1 บทที่ 3 3.1 พิกัดฉากในปร ิภูมิสามมิติpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301118/ch3_4in1.pdf · จากจุด Q

บทท 3 ปรภมสามมต

ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559

1




2

3.1 พกดฉากในปรภมสามมต การบอกตาแหนงของจดในปรภมสามมตวธ เราใชทอางองเปนเสนตรงสามเสน (เรยกวา แกน X แกน Y และแกน Z) ซงตดและตงฉากซงกนและกนทจด O เราเรยกแกนทงสามวา แกนพกดฉาก เรยกจด O วา จดกาเนด เรยกระนาบทผานแกน X และแกน Y วา ระนาบ XY เรยกระนาบทผานแกน Y และแกน Z วา ระนาบ YZ เรยกระนาบทผานแกน X และแกน Z วา ระนาบ XZ และเรยกระนาบทงสามวา ระนาบพกดฉาก ดงรปท 3.1.1

รปท 3.1.1



3

ระนาบพกดฉากจะตงฉากซงกนและกน และแบงปรภมสามมตออกเปน 8 สวน เรยกวา อฐภาค ดงรปท 3.1.2

รปท 3.1.2



4

การเลอกทศทางทเปนบวกบนแกนพกดฉาก เรานยมใช กฎมอขวา กลาวคอ ถาเราวางมอขวาโดยใหนวหวแมมอ นวช และนวกลาง อยในลกษณะตงฉากซงกนและกน ให น วหวแมมอ ชไปใน ทศทางทเปนบวกของแกน X น วช ชไปใน ทศทางทเปนบวกของแกน Y และ น วกลาง ชไปใน ทศทางทเปนบวกของแกน Z ระยะบนแกนพกดฉากในทศทางทกลาวมานจะเปนบวก และระยะบนแกนพกดฉากในทศทางทตรงขามกบทกลาวมานเปนลบ ตวอยางดงรปท 3.1.3 เราจะใชแบบหนงแบบใดกไดตามความเหมาะสม

รปท 3.1.3



5

ให P เปนจดในปรภมสามมต เราจะบอกตาแหนงของจด P ดวยลาดบของสามจานวนจรง (x, y, z) เราเรยก x, y และ z วา สวนประกอบท 1, 2 และ 3 ของ (x, y, z) ตามลาดบ และเรยก (x, y, z) วาพกดฉาก ของจด P ซงเราจะหาสวนประกอบทงสามไดดงน

รปท 3.1.4 รปท 3.1.4 แสดงจด P ในปรภมสามมต จากจด P ลากเสนขนานกบแกน Z พบระนาบ XY ทจด Q ระยะ PQ = z จากจด Q ลากเสนขนานกบแกน Y พบแกน X ทจด A ระยะ OA = x จากจด Q ลากเสนขนานกบแกน X พบแกน Y ทจด B ระยะ OB = y



6

รปท 3.1.4 ขอสงเกต 1. จด Q คอ ภาพฉายของจด P บนระนาบ XY และพกดของ Q คอ (x, y, 0) 2. จด A(x, 0, 0) คอ ภาพฉายของจด P บนแกน X จด B(0, y, 0) คอ ภาพฉายของจด P บนแกน Y จด C(0, 0, z) คอ ภาพฉายของจด P บนแกน Z หมายเหต เราใชสญลกษณ 3R แทนเซตของลาดบของสามจานวนจรง หรอเซตของจดในปรภมสามมต



7

ตวอยาง 3.1.1 จงเขยนกราฟในปรภมสามมต แสดงตาแหนงของจด 1. P(5, 8, 7) 2. Q(–4, 6, –6) 3. S(–6, –9, –8) 4. T(4, –4, 4) วธทา 1. การแสดงตาแหนงของจด P(5, 8, 7) จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานบวก เปนระยะทาง 5 หนวย จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานบวก เปนระยะทาง 8 หนวย จากจด B ไปยงจด P ขนานกบแกน Z ทางดานบวก เปนระยะทาง 7 หนวย

รปท 3.1.5



8

2. การแสดงตาแหนงของจด Q(–4, 6, –6) จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานลบ เปนระยะทาง 4 หนวย จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานบวก เปนระยะทาง 6 หนวย จากจด B ไปยงจด Q ขนานกบแกน Z ทางดานลบ เปนระยะทาง 6 หนวย

รปท 3.1.6



9

3. การแสดงตาแหนงของจด S(–6, –9, –8) จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานลบ เปนระยะทาง 6 หนวย จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานลบ เปนระยะทาง 9 หนวย จากจด B ไปยงจด S ขนานกบแกน Z ทางดานลบ เปนระยะทาง 8 หนวย

รปท 3.1.7



10

4. การแสดงตาแหนงของจด T(4, –4, 4) จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานบวก เปนระยะทาง 4 หนวย จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานลบ เปนระยะทาง 4 หนวย จากจด B ไปยงจด T ขนานกบแกน Z ทางดานบวก เปนระยะทาง 4 หนวย

รปท 3.1.8



11

3.2 เวกเตอรในปรภมสามมต 3.2.1 ความหมายของเวกเตอรในปรภมสามมต เวกเตอร คอ ปรมาณทมทงขนาดและทศทาง เราใชสวนของเสนตรงทเชอมโยงระหวางจดสองจด และ มหวลกศรกากบแทนเวกเตอร

ใหความยาวของสวนของเสนตรงแทนขนาด และ หวลกศรบอกทศทางของเวกเตอร

เราใชสญลกษณ PQ แทนสวนของเสนตรงทมทศทาง หรอ เวกเตอรทม P เปนจดเรมตน และ Q เปนจดสนสด มทศทางจากจด P ไปยงจด Q ใชสญลกษณ || PQ || แทนความยาวของ PQ หรอขนาดของ PQ เวกเตอรสองเวกเตอร เทากน กตอเมอ เวกเตอรทงสองมขนาดเทากน และ มทศทางเดยวกน



12

รปท 3.2.1 เวกเตอรตางๆ ทเทากน ซงในบรรดาเวกเตอรเหลานจะมอยเวกเตอรหนงเสมอทมจดเรมตนเปนจดกาเนด

เพราะฉะนน เราแทนเวกเตอรในปรภมสามมตไดดวย สวนของเสนตรงทมทศทางโดยมจดเรมตนเปนจดกาเนด ในรปท 3.2.1 เวกเตอรเหลาน ถอวาคอ OA เพราะวา บรรดาสวนของเสนตรงทมทศทางเหลาน ตางมจดเรมตนทกาหนดไวแนนอนคอ จดกาเนด เพราะฉะนนเราบอกแตละสวนของเสนตรงทมทศทางเชนนไดดวยจดปลายของเวกเตอร ขอตกลง เราใชสญลกษณ A แทน OA



13

ขอตกลง สาหรบจด P ใดๆ ใน 3R เราจะใชสญลกษณ P เขยนแทน OP เพราะวาเราแทนจดใน 3R ดวยลาดบของสามจานวนจรง เชน ถา P มพกดฉากเปน (x, y, z) เรากแทน P ไดดวย เราจงอาจใช (x, y, z) แทน P กได

บทนยาม 3.2.1 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) เปนเวกเตอรใน 3R เราเรยก 1a , 2a , 3a วา สวนประกอบ ของ A ตามแกน X แกน Y และแกน Z ตามลาดบ

รปท 3.2.2 โดยใชความสมพนธของดาน ของรปสามเหลยมมมฉาก OPQ และ OAQ จะไดวา ความยาวของ OA คอ 2

322

21 aaa ++

เพราะฉะนน || A || = 23

22

21 aaa ++



14

บทนยาม 3.2.2 เราเรยกเวกเตอรทมสวนประกอบทกตวเปนศนยวา เวกเตอรศนย เขยนแทนดวยสญลกษณ O เพราะฉะนน O = (0, 0, 0) บทนยาม 3.2.3 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) ≠ O เปนเวกเตอรททามม α, β, γ กบแกน X แกน Y และแกน Z ทางดานบวกตามลาดบ โดยท α, β, γ มคาตงแต 0 ถง π เราเรยก α, β, γ วา มมแสดงทศทางของ A และเรยก cos α, cos β, cos γ วา โคไซนแสดงทศทางของ A

รปท 3.2.3 รปท 3.2.3 แสดง A ซงมมมแสดงทศทางเปน α, β, γ พจารณารปสามเหลยม OAM จะเหนวา AMO เปนมมฉาก เพราะฉะนน cos γ =

||||

||||

OAOM =

|||| Aa3



15

รปท 3.2.3 ลาก AP และ AQ จากรปสามเหลยมมมฉาก OAP และ OAQ จะไดวา cos α =

|||| Aa1

และ cos β = |||| A

a2

เพราะฉะนน cos α = |||| A

a1

cos β = |||| A

a2

cos γ = |||| A

a3 และ α2cos + β2cos + γ2cos = 1



16

ตวอยาง 3.2.1 กาหนดให A = (–1, 2 , 1) จงหาขนาดและมมแสดงทศทางของ A วธทา || A || = 222 1)2()1( ++− = 4 = 2 ให A ทามม α, β, γ กบแกน X, แกน Y, แกน Z ทางดานบวกตามลาดบ เราจะได cos α =

|||| Aa1 = – 2

1 เพราะฉะนน α = 32π

cos β = |||| A

a2 = 22 เพราะฉะนน β = 4

π

cos γ = |||| A

a3 = 21 เพราะฉะนน γ = 3

π



17

3.2.2 พชคณตเวกเตอร บทนยาม 3.2.4 ให A = ( 1a , 2a , 3a ), B = ( 1b , 2b , 3b ) และ k ∈ R 1. A = B กตอเมอ 1a = 1b , 2a = 2b และ 3a = 3b 2. การบวกเวกเตอร A + B = ( 1a + 1b , 2a + 2b , 3a + 3b ) 3. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร kA = (k 1a , k 2a , k 3a ) หมายเหต 1. ถา D = A + B แลว D จะแทนดวยสวนของเสนตรงทมทศทาง ซงเปนเสนทแยง มมของรปสเหลยมดานขนานทม A และ B เปนดานประชด

รปท 3.2.4 2. ถา D = kA แลว D จะเปนเวกเตอรซงขนานกบ A โดย มทศทางเดยวกบ A เมอ k > 0 และ มทศทางตรงขามกบ A เมอ k < 0 และ || kA || = | k | || A || ในกรณท k = –1 เราเรยก (–1)A วา นเสธ ของ A และนยมเขยนแทนดวยสญลกษณ –A บทนยาม 3.2.5 A – B = A + (–B)



18

ตวอยาง 3.2.2 กาหนดให A = (2, –1, 3) และ B = (1, 2, –1) จงหา 2A – B วธทา 2A– B = 2(2, –1, 3) – (1, 2, –1) = (4, –2, 6) + (–1, –2, 1) = (4 – 1, –2 – 2, 6 + 1) = (3, –4, 7)

ขอสงเกต AB = B – A



19

สมบตของการบวกเวกเตอรและการคณเวกเตอรดวยสเกลาร

ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R และ c, k ∈ R จะไดวา 1. A + B = B + A 2. (A + B) + C = A + (B + C) 3. A + O = A 4. A + (–A) = O 5. (ck)A = c(kA) = k(cA) 6. c(A + B) = cA + cB 7. (c + k)A = cA + kA 8. 1A = A 9. 0A = O



20

3.2.3 เวกเตอรหนวย บทนยาม 3.2.6 เราเรยกเวกเตอรทมขนาดหนงหนวยวา เวกเตอรหนวย ให A เปนเวกเตอรใน 3R ซง A ≠ O จะเหนไดวา |||| A

A เปนเวกเตอรทมทศทางเดยวกบ A

และมขนาดเปน || |||| AA || = |||| A

1 || A || = 1

เพราะฉะนน เวกเตอรหนวยในทศทางของ A คอ |||| AA

และ เวกเตอรหนวยในทศทางตรงขามกบ A คอ – |||| AA

ตวอยาง 3.2.3 ให A(1, 2, –1) และ B(2, 4, 1) เปนจดใน

3R จงหาเวกเตอรหนวยในทศทางของ AB วธทา AB = B – A = (2, 4, 1) – (1, 2, –1) = (1, 2, 2) || AB || = 222 221 ++ = 9 = 3 เพราะฉะนน เวกเตอรหนวยในทศทางของ AB คอ

|||| ABAB = 3

)2 ,2 ,1(

= (31 , 3

2 , 32)



21

เวกเตอรหนวยในทศทางบวก ของแกน X แกน Y และแกน Z

เวกเตอรหนวยทสาคญคอ เวกเตอรหนวยในทศทางบวกของแกน X แกน Y และแกน Z และเราจะเขยนแทนดวยสญลกษณ i , j , k ตามลาดบ กลาวคอ เราให i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) ให A = ( 1a , 2a , 3a ) เปนเวกเตอรใน 3R เราจะไดวา A = ( 1a , 2a , 3a ) = ( 1a , 0, 0) + (0, 2a , 0) + (0, 0, 3a ) = 1a (1, 0, 0) + 2a (0, 1, 0) + 3a (0, 0, 1) = 1a i + 2a j + 3a k ตวอยางเชน (2, 3, 6) = 2 i + 3 j + 6k (–3, 6, –12) = –3 i + 6 j – 12k (0, 3, –1) = 3 j – k



22

3.2.4 ผลคณเชงสเกลาร บทนยาม 3.2.7 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) และ B = ( 1b , 2b , 3b ) เปนเวกเตอรใน

3R ผลคณเชงสเกลาร ของ A และ B เขยนแทนดวยสญลกษณ A ⋅B มคาดงน A ⋅B = 1a 1b + 2a 2b + 3a 3b

สมบตเกยวกบผลคณเชงสเกลาร มดงน ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R และ k ∈ R จะไดวา 1. A ⋅B = B⋅A 2. A ⋅(B + C) = A ⋅B + A ⋅C 3. k(A ⋅B) = (kA)⋅B = A ⋅(kB) 4. A ⋅A = || A ||2 ≥ 0 และ A ⋅A = 0 กตอเมอ A = O 5. ถา A ≠ O, B ≠ O และ θ เปนมมระหวาง A กบ B จะไดวา A ⋅B = || A || || B || cos θ เมอ 0 ≤ θ ≤ π

หมายเหต ในกรณท θ = 2π เราจะกลาววา A ตงฉาก กบ B

ผลจากขอ 5. จะไดวา A ⋅B = 0 กตอเมอ A ตงฉากกบ B



23

ตวอยาง 3.2.4 ให A(1, 2, 0), B(0, 4, 2) และ C(3, 2, –2) เปนจดมมของรปสามเหลยม ABC จงหา CAB วธทา

รปท 3.2.5 CAB เปนมมระหวาง AB กบ AC

AB = B – A = (0, 4, 2) – (1, 2, 0) = (–1, 2, 2) AC = C – A = (3, 2, –2) – (1, 2, 0) = (2, 0, –2) || AB || = 222 22)1( ++− = 9 = 3 || AC || = 222 )2(02 −++ = 8 = 2 2 AB⋅AC = (–1, 2, 2)⋅(2, 0, –2) = –1(2) + 2(0) + 2(–2) = –6 เพราะวา AB⋅AC = || AB || || AC || cos CAB เพราะฉะนน cos CAB =

|||| |||| ACABACAB ⋅

= )22)(3(

6−

= –2

1 เพราะฉะนน CAB = 4

3π



24

ตวอยาง 3.2.5 ให A = (1, 2, –1), B = (2, 1, 4) และ C = (3, –2, 1) จงหาวาเวกเตอรคใดทตงฉากกน วธทา โดยใชเหตผลวา X ตงฉากกบ Y กตอเมอ X ⋅Y = 0

เพราะวา A ⋅B = (1, 2, –1)⋅(2, 1, 4) = 2 + 2 – 4 = 0 เพราะฉะนน A ตงฉากกบ B

เพราะวา A ⋅C = (1, 2, –1)⋅(3, –2, 1) = 3 – 4 – 1 = –2 ≠ 0 เพราะฉะนน A ไมตงฉากกบ C

เพราะวา B⋅C = (2, 1, 4)⋅(3, –2, 1) = 6 – 2 + 4 = 8 ≠ 0 เพราะฉะนน B ไมตงฉากกบ C



25

บทนยาม 3.2.8 ให A ≠ O, B ≠ O และ θ เปนมมระหวาง A กบ B ลากเสนตรงจากจด A มาตงฉากกบ OB ทจด C รปท 3.2.6 (ก) รปท 3.2.6 (ข) C เรยกวา ภาพฉายเวกเตอร ของ A บน B ใชสญลกษณแทนดวย BA และ || A || cos θ เรยกวา ภาพฉายสเกลารของ A บน B

เพราะวา A ⋅B = || A || || B || cos θ เพราะฉะนน || A || cos θ = |||| B

BA ⋅

เพราะฉะนน ภาพฉายสเกลารของ A บน B คอ |||| BBA ⋅

และ ภาพฉายเวกเตอรของ A บน B คอ 2|||| BBA ⋅ B



26

ตวอยาง 3.2.6 ให A = (2, 1, 4) และ B = (2, 3, 6) จงหา ภาพฉายสเกลาร และ ภาพฉายเวกเตอรของ A บน B วธทา A ⋅B = (2, 1, 4)⋅(2, 3, 6) = 4 + 3 + 24 = 31 || B || = 3694 ++ = 7 ภาพฉายสเกลารของ A บน B คอ |||| B

BA ⋅ = 731

ภาพฉายเวกเตอรของ A บน B คอ BA = 2|||| B

BA ⋅ B

= 2731(2, 3, 6)

= ( 4962 , 49

93 , 49186)



27

3.2.5 ผลคณเชงเวกเตอร บทนยาม 3.2.9 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) และ B = ( 1b , 2b , 3b ) เปนเวกเตอรใน 3R ผลคณเชงเวกเตอร ของ A และ B แทนดวยสญลกษณ A × B มคาดงน A × B = ( 2a 3b – 3a 2b , 3a 1b – 1a 3b , 1a 2b – 2a 1b )

สมบตเกยวกบผลคณเชงเวกเตอร ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R และ k ∈ R จะไดวา 1. A × B = –(B × A ) 2. k(A × B) = (kA ) × B = A × (kB) 3. A × (B + C) = (A × B) + (A × C) 4. A × B = O กตอเมอม k ∈ R ททาให A = kB หรอ B = kA (เพราะฉะนน A ขนานกบ B) 5. A ⋅(A × B) = 0 และ B⋅(A × B) = 0 เพราะฉะนน A × B ตงฉากกบ A และ B



28

ในกรณท A ไมขนานกบ B จะไดวาทศทางของ A × B จะเปนไปตามกฎมอขวา กลาวคอ ถา เราวางมอในลกษณะทให นวหวแมมอชไปตาม A และ นวชชไปตาม B แลว นวกลางซงวางใหตงฉากกบนวหวแมมอและนวช นวกลางจะชไปในทศทางของ A × B

รปท 3.2.7 6. || A × B || = || A || || B || sin θ เมอ θ เปนมมระหวาง A กบ B และ 0 ≤ θ ≤ π

7. || A × B || = พนทของรปสเหลยมดานขนานทมดาน ประชดเปน A และ B

รปท 3.2.8



29

การหาคา A × B โดยใช determinant ทบทวนสตร determinant

ให M = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyxtsrcba

จะไดวา zyxtsrcba

= zyts a – zx

tr b + yxsr c

= (sz – ty)a – (rz – tx)b + (ry – sx)c

ให A = ( 1a , 2a , 3a ) และ B = ( 1b , 2b , 3b )

bbbaaakji

321321 = bb

aa

3232 i – bb

aa

3131 j + bb

aa

2121 k

= ( 2a 3b – 3a 2b ) i – ( 1a 3b – 3a 1b ) j + ( 1a 2b – 2a 1b )k = ( 2a 3b – 3a 2b , 3a 1b – 1a 3b , 1a 2b – 2a 1b ) = A × B

เพราะฉะนน A × B = bbbaaakji

321321

2. ถา C ตงฉากกบ A และ C ตงฉากกบ B แลว C ขนานกบ A × B



30

ตวอยาง 3.2.7 จงหาพนทของรปสามเหลยมทมจดมมเปน A(2, 1, –1), B(3, 0, 1) และ C(1, 3, –2) วธทา

รปท 3.2.9 เพราะวา AB = B – A = (1, –1, 2) AC = C – A = (–1, 2, –1)

เพราะฉะนน AB × AC = 12 12 11 k j i

−−

−

= 12 2 1 −

− i – 112 1 −− j + 2 1

11 −− k

= (1 – 4) i – (–1 + 2) j + (2 – 1)k = –3 i – j + k เพราะวา พนทของ Δ ABC = 2

1 พนทของรปสเหลยมดานขนานทมดานประชด เปน AB และ AC พนทของ Δ ABC = 2

1 || AB × AC ||

= 21)1()3( 222 +−+−

= 211 ตารางหนวย



31

3.2.6 ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร บทนยาม 3.2.10 ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร A , B, C คอ A ⋅B× C และนยมเขยนแทนดวยสญลกษณ [A B C]

หมายเหต ให A = ( 1a , 2a , 3a ), B = ( 1b , 2b , 3b ) และ C = ( 1c , 2c , 3c ) B × C = ( 2b 3c – 3b 2c , 3b 1c – 1b 3c , 1b 2c – 2b 1c ) A ⋅B × C = ( 2b 3c – 3b 2c ) 1a – ( 1b 3c – 3b 1c ) 2a + ( 1b 2c – 2b 1c ) 3a = cc

bb

3232

1a – ccbb

3131

2a + ccbb

2121

3a

= cccbbbaaa

321321321

เพราะฉะนน A ⋅B × C = cccbbbaaa

321321321

หมายเหต A ⋅B×C = B⋅C×A = C⋅A×B = B×C⋅A = C×A ⋅B = A×B⋅C



32

ความหมายทางเรขาคณตของ | [A B C] | | [A B C] | = ปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน ซงมดานประชดเปน A , B และ C

รปท 3.2.10 ปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน = พนทฐาน × สง = || B × C || h = || B × C || || A || | cos θ | เมอ θ เปนมมระหวาง A กบ B × C = | B × C⋅A | = | A ⋅B × C | = | [A B C] |



33

ตวอยาง 3.2.8 กาหนดให A = i + j – k , B = 2 i + j และ C = j + 2k จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานทมดานประชดเปน A , B และ C วธทา

A ⋅B × C = 2 100 12111

−

= 2101 (1) – 20

02 (1) + 1012 (–1)

= (2 – 0)(1) – (4 – 0)(1) + (2 – 0)(–1) = 2 – 4 – 2 = –4 เพราะฉะนน ปรมาตร = | A ⋅B × C | = 4 ลกบาศกหนวย การคานวณผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร ดวย MATHCAD

111−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

210

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

012

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

×⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅ 4−=

120

111

1−

02

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

4−→



34

3.2.7 การรวมเชงเสน และ อสระเชงเสน บทนยาม 3.2.11 กาหนดให 1V , 2V , ... , nV เปนเวกเตอร

1c , 2c , ... , nc เปนจานวนจรง เวกเตอร V = 1c 1V + 2c 2V + ... + nc nV เรยกวา การรวมเชงเสน ของ 1V , 2V , ... , nV ตวอยางเชน 1. 4 i + 5 j + 6k เปนการรวมเชงเสนของ i , j , k 2. 4(1, 1, 1) + 5(1, 1, 0) + 2(1, 2, 3) = (11, 13, 10) (11, 13, 10) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 1, 1), (1, 1, 0) และ (1, 2, 3)

ตวอยาง 3.2.9 จงแสดงวา (5, 2, 1) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 0, 0), (1, 1, 0) และ (1, 1, 1) วธทา ให a, b, c ∈ R โดยท a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (5, 2, 1) (a + b + c, b + c, c) = (5, 2, 1) เพราะฉะนน a + b + c = 5 b + c = 2 c = 1 เพราะฉะนน c = 1, b = 1 และ a = 3 เพราะฉะนน (5, 2, 1) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 0, 0), (1, 1, 0) และ (1, 1, 1)



35

ตวอยาง 3.2.10 จงพจารณาวา (2, –1, 4) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 0, 1), (1, –1, 2) และ (0, 1, –1) หรอไม วธทา ให a, b, c ∈ R โดยท (2, –1, 4) = a(1, 0, 1) + b(1, –1, 2) + c(0, 1, –1) (2, –1, 4) = (a + b, –b + c, a + 2b – c) เพราะฉะนน a + b = 2 ... (1) –b + c = –1 ... (2) a + 2b – c = 4 ... (3) (2) + (3) ; a + b = 3 ... (4) (4) – (1) ; 0 = 1 ซงเปนไปไมได เพราะฉะนน (2, –1, 4) ไมเปนการรวมเชงเสนของ (1, 0, 1), (1, –1, 2) และ (0, 1, –1)



36

บทนยาม 3.2.12 เวกเตอร 1V , 2V , ... , nV เปนอสระเชงเสน กตอเมอ ถา 1c 1V + 2c 2V + ... + nc nV = O แลว 1c = 2c = ... = nc = 0 ตวอยาง

1 (1, 0, 0) เปนอสระเชงเสน หรอไม เพราะวา ถา 1c (1, 0, 0) = (0, 0, 0) ( 1c , 0, 0) = (0, 0, 0) แลว 1c = 0 เพราะฉะนน (1, 0, 0) เปนอสระเชงเสน

2 (5, 0, 0), (0, 4, 0) เปนอสระเชงเสน หรอไม เพราะวา ถา 1c (5, 0, 0) + 2c (0, 4, 0) = (0, 0, 0) (5 1c , 4 2c , 0) = (0, 0, 0) 5 1c = 0 และ 4 2c = 0 แลว 1c = 0 และ 2c = 0 เพราะฉะนน (5, 0, 0), (0, 4, 0) เปนอสระเชงเสน



37

ตวอยาง 3.2.11 จงพจารณาวา (2, 1, 0), (1, 2, 0) และ (0, 0, 3) เปนอสระเชงเสน หรอไม วธทา สมมต a(2, 1, 0) + b(1, 2, 0) + c(0, 0, 3) = (0, 0, 0) (2a + b, a + 2b, 3c) = (0, 0, 0) เพราะฉะนน 2a + b = 0 ... (1) a + 2b = 0 ... (2) 3c = 0 ... (3) จาก (3) ; c = 0 2 × (1) ; 4a + 2 b = 0 ... (4) (4) – (2) ; 3a = 0 a = 0 จาก (1) ; b = –2a = 0 เพราะฉะนน a = b = c = 0 เพราะฉะนน (2, 1, 0), (1, 2, 0) และ (0, 0, 3) เปนอสระเชงเสน

ขอควรจา ถา ม a, b, c ไมเปนศนยพรอมกนททาให a 1V + b 2V + c 3V = O แลว 1V , 2V , 3V ไมเปนอสระเชงเสน



38

ตวอยาง 3.2.12 จงพจารณาวา (3, 2, –5), (2, 6, –1) และ (–1, 0, 2) เปนอสระเชงเสน หรอไม วธทา สมมต a(3, 2, –5) + b(2, 6, –1) + c(–1, 0, 2) = (0, 0, 0) (3a + 2b – c, 2a + 6b, –5a – b + 2c) = (0, 0, 0) เพราะฉะนน 3a + 2b – c = 0 ... (1) 2a + 6b = 0 ... (2) –5a – b + 2c = 0 ... (3) 2 × (1) ; 6a + 4b – 2c = 0 ... (4) (3) + (4) ; a + 3b = 0 ... (5) 2 × (5) ; 2a + 6b = 0 ซงเหมอน (2) จาก (5) ; b = –3

1a ... (6) จาก (1) ; c = 3a + 2(–3

1a) = 37a

ให a = t เมอ t ∈ R จะได b = –31 t และ c = 3

7 t แสดงวาม a ≠ 0, b ≠ 0 และ c ≠ 0 ททาให a(3, 2, –5) + b(2, 6, –1) + c(–1, 0, 2) = (0, 0, 0) เพราะฉะนน (3, 2, –5), (2, 6, –1) และ (–1, 0, 2) ไมเปนอสระเชงเสน หมายเหต จากสมการ (6) นสตสามารถเลอก a = 3 แลวจะได b = –1, c = 7 กเพยงพอ



39

3.3 เสนตรงใน 3R 3.3.1 สมการของเสนตรง บทนยาม 3.3.1 ให 0P เปนจดใน 3R และ A ≠ O เปนเวกเตอรใน 3R เราจะเรยกเซตของจด P ใดๆ ซงทาให

PP0 ขนานกบ A วา เสนตรงทผานจด 0P และขนานกบ A และ เรยก A วา เวกเตอรแสดงทศทาง ของเสนตรง

รปท 3.3.1 ขอสงเกต ถา A เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L แลว เวกเตอรใดๆ ทไมใชเวกเตอรศนย ซงขนานกบ A เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L ดวย



40

การหาสมการเสนตรง เสนตรง L ซงผานจด 0P และม A เปนเวกเตอรแสดงทศทาง ให P เปนจดใดๆ บนเสนตรง L เพราะฉะนน PP0 ขนานกบ A เพราะฉะนน จะม t ∈ R ททาให PP0 = tA P – 0P = tA P = 0P + tA ... (3.3.1) ใหจด P(x, y, z) และ 0P ( 0x , 0y , 0z ) และ A = (a, b, c) สมการ (3.3.1) จะเขยนไดเปน (x, y, z) = ( 0x , 0y , 0z ) + t(a, b, c) ... (3.3.2) เราเรยกสมการ (3.3.1) หรอ (3.3.2) วา สมการเวกเตอร ของเสนตรง L สมการ (3.3.2) เราอาจแยกเขยนสมการสาหรบแตละสวนประกอบไดเปน

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

+=

ctzz

btyy

atxx

0

0

0

... (3.3.3)

เราเรยกสมการ (3.3.3) วา สมการองตวแปรเสรม ของเสนตรง L



41

จากสมการ (3.3.3) สาหรบคา a, b, c ถาไมมคาใดเปนศนยเลย เราไดวา t = a

xx 0− , t = byy 0− , t = c

zz 0−

เพราะฉะนน axx 0− = b

yy 0− = czz 0− ... (3.3.4)

เราเรยกสมการ (3.3.4) วา สมการสมมาตร ของเสนตรง L

หมายเหต ในกรณทมคาหนงใน a, b, c เปนศนย เชน a = 0 จากสมการ (3.3.3) เราจะเขยนสมการสมมาตรของเสนตรง L ไดเปน x = 0x , b

yy 0− = czz 0−

ในกรณทมสองคาใน a, b, c เปนศนย เชน a = 0, b = 0 เราจะเขยนสมการสมมาตรของเสนตรง L ไดเปน x = 0x , y = 0y , z = 0z + tc



42

ตวอยาง 3.3.1 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตรของเสนตรง L ทผานจด

0P (1, 0, –2) และ ขนานกบ A = (2, –1, 3) วธทา ให P(x, y, z) เปนจดบนเสนตรง L สมการเวกเตอรของเสนตรง L ทผานจด

0P (1, 0, –2) และขนานกบ A = (2, –1, 3) คอ P = 0P + tA หรอ (x, y, z) = (1, 0, –2) + t(2, –1, 3) เมอ t ∈ R สมการองตวแปรเสรมของเสนตรง L คอ x = 1 + 2t y = –t z = –2 + 3t และสมการสมมาตรของเสนตรง L คอ 2

1x − = 1y

− = 3

2z +



43

ตวอยาง 3.3.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรมและสมการสมมาตรของเสนตรง L ผานจด 1P (–2, 1, 3) และ 2P (1, 2, 1) วธทา ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนเสนตรงน L เพราะวาจด 1P และ 2P อยบนเสนตรง L เพราะฉะนน 21PP เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L และ

21PP = 2P – 1P = (1, 2, 1) – (–2, 1, 3) = (3, 1, –2)

สมการเวกเตอรของเสนตรง L ทผานจด 1P (–2, 1, 3) และ 2P (1, 2, 1) คอ P = 1P + t 21PP หรอ (x, y, z) = (–2, 1, 3) + t(3, 1, –2) เมอ t ∈ R

สมการองตวแปรเสรมของเสนตรง L คอ x = –2 + 3t y = 1 + t z = 3 – 2t และ สมการสมมาตรของเสนตรง L คอ 3

2x + = 11y − = 2

3z−−

หมายเหต สมการของเสนตรงในตวอยาง 3.3.2 อาจจะเขยนเปนแบบอนได เชน P = 2P + t 21PP



44

3.3.2 จดกบเสนตรง จด P(x, y, z) จะอยบนเสนตรง กตอเมอ พกด (x, y, z) ของจด P สอดคลองกบสมการของเสนตรง เพราะฉะนนการตรวจสอบวาจด P(x, y, z) อยบนเสนตรง L หรอไม จงสามารถตรวจสอบโดยการแทนคา x, y, z ลงในสมการของเสนตรง L วาสอดคลองกบสมการของเสนตรง L หรอไม



45

ตวอยาง 3.3.3 จงพจารณาวาจด P(1, –2, 3) อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม 1. 1L : x = 3 – t, y = 2 – 4t, z = 3 + t 2. 2L : 2

1x + = 35y + = z – 2

วธทา 1. แทนคา x = 1, y = –2, z = 3 ในสมการของเสนตรง 1L จะได 1 = 3 – t ... (1)

–2 = 2 – 4t ... (2) 3 = 3 + t ... (3) จาก (1) ได t = 2 ... (4) จาก (2) ได t = 1 ... (5) และ จาก (3) ได t = 0 จะเหนวาทงสามสมการใหคา t ขดแยงกน จงไมมคา t ใดๆ ททาให (1) , (2) , (3) เปนจรง แสดงวาพกดของจด P ไมสอดคลองกบสมการของเสนตรง 1L เพราะฉะนน จด P ไมอยบนเสนตรง 1L หมายเหต พบวา (4), (5) ขดแยงกนกสรปผลไดแลว 2. แทนคา x = 1 , y = –2, z = 3 ในสมการของเสนตรง 2L จะได 2

11+ = 352 +− = 3 – 2

หรอ 1 = 1 = 1 ซงเปนจรง แสดงวาพกดของจด P สอดคลองกบสมการของเสนตรง 2L เพราะฉะนน จด P อยบนเสนตรง 2L



46

ตวอยาง 3.3.4 จงพจารณาวาจด A(2, 1, 0), B(3, 0, 2) และ C(1, 2, 3) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม วธทา AB = B – A = (1, –1, 2) เพราะฉะนน สมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด A และ B คอ 1

2x − = 11y

−− = 2

z แทนคา x = 1, y = 2, z = 3 ของพกดจด C ในสมการของเสนตรงน จะได 1

21− = 112

−− = 2

3 หรอ –1 = –1 = 2

3 ซงไมเปนจรง แสดงวา พกดของจด C ไมสอดคลองกบสมการของเสนตรงทผานจด A และ B เพราะฉะนน จด C ไมอยบนเสนตรงน เพราะฉะนน จด A, B , C ไมอยบนเสนตรงเดยวกน

หมายเหต ถา AB และ AC ไมขนานกน แลว จด A, B , C ไมอยบนเสนตรงเดยวกน

เพราะฉะนน การแสดงวา จด A, B , C ไมอยบนเสนตรงเดยวกน ตรวจสอบวา AB และ AC ไมขนานกน กเพยงพอ



47

ระยะทางจากจดไปยงเสนตรง คอ ความยาวของเสนตงฉากจากจดไปยงเสนตรง และจดบนเสนตรงทอยหางจากจดดงกลาวนอยทสดเราเรยกวา จดเชงเสนตงฉาก สมมตให L เปนเสนตรงทผานจด 0P และม A เปนเวกเตอรแสดงทศทาง ให B เปนจดใดๆ ทอยนอกเสนตรง L สมมตวา M เปนจดบนเสนตรง L ซง BM ตงฉากกบเสนตรง L เพราะฉะนน จด M เปน จดเชงตงฉาก การหาความยาวของ BM และพกดของจด M

รปท 3.3.2 จากรปท 3.3.2 พจารณา ΔB 0P M ให θ เปนมมระหวาง BP0 กบ MP0 เราจะไดวา sin θ = ฉาก

ขาม = ||||||||

BPBM

0

|| BM || = || BP0 || sin θ ... (1)



48

เพราะวา MP0 ขนานกบ A เพราะฉะนน θ เปนมมระหวาง BP0 กบ A

จาก (1) จะได || BM || = |||||||| ||||

AsinAB0P θ

= ||||||||

AAB0P ×

เพราะฉะนนความยาวของ BM = ||||||||

AAB0P ×

การหาพกดของจด M เพราะวา M อยบนเสนตรง L เพราะฉะนนจะม t ∈ R ททาให M = 0P + tA ... (3.3.5) เพราะวา BM = M – B เพราะฉะนน BM = 0P + tA – B BM ⋅A = ( 0P + tA – B)⋅A = ( 0P – B)⋅A + t || A ||2 ... (2) เพราะวา BM ⊥ MP0 เพราะฉะนน BM ⊥ A เพราะฉะนน BM ⋅A = 0 จาก (2) จะได ( 0P – B)⋅A + t || A ||2 = 0 t = 2

0|||| A

A)PB( ⋅−

แทนคา t ในสมการ (3.3.5) จะได M = 0P + [ 20|||| A

A)PB( ⋅− ] A



49

ตวอยาง 3.3.5 จงหาจดเชงเสนตงฉากของจด B(2, 1, –1) บนเสนตรง L : 4

5x − = 2 – y = 34z −

พรอมทงหาระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง L วธทา จากสมการเสนตรง L: 4

5x − = 2 – y = 34z −

หรอ 45x − = 1

2y−− = 3

4z − แสดงวา เสนตรง L ผานจด 0P (5, 2, 4) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (4, –1, 3) ให M เปนจดเชงเสนตงฉากของจด B บนเสนตรง L M = 0P + [ 2

0|||| A

A)PB( ⋅− ]A

= (5, 2, 4) + [ ( )222 3)1(4

)3,1,4()4,2,5()1,1,2(+−+

−⋅−− ](4, –1, 3)

= (5, 2, 4) – (4, –1, 3) = (1, 3, 1) การหาระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง L

ระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง = ||||||||

AAB0P ×

BP0 = B – 0P = (2, 1, –1) – (5, 2, 4) = (–3, –1, –5)



50

BP0 × A = 3 14 513k j i

−

−−−

= 3151 −

−− i – 3453 −− j + 14

13 −−− k

= –8 i – 11 j + 7k || BP0 × A || = 222 7)11()8( +−+− = 234 = 3 26 || A || = 222 3)1(4 +−+ = 26 เพราะฉะนน ระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง L

= ||||||||

AAB0P ×

= 26263

= 3 หนวย

หมายเหต หา || BM || จะงายกวา และ ไดระยะทางเทากน BM = M – B = (1, 3, 1) – (2, 1, –1) = (–1, 2, 2) เพราะฉะนน || BM || = 222 22)1( ++− = 9 = 3



51

3.3.3 การตดกนของเสนตรง ในปรภมสองมต เสนตรงสองเสน หากไมตดกน กตองขนานกน อยางใดอยางหนงเทานน แตในปรภมสามมต เสนตรง 1L และเสนตรง 2L มความเปนไปไดดงตอไปน 1. ตดกน (รปท 3.3.3 (ก)) 2. ไมตดกน โดยจาแนกเปน 2.1 ไมตดกน และ ไมขนานกน (รปท 3.3.3 (ข)) 2.2 ไมตดกน และ ขนานกน (รปท 3.3.3 (ค)) รปท 3.3.3 (ก) รปท 3.3.3 (ข) รปท 3.3.3 (ค)

คาเตอน ในการหาจดตด เสนตรง 1L และเสนตรง 2L ตองใชตวแปรเสรมคนละตวกน



52

ตวอยาง 3.3.6 กาหนดให 1L , 2L เปนเสนตรงซงมสมการเปน 1L : x = 2 + s, y = 4 – s, z = 3 + 2s และ 2L : x = 1 – t, y = 9 + 3t, z = 2 + t จงแสดงวา 1L กบ 2L ไมตดกน วธทา สมมต 1L ตดกบ 2L เพราะฉะนนมจด 0P จดหนงซงอยทงบน 1L และ 2L ใหจด 0P มพกดเปน ( 0x , 0y , 0z ) เพราะฉะนนคา 0x , 0y , 0z ตองสอดคลองสมการ 1L และ 2L เพราะฉะนน ตองม 0s และ 0t ทาใหสมการตอไปนเปนจรง

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

−=

+=

s 3z

s 4y

s 2x

00

00

00

... (1)

และ

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

+=

t 2z

3t 9 y

t 1x

00

00

00

... (2)



53

จาก (1) กบ (2) เราได 2 + 0s = 1 – 0t 4 – 0s = 9 + 3 0t 3 + 2 0s = 2 + 0t หรอ 0s + 0t = –1 ... (3) – 0s – 3 0t = 5 ... (4) 2 0s – 0t = –1 ... (5) จาก (3) และ (4) หาคา 0s และ 0t จะได 0s = 1 และ 0t = –2

เมอได 0s = 1 และ 0t = –2 แลวตองตรวจสอบกบสมการทเหลอ ในทน คอสมการ (5) แทนคา 0s และ 0t ใน (5) ได 4 = –1 ซงเปนไปไมได แสดงวาไมมคา 0s และ 0t ททาใหคา

0x , 0y , 0z สอดคลองกบสมการของ 1L และ 2L เพราะฉะนน 1L ไมตดกบ 2L คาแนะนา การหาคา 0s และ 0t เลอกจากสมการ (3), (4), (5) กได เพราะฉะนนควรเลอกจากคของสมการทคดเลขงาย



54

ตวอยาง 3.3.7 กาหนดให 1L , 2L เปนเสนตรงซงมสมการเปน 1L : 2 – x = 3 – y = 2

1z − และ 2L : 3

x7 − = y = z – 1 จงพจารณาวา 1L และ 2L ตดกนหรอไม ถาตดกนจงหาจดตด วธทา สมมต 1L ตดกบ 2L เพราะฉะนนมจด 0P จดหนง ซงอยทงบน 1L และ 2L ใหจด 0P มพกดเปน ( 0x , 0y , 0z ) เพราะฉะนน 0x , 0y , 0z ตองสอดคลองสมการของ 1L และ 2L เพราะฉะนน 2 – 0x = 3 – 0y = 2

1z0 − ... (1)

และ 3x7 0− = 0y = 0z – 1 ... (2)

จาก (1) เราได 2 – 0x = 3 – 0y หรอ – 0x + 0y = 1 ... (3) จาก (2) เราได 3

x7 0− = 0y หรอ 0x + 3 0y = 7 ... (4) จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0y จะได 0x = 1 และ 0y = 2 ตองนาคา 0x = 1, 0y = 2 ทไดตรวจสอบกบสมการทเหลอ วาไดคา z ตวเดยวกนหรอไม แทนคา 0y ใน (1) และ (2) จะไดคา 0z ทเทากนคอ 0z = 3 แสดงวา 1L ตดกบ 2L ทจด (1, 2, 3)



55

3.3.4 มมระหวางเสนตรงสองเสน บทนยาม 3.3.2 มมระหวางเสนตรงสองเสน คอ มมระหวางเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสอง

รปท 3.3.4



56

ตวอยาง 3.3.8.1 จงหามมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L เมอกาหนด 1L : 2x – 1 = y = 3

z1− 2L : 4

x = y – 1 = z วธทา เสนตรง 1L มสมการเปน 2x – 1 = y = 3

z1−

หรอ 21

21x −

= 1y = 3

1z−−

เพราะฉะนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A = (

21 , 1, –3)

จากสมการของ 2L จะไดวา เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A = (4, 1, 1) เพราะวา 1A ⋅ 2A = (

21 , 1, –3)⋅(4, 1, 1)

= 2 + 1 – 3 = 0 เพราะฉะนน 1A ตงฉากกบ 2A เพราะฉะนน มมระหวาง 1A กบ 2A คอ 2

π เพราะฉะนน มมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L คอ 2

π



57

ตวอยาง 3.3.8.2 จงหามมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L เมอกาหนด 1L : x = 2 + s, y = 1 + 2s, 2z = 1 + 4s 2L : x = –3t, y = 2 + 4t, z = –1 + 5t วธทา เสนตรง 1L มสมการเปน x = 2 + s, y = 1 + 2s, 2z = 1 + 4s หรอ x = 2 + s, y = 1 + 2s, z = 2

1 + 2s เพราะฉะนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A = (1, 2, 2) จากสมการของ 2L จะไดวา เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A = (–3, 4, 5) ให θ เปนมมระหวาง 1A กบ 2A cos θ = |||| |||| 21

21AA

AA ⋅

= 222222 54)3(221

)5,4,3()2,2,1(

++−++

−⋅

= )25(3

15

= 2

1 เพราะฉะนน θ = arccos(

21 ) = 4

π เพราะฉะนน มมระหวาง 1L กบ 2L คอ 4

π



58

หมายเหต 1. ในกรณทมมระหวางเสนตรงสองเสน คอ 2

π เชน ตวอยาง 3.3.8 ขอ 1. เราจะกลาววา 1L ตงฉาก กบ 2L 2. ในตวอยาง 3.3.8 ขอ 2. ถาเราใชเวกเตอรแสดงทศทาง ของ 2L คอ 2A = (3, –4, –5) เราจะไดวา มมระหวาง 1L กบ 2L คอ 4

3π โดยทวไป ถา θ เปนมมระหวางเวกเตอรแสดงทศทาง ของเสน ตรง 1L กบ 2L แลว มมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L กคอ θ หรอ π – θ



59

ตวอยาง 3.3.9 จงหาสมการของเสนตรงทผานจด B(1, –1, 2) ซงตดและตงฉากกบเสนตรง x – 1 = 2

3y−− = –z

พรอมทงหาจดตดดวย วธทา ให 1L เปนเสนตรงทมสมการเปน x – 1 = 2

3y−− = –z

เพราะฉะนน 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, –2, –1) สมมตเสนตรงทงสองตดกนทจด M(a, b, c) ให 2L เปนเสนตรงทผานจด B(1, –1, 2) ซงตดและตงฉากกบ 1L ทจด M(a, b, c) เพราะวา จด B และ M อยบน 2L เพราะฉะนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ BM = M – B = (a – 1, b + 1, c – 2) เพราะวา 1L ตงฉากกบ 2L เพราะฉะนน 1A ⋅BM = 0 (1, – 2, –1) ⋅ (a – 1, b + 1, c – 2) = 0 (a – 1) – 2(b + 1) – (c – 2) = 0 a – 2b – c = 1 ... (1)



60

เพราะวาจด M อยบน 1L เพราะฉะนน พกดของจด M ยอมสอดคลองกบสมการของ 1L เพราะฉะนน a – 1 = 2

3b−− = – c

จะไดวา a – 1 = – c และ 23b

−− = – c

หรอ a = 1 – c และ b = 2c + 3 ... (2) แทนคา a, b ใน (1) ได (1 – c) – 2(2c + 3) – c = 1 –5 – 6c = 1 c = –1 แทนคา c ใน (2) ได a = 2 และ b = 1 เพราะฉะนน พกดของจดตดคอ (2, 1, –1)

2L เปนเสนตรงทผานจด B(1, –1, 2) และมเวกเตอรแสดงทศทาง BM = (1, 2, – 3) เพราะฉะนนเสนตรง 2L มสมการเปน x – 1 = 2

1y + = 32z

−−

หมายเหต ตวอยาง 3.3.9 อาจจะทาไดอกวธหนง เพราะวาจด M เปนจดเชงเสนตงฉากของจด B บนเสนตรง 1L เพราะฉะนน เราสามารถหาจด M ไดโดยใชสตร M = 0P + [ 2

0|||| A

A)PB( ⋅− ]A

และ หาสมการของ 2L ทผานจด B และ M ได



61

3.3.5 การขนานกนของเสนตรง เสนตรงสองเสนจะขนานกน กตอเมอ เวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองขนานกน ตวอยาง 3.3.10 จงหาสมการของเสนตรงทผานจด (2, 1, –2) และขนานกบเสนตรงทมสมการเปน x + 1 = 4

1y2 − = 3z4 −

วธทา ให 1L เปนเสนตรงทมสมการเปน x + 1 = 4

1y2 − = 3z4 −

หรอ 11x + = 2

21y −

= 34z

−−

เพราะฉะนน 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, 2, –3) ให 2L เปนเสนตรงทผานจด (2, 1, –2) และขนานกบ 1L เพราะวา 1L ขนานกบ 2L เพราะฉะนนเวกเตอรแสดงทศทางของ 2L ขนานกบ 1A แสดงวา 1A กเปนเวกเตอรแสดงทศทางของ 2L ดวย เพราะฉะนน 2L มสมการเปน x – 2 = 2

1y − = 32z

−+

หมายเหต 1. ถา เสนตรงสองเสนใน 3R ไมขนานกน แลว เสนตรงทงสองไมจาเปนตองตดกน เชน ในตวอยาง 3.3.6 2. มมระหวางเสนตรงทขนานกน คอ 0 หรอ π



62

3.3.6 การไขวตางระนาบของเสนตรง เราจะเรยกเสนตรงสองเสนวา เสนไขวตางระนาบ กตอเมอ เราไมสามารถหาระนาบทเสนตรงทงสองอยในระนาบเดยวกนได การจะพจารณาวาเสนตรงใดๆ สองเสนเปนเสนไขวตางระนาบหรอไม ทาไดโดยแสดงใหเหนวาเสนตรงทงสอง ไมตดกน และ ไมขนานกน

รปท 3.3.5



63

ตวอยาง 3.3.11.1 จงพจารณาวาเสนตรง 1L และ 2L เปนเสนไขวตางระนาบหรอไม เมอ 1L และ 2L มสมการเปน 1L : 2x – 1 = 2 – y = 3z 2L : 3

x2 − = 6y = 2

z1− วธทา จากสมการของ 1L 2x – 1 = 2 – y = 3z

หรอ 21

21x −

= 12y

−− =

31z

จะไดวา 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (21 , –1, 3

1) จากสมการของ 2L 3

x2 − = 6y = 2

z1− หรอ 3

2x−− = 6

y = 21z

−−

จะไดวา 2L มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (–3, 6, –2) จะเหนวา 2A = –6 1A แสดงวา 1A ขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1L ขนานกบ 2L เพราะฉะนน 1L และ 2L ไมเปนเสนไขวตางระนาบ



64

ตวอยาง 3.3.11.2 จงพจารณาวา 1L และ 2L เปนเสนไขวตางระนาบหรอไม เมอ 1L และ 2L มสมการเปน 1L : x = 2

y = z – 1 และ 2L : 21x + = y – 1 = 3

2z + วธทา เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A = (1, 2, 1) เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A = (2, 1, 3) เพราะวา ไมมจานวนจรง k ททาให 1A = k 2A หรอ 2A = k 1A เพราะฉะนน 1A ไมขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1L ไมขนานกบ 2L สมมต 1L ตดกบ 2L เพราะฉะนนมจด 0P อยบน 1L และ 2L ใหจด 0P มพกดเปน ( 0x , 0y , 0z ) เพราะฉะนน 0x , 0y , 0z สอดคลองทงสมการของ 1L และ 2L เพราะฉะนน 0x = 2

y0 = 0z – 1 ... (1)

และ 21x0 + = 0y – 1 = 3

2z0 + ... (2)

จาก (1) ; 0x = 2y0 หรอ 2 0x – 0y = 0 ... (3)

จาก (2) ; 21x0 + = 0y – 1 หรอ 0x – 2 0y = –3 ... (4)

จาก (3) และ (4) จะได 0x = 1 และ 0y = 2 ตองนาคา 0x = 1, 0y = 2 ตรวจสอบวาใหคา z เดยวกนหรอไม แทนคา 0y ใน (1) และ (2) จะได 0z = 2 และ 0z = 1 ตามลาดบ ซงเปนไปไมได แสดงวา 1L ไมตดกบ 2L เพราะฉะนน 1L และ 2L เปนเสนไขวตางระนาบ



65

3.3.7 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน บทนยาม 3.3.3 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน คอ ระยะทางทสนทสดระหวางเสนตรงทงสอง ในการหาระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน จะพจารณาโดยการแยกเปน 2 กรณ คอ 1. เสนตรงทงสองขนานกน 2. เสนตรงทงสองไมขนานกน ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน ให 1L และ 2L เปนเสนตรงสองเสนทขนานกน ซงผานจด 1P และ 2P ตามลาดบ ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L คอ ระยะทางจากจด 1P ไปยง 2L หรอระยะทางจากจด 2P ไปยง 1L

รปท 3.3.6



66

ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทไมขนานกน ให 1L และ 2L เปนเสนตรงทไมขนานกน โดยท 1L ผานจด 1P และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A และ 2L ผานจด 2P และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A

รปท 3.3.7 ให 1Q และ 2Q เปนจดปลายของสวนของเสนตรงทตงฉาก กบ 1L และ 2L โดยท 1Q อยบน 1L และ 2Q อยบน 2L จะไดวา || 21QQ || เปนระยะทางระหวาง 1L กบ 2L เพราะวา 1L ไมขนานกบ 2L เพราะฉะนน 1A ไมขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1A × 2A ≠ O เพราะวา 21QQ ตงฉากกบทง 1A และ 2A เพราะฉะนน 21QQ ขนานกบ 1A × 2A



67

รปท 3.3.7 จากรปท 3.3.7 || 21QQ || = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ 21PP บน 1A × 2A เพราะฉะนน

ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L = ||||||

21

2121AA

)AA(PP×

×⋅

หมายเหต ในกรณท 1L ตดกบ 2L จะไดวา ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L เปนศนย



68

ตวอยาง 3.3.12.1 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง 1L กบ 2L เมอ 1L และ 2L มสมการเปน

1L : x = 1 + s, y = 2 – 2s, z = –1 + 2s 2L : x = 2 – t, y = 1 + 2t, z = –2t วธทา

1L ผานจด 1P (1, 2, –1) และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, –2, 2)

2L ผานจด 2P (2, 1, 0) และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (–1, 2, –2) เพราะฉะนน 1A = – 2A เพราะฉะนน 1A ขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1L ขนานกบ 2L เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L = ระยะทางจากจด 1P ไปยง 2L

= ||||||||

2

212A

APP ×



69

12PP = 1P – 2P = (1, 2, –1) – (2, 1, 0) = (–1, 1, –1) 12PP × 2A

= 221111k ji

−−−−

= 221 1 −

− i – 211 1 −−

−− j + 2111 −

− k = (–2 + 2) i – (2 – 1) j + (–2 + 1)k = – j – k || 12PP × 2A || = 22 )1()1( −+− = 2 || 2A || = 222 )2(2)1( −++− = 9 = 3 เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L

= ||||||||

2

212A

APP ×

= 32 หนวย



70

ตวอยาง 3.3.12.2 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง 1L : 2

1x − = – y = 2z

− และ 2L : 3

x−

= 21y − = z

วธทา 1L ผานจด 1P (1, 0, 0) และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (2, –1, –2)

2L ผานจด 2P (0, 1, 0) และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (–3, 2, 1) เพราะวา ไมมจานวนจรง k ททาให 1A = k 2A หรอ 2A = k 1A เพราะฉะนน 1A ไมขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1L ไมขนานกบ 2L

แสดงวา ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L = ||||||

21

2121AA

)AA(PP×

×⋅

21PP = 2P – 1P = (0, 1, 0) – (1, 0, 0) = (–1, 1, 0)

1A × 2A = 1 2 3212 k j i

−

−−

= 1 2 21 −− i – 1 3

22 −− j + 2 3

12 −− k

= (–1 + 4) i – (2 – 6) j + (4 – 3)k = 3 i + 4 j + k



71

|| 1A × 2A || = 222 143 ++ = 26 | 21PP ⋅( 1A × 2A ) | = | (–1, 1, 0)⋅(3, 4, 1) | = | –3 + 4 + 0 | = 1 เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L มคา

= ||||||

21

2121AA

)AA(PP×

×⋅

= 261 หนวย



72

03.4 ระนาบใน 3R 3.4.1 สมการของระนาบ บทนยาม 3.4.1 ให 0P เปนจดใน 3R และ N ≠ O เปนเวกเตอรใน 3R เราจะเรยกเซตของจด P ใดๆ ซงทาให PP0 ตงฉากกบ N วา ระนาบทผานจด 0P และตงฉากกบเวกเตอร N และเรยก N วา เวกเตอรแนวฉาก ของระนาบ

รปท 3.4.1 รปท 3.4.1 แสดงกราฟของระนาบทผานจด 0P และตงฉากกบเวกเตอร N ขอสงเกต ถา N เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M แลว เวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยซงขนานกบ N เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M ดวย



73

การหาสมการของระนาบ M ซงผานจด 0P ( 0x , 0y , 0z ) และม N(a, b, c) เปนเวกเตอรแนวฉาก ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบ M เพราะฉะนน PP0 ตงฉากกบ N เพราะฉะนน PP0 ⋅N = 0 (P – 0P )⋅N = 0 ... (3.4.1) P ⋅N = 0P ⋅N ((x, y, z) – ( 0x , 0y , 0z ))⋅(a, b, c) = 0 ... (3.4.2) เราเรยกสมการ (3.4.1) หรอ (3.4.2) วา สมการเวกเตอร ของระนาบ M จากสมการ (3.4.2) เราจะได (x – 0x , y – 0y , z – 0z )⋅(a, b, c) = 0 a(x – 0x ) + b(y – 0y ) + c(z – 0z ) = 0 ... (3.4.3) ax + by + cz = a 0x + b 0y + c 0z ax + by + cz = d ... (3.4.4) เมอ d = a 0x + b 0y + c 0z = 0P ⋅N เราจะเรยกสมการ (3.4.3) หรอ (3.4.4) วา สมการคารทเซยน ของระนาบ M ขอสงเกต สมประสทธของ x, y, z ในสมการ (3.4.4) คอ สวนประกอบของเวกเตอรแนวฉากของระนาบ



74

ตวอยาง 3.4.1 จงหาสมการเวกเตอรและสมการคารทเซยนของระนาบ M ทผานจด 0P (1, 2, –3) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –1, 3) วธทา ให P(x, y, z) เปนจดบนระนาบน M สมการเวกเตอรของระนาบ M ทผานจด 0P (1, 2, –3) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –1, 3) คอ (P – 0P )⋅N = 0 หรอ ((x, y, z) – (1, 2, –3))⋅(2, –1, 3) = 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ 2(x – 1) – (y – 2) + 3(z + 3) = 0 หรอ 2x – y + 3z = –9

ขอตกลง โดยทวไปแลวเมอกลาวถงสมการของระนาบ เราจะหมายถงสมการคารทเซยนของระนาบในรป ax + by + cz = d



75

ตวอยาง 3.4.2 จงหาสมการของระนาบ M ผานจด 0P (1, –2, 3), 1P (2, 1, 1) และ 2P (2, –2, 2) วธทา ให P(x, y, z) เปนจดบนระนาบ M เพราะวา 0P , 1P , 2P อยบนระนาบ M เพราะฉะนน 10PP และ 20PP ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนน 10PP × 20PP ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนน N ขนานกบ 10PP × 20PP

10PP × 20PP = ( 1P – 0P ) × ( 2P – 0P ) = (1, 3, –2) × (1, 0, –1)

= 1 01231k ji

−−

= 1023 −

− i – 1121 −

− j + 0131 k

= –3 i – j – 3k เลอก N = (–3, –1, –3) เพราะวาระนาบผานจด 0P (1, –2, 3) เพราะฉะนน ระนาบมสมการเปน –3(x – 1) – (y + 2) – 3(z – 3) = 0 หรอ 3x + y + 3z = 10



76

3.4.2 การเขยนกราฟของระนาบ กราฟของระนาบทมสมการเปน z = 0 คอระนาบ XY

รปท 3.4.2 กราฟของระนาบทมสมการเปน z = 4 เปนระนาบทขนานกบระนาบ XY และ ผานจด P(0, 0, 4)

รปท 3.4.3



77

ตวอยาง 3.4.3 จงเขยนกราฟของระนาบ 2x + y + 3z = 6 ในอฐภาคท 1 วธทา หาจดตดของระนาบกบแกนพกดฉากทงสาม แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได x = 3 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน X คอ A(3, 0, 0) แทน x = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได y = 6 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน Y คอ B(0, 6, 0) แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได z = 2 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน Z คอ C(0, 0, 2) โยงจด 3 จดทเกดจากแกนพกดฉากตดกบระนาบ จะไดรปสามเหลยมรปหนงซงเปนสวนหนงของระนาบทตองการ

รปท 3.4.4



78

ตวอยาง 3.4.4 จงเขยนกราฟของระนาบ x – y + 2z = 0 วธทา แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได z = 0 แสดงวาระนาบผานจดกาเนด พจารณารอยตดของระนาบนกบระนาบ XY , YZ เราจะไดวา ระนาบนตดระนาบ XY (คอระนาบ z = 0) ตามแนวเสนตรง x – y = 0, z = 0 และ ตดกบระนาบ YZ (คอระนาบ x = 0) ตามแนวเสนตรง –y + 2z = 0, x = 0 เพราะฉะนนระนาบทตองการกคอ ระนาบทผานเสนตรงทงสองน

รปท 3.4.5



79

ตวอยาง 3.4.5 จงเขยนกราฟของระนาบ x + 2y = 2 วธทา แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได x = 2 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน X คอ (2, 0, 0) แทน x = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได y = 1 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน Y คอ (0, 1, 0) แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได 0 = 2 ซงเปนไปไมได แสดงวา ระนาบไมตดกบแกน Z พจารณารอยตดของระนาบน กบระนาบพกดฉาก ระนาบนตดกบระนาบ XY ตามแนวเสนตรง x + 2y = 2, z = 0 ระนาบนตดกบระนาบ XZ ตามแนวเสนตรง x = 2, y = 0 ระนาบนตดกบระนาบ YZ ตามแนวเสนตรง y = 1, x = 0 เพราะฉะนนระนาบทตองการกคอระนาบทผานเสนตรงทงสามน

รปท 3.4.6



80

3.4.3 จดกบระนาบ จดใดๆ จะอยบนระนาบ กตอเมอ พกดของจดนนสอดคลองกบสมการของระนาบ

ตวอยางท 3.4.6 จงพจารณาวา จด P(1, 2, –1) และ Q(2, 3, 1) อยบนระนาบทมสมการเปน x – 2y – 4z = 1 หรอไม วธทา แทน x = 1, y = 2, z = –1 ในสมการของระนาบ จะได 1 – 2(2) – 4(–1) = 1 1 = 1 ซงเปนจรง แสดงวาพกดของจด P สอดคลองกบสมการของระนาบ เพราะฉะนนจด P อยบนระนาบ แทน x = 2, y = 3, z = 1 ในสมการของระนาบ จะได 2 – 2(3) – 4(1) = 1 –8 = 1 ซงไมเปนจรง แสดงวาพกดของจด Q ไมสอดคลองกบสมการของระนาบ เพราะฉะนน จด Q ไมอยบนระนาบ



81

ตวอยาง 3.4.7 จงพจารณาวา 0P (1, 2, –1), 1P (2, 0, 1), 2P (3, 4, 1) และ 3P (1, 2, 3) อยบนระนาบเดยวกนหรอไม วธทา ให M เปนระนาบทผานจด 0P , 1P และ 2P 10PP = 1P – 0P = (2, 0, 1) – (1, 2, –1) = (1, –2, 2) 20PP = 2P – 0P = (3, 4, 1) – (1, 2, –1) = (2, 2, 2) เพราะวา 10PP × 20PP

= 22 2221kj i

−

= 22 22 − i – 22

21 j + 2 221 − k

= –8 i + 2 j + 6k เพราะฉะนน M เปนระนาบทผานจด 0P และมเวกเตอรแนวฉาก 10PP × 20PP สมการระนาบ M จะมสมการเปน –8(x – 1) + 2(y – 2) + 6(z + 1) = 0 –8x + 2y + 6z = –10 4x – y – 3z = 5



82

การตรวจสอบวา 3P (1, 2, 3) อยบนระนาบ M แทน x = 1, y = 2, z = 3 ในสมการของระนาบ M จะได 4(1) – 2 – 3(3) = 5 –7 = 5 ซงไมเปนจรง แสดงวาพกดของ 3P ไมสอดคลองกบสมการของระนาบ M เพราะฉะนนจด 3P ไมอยบนระนาบ M สรป จด 0P , 1P , 2P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน หมายเหต 1. ถา 30PP ⋅( 10PP × 20PP ) ≠ 0 แลว 0P , 1P , 2P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน

2. ถา PPPPPP

30

20

10 ≠ 0

แลว 0P , 1P , 2P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน



83

ถาจดไมอยบนระนาบ เราหา ระยะทางระหวางจดกบระนาบ ได โดยเรานยาม ระยะทางระหวางจดกบระนาบ วา คอ ระยะทางตงฉากจากจดไปยงระนาบ

ให M : ax + by + cz = d และ 1P ( 1x , 1y , 1z ) เปนระนาบทมสมการเวกเตอรเปน (P – 1P )⋅N = 0 เพราะฉะนน M เปนระนาบทผาน 1P ม N เปนเวกเตอรแนวฉาก ให 0P เปนจดทมไดอยบนระนาบ M การลากเสนตงฉากจากจด 0P ไปยงระนาบ M เราใชเวกเตอรแนวฉากของระนาบเปนหลกในการลากเสนตงฉาก กลาวคอ ลากเสนตรงผานจด 0P ขนานกบ N พบกบระนาบ M ทจด Q เพราะฉะนน QP0 ขนานกบ N



84

ระยะทางตงฉากจากจด 0P ไปยงระนาบ M คอ || QP0 || ซงคอระยะทางจากจด 0P ไปยงระนาบ M (จด Q จะเปนจดบนระนาบ M ซงอยใกลจด 0P มากทสด) รปท 3.4.7 (ก) รปท 3.4.7 (ข) จากรปท 3.4.7 (ข) จะไดวา || QP0 || = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ 01PP บน N

= ||||||

NNPP 01 ⋅

= ||||||

NN)PP( 10 ⋅−



85

เพราะวา M เปนระนาบทมสมการเปน ax + by + cz = d ซงผานจด 1P ( 1x , 1y , 1z ) เพราะฉะนน a 1x + b 1y + c 1z = d ... (1) และระนาบ M มเวกเตอรแนวฉาก N = (a, b, c) ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดทไมไดอยบนระนาบ M เราจะไดวา || QP0 || = ||||

||N

N)PP( 10 ⋅−

= 222101010

cba

)c ,b ,a()zz ,yy ,xx( || ++

⋅−−−

= 222

111000

cba

)czbyax(czbyax || ++

++−++

= 222

000

cba

dczbyax ||

++

−++ (จาก (1))

เพราะฉะนน ระยะทางระหวางจด 0P ( 0x , 0y , 0z ) กบระนาบ M คอ

D = 222

000

cba

dczbyax

++

−++

หมายเหต ในกรณทจด 0P อยบนระนาบ M ระยะทางระหวางจด 0P กบระนาบ M เปนศนย



86

ตวอยาง 3.4.8 จงหาระยะทางระหวาง จด 0P (4, 3, –1) กบระนาบ 2x – y – 2z = 1 วธทา ให D เปนระยะทางระหวางจด 0P (4, 3, –1) กบระนาบ 2x – y – 2z = 1 เพราะฉะนน D =

222 )2()1(2

|1)1(23)4(2|

−+−+

−−−−

= 36

= 2 หนวย



87

ตวอยาง 3.4.9 จงหาจดบนระนาบ M : 2x + y – 3z = –10 ซงอยใกลจด 0P (4, 2, 2) มากทสด วธทา ระนาบ M มเวกเตอรแนวฉาก N = (2, 1, –3) ให Q( 0x , 0y , 0z ) เปนจดทตองการ เพราะฉะนน QP0 ขนานกบ N เพราะฉะนน ม t ∈ R ททาให QP0 = tN Q – 0P = tN ( 0x , 0y , 0z ) – (4, 2, 2) = t(2, 1, –3) ( 0x – 4, 0y – 2, 0z – 2) = (2t, t, –3t) จะได 0x – 4 = 2t, 0y – 2 = t, 0z – 2 = –3t หรอ 0x = 4 + 2t, 0y = 2 + t, 0z = 2 – 3t ... (1) การหาคา t เพราะวา Q( 0x , 0y , 0z ) อยบนระนาบ 2x + y – 3z = –10 เพราะฉะนน 2 0x + 0y – 3 0z = –10 ... (2) จาก (1) แทนคา 0x , 0y , 0z ใน (2) จะได 2(4 + 2t) + (2 + t) – 3(2 – 3t) = –10 14t = –14 t = –1 แทนคา t = –1 ใน (1) จะได 0x = 2, 0y = 1, 0z = 5 เพราะฉะนน จดทตองการคอ (2, 1, 5)



88

3.4.4 ความสมพนธระหวางเสนตรงกบระนาบ เสนตรงกบระนาบมความสมพนธกน 3 กรณ ดงน 1. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนเพยงจดเดยว ในกรณนเรากลาววา เสนตรงตดกบระนาบ และ เรยกจดรวมกนนวา จดตด ดงรปท 3.4.8 2. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนมากกวาหนงจด ในกรณน เสนตรงยอมตองอยในระนาบทงเสน ดงรปท 3.4.9 3. เสนตรงกบระนาบไมมจดรวมกนเลย ดงรปท 3.4.10 รปท 3.4.8 รปท 3.4.9 รปท 3.4.10 หากเสนตรงกบระนาบมความสมพนธกนในกรณท 2 หรอ 3 เรากลาววา เสนตรงขนานกบระนาบ หมายเหต เสนตรงจะขนานกบระนาบ กตอเมอ เวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ



89

ตวอยาง 3.4.10.1 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบทกาหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด ถาขนานกน จงพจารณาวาเสนตรงอยในระนาบหรอไม เสนตรง L : P = (1, 2, 3) + t(2, 1, –3) กบ ระนาบ M : x + 4y + 2z = 5 วธทา ให Q มพกดเปน (1, 2, 3) เสนตรง L ผานจด Q(1, 2, 3) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (2, 1, –3) จากสมการของระนาบ M จะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N = (1, 4, 2) เพราะวา A ⋅N = (2, 1, –3)⋅(1, 4, 2) = 2(1) + 1(4) – 3(2) = 0 เพราะฉะนน A ตงฉากกบ N เพราะฉะนน เสนตรงขนานกบระนาบ แทน x = 1, y = 2, z = 3 ในสมการของระนาบ จะได 1 + 4(2) + 2(3) = 5 15 = 5 ซงไมเปนจรง แสดงวาจด Q ไมอยบนระนาบ แสดงวา เสนตรงขนานกบระนาบแตไมอยในระนาบ



90

ตวอยาง 3.4.10.2 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบทกาหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด ถาขนานกน จงพจารณาวาเสนตรงอยในระนาบหรอไม เสนตรง L : x – 1 = 2

3y + = z กบ ระนาบ M : 2x – y + z = 7 วธทา ให Q มพกดเปน (1, –3, 0) เสนตรง L ผานจด Q(1, –3, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (1, 2, 1) M : 2x – y + z = 7 มเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –1, 1) เพราะวา A ⋅N = (1, 2, 1)⋅(2, –1, 1) = 1(2) + 2(–1) + 1(1) = 1 ≠ 0 เพราะฉะนน A ไมตงฉากกบ N เพราะฉะนน เสนตรงไมขนานกบระนาบ เพราะฉะนน เสนตรงตดกบระนาบ



91

ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดตดของเสนตรงกบระนาบ เพราะฉะนน พกดของจด 0P ตองสอดคลองกบสมการของเสนตรง L และสมการของระนาบ M เพราะฉะนน 0x – 1 = 2

3y0 + = 0z ... (1) และ 2 0x – 0y + 0z = 7 ... (2) จาก (1) เราได 0y = 2 0x – 5 และ 0z = 0x – 1 ... (3) แทน (3) ใน (2) ได 2 0x – (2 0x – 5) + ( 0x – 1) = 7 0x + 4 = 7 0x = 3 แทนคา 0x = 3 ใน (3) ได 0y = 1 และ 0z = 2 เพราะฉะนน จดตดของเสนตรงกบระนาบ คอ (3, 1, 2)



92

ตวอยาง 3.4.11 กาหนดเสนตรง L : x = y – 1 = 2z

และจด Q(1, 3, –1) ซงมไดอยบนเสนตรง L จงหาสมการของระนาบ M ทผานเสนตรง L และจด Q วธทา L ผานจด 0P (0, 1, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (1, 1, 2) จด Q ไมอยบน L เราจะหาสมการของระนาบทผาน L และจด Q การหาเวกเตอรแนวฉาก N ของระนาบ M

รปท 3.4.11 เพราะวา L อยในระนาบ เพราะฉะนน L ขนานกบระนาบ M เพราะฉะนน A ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะวาจด 0P และ Q อยบนระนาบ เพราะฉะนน QP0 ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนน A × QP0 ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนน N = A × QP0 เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M



93

QP0 = Q – 0P = (1, 3, –1) – (0, 1, 0) = (1, 2, –1) N = A × QP0

= 1212 11k ji

−

= 122 1 − i – 11

2 1 − j + 2111 k

= –5 i + 3 j + k ระนาบ M ผานจด Q(1, 3, –1) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (–5, 3, 1) มสมการเปน –5(x – 1) + 3(y – 3) + (z + 1) = 0 หรอ –5x + 3y + z = 3



94

ตวอยาง 3.4.12 จงหาสมการของระนาบ M ทผานจด Q(2, –3, 1) และขนานกบเสนตรง 1L : x – 1 = 2

y = z และ 2L : 2

x = y = 3z

วธทา 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, 2, 1) 2L มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (2, 1, 3) เพราะวา 1L และ 2L ขนานกบระนาบ เพราะฉะนน 1A และ 2A ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ แสดงวา 1A × 2A ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ เราจะไดวา N = 1A × 2A เปนเวกเตอรแนวฉากเวกเตอรหนงของระนาบ

N = 312121kji

= 3112 i – 32

11 j + 1221 k

= 5 i – j – 3k เพราะฉะนน ระนาบ M ผานจด Q(2, –3, 1) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (5, –1, –3) มสมการเปน 5(x – 2) – (y + 3) – 3(z – 1) = 0 หรอ 5x – y – 3z = 10



95

บทนยาม 3.4.2 ถาเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L ทามม θ กบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เราจะกลาววา มมระหวางเสนตรง L กบระนาบ M คอ | 2

π – θ |

รปท 3.4.12 หมายเหต 1. ถา มมระหวางเสนตรงกบระนาบเปน 0 แลว เสนตรงขนานกบระนาบ 2. ถามมระหวางเสนตรงกบระนาบเปน 2

π แลว เสนตรงตงฉากกบระนาบ

เพราะฉะนน เสนตรงตงฉากกบระนาบ กตอเมอ เวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ



96

ตวอยาง 3.4.13 จงหามมระหวาง เสนตรง 5

x = 21y

−− = 5

z กบระนาบ 2x + y – 7z = 1 วธทา เสนตรงมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (5, –2, 5) และระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, 1, –7) ให θ เปนมมระหวาง A กบ N cos θ = |||| |||| NA

NA ⋅

= 222222 )7(125)2(5

)7,1,2()5,2,5(

−+++−+

−⋅−

= 545435210 −−

= –5427

= – 21

เพราะฉะนน θ = arccos(– 21) = 3

2π เพราะฉะนน มมระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ | 2

π – 32π | = 6

π

จาไดกด –1 ≤ x ≤ 1 – 2

π ≤ arcsin x ≤ 2π

0 ≤ arccos x ≤ π arcsin(–x) = – arcsin x arccos(–x) = π – arccos x



97

ตวอยาง 3.4.14 จงหาสมการของระนาบ M ทผานจด Q(3, –6, 3) และตงฉากกบเสนตรง L L : (x, y, z) = (2, 0, 1) + t(3, –1, 1) พรอมทงหาจดตดของเสนตรงกบระนาบ วธทา เสนตรง L มเวกเตอรแสดงทศทาง A = (3, –1, 1) เพราะวาเสนตรง L ตงฉากกบระนาบ M เพราะฉะนน A ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ เพราะฉะนน A เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนนระนาบ M ผานจด Q(3, –6, 3) และมเวกเตอรแนวฉาก A = (3, –1, 1) มสมการเปน 3(x – 3) – (y + 6) + (z – 3) = 0 หรอ 3x – y + z = 18



98

ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดตดของเสนตรง L กบระนาบ M เพราะฉะนน จดนยอมสอดคลองกบสมการเสนตรง L และสมการของระนาบ M เราจงไดวาม t ∈ R ซง ( 0x , 0y , 0z ) = (2, 0, 1) + t(3, –1, 1) ... (1) และ 3 0x – 0y + 0z = 18 ... (2)

จาก (1) เราได ⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

−=

+=

t1 zt y

t32 x

0

0

0

... (3)

แทน (3) ใน (2) ได 3(2 + 3t) – (–t) + (1 + t) = 18 11t + 7 = 18 t = 1 แทนคา t = 1 ใน (3) จะไดจดตดคอ (5, –1, 2)



99

บทนยาม ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ ระยะทางตงฉากระหวางเสนตรงกบระนาบ ในกรณทเสนตรงตดกบระนาบ ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบจะเปนศนย ในกรณทเสนตรงขนานกบระนาบ ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ ระยะทางระหวางจดใดจดหนงบนเสนตรงกบระนาบ

ตวอยาง 3.4.15 จงหาระยะทางระหวาง เสนตรง 2

1x − = y = 32z + กบระนาบ x + y – z = 9

วธทา เสนตรงผานจด Q(1, 0, – 2) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (2, 1, 3) ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N = (1, 1, –1) เพราะวา A ⋅N = (2, 1, 3)⋅(1, 1, –1) = 2 + 1 – 3 = 0 เพราะฉะนน A ตงฉากกบ N เพราะฉะนน เสนตรงขนานกบระนาบ เพราะฉะนน ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบกคอ ระยะทางระหวางจด Q กบระนาบซงเทากบ

222 )1(11

|9)2(01|

−++

−−−+ = 3

|6| − = 2 3 หนวย



100

3.4.5 การขนานกนของระนาบ ระนาบสองระนาบขนานกน กตอเมอ เวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกน ตวอยาง 3.4.16 จงหาสมการของระนาบ 1M ซงขนานกบระนาบ 2M : 2x – 3y + 4z = 1 และผานจด (1, –2, 3) วธทา

2M มเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –3, 4) เพราะวา 1M ขนานกบ 2M เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากของ 1M ขนานกบ N เพราะฉะนน N เปนเวกเตอรแนวฉากของ 1M เพราะฉะนน 1M เปนระนาบทผานจด (1, – 2, 3) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –3, 4) มสมการเปน 2(x – 1) – 3(y + 2) + 4(z – 3) = 0 หรอ 2x – 3y + 4z = 20



101

หมายเหต สมการของระนาบทขนานกบระนาบ ax + by + cz = 1d เราจะเขยนไดในรป ax + by + cz = 2d

ขอสงเกต เราอาจหาสมการของ 1M ในตวอยาง 3.4.16 ไดดงน เพราะวา 1M ขนานกบ 2M เพราะฉะนน 1M มสมการเปน 2x – 3y + 4z = d เพราะวา 1M ผานจด (1, –2, 3) เพราะฉะนน 2(1) – 3(–2) + 4(3) = d เพราะฉะนน d = 20 เพราะฉะนน สมการของระนาบ 1M คอ 2x – 3y + 4z = 20



102

ระยะทางระหวางระนาบสองระนาบ การหา ระยะทางระหวางระนาบสองระนาบ ซงกคอ ระยะทางตงฉากระหวางระนาบทงสอง ระยะทางระหวางระนาบทขนานกน คอ การหาระยะทางระหวางจดใดจดหนงบนระนาบหนงกบอกระนาบหนง

ให 1M และ 2M เปนระนาบทขนานกน โดยท 1M มสมการเปน ax + by + cz = 1d และ 2M มสมการเปน ax + by + cz = 2d ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดใน 1M และ D เปนระยะทางระหวาง 1M กบ 2M D = ระยะทางระหวางจด 0P ( 0x , 0y , 0z ) กบระนาบ 2M =

2222000

cba

dczbyax ||++

−++

เพราะวา 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดบน 1M เพราะฉะนน a 0x + b 0y + c 0z = 1d เพราะฉะนน D =

22221

cba

dd ||++

−

เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1M กบ 2M = 222

21

cba

dd ||++

−

หมายเหต ในกรณทระนาบสองระนาบไมขนานกน เราจะไดวาระยะทางระหวางระนาบทงสองเปนศนย



103

ตวอยาง 3.4.17 จงหาระยะทางระหวางระนาบ x – 2y + 2z = 1 กบระนาบ x – 2y + 2z = 7 วธทา เพราะวา ระนาบ x – 2y + 2z = 1 และ x – 2y + 2z = 7 มเวกเตอรแนวฉากเหมอนกน คอ (1, –2, 2) เพราะฉะนน ระนาบทงสองขนานกน ให D เปนระยะทางระหวางระนาบทงสอง เพราะฉะนน D =

22221

cba

dd ||++

−

= 222 2)2(1

71 ||+−+

−

= 36

= 2 หนวย จาไดกด A = ( 1a , 2a , ... , na ), B = ( 1b , 2b , ... , nb ) A ขนานกบ B กตอเมอ 1a : 1b = 2a : 2b = ... = na : nb เพราะฉะนน ถา ม ia : ib ≠ ja : jb แลว A ไมขนานกบ B



104

ตวอยาง 3.4.18 จงหาสมการของระนาบทขนานกบ ระนาบ x + 2 y – z = 1 และระยะทางระหวางระนาบเทากบ 3 หนวย วธทา เพราะวาระนาบทตองการขนานกบระนาบ x + 2 y – z = 1 เพราะฉะนน ระนาบทตองการมสมการเปน x + 2 y – z = d เพราะวาระยะทางระหวางระนาบทงสองเทากบ 3 หนวย เพราะฉะนน 3 =

222 )1()2(1

1d ||−++

−

จะไดวา | d – 1 | = 6 เพราะฉะนน d = 7, – 5 แสดงวา ระนาบทตองการมสมการเปน x + 2 y – z = 7 หรอ x + 2 y – z = –5



105

3.4.6 การตดกนของระนาบ ระนาบทตดกนคอระนาบทไมขนานกน การพจารณาวาระนาบคใดๆ ตดกนหรอไม จงทาไดโดยการพจารณาวา เวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกนหรอไม ในกรณทระนาบตดกน รอยตดยอมเปนเสนตรง

รปท 3.4.13



106

ตวอยาง 3.4.19 กาหนดสมการของระนาบ 1M กบ 2M 1M : 2x – y + z = 1 2M : x + y – 2z = 5 จงพจารณาวา ระนาบทงสองตดกนหรอไม ถาตดกน จงหาสมการสมมาตรของเสนตรงทเปนรอยตดนน วธทา 1M มเวกเตอรแนวฉาก 1N = (2, –1, 1) 2M มเวกเตอรแนวฉาก 2N = (1, 1, –2) เพราะวา 1

2 ≠ 11−

เพราะฉะนน 1N ไมขนานกน 2N เพราะฉะนน 1M ตดกบ 2M ให L เปนเสนตรงทเปนรอยตดของ 1M กบ 2M เพราะวา L อยใน 1M และ 2M เพราะฉะนน L ขนานกบ 1M และ 2M แสดงวา 1N และ 2N ตงฉากกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L เพราะฉะนน 1N × 2N ขนานกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L เพราะฉะนน A = 1N × 2N เปนเวกเตอรแสดงทศทางของ L



107

และ A = 21 11 12k j i

−

−

= 21 1 1 −

− i – 211 2 − j + 1 1

12 − k = i + 5 j + 3k แทนคา z = 0 ในสมการของ 1M และ 2M จะได 2x – y = 1 ... (1) และ x + y = 5 ... (2) (1) + (2) ได 3x = 6 x = 2 แทนคา x = 2 ใน (2) ได y = 3 แสดงวา จด (2, 3, 0) อยบน 1M และ 2M เพราะฉะนน จด (2, 3, 0) อยบน L เพราะฉะนน L เปนเสนตรงทผานจด (2, 3, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (1, 5, 3) มสมการสมมาตรเปน x – 2 = 5

3y − = 3z



108

3.4.7 มมระหวางระนาบสองระนาบ บทนยาม 3.4.3 มมระหวางระนาบสองระนาบ คอ มมระหวางเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสอง

ตวอยาง 3.4.20 จงหามมระหวางระนาบ 1M : 2x + y + 2z = 0 กบ 2M : 5x – 3y + 4z = 1

วธทา 1M มเวกเตอรแนวฉาก 1N = (2, 1, 2) และ 2M มเวกเตอรแนวฉาก 2N = (5, –3, 4) ให θ เปนมมระหวาง 1N กบ 2N cos θ = |||| |||| 21

21NN

NN ⋅

= 222222 4)3(5212

)4,3,5()2,1,2(

+−+++

−⋅

= )25)(3(

15 = 2

1

เพราะฉะนน θ = arccos(2

1 ) = 4π

เพราะฉะนน มมระหวาง 1M กบ 2M คอ 4π

หมายเหต 1. ถา θ เปนมมระหวางเวกเตอรแนวฉากของสองระนาบ แลว มมระหวางระนาบสองระนาบคอ θ หรอ π – θ 2. ถา มมระหวางระนาบสองระนาบคอ 2

π แลว ระนาบทงสอง ตงฉาก กน 3. มมระหวางระนาบทขนานกน คอ 0 หรอ π

Documents

1 บทที่ 3 3.1 พิกัดฉากในปร ิภูมิสามมิติpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301118/ch3_4in1.pdf · จากจุด Q