）

建筑制图

建筑制图

（六） 把一般位置平面变为投影面垂直面

[ 例题 8] 把一般位置平面变为投影面平行面

[ 例题 9] 直线AB与平面CDE的夹角θ

建筑制图

建筑制图

d'

d

b1

a1

c1

d1

X1 H

1V

a2

c2

b2

d2

X2

V2H

1

[ 例题 8] 把一般位置平面变为投影面平行面

实形

建筑制图

建筑制图

[ 例题 9] 直线 AB 与平面 CDE 的夹角 θ

θθ

θ

建筑制图

建筑制图

[ 例题 9] 直线 AB 与平面 CDE 的夹角 θ

H3

V2X3

X 2

V 2H 1

X 1

VH

1

θ

b3

e3

c3

c2

d3

a3

e1

b1

e2 b2

c1

a1

d1

a2

d2

f

f'

建筑制图

建筑制图

本章结束