บทที่ 1 พ้ืนผิวในปร ิภูมิสามมิติpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_01_1in1.pdf · บทที่

บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต

2301207 Calculus III 2561/1st

1 - 1

บทท 1

พ นผวในปรภมสามมต

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา

ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย




1 - 2

ทบทวนความร ม. ปลาย ปรภมสองมต

3x + 4y = 12 มกราฟเปนเสนตรง

y = 2x มกราฟเปนพาราโบลา

2x + 2y = 16 มกราฟเปนวงกลม

4x2

+ 25y2

= 1 มกราฟเปนวงร

16x2

- 25y2

= 1 มกราฟเปนไฮเพอรโบลา

ทบทวนความร CALCULUS II ปรภมสามมต

(x, y, z) = (1, 2, 3) + (4, 2, 7)t มกราฟเปนเสนตรง

2x + 3y + 6z = 24 มกราฟเปนระนาบ



1 - 3

พนผวทรงกลม

Program : GeoGebra

Program : Maxima



1 - 4

พนผวอานมา

ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด Hyperbolic paraboloid

Program : GeoGebra

Program : Matlab



1 - 5

พนผวอลลปตกพาราโบลอยด, Elliptics paraboloid, Paraboloid

Program : GeoGebra

Program : Matlab



1 - 6

พนผว Cone, กรวย, กรวยอลลปตก

Program : GeoGebra

Program : Matlab



1 - 7

พนผวอลลปซอยด, ellipsoid

Program : Maxima

Program : GeoGebra Online



1 - 8

พนผวทรงกระบอก

Program : Maxima

Program : GeoGebra Onlin



1 - 9

พนผวอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

elliptic hyperboloid of one sheet

Program : Matlab




1 - 10

พนผวอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนด 2 ชน

elliptic hyperboloid of 2 sheet

Program : Matlab




1 - 11

บทนยามของพ นผว

พนผว คอ เซตของจด (x, y, z)

ซงสอดคลองสมการ F(x, y, z) = 0 เมอ F เปนฟงกชนตอเนอง

ตวอยาง 2x + 3y + 6z = 24 เปน พ นผว ชนดหนง

F(x, y, z) = 2x + 3y + 6z - 24 = 0

ในบทนเราเรยนเกยวกบสมการในรปสมการกาลงสอง

ซงมรปทวไปเปน

A 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0

เมอ A, B, C ไมเปนศนยพรอมกน

ตวอยาง

2x + 3y + 6z = 24 เปนพนผว ระนาบ

2x + 2y + 2z - 25 = 0 เปนพนผว ทรงกลม

2x + 2y + 2z - 2x + 4y + 6z - 13 = 0

เปนพนผว ทรงกลม



1 - 12

1.2 พ นผวทเกดจากการหมน

หมายถง พนผวทเกดจากการหมน เสนโคง ทกาหนดใหใน

ระนาบรอบเสนตรงทกาหนดใหซงอยในระนาบเดยวกนกบเสน

โคง โดยจะเรยกเสนตรงทกาหนดให วา แกนหมน

ตวอยาง

1. ทรงกระบอกกลม เกดจากการหมนเสนตรง

รอบเสนตรงทขนานกน

2. กรวยกลม เกดจากการหมนเสนตรงรอบเสนตรงทตดกน

3. ทรงกลม เกดจากการหมนครงวงกลมรอบเสนผานศนยกลาง



1 - 13

การหาสมการของพ นผวทเกดจากการหมน

รปท 1.2.2

ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจากการหมน

ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P

และตงฉากกบเสนตรง L ซงเปนแกนหมน ทจด Q

และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z)

ขนท 3. หาความสมพนธของ x, y, z ใชเงอนไข

1. QP = 'QP 2. จด P(x, y, z) เปนจดบนเสนโคง C

ตองสอดคลองสมการของเสนโคง C



1 - 14

ตวอยาง 1 จงหาสมการพนผวทเกดจากการหมน

เสนโคง y = f(x), z = c (บนระนาบ z = c)

รอบเสนตรง y = b, z = c (บนระนาบ z = c)

แบบท 1

ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจากการหมน


และตงฉากกบเสนตรง L ซงเปนแกนหมน ทจด Q

และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) ขนท 3. หาความสมพนธของ x, y, z ใชเงอนไข

1. QP = 'QP 2. จด P(x, y, z) เปนจดบนเสนโคง C

ตองสอดคลองสมการของเสนโคง C



1 - 15

จาก (1) จะได QP = 'QP (x, y, z) – (x, b, c) = (x', y', z') – (x, b, c) เพราะวา P, P' อยบนระนาบ M เดยวกน เพราะฉะนน x' = x

(x, y, z) – (x, b, c) = (x, y', z') – (x, b, c) เพราะวา P' อยบนเสนโคง C เพราะฉะนน y' = f(x') = f(x)

(x, y, z) – (x, b, c) = (x, f(x), z') – (x, b, c) เพราะวา P' อยบนระนาบ z = c เพราะฉะนน z' = c

(x, y, z) – (x, b, c) = (x, f(x), c) – (x, b, c) (0, y – b, z – c) = (0, f(x) – b, 0)

(0, y – b, z – c) 2 = (0, f(x) – b, 0) 2

เพราะฉะนนสมการพนผวคอ

2(y b) + 2(z c) =

2(f (x) b)



1 - 16

แบบท 2

เสนโคง y = f(x), z = c (บนระนาบ z = c)

รอบเสนตรง y = b, z = c (บนระนาบ z = c)

รอยตดกบระนาบ x = a เปนวงกลมเมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ

พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ x = a

จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด (a, b, c)

และมรศม = f(a) – b จงมสมการเปน

2(y b) + 2(z c) =

2(f (a) b) , x = a

เพราะวา x = a เปนจานวนจรงใด ๆ

เพราะฉะนนสมการพนผวคอ

2(y b) + 2(z c) =

2(f (x) b)



1 - 17

ตวอยาง 1.2.1 จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมน

เสนโคงพาราโบลา z = 2y , x = 0 รอบแกน Z

วธทา

รปท 1.2.3

กาหนดเสนโคง C คอ เสนโคงพาราโบลา z = 2y , x = 0

และ แกนหมนคอ แกน Z


ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจาก

การหมนเสนโคง C รอบแกน Z


และตงฉากกบแกน Z ทจด Q

และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) เพราะฉะนนจด Q มพกดเปน (0, 0, z)

และ z = z และ x = 0

เพราะฉะนนจด P มพกดเปน (0, y, z)



1 - 18

ขนท 3.

เพราะวา QP = 'QP เพราะฉะนน (x, y, 0) = (0, y, 0) (x, y, 0) 2 = (0, y, 0) 2

2x + 2y = (y)2 ... (1)

เพราะวาจด P(0, y, z) อยบนเสนโคง C

และ สมการเสนโคง C คอ พาราโบลา z = (y)2, x = 0

เพราะฉะนน จาก (1) จะได 2x + 2y = z

เพราะฉะนนพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง C รอบแกน Z

มสมการเปน z = 2x + 2y



1 - 19

แบบท 2

รอยตดกบระนาบ z = c เปนวงกลมเมอ c เปนจานวนจรงใด ๆ

พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ z = c

จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด Q(0, 0, c)

และมรศม r = y = c = c

จงมสมการเปน 2 2 2(x 0) (y 0) r ,z c

2 2x y c,z c

เพราะวา z = c เปนจานวนจรงใด ๆ

เพราะฉะนนสมการพนผวคอ 2 2x y z



1 - 20


เสนโคง 9

y2 +

4z2

= 1, x = 0 รอบแกน Y

วธทา

รปท 1.2.4

กาหนดเสนโคง C คอ เสนโคง 9

y2 +

4z2

= 1, x = 0

และ แกนหมนคอ แกน Y



การหมนเสนโคง C รอบแกน Y


และตงฉากกบแกน Y ทจด Q ... (*)

และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) ... (**)

จาก (*) จะได จด Q มพกดเปน (0, y, 0)

และ y = y ขนท 3. จด Q มพกดเปน (0, y, 0)

เพราะวา P อยบนเสนโคง C เพราะฉะนน x = 0



1 - 21

เพราะฉะนนจด P มพกดเปน (0, y, z) เพราะวา QP = 'QP เพราะฉะนน (x, 0, z) = (0, 0, z) (x, 0, z) 2 = (0, 0, z) 2

2x + 2z = (z)2

41( 2x + 2z ) =

41(z)2 ... (1)

เพราะวาจด P อยบนเสนโคง C เพราะฉะนน 9

y2 +

4)z( 2

= 1

จาก (1) จะได 41( 2x + 2z ) = 1 -

9y2

เพราะฉะนน 4

x 2 +

9y2

+ 4

z2 = 1

เพราะฉะนนพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง C รอบแกน Y

มสมการเปน 4

x 2 +

9y2

+ 4

z2 = 1



1 - 22

แบบท 2

รอยตดกบระนาบ y = b เปนวงกลมเมอ b เปนจานวนจรงใด ๆ

พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ y = b

จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด Q(0, b, 0)

และมรศม r = g(b) เมอ 22 g(b)b 1

9 4

จงมสมการเปน 2 2 2(x 0) (z 0) r , y b

2 2 2x z g(b) , y b

22 2 g(b)x z , y b4 4 4

22 2 bx z 1 , y b4 4 9

22 2bx z 1, y b4 9 4

เพราะวา y = b เปนจานวนจรงใด ๆ

เพราะฉะนนสมการพนผวคอ 22 2bx z 1

4 9 4



1 - 23


เสนโคง 4

x2 -

9y2

= 1, z = 0 รอบแกน X

วธทา

รปท 1.2.5

เสนโคง C คอ เสนโคง 4

x2 -

9y2

= 1, z = 0

และ แกนหมนคอ แกน X



การหมนเสนโคง C รอบแกน X


และตงฉากกบแกน X ทจด Q

และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) เพราะฉะนนจด Q มพกด (x, 0, 0) และ x = x และ z = 0

เพราะฉะนนจด P มพกดเปน (x, y, 0)



1 - 24

ขนท 3. เพราะวา QP = 'QP เพราะฉะนน (0, y, z) = (0, y, 0) (0, y, z) 2 = (0, y, 0) 2

2y + 2z = (y)2 ... (1)

เพราะวาจด P(x, y, 0) อยบนเสนโคง C

เพราะฉะนน 4

x 2 -

9)y( 2

= 1

จาก (1) จะได 91 ( 2y + 2z ) =

4x 2

- 1

4

x 2 -

9y2

- 9

z2 = 1

เพราะฉะนนพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง C รอบแกน X


x 2 -

9y2

- 9

z2 = 1



1 - 25

แบบท 2

รอยตดกบระนาบ x = a เปนวงกลมเมอ b เปนจานวนจรงใด ๆ

พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ x = a

จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด Q(a, 0, 0)

และมรศม r = f(a) เมอ 22 f (a)a 1

4 9

จงมสมการเปน 2 2 2(y 0) (z 0) r ,x a

2 2 2y z f (a) , x a

2 22y f (a)z ,x a9 9 9

2 22y az 1,x a9 9 4

22 2ya z 14 4 9

เพราะวา x = a เปนจานวนจรงใด ๆ

เพราะฉะนนสมการพนผวคอ 22 2yx z 1

4 4 9



1 - 26

1.3 การพจารณาลกษณะของพ นผวจากสมการ

ในหวขอนเราจะศกษาปญหาเกยวกบการเขยนรปของพนผวจาก

สมการทกาหนดให โดยพจารณาลกษณะทสาคญของพนผว คอ

จดตดแกน

ขอบเขตของตวแปร

รอยตดของพ นผวดวยระนาบ

และ การมสมมาตรของพ นผว


ให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว

ถา f(x, 0, 0) = 0 แลว (x, 0, 0) เปนจดตดแกน X

ถา f(0, y, 0) = 0 แลว (0, y, 0) เปนจดตดแกน Y

ถา f(0, 0, z) = 0 แลว (0, 0, z) เปนจดตดแกน Z

ตวอยาง

ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25

มจดตดแกน X คอ (5, 0, 0), (-5, 0, 0)

มจดตดแกน Y คอ (0, 5, 0), (0, -5, 0)

และ มจดตดแกน Z คอ (0, 0, 5), (0, 0, -5)



1 - 27

ตวอยาง 1.3.1 จงหาจดตดแกนของพนผว

(x + 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 16

วธทา ให f(x, y, z) = (x + 1)2+ (y - 1)2+ (z - 2)2- 16

สมมต f(x, 0, 0) = 0

จะได (x + 1)2 + 1 + 4 - 16 = 0

(x + 1)2 = 11

x = -1 - 11, -1 + 11

เพราะฉะนน

(-1 - 11, 0, 0), (-1 + 11, 0, 0) เปนจดตดแกน X

สมมต f(0, y, 0) = 0

จะได 1 + (y - 1)2 + 4 - 16 = 0

(y - 1)2 = 11

y = 1 - 11, 1 + 11


(0, 1 - 11, 0), (0, 1 + 11, 0) เปนจดตดแกน Y

สมมต f(0, 0, z) = 0

จะได 1 + 1 + (z - 2)2 - 16 = 0

(z - 2)2 = 14

z = 2 - 14 , 2 + 14


(0, 0, 2 - 14 ), (0, 0, 2 + 14 ) เปนจดตดแกน Z



1 - 28

ตวอยาง 1.3.2 จงหาจดตดแกนของพนผว z = 2x + 2y

วธทา ให f(x, y, z) = 2x + 2y - z

สมมต f(x, 0, 0) = 0

2x = 0

x = 0

เพราะฉะนน (0, 0, 0) เปนจดตดแกน X

ในทานองเดยวกน (0, 0, 0) เปนจดตดแกน Y, แกน Z

ตวอยาง 1.3.3 จงหาจดตดแกนของพนผว 2x + 2y - 2z = 4

วธทา ให f(x, y, z) = 2x + 2y - 2z - 4

สมมต f(x, 0, 0) = 0

จะได 2x - 4 = 0

x = -2, 2

เพราะฉะนน (-2, 0, 0), (2, 0, 0) เปนจดตดแกน X

สมมต f(0, y, 0) = 0

จะได 2y - 4 = 0

y = -2, 2

เพราะฉะนน (0, -2, 0), (0, 2, 0) เปนจดตดแกน Y

สมมต f(0, 0, z) = 0

จะได - 2z - 4 = 0

2z = -4 เปนไปไมได

เพราะฉะนนพนผวไมตดแกน Z



1 - 29


การหาขอบเขตของตวแปร x, y, z ของพนผว f(x, y, z) = 0

ทาโดยพจารณาคาทเปนไปไดของ x, y, z

ตวอยางเชน

ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25

จะได ขอบเขตของตวแปรคอ

-5 x 5, -5 y 5, -5 z 5

โดยทวไปจะกลาววา

ขอบเขตของ x คอ { x ม y, z R ททาให f(x, y, z) = 0 }

ขอบเขตของ y คอ { y ม x, z R ททาให f(x, y, z) = 0 }

ขอบเขตของ z คอ { z ม x, y R ททาให f(x, y, z) = 0 }



1 - 30

ตวอยาง 1.3.4 จงหาขอบเขตของตวแปรของพนผว

2x + 2y - 2z = 4

วธทา การหาขอบเขตของตวแปร x

จาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได x = 22 zy4

เพราะวา เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ

เราสามารถเลอก y = 2 และ z = x จะได 2x + 4 - 2x = 4

เพราะฉะนน จด (x, 2, x) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ (-, )

การหาขอบเขตของตวแปร y

จาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได y = 22 zx4

เพราะวา เมอ y เปนจานวนจรงใด ๆ

เราสามารถเลอก x = 2 และ z = y จะได 4 + 2y - 2y = 4

เพราะฉะนน จด (2, y, y) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ (-, )

การหาขอบเขตของตวแปร z

จาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได z = 4yx 22

เพราะวา เมอ z เปนจานวนจรงใด ๆ

เราสามารถเลอก x = z และ y = 2 จะได 2z + 4 - 2z = 4

เพราะฉะนน จด (z, 2, z) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ (-, )



1 - 31

ตวอยาง 1.3.5 จงหาขอบเขตของตวแปรของพนผว

z = 2x + 2y

วธทา การหาขอบเขตของตวแปร x

จาก z = 2x + 2y จะได x = 2yz


เราสามารถเลอก y = 0 และ z = 2x จะได 2x = 2x + 20

เพราะฉะนน จด (x, 0, 2x ) อยบนพนผว



จาก z = 2x + 2y จะได y = 2xz


เราสามารถเลอก x = 0 และ z = 2y จะได 2y = 20 + 2y

เพราะฉะนน จด (0, y, 2y ) อยบนพนผว



จาก z = 2x + 2y จะเหนวา z 0

เพราะวา ทกจานวนจรง z 0 เราเลอก x = z และ y = 0

จะได z = ( z )2 + 20

เพราะฉะนน จด ( z , 0, z) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ [0, )



1 - 32

รอยตดของพ นผวกบระนาบ

พนผว f(x, y, z) = 0

เมอ แทนคา x = 0x จะได f( 0x , y, z) = 0, x = 0x

เปนสมการของรอยตดของพนผวกบระนาบ x = 0x

ซงเราจะเรยกวา รอยตดบนระนาบ x = 0x

ตวอยาง

พนผว 2y + 2z = 4x + 4

เมอแทนคา x = 3 จะได 2y + 2z = 16


รอยตดของพนผว 2y + 2z = 4x + 4 กบระนาบ x = 3

มสมการเปน 2y + 2z = 16, x = 3

และ มกราฟเปนวงกลม

โดยมจดศนยกลางอยทจด (3, 0, 0) และรศมเทากบ 4



1 - 33


เมอ แทนคา y = 0y จะได f(x, 0y , z) = 0, y = 0y

เปนสมการของรอยตดของพนผวกบระนาบ y = 0y

ซงเราจะเรยกวา รอยตดบนระนาบ y = 0y

ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 4x + 4

เมอแทนคา y = 2 จะได 2z = 4x


รอยตดของพนผว 2y + 2z = 4x + 4 กบระนาบ y = 2

มสมการเปน 2z = 4x, y = 2

และมกราฟเปนพาราโบลา จดยอดอยทจด (0, 2, 0)


เมอ แทนคา z = 0z จะได f(x, y, 0z ) = 0, z = 0z

เปนสมการของรอยตดของพนผวกบระนาบ z = 0z

ซงเราจะเรยกวา รอยตดบนระนาบ z = 0z

ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 4x + 4

เมอแทนคา z = 0 จะได 2y = 4x + 4


รอยตดของพนผว 2y + 2z = 4x + 4 กบระนาบ z = 0

มสมการเปน 2y = 4x + 4, z = 0 และ

มกราฟเปนพาราโบลา จดยอดอยทจด (-1, 0, 0)



1 - 34

ตวอยาง 1.3.6 กาหนดสมการของพนผวเปน

9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0

1. จงหาขอบเขตของตวแปร

2. จงพจารณารอยตดบนระนาบ YZ และ XZ

3. จงพจารณารอยตดบนระนาบ z = k เมอ k เปนจานวนจรง

4. จงเขยนกราฟของพนผว

วธทา

1. การหาขอบเขตของตวแปร x

จาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0

จะได x = 31 z12y16144 2


เราสามารถเลอก y = 0 และ z = 43 2x - 12

จะได 9 2x + 16(0)2 - 12(43 2x - 12) - 144

= 9 2x + 0 - 9 2x + 144 - 144

= 0

เพราะฉะนน จด (x, 0, 43 2x - 12) อยบนพนผว




1 - 35


จาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0

จะได y = 41 z12x9144 2


เลอก x = 0 และ z = 34 2y - 12 จะได

9(0)2 + 16 2y - 12(34 2y - 12) - 144

= 0 + 16 2y - 16 2y + 144 - 144 = 0

เพราะฉะนน จด (0, y, 34 2y - 12) อยบนพนผว



จาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0

จะได z = 121 (9 2x + 16 2y - 144)

เพราะวา 9 2x + 16 2y 0

เพราะฉะนน 9 2x + 16 2y - 144 -144

จะได z = 121 (9 2x + 16 2y - 144) -12

สาหรบ z -12 เลอก x = 0 และ y = 41 z12144

จะได 9(0)2 + 16(41 z12144 )2 - 12z - 144

= 0 + 144 + 12z - 12z - 144 = 0

เพราะฉะนน จด (0, 41 z12144 , z) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ [-12, )



1 - 36

2. การพจารณารอยตดบนระนาบ YZ

แทนคา x = 0 ในสมการของพนผวจะได

16 2y - 12z - 144 = 0

16 2y = 12(z + 12)

2y = 43(z + 12)

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ x = 0

มสมการเปน 2y = 43(z + 12), x = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา

การพจารณารอยตดบนระนาบ XZ

แทนคา y = 0 ในสมการของพนผวจะได

9 2x - 12z - 144 = 0

9 2x = 12(z + 12)

2x = 34(z + 12)

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XZ มสมการเปน

2x = 34(z + 12), y = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา

การพจารณารอยตดบนระนาบ XY

แทนคา z = 0 ในสมการของพนผวจะได

9 2x + 16 2y - 12(0) - 144 = 0

9 2x + 16 2y = 144

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XY มสมการเปนวงร



1 - 37

3. การพจารณารอยตดบนระนาบ z = k เมอ k R

ให z = k เมอ k เปนจานวนจรง

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ z = k มสมการเปน

9 2x + 16 2y = 12k + 144 = 0, z = k

กรณท 1. k -12 ไมมรอยตด

กรณท 2. k = -12

จะไดรอยตดเปนจด (0, 0, -12) จดเดยวเทานน

กรณท 3. k -12

จะไดรอยตดเปนวงร จดศนยกลางอยทจด (0, 0, k)

และวงรจะมขนาดใหญขนเมอ k มคาเพมขน

4. กราฟของพนผว 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0 คอ

รปท 1.3.1

หมายเหต จากตวอยาง 1.3.6 เราสามารถบอกขอบเขตของตว

แปร z ไดจากการพจารณารอยตดบนระนาบ z = k



1 - 38



1 - 39

การมสมมาตรแบบตาง ๆ ของพ นผว

การตรวจสอบวาพ นผว S มสมมาตรกบระนาบ XY, YZ, XZ

กาหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว S

1. พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY กตอเมอ

ถา จด (x, y, z) อยบน S แลว จด (x, y, -z) อยบน S

เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S

มสมมาตรกบระนาบ XY หรอไม สามารถทาไดโดย

แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, y, -z)

ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(x, y, -z) = 0

จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY

ตวอยาง

พนผว 2y + 2z = 12 - 4x มสมมาตรกบระนาบ XY

พนผว 9 2x - 2z = 16y มสมมาตรกบระนาบ XY

พนผว 2x + 2y = z ไมมสมมาตรกบระนาบ XY



1 - 40

2. พนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ กตอเมอ

ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, y, z) อยบน S

เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ

YZ หรอไม สามารถทาไดโดย

แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, y, z)

ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, y, z) = 0

จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ

ตวอยาง พนผว 2x + 2y = z มสมมาตรกบระนาบ YZ

พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบระนาบ YZ

พนผว 9 2x - 2z = 16y มสมมาตรกบระนาบ YZ

3. พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ กตอเมอ

ถา จด (x, y, z) อยบน S แลว จด (x, -y, z) อยบน S

เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ

XZ หรอไม สามารถทาไดโดย

แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, -y, z)

ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(x, -y, z) = 0

จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ

ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x มสมมาตรกบระนาบ XZ

พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบระนาบ XZ

พนผว 2x + 2y = z มสมมาตรกบระนาบ XZ



1 - 41

การตรวจสอบวาพ นผว S มสมมาตรกบแกน X, Y, Z


1. พนผว S มสมมาตรกบแกน X กตอเมอ

ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (x, -y, -z) อยบน S

เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบแกน X

หรอไม สามารถทาไดโดย

แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, -y, -z)

ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(x, -y, -z) = 0

จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบแกน X

ตวอยาง

พนผว 2y + 2z = 12 - 4x มสมมาตรกบแกน X

พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบแกน X

พนผว 2x + 2y = z ไมมสมมาตรกบแกน X



1 - 42

2. พนผว S มสมมาตรกบแกน Y กตอเมอ

ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, y, -z) อยบน S

เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Y


แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, y, -z)

ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, y, -z) = 0

จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Y

ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบแกน Y

พนผว 9 2x - 2z = 16y มสมมาตรกบแกน Y

พนผว 2x + 2y = z ไมมสมมาตรกบแกน Y

3. พนผว S มสมมาตรกบแกน Z กตอเมอ

ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, -y, z) อยบน S

เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Z


แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, -y, z)

ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, -y, z) = 0

จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Z

ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบแกน Z

พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบแกน Z

พนผว 2x + 2y = z มสมมาตรกบแกน Z



1 - 43

การตรวจสอบวาพ นผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0)


พนผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0) กตอเมอ

ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, -y, -z) อยบน S

เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S

มสมมาตรกบจด (0, 0, 0) หรอไม สามารถทาไดโดย

แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, -y, -z)

ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, -y, -z) = 0

จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0)

ตวอยาง

พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบจด (0, 0, 0)

พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบจด (0, 0, 0)

พนผว 2x + 2y + 2z = 16 มสมมาตรกบจด (0, 0, 0)



1 - 44

ตวอยาง 1.3.7 จงพจารณาการมสมมาตรกบ

แกนพกดของพนผว 2x + 2y - 4z - 12 = 0

วธทา จากสมการของพนผว คอ 2x + 2y - 4z - 12 = 0

ให f(x, y, z) = 2x + 2y - 4z - 12 = 0

เพราะวา f(x, -y, -z) = 2x + (-y)2 - 4(-z) - 12

= 2x + 2 2y + 4z - 12

f(x, y, z)

เพราะฉะนน พนผวไมมสมมาตรกบแกน X

เพราะวา f(-x, y, -z) = (-x)2 + 2y - 4(-z) - 12

= 2x + 2y + 4z - 12

f(x, y, z)

เพราะฉะนน พนผวไมมสมมาตรกบแกน Y

เพราะวา f(-x, -y, z) = (-x)2 + (-y)2 - 4z - 12

= 2x + 2y - 4z - 12

= f(x, y, z)

เพราะฉะนน พนผวมสมมาตรกบแกน Z



1 - 45

ตวอยาง 1.3.8 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน

4

x2 +

36y2

+ 16z2

= 1

1. จงหาจดตดแกน


3. จงพจารณาการมสมมาตร กบระนาบ XY, YZ, XZ

4. จงพจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ

5. จงพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k

เมอ k เปนจานวนจรง


วธทา ให f(x, y, z) = 4

x2 +

36y2

+ 16z2

- 1 = 0

1. การหาจดตดแกน

สมมต f(x, 0, 0) = 0 จะได 2x = 4 จะได x = -2, 2

เพราะฉะนนจดตดแกน X คอ (2, 0, 0) และ (-2, 0, 0)

สมมต f(0, y, 0) = 0 จะได 2y = 36 จะได y = -6, 6

เพราะฉะนนจดตดแกน Y คอ (0, 6, 0) และ (0, -6, 0)

สมมต f(0, 0, z) = 0

จะได 2z = 16 จะได z = -4, 4

เพราะฉะนนจดตดแกน Z คอ (0, 0, 4) และ (0, 0, -4)



1 - 46

2. การหาขอบเขตของตวแปร

เพราะวา 1 - 4

x2 =

36y2

+ 16z2

0 เพราะฉะนน 4

x2 1

เพราะฉะนน x [-2, 2]

เพราะวา สาหรบจานวนจรง x [-2, 2]

เลอก y = 64

x12

และ z = 0

จะได 4

x2 +

361 (6

4x1

2 )2 +

16)0( 2

= 4

x2 + 1 -

4x2

= 1

เพราะฉะนน จด (x, 64

x12

, 0) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ [-2, 2]

เพราะวา 1 - 36y2

= 4

x2 +

16z2

0 เพราะฉะนน 36y2

1

เพราะฉะนน y [-6, 6]

เพราะวา สาหรบจานวนจรง y [-6, 6]

เลอก x = 236y

12

และ z = 0

จะได 41(2

36y

12

)2 + 36y2

+ 16)0( 2

= 1 - 36y2

+ 36y2

= 1

เพราะฉะนน จด (236y

12

, y, 0) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ [-6, 6]



1 - 47

เพราะวา 1 - 16z2

= 4

x2 +

36y2

0 เพราะฉะนน 16z2

1

เพราะฉะนน z [-4, 4]

เพราะวา สาหรบจานวนจรง z [-4, 4]

เลอก x = 216z1

2 และ y = 0

จะได 41(2

16z1

2 )2 +

36)0( 2

+ 16z2

= 1 - 16z2

+ 16z2

= 1

เพราะฉะนน จด (216z1

2 , 0, z) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ [-4, 4]

3. การพจารณาสมมาตรของพนผวกบระนาบ XY, YZ, XZ

เพราะวา f(x, y, -z) = 4

x2 +

36y2

+ 16z2

- 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY

เพราะวา f(-x, y, z) = 4

x2 +

36y2

+ 16z2

- 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ

เพราะวา f(x, -y, z) = 4

x2 +

36y2

+ 16z2

- 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ



1 - 48

4. พจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ

แทนคา x = 0 จะได 36y2

+ 16z2

= 1

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ YZ มกราฟเปนวงร

แทนคา y = 0 จะได 4

x2 +

16z2

= 1

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XZ มกราฟเปนวงร

แทนคา z = 0 จะได 4

x2 +

36y2

= 1

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XY มกราฟเปนวงร

5. การพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k


รอยตดบนระนาบ x = k เมอ k เปนจานวนจรง

มสมการเปน 36y2

+ 16z2

= 1 - 4

k2, x = k

กรณท 1. k 2 จะไดรอยตดเปนวงร

กรณท 2. k = 2

จะไดรอยตดเปนจด (2, 0, 0) และ (-2, 0, 0)

กรณท 3. k 2 ไมมรอยตด



1 - 49

รอยตดบนระนาบ y = k เมอ k เปนจานวนจรง


x 2 +

16z2

= 1 - 36k2

, y = k


กรณท 2. k = 6

จะไดรอยตดเปนจด (0, 6, 0) และ (0, -6, 0)


รอยตดบนระนาบ z = k เมอ k เปนจานวนจรง


x 2 +

36y2

= 1 - 16k2

, z = k


กรณท 2. k = 4

จะไดรอยตดเปนจด (0, 0, 4) และ (0, 0, -4)




1 - 50

6. การเขยนกราฟของพ นผว

อาจพจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k ซงจะเหนวา

รอยตดเรมจากจด (0, 0, -4)

และ เมอ k มคาเพมขน รอยตดจะเปนวงร

ซงวงรจะมขนาดใหญขนเรอย ๆ จนมขนาดใหญทสด

เมอ k = 0

จากนนขนาดของวงรจะเลกลงเรอย ๆ จนกลายเปนจด (0, 0, 4)

จากการพจารณาขางตน จะได

กราฟของพนผว 4

x2 +

36y2

+ 16z2

= 1 คอ

รปท 1.3.4

หมายเหต พนผวนเรยกวา อลลปซอยด



1 - 51

ตวอยาง 1.3.9 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน

9

x2 - 2y +

25z2

= 1

1. จงหาจดตดแกน


3. จงพจารณาการมสมมาตร กบระนาบ XY, YZ, XZ

4. จงพจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ

5. จงพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k



วธทา ให f(x, y, z) = 9

x2 - 2y +

25z2

- 1 = 0 ... (1)

1. การหาจดตดแกน

สมมต f(x, 0, 0) = 0 จะได 2x = 9 จะได x = -3, 3

เพราะฉะนนจดตดแกน X คอ (-3, 0, 0) และ (3, 0, 0)

สมมต f(0, y, 0) = 0 จะได 2y = -1 ซงเปนไปไมได

เพราะฉะนนพนผวไมตดแกน Y

สมมต f(0, 0, z) = 0 จะได 2z = 25 จะได z = -5, 5

เพราะฉะนนจดตดแกน Z คอ (0, 0, 5) และ (0, 0, -5)



1 - 52

2. การหาขอบเขตของตวแปร

จาก (1) จะได x = 325zy1

22


เลอก y = 3x และ z = 5 จะได

9x2

- 9

x2 + 1 = 1

เพราะฉะนน จด (x, 3x , 5) อยบนพนผว


จาก (1) จะได y = 125z

9x 22


เราสามารถเลอก x = 3y และ z = 5

จะได 2y - 2y + 1 = 1

เพราะฉะนน จด (3y, y, 5) อยบนพนผว


จาก (1) จะได z = 5 22y

9x1

เพราะวา เมอ z เปนจานวนจรงใด ๆ

เราสามารถเลอก x = 3 และ y = 5z

จะได 1 - 25z2

+ 25z2

= 1

เพราะฉะนน จด (3, 5z , z) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ (-, )



1 - 53

3. การพจารณาสมมาตรของพนผวกบระนาบ XY, YZ, XZ

เพราะวา f(x, y, -z) = 9

x2 - 2y +

25z2

- 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY

เพราะวา f(-x, y, z) = 9

x2 - 2y +

25z2

- 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ

เพราะวา f(x, -y, z) = 9

x2 - 2y +

25z2

- 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ

4. การพจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ

แทนคา x = 0 จะได - 2y + 25z2

= 1

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ YZ มกราฟเปนไฮเพอรโบลา

แทนคา y = 0 จะได 9

x2 +

25z2

= 1

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XZ มกราฟเปนวงร

แทนคา z = 0 จะได 9

x2 - 2y = 1

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XY มกราฟเปนไฮเพอรโบลา



1 - 54

5. การพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k


รอยตดบนระนาบ x = k เมอ k เปนจานวนจรง

มสมการเปน - 2y + 25z2

= 1 - 9

k2, x = k

กรณท 1. k 3 จะไดรอยตดเปนไฮเพอรโบลาทม

แกนตามขวางขนานกบแกน Z

กรณท 2. k = 3 จะไดรอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน


แกนตามขวางขนานกบแกน Y

รอยตดบนระนาบ y = k เมอ k เปนจานวนจรง


x 2 +

25z2

= 1 + 2k , y = k

เพราะฉะนนรอยตดเปนวงรทกคา k

รอยตดบนระนาบ z = k เมอ k เปนจานวนจรง


x 2 - 2y = 1 -

25k2

, z = k


แกนตามขวางขนานกบแกน X

กรณท 2. k = 5 จะไดรอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน


แกนตามขวางขนานกบแกน Y



1 - 55

6. การเขยนกราฟของพ นผว

อาจพจารณาจากรอยตดบนระนาบ y = k

ซงไดรอยตดเปนวงรและขนาดของวงรแปรเปลยนตามคาของ k

โดย วงรมขนาดเลกทสดเมอ k = 0

และ วงรจะมขนาดใหญขนอยางไมมขดจากดเมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด

จากการพจารณาขางตนจะได

กราฟของพนผว 9

x2 - 2y +

25z2

= 1 คอ

รปท 1.3.5

หมายเหต พนผวนเรยกวา

อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว



1 - 56

1.4 พ นผวควอดรก

เรขาคณตวเคราะหเบองตนในปรภมสองมต

y = mx + c หรอ ax + by + c = 0 มกราฟเปนเสนตรง

y = a 2x + bx + c, x = a 2y + by + c มกราฟเปนพาราโบลา

2x + 2y = 2r มกราฟเปนวงกลม

2

2

ax +

2

2

b

y = 1 หรอ

2

2

a

y +

2

2

bx = 1 มกราฟเปนวงร

2

2

a

x - 2

2

b

y = 1 หรอ

2

2

a

y -

2

2

b

x = 1 มกราฟเปนไฮเพอรโบลา

ในหวขอนเราจะศกษาลกษณะของกราฟของ

สมการกาลงสองของสามตวแปร x, y, z ซงมรปทวไปเปน

A 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0 ... (1)


ถากราฟของสมการนเปนพนผว แลว เรยกวา พ นผวควอดรก

พนผวควอดรกทสาคญคอ

อลลปซอยด

อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

อลลปตกไฮเพอรโบลอยดขนดสองชน

กรวยอลลปตก

อลลปตกพาราโบลอยด

และ ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด



1 - 57

การขจดพจน Gx + Hy + Kz ออกจากสมการ

A 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0


ใชการยายจดกาเนด ดวยการจดรปแบบกาลงสองสมบรณ

ตวอยาง การขจดพจน x, y, z กาลงหนงออกจากสมการ

2x + 2y + 2z + 4x + 8y + 4 = 0

จดรปแบบกาลงสองสมบรณไดเปน

(x + 2)2 + (y + 4)2 + (z)2 = 16

แทนคา x = x + 2, y = y + 4 และ z = z

จะไดสมการใหมเปน (x)2 + (y)2 + (z)2 = 16

ซงมกราฟเปน อลลปซอยด

จากแนวคดของการเปลยนตวแปรขางตนเราจงศกษาลกษณะ

ของกราฟของสมการกาลงสองของ

สามตวแปร x, y, z ในรปอยางงายตอไปน

1. A 2x + B 2y + C 2z + D = 0

2. A 2x + B 2y + Cz = 0

3. A 2x + C 2z + By = 0

4. B 2y + C 2z + Ax = 0



1 - 58

1.4.1 อลลปซอยด

คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายเปน

A 2x + B 2y + C 2z = D เมอ A, B, C, D 0

หรอ 2

2

ax +

2

2

b

y +

2

2

cz = 1 เมอ a, b, c 0


จดตดแกน X คอ ( a, 0, 0)

จดตดแกน Y คอ (0, b, 0)

จดตดแกน Z คอ (0, 0, c)

สมมาตร

กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด

กราฟมสมมาตรกบแกนพกดทงสาม

กราฟมสมมาตรกบระนาบพกดทงสาม

รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ

รอยตดบนระนาบ XY เปนวงร 2

2

ax +

2

2

b

y = 1, z = 0

รอยตดบนระนาบ YZ เปนวงร 2

2

b

y +

2

2

cz = 1, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ เปนวงร 2

2

a

x + 2

2

cz = 1, y = 0



1 - 59

รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง

รอยตดบนระนาบ x = k

เมอ k a รอยตดเปนวงร 2

2

b

y +

2

2

cz = 1 -

2

2

a

k , x = k

เมอ k = a รอยตดเปนจด (k, 0, 0)

เมอ k a ไมมรอยตด

รอยตดบนระนาบ y = k

เมอ k b รอยตดเปนวงร 2

2

ax +

2

2

cz = 1 -

2

2

bk , y = k

เมอ k = b รอยตดเปนจด (0, k, 0)

เมอ k b ไมมรอยตด

รอยตดบนระนาบ z = k

เมอ k c รอยตดเปนวงร 2

2

ax +

2

2

b

y = 1 -

2

2

ck , z = k

เมอ k = c ไดรอยตดเปนจด (0, 0, k)

เมอ k c ไมมรอยตด


ขอบเขตของ x คอ [-a, a]

ขอบเขตของ y คอ [-b, b]

ขอบเขตของ z คอ [-c, c]



1 - 60

แนวคดในการเขยนกราฟ

พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k จะเหนวารอยตดเรมจาก

จด (0, 0, -c) และเมอ k มคาเพมขน รอยตดจะเปนวงร ซง

วงรจะมขนาดใหญขนเรอย ๆ จนมขนาดใหญทสดเมอ k = 0

จากนนขนาดของวงรจะเลกลงเรอย ๆ จนกลายเปนจด (0,0,c)

กราฟของอลลปซอยด

รปท 1.4.1

หมายเหต 1. อลลปซอยด 2

2

ax +

2

2

b

y +

2

2

cz = 1

มจดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0)

2. 2

2

a

)hx( +

2

2

b

)ky( +

2

2

c

)z( = 1

อลลปซอยดมจดศนยกลางอยทจด (h, k, )

3. ถา a = b หรอ b = c หรอ c = a คใดคหนง

แลว กราฟจะเปนอลลปซอยดทเกดจากการหมน

4. ถา a = b = c แลว กราฟจะเปนทรงกลม รศม a



1 - 61

1.4.2 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

คอ พนผวซงมสมการในรปอยางงายแบบใดแบบหนงตอไปน

1. A 2x + B 2y - C 2z = D หรอ 2

2

a

x + 2

2

b

y -

2

2

cz = 1

2. A 2x - B 2y + C 2z = D หรอ 2

2

a

x - 2

2

b

y +

2

2

cz = 1

3. -A 2x + B 2y + C 2z = D หรอ -2

2

ax +

2

2

b

y +

2

2

cz = 1

เมอ A, B, C, D 0 หรอ a, b, c 0

สาหรบสมการ 2

2

a

x + 2

2

b

y -

2

2

cz = 1

มลกษณะทสาคญของพนผวดงน


จดตดแกน X คอ ( a, 0, 0)

จดตดแกน Y คอ (0, b, 0)

จดตดแกน Z ไมม

สมมาตร






1 - 62


รอยตดบนระนาบ XY เปนวงร 2

2

a

x + 2

2

b

y = 1, z = 0

รอยตดบนระนาบ YZ เปนไฮเพอรโบลา 2

2

b

y -

2

2

cz = 1, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ เปนไฮเพอรโบลา 2

2

a

x - 2

2

cz = 1, y = 0



เมอ k a

รอยตดเปนไฮเพอรโบลา 2

2

b

y -

2

2

cz = 1 -

2

2

ak , x = k

เมอ k = a รอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน


เมอ k b

รอยตดเปนไฮเพอรโบลา 2

2

a

x - 2

2

cz = 1 -

2

2

b

k , y = k

เมอ k = b รอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน

รอยตดบนระนาบ z = k เปนวงร 2

2

a

x + 2

2

b

y = 1 +

2

2

c

k , z = k


ขอบเขตของ x คอ (-, )

ขอบเขตของ y คอ (-, )

ขอบเขตของ z คอ (-, )



1 - 63


พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k ซงไดรอยตดเปนวงร

ขนาดของวงรจะแปรเปลยนตามคาของ k โดยวงรจะมขนาดเลก

ทสดเมอ k = 0 และ วงรจะมขนาดใหญขนอยางไมมขดจากด

เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด

กราฟของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

รปท 1.4.2

หมายเหต 1. อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

2

2

a

x + 2

2

b

y -

2

2

cz = 1 มจดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0)

2

2

a

)hx( +

2

2

b

)ky( -

2

2

c

)z( = 1

จดศนยกลางอยทจด (h, k, )

2. ถา a = b แลว กราฟของสมการ 2

2

ax +

2

2

b

y -

2

2

cz = 1

เปนไฮเพอรโบลอยดทเกดจากการหมนเสนโคงรอบแกน Z



1 - 64

1.4.3 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน

คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายแบบใดแบบหนงตอไปน

1. A 2x - B 2y - C 2z = D หรอ 2

2

a

x - 2

2

b

y -

2

2

cz = 1

2. -A 2x + B 2y - C 2z = D หรอ -2

2

a

x + 2

2

b

y -

2

2

cz = 1

3. -A 2x - B 2y + C 2z = D หรอ -2

2

ax -

2

2

b

y +

2

2

cz = 1

เมอ A, B, C, D 0 หรอ a, b, c 0

สมการ -2

2

a

x - 2

2

b

y +

2

2

cz = 1 มลกษณะสาคญของพนผวดงน

จดตดแกน จดตดแกน X ไมม

จดตดแกน Y ไมม

จดตดแกน Z คอจด (0, 0, c)

สมมาตร กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด




รอยตดบนระนาบ XY ไมม

รอยตดบนระนาบ YZ เปนไฮเพอรโบลา -2

2

b

y+

2

2

cz

= 1, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ เปนไฮเพอรโบลา -2

2

a

x +

2

2

cz = 1, y = 0



1 - 65



เปนไฮเพอรโบลา -2

2

b

y +

2

2

cz = 1 +

2

2

a

k , x = k ทกคา k


เปนไฮเพอรโบลา -2

2

ax +

2

2

cz = 1 +

2

2

bk , y = k ทกคา k


เมอ k c ไมมรอยตด

เมอ k c

รอยตดเปนวงร 2

2

a

x + 2

2

b

y =

2

2

c

k - 1, z = k ทกคา k

เมอ k = c รอยตดเปนจด (0, 0, k)




ขอบเขตของ z คอ (-, -c] [c, )



1 - 66


พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k

เมอ k = c รอยตดเปนจด (0, 0, c) และ (0, 0, -c)

เมอ k c รอยตดเปนวงร ซงวงรจะมขนาดใหญขนอยางไมม

ขดจากด เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด

กราฟของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน

รปท 1.4.3

หมายเหต 1. อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน

-2

2

a

x - 2

2

b

y +

2

2


-2

2

a

)hx( -

2

2

b

)ky( +

2

2

c

)z( = 1

มจดศนยกลางอยทจด (h, k, )

2. ถา a = b แลว กราฟของสมการ -2

2

a

x - 2

2

b

y +

2

2

c

z = 1

เปนไฮเพอรโบลอยดทเกดจากการหมนเสนโคงรอบแกน Z



1 - 67

1.4.4 กรวยอลลปตก

คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายแบบใดแบบหนงตอไปน

1. A 2x + B 2y - C 2z = 0 หรอ 2

2

a

x + 2

2

b

y -

2

2

cz = 0

2. A 2x - B 2y + C 2z = 0 หรอ 2

2

a

x - 2

2

b

y +

2

2

cz = 0

3. -A 2x + B 2y + C 2z = 0 หรอ -2

2

ax +

2

2

b

y +

2

2

cz = 0

เมอ A, B, C 0 หรอ a, b, c 0

สมการ 2

2

a

x + 2

2

b

y -

2

2

cz = 0 มลกษณะทสาคญของพนผวดงน


จดตดแกน X คอ (0, 0, 0)

จดตดแกน Y คอ (0, 0, 0)

จดตดแกน Z คอ (0, 0, 0)

สมมาตร






1 - 68


รอยตดบนระนาบ XY เปนจด (0, 0, 0)

รอยตดบนระนาบ YZ

เปนเสนตรงสองเสนซงตดกนทจดกาเนด


2

b

y -

2

2

cz = 0, x = 0 หรอ y =

cb z, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ

เปนเสนตรงสองเสนซงตดกนทจดกาเนด


2

a

x - 2

2

cz = 0, y = 0 หรอ z =

ac x, y = 0



เปนไฮเพอรโบลา 2

2

b

y -

2

2

cz = -

2

2

a

k , x = k ทกคา k 0



2

a

x - 2

2

cz = -

2

2

b

k , y = k ทกคา k 0


เปนวงร 2

2

a

x + 2

2

b

y =

2

2

c

k , z = k ทกคา k 0







1 - 69

แนวคดในการเขยนกราฟพ นผว


เมอ k = 0 รอยตดเปนจด (0, 0, 0)

เมอ k 0 รอยตดเปนวงร ซงวงรจะมขนาดใหญขนอยางไม

มขดจากด เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด

กราฟของกรวยอลลปตก

รปท 1.4.4

หมายเหต 1. กรวยอลลปตก

2

2

a

x + 2

2

b

y -

2

2


2

2

a

)hx( +

2

2

b

)ky( -

2

2

c

)z( = 0

มจดศนยกลางอยทจด (h, k, )


2

a

x + 2

2

b

y -

2

2

cz = 0

จะเปนกรวยกลมซงเปนพนผวทเกดจากการหมน

เสนตรงทผานจดกาเนดรอบแกน Z



1 - 70

1.4.5 อลลปตกพาราโบลอยด

คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายเปนแบบใดแบบหนงตอไปน

1. A 2x + B 2y = Cz เมอ A, B 0 และ C 0

หรอ 2

2

a

x + 2

2

b

y = cz เมอ a, b 0 และ c 0

2. A 2x + C 2z = By เมอ A, C 0 และ B 0

หรอ 2

2

a

x + 2

2

cz = by เมอ a, c 0 และ b 0

3. B 2y + C 2z = Ax เมอ B, C 0 และ A 0

หรอ 2

2

b

y +

2

2

cz = ax เมอ b, c 0 และ a 0


2

ax +

2

2

b







สมมาตร

กราฟมสมมาตรกบแกน Z

กราฟมสมมาตรกบระนาบ YZ และ ระนาบ XZ



1 - 71


รอยตดบนระนาบ XY เปนจด (0, 0, 0)

รอยตดบนระนาบ YZ เปนพาราโบลา 2y = 2b cz, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ เปนพาราโบลา 2x = 2a cz, y = 0



เปนพาราโบลา 2y = 2b c(z - 2

2

ca

k ), x = k ทกคา k


เปนพาราโบลา 2x = 2a c(z - cb

k2

2), y = k ทกคา k


เปนวงร 2

2

a

x + 2

2

b

y = ck, z = k ทกคา k 0




ขอบเขตของ z คอ [0, )



1 - 72


พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k จะเหนวารอยตดเรมจาก

จด (0, 0, 0) และ เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด รอย

ตดจะเปนวงรทมขนาดใหญอยางไมมขดจากด

กราฟของอลลปตกพาราโบลอยด

รปท 1.4.5

หมายเหต 1. จด O(0, 0, 0) เรยกวา จดยอด

ของอลลปตกพาราโบลอยด 2

2

ax +

2

2

b

y = cz

(h, k, ) เปนจดยอด ของ 2

2

a

)hx( +

2

2

b

)ky( = c(z - )

เมอ c 0

2. กราฟของ 2

2

ax +

2

2

b

y = cz เมอ c 0 เปนอลลปตกพารา

โบลอยด ควาลง มจดยอด (0, 0, 0) เปนจดสงสดของกราฟ


2

ax +

2

2

b

y = cz

จะเปนพาราโบลอยดทเกดจากการหมนเสนโคงรอบแกน Z



1 - 73

1.4.6 ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด

คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายเปนแบบใดแบบหนงตอไปน

1. A 2x - B 2y = Cz เมอ A, B 0 และ C 0

หรอ 2

2

a

x - 2

2

b


2. A 2x - C 2z = By เมอ A, C 0 และ B 0

หรอ 2

2

ax -

2

2

cz = by เมอ a, c 0 และ b 0

3. B 2y - C 2z = Ax เมอ B, C 0 และ A 0

หรอ 2

2

b

y -

2

2

cz = ax เมอ b, c 0 และ a 0


2

ax -

2

2

b







สมมาตร

กราฟมสมมาตรกบแกน Z

กราฟมสมมาตรกบระนาบ YZ และ ระนาบ XZ



1 - 74


รอยตดบนระนาบ XY

เปนเสนตรงสองเสนตดกนทจด (0, 0, 0)


2

ax -

2

2

b

y = 0, z = 0 หรอ y =

ab x, z = 0

รอยตดบนระนาบ YZ

เปนพาราโบลา 2y = - 2b cz, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ

เปนพาราโบลา 2x = 2a cz, y = 0



เปนพาราโบลา 2y = - 2b c(z - ca

k2

2), x = k ทกคา k


เปนพาราโบลา 2x = 2a c(z + cb

k2

2), y = k ทกคา k



2

ax -

2

2

b

y = ck, z = k ทกคา k 0







1 - 75



เมอ k = 0 รอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน

เมอ k 0

รอยตดจะเปนไฮเพอรโบลาทมแกนตามขวางขนานกบแกน Y

เมอ k 0

รอยตดจะเปนไฮเพอรโบลาทมแกนตามขวางขนานกบแกน X

กราฟของไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด

รปท 1.4.6

หมายเหต 1. กราฟของสมการ 2

2

ax -

2

2

b

y = cz เมอ c 0

คลายอานมาครอมบนแกน Y จงนยมเรยก ไฮเพอรโบลกพารา

โบลอยด วา พ นผวอานมา จด (0, 0, 0) เรยกวา จดอานมา

สมการเปน 2

2

a

)hx( -

2

2

b

)ky( = c(z - ) เมอ c 0

เปนพนผวอานมา มจดอานมาอยทจด (h, k, )

2. กราฟของสมการ 2

2

a

x - 2

2

b

y = cz เมอ c 0

คลายอานมาครอมบนแกน X



1 - 76

ตวอยาง 1.4.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผวตอไปน

1. 16x 2

- 25y2

+ 9

z2 = 0 2. 175 2x + 112 2y + 400z = 0

วธทา 1. 16x 2

- 25y2

+ 9

z2 = 0 เปนสมการของกรวยอลลปตก

รปท 1.4.7

รอยตดบนระนาบ y = 5 เปนวงร 16x 2

+ 9

z2 = 1, y = 5

2. จาก 175 2x + 112 2y + 400z = 0

2800 หารตลอด ; 16x 2

+ 25y2

+ 7z = 0

16x 2

+ 25y2

= -7z

เปนสมการของ


รปท 1.4.8

รอยตดบนระนาบ z = -7 เปนวงร 16x 2

+ 25y2

= 1, z = -7



1 - 77


16 2x + 9 2y + 12z - 96 = 0

1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว

2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z = -4 และ y = 2

พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว

วธทา จาก 16 2x + 9 2y + 12z - 196 = 0

จะได 16 2x + 9 2y = -12(z - 8)

ซงเปนสมการของอลลปตกพาราโบลอยด

สมการของรอยตดบนระนาบ z = -4 คอ

16 2x + 9 2y + 12(-4) - 96 = 0 , z = -4

16 2x + 9 2y = 144 , z = -4

9

x 2 +

16y2

= 1 , z = -4

ซงมกราฟเปนวงร

สมการของรอยตดบนระนาบ y = 2 คอ

16 2x + 9(2)2 + 12z - 96 = 0, y = 2

16 2x + 12z = 60, y = 2

2x = -43(z - 5), y = 2

ซงมกราฟเปนพาราโบลา



1 - 78

กราฟของอลลปตกพาราโบลอยด

ซงแสดงรอยตดบนระนาบ z = -4 และ y = 2 คอ

รปท 1.4.9



1 - 79


225 2x - 400 2y + 144 2z + 3600 = 0


2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ y = 3 2 และ z = 5 2


วธทา จาก 225 2x - 400 2y + 144 2z + 3600 = 0

จะได 16x 2

- 9

y2 +

25z2

+ 1 = 0

-16x 2

+ 9

y2 -

25z2

= 1

ซงเปนสมการของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน

สมการของรอยตดบนระนาบ y = 3 2 คอ

-16x 2

+ 9

18 - 25z2

= 1 , y = 3 2

16x 2

+ 25z2

= 1 , y = 3 2


สมการของรอยตดบนระนาบ z = 5 2 คอ

-16x 2

+ 9

y2 -

2550 = 1 , z = 5 2

9

y2 -

16x 2

= 3 , z = 5 2

27y2

- 48x 2

= 1 , z = 5 2

ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา



1 - 80

กราฟอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน

ซงแสดงรอยตดบนระนาบ y = 3 2 และ z = 5 2 คอ

รปท 1.4.10



1 - 81


50 2x - 25 2y + 8 2z - 400 = 0


2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ y = 4 และ z = 0


วธทา จาก 50 2x - 25 2y + 8 2z - 400 = 0

จะได 8

x 2 -

16y2

+ 50z2

= 1

ซงเปนสมการของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว


8

x 2 -

1616 +

50z2

= 1 , y = 4

16x 2

+ 100z2

= 1 , y = 4


สมการของรอยตดบนระนาบ z = 0 คอ 8

x 2 -

16y2

= 1, z = 0

ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา



1 - 82

กราฟของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

ซงแสดงรอยตดบนระนาบ y = 4 และ z = 0 คอ

รปท 1.4.11



1 - 83


25 2x - 4 2y + 25z = 0


2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ

x = 0, y = 0, z = 4 และ z = -4


วธทา จาก 25 2x - 4 2y + 25z = 0

จะได 4

x 2 -

25y2

= -4z

ซงเปนสมการของไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด (พนผวอานมา)

สมการของรอยตดบนระนาบ x = 0 คอ

2y = 425z, x = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา


2x = -z, y = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา

สมการของรอยตดบนระนาบ z = 4 คอ

25y2

- 4

x 2 = 1, z = 4 ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา

สมการของรอยตดบนระนาบ z = -4 คอ

4

x 2 -

25y2

= 1, z = -4 ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา



1 - 84

กราฟของไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด ซงแสดงรอยตด

บนระนาบ x = 0, y = 0, z = 4 และ z = -4 คอ

รปท 1.4.12



1 - 85

อลลปซอยด

อลลปตกไฮเพอรโบลอยด

ชนดชนเดยว

อลลปตกไฮเพอรโบลอยด

ขนดสองชน

กรวยอลลปตก



1 - 86


ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด

บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต 1 - 87

แบบฝกหด 1.2

จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมนเสนโคงในระนาบ รอบแกนพกด ทกาหนดให

1. 3z + 4y = 12 , x = 0 รอบแกน Y

2. 2y = 3(x – 2) , z = 0 รอบแกน X

3. y = 4 z , x = 0 รอบแกน Z

4. 2x + 2z = 25 , y = 0 รอบแกน X

5. 16 2y + 9 2z = 144 , x = 0 รอบแกน Y

6. 16 2x + 2z = 16 , y = 0 รอบแกน Z

7. 16x2 +

25y2

= 1 , z = 0 รอบแกน Y

8. 4x2 –

9y2

= 1 , z = 0 รอบแกน X

9. (y – 4) 2 = 12(x – 2) , z = 0 รอบแกน Y

10. 4 2x – 2y = 1 , z = 0 รอบแกน Y

เฉลยแบบฝกหด 1.2

1. 9 2x – 16 2y + 9 2z + 96y – 144 = 0 2. 2y + 2z – 3x + 6 = 0

3. 2x + 2y – 16z = 0 4. 2x + 2y + 2z = 25

5. 9 2x + 16 2y + 9 2z = 144 6. 16 2x + 16 2y + 2z = 16

7. 25 2x + 16 2y + 25 2z = 400 8. 9 2x – 4 2y – 4 2z = 36

9. 144 2x + 144 2z = ((y – 4) 2 + 24) 2 10. 4 2x – 2y + 4 2z = 1



จงพจารณาลกษณะของพนผวจากสมการทกาหนดให

(1) จงหาจดตดแกน

(2) จงหาขอบเขตของตวแปร

(3) จงพจารณาการมสมมาตรของพนผวเทยบกบระนาบพกดฉาก แกนพกดฉาก

และจดกาเนด

(4) จงพจารณารอยตดบนระนาบพกดฉาก

(5) จงพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k เมอ k เปนจานวนจรง

(6) จงเขยนกราฟของพนผว

1. 4 2x + 9 2y + 16 2z - 144 = 0

2. 2x - 2y + 4 2z - 4 = 0

3. 2x + 2y - z = 0

4. 2x + 2y + 8z = 0

5. 2x + 2y - 4y = 0

6. 2x + 2y - 2z = 0



1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผวตอไปน

1.1 2x + 2y + 2z + 2z = 0

1.2 2y + 2z – x – 4 = 0

1.3 2x + 4 2y – 8z – 16 = 0

1.4 2x – 2y + 2z + 2x + 2y + 4z = 0

1.5 2 2x – 2y – 2z + 4x + 2y + 4z = 0

1.6 25 2x – 2y + 144 2z + 2y – 1 = 0

1.7 2x – 2 2y + 2x + 4y – z + 2= 0

1.8 2x + 2y – 2 2z + 4x + 4y = 0

1.9 4 2x + 9 2y + 2z – 8x + 2 = 0

1.10 4)1x( 2

– 9)2y( 2

– 16

)1z( 2 = 1

1.11 16

)2x( 2 +

9)1y( 2

– 25)1z( 2

= 0

1.12 2x + 2y + 3 2z – 2x + 4y – 6z = 3

2. กาหนดสมการของพนผวเปน 4x2 +

9y2

– 2z2 = 1

2.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว

2.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z = 0 และ z = – 6


3. กาหนดสมการของพนผวเปน 4x2 +

9y2

+ 36z2 = 1


3.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z = 0 และ z = 3 2


4. กาหนดสมการของพนผวเปน 2x + 4y2

= 2z


4.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ x = 1, y = 0 และ z = 8


5. กาหนดสมการของพนผวเปน 16 2x + 4 2y – 2z = 0


5.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z= 8 และ y = 3



เฉลยแบบฝกหด 1.4

1. 1.1อลลปซอยด 1.2อลลปตกพาราโบลอยด

1.3อลลปตกพาราโบลอยด 1.4 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

1.5อลลปตกไฮเพอรโบลอยดขนดชนเดยว 1.6กรวยอลลปตก

1.7ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด 1.8 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

1.9อลลปซอยด 1.10 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดขนดสองชน

1.11 กรวยอลลปตก 1.12 อลลปซอยด

2. อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว 3. อลลปซอยด

4. อลลปตกพาราโบลอยด 5.กรวยอลลปตก

Documents

บทที่ 1 พ้ืนผิวในปร ิภูมิสามมิติpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_01_1in1.pdf · บทที่