信号システム解析

1

５．システムの周波数特性 システムの解析においては時間応答だけでなく周波数応答も重要である。例えば信号に雑

音や妨害信号が混じっている場合、必要な信号のみを取り出し、雑音や妨害信号はできる

だけ減衰させたい場合が多い。このような操作をフィルターという。また最終的には時間

応答を求めたいばあいでもシステムの特性に強い周波数依存があり微分方程式では表現し

にくい場合や、そのシステム特性の周波数領域での測定が容易な場合は、入力信号を後で

述べるフーリエ級数やフーリエ変換を用いて周波数領域で記述し、それぞれの周波数での

システムの応答を求め、フーリエ逆変換などを用いて時間領域応答に変換することもよく

行なわれている。そこでここではシステムの周波数特性について学ぶ。 5.1 ポールとゼロおよびシステムの周波数特性 先にシステムはラプラス変換を用いることで以下のようにポール Piおよびゼロ Ziで表すこ

とができることを学んだ。

( )( ) ( )( )( ) ( )m21

n21

pspspszszszs

H)s(H−⋅⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅⋅−−

= (5.1.1)

正弦波の定常応答は ωσ js += において 0=σ の場合であるので(5.1.1)式に ωjs = を代

入することで求められる。したがって、

( )( ) ( )( )( ) ( )m21

n21

pjpjpjzjzjzj

H)j(H−⋅⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅⋅−−

=ωωωωωωω (5.1.2)

と表現できる。ポール Piおよびゼロ Ziは複素数であり、これを極形式に変換すると、

)(jr e)(MSj ωφωω =− (5.1.3)

となる。ここで Srはポール Pi、

もしくはゼロ Ziを一般的に表し

ている。 ポールとゼロの位置は例えばRC積分回路や RC 微分回路では図１のようになる。

R

C

R

C

RCsRC

sH 111)(

+=

RCs

ssH 1)(+

=

(例１）

(例2） x σ

ωj

例２のゼロ点

例1、例2のポール

RC1−

R

C

R

C

R

C

R

C

RCsRC

sH 111)(

+=

RCs

ssH 1)(+

=

(例１）

(例2） x σ

ωj

例２のゼロ点

例1、例2のポール

RC1−

図１ RC積分・微分回路とポール・ゼロの位置

信号システム解析

2

ポールはともに実軸上のRC1− であり、RC微分回路ではゼロ点を持ち、その値はゼロであ

る。 この状態で(5.1.3)式で示した大きさ )(ωM と位相 )(ωφ を求めると、図２に示したように

ポール,RC1− では、

22

p RC1)(M ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ωω (5.1.4a)

RCtan)( 1p ωωφ −= (5.1.4b)

ゼロにおいては

ωω =)(M z (5.1.5a)

2)(z

πωφ = (5.1.5b)

である。この様子を図２に示す。大きさMは各ポールやゼロ点から虚軸上の角周波数までの長さであり、位相は実軸をゼロとした基準からの角度であることが分かる。 (5.1.3)式を用いることで(5.1.2)式は以下のように記述できる。

( )pm2p1pzn2z1zj

pm2p1p

zn2z1z eMMMMMMH)j(H φφφφφφω −⋅⋅⋅−−−+⋅⋅⋅++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (5.1.6)

つまり、大きさは各ゼロからの大きさを掛けて、各ポールからの大きさで割ったものであ

り、位相は各ゼロからの位相を足して、各ポールからの位相で引いたものである。 したがって、例１の RC積分回路の場合の周波数特性は

( ) 2

c

222 1

1

RC1

1

RC1

1RC1)(H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

ωωω

ω

ω (5.1.7a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= −−

c

11 tanRCtan)(ωωωωφ (5.1.7b)

x

ωj

σ

ωj

例２のゼロ点

例1、例2の極

RC1−

22 1)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

RCM p ωω

ωω =)(zMCRp ωφ 1tan−=

pφ2πφ =z

図２ RC積分・微分回路のMと位相

信号システム解析

3

ここで、RC1

c =ω である。

同様に例２の RC微分回路の場合は、

2c

222 1

1

RC11

1

RC1

)(H

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

ωω

ωω

ωω (5.1.8a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= −−

c

11 tanRCtan2

)(ωωωπωφ (5.1.8b)

となる。RC積分回路の場合は周波数ゼロで大きさが１、位相が０度。周波数無限大で大き

さがゼロ、位相が-π/2 (-90度)。 cωω = にて大きさが2

1、位相が-π/4 (-45度)になる。

一方 RC微分回路では周波数ゼロで大きさが 0、位相が 90度。周波数無限大で大きさが 1、

位相がゼロ度。 cωω = にて大きさが2

1、位相がπ/4 (45度)になる。

図３に示す RCLからなる２次の系ではポールが複素数になり、やや複雑な応答を示す。この回路に交流信号電圧を加えたときに流れる電流はインピーダンスからアドミッタンスに

変換して以下のようになる。

( )( )

2nn

2*aa

*aa

1jL2R

LC1j

L2Rp,p

pspss

L1

)s(Z1)s(Y

sLsC1R)s(Z

ζωζω −±−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−±−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−==

++=

(5.1.9)

ここで、LC

2R,

LC1

n == ζω である。これらはそれぞれ共振角

周波数、ダンピングファクターと呼ばれる。大きさと位相は、

RC1L

tan)(,

C1LR

1)j(Y 1

22

ωω

ωφ

ωω

ω−

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

= − (5.1.10)

R

C

L

図３ RCL回路

信号システム解析

4

で与えられる。この回路の電流は周波数ゼロでゼロ、無限大でもゼロ、共振角周波数で 1/Rになる。位相は周波数ゼロで 90度、無限大で-90度、共振角周波数で 0度になる。 図４にポールとゼロに位置、図５に周波数特性を示す。

このような２次の系においては共振特性を用いて特定の周波数の信号だけを通過させたり、

遮断したりすることができるためフィルターとして広く利用されている。 ところで、この周波数選択の鋭さを表すものとして Q が用いられることが多い。共振周波数近傍にて電力の半分を通過させる周波数を周波数帯域幅Δωとすると

QnωωΔ = (5.1.11)

となり、Q 高いほど鋭い周波数選択特性が得られる。Q はダンピングファクターなどと以下の関係がある。

RCL

RL

21Q n ===

ωζ (5.1.12)

したがって Q を高くするには基本的に抵抗を下げなければならない。また図４に示したように周波数帯域幅Δωはポールと虚軸間の距離が短いほど高くなる。

図４ ２次の系のポールとゼロ

図５ ２次の系の周波数特性

信号システム解析

5

5.2 ボーデ図 周波数特性をより分かりやすく表現したのがボーデ図( Bode Diagrams)である。 周波数特性を表す(5.1.6)式を再び示す。

( )pm2p1pzn2z1zj

pm2p1p

zn2z1z eMMMMMMH)j(H φφφφφφω −⋅⋅⋅−−−+⋅⋅⋅++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

この式に対数変換を施し、利得と位相特性に分けると、

利得： ∑∑==

−+=m

1ipi

n

1izi Mlog20Mlog20Hlog20)(Hlog20 ω (5.2.1a)

位相： ∑∑==

−=m

1ipi

n

1izi φφφ (5.2.1b)

となって、利得も位相もゼロとポールに関する利得と位相の加減算で表される。 １）骨格ボーデ図 ポールやゼロが実数の場合は(5.1.2)式に示した周波数特性は pnmznn p,z ωω =−=− を用

いて以下のように書き換えることができる。

( )( ) ( )( )( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−⋅⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅⋅−−

=

pm2p1p

zn2z1z

m21

n21

j1j1j1

j1j1j1G

pjpjpjzjzjzj

H)j(H

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωωωωωω (5.2.2)

対数変換を施すと、

利得： ∑∑==

+−++=m

1i pi

n

1i zij1log20j1log20Glog20)(Hlog20

ωω

ωωω (5.2.3a)

信号システム解析

6

位相： ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

=

−

=

−m

1i pi

1n

1i zi

1 tantan3.57ωω

ωωφ (5.2.3b)

ここで、利得は、

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

2

ii1log10j1log20

ωω

ωω (5.3.4)

で表されるため、以下のように近似できる。

)(log20

)(dB01log10j1log20

ii

i

2

ii

ωωωω

ωωωω

ωω

>>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

<<=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

(5.3.5)

位相はやや複雑であるが、ゼロの場

合は iωω = で 45度、 i1.0 ωω = で 0度、 i10ωω = で 90度で直線近似し、ポールの場合は iωω = で -45 度、

i1.0 ωω = で 0 度、 i10ωω = で-90度で直線近似することが良く行われ

ている。図６にこの様子を示す。 図７に RC積分回路と RC微分回路 の利得と位相のボーデ図を示す。た

だし、回路の利得を 10倍にしている。 また微分回路で初期位相が 90 度になっているのは原点にできるゼロの

ためである。 骨格ボーデ図による近似も併せて示

した。利得は良い近時を与えるが位相はかなりずれが大きく、おおよその見積もりを与え

るものであることに注意してほしい。

M dB

6dB/OCT20db/1桁

-6dB/OCT-20dB/1桁

位相（度）

01 1. ω z

10 1ω z90度

-90度10 1ω p

01 1. ω p

+45度/DEC

-45度/DEC

45度

-45度

1zω

1pω ωlog

ωlog

M dB

6dB/OCT20db/1桁

-6dB/OCT-20dB/1桁

位相（度）

01 1. ω z

10 1ω z90度

-90度10 1ω p

01 1. ω p

+45度/DEC

-45度/DEC

45度

-45度

1zω

1pω ωlog

ωlog

図６ 骨格ボーデ図の作成方法

信号システム解析

7

0.01 0.1 1 10 10040

25

10

5

20

G ω( )

ω

0.01 0.1 1 10 1000

45

90

φ ω( )

ω

0.01 0.1 1 10 10040

25

10

5

20

G ω( )

ω

0.01 0.1 1 10 1000

45

90

φ ω( )

ω

5.3 アナログフィルター 入力信号の中から必要な情報の存在する周波数成分のみを通過させ、不要かつ有害な周波

数成分を遮断して出力させないようなシステムをフィルターという。 5.3.1 フィルターの基本形 フィルターの種類は以下の５種類に分類できる。フィルターの理論の詳細は難しいのでこ

こでは基本の双２次の伝達関数で記述できるもののみを示す。双２次の伝達関数は次式の

システム関数の分子の形態によって基本フィルターが実現できる。

bassgfssK)s(H 2

2

++++

= (5.3.1)

１）低域通過フィルター： 分子が定数項のみの場合。

bassgK)s(H 2 ++

= (5.3.2a)

２）高域通過フィルター： 分子が s2項のみの場合。

図７a RC微分回路のボーデ図

0.01 0.1 1 10 10020

10

0

10

20

G ω( )

ω

0.01 0.1 1 10 10090

45

0

φ ω( )

ω

0.01 0.1 1 10 10020

10

0

10

20

G ω( )

ω

0.01 0.1 1 10 10090

45

0

φ ω( )

ω

図７a RC積分回路のボーデ図

信号システム解析

8

basssK)s(H 2

2

++= (5.3.2b)

３）帯域通過フィルター：分子が fs項のみの場合。

bassfsK)s(H 2 ++

= (5.3.2c)

４）帯域除去フィルター：分子が s2項と定数項 gからなる場合。

bassgsK)s(H 2

2

+++

= (5.3.2d)

５）遅延（全域通過）フィルター：分子の１次の係数を負にした式を分子とした場合。

bassbassK)s(H 2

2

+++−= (5.3.2e)

5.3.2 バタワース(Butterworth)フィルター 実際に良く使われるフィルターにバタワース(Butterworth)フィルターがある。これは通過帯域内の振幅特性ができる限り平坦になるように設計されている。 2nの極は半径 cω の円周上に等間隔に配置され、安定なように左半面の極のみが使用される。

図 8 バタワースフィルターの極配置

信号システム解析

9

( )

oddN.N2k1,ep

evenN.N2k1,ep

Nkj

ck

N21k2j

ck

≤≤=

≤≤=−

π

π

ω

ω (5.3.3)

振幅特性は、

n2

c1

1)j(H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ω (5.3.4)

で与えられる。 例題： 次のフィルターのポールとゼロに位置、およびフィルター特性を示せ。

1)1s

1+

2) 1ss+

3) 1s1s

+− 4)

1ss1

2 ++

図９ バタワースフィルターの周波数特性

信号システム解析

10

図 10 各種フィルターの特性

信号システム解析

11

5) 1ss

s2

2

++ 6)

1sss

2 ++ 7)

1ss1s

2

2

+++

図 11各種フィルターの特性

信号システム解析

12

宿題 2006年５月 15日出題 学籍番号 氏名 １）右の図において a) ポールとゼロの値を求めよ b) 利得および位相の周波数特性のグラフを作成せよ。 （横軸は角周波数の対数表示、利得は dB、位相は度を用い、ポイントを示すこと）

１）３次のバタワース型低域通過フィルターにおいて a) pkを求め複素平面上にプロットせよ、ωc=1とする b) 伝達関数 H(s)を求めよ c) )s(H が(5.3.4)で示すバタワース型になっていることを確かめよ ３）遮断周波数に対して２倍の周波数での信号振幅が、DC近傍周波数をゼロ dBとするとき、少なくとも-40dBであるような特性のバタワース型フィルタの次数を求めよ。

R2

C

R1

R1=1KΩ, R2=10ΩC=10pF

R2

C

R1

R1=1KΩ, R2=10ΩC=10pF