cal2 118 59 3rd ch 05 06Jun32017 function n variablespioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301118/ch5_1in1.pdf · จะได้ z = 2x2 + 1 ซ่ึงเป็นสมการพาราโบลาบนระนาบ

บทท 5.

ฟงกชนของหลายตวแปร

ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559

1

บทท 5. ฟงกชนของหลายตวแปร

บทท 5.



2

ฟงกชนของ n ตวแปร

ให f : D → R เมอ D ⊆ nR

และ n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1

โดยท nR = R × R × ... × R (n พจน)

เรากลาววา f เปน ฟงกชนคาจรงของตวแปร n ตว

หรอ f เปน ฟงกชนคาจรงของ n ตวแปร

หรอ f เปน ฟงกชนของ n ตวแปร

สาหรบแตละสมาชก X ใน D เราเขยน X ในรป

X = ( 1x , 2x , ... , nx ) เมอ 1x , 2x , ... , nx เปนจานวนจรง

กรณท n = 2 เรานยมเขยน X = (x, y)

กรณท n = 3 เรานยมเขยน X = (x, y, z)

สาหรบคาของฟงกชน f ทจด X เราจะเขยนแทนดวย

f(X) หรอ f( 1x , 2x , ... , nx )

บทท 5.



3

การกาหนดฟงกชน กาหนดโดยใชสตรแสดงคาของฟงกชน เชน

f(x, y) = 22 yx1 −−

g(x, y, z) = 222 zyx

1++

h( 1x , 2x , 3x , 4x ) = 1x 3x + 22x – 4x

จะเหนวา f เปนฟงกชนคาจรงของสองตวแปร

g เปนฟงกชนคาจรงของสามตวแปร

และ h เปนฟงกชนคาจรงของสตวแปร

ซงทงสามฟงกชนไมไดระบโดเมนวาเปนเซตใด

ในกรณเชนนใหถอวา โดเมนคอสบเซตทใหญทสดของ nR ท

ทาใหสตรแสดงคาของฟงกชนเปนไปได

เพราะฉะนน โดเมนของ f คอ {(x, y) | 2x + 2y ≤ 1}

โดเมนของ g คอ {(x, y, z) | (x, y, z) ≠ (0, 0, 0)}

โดเมนของ h คอ 4R

ถา f เปนฟงกชนคาจรงของ n ตวแปร

และโดเมนของ f คอเซต D ซง D ⊆ nR

กราฟของ f คอ

{( 1x , 2x , ... , nx , u) | u = f( 1x , 2x , ... , nx )

และ ( 1x , 2x , ... , nx ) ∈ D}

ซงเราจะเขยนรปเรขาคณตแสดงกราฟของ f ได

กตอเมอ n ≤ 2 เทานน

บทท 5.



4

4.1 ฟงกชนคาจรงของสองตวแปร

ตวอยาง 5.1.1 กาหนดให f(x, y) = n( 2x – y + 1)

จงหาคาของ f(–1, 1) และ จงเขยนรปแสดงโดเมนของ f

วธทา f(–1, 1) = n(1 – 1 + 1) = n 1 = 0

f จะเปนฟงกชนคาจรง กตอเมอ 2x – y + 1 > 0

y < 2x + 1

โดเมนของ f คอ {(x, y) | y < 2x + 1}

ซงเปนเซตของจดในระนาบ XY ทอยใตพาราโบลา y = 2x + 1

และไมรวมจดบนพาราโบลา

รปท 5.1.1

บทท 5.



5

ให f เปนฟงกชนคาจรงของสองตวแปร

กลาวคอ f : D → R เมอ D ⊆ 2R

เราจะไดวากราฟของ f คอ

S = {(x, y, z) | z = f(x, y) และ (x, y) ∈ D}

การเขยนกราฟของ f จะกระทาไดโดยการลงจด (x, y, z)

ในระบบแกนพกดฉากในปรภมสามมต

โดยกาหนดให z = f(x, y) เมอ (x, y) ∈ D

ซงเมอลงจด (x, y, z) สาหรบทกจด (x, y) ∈ D

แลว เราจะไดกราฟของ f มลกษณะเปนพนผว

รปท 5.1.2

บทท 5.



6

ในการเขยนกราฟของฟงกชนของสองตวแปร

เราทาไดโดยพจารณาการแปรคาของตวแปรตวหนง

โดยกาหนดใหตวแปรอกตวหนงมคาคงตว เชน

ถาเราจะเขยนกราฟของ f(x, y) = 2 2x + 2y

เราจะทาไดโดยให

z = f(x, y) = 2 2x + 2y ... (1)

สมมตวา y มคาคงตว แสดงวาเราจะพจารณากราฟของ f ซงอย

บนระนาบทขนานกบระนาบ XZ นนเอง ซงเราจะทาไดโดยการ

กาหนดคาของ y ตาง ๆ กน ดงน

ถา y = 0 จาก (1)

จะได z = 2 2x ซงเปนสมการของพาราโบลาบนระนาบ XZ

รปท 5.1.3

บทท 5.



7

ถา y = 1 จาก z = f(x, y) = 2 2x + 2y

จะได z = 2 2x + 1 ซงเปนสมการพาราโบลาบนระนาบ y = 1

รปท 5.1.4 (ก) รปท 5.1.4 (ข)

จะเหนไดวา ไมวาเราจะกาหนดคา y เปนเทาใด

กราฟของ z = 2 2x + 2y จะเปนพาราโบลาบนระนาบทขนาน

กบระนาบ XZ ทงสน

เพราะฉะนน

เมอเราเขยนกราฟของ z = 2 2x + 2y บนระนาบ y = c

สาหรบคา c ตาง ๆ กน จะไดกราฟดงแสดงในรปท 5.1.5

รปท 5.1.5

บทท 5.



8

เมอเรานากราฟเหลานมาผนวกเขาดวยกน

จะไดกราฟของ f ทตองการดงแสดงในรปท 5.1.6

รปท 5.1.6

หมายเหต

จากตวอยางน นอกจากเราจะเขยนกราฟของ f

โดยกาหนดให y มคาคงตวแลว

เราอาจพจารณาโดยกาหนดให x มคาคงตว

หรอกาหนดให z มคาคงตวกได

สาหรบการกาหนดให x มคาคงตวนนจะเหนวา

ผลทไดจะเปนไปในทานองเดยวกบการกาหนดให y มคาคงตว

เพราะฉะนน เราจะกลาวเฉพาะวธเขยนกราฟของ f เมอ

กาหนดให z มคาคงตวซงเปนการพจารณากราฟของ f บน

ระนาบทขนานกบระนาบ XY นนเอง

บทท 5.



9

จาก z = f(x, y) = 2 2x + 2y

จะเหนวา z ≥ 0 เสมอ

ถา z = 0 เราจะไดกราฟของ f เปนจดกาเนด

ถา z = 1 จาก (1) จะได 2 2x + 2y = 1 ซงเปนสมการของวงร

บนระนาบ z = 1

ดงแสดงในรปท 5.1.7

รปท 5.1.7

บทท 5.



10

เมอเราเขยนกราฟของ z = 2 2x + 2y

บนระนาบ z = k สาหรบคา k ตาง ๆ กน

จะไดกราฟดงแสดงในรปท 5.1.8

ซงเมอนากราฟเหลานนมาผนวกเขาดวยกน

เรากจะไดกราฟของ f ตามตองการ

รปท 5.1.8 (ก) รปท 5.1.8 (ข)

บทท 5.



11

ตวอยาง 5.1.2 กาหนดให f(x, y) = 12 – 2x – 3y

จงหาโดเมนและเรนจของ f

พรอมทงเขยนกราฟของ f อยางคราว ๆ ในอฐภาคท 1

วธทา จะเหนวา f จะเปนฟงกชนคาจรง ทกคา x, y

เพราะฉะนนโดเมนของ f คอ 2R

ให z = f(x, y) = 12 – 2x – 3y

สาหรบ z ∈ R เราสามารถหาจานวนจรง x และ y ได

ททาให z = 12 – 2x – 3y

เพราะฉะนน เรนจของ f คอ {z | z ∈ R} = (–∞, ∞)

จดตดแกน X คอ (6, 0, 0)

จดตดแกน Y คอ (0, 4, 0)

จดตดแกน Z คอ (0, 0, 12)

รปท 5.1.9

กราฟของ f(x, y) = 12 – 2x – 3y

คอกราฟของระนาบ 2x + 3y + z = 12 ดงรปท 5.1.9

บทท 5.



12

ตวอยาง 5.1.3 กาหนดให f(x, y) = 22 y4x9 −−

จงหาโดเมนและเรนจของ f พรอมทงเขยนกราฟของ f

วธทา f เปนฟงกชนคาจรง กตอเมอ 9 – 2x – 4 2y ≥ 0

2x + 4 2y ≤ 9

เพราะฉะนน โดเมนของ f คอ {(x, y) | 2x + 4 2y ≤ 9}

ซงคอ เซตของจดภายในวงร 2x + 4 2y = 9 และรวมจดบนวงร

ให z = f(x, y) = 22 y4x9 −−

เพราะวา 0 ≤ 2x + 4 2y ≤ 9

เพราะฉะนนเรนจของ f คอ {z | 0 ≤ z ≤ 3} = [0, 3]

การเขยนกราฟของ f

f = {(x, y, z) | z = 22 y4x9 −− และ 2x + 4 2y ≤ 9}

ให z = c สาหรบคา c ตาง ๆ กน ซง 0 ≤ c ≤ 3

จะไดวา c = 22 y4x9 −−

เพราะฉะนน 2x + 4 2y = 9 – 2c ... (1)

ถา c = 3

กราฟของสมการ (1) คอจด (0, 0, 3)

ถา 0 ≤ c < 3

กราฟของสมการ (1) คอ วงรบนระนาบ z = c เมอ c มคา

เพมขน ขนาดของวงรจะเลกลง

บทท 5.



13

จาก z = 22 y4x9 −−

ถาให x = 0 จะได z = 2y49 −

ซงเปนสมการของครงวงรบนระนาบ YZ

โดยอาศยการพจารณาเชนน เราจะไดกราฟของ f ดงแสดงในรป

ท 5.1.10

รปท 5.1.10

บทท 5.



14

ตวอยาง 5.1.4 กาหนดให f(x, y) = 22 yx +

จงหาโดเมนและเรนจของ f พรอมทงเขยนกราฟของ f

วธทา เพราะวา f มคา ทกคา x, y เพราะฉะนน fD = 2R

ให z = f(x, y) = 22 yx + เพราะวา 2x + 2y ≥ 0

เพราะฉะนน เรนจของ f คอ {z | z ≥ 0} = [0, ∞)

การเขยนกราฟของ f ทาโดยการสมมตวา z มคาคงตว

ให z = c สาหรบคา c ตาง ๆ กนซง c ≥ 0

จะไดวา c = 22 yx +

เพราะฉะนน 2x + 2y = 2c ... (1)

ถา c = 0 กราฟของสมการ (1) คอ จด (0, 0, 0)

ถา c > 0 กราฟของสมการ (1) คอวงกลมรศม c

บนระนาบ z = c เมอ c มคาเพมขน ขนาดวงกลมจะใหญขน

จาก z = 22 yx +

ให x = 0 จะได z = 2y = | y | ซงเปนสมการของเสนตรง 2 เสนตดกนบนระนาบ YZ

รปท 5.1.11

บทท 5.



15

5.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนของสองตวแปร

บทนยามทสาคญ

1. ถา X(x, y) และ A( 0x , 0y ) เปนจดสองจดใน 2R

เรานยามวา ระยะทาง ระหวางจด X กบจด A

คอ 20

20 )yy()xx( −+−

และเขยนแทนดวยสญลกษณ || X – A ||

2. ให ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆ ใน 2R

และ r เปนจานวนจรงบวก

เรานยาม แผนกลมเปด มจดศนยกลางทจด A และ รศม r

คอ เซต {X ∈ 2R | || X – A || < r}

และเขยนแทนดวยสญลกษณ

B(A ; r) ซงจะมลกษณะดงรปท 5.2.1

รปท 5.2.1


ในกรณทเราไมตองการเจาะจงรศมของแผนกลมเปด

เราจะใชสญลกษณ B(A)

บทท 5.



16

3. ให D ⊆ 2R และ A ∈ D

A เปน จดภายใน ของ D

กตอเมอ มแผนกลมเปด B(A) ซง B(A) ⊆ D

ถา จดทกจดทอยใน D เปนจดภายในของ D

แลว เราจะกลาววา D เปน เซตเปด

4. ให D ⊆ 2R และ A ∈ 2R

A เปน จดขอบ ของ D

กตอเมอ สาหรบทก ๆ แผนกลมเปด B(A) มจดอยางนอยหนง

จดทอยใน D และมจดอยางนอยหนงจดทไมอยใน D

ถาจดขอบทกจดของ D อยใน D แลว D เปน เซตปด

รปท 5.2.2

จากรปท 5.2.2 จะไดวา 1D เปนเซตเปด 2D เปนเซตปด

และ 3D ไมเปนทงเซตเปดและเซตปด

บทท 5.



17

5. ให D ⊆ 2R และ A ∈ 2R

A เปน จดลมต ของ D

กตอเมอ

สาหรบทก ๆ แผนกลมเปด B(A) จะไดวา

(B(A) – {A}) ∩ D ≠ ∅

ขอสงเกต จดภายในของ D จะเปนจดลมตของ D ดวย

แตจดขอบของ D อาจจะเปนหรอไมเปนจดลมตของ D กได

รปท 5.2.3

จากรปท 5.2.3

จะเหนวา จดขอบของ 1D เปนจดลมตของ 1D ดวย

แตถา A ∉ 1D และ ให D = 1D ∪ {A}

เราจะไดวา A เปนจดขอบของ D แต A ไมเปนจดลมตของ D

บทท 5.



18

6. ให D ⊆ 2R

D เปน เซตทมขอบเขต

กตอเมอ

เราสามารถสรางรปสเหลยมผนผาลอมรอบ D ได

รปท 5.2.4 (ก) รปท 5.2.4 (ข)

จากรปท 5.2.4(ก) จะไดวา 1D เปนเซตทมขอบเขต

และจากรปท 5.2.4(ข) จะไดวา

2D = {(x, y) | x ≥ 0 และ y ≥ 0} เปนเซตทไมมขอบเขต

บทท 5.



19

5.2.1 ลมตของฟงกชนของสองตวแปร

บทนยาม 5.2.1 ให f : D → R เมอ D ⊆ 2R

และ ( 0x , 0y ) เปนจดลมตของ D

เรากลาววา f(x, y)

มลมตเปนจานวนจรง L เมอ (x, y) เขาใกล ( 0x , 0y )

เขยนแทนดวยสญลกษณ )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = L

กตอเมอ สาหรบทก ๆ จานวนจรงบวก ε ทกาหนดให

จะมจานวนจรงบวก δ ททาให

| f(x, y) – L | < ε ทก ๆ (x, y) ∈ D

ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ

กลาวอกนยหนง

ทก ๆ (x, y) ∈ D

ถา 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ

แลว | f(x, y) – L | < ε

บทท 5.



20

ตวอยาง 5.2.1 จงแสดงวา )0 ,0()y ,x(

lim→ 22

2

yx

yx3

+ = 0

แนวคด เราจะตองแสดงวา

สาหรบทก ๆ จานวนจรง ε > 0 ทกาหนดให

จะมจานวนจรง δ > 0

ททาให | 22

2

yx

yx3

+ – 0 | < ε ทก ๆ (x, y) ทอยใน D

(ในทน D = {(x, y) | (x, y) ≠ (0, 0)})

ซง 0 < || (x, y) – (0, 0) || < δ

เราจะสงเกตไดวา

จดสาคญของการแสดงขอความนอยทการเลอกคา δ ทเหมาะสม

ซงเราจะสามารถเลอก δ ไดจากการพจารณา | 22

2

yx

yx3

+ – 0 |

เพราะวา | 22

2

yx

yx3

+ – 0 | =

||

||

22

2

yx

yx3

+

= 22

2

yx

y x3

+

≤ 22

2222

yxyx)yx(3

+

++

= 3 22 yx +

< 3δ

เพราะฉะนนเราควรเลอก δ ซง 3δ ≤ ε หรอ δ ≤ 3ε

บทท 5.



21

วธทา กาหนดให ε > 0 เลอก δ = 3ε

เพราะฉะนน δ > 0

D = {(x, y) | (x, y) ≠ (0, 0)}

ให (x, y) เปนจดใด ๆ ใน D ซง (x, y) ≠ (0, 0)

สมมต 0 < || (x, y) – (0, 0) || < δ

เพราะฉะนน | 22

2

yx

yx3

+ – 0 | =

||

||

22

2

yx

yx3

+

= 22

2

yx

y x3

+

≤ 22

2222

yxyx)yx(3

+

++

= 3 22 yx +

< 3δ

= 3(3ε)

= ε

เพราะฉะนน )0 ,0()y ,x(

lim→ 22

2

yx

yx3

+ = 0

หมายเหต ตวอยาง 5.2.1 แสดงใหเหนถงวธการแสดงวาลมตม

คาโดยใชบทนยามของลมต ซงในการเรยนระดบน เราจะไมเนน

วธการดงกลาว

บทท 5.



22

บทนยาม 5.2.2 ให f : D → R เมอ D ⊆ 2R

และ ( 0x , 0y ) เปนจดลมตของ D

ให C เปนเสนโคงใด ๆ ใน 2R ซงผานจด ( 0x , 0y )

เรากลาววา

f(x, y) มลมตเปนจานวนจรง L เมอ (x, y) เขาใกล

( 0x , 0y ) ตามเสนโคง C

เขยนแทนดวยสญลกษ

C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) = L

กตอเมอ สาหรบทก ๆ จานวนจรงบวก ε ทกาหนดให

จะมจานวนจรงบวก δ ททาให

| f(x, y) – L | < ε ทก ๆ (x, y) ∈ C ∩ D

ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ


ทก ๆ (x, y) ∈ C ∩ D

ถา 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ

แลว | f(x, y) – L | < ε

บทท 5.



23

ขอสงเกต

1. ถา )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = L

แลว

C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) = L

สาหรบทก ๆ เสนโคง C ทผานจด ( 0x , 0y )

2. จากผลใน ขอ 1. ถาเรามเสนโคง 2 เสน

คอ 1C และ 2C ซงตางกผานจด ( 0x , 0y ) แต

1C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) ≠

2C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→

f(x, y)

เราจะสรปไดทนทวา f(x, y) ไมมลมตเปนจานวนจรง

เมอ (x, y) เขาใกล ( 0x , 0y )

ซงอาจเขยนไดวา )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) ไมมคา

3. จากผลในขอ 1. ถาเรามเสนโคง C ทผานจด

( 0x , 0y ) และ

C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→


เราสรปไดวา )0 , 0()y ,x(

lim→


บทท 5.



24

ตวอยาง 5.2.2 กาหนดให f(x, y) = 24

2

yx

yx

+

จงแสดงวา )0 , 0()y ,x(

lim→


วธทา ให 1C เปนเสนตรง y = 0

และ 2C เปนเสนโคง y = 2x

เพราะฉะนน 1C และ 2C ผานจด (0, 0)

สาหรบจด (x, y) ใด ๆ บน 1C ซง (x, y) ≠ (0, 0)

จะไดวา f(x, y) = 4x

0 = 0

และสาหรบจด (x, y) ใด ๆ บน 2C ซง (x, y) ≠ (0, 0)

จะไดวา f(x, y) = 44

4

xxx+

= 21


1C

)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) = 0

และ

2C

)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) = 21


1C

)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) ≠

2C

)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y)

เพราะฉะนน )0 , 0()y ,x(

lim→


บทท 5.



25

ตวอยาง 5.2.3 กาหนดให f(x, y) = 42

32

yx

yx

+

+

จงแสดงวา )0 , 0()y ,x(

lim→


วธทา ให C เปนเสนตรง x = 0

จะเหนวา C ผานจด (0, 0)

สาหรบจด (x, y) ใด ๆ บน C ซง (x, y) ≠ (0, 0)

จะไดวา f(x, y) = 4

3

yy

= y1


C

)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) =

C

)0 ,0()y ,x(

lim

บน→ y

1 ซงไมมคา

เพราะฉะนน )0 , 0()y ,x(

lim→


บทท 5.



26

ทฤษฎบท 5.2.1 ให f และ g เปนฟงกชนจาก D ไปยง R

เมอ D ⊆ 2R และ ( 0x , 0y ) เปนจดลมตของ D

และให c, A, B เปนจานวนจรงใด ๆ จะไดวา

1. ถา f(x, y) = c ทก (x, y) ∈ D

แลว )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = c

2. ถา f(x, y) = x ทก (x, y) ∈ D

แลว )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = 0x

3. ถา f(x, y) = y ทก (x, y) ∈ D

แลว )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = 0y

4. ถา )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = A

และ )0y ,0x()y ,x(

lim→

g(x, y) = B แลว จะไดวา

4.1 )0y ,0x()y ,x(

lim→

[f(x, y) + g(x, y)] = A + B

4.2 )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = AB

4.3 )0y ,0x()y ,x(

lim→ )y,x(g

)y,x(f =

BA เมอ B ≠ 0

4.4 )0y ,0x()y ,x(

lim→

| f(x, y) | = | A |

4.5 )0y ,0x()y ,x(

lim→

m )y ,x(f = m A

เมอ m เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 และ m A ∈ R

บทท 5.



27

ตวอยาง 5.2.4 จงหาคาของลมตตอไปน

1. )2 ,1()y ,x(

lim−→

(4 3x 2y – 2x 3y + 5y – 1)

2. )2 ,4()y ,x(

lim−→

x3 3 x2y +

3. )3 ,0()y ,x(

lim→ 3yx3xy

y3x3yyx 222

+−−−−+

4. )5 ,3()y ,x(

lim−→|

yxxy+

|

วธทา

1. )2 ,1()y ,x(

lim−→

(4 3x 2y – 2x 3y + 5y – 1)

= 4)2 ,1()y ,x(

lim−→

3x 2y – 2)2 ,1()y ,x(

lim−→

x 3y

+ 5)2 ,1()y ,x(

lim−→

y – )2 ,1()y ,x(

lim−→

1

= 4(–1)(4) – 2(–1)(8) + 5(2) – 1

= –16 + 16 + 10 – 1

= 9

2. )2 ,4()y ,x(

lim−→

x3 3 x2y +

= ()2 ,4()y ,x(

lim−→

x)(3 3)2 ,4()y ,x(

2x)(ylim +−→

)

= 43 88+−

= 0

บทท 5.



28

3. )3 ,0()y ,x(

lim→ 3yx3xy

y3x3yyx 222

+−−−−+

= )3 ,0()y ,x(

lim→ )3y)(1x(

)3y)(yx( 2

−−−+

= )3 ,0()y ,x(

lim→ 1x

yx 2

−+

= )1x(lim

)yx(lim

)3 ,0()y ,x(

2)3 ,0()y ,x(

−

+

→

→

= 1

3−

= –3

4. เพราะวา )5 ,3()y ,x(

lim−→ yx3

xy+

= )5()3(3

)5)(3(−+

−

= –4

15


lim−→|

yxxy+

| = | –4

15 |

= 4

15

บทท 5.



29

ในการแสดงวา )0y,0x()y,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = 0

สามารถใชผลของทฤษฎบท ตอไปน

ทฤษฎบท 5.2.2 กาหนดให f(x, y) และ g(x, y) เปนฟงกชน

ถา 1. มจานวนจรงบวก M และ δ

ททาให | f(x, y) | ≤ M

ทก (x, y) ในโดเมนของ f

ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ


ทก (x, y) ในโดเมนของ f

ถา 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ

แลว | f(x, y) | ≤ M

และ 2. )0y,0x()y,x(

lim→

g(x, y) = 0

แลว

)0y,0x()y,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = 0

บทท 5.



30

บทพสจน กาหนดให f(x, y), g(x, y) เปนฟงกชน และ

1. มจานวนจรงบวก M และ δ

ททาให | f(x, y) | ≤ M ทก (x, y) ในโดเมนของ f

ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ

และ

2. )0y,0x()y,x(

lim→

g(x, y) = 0

กาหนดให ε > 0

เพราะวา )0y,0x()y,x(

lim→

g(x, y) = 0

เพราะฉะนนจะม δ′ > 0 ซงทาให

| g(x, y) – 0 | < 1M +

ε ทก ๆ (x, y) ในโดเมนของ g

ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ′ ... (*)

ให δ′′ เปนคาตาสดของ {δ, δ′}

บทท 5.



31

ให (x, y) เปนจดใด ๆ ในโดเมนของ f และ โดเมนของ g

สมมตวา

0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ′′ เพราะฉะนนจาก 1. จะไดวา | f(x, y) | ≤ M

และจาก (*) จะไดวา | g(x, y) | < 1M +

ε


| f(x, y)g(x, y) – 0 | = | f(x, y)g(x, y) | = | f(x, y) | | g(x, y) | < M(

1M +ε )

= (1M

M+

)ε

< (1)ε

= ε

เพราะฉะนน )0y,0x()y,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = 0

บทท 5.



32


lim→ 22

32

yx

yx2

+ = 0

วธทา ให f(x, y) = 22 yx

xy2

+ และ g(x, y) = x 3y

เพราะวา | 22 yx

xy2

+ | =

22 yx

|y| |x|2

+

= 22

22

yx

yx2

+

≤ 22

2222

yxyxyx2

+

++

= 2 ทก (x, y) ≠ (0, 0)

เพราะฉะนน | 22 yx

xy2

+ | ≤ 2 ทก (x, y) ∈ fD ... (1)

และ )0 ,0()y ,x(

lim→

g(x, y) = )0 ,0()y ,x(

lim→

x 3y = 0 ... (2)

เลอก M = 2 และ δ = 1 เพราะฉะนน จาก (1), (2) จะไดวา

1. มจานวนจรงบวก M และ δ ททาให

| f(x, y) | ≤ M ทก (x, y) ในโดเมนของ f

ซง 0 < || (x, y) – (0, 0) || < δ

และ 2. )0 ,0()y ,x(

lim→

g(x, y) = 0

โดยทฤษฎบท 5.2.2 จะไดวา )0 ,0()y ,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = 0


lim→ 22

32

yx

yx2

+ = 0

บทท 5.



33


lim→ 44

42

yx

yx

+ = 0

วธทา ให f(x, y) = 44

4

yx

y

+ และ g(x, y) = 2x

เพราะวา 4y ≤ 4x + 4y ทก (x, y) ในโดเมนของ f

เพราะฉะนน ถา 0 < || (x, y) – (0, 0) || < 1

แลว | 44

4

yx

y

+ | ≤ 1 ... (1)

และ )0 ,0()y ,x(

lim→

g(x, y) = )0 ,0()y ,x(

lim→

2x = 0 ... (2)

เลอก M = 1 และ δ = 1

เพราะฉะนน จาก (1) และ (2) จะไดวา

1. มจานวนจรงบวก M และ δ ททาให

| f(x, y) | ≤ M ทก (x, y) ในโดเมนของ f

ซง 0 < || (x, y) – (0, 0) || < δ

และ 2. )0 ,0()y ,x(

lim→

g(x, y) = 0

โดยทฤษฎบท 5.2.2 จะไดวา )0 ,0()y ,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = 0


lim→ 44

42

yx

yx

+ = 0

บทท 5.



34

5.2.2 ความตอเนองของฟงกชนของสองตวแปร

บทนยาม 5.2.3

ให f : D → R เมอ D ⊆ 2R

และ ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆ ใน 2R

เราจะกลาววา f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) กตอเมอ

1. f( 0x , 0y ) มคา

2. )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) มคา

และ 3. )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = f( 0x , 0y )

สาหรบ S ⊆ D เราจะกลาววา f มความตอเนองบน S

กตอเมอ f มความตอเนองททก ๆ จดใน S

ตวอยาง 5.2.7

กาหนดให f(x, y) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+

)0,0()y,x( 0

)0,0()y,x( yxyx

24

2

เมอ

เมอ

จงพจารณาวา f มความตอเนองทจด (0, 0) หรอไม

วธทา จากตวอยาง 5.2.2

เราไดวา )0 ,0()y ,x(

lim→


เพราะฉะนน f ไมมความตอเนองทจด (0, 0)

บทท 5.



35

ตวอยาง 5.2.8.1 กาหนดให f(x, y) = yx

xy−

จงพจารณาวา f มความตอเนองทจด (1, –1) หรอไม

วธทา

เพราะวา

(1) f(1, –1) = )1(1

)1(1−−−

= –21

(2) )1 ,1()y ,x(

lim−→

f(x, y) = )1 ,1()y ,x(

lim−→ yx

xy−

= – 21

และ (3) )1 ,1()y ,x(

lim−→

f(x, y) = f(1, –1)

(จากขอ (1) และ (2))

เพราะฉะนน f มความตอเนองทจด (1, –1)

บทท 5.



36

ตวอยาง 5.2.8.2 กาหนดให f(x, y) = yx

xy−

จงพจารณาวา f มความตอเนองบนโดเมนของ f หรอไม

วธทา

โดเมนของ f คอ D = {(x, y) | x ≠ y}

ให ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆ ใน D

(1) f( 0x , 0y ) = 00

00yx

yx−

ซงมคาเปนจานวนจรง

(2) )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = )0y ,0x()y ,x(

lim→ yx

xy−

= 00

00yx

yx−

ซงมคาเปนจานวนจรง

และ

(3) )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = f( 0x , 0y )

(จาก (1) และ (2))

เพราะฉะนน f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

แตเพราะวา ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆ ใน D

เพราะฉะนน f มความตอเนองททก ๆ จดใน D

เพราะฉะนน f มความตอเนองบนโดเมนของ f

บทท 5.



37

สมบตเกยวกบความตอเนองของฟงกชน

ทฤษฎบท 5.2.3

ถา f และ g เปนฟงกชนทมความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

และ c เปนคาคงตว

แลว

1. ฟงกชน f + g, f – g, cf, fg และ | f | มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

2. ถา g( 0x , 0y ) ≠ 0

แลว ฟงกชน gf มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

บทท 5.



38

ทฤษฎบท 5.2.4 ให f, g : 2R → R โดยท f(x, y) = x

และ g(x, y) = y จะไดวา f และ g มความตอเนองบน 2R

หมายเหต เราเรยกฟงกชน f และ g ในทฤษฎบท 5.2.4

วา ฟงกชนโพรเจกชน

ขอสงเกต สาหรบฟงกชนพหนามของสองตวแปร ซงเปน

ฟงกชนทเขยนไดในรป

f(x, y) = ∑=

m

0 i∑=

n

0 jijc ix jy เมอ ijc เปนคาคงตว

โดยอาศยทฤษฎบท 5.2.3 และ 5.2.4

จะเหนวา ฟงกชนพหนามของสองตวแปร

มความตอเนองบน 2R เสมอ

ตวอยางเชน

f(x, y) = 2x – 3y + 1

g(x, y) = 2x – 3xy + 5 2y – x + 2y + 6

h(x, y) = 5x y + 4x 3y - 2 2x 4y + xy – y

บทท 5.



39

บทนยาม 5.2.4 ถา f : 1D → R เมอ 1D ⊆ 2R

และ g : 2D → R โดยทเรนจของ f เปนสบเซตของ 2D

ฟงกชนประกอบของ f และ g

ซงจะเขยนแทนดวยสญลกษณ fg

คอ ฟงกชนจาก 1D ไปยง R โดยท

( fg )(x, y) = g(f(x, y)) สาหรบทก (x, y) ∈ 1D

รปท 5.2.5

บทท 5.



40

ทฤษฎบท 5.2.5 ให f : 1D → R เมอ 1D ⊆ 2R

และ g : 2D → R โดยทเรนจของ f เปนสบเซตของ 2D

และให ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆใน 1D

ถา f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

และ g มความตอเนองทจด f( 0x , 0y )

แลว ฟงกชนประกอบของ f และ g

คอ fg มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

บทพสจน ให h = fg และ 0u = f( 0x , 0y )

รปท 5.2.6

เราจะตองแสดงวา สาหรบทก ๆ จานวนจรง ε > 0

ทกาหนดให จะมจานวนจรง δ > 0

ททาให | h(x, y) – h( 0x , 0y ) | < ε ทก ๆ (x, y) ∈ 1D

ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ

บทท 5.



41

กาหนดให ε > 0

เพราะวา g มความตอเนองทจด 0u

เพราะฉะนน จะมจานวนจรง 1δ > 0 ททาให

| g(u) – g( 0u ) | < ε ทก ๆ u ∈ 2D

ซง 0 < | u – 0u | < 1δ ... (1)

และเพราะวา f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

เพราะฉะนนจะมจานวนจรง δ > 0 ททาให

| f(x, y) – f( 0x , 0y ) | < 1δ ทก ๆ (x, y) ∈ 1D

ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ ... (2)

ให (x, y) เปนจดใด ๆ ใน 1D

ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ

จาก (2) จะไดวา

| f(x, y) – f( 0x , 0y ) | < 1δ

และจาก (1) จะไดวา

| g(f(x, y)) – g(f( 0x , 0y )) | < ε

หรอ | h(x, y) – h( 0x , 0y ) | < ε (เพราะวา h = fg )

เพราะฉะนน h = fg มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

บทท 5.



42

ตวอยาง 5.2.9 กาหนดให f(x, y) = sin(x + 2y )

จงแสดงวา f มความตอเนองบน 2R

วธทา ให u(x, y) = x + 2y

และ g(u) = sin u

จะเหนวา u มความตอเนองบน 2R

(เปนฟงกชนพหนามของสองตวแปร)

g มความตอเนองบน R

และ f(x, y) = g(u(x, y)) = sin(x + 2y )

เพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 5.2.5

จะไดวา f = ug มความตอเนองบน 2R

บทท 5.



43

ตวอยาง 5.2.10 กาหนดให f(x, y) = yx

)yx(n 32

22

−+

จงพจารณาวา f มความตอเนองทจดใดบาง

พรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณท f มความตอเนอง

วธทา ให F(x, y) = 3 n( 2x + 2y )

G(x, y) = 2x – y

u(x, y) = n( 2x + 2y )

v(x, y) = 2x + 2y

g(v) = n v

จะเหนวา G และ v มความตอเนองบน 2R (เปนฟงกชนพห

นามของสองตวแปร)

g มความตอเนอง เมอ v > 0 ซงกคอ 2x + 2y > 0

เพราะฉะนน (x, y) ≠ (0, 0)

และ u(x, y) = g(v(x, y)) = n( 2x + 2y )

เพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 5.2.5 จะไดวา u = vg

มความตอเนองททก ๆ จด (x, y) ซง (x, y) ≠ (0, 0)

เพราะวา F(x, y) = 3u(x, y) = 3 n( 2x + 2y )

เพราะฉะนน F มความตอเนองททก ๆ จด (x, y)

ซง (x, y) ≠ (0, 0)

บทท 5.



44

เพราะวา f(x, y) = )y ,x(G)y ,x(F

เพราะฉะนน f มความตอเนองททก ๆ จด (x, y) ซง

(x, y) ≠ (0, 0) และ G(x, y) ≠ 0

ซงกคอ 2x – y ≠ 0

เพราะฉะนน f มความตอเนองททก ๆ จด (x, y) ซง y ≠ 2x

(กลาวคอ f มความตอเนองททกจดใน 2R ยกเวนจดบน

พาราโบลา y = 2x นนเอง)

และอาณาบรเวณท f มความตอเนอง

คอ บรเวณทแรเงาในรปท 5.2.7

รปท 5.2.7

บทท 5.



45

5.3 อนพนธยอยของฟงกชนของสองตวแปร

ให z = f(x, y) เปนฟงกชนของสองตวแปร

และ ( 0x , 0y ) เปนจดภายในของโดเมนของ f

ถาเรากาหนดให y มคาคงตว สมมตวา y = 0y

จะไดวา z = f(x, 0y ) เปนฟงกชนของตวแปร x เพยงตวเดยว

ซงถาฟงกชนนมอนพนธทจด x = 0x

เราจะเรยกอนพนธทไดนวาอนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด

( 0x , 0y ) และจะเขยนแทนดวยสญลกษณ xf∂∂ ( 0x , 0y )

ในทานองเดยวกน

ถากาหนดให x มคาคงตว

สมมตวา x = 0x จะไดวา z = f( 0x , y)

เปนฟงกชนของตวแปร y เพยงตวเดยว

ซงถาฟงกชนนมอนพนธทจด y = 0y

เราจะเรยกอนพนธทไดนวา

อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด ( 0x , 0y )

และเขยนแทนดวยสญลกษณ xf∂∂ ( 0x , 0y )

บทท 5.



46




อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y ) คอ

xf∂∂ ( 0x , 0y ) =

0hlim→ h

)y,x(f)y,hx(f 0000 −+ ถาลมตมคา

และ

อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด ( 0x , 0y ) คอ

yf∂∂ ( 0x , 0y ) =

0klim→ k

)y,x(f)ky,x(f 0000 −+ ถาลมตมคา

หมายเหต สญลกษณทใชเขยนแทนอนพนธยอยของ

z = f(x, y) มหลายแบบ เชน อนพนธยอยของ f เทยบกบ x

ทจด ( 0x , 0y ) อาจเขยนแทนดวยสญลกษณ

xf ( 0x , 0y ), 1f ( 0x , 0y ), 1D f( 0x , 0y ) หรอ )0y ,0x(

xz∂∂

และอนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด ( 0x , 0y ) อาจเขยน

แทนดวยสญลกษณ

yf ( 0x , 0y ), 2f ( 0x , 0y ), 2D f( 0x , 0y ) หรอ )0y ,0x(

xz∂∂

การหาอนพนธยอยคอ การหาอนพนธของฟงกชนของหนงตว

แปร

เพราะฉะนนเรานาสตรการหาอนพนธของฟงกชนของหนงตว

แปรมาใชได

บทท 5.



47

ตวอยาง 5.3.1 กาหนดให f(x, y) = 3 5x y – 4 2y + 5x – 7

จงหาคาของ xf (1, –1) และ yf (1, –1)

วธทา เราจะหา xf (x, y) และ yf (x, y) กอน

แลวจงแทนคา x ดวย 1 และ y ดวย –1

สาหรบการหา xf (x, y) เราจะใชสตรการหาอนพนธของ f

โดยคดวา f เปนฟงกชนของตวแปร x เพยงตวเดยว

และการหา yf (x, y) เราจะใชสตรการหาอนพนธของ f

โดยคดวา f เปนฟงกชนของตวแปร y เพยงตวเดยว

xf (x, y) = x∂∂ (3 5x y – 4 2y + 5x – 7)

= 15 4x y + 5

และ yf (x, y) = y∂∂ (3 5x y – 4 2y + 5x – 7)

= 3 5x – 8y

เพราะฉะนน xf (1, –1) = 15(1)4(–1) + 5

= –10

และ yf (1, –1) = 3(1)5– 8(–1)

= 11

บทท 5.



48

ตวอยาง 5.3.2 กาหนด f(x, y) = yxyx2 2

−+

จงหา xf (x, y) และ yf (x, y)

วธทา xf (x, y) = x∂∂ (

yxyx2 2

−+

)

= 2

22

)yx(

)yx(x)yx2()yx2(x)yx(

−

−∂∂+−+

∂∂−

= 2

2

)yx()1)(yx2()2)(yx(

−

+−−

= –2

2

)yx(

y2y

−

+

และ yf (x, y) = y∂∂ (

yxyx2 2

−+

)

= 2

22

)yx(

)yx(y)yx2()yx2(y)yx(

−

−∂∂+−+

∂∂−

= 2

2

)yx()1)(yx2()y2)(yx(

−

−+−−

= 2

2

)yx(yx2xy2

−

−+

บทท 5.



49

ตวอยาง 5.3.3 กาหนด f(x, y) = y2xe 2sin (3y)

จงหา xf (x, y) และ yf (x, y)

วธทา

xf (x, y) = x∂∂ ( y2xe 2sin (3y))

= 2sin (3y)x∂∂ y2xe

= ( 2sin (3y)) y2xex∂∂ ( 2x y)

= 2xy y2xe 2sin (3y)

และ

yf (x, y)

= y∂∂ ( y2xe 2sin (3y))

= y2xey∂∂ 2sin (3y) + 2sin (3y)

y∂∂ y2xe

= y2xe (2 sin(3y)cos(3y))(3) + ( 2sin (3y)) y2xe ( 2x )

= y2xe sin(3y)(6 cos(3y) + 2x sin(3y))

บทท 5.



50

ในกรณทเราไมสามารถใชสตรการหาอนพนธของฟงกชนของ

หนงตวแปรในการหาอนพนธยอยไดนน เราจาเปนตองหา

อนพนธยอยโดยใชบทนยาม ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 5.3.4 กาหนดให f(x, y) = x3 y

จงหา xf∂∂ (0, 0) และ

yf∂∂ (0, 0)

วธทา จาก f(x, y) = x3 y

เราสามารถหา xf∂∂ (0, 0)

ไดโดยใชสตรการหาอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปร

หา xf∂∂ (x, y) กอน แลวจงแทนคา x ดวย 0 และ y ดวย 0

เพราะวา xf∂∂ (x, y) = 3 y

เพราะฉะนน xf∂∂ (0, 0) = 0

เพราะวา g(y) = 3 y ไมมอนพนธทจด 0

เพราะฉะนน การหา yf∂∂ (0, 0) ตองใชบทนยาม 5.3.1

จากบทนยาม 5.3.1 เราทราบวา

ถา 0k

lim→ k

)0,0(f)k,0(f − มคา

แลว yf∂∂ (0, 0) =

0klim→ k

)0,0(f)k,0(f −

เพราะวา 0k

lim→ k

)0 ,0(f)k ,0(f − =

0klim→ k

00− = 0k

lim→

0 = 0

เพราะฉะนน yf∂∂ (0, 0) = 0

บทท 5.



51


กาหนดให f(x, y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+−

)0 ,0()y ,x( 0

)0 ,0()y ,x( yxxyyx 22

33

เมอ

เมอ

จงหาคาของ xf (0, 0) และ yf (0, 0)

วธทา เพราะวา 0h

lim→ h

)0 ,0(f)0 ,h(f − =

0hlim→ h

00−

= 0

เพราะฉะนน xf∂∂ (0, 0) = 0

เพราะวา 0k

lim→ k

)0 ,0(f)k ,0(f − =

0klim→ k

00−

= 0

เพราะฉะนน yf∂∂ (0, 0) = 0

บทท 5.



52

อนพนธยอยของฟงกชนของสามตวแปร

ถา u = f(x, y, z) เปนฟงกชนของสามตวแปร

และ ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดภายในของโดเมนของ f จะไดวา

อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y , 0z ) คอ

xf∂∂ ( 0x , 0y , 0z ) =

01hlim→ 1

0000010h

)z ,y ,x(f)z ,y ,hx(f −+

ถาลมตมคา

เขยนแทนดวยสญลกษณ xf ( 0x , 0y , 0z ),

1f ( 0x , 0y , 0z ), 1D f( 0x , 0y , 0z ) หรอ )0z ,0y ,0x(

xu∂∂

อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด ( 0x , 0y , 0z ) คอ

yf∂∂ ( 0x , 0y , 0z ) =

02hlim→ 2

0000200h

)z ,y ,x(f)z ,hy ,x(f −+


เขยนแทนดวยสญลกษณ yf ( 0x , 0y , 0z ),


yu∂∂

อนพนธยอยของ f เทยบกบ z ทจด ( 0x , 0y , 0z ) คอ

zf∂∂ ( 0x , 0y , 0z ) =

03hlim→ 3

0003000h

)z ,y ,x(f)hz ,y ,x(f −+


เขยนแทนดวยสญลกษณ zf ( 0x , 0y , 0z ),


zu∂∂

บทท 5.



53

การหาอนพนธยอยของฟงกชนของสามตวแปร u = f(x, y, z)

กสามารถทาไดในทานองเดยวกนกบ

การหาอนพนธยอยของฟงกชนของสองตวแปร กลาวคอ

ถาเราตองการหาอนพนธยอยของ f เทยบกบตวแปรใด

กใหคดวา f เปนฟงกชนของตวแปรนนเพยงตวเดยว

โดยถอวาตวแปรอนมคาคงตว


ถา f(x, y, z) = x ye + 2 2x y 3z

แลว xf (x, y, z) = ye + 4xy 3z

yf (x, y, z) = x ye + 2 2x 3z

และ zf (x, y, z) = 6 2x y 2z

บทท 5.



54

5.3.1 ความหมายทางเรขาคณตของอนพนธยอยของฟงกชน

ของสองตวแปร



เราไดทราบมาแลววา

กราฟของสมการ z = f(x, y) เปนพนผวในปรภมสามมต

และ xf ( 0x , 0y )

หรอ อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y )

คอ อตราการเปลยนแปลงของ f เทยบกบ x เมอกาหนดให y ม

คาคงตว


เราพจารณาความหมายทางเรขาคณตของ xf ( 0x , 0y ) ไดดงน

ถากาหนดให y มคาคงตวเทากบ 0y จะไดวา

กราฟของสมการ y = 0y คอระนาบทขนานกบระนาบ XZ

โดยมระยะหางจากระนาบ XZ เทากบ | 0y | หนวย

และพนผว z = f(x, y) ยอมถกตดดวยระนาบ y = 0y

โดยมรอยตดเปนเสนโคง z = f(x, 0y )

บนระนาบ y = 0y ซงพกดของจดตาง ๆ บนเสนโคงน

จะอยในรป (x, 0y , f(x, 0y ))

และจะเหนวาบนเสนโคงน f จะเปนฟงกชนของตวแปร x

เพยงตวเดยว

บทท 5.



55

ความหมายทางเรขาคณตของ xf ( 0x , 0y )

เพราะฉะนน ถา xf ( 0x , 0y ) มคา

คานกจะเปนคาความชนของเสนโคงทจด ( 0x , 0y , f( 0x , 0y ))

รปท 5.3.1

บทท 5.



56

ความหมายทางเรขาคณตของ yf ( 0x , 0y )

ในทานองเดยวกน ถา yf ( 0x , 0y ) มคา

คานกคอ คาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของ

พนผว z = f(x, y)

กบระนาบ x = 0x ทจด ( 0x , 0y , f( 0x , 0y ))

รปท 5.3.2

บทท 5.



57

ตวอยาง 5.3.6 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของ

พนผว z = 4 + 2x – 4 2y กบ ระนาบ x = 2 ทจด (2, 1, 4)

วธทา ให z = f(x, y)

= 4 + 2x – 4 2y

จะไดวา yf (x, y) = –8y

เพราะฉะนน ความชนของเสนโคงทจด (2, 1, 4)

คอ yf (2, 1) = –8

ตวอยาง 5.3.7 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตด

ของพนผว 3 2x + 2y + 2z = 8

กบระนาบ y = –1 ทจด (1, –1, –2)

วธทา จาก 3 2x + 2y + 2z = 8

จะไดวา z = ± 22 yx38 −−

เพราะวาเราจะหาความชนของเสนโคงทจด (1, –1, –2)

ซง z มคาเปนลบ

เราจงให f(x, y) = – 22 yx38 −−

จะไดวา xf (x, y) = 22 yx38

x3−−

เพราะฉะนน ความชนของเสนโคงทจด (1, –1, –2)

คอ xf (1, –1) = 138

)1(3−−

= 23

บทท 5.



58

5.4 กฎลกโซ

กอนอนเราจะกลาวถงการมอนพนธของฟงกชนของสองตวแปร

ซงการอธบายเกยวกบเรองน มอยหลายวธดวยกน วธทจะกลาว

ตอไปนเปนการอธบายโดยอาศยความหมายของการมอนพนธ

ของฟงกชนของหนงตวแปร ซงเราไดศกษากนมาแลว เพอให

เขาใจไดงายขน จะขอทบทวนเกยวกบความหมายของการม

อนพนธของฟงกชนของหนงตวแปรกอน

ให f เปนฟงกชนของหนงตวแปรทมอนพนธทจด 0x

เราจะไดวาอนพนธของ f ทจด 0x คอ

f ′( 0x ) = 0x

lim→Δ x

)x(f)xx(f 00Δ

−Δ+

= 0x

lim→Δ x

fΔΔ เมอ Δf = f( 0x + Δx) – f( 0x )

ถาเราให ε เปนฟงกชนทนยามโดย

ε(Δx) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Δ

≠Δ−ΔΔ

0x0

0x )x(f xf

0'

เมอ

เมอ

จะไดวา Δf = f ′( 0x ) Δx + ε(Δx) Δx

และ 0x

lim→Δε(Δx) =

0xlim→Δ

(xf

ΔΔ – f ′( 0x ))

= 0x

lim→Δ x

fΔΔ – f ′( 0x )

= f ′( 0x ) – f ′( 0x )

= 0

บทท 5.



59

เพราะฉะนน เราอาจกลาวไดวา f มอนพนธทจด 0x

กตอเมอ f ′( 0x ) มคา

และมฟงกชน ε ททาให

f( 0x + Δx) - f( 0x ) = f ′( 0x ) Δx + ε(Δx) Δx

โดยท 0x

lim→Δε(Δx) = 0

บทท 5.



60


ให f เปนฟงกชนของสองตวแปร และ ( 0x , 0y ) เปนจดภายใน

ของโดเมนของ f

เราจะกลาววา f มอนพนธทจด ( 0x , 0y )

กตอเมอ xf ( 0x , 0y ) และ yf ( 0x , 0y )

มคาและมฟงกชน 1ε และ 2ε ททาให

f( 0x + Δx, 0y + Δy) – f( 0x , 0y )

= xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy

+ 1ε (Δx, Δy) Δx + 2ε (Δx, Δy) Δy

โดยท )0 ,0()y ,x(

lim→ΔΔ 1ε (Δx, Δy) = 0

และ )0 ,0()y ,x(



สาหรบ S ⊆ fD เราจะกลาววา

f มอนพนธบน S กตอเมอ f มอนพนธททก ๆ จดใน S

สาหรบฟงกชนของหนงตวแปร

ถา f มอนพนธทจด 0x แลว f จะมความตอเนองทจด 0x

ความจรงขอนยงคงเปนจรงสาหรบฟงกชนของสองตวแปร

บทท 5.



61

ทฤษฎบท 5.4.1 ถา f มอนพนธทจด ( 0x , 0y )

แลว f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

บทพสจน เราตองแสดงวา )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = f( 0x , 0y )

เพราะวา f มอนพนธทจด ( 0x , 0y )

เพราะฉะนนจากบทนยาม 5.4.1

ถาให Δx = x – 0x และ Δy = y – 0y

เราจะไดวา

f(x, y) – f( 0x , 0y )

= xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy


โดยท )0 ,0()y ,x(


และ )0 ,0()y ,x(



)0 ,0()y ,x(

lim→ΔΔ

(f(x, y) – f( 0x , 0y )) = 0


)0 ,0()y ,x(

lim→ΔΔ

f(x, y) = f( 0x , 0y )

บทท 5.



62

ขอสงเกต สาหรบฟงกชนของหนงตวแปร

การกลาววา f ′( 0x ) มคา

กหมายความวา f มอนพนธทจด 0x นนเอง

แตสาหรบฟงกชนของสองตวแปร การกลาววา xf ( 0x , 0y )

และ yf ( 0x , 0y ) มคา

ไมไดหมายความวา f มอนพนธทจด ( 0x , 0y )


f(x, y) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+

)0 ,0()y ,x( 0

)0 ,0()y ,x( yxyx 24

2

เมอ

เมอ

พจารณา 0h

lim→ h

)0 ,0(f)0 ,h(f − =

0hlim→ h

00 − = 0

เพราะฉะนน xf (0, 0) = 0 ... (1)

และพจารณา 0k

lim→ k

)0 ,0(f)k ,0(f − =

0klim→ k

00 −

= 0

เพราะฉะนน yf (0, 0) = 0 ... (2)

จาก (1) และ (2) จะไดวา xf (0, 0) และ yf (0, 0) มคา

จากตวอยาง 5.2.2 ไดวา )0 ,0()y ,x(

lim→


เพราะฉะนน f ไมมความตอเนองทจด (0, 0)

บทท 5.



63


จะไดวา f ไมมอนพนธทจด (0, 0)

จากตวอยางนจะเหนไดวา

การทอนพนธยอยของฟงกชนของสองตวแปรมคา

ไมเพยงพอทจะสรปวาฟงกชนนนมอนพนธ

ทฤษฎบทตอไปนจะบอกใหเราทราบวา

ฟงกชนของสองตวแปรจะมอนพนธเมอใด

ทฤษฎบท 5.4.2 ให f เปนฟงกชนของสองตวแปร


ถา อนพนธยอยของ f มคาบนแผนกลมเปด B( 0x , 0y )

และ มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )

แลว f มอนพนธทจด ( 0x , 0y )

บทท 5.



64


จงแสดงวา f(x, y) = 4x 3y – 3x 2y มอนพนธบน 2R

วธทา เพราะวา xf (x, y) = 4 3x 3y – 3 2y

และ yf (x, y) = 3 4x 2y – 6xy

เพราะฉะนน xf และ yf มความตอเนองบน 2R

(เปนฟงกชนพหนามของสองตวแปร)


จะไดวา f มอนพนธบน 2R

บทท 5.



65

กฎลกโซของฟงกชนหลายตวแปร

ทนทวน Calculus I

ถา y = f(x) และ x = g(t)

เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x และ t ตามลาดบ

แลว y = ( gf )(t)

เปนฟงกชนทมอนพนธทจด t โดยท

( gf )′(t) = f ′(g(t))g′(t) หรอ

dxdy

= dxdy

dtdx

ถา z = f(x, y) เปนฟงกชนของสองตวแปร

และ x = x(t), y = y(t) เปนฟงกชนของหนงตวแปร

แลวจะไดวา z = f(x(t), y(t)) เปนฟงกชนของตวแปร t

เพยงตวเดยว

เพราะฉะนน เราสามารถกลาวถง dtdz ได

ซงคานจะมสวนเกยวของกบ xz∂∂ , y

z∂∂ ,

dtdx และ

dtdy

บทท 5.



66

ทฤษฎบท 5.4.3 (กฎลกโซ)


และ x = x(t), y = y(t) เปนฟงกชนของหนงตวแปร

ถา x และ y มอนพนธทจด 0t

และ f มอนพนธทจด (x( 0t ), y( 0t ))

แลว z = f(x(t), y(t)) มอนพนธทจด 0t

โดยท

0tt dt

dz=

= xf∂∂ (x( 0t ), y( 0t ))

dtdx ( 0t )

+ yf∂∂ (x( 0t ), y( 0t ))

dtdy

( 0t )

หรอ dtdz =

xf∂∂

dtdx +

yf∂∂

dtdy

หรอ dtdz =

xz∂∂

dtdx + y

z∂∂

dtdy

บทท 5.



67

ตวอยาง 5.4.2 กาหนดให

z = 2x y, x = t cos t และ y = t sin t

จงหา dtdz โดยใชกฎลกโซ

วธทา แผนภาพแสดงความสมพนธของตวแปรตางๆ คอ

จากกฎลกโซ

dtdz =

xz∂∂

dtdx +

yz∂∂

dtdy

= 2xy(–t sin t + cos t) + 2x (t cos t + sin t)

= 2(t cos t)(t sin t)(cos t – t sin t)

+ (t cos t)2(t cos t + sin t)

= 2 2t (sin t cos t)(cos t – t sin t)

+ 2t ( 2cos t)(t cos t + sin t)

= 2 2t sin t 2cos t – 2 3t 2sin t cos t + 3t 3cos t + 2t sin t 2cos t

= 3 2t sin t 2cos t – 2 3t 2sin t cos t + 3t 3cos t

บทท 5.



68


z = n(2 2x + xy), x = t และ y = 3t – 1

จงใชกฎลกโซหาคาของ dtdz เมอ t = 1

วธทา แผนภาพแสดงความสมพนธของตวแปรตาง ๆ คอ


dtdz =

xz∂∂

dtdx +

yz∂∂

dtdy

= (xyx2yx4

2 ++

)(t2

1 ) + (xyx2

x2 +

)(3)

เมอ t = 1 จะได x = 1 และ y = 2


1 t

dtdz

= = (

)2)(1()1(2

2)1(42 +

+)(

121 ) + (

)2)(1()1(21

2 +)(3)

= ( 46)(2

1) + ( 41)(3)

= 23

บทท 5.



69

ทฤษฎบท 5.4.4 ให z = f(x, y), x = x(u, v)

และ y = y(u, v) เปนฟงกชนของสองตวแปร

ถา x และ y มอนพนธยอยทจด ( 0u , 0v )

และ f มอนพนธยอยทจด (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v ))

แลว z = f(x(u, v), y(u, v)) มอนพนธยอยทจด ( 0u , 0v )

โดยท

0v v,0u u u

z==∂

∂

= xf∂∂ (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v ))

ux∂∂ ( 0u , 0v )

+ yf∂∂ (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v ))

uy∂∂

( 0u , 0v )

และ 0v v,0u u

vz

==∂∂

= xf∂∂ (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v ))

vx∂∂ ( 0u , 0v )

+ yf∂∂ (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v ))

vy∂∂

( 0u , 0v )

uz∂∂ =

xf∂∂

ux∂∂ + y

f∂∂

uy∂∂

vz∂∂ =

xf∂∂

vx∂∂ + y

f∂∂

vy∂∂

uz∂∂ = x

z∂∂

ux∂∂ +

yz∂∂

uy∂∂

vz∂∂ =

xz∂∂

vx∂∂ +

yz∂∂

vy∂∂

บทท 5.



70

ตวอยาง 5.4.4 กาหนดให z = xye , x = 2u + v และ y = vu

จงหาคาของ uz∂∂ และ

vz∂∂ โดยใชกฎลกโซ



uz∂∂ = x

z∂∂

ux∂∂ +

yz∂∂

uy∂∂

= (y xye )(2) + (x xye )(v1 )

= vu2 v

u)vu2(e

+ + (

vvu2 + ) v

u )vu2(e

+

= (v

vu4 + ) vu )vu2(

e+

และ

vz∂∂ = x

z∂∂

vx∂∂ + y

z∂∂

vy∂∂

= (y xye )(1) + (x xye )(– 2vu )

= vu v

u )vu2(e

+ –

2v

)vu2(u + vu )vu2(

e+

= –2

2

vu2 v

u )vu2(e

+

บทท 5.



71


t = 3u – 2v , u = x + y n x และ v = 2x – y n y

จงหาคาของ xt

∂∂ และ

yt

∂∂ ทจด (x, y) = (1, 1)


จากกฎลกโซ xt

∂∂ =

ut

∂∂

xu∂∂ +

vt

∂∂

xv∂∂

= (3)(1 + xy) + (–2v)(2x)

= 3(1 + xy) – 4vx

และ yt

∂∂ = u

t∂∂

yu∂∂ + v

t∂∂

yv∂∂

= (3)( n x) + (–2v)(–1 – n y)

= 3 n x + 2v(1 + n y)

เมอ (x, y) = (1, 1) จะได u = 1 และ v = 1

เพราะฉะนน 1 y 1, x

xt

==∂∂ = 3(1 + 1) – 4(1)(1)

= 2

และ 1 y 1, x

yt

==∂∂ = 3 n 1 + 2(1)(1 + n 1)

= 2

บทท 5.



72

ตวอยาง 5.4.6 กาหนดให z = f(u – v, v – u)

จงแสดงวา uz∂∂ + v

z∂∂ = 0

วธทา ให x(u, v) = u – v และ y(u, v) = v – u

เพราะฉะนน z = f(x(u, v), y(u, v))


uz∂∂ = x

f∂∂

ux∂∂ + y

f∂∂

uy∂∂

= xf∂∂ (1) +

yf∂∂ (–1)

= xf∂∂ –

yf∂∂

และ vz∂∂ =

xf∂∂

vx∂∂ +

yf∂∂

vy∂∂

= xf∂∂ (–1) +

yf∂∂ (1)

= –xf∂∂ + y

f∂∂


uz∂∂ +

vz∂∂ = (

xf∂∂ –

yf∂∂ ) + (–

xf∂∂ +

yf∂∂ ) = 0

บทท 5.



73

หมายเหต สาหรบฟงกชนของสามตวแปร

1. ถา w = f(x, y, z), x = x(t), y = y(t) และ z = z(t)

แลว w = f(x(t), y(t), z(t)) และ

dtdw = x

f∂∂

dtdx +

yf∂∂

dtdy

+ zf∂∂

dtdz

2. ถา w = f(x, y, z), x = x(r, s, t), y = y(r, s, t)

และ z = z(r, s, t)

แลว w = f(x(r, s, t), y(r, s, t), z(r, s, t))

และ

rw∂∂ =

xf∂∂

rx∂∂ +

yf∂∂

ry∂∂

+ zf∂∂

rz∂∂

sw∂∂ =

xf∂∂

sx∂∂ +

yf∂∂

sy∂∂

+ zf∂∂

sz∂∂

tw∂∂ =

xf∂∂

tx∂∂ +

yf∂∂

ty∂∂

+ zf∂∂

tz∂∂

บทท 5.



74

ตวอยาง 5.4.7 จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรของ

กรวยกลม ในขณะทมความสง 30 นว

และรศมของฐานของกรวยยาว 20 นว

ถาความสงกาลงเพมขนในอตรา 2 นวตอวนาท

และรศมของฐานกาลงลดลงในอตรา 1 นวตอวนาท

วธทา ณ เวลา t ใด ๆ

ให r เปนรศมของฐานของกรวยกลม

h เปนความสงของกรวยกลม

V เปนปรมาตรของกรวยกลม

เราตองการหา dtdV เมอ

dtdr = –1 นวตอวนาท,

dtdh = 2 นวตอวนาท,

r = 20 นว และ h = 30 นว ... (1)

จากสตรเรขาคณต ม.ตน จะไดวา V = 31π 2r h

เพราะฉะนน V เปนฟงกชนของสองตวแปร คอ r และ h

เพราะวา r และ h เปลยนคาไปตามเวลา t

เพราะฉะนน ทง r และ h ตางกเปนฟงกชนของ t

เพราะฉะนน V เปนฟงกชนของ t

บทท 5.



75

จากกฎลกโซ จะไดวา

dtdV = r

V∂∂

dtdr +

hV∂∂

dtdh

= 32πrh

dtdr + 3

1π 2r dtdh

เพราะฉะนน จาก (1) จะไดวา

dtdV = 3

2π(20)(30)(–1) + 31π(20)2(2)

= –400π + 3

800π

= –3

400π


ปรมาตรของกรวยกลมกาลงลดลงดวยอตรา 3

400π ลกบาศกนว

ตอวนาท

บทท 5.



76

ตวอยาง 5.4.8 นารวออกจากถงรปทรงกระบอก

ดวยอตรา r54 π ลกบาศกฟตตอนาท

ถาถงขยายตวในลกษณะทยงคงรปเปนทรงกระบอกอย

โดยรศมของถงเพมขนดวยอตรา 0.002 ฟตตอนาท

จงหาวาความสงของนาในถงจะเปลยนแปลงไปในอตราเทาใด

ขณะทรศมของถงเปน 2 ฟต

และปรมาตรของนาในถงเปน 20π ลกบาศกฟต

วธทา ณ เวลา t ใด ๆ

ให r เปนรศมของถง

h เปนความสงของนาในถง

V เปนปรมาตรของนาในถง

การหา dtdh เมอ

dtdV = –5

4π ลกบาศกฟตตอนาท, dtdr = 0.002 ฟตตอนาท,

V = 20π ลกบาศกฟต และ r = 2 ฟต ... (1)

จากสตรเรขาคณต ม.ตน จะไดวา V = π 2r h

จากกฎลกโซ จะไดวา dtdV =

rV∂∂

dtdr +

hV∂∂

dtdh

= 2πrhdtdr + π 2r dt

dh ... (2)

บทท 5.



77

การหา h เมอ V = 20π ลกบาศกฟต และ r = 2 ฟต

จาก V = π 2r h

จะไดวา 20π = π(2)2h

เพราะฉะนน h = 5 ... (3)

โดยการแทนคา (1) และ (3) ใน (2)

จะไดวา –54π = 2π(2)(5)(0.002) + π(2)2

dtdh

เพราะฉะนน dtdh = –0.21


ความสงของนาในถงกาลงลดลงดวยอตรา 0.21 ฟตตอนาท

บทท 5.



78

ตวอยาง 5.4.9 ให x และ y เปนความยาวของดานทขนานกน

ของรปสเหลยมคางหมรปหนง ซงมความสงเปน h

ถา x เพมขนในอตรา 2 นวตอวนาท

y ลดลงในอตรา 1 นวตอวนาท

และ h เพมขนในอตรา 3 นวตอวนาท

จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทของรปสเหลยมน

ขณะท x = 30 นว y = 50 นว และ h = 10 นว

วธทา ณ เวลา t ใด ๆ ให A เปนพนทของรปสเหลยมคางหม

การหา dtdA เมอ

dtdx = 2 นว/วนาท, dt

dy = –1 นว/วนาท,

dtdh = 3 นว/วนาท x = 30 นว, y = 50 นว, h = 10 นว ... (1)

จะไดวา A = 21(x + y)h

เพราะวา A เปนฟงกชนของสามตวแปรคอ x, y และ h

โดยท x, y และ h เปนฟงกชนของ t

เพราะฉะนน A ยอมเปนฟงกชนของ t จากกฎลกโซ จะไดวา

dtdA =

xA∂∂

dtdx +

yA∂∂

dtdy

+ hA∂∂

dtdh

= 2h

dtdx + 2

hdtdy

+ (2

yx +)

dtdh

เพราะฉะนน จาก (1) จะไดวา

dtdA =

210(2) +

210(–1) + (

25030 + )(3) = 125

เพราะฉะนน พนทของรปสเหลยมคางหมกาลงเพมขนดวยอตรา

125 ตารางนวตอวนาท

บทท 5.



79

5.5 อนพนธยอยอนดบสง

ให f เปนฟงกชนของสองตวแปรคอ x และ y

เราจะเรยกอนพนธยอย xf∂∂ และ

yf∂∂ วา

อนพนธยอยอนดบทหนงของ f

เพราะวาทง xf∂∂ และ

yf∂∂ ตางกเปนฟงกชนของสองตวแปรคอ x

และ y เชนกน

เพราะฉะนน เราสามารถพจารณาอนพนธยอยของ xf∂∂ และ

yf∂∂

ตอไปไดอก และเราจะเรยกอนพนธยอยของทงสองฟงกชนวา

อนพนธยอยอนดบทสองของ f

ซงมอย 4 แบบ คอ

x∂∂ (

xf∂∂ ),

y∂∂ (

xf∂∂ ),

x∂∂ (

yf∂∂ ) และ

y∂∂ (

yf∂∂ )

และเราเขยนแทนอนพนธยอยอนดบทสองเหลานดวย

สญลกษณ ดงน

1. x∂∂ (

xf∂∂ ) เขยนแทนดวย

2

2

xf

∂∂ , xxf , 11f หรอ 11D f

2. y∂∂ (

xf∂∂ ) เขยนแทนดวย

xyf2

∂∂∂ , xyf , 12f หรอ 12D f

3. x∂∂ (

yf∂∂ ) เขยนแทนดวย

yxf2

∂∂∂ , yxf , 21f หรอ 21D f

4. y∂∂ (

yf∂∂ ) เขยนแทนดวย

2

2

yf

∂∂ , yyf , 22f หรอ 22D f

บทท 5.



80

ตวอยาง 5.5.1 จงหาอนพนธยอยอนดบทสองของ

f(x, y) = y xye + 3x 2y

วธทา xf∂∂ = 2y xye + 3 2x 2y และ

yf∂∂ = xy xye + xye + 2 3x y

2

2

xf

∂∂ = x∂

∂ ( xf∂∂ )

= x∂∂ ( 2y xye + 3 2x 2y )

= 3y xye + 6x 2y

xyf2

∂∂∂ = y∂

∂ ( xf∂∂ )

= y∂∂ ( 2y xye + 3 2x 2y )

= ( 2y xye x + xye 2y) + 6 2x y

= x 2y xye + 2y xye + 6 2x y

yxf2

∂∂∂ = x∂

∂ ( yf∂∂ )

= x∂∂ (xy xye + xye + 2 3x y)

= y(x xye y + xye ) + xye y + 6 2x y

= x 2y xye + 2y xye + 6 2x y

2

2

yf

∂∂ = y∂

∂ ( yf∂∂ )

= y∂∂ (xy xye + xye + 2 3x y)

= x(y xye x + xye ) + xye x + 2 3x

= 2x y xye + 2x xye + 2 3x

บทท 5.



81

ตวอยาง 5.5.2 ให f(x, y) = 3x 2y – 2x sin y จงหา xxyf

วธทา xf = 3 2x 2y - 2x sin y

และ xxf = x∂∂ (3 2x 2y - 2x sin y)

= 6x 2y - 2 sin y

เพราะฉะนน xxyf = y∂∂ (6x 2y - 2 sin y)

= 12xy – 2 cos y

บทท 5.



82

ตวอยาง 5.5.3 f(x, y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+−

)0 ,0()y ,x( 0

)0 ,0()y ,x( yxxyyx 22

33

เมอ

เมอ

จงหาคาของ 12D f(0, 0) และ 21D f(0, 0)

วธทา การหา 12D f(0, 0)

12D f(0, 0) = 2D ( 1D f)(0, 0)

= 0k

lim→ k

)0,0(fD)k,0(fD 11 − ถาลมตมคา ... (1)

จากตวอยาง 5.3.5 จะได 1D f(0, 0) = 0 และ 2D f(0, 0) = 0

การหา 1D f(0, k) เมอ k ≠ 0 และ 2D f(h, 0) เมอ h ≠ 0

เมอ (x, y) ≠ (0, 0)

เพราะวา 1D f(x, y) = x∂∂ ( 22

33

yxxyyx

+

−)

= 222

333222

)yx()x2)(xyyx()yyx3)(yx(

+

−−−+

= 222

5324

)yx(yyx4yx

+

−+

เพราะฉะนน ถา k ≠ 0 แลว 1D f(0, k) = 4

5

kk− = –k


0k

lim→ k

)0,0(fD)k ,0(fD 11 − =

0klim→ k

0k −− = –1

เพราะฉะนน จาก (1) จะไดวา 12D f(0, 0) = –1

บทท 5.



83

การหา 21D f(0, 0)

21D f(0, 0) = 1D ( 2D f)(0, 0)

= 0h

lim→ h

)0,0(fD)0,h(fD 22 − ถาลมตมคา ... (2)

จากตวอยาง 5.3.5 จะได 1D f(0, 0) = 0 และ 2D f(0, 0) = 0

การหา 2D f(h, 0) เมอ h ≠ 0


2D f(x, y) = y∂∂ ( 22

33

yxxyyx

+

−)

= 222

332322

)yx()y2)(xyyx()xy3x)(yx(

+

−−−+

= 222

4235

)yx(xyyx4x

+

−−

และ ถา h ≠ 0 แลว 2D f(h, 0) = 45

hh = h


0h

lim→ h

)0 ,0(fD)0 ,h(fD 22 − =

0hlim→ h

0h − = 1

เพราะฉะนน จาก (2) จะไดวา 21D f(0, 0) = 1

บทท 5.



84

ขอสงเกต จากตวอยาง 5.5.1

เราไดวา xyf2

∂∂∂ = yx

f2

∂∂∂

และจากตวอยาง 5.5.3 เราไดวา

12D f(0, 0) ≠ 21D f(0, 0)

ทาใหเราทราบวา

อนพนธยอย xyf และ yxf อาจจะเทากนหรอไมเทากนกได

ซงการเทากนหรอไมเทากนนไมใชเรองบงเอญ

แตเปนไปตามขอความจรงทกลาววา

ถา f เปนฟงกชนของสองตวแปรคอ x และ y

โดยท xf , yf และ xyf

มความตอเนองบนแผนกลมเปด B( 0x , 0y )

แลว yxf ( 0x , 0y ) มคา และเทากบ xyf ( 0x , 0y )

บทท 5.



85

ตวอยาง 5.5.4 กาหนดให z = f(x, y), x = x(r, θ)

และ y = y(r, θ) จงหา 2

2

rz

∂∂ และ r

z2

∂θ∂∂

วธทา จากกฎลกโซ จะไดวา

rz∂∂ = x

f∂∂

rx∂∂ + y

f∂∂

ry∂∂

เพราะวา xf∂∂ และ y

f∂∂ เปนฟงกชนของ x และ y

โดยท x = x(r, θ) และ y = y(r, θ)

เพราะฉะนน เราใชกฎลกโซในการหา 2

2

rz

∂∂ และ r

z2

∂θ∂∂ ไดดงน

22

rz

∂∂ = r∂

∂ ( rz∂∂ )

= r∂∂ ( x

f∂∂

rx∂∂ + y

f∂∂

ry∂∂

)

= r∂∂ ( x

f∂∂

rx∂∂ ) + r∂

∂ ( yf∂∂

ry∂∂

)

= xf∂∂

r∂∂ ( r

x∂∂ ) + r

x∂∂

r∂∂ ( x

f∂∂ ) + y

f∂∂

r∂∂ ( r

y∂∂

) + ry∂∂

r∂∂ ( y

f∂∂ )

= xf∂∂

2

2

rx

∂∂ + r

x∂∂ [ x∂

∂ ( xf∂∂ ) r

x∂∂ + y∂

∂ ( xf∂∂ ) r

y∂∂

]

+ yf∂∂

2

2

ry

∂

∂ + r

y∂∂

[ x∂∂ ( y

f∂∂ ) r

x∂∂ + y∂

∂ ( yf∂∂ ) r

y∂∂

]

= xf∂∂

2

2

rx

∂∂ + 2

2

xf

∂∂ ( r

x∂∂ )2 + xy

f2

∂∂∂

rx∂∂

ry∂∂

+ yf∂∂

2

2

ry

∂

∂ + yx

f2

∂∂∂

rx∂∂

ry∂∂

+ 22

yf

∂∂ ( r

y∂∂

)2

บทท 5.



86

rz2

∂θ∂∂ =

θ∂∂ ( r

z∂∂ )

= θ∂∂ ( x

f∂∂

rx∂∂ + y

f∂∂

ry∂∂

)

= θ∂∂ ( x

f∂∂

rx∂∂ ) +

θ∂∂ ( y

f∂∂

ry∂∂

)

= xf∂∂

θ∂∂ ( r

x∂∂ ) + r

x∂∂

θ∂∂ ( x

f∂∂ ) + y

f∂∂

θ∂∂ ( r

y∂∂

) + ry∂∂

θ∂∂ ( y

f∂∂ )

= xf∂∂

rx2

∂θ∂∂ + r

x∂∂ [ x∂

∂ ( xf∂∂ )

θ∂∂x + y∂

∂ ( xf∂∂ )

θ∂∂y

]

+ yf∂∂

ry2

∂θ∂∂

+ ry∂∂

[ x∂∂ ( y

f∂∂ )

θ∂∂x + y∂

∂ ( yf∂∂ )

θ∂∂y

]

= xf∂∂

rx2

∂θ∂∂ + 2

2

xf

∂∂

rx∂∂

θ∂∂x + xy

f2

∂∂∂

rx∂∂

θ∂∂y

+ yf∂∂

ry2

∂θ∂∂

+ yxf2

∂∂∂

θ∂∂x

ry∂∂

+ 22

yf

∂∂

ry∂∂

θ∂∂y

บทท 5.



87

ตวอยาง 5.5.5 กาหนดให w = f(x, y), x = 2u + 3v

และ y = uv จงหา vuw2

∂∂∂

วธทา จากกฎลกโซ vw∂∂ = x

f∂∂

vx∂∂ + y

f∂∂

vy∂∂

= 3 xf∂∂ + u y

f∂∂

vuw2

∂∂∂ = u∂

∂ ( vw∂∂ )

= u∂∂ (3 x

f∂∂ + u y

f∂∂ )

= 3 u∂∂ ( x

f∂∂ ) + u u∂

∂ ( yf∂∂ ) + y

f∂∂

= 3[ x∂∂ ( x

f∂∂ ) u

x∂∂ + y∂

∂ ( xf∂∂ ) u

y∂∂

]

+ u[ x∂∂ ( y

f∂∂ ) u

x∂∂ + y∂

∂ ( yf∂∂ ) u

y∂∂

] + yf∂∂

= 3[2 2

2

xf

∂∂ + v xy

f2

∂∂∂ ] + u[2 yx

f2

∂∂∂ + v 2

2

yf

∂∂ ] + y

f∂∂

= 6 22

xf

∂∂ + 3v xy

f2

∂∂∂ + 2u yx

f2

∂∂∂ + uv 2

2

yf

∂∂ + y

f∂∂

บทท 5.



88

หมายเหต สาหรบอนพนธยอยอนดบสงของฟงกชนของสามตว

แปร กสามารถใหนยามและเขยนสญลกษณแทนไดในทานอง

เดยวกนกบฟงกชนของสองตวแปร เชน

ถา f(x, y, z) = 2x cos y sin z

แลว xf = 2x cos y sin z

xyf = –2x sin y sin z

xyzf = –2x sin y cos z

บทท 5.



89

5.6 คาเชงอนพนธรวม

ให f เปนฟงกชนของสองตวแปร คอ x และ y

โดยท f มอนพนธทจด ( 0x , 0y ) จากบทนยาม 5.4.1

จะไดวา xf ( 0x , 0y ) และ yf ( 0x , 0y ) มคา

และจะมฟงกชน 1ε และ 2ε ททาให

f( 0x + Δx, 0y + Δy) - f( 0x , 0y )

= xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy


โดยท )0 ,0()y ,x(


และ )0 ,0()y ,x(


เราจะนยาม คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด ( 0x , 0y )

ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ df( 0x , 0y )

วาเปนฟงกชนทกาหนดโดย

df( 0x , 0y )(Δx, Δy)

= xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy ... (1)

โดยเราจะเรยก df( 0x , 0y )(Δx, Δy) วา

คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด ( 0x , 0y )

ซงคานวณคาท (Δx, Δy)

บทท 5.



90

และเพอความสะดวก เราอาจเขยนแทนคานดวย

สญลกษณ df( 0x , 0y ; Δx, Δy)

ถา f(x, y) = x

แลว

df(x, y ; Δx, Δy) = xf (x, y) Δx + yf (x, y) Δy

= (1)Δx + (0)Δy

= Δx

กลาวคอ df(x, y) เปนฟงกชนทมคาทจด (Δx, Δy) เปน Δx

เนองจาก f(x, y) = x

ดงนน เราอาจเขยนไดวา dx = Δx

ในทานองเดยวกน

ถา f(x, y) = y แลว dy = Δy

ดวยเหตนเราอาจเขยน

df( 0x , 0y )(Δx, Δy)

= xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy

ไดในรป

df( 0x , 0y ; dx, dy) = xf ( 0x , 0y )dx + yf ( 0x , 0y )dy

ซงถาพจารณาทจด (x, y) ใด ๆ

เรากจะเขยนสน ๆ ไดวา

df(x, y) = xf dx + yf dy

บทท 5.



91

ตวอยาง 5.6.1 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชนตอไปน

1. f(x, y) = 4 3x 2y + 3y

2. f(x, y) = 2x cos(xy)

วธทา

1. df(x, y) = xf dx + yf dy

= 12 2x 2y dx + (8 3x y + 3)dy

2. df(x, y)

= xf dx + yf dy

= ( 2x (–sin(xy)) y + (cos(xy)) 2x) dx

+ ( 2x (–sin(xy)) x) dy

= (2x cos(xy) – 2x y sin(xy)) dx – 3x sin(xy) dy

บทท 5.



92

การประมาณคาของฟงกชนดวยคาเชงอนพนธรวม

เนองจาก

f( 0x + Δx, 0y + Δy) – f( 0x , 0y )

= xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy


= df( 0x , 0y ; Δx, Δy)


โดยท )0 ,0()y ,x(


และ )0 ,0()y ,x(


ดงนน df( 0x , 0y ; Δx, Δy)

เปนคาประมาณทดของ f( 0x + Δx, 0y + Δy) – f( 0x , 0y )

เมอ || (Δx, Δy) – (0, 0) || มคานอย

บทท 5.



93

สตรของการประมาณคาของฟงกชน

f( 0x + Δx, 0y + Δy) – f( 0x , 0y )

≈ df( 0x , 0y ; Δx, Δy)

หรอ

f( 0x + Δx, 0y + Δy)

≈ f( 0x , 0y ) + df( 0x , 0y ; Δx, Δy)

หรอ

f( 0x + dx, 0y + dy)

≈ f( 0x , 0y ) + df( 0x , 0y ; dx, dy)

ซงถาพจารณาทจด (x, y) ใด ๆ จะเขยนสตรของการประมาณ

คาไดเปน

f(x + dx, y + dy) ≈ f(x, y) + df(x, y)

บทท 5.



94

ตวอยาง 5.6.2 จงใชคาเชงอนพนธรวม

หาคาประมาณของ 22 )98.3()04.3( +

วธทา ให f(x, y) = 22 yx +

จะไดวา df(x, y) = xf dx + yf dy

= 22 yx

x+

dx + 22 yx

y

+dy

จาก f(x + dx, y + dy) ≈ f(x, y) + df(x, y)

เลอก x = 3, dx = 3.04 – 3 = 0.04

และ y = 4, dy = 3.98 – 4 = –0.02

22 )98.3()04.3( +

= f(3.04, 3.98)

= f(3 + 0.04, 4 + (–0.02)

≈ f(3, 4) + df(3, 4 ; 0.04, –0.02)

= 22 43 + + 22 43

3+

(0.04) + 22 43

4+

(–0.02)

= 5 + 53 (0.04) – 5

4(0.02)

= 5.008

บทท 5.



95

ตวอยาง 5.6.3 จงหาปรมาตรโดยประมาณของกลองรปทรงส

เหลยมมมฉากทมฐานเปนรปสเหลยมจตรส ซงมดานยาวดานละ

8.005 เซนตเมตร และสง 9.996 เซนตเมตร

วธทา ให

V เปนปรมาตรของรปทรงสเหลยมมมฉาก

x เปนความยาวของดานของฐานซงเปนรปสเหลยมจตรส

y เปนความสงของกลอง

เพราะฉะนน V(x, y) = 2x y

การประมาณคา V(8.005, 9.996)

โดยใชคาเชงอนพนธรวม

เพราะวา V(x + dx, y + dy) ≈ V(x, y) + dV(x, y)

และ dV(x, y) = xV∂∂ dx +

yV∂∂ dy

= 2xydx + 2x dy

เลอก x = 8, dx = 8.005 – 8 = 0.005

และ y = 10, dy = 9.996 – 10 = –0.004

V(8.005, 9.996)

= V(8 + 0.005, 10 + (–0.004))

≈ V(8, 10) + dV(8, 10 ; 0.005, –0.004)

= ( 28 )(10) + 2(8)(10)(0.005) + 28 (–0.004)

= 640 + 0.8 – 0.256

= 640.544 ลกบาศกเซนตเมตร

บทท 5.



96

ตวอยาง 5.6.4 กรวยกลมใบหนง

วดรศมฐานได 12 เซนตเมตร และวดสวนสงได 10 เซนตเมตร

ถาการวดรศมมความผดพลาดไมเกน 0.03 เซนตเมตร

และการวดสวนสงมความผดพลาดไมเกน 0.01 เซนตเมตร

ในการคานวณปรมาตร จงหาคาประมาณของ

1. ขอบเขตของความผดพลาด

2. ขอบเขตของความผดพลาดสมพทธ

3. ขอบเขตของเปอรเซนตของความผดพลาด

วธทา ให V เปนปรมาตรของกรวยกลม

r เปนรศมของกรวยกลม

h เปนความสงของกรวยกลม

จากสตรเรขาคณต ม.ตน จะได V(r, h) = 31π 2r h

1. ขอบเขตของความผดพลาด

= | V(r + dr, h + dh) – V(r, h) | ประมาณไดดวย | dV(r, h) | จาก V(r, h) = 3

1π 2r h

จะได dV(r, h) = rV∂∂ dr + h

V∂∂ dh = 3

2πrh dr + 31π 2r dh

จากโจทย r = 12 เซนตเมตร, h = 10 เซนตเมตร,

| dr | ≤ 0.03 เซนตเมตร

และ | dh | ≤ 0.01 เซนตเมตร

บทท 5.



97

ดงนน ความผดพลาดในการคานวณปรมาตร

≈ | dV(r, h) | = | 3

2πrh dr + 31π 2r dh |

≤ 32πrh | dr | + 3

1π 2r | dh |

≤ 32π(12)(10)(0.03) + 3

1π(12)2(0.01)

= 2.88π


ขอบเขตของความผดพลาดในการคานวณปรมาตรมคา

เทากบ 2.88π ลกบาศกเซนตเมตรโดยประมาณ

2. ความผดพลาดสมพทธในการคานวณปรมาตร

≈ | V

dV | ≤ 10)12(

31

88.22π

π = 0.006

ดงนน ขอบเขตของความผดพลาดสมพทธ

ในการคานวณปรมาตรมคาเทากบ 0.006 โดยประมาณ

3. เปอรเซนตของความผดพลาดในการคานวณปรมาตร

≈ | V

dV | × 100 ≤ 0.006 × 100 = 0.6

นนคอ ขอบเขตของเปอรเซนตของความผดพลาดในการคานวณ

ปรมาตรมคาเทากบ 0.6% โดยประมาณ

บทท 5.



98

ตวอยาง 5.6.5 ในการวดความกวางและความยาวของกระดาษ

รปสเหลยมผนผาแผนหนง พบวาการวดความกวางมความผด

พลาดไมเกน 5% และการวดความยาวมความผดพลาดไมเกน

3% จงหาเปอรเซนตของความผดพลาดในการคานวณพนทของ

กระดาษแผนน

วธทา ให A เปนพนทของกระดาษรปสเหลยมผนผา

x เปนความกวางของกระดาษ

y เปนความยาวของกระดาษ

เพราะวา A(x, y) = xy

และ dA(x, y) = xA∂∂ dx +

yA∂∂ dy = y dx + x dy

ดงนน A

dA = xy

dy xdx y + =

xdx + y

dy

เพราะวา การวดความกวางมความผดพลาดไมเกน 5%

เพราะฉะนน | x

dx | ≤ 0.05

เพราะวา การวดความยาวมความผดพลาดไมเกน 3%

เพราะฉะนน | y

dy | ≤ 0.03

ดงนน | A

dA | = | x

dx + y

dy |

≤ | x

dx | + | y

dy |

≤ 0.05 + 0.03

= 0.08

บทท 5.



99

เพราะฉะนน เปอรเซนตของความผดพลาด

≈ | A

dA | × 100 ≤ 0.08 × 100 = 8

เปอรเซนตของความผดพลาดในการคานวณพนทมคาไมเกน

8% โดยประมาณ

บทท 5.



100

หมายเหต สาหรบฟงกชนของสามตวแปร

เราสามารถนยามคาเชงอนพนธรวมไดในทานองเดยวกน

กลาวคอ

คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด (x, y, z)

คอฟงกชน df(x, y, z) ซงกาหนดโดย

df(x, y, z ; dx, dy, dz)

= xf (x, y, z)dx + yf (x, y, z)dy + zf (x, y, z)dz


คาเชงอนพนธรวมของ

f(x, y, z) = 2y xze

คอ

df(x, y, z) = xf dx + yf dy + zf dz

= 2y z xze dx + 2y xze dy + x 2y xze dz

ในเรองของการประมาณคาของฟงกชนของสามตวแปร

พจารณาไดในทานองเดยวกนโดยเราจะได

สตรของการประมาณคาเปน

f(x + dx, y + dy, z + dz) ≈ f(x, y, z) + df(x, y, z)

Documents

cal2 118 59 3rd ch 05 06Jun32017 function n variablespioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301118/ch5_1in1.pdf · จะได้ z = 2x2 + 1 ซ่ึงเป็นสมการพาราโบลาบนระนาบ