1. 对于抽象的，用定义；2. 对于具体的，用定理 .

402

062

225

A

f的矩阵为解：

.13

.080||02662

25,055

为负定的可知：有定理

因为

f

A

2 2 25 6 4 4 4

.

.

f x y z xy xz

1例 判别二次型

的正定性

1 1 2

1 2 3 ,

2 3

1 1 21 1

|1| 1 0, 1 0, 1 2 3 5.1 2

2 3

5 .

.

解：二次型 的矩阵为

而

所以，当 时， 的全部顺序主子式都大于零，从而 为正定的而 所对应的二次型 为正定的

f

A

t

t

t

t A A

A f

2 2 21 1 2 1 3 2 2 3 3

2

2 4 2 6

.

.

例 设二次型

为正定的，求 的取值范围

f x x x x x x x x tx

t

,

7

6

1

)(,

7

4

1

)(,

10

0

2

)(,

11

1

1

)(

dcba

解：因 A 为正定的，所以 A 的特征值全为正 .而 A的相似对角阵的主对角线上的元素恰是 A 的特征值 . 所以(b) 和 (d) 剔除；又因为所有的特征值之和等于 A 的迹，故 (c) 入选 .

3 2 0

2 4 2

0 2 5

.

.

A

A

3 例 已知方阵

为正定矩阵，与 相似的对角矩阵是（ ）

.

. A

A A

4例 设对称矩阵 为正定的，试证：

的伴随矩阵 也是正定的1

1

0 , 0( 1,2, , ),

10 ( 1,2, , ) , | |

| |( 1, 2, , ), .

.

i

i

i

A A i n A

i n A A A

A i n A A

证：因为 所以 的特征值

的特征值 而 的特征值为

于是 的特征值均大于零故 为正定矩

阵

的特征值，因此是且 Anii ),,2,1(0

| 2 | 2 .n

. A n

A E

5例 设 是 阶正定矩阵，证明：

1 T

1

2

,

,

A

P

P AP P AP

证 因为 为 阶的正定矩阵，故存在正交矩阵 使

其中

n

n

1 1

1

1

1

2

1 2

| 2 | | (2 ) |

| ( 2 ) |

| || 2 || |

| 2 |

2

2

2

( 2)( 2) ( 2) 2 .

A E P P P E P

P E P

P E P

E

n

nn

.为对称矩阵所以B

6

,

0 .

T

A E

B E A A

B

例 设 为 矩阵， 是 阶

单位矩阵，已知矩阵 试证 当 时， 为正定矩阵

m n n

TT T T T T( ) ( ) ( )B E A A E A A 证 因为 T T T T( )E A A E A A B

T T T T T T

n x

x Bx x E A A x x Ex x A Ax

对任意 维实向量 ，有

( ) 2 2T Tx x Ax Ax x Ax ( ) ( )

T

0 0 0 0

0

.

x x Ax

x Bx

B

若 则有 ， 所以当 时，

故 为正定矩阵

, ,

T

( ) .

A

B B AB

R B

7 例 设 为 阶实对称矩阵，且正定，

为 实矩阵，试证： 为正定矩阵的充分必要条件是

m

m n

nT

T T

T

.

( ) 0,

( ) 0,

,

( ) .

B AB

x

x B AB x

Bx A Bx

A Bx

Bx R B

证 必要性设 为正定阵，则对于任意 维实向量 ，有

即 （ ）又因为 是正定，于是因此 只有零解，从而

0

0

0

n

n

T T T T T T T( ) ( ). B AB B A B B AB 充分性 因为T .B AB故 为实对称定阵

( )

.

R B Bx

x

Bx

若 ，则线性方程组只有零解，从而对任意 维列向量 ，有

0

0

0

n

n

T

T T

T

( ) ( ) 0.

( ) 0

.

A

Bx

Bx A Bx

Bx

x B AB x

B AB

又因为 为正定矩阵，所以对于，

有

于是当 时，

故 为正定阵

0

0

作业 ; 163 页 13 、 14 （ 2 ）、15.

相似矩阵及二次型

向量的内积

特征值与特征向量

二次型

相似矩阵及二次型主要知识网络图

向量的内积

定义： [x,y]=∑xiyi

性质

范数 :||x||=

正交 : [x,y]=0

],[ xx

yx

yx ],[arccos夹角

1.[x,y]=[y,x]

2.[x,y]=[x,y]

3.[x+y,z]=[x,z]+[y,z]

特征值与特征向量特征值与特征向量

特征值与特征向量

定义： Ax= x, x≠0

求法：

特征值

特征向量

相似

实对称矩阵隐含的信息

性质

1. 定义法；

2. 特征多项式法 | E-A|.

1. 定义法；

2.（ A- E） x=0 的基础解系法 .

性质性质

性质

不同特征值的特征向量线性无关

k 重特征值至多有 k 个线性无关的特征向量

iiin aA 21

相似相似

相似

定义： P -1AP=B

可对角化

1.A有 n 个线性无关的特征向量；

2.R(A- kE)=n-k, k是 A的 k 重特征值 .1.A有 n 个不同的特征值；

2.A 是实对称矩阵 .

应用yyfAxxf

PPATT

nn

.2

.1 1

实对称矩阵隐含的信息实对称矩阵隐含的信息

实对称矩阵隐含的信

实对称矩阵隐含的信

息息必可以对角化，且可用正交变换

不同的特征值所对应的特征向量正交

特征值全为实数

k 重特征值必有 k 个线性无关的特征向量

与对角矩阵合同

二次型 二次型

二次型

矩阵表示 f =x TAx

标准形

正定二次型

yyf T 定义：

化标准形..3

.2

.1

合同变换法配方法；正交化方法；

正定二次型正定二次型

正定二次型

正定二次型

惯性定律

定义

充要条件

必要条件

.

;

;)(

q

p

rAR

负惯性指数正惯性指数惯性指数

0|| A

T, 0.x x Ax 0

T

;

A E A U U U

特征值全大于零；正惯性指数为顺序主子式全大于零；

合同 ，或 ，其中 可逆。

n