Embed Size (px)
Citation preview
Curs 2.
Metode numerice de rezolvare a ecuaţiilor
algebrice şi transcendente
Aplicaţii în Ingineria Electrică
Prof. dr. ing. mat. Dan D. MICU
Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice
Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică
E-mail: [email protected]
Metode Numerice
Inginerie Electrica an II
2015-2016
Ecuaţiile neliniare constituie una din cele mai frecvente aplicaţii de calcul numeric
care apar în cadrul activităţilor de proiectare din ingineria electrică
Problema…
Expresia ecuaţiei este foarte complicată sau valorile coeficienţilor nu
se cunosc exact (rezultaţi din determinări experimentale sau au fost
calculaţi pe baza unor ipoteze simplificatoare)!
Concluzia…
Nu se pune problema soluţionării exacte a ecuaţiilor cu metode directe (nr. finit de
paşi – cunoscut apriori)
Se utilizează metode numerice aproximative – metode iterative cu convergenţă
teoretic infinită dar practic finită (prin estimarea permanenta a gradului de precizie a
determinării soluţiei sau soluţiilor)
Soluţiile ecuaţiilor neliniare se obţin aşadar ca limite ale unor şiruri convergente.
Exemple de aplicații din ingineria electrică
care implică rezolvarea unor ecuaţii algebrice
sau transcendente Determinarea punctului optim de functionare al pilelor electrice, la
care consumul de combustibil este minim; se impune rezolvarea unei ecuatii transcendente;
La proiectarea masinilor electrice care actioneaza compresoare de frig, functionand in regim de saturaţie, este necesar să se calculeze campul magnetic în zona punctului de funcţionare în care inducţia magnetică ajunge la 2 Tesla; impune rezolvarea unei ecuaţii polinomiale;
Calculul punctului optim de funcţionare pe curba inducţie – intensitate câmp magnetic B(H), astfel încât pierderile de energie în circuitul magnetic al unui motor electric să fie minime; implică soluţionarea unei ecuaţii transcendente;
Detecţia unghiului de comandă a tiristoarelor într-un convertor electronic, astfel încât nivelul armonicilor generate să fie minim; modelul este reprezentat de o ecuaţie trigonometrică, în care necunoscuta este unghiul de comutaţie;
În dimensionarea mecanică a unei linii electrice aeriene (LEA), se rezolvă ecuaţia de stare a conductoarelor electrice, care exprimă comportarea liniei sub acţiunea efortului unitar exercitat de conductoare asupra stâlpilor de susţinere şi în condiţii meteorologice diferite (vânt, chiciură); Exemplu concret: în cadrul unui studiu coexistenţă LEA – CATV (reţea de cablu TV - Turda ) s-a impus rezolvarea repetată a ecuaţiei de stare, având diferite valori ale coeficienţilor, cu scopul de a verifica rezistenţa LEA existentă, în condiţiile montării pe acelaşi tronson de stâlpi a reţelei CATV;
Curbele de montare se referă la variaţia efortului unitar şi a săgeţii f în funcţie
de temperatura t, pentru toate deschiderile unui panou de întindere al LEA.
( ) ( )t tE
g ga b a b
e a
a
b
b
1
240 0
0 0
2 2 2
Testarea stabilităţii la mici perturbaţii a generatoarelor electrice
distribuite (ex. turnuri eoliene), conectate la reţea; soluţiile
complexe ale unei ecuaţii polinomiale
Motor asincron pentru acţionarea pompelor
Efectul pornirii maşinilor electrice
0
12
2
122
022
2
0
0
2
0
2
2
0
2
02
sc
bfb
fpfp
sc
b
sc
ff
sc
f
b
bsc
p
sc
bp
S
USU
QXPRS
U
S
S
S
UUS
X
S
UZ
Motor asincron pentru acţionarea pompelor Motor asincron pentru acţionarea pompelor
Consideraţii teoretice
Se consideră o ecuaţie de formă generală:
0xf
Pentru majoritatea aplicaţiilor din ingineria electrică – domeniul de definiţie
este un interval I: RI:f
Teorema lui Rolle - localizarea rădăcinilor:
b,ax0bfaf 0
x0-rădăcina ecuaţiei
Observaţii
Dacă f(x) este un polinom atunci ecuaţia se numeşte ecuaţie algebrică; în caz
contrar se numeşte ecuaţie transcendentă
Se numeşte: - rădăcina funcţiei (ecuaţiei) – numai la ecuaţii algebrice
- zeroul (soluţia) funcţiei - la ecuaţii transcendente
Rezumat
Se va demonstra pas cu pas modul în care o aplicaţie reală
(provenită din ingineria electrică) se modelează matematic şi
apoi se rezolvă numeric cu ajutorul metodelor numerice;
Intuitiv, vor fi experimentate fazele de soluţionare numerică a
ecuaţiilor algebrice (polinomiale), stabilite ca model matematic al
aplicatiei reale;
De la desfăşurarea particularizată a metodei numerice de
rezolvare, se trece la descrierea ei generală, fiind subliniate
limitele de aplicabilitate, avantaje şi dezavantaje;
S.C ARMĂTURA S.A, firmă cu profil electromecanic, a primit o
comandă de prelucrare a unor plăci metalice utilizate în construcţia
releelor de telefonie mobilă. Operaţia principală executată asupra
acestor piese constă în vopsirea prin pulverizare în câmp electric,
procedeu numit vopsire electrostatică.
Problema care se pune în cadrul acestei aplicaţii se referă la găsirea unei
legături între dimensiunile de vopsit ale unei plăci şi mărimile electrice prin
care se poate ajusta procesul. Astfel, prin reglajul acestor mărimi, tensiune
electrică, respectiv curent electric care parcurge plăcile, devine posibil
controlul automat al suprafeţei de vopsit pentru fiecare plăcuţă.
Cunoscând caracteristicile şi dimensiunile instalaţiei de vopsire electrostatică,
aplicaţia se poate modela simplu printr-un condensator plan în care se introduc
simultan două piese de vopsit. În primul rând trebuie determinată distanţa maximă
de pătrundere a plăcilor în interiorul condensatorului plan, distanţă care limitează
direct suprafaţa ce urmează a fi acoperită cu vopsea a acestora.
1. Metoda lui Newton (metoda tangentei)
Aplicaţie practică
Formularea Problemei (P) – date cunoscute (date); necunoscute (soluţii); lege de legătură (date-soluţii)
Descrierea Problemei (P) – Model Matematic (M(P))
Aproximare M(P) – printr-o Metodă Numerică (MN(P))
Dezvoltare algoritm
Pentru MN(P)
Implementare algoritm în
MathCad (Matlab, Mathematica
etc.)
Specificarea
problemei reale (Control automat)
Construirea unui model fizic
(modelare prin schema
electrica echivalenta)
Confruntarea cu
realitatea
Formularea problemei
matematice (ecuaţia neliniara de
echilibru a fortelor)
Interpretarea soluţiei
(evaluare numerica) Rezolvarea problemei
matematice
inducere
deducere
Metode numerice
(Newton)
Modificare
model
Modelul prin care se poate caracteriza problema:
Fig. 6 Modelarea pieselor şi a instalaţiei
de vopsire electrostatică
Dimensiunile geometrice ale sistemului
condensator plan şi piese de vopsit:
L = 0.65 m ; l = 0.3 m ; l0 = 0.25 m ; d= 1
m ; g = 0.002 m ; y = 0.15 m ;
Mărimile electrice de alimentare:
U = 20000 V ; i = 3 A.
Rămâne să se determine ecuaţia de echilibru a forţei electrice cu cea electrodinamică,
iar din această relaţie să se găsească mărimea variabilei x de pătrundere a pieselor în
interiorul condensatorului.
Piesele de vopsit – vedere de sus
Forţa de respingere dintre cele două piese se exprimă cu formula:
0 02
2
2
2
21
21
2
0
2
0 1
2
x
L
xL
xL
xL
m dxdxxx
ixF
0 xFxF me
0896.1295.234013ln28.17616.5
209ln55.1556.344023ln)28.17936.9(
xxx
xxxx
Iar din ecuaţia de echilibru a forţelor
şi după înlocuirile numerice se deduce o ecuaţie transcendentă:
În această ecuaţie necunoscuta este distanţa maximă de pătrundere a pieselor în
interiorul condensatorului, în condiţiile în care sunt fixate mărimile electrice de
alimentare.
Pentru a determina valoarea variabilei x care verifică ecuaţia neliniară
de mai sus, ne vom folosi de următoarele transformări:
-se notează membrul stâng al ecuaţiei cu o funcţie
896.1295.234013ln28.17616.5
209ln55.1556.344023ln)28.17936.9(
xxx
xxxxxf
-se dezvoltă în serie Taylor funcţia f(x) în jurul unui punct x0 reţinând doar primii doi termeni
00
'
0 xxxfxfxf
-considerând pe x0 ca o aproximaţie iniţială a soluţiei ecuaţiei de la care s-a pornit, dacă în
expresia dezvoltării Taylor de mai sus se înlocuieşte variabila x cu o nouă aproximare a soluţiei,
x1, pentru care se presupune că f(x) se anulează, atunci rescriem:
0
'
0
01010
'
00xf
xfxxxxxfxf
-în acest fel aproximaţia x1 devine calculabilă în raport cu prima aproximaţie, şi mai departe
pentru a afla o aproximaţie cu o precizie sporită, efectuăm succesiv calculele
n
n
nnxf
xfxx
xf
xfxx
'1
1
'
112 ....
- ajungem astfel la o aproximaţie xn+1 a soluţiei, pe care în funcţie de numărul de iteraţii parcurse
o vom adopta ca fiind soluţia căutată a problemei.
Numeric, pornind de la o aproximaţie iniţială x0 = 0.2 m, se ajunge după
n = 9 iteraţii la x9 = 0.3 m.
Modalitatea prin care s-a soluţionat ecuaţia neliniară este aplicarea
metodei numerice a lui Newton.
Caracterul general al metodei lui Newton
Fie o ecuaţie de forma f(x)=0, cu variabila x din [a,b], iar funcţia continuă şi de două ori
derivabilă pe intervalul dat. Dezvoltarea în serie Taylor în jurul unui punct xn, în cazul
în care se reţin doar primii doi termeni ai dezvoltării şi restul, este:
nnnnnnn xxcufxxxfxxxfxf ;!2
1 ''2'
Înlocuirea în expresia de mai sus, a unei aproximaţii xn+1 în locul lui x, şi succesivă lui xn, pentru
care presupunem că se anulează f(x) conduce la relaţiile:
n
n
nnxf
xfxx
'1
S-a generat astfel o formulă de calcul a soluţiilor ecuaţiilor, în care apare o eroare de
metodă datorată neglijării restului seriei Taylor şi care se bazează pe un calcul recursiv.
Demonstratia 1 (pe tabla la Curs 1) – Determinarea formulei - din
start, în deducerea metodei lui Newton se introduce o eroare de metoda
prin neglijarea restului seriei Taylor
n'
n''
2n
n'
nn
xf
fxx
2
1
xf
xfxx0xf
neglijarea restului
1nxx
Dacă se admite că reprezentarea grafică a funcţiei arată ca în
figura 9, iar derivata lui f(x) se reprezintă ca o dreaptă care
trece succesiv prin punctele nxxxx ...,,,, 210
ALGORITM:
1. Se iniţializează soluţia cu x0 (b=x0)
2. La un pas oarecare k al procesului iterativ se calculează
f(xk), f ’(xk) rezultând noua valoare a soluţiei
aproximative xk+1
3. Calculul se consideră terminat dacă:
Metoda lui Newton poate fi interpretată geometric: trasare repetată a tangentelor la
funcţie!
Fig. 9 Interpretare geometrică
Procesul continuă până când se ajunge, în limita unei precizii, la soluţia considerată
optimă.
k1k xx
Formula de oprire a procesului iterativ, confirmată numeric şi grafic de faptul că după un anumit
număr de iteraţii, soluţia calculată trebuie să se stabilizeze
Demonstratia 2- pe tabla-
Conditia de oprire a algoritmului
Yes !
Fie funcţia .,0),(2 solutieIptfsiRIICf
Pentru un xn dat se defineşte: n
n
nnxf
xfxx
'1
Atunci, conform teoremei valorii medii, există un punct ξn între α şi x astfel încât din seria Taylor:
Interpretarea relatiei: eroarea la fiecare pas iterativ depinde de pătratul erorii la pasul
anterior.
n
nnn
xf
fxx
'
''2
12
1
Investigarea mărimii ponderii pe care o are eroarea, modul prin care se
caracterizează convergenţa procesului iterativ şi efortul computaţional aferent
acestui proces
Demonstratie 4 - Demonstrarea convergentei algoritmului Metodei
lui Newton – pe tabla
Demonstratie 3 - Demonstrarea formulei erorii– pe tabla
Engineers solve practical problems by applying mathematical
and scientific knowledge.
The word engineer comes from a Latin word meaning ‘cleverness’
Metoda Newton simplificată (Master CMAIE)
0
'1xf
xfxx n
nn
În cazul în care evaluarea derivatei funcţiei, în fiecare nou punct de aproximare, este costisitoare,
formula lui Newton poate fi adaptată, în sensul reţinerii valorii calculate a derivatei în primul
punct de aproximare pe parcursul unui număr de iteraţii, şi, eventual, schimbarea acestei valori a
derivatei prin recalcularea într-un nou punct de aproximare cu :
Se reduce simţitor efortul computaţional, cu dezavantajul reducerii concomitente a
convergenţei; sunt necesare mai multe iteraţii până la obţinerea unei soluţii dorite.
Din dezvoltarea în serie Taylor, dacă se reţine şi cel de-al doilea termen, se deduce o formulă de
aproximare a soluţiei, care prezintă convergenţă ridicată, cu preţul unui efort de calcul de luat în
seamă, datorită evaluării la fiecare iteraţie atât a primei derivate cât şi a celei de-a doua:
Metoda lui Halley (Master CMAIE)
nnnn
n
nn
xfxfxfxf
xfxx
''2''1
2
2
Pentru a spori convergenţa iterativă a soluţiei, pentru a creşte
precizia, ori pentru a reduce efortul de calcul din metoda iniţială a lui
Newton au fost deduse alte forme îmbunătăţite sau simplificate.
Metoda secantei (Master CMAIE)
Dacă se urmăreşte eliminarea evaluării derivatei, aceasta se aproximează cu formula de mai jos,
ştiut fiind că ecuaţia dreptei care trece prin două puncte ale funcţiei, este o dreaptă care poate
înlocui tangenta la funcţie:
1
1'
nn
nn
nxx
xfxfxf
care se introduce în expresia iniţială a lui Newton:
1
1
1
nn
nn
nnnxfxf
xxxfxx
Pentru aplicarea acestei metode trebuie cunoscute primele două aproximaţii iniţiale x0 şi x1!!!
Metoda lui Newton este o metodă locală, în sensul că procesul iterativ
converge doar dacă aproximaţia iniţială este aleasă suficient de aproape
de valoarea adevărată.
Convergenţa metodei lui Newton şi a variantelor alternative este mai
rapidă decât a metodei bisecţiei. S-a observat că soluţia s-a identificat cu
o precizie satisfăcătoare în primele trei iteraţii.
Convergenţa metodei lui Newton este mai rapidă decât a metodei
bisecţiei, mai ales în apropierea soluţiei
Convergenţa metodei este sigură dacă derivata functiei are semn
constant în intervalul
Concluzii asupra metodei lui Newton
0'' 00 xfxf
Dezavantajul metodei constă în faptul că la fiecare iteraţie trebuie evaluată derivata a
doua in fiecare nod ceea ce poate necesita un efort mare de calcul
Semnul constant pe intervalul [a,b] a derivatei a doua a funcţiei asigură o viteză mai
mare a convergenţei metodei
Convergenţa depinde şi de aproximaţia iniţială aleasă a soluţiei x0, pentru reducerea
numărului de iteraţii recomandându-se satisfacerea condiţiei
Metoda are performanţe foarte bune din punct de vedere al numărului de iteraţii şi al
timpului de calcul
În alegerea uneia sau alteia dintre metodele numerice de soluţionare a
ecuaţiilor trebuie să se estimeze efortul de calcul implicat pentru
atingerea unei precizii, dificultatea de evaluare repetată a funcţiei şi a
derivatelor ei.
x2
x
sin x( ) ex
5
1
x
x2
x
x2
1
x2
1
x
0
f x( ) x2
x
sin x( ) ex5
1
x
x2
x
x2
1
x2
1
x
\\ functia atasata:
Reprezentarea grafica in vederea selectari i intervalului in care se afla solutia,
sau soluti i le:
x 0 0.01 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
2
f x( )
x
Metoda Newton-Raphson
(metoda tangentei)
\\ ecuatia a carei soluti i pozitive
trebuie identificate;x2
x
sin x( ) ex5
1
x
x2
x
x2
1
x2
1
x
0
Algoritmi MathCad
a 0.1 b 0.2 x a a 0.001 b
--> functie Rolle f a( ) f b( ) 0 f a( ) f b( ) 0.037 se verifica
--> derivata functiei f' x( )xf x( )
d
d \\ trebuie sa fie pozitiva pe intervalul
considerat
Conditi i le de unicitate a sol utiei pe un interval selectat:
a 0.1 b 0.2 x a a 0.001 b
Se urmareste determinarea radacini i din intervalul [0;0.2], procedeul de
identificare a celei din intervalul [0.8;1] fi ind analog.
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.22
4
6
f' x( )
x
--> alegerea aproximatiei initiale: x0
0.15 (din grafic)
f'' x( )2
x
f x( )d
d
2
f x0 f'' x
0 0 f x0 f'' x
0 1.258 \\ se verifica;x1
a f x0 x
0f a( )
f x0 f a( )
--> stabil irea unui numar de iterati i care sa verifice toleranta admisa:N 4 k 2 N
--> impunerea unei erori de calcul: 103
--> algoritmul de iterare:
g x( )f x( )
f' x( ) x
kxk 1
f xk 1
f' xk 1
xN
0.168630073370396 \\ rezultatul
numeric cu
15 zecimale
f xN x
NxN 1
5 f x
N xN
xN 1
0.000000000197321
\\ relatia de verificare
a nedepasiri i erori i impuse.
50.0002
4. O pila de tensiune electromotoare imprimata U.e si de rezistenta interioara R.i alimenteaza un circuit
electric format din rezistentele reglabile R.1 si R.2, conectate in tandem conform figuri i de simbolizare.
La deplasarea cursorului comun, rezistorul R.1 isi modifica rezistenta l iniar cu distanta, iar rezistorul R.2
cosinusoidal cu miscarea recti l inie a cursorului. Sa se determine cate unitati de masura trebuie sa se
deplaseze cursorul, din cursa totala, astfel incat sa se ajunga la o valoare nula a intensitati i curentului
reglat prin rezistorul cu variatie l iniara.
R1 300R1 R1 d( )cm d 10--> cursa totala
R2 x( ) B cos x( )R1 x( ) A x
cmB 25
cmA 30
AIr 0VUe 24Ri 0.15
I Ir I2
Ri I R1 x( ) Ir R1 R1 x( ) I Ue Ir
Ue R2 x( )
Ri R1 R1 x( ) R2 x( ) R1 x( ) R1 x( ) R2 x( ) <=>
R1 x( ) Ir R2 x( ) I2 0
Modelul matematic adoptat pentru rezolvarea cerintei impuse porneste de la considerarea teoremelor lui Kirchhoff,
care aplicate pe circuit, formeaza un sistem liniar de ecuatii, a carui solutie de interes se exprima analitic cu
regula lui Cramer. Se figureaza etapele modelului analitic:
Dat fi indca s-a ajuns la o ecuatie neliniara avand ca necunoscuta deplasarea recti l inie x, se apeleaza la o metoda numerica de
solutionare a ecuatii lor neliniare. Metoda destinata acestei probleme, datorita largului uz in electrotehnica, este
Newton-Raphson, cu corespondent in geometrie: tangenta repetata la curba functiei care se ataseaza ecuatiei.
Procesul iterativ Newton-Raphson de ordinul 2 presupune aproximarea initiala, succesiv, a doua soluti i pentru ecuatie.
Domeniul de definitie al functiei se considera spatiul total posibil de parcurs al cursorului, iar pentru acesta se verifica
eligibilitatea conditii lor de aplicare a metodei.
f x( ) Ir
A Ue cos x( )
Ri R1 A cos x( ) B x( ) B2
x2
Domeniul de definitie: [0;d]
(afisarea numerica a coeficienti lor functiei,
cu ajutorul operatorului de evaluare simbolica
definit in Mathcad)
f x( ) 720cos x( )
9004.50cos x( ) 7503.75x 625 x2
Se reprezinta grafic functia descrisa in vederea stabil iri i domeniului restrans de definire:
0 1.25 2.5 3.75 5 6.25 7.5 8.75 10
0.2
0.2
f x( )
x
Se observa ca la valoarea nula a intensitatii curentului electric se ajunge in mai multe poziti i ale
cursorului. Prima pozitie a cursorului in care curentul prin latura de circuit se anuleaza este situata, dupa
reprezentarea grafica, in intervalul [0;3] mm.
Conditi i le de unicitate ale solutiei pe intervalul selectat:
a 0 b 3 x a a 0.01 b (esantionarea intervalului pentru sporirea
acuratetei reprezentari i)
--> functie Rolle f a( ) f b( ) 0 1 (atestarea booleana a verificari i conditiei)
--> derivata functiei f' x( )xf x( )
d
d --> trebuie sa fie pozitiva pe intervalul
considerat
0 1 2 3
0.2f' x( )
x
--> alegerea aproximatiei initiale:x0
1.58 (din grafic)
f'' x( )2
x
f x( )d
d
2
f x0 f'' x
0 0 1 x1
a f x0 x
0f a( )
f x0 f a( )
x1
1.567
--> stabil irea unui numar de iterati i :N 10 k 2 N
0 1.25 2.5 3.75 5 6.25 7.5 8.75 10
0.2
0.2
f x( )
x
--> algoritmul de iterare:
xk
xk 1
f xk 1
f' xk 1
xN
1.571 cm
x 1.58 (aproximare initiala a solutiei)
Given
Ir
A Ue cos x( )
Ri R1 A cos x( ) B x( ) B2
x2
0
sol Find x( ) sol 1.570796 cm
(punctul de pe ruta de deplasare a cursorului in care se
anuleaza valoarea intensitatii curentului electric din portiunea
de circuit cu rezistor cu variatie liniara).
Programul Mathcad ofera posibil i tatea solutionarii rapide a ecuatiei deduse in aceasta problema, prin apelul blocului de functi i
Given- Find. Mai jos se exemplifica acest mod de rezolvare, urmand ca apoi sa se compare cele doua rezultate obtinute pentru
cerinta problemei, in conditi i le in care se va considera ca referinta afisajul numeric al blocului definit in Mathcad.
Se mentioneaza, totusi, ca in spatele rulajului predefinit in programul Mathcad se afla o metoda numerica de tipul celei
etapizate, cu precizie impusa.
Eroare sol rez Eroare 8.57 109
Desi problema se incadreaza in tendinta generala de abordare teoretica a posibil itati lor de aplicare a metodelor numerice, o
astfel de situatie, precum cea propusa in problema isi poate gasi aplicare in circuite de pozitionare precisa reglate dupa
variatia curentului. Precizia de aproximare a pozitiei nu trebuie sa depaseasca 3 zecimale.
Societatea de transport a energiei electrice, S.C TRANSELECTRICA S.A,
şi-a stabilit ca obiectiv de investiţii pe anul 2009 construirea unei linii
electrice de interconexiune între două staţii electrice. Pe distanţa celor două
staţii, datorită diferenţelor de teren, amplasamentul se împarte în două zone,
delimitate printr-o linie WE, aşa încât costul execuţiei liniei pe fiecare zonă
se caracterizează prin indicii C1 şi C2.
2. Metoda bisecţiei (a înjumătăţirii intervalului)
Se pune problema stabilirii traseului optim al liniei astfel încât
costul de execuţie să fie minim.
Pentru soluţionarea modelului matematic care provine din aceasta
aplicatie este necesar apelul la o metodă numerică.
Aplicaţie practică
Formularea Problemei (P) – date cunoscute (date); necunoscute (soluţii); lege de legătură (date-soluţii)
Descrierea Problemei (P) – Model Matematic (M(P))
Aproximare M(P) – printr-o Metodă Numerică (MN(P))
Dezvoltare algoritm
Pentru MN(P)
Implementare algoritm în
MathCad (Matlab, Mathematica
etc.)
Specificarea
problemei reale (Traseu optim LEA)
Construirea unui model fizic
(geometria traseului)
Confruntarea cu
realitatea
Formularea problemei
matematice
(ecuaţie algebrică)
Interpretarea soluţiei
(cost minim) Rezolvarea problemei
matematice
inducere
deducere
Metode numerice
(Bisecţia)
Modificare
model
Fig. 1 Reprezentarea geometrică de amplasament a liniei
electrice
Modelul matematic pe baza datelor problemei tehnice de soluţionat:
Ideea de bază se reduce la localizarea
unui punct P pe frontiera WE prin care
linia electrică să traverseze limita de
separaţie dintre cele două zone. Având la
dispoziţie indicii de cost, se poate stabili o
relaţie de egalitate între sinusurile
unghiurilor formate de direcţiile traseelor
de linie din cele două zone şi
perpendiculara dusă prin punctul P la
zona de delimitare:
2211 sinsin CC
22
22
222
22
1xLb
xLC
xa
xC
2222
2
2222
1 xaxLCxLbxC - ecuaţie algebrică
Exprimarea devine mai sugestivă prin înlocuirea datelor cunoscute:
a=3 km; b=1 km; WE=L=12 km; C1=87000 RON/km; C2=93000 RON/km.
0112091041868184225792259201080 234 xxxx
Necunoscuta în această ecuaţie polinomială (algebrică) este distanţa x de la
marginea W la punctul P (capetele se consideră ştiute xW şi xE).
Dacă membrul stâng al acestei ecuaţii se exprimă ca o funcţie f(x), evident
derivabilă pe intervalul [xW;xE], se permite efectuarea următoarelor testări:
Coeficienţi determinaţi experimental şi prin simplificări în model!!!
112091041868184225792259201080)( 234 xxxxxf
Intre cele două valori limită pe care poate să le ia necunoscuta x trebuie să existe o
valoare care să anuleze funcţia (Rolle)!!!
0)x(f)x(f EW Dacă:
Reprezentarea grafică a polinomului pe intervalul definit arată clar
îndeplinirea condiţiei anterioare:
Fig. 2 Variaţia polinomului şi partiţionarea intervalului de definire
Dar mai mult decât atât, în vederea localizării
cât mai exacte a soluţiei, se sugerează ideea
împărţirii intervalului prin înjumătăţire
succesivă:
EW xxc 2
1
0)()( cfxf W
0)()( cfxf W
0)()( cfxf W
Dacă soluţia se află în intervalul [xW ; c];
soluţia este chiar valoarea c;
soluţia se află în cealaltă jumătate de interval.
Observaţie: reprezentarea grafică a funcţiei oferă ca evidentă validitatea
celei de-a treia ipoteze.
Excd 2
1
0)()( Exfdf
Se înjumătăţeşte intervalul [c; xE] prin aceeaşi formulă de mediere aritmetică:
Variaţia grafică a funcţiei polinomiale arată clar verificarea inegalităţii !!!
Indică localizarea soluţiei în intervalul
delimitat de punctele în care se face
această evaluare!!!
Fig. 3 A doua înjumătăţire a intervalului
Continuând cu înjumătăţirea intervalului,
se observă, în figura 4, restrângerea
domeniului în care se află soluţia,
apropierea tot mai certă de valoarea care
anulează funcţia polinomială!
Fig. 4 Continuarea partiţionării intervalului; apropierea de soluţie
Procesul de restrângere treptată a intervalului de definire se poate derula până când
evaluarea funcţiei în variabila de înjumătăţire (c, d, ...) devine mai mică decât o
valoare impusă, ori efectiv se anulează. În oricare din aceste situaţii, se consideră
determinată soluţia realizabilă a polinomului în limita unei precizii, impuse apriori.
Modalitatea prin care s-a soluţionat aplicaţia propusă nu reprezintă
altceva decât o metodă numerică, numită metoda bisecţiei (metoda
înjumătăţirii intervalului).
Pornind de la cele expuse, se va căuta descoperirea caracterului de
generalitate al acestei metode.
Ideea se transpune generalizat după următorul algoritm:
];[];[ 00 baba
0k
kkkk abac 2
11
1111 ;0)()( kkkkkk cbaaafcf
kkkkkk bbcabfcf 1111 ;0)()(
1 kk
Pasul 1: Se iniţializează limitele intervalului de căutare în care se caută soluţia cu Rolle
Pasul 2: start iterativ
Pasul 3: la un pas oarecare al procesului de calcul se determină noua valoare a soluţiei
Pasul 4: La acelaşi pas se calculează f (ck+1), f(ak) rezultând noile limite ale intervalului de căutare:
Pasul 5: Dacă:
Pasul 6: Incrementează şi reia Pasul 3.
Oricât de mult s-ar restrânge intervalul în jurul soluţiei, există
posibilitatea ca valoarea determinată considerată drept soluţie să nu fie
cea adevărată.
Mai mult, procesul iterativ de înjumătăţire nu poate continua la infinit,
ci trebuie oprit după un anumit număr de partiţionări. Se va determina
acest număr prin stabilirea unei erori limită între valoarea
determinată ca şi soluţie şi valoarea adevărată.
Demonstratie 5 – Numarul de iteratii necesare - pe tabla
n round
log b0
a0
log ( )
log 2( )
Concluzii asupra metodei bisectiei
Metoda bisecţiei converge spre soluţie indiferent cât de departe este
punctul de pornire, fapt pentru care se consideră o metodă globală
de determinare a soluţiilor;
Convergenţa spre soluţie este lentă, trebuie executat un număr
mare de împărţiri ale intervalului pentru a ajunge la o precizie
satisfăcătoare;
Metoda bisecţiei nu poate fi utilizată pentru determinarea soluţiilor
unei funcţii care este tangentă la axa Ox, fără să o străpungă, fiindcă
nu se verifică chiar condiţia de start.
0)()( bfaf
Solutionarea aplicatiei in utilitarul Mathcad
cu un algoritm al metodei bisectiei
Fie ecuatia polinomiala de gradul IV:
1080 x4
25920x3
225792x2
1868184x 11209104 0
Atasam acestei ecuatii functia corespondenta:1080 x
4 25920x
3 225792x
2 1868184x 11209104 0
Atasam acestei ecuatii functia corespondenta:
f x( ) 1080 x4
25920x3
225792x2
1868184x 11209104f x( ) 1080 x
4 25920x
3 225792x
2 1868184x 11209104
Reprezentam grafic functia pe domeniul de definitie:
a 0 b 12 x a b
0 2 4 6 8 10 12
2 107
1 107
1 107
f x( )
x
Fixam o precizie de calcul, adica o eroare absoluta cu care se va
determina radacina de interes a ecuatiei, fata de valoarea adevarata:
106
Executam desfasurat primii doi pasi ai metodei bisectiei:
se init ializeaza marginile intervalului de pornire a0
a si b0
b
se testeaza conditia de existenta a solutiei in acest interval f a
0 f b0 0 1
se realizeaza prima injumatatire a intervalului
apoi fixarea noilor margini ale intervalului restrans si testarea conditiei de existenta a solutiei:
a2
c2
b2
b1
f a2 f b
2 0 1
Conform demonstratiei referitoare la numarul de iteratii necesare pentru
realizarea unei precizii impuse, se evalueaza efortul minim de calcul:
urmeaza a doua injumatatire a intervalului
c2
a1
b1
a1
2 c
29 \\ a doua aproximare a solutiei
se testeaza conditia de existenta a solutiei f a1 f b
1 0 1
c1
a0
b0
a0
2 c
16 \\ prima aproximare a solutiei
se trece la noile margini ale intervalului, restrans, in care se afla solutia
a1
c1
b1
b0
Conform demonstratiei referitoare la numarul de iterat ii necesare pentru realizarea unei p recizii
impuse, se evalueaza efortul minim de calcul:
n round
log b0
a0
log
log 2( )
n 24
In continuare, pentru obtinerea solutiei cautate se propune un algoritm de calcul automat, corespunzator
celui dat in partea teoret ica sub forma de pseudolimbaj:
a 0 b 12
sol
a0
a
b0
b
ck 1
ak
bk
ak
2
ak 1
if f ak f c
k 1 0 ak
ck 1
bk 1
if f ck 1 f b
k 0 bk
ck 1
a b
k 0 nfor
c
\\ se apeleaza ciclul "for"
\\ se init ializeaza marginile;
primului interval in care se afla
solutia;
\\ formula de aproximare
a solut iei;
\\ modificarea la fiecare
iteratie a capetelor intervalului
aflat in restrangere;
\\ memorarea in vectori
a acestor margini;
\\ algoritmul returneaza
vectorul aproximatiilor solut iei,
care sunt de fap t injumatatirile
intervalelor.
Afisam aproximatiile realizate prin metoda bisectiei pentru zerourile functiei polinomiale:
soln
9.983287
solT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 0 6 9 10.5 9.75 10.125 9.938 10.031 9.984 9.961 9.973 9.979 9.981 9.983 9.984 9.983 9.983
0 5 10 15 20
2
4
6
8
10
12
solk
solk
k
Rep rezentam grafic procesul de convergenta a aproximatiilor catre valoarea considerata optima a solut iei, din p unct de
vedere al preciziei:k 0 n
Observatii:
1. procesul de convergenta solicita un efort de calcul considerabil, ceea ce poate fi un dezavantaj al metodei;
2. in practica, pentru p roblema propusa avem nevoie doar de 4 zecimale in rezultatul calculat;
3. algoritmul de mai sus poate fi imbunatatit prin impunerea unei conditii de stopare cand se atinge o anumita precizie.
f t( ) g02
1 2 sin t( ) sin t( )2
2 g0 v t 1 sin t( )( ) v2
t2
iD U v S
g02
1 2 sin t( ) sin t( )2
2 g0 v t 1 sin t( )( ) v2
t2
iD U v S 0
C. Cerinta problemei impune aducerea ecuatiei transcendente de la forma redata
ca model matematic, corespunzator fenomenului electric din condensator, la o
forma convenabila exprimari i ca ecuatie careia sa i se poata atasat o functie:
iD U
g0 1 sin t( )( ) v t 2
v S<=>iD U
g t( ) v t( )2
v S
iD S
JD
d=>JD
tE
=>E
U
g t( ) v tu
B. Din expresia intensitati i campului electric, iar apoi din variatia inductiei
electrice in timp se exprima analitic formula intensitati i curentului electric de
deplasare intre armaturi:
A. Modificarea raportului metric dintre armaturi conduce la aparitia unui curent
de deplasare dependent de legile impuse miscari i celor doua armaturi.
Solutie
--> functia dupa care se modifica spatiul dintre armaturig t( ) g0 sin t( ) 1( )
0 rF
m0
1
4 9 109
m
sv 50mg0 0.1
AiD 3 106
r 2.5VU 10000m2
S 103
S 10 cm2
3. Un condensator plan are fiecare armatura de suprafata S; distanta initiala
dintre armaturi este g0. Condensatorul este cufundat intr-o baie de ulei si este
conectat la diferenta de potential U. Intr-un moment, dat se deplaseaza
o armatura catre cealalta cu viteza relativa v; in acelasi timp, cea de-a doua
armatura se departeaza fata de pozitia initiala astfel incat distanta initiala
dintre armaturi variaza dupa o functie data g(t).
Se cere sa se calculeze timpul necesar ca valoarea curentului de
deplasare dintre armaturi sa fie de 3 A.
sol 0.000787 s Asadar, timpul la care curentul de deplasare ajunge
la valoarea prescrisa este:
s 106
s tprescris 787 s
D. In uti l i tarul de calcul Mathcad exista o modalitate de rezolvare predefinita
pentru ecuatia obtinuta, cu solutionare interna de tipul metodei expuse mai sus.
In continuare, se va afisa solutia pe calea predefinita:
t 1 103
s --> timpul aproximat
t'prescris root f t( ) t( ) --> functia predefinita de solutionare a ecuatiei neliniare
t'prescris 0.000765 s t'prescris 765 s
E. Observatie: Timpul calculat prin metoda predefinita difera de cel calculat
prin metoda explicitata a bisectiei. Valoarea de referinta se considera cea data
de functia predefinita. In aceasta situatie, rolul metodei explicitate devine
demonstrativ. Totusi, eroarea care intervine, desi problema este conceputa
cu implicati i teoretice, se situeaza la valori reduse.
Eroare t'prescris tprescris Eroare 22s
O solutie a ecuatiei neliniare de mai sus, in cazul in care se defineste
un interval de timp probabil pentru functia continua atasata se gaseste prin
impartirea repetata a intervalului in doua parti egale, asa incat se formeaza
un sir de iterare. Metoda numerica se numeste a injumatatiri i intervalului, avand
ca si corespondent geometric bisectia.
Conditi i le de aplicare a metodei determina in acest caz, prin incercari,
si fixarea domeniului de timp la care sa se restranga definirea functiei.
ti 0 s --> timpul initial tf 2 103
s --> timpul final
f ti f tf 0 1 --> verificarea conditiei de existenta a solutiei
pe intervalul ales
Se alege un numar de iterati i pentru sirul care se formeaza prin injumatatiri
repetate; conditionat, rezulta un pas de divizare si un set de puncte de divizare:
N 103
i 0 N htf ti
N h 2 10
6 td
iti h i tinv
itf h i
Algoritmul de calcul al valori lor sirului pana la obtinerea solutiei este redat
in l ini i le urmatoare de program:
sol
A1
2td
itinv
k
f tdi
f tinvk
0if
k 0 N ifor
i 0 Nfor
A
Pasivă – Asertivă – Agresivă
Comunicare
