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Corso di Idraulica dei Sistemi NaturaliCorso di Idraulica dei Sistemi Naturali
Fonti: - Appunti del corso di Idraulica Fluviale del Prof. Giovanni Seminara (Università di Genova)
IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Prof. Enrico FotiProf. Enrico Foti
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
PremessaPremessa
I processi di moto nei corsi d’acqua possono essere descritti attraverso modelli interpretativi caratterizzati da diversi gradi di complessità, a seconda del problema che si vuole affrontare.Esistono:-Modelli tridimensionali (es. moto in un’ansa fluviale)
-Modelli bidimensionali (es. propagazione della marea in un bacino confinato)
-Modelli unidimensionali (es. propagazione di una piena fluviale)-Modelli zero-dimensionali (es. riempimento/svuotamento di un serbatoio)
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Il modello unidimensionale: la correnteIl modello unidimensionale: la corrente
Nei corsi d’acqua, nei canali artificiali e nei canali lagunari, il campo di moto può essere descritto adottando il modello di corrente, individuando cioè una direzione prevalente del moto, che è in generale ad andamento curvilineo.
Definite quindi sezioni della corrente le intersezioni di essa con piani ortogonali alla linea coordinata x prescelta per rappresentare la direzione della corrente, si fa riferimento a grandezze dinamiche (velocità, quantità di moto, energia) mediate nel piano della sezione. Esse risultato funzioni delle sole coordinate spaziale x e temporale t.
x
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Il modello unidimensionale: la correnteIl modello unidimensionale: la corrente
Si noti che la scelta di x è in qualche misura arbitraria, non potendo essere in generale riferita all’assetto tridimensionale della corrente, parte del quale (es. superficie libera e fondo mobile) è a priori non noto.
Condizioni perché l’adozione dello schema di corrente sia giustificato:• le curvature della linea d’asse siano piccole (moti secondari modesti);• le variazioni spazio-temporali della forma della sezione siano sufficientemente lente (vincolo di quasi-unidirezionalità del moto).
Inoltre, adottando il modello unidimensionale si assume che:• la velocità verticale è più piccola di almeno un ordine di grandezza rispetto alla velocità orizzontale (vero nell’ipotesi di acque basse);• la velocità trasversale è un ordine di grandezza più piccola rispetto a quella nella direzione prevalente del moto;• la superficie libera è orizzontale nella direzione trasversale (ovvero si trascurano le variazioni trasversali del carico pieziometrico)
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Equazione di de Saint Venant (1871)Equazione di de Saint Venant (1871)
Sotto le citate ipotesi, si può derivare l’equazione unidimensionale che descrive il moto (=cost):
in cui:-U è la velocità media nella direzione del moto;- è l’area della sezione- è un coefficiente di forma- g è l’accelerazione di gravità- h è la profondità locale- B è il perimetro bagnato- b è la larghezza in supeficie
- è il valore medio della tensione tangenziale agente sul contorno bagnato
- è il valore medio della tensione tangenziale agente sulla superficie libera
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2 1
bBx
hgU
xU
tf
f0
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Equazione di continuitàEquazione di continuità
Il principio di conservazione della massa impone invece che (=cost)
in cui:- Q è la portata volumetrica che attraversa la sezione
0
x
Q
t
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie liberaCorrenti uniformi e stazionarie a superfie libera
Una corrente a superficie libera si dice in moto stazionario uniforme se è:• unidirezionale• se le sue caratteristiche risultano indipendenti dal tempo e dalla coordinata spaziale che individua la direzione di moto.
Condizioni necessarie per un assetto stazionario uniforme del moto sono:• alveo cilindrico• moto pienamente sviluppato (non si risente di condizioni al contorno di monte o di valle)• condizioni stazionarie alle sezioni di estremità
Nota: Se la pendenza è modesta le sezioni possono essere considerate verticali
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie liberaCorrenti uniformi e stazionarie a superfie libera
Nei moti stazionari uniformi, la linea piezomatrica risulta parallela al fondo e coincide con la linea del pelo libero.
Il carico totale è
Poiché la portata Q, e quindi la velocità U, è costante si può ricavare che la linea dei carichi totali è parallela al fondo e alla linea piezometrica
g
UhH
2
2
cost fidx
dHj tanfi
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di ChezyCorrenti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di Chezy
Nel caso di moto uniforme si ricava che gli sforzi tangenziali al fondo possono essere espressi come
in cui è il raggio idraulico, oppure utilizzando il coefficiente di conduttanza C
E quindi la velocità risulta
o nella forma originale proposta da Chezy
fif igR 0
BRi /
2
2
0 C
Uf
fiigRCU
fiiRU
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di ChezyCorrenti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di Chezy
Il coefficiente di conduttanza C , o il coefficiente di Chezy , dipende dalla distribuzione di velocità all’interno della sezione
Per esempio, per sezioni di forma regolare, a partire da un profilo logaritimico di velocità, Marchi (1961) ha ricavato
con • numero di Reynolds della corrente
• f coefficiente di forma
• scabrezza relativa
fRfR
CC
ie 3.13ln5.2
UR
R ie
4
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di ChezyCorrenti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di Chezy
In condizioni di moto puramente turbolento, nella pratica professionale si usano le seguenti formule empiriche:
• Gauckler (1868)- Strickler (1923)
•Bazin (1865)
•Ganguillet e Kutter (1869)
6/1is Rk
i
B
R
1
87
i
k
R
m
1
100
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di ChezyCorrenti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di Chezy
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei
naturalinaturaliSpesso si deve affrontare lo studio di alvei in cui le sezioni trasversali hanno forma irregolare, costituite da porzioni caratterizzate da profondità e scabrezze diverse.Spesso si deve per esempio distinguere tra un letto di magra e aree golenali.
Un semplice approccio, in questi casi, è quello di suddividere la sezione in porzioni distinte caratterizzate da velocità medie diverse ma pendenza del fondo costante.Si noti che il raggio idraulico di ciascuna porzione è determinato dalla porzione di contorno solido in essa presente.Alle diverse porzioni si applicano le considerazioni sul moto uniforme, per esempio la portata complessiva si sommano i contributi delle singole porzioni.
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Lo studio delle correnti stazionarie a superficie libera, fondato sul modello 1-D, è finalizzato principalmente al tracciamento dei cosiddetti profili di rigurgito, cioè dell’andamento della superficie libera in tronchi quasi-cilindrici del corso d’acqua.
Si definisce carico specifico rispetto al fondo alveo
Nel caso di portata costante, esiste un tirante critico tale che l’energia sia minima, ovvero
Per determinarlo deve essere soddisfatta la relazione
2
22
22
g
QY
g
UYE
0cost
QdY
dE
g
Q
bYcY
23
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Nel caso di sezione rettangolare, l’altezza critica è
Nel caso di carico costante, si ha invece:
Si evince che esiste un massimo della portata in corrispondenza della profondità critica:
3/1
2
2
gb
QYc
YEg
Q 2
Eb
YcYY
c
2
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
YEg
Q 2
2
2
2
g
QYE
Portata Energia
Portata
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Definita la velocità critica come
o in termini della profondità media Ym =/b
- U>Uc -> corrente veloce - U<Uc -> corrente lenta
cc YYYY
c b
gQU
cYYmc Yg
U
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Definito il numero di Froude come
Segue che a meno del coefficiente correttivo , si ha F>1 per le correnti veloci e F<1 per le correnti lente.
Si noti che assegnata la portata Q e le caratteristiche dell’alveo, a ogni pendenza del fondo if è associata una profondità di moto uniforme Yu e una profondità critica Yc..Esiste una pendenza critica tale che Yu e Yc coincidono.
Gli alvei con pendenza inferiore a quella critica vengono detti a debole pendenza o fluviali mentre quelli con pendenza maggiore di quella critica si dicono a forte pendenza o torrentizi. Le correnti uniformi sono veloci negli alvei a forte pendenza e lente negli alvei a debole pendenza.
Si noti che tale condizione dipende dalla portata assegnata.
mgY
UF
IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici
Nel caso di alvei cilindrici e moto stazionario, le equazioni di continutià e del moto diventano
In particolare, per come è stato assunto il sistema di riferimento h=zf
+Y per cui l’equazione del moto diventa
con j pendenza dei carichi totali, nell’ipotesi che il moto sia una successione di moti uniformi per cui si può scrivere
i
f
gRg
Uh
dx
d
U
0
2
2
cost
jdx
dH
g
UYz
dx
df
2
2
iRgC
Uj
2
2
IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Nel caso di alvei cilindrici a pendenza costante l’equazione del moto diventa
Ovvero
che è l’equazione dei profili stazionari (di rigurgito) in alvei cilindrici.
jidx
dEf
dYdE
ji
dx
dY f
IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
L’equazione
Presenta alcuni casi limite:
- se Y Yu allora j if e il profilo tende a disporsi parallelo al fondo;
- se Y Yc allora jdE/dY0 e il profilo tende a disporsi ortogonlae al fondo;
- se Y h allora j 0 e E Y (dE/dY1) e il profilo tende a un asintoto orizzontale.
dYdE
ji
dx
dY f
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Alvei a debole pendenza
D1
D2
D3
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Alvei a forte pendenzaF1
F2
F3
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Alvei a pendenza critica
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Alvei orizzontali o acclivi
Non hanno profondità di moto uniforme: questa tende ad assumere valori infinitamente grandi al tendere di if a zero.
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Il risalto idraulico
Il passaggio da corrente veloce a corrente lenta avviene attraverso la formazione di un risalto idraulico.hydraulic jump
Fr > 1Fr < 1
Siano Yu, Uu, Yd e Ud i valori di profondità e velocità a monte e a valle del risalto rispettivamente.Si consideri l’equazione di bilancio della quantità di moto del volume
di controllo (assunto il fondo orizzontale).
control volume
HuHdYu Yd
U
F>1F<1
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Il risalto idraulico
Assunto il canale rettangolare, di larghezza B, il volume di controllo si assume abbastanza piccolo da trascurare gli effetti degli sforzi tangenziali al fondo. Il flusso della quantità di moto (spinta dinamica) e la spinta idrostatica possono essere espressi come
La conservazione del flusso di quantità di moto nel caso di moto permanente implica che
control volume
HuHdYu Yd
2
1 22 B ρgYSYBUS ID
0 SSSSvalleImonteIvalleDmonteD
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Il risalto idraulico
Da tale relazione si ricava
Poiché la portata è Q=UYB=qwB in cui qw è la portata per unità di larghezza.Indicando = Yd/Yu e Fu
2 = Uu2/(gYu) = qw
2/(gYu3), si può scrivere
Le cui uniche radici fisicamente basate sono =1 (stato critico non si realizza il risalto) e la relazione delle altezze coniugate del risalto idraulico
02
1
2
1 2222 BρgYBρgYBYUBYU dudduu
0)2)(1(2)21( 22223 uuu FFF
28112
1u
u
d FY
Y
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Il risalto idraulico
Considerando l’equazione di continuità qw=UY e il numero di Froude F = U2/(gY) = qw
2/(gY3), la relazione delle altezze coniugate può essere utilizzata per trovare le velocità (coniugate) a monte e a valle del risalto, nonchè i rispettivi numeri di Froude.
2/32811
2
1
u
u
d FF
F
28112
1u
u
d FY
Y
12811
2
1
u
u
d FU
U
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Fru
Hd/H
u, F
r d
Hd/HuFrd
Yd/Y
u, F d
FuIl risalto idraulico quindi induce un aumento della profondità e una diminuzione della velocità quando il moto da supercritico (Fu>1) diventa subcritico (Fu<1)
Yd/Yu
Fd
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Condizioni al contorno per il tracciamento dei profili
Il tracciamento dei profili di rigurgito richiede che all’equazione del moto vengano associate opportune condizioni al contorno. Poiché si tratta di un’equazione del I ordine, una sola condizione è sufficiente a determinare la soluzione.
Lo stato veloce di una corrente uniforme rende il profilo condizionabile solo da monte, mentre lo stato lento di una corrente rende il profilo condizionabile solo da valle.
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Soluzione numerica dell’equazione dei profili di rigurgito
L’equazione dei profili di rigurgito
può essere risolta nota una condizione al contorno a monte (correnti veloci) o a valle (correnti lente). Facendo riferimento a un sistema di riferimento orizzontale, si può usare la profondità h invece di quella locale Y. Inoltre notando che tutte le grandezze al secondo membro sono funzioni di x e h , l’equazione del profilo di rigurgito può essere scritta in generale come posssono essere
),( hxfdx
dh
dYdE
ji
dx
dY f
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IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superficie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superficie libera: il caso degli alvei naturali
Soluzione numerica dell’equazione dei profili di rigurgito
La soluzione numerica è ricavata passo passo in ogni sezione a partire da un assegnato valore della quota della superficie libera (condizione al contorno). Gli schemi più utilizzati sono il metodo di Eulero e più frequentemente il metodo di Eulero-Cauchy (standard-step method).Nel caso subcritico l’integrazione procede da valle verso monte, dunque adottando lo schema di Eulero (metodo esplicito)
ovvero, secondo lo schema di Eulero-Cauchy (metodo implicito)
E’ importante porre correttamente le condizioni al contorno, al fine di avere la corretta e stabile integrazione del profilo. Attenzione: in alvei a forte pendenza la soluzione risulta fortemente condizionata dalla scelta di xn, che deve essere sufficientemente piccolo!
111 , nnnnn hxfxhh
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