APPUNTI

di

IDRODINAMICA

M.Calvetti e E.Iacopini

per Il Corso di FLUIDI e TERMODINAMICA

Dipartimento di Fisica, Universita di Firenze

May 8, 2004

Abstract

1

0.1 Programma del corso

CORSO DI LAUREA IN FISICA - UNIVERSITA’ DI FIRENZEAnno accademico 2003-2004Programma del corso di DINAMICA dei FLUIDI e TERMODINAMICA.60 Ore, con esercitazioni.Prof. Mario CalvettiDinamica dei Fluidi

Principio di Pascal. Legge di Stevino. Legge di Pascal. Legge diArchimede. Descrizione del moto dei fluidi. Operatori gradiente, diver-genza e rotazione. Equazione di continuita.Equazioni del moto di Eulero.Teorema di Leonardo. Teorema di Bernoulli. Moto di liquidi reali. Vis-cosita e tensione superficiale. Legge di Poiseulle

TermodinamicaDefinizione di gas perfetto. Calcolo della pressione sulle pareti di una

scatola con il modello microscopico. La costante di Boltzman e l’ energiacinetica media delle molecole di un gas. Derivazione dell’equazione di statodi un gas perfetto (legge di Boyle). Principio zero della Termodinamica edequilibrio termodinamico. Grandezze termodinamiche. Variabili di stato.Definizione di Energia Interna, calore assorbito e lavoro compiuto dal sis-tema. Equivalente meccanico del calore. La caloria. Primo Principio dellaTermodinamica. Le scale termometriche Celsius e Fahrenheit. Il piano diClapeyron e le trasformazioni termodinamiche. Trasformazioni di un gasperfetto. Trasformazioni Isoterme, Isobare, Isocore, Adiabatiche per ungas perfetto. Calore specifico a pressione e a volume costante per un gasperfetto. Il termometro a gas e la temperatura assoluta. Trasformazioni re-versibili ed irreversibili. Il secondo Principio della Termodinamica. Postu-lato di Clausius , postulato di Kelvin e loro equivalenza. Il ciclo di Carnot.Rendimento delle macchine termiche. Rendimento del ciclo di Carnot edei cicli irreversibili. Definizione di Entropia. Entropia come variabile distato. Il secondo principio della termodinamica formulato tramite le pro-prieta dell’entropia. Relazione tra l’Entropia e la probabilita di Stati inequilibrio. Calcolo della variazione di Entropia nell’espansione di una gasperfetto con metodi termodinamici (espansione Isoterma) e metodi statis-tici. Funzioni termodinamiche. Energia interna, Entalpia, Energia liberadi Helmoltz e di Gibbs. Sistemi statistici in equilibrio. Discretizzazionedello spazio delle fasi in posizione ed impulso. Stati di energia possibilie calcolo della popolazione di equilibrio con la distribuzione multinomi-ale. Funzione di ripartizione. Definizione di Temperatura assoluta in gradiKelvin. Legge di distribuzione di Maxwell Boltzman per un sistema inequilibrio statistico. Relazione tra temperatura assoluta e l’energia cinet-ica media. Funzione di distribuzione delle velocite0 di Maxwell per un gasperfetto.

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Testi consigliati per il programma di Termodinamica classica:

• C.Mencuccini V.Silvestrini: Meccanica e Termodinamica-LIGUORIEDITORE

• S.Rosati : Meccanica e Termodinamica-

• P.Mazzoldi M.Nigro C.Voci : Elementi di Fisica-Meccanica Termodinamica-EdiSES

• Per la dinamica dei fluidi e la meccanica statistica sono sufficientiqueste dispense

• E.Fermi: Termodinamica-Boringhieri

• F.Reif: La fisica di Berkeley-Fisica Statistica 5-ZANICHELLI BOLOGNA

• M.Alonso E.J.Finn: Fundamental University Physics-Quantum andstatistical physics III.ADDISON WESLEY

L’esame consiste in una prova orale durante la quale si discutono gliargomenti del programma e si svolgono alcuni esercizi numerici.

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Contents

0.1 Programma del corso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Idrostatica 5

1.1 introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 La pressione nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 La Legge di Boyle dei gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 La pressione nei liquidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Legge di Stevino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Il barometro di Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Paradossi idrostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 I vasi comunicanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9 Il Principio di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.10 Elementi utili di algebra vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11 Operatori di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.12 Il Teorema di GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.13 Il Teorema di STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.14 Esercizi di calcolo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Idrodinamica 42

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 L’equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Equazioni del moto e la legge di Stevino . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Le equazioni del moto di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Il teorema di Leonardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.6 Il teorema di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.7 Il teorema di Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.8 Il Tubo di Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.9 Il moto di liquidi reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10 Moto di un liquido viscoso in una condotta . . . . . . . . . . . . . 602.11 Equilibrio di un liquido in rotazione uniforme . . . . . . . . . . . 612.12 Effetti della rotazione terrestre sulla superficie degli oceani . . . . 622.13 Legge di Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

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1 Idrostatica

1.1 introduzione

Iniziamo definendo che cosa si intende per gas perfetto e liquido perfetto. Comesappiamo dalla Fisica elementare, le differenze essenziali che ci sono fra corpisolidi, liquidi e gassosi sono che

• i corpi solidi possiedono volume e forma propria;

• i corpi liquidi hanno volume proprio (i.e. sono incomprimibili) ma possonovariare di forma;

• i corpi gassosi non hanno volume e forma propri: occupano qualunquevolume posto a loro disposizione, di qualunque forma esso sia.

Pur esistendo corpi che non appartengono a nessuna delle categorie sopra elen-cate (colloidi), e pur esistendo corpi di difficile collocazione (vetri, lave, ecc, laclassificazione data e molto generale.

Noi ci occuperemo delle proprieta dei gas e dei liquidi perfetti (come sappiamole cose perfette non esistono . . . ).

Il gas perfetto.Si definisce gas perfetto un gas costituito da molecole che interagiscono per

urto e non attraverso forze di potenziale a lunga distanza. Negli urti le molecole siscambiano energia ed il gas raggiunge l’equilibrio termodinamico nel quale tuttele molecole hanno la stessa funzione di distribuzione dell’energia. Una buonaapprossimazione dei gas perfetti sono i gas rarefatti.

Il liquido perfetto.Si tratta di un liquido la cui densita non puo essere modificata in alcun modo

(cioe incomprimibile) tale da non possedere attrito interno, ovvero tale che leforze interne non si oppongano allo scorrimento di uno strato di liquido su unaltro. Come conseguenza di questa seconda proprieta, il lavoro compiuto contro leforze interne del liquido, pur cambiandone la forma, e sempre nullo ! L’acqua, labenzina, l’alcool possono essere visti come una buona approssimazione di liquidoperfetto, mentre l’olio, il miele, per esempio, sono liquidi molto viscosi, cioe conforte attrito interno e dunque lontani dall’approssimazione di liquido perfetto.

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1.2 La pressione nei gas

La pressione che un gas esercita contro il recipiente che lo contiene e dovuta ainumerosi urti che le molecole del gas fanno contro le sue pareti.

La pressione P , definita come la forza per unita di superficie, si calcolanell’ipotesi di urti elastici (vedi Fig.1).

Figure 1: La pressione del gas e provocata dall’urto delle molecole contro le pareti

Sia ρ la densita numerica, cioe il numero di molecole per unita di volume, mla massa delle singole molecole, supposte in questo esempio tutte uguali, vx lacomponente della velocita molecolare perpendicolare alla parete considerata.

Nel caso di urto elastico, la componente dell’impulso parallela alla parete ri-mane inalterata mentre, a causa della forza che la parete esercita sulla molecola, lacomponente perpendicolare cambia di segno. Per il principio di azione e reazionela stessa forza viene esercitata dalla molecola sulla parete.

La durata dell’urto della singola molecola, contro la parete, e molto piccolo(provate a calcolarlo per esercizio alla fine del capitolo), ma dato il grande numerodi urti per unita di tempo, e di superficie, la forza risultante e praticamentecontinua.

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Consideriamo un elemento di superficie di parete dS per calcolare la forza dFesercitata da questo elemento di superficie sulle molecole del gas.

I parametri importanti sono:

• la densita numerica del gas ρ, cioe il numero di atomi per unita di volume

• il numero di urti nel tempo dt sulla superficie dS; dato da

1

2ρ dSvx dt

dove il fattore 12

tiene conto del fatto che solo la meta delle molecole simuove verso la parete, e quindi la urta se abbastanza vicine, mentre l’altrameta si allontana.

• il modulo della variazione d’impulso (o quantita di moto) in ogni urto

∆p = 2mvx

La variazione totale della quantita di moto, nel tempo dt, si ottiene moltipli-cando la variazione d’impulso di un singolo urto per il numero di urti nel tempoconsiderato; questa deve essere uguale, per la legge di Newton, al prodotto dellaforza media dF esercitata dalla parete sul gas per il tempo dt:

dF dt = ρ dS dt mvx2

La pressione P , la forza esercitata sull’unita di superficie, e quindi:

P =dF

dS= ρmvx

2

Ora, come sappiamo,l’energia cinetica di una molecola e data da

1

2m~v2 =

1

2m(vx

2 + vy2 + vz

2)

e cambia continuamente a causa degli urti, tuttavia tutte le molecole hanno lastessa energia cinetica media < Ecin > perche il gas e in equilibrio termodinamico:

< Ecin >=1

2m(< vx

2 > + < vy2 > + < vz

2 >)

Se tutte le direzioni della velocita sono egualmente probabili, che e veroall’equilibrio, allora si ha:

< vx2 >=< vy

2 >=< vz2 >

< Ecin >=3

2mvx

2

7

P =2

3ρ < Ecin >

Come si vede la pressione sulla superficie e proporzionale alla densita numericadel gas vicino alla parete ed all’energia cinetica media. Questa e la legge dei gasperfetti in forma microscopica (locale).

Si noti che, a causa della conservazione della componente dell’impulso paral-lela alla parete, la forza di pressione risulta perpendicolare alla parete stessa.

1.3 La Legge di Boyle dei gas perfetti

Consideriamo ora un gas di Ntot molecole (Ntot e molto grande, come vedremo)contenuto in un recipiente chiuso di volume V ed all’equilibrio termodinamico,per cui la densita numerica del gas, la pressione e l’energia cinetica media sonole stesse in ogni punto del volume considerato.

In questo caso:

P =2

3

Ntot

V< Ecin >

PV =2

3Ntot < Ecin >

Si definisce una mole di gas una quantita in grammi pari al peso molecolare.Come osservato da Boyle, contemporaneo di Galileo, per i gas in condizioni diequilibrio ed a temperatura data, il prodotto pV e costante.

Piu precisamente la legge dei gas di Boyle, osservata sperimentalmente, diceche per un gas perfetto all’equilibrio vale la relazione:

PV = nRT

dove

• n numero di moli.

Una mole contiene un numero di molecole pari al numero di AvogadroNA = 6.022 × 1023mol−1.

• R costante universale dei gas = 8.3JK−1mol−1

• T temperatura in gradi Kelvin (TKelvin = tCentigradi + 273.15)

Si ha quindi che:

PV =2

3Ntot < Ecin > = n R T

dalla quale

< Ecin > =3

2

n

Ntot

R T =3

2

n

nNAR T =

3

2k T

dove k = 1.38 × 10−23JK−1 e la costante di Boltzmann.

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La costante dei gas, il numero di Avogadro e la costante di Boltzmann sonolegate dalla relazione R = kNA

Abbiamo quindi visto come le proprieta macroscopiche del gas, i suoi parametridi stato come la temperatura, il volume e la pressione, siano legate alle loro pro-prieta microscopiche, come la densita numerica e l’energia cinetica media dellemolecole. La connessione tra le proprieta macroscopiche e quelle microscopiche,descritta dalla meccanica statistica, e uno dei grandi successi della fisica dell’800.Approfondiremo in seguito alcuni aspetti della meccanica statistica legati ai prin-cipi fondamentali della termodinamica.

1.4 La pressione nei liquidi

Un liquido esercita su tutte le superfici con le quali e a contatto delle forze, detteforze di pressione. Consideriamo, per esempio, cosa accade a dell’acqua in unrecipiente (vedi Fig.2)

Figure 2: Liquidi e recipienti

L’acqua esercita delle forze sulle pareti le quali reagiscono con forze ugualied opposte, realizzando cosı una situazione di equilibrio. Che sia proprio cosılo capiamo immediatamente praticando un foro nella parete del recipiente. Inquella zona, la parete non puo opporre alcuna forza contro l’acqua per cui essanon e piu in equilibrio e fuoriesce dal recipiente!

In assenza di attrito interno (liquido perfetto), ed in uno stato di quiete, laforza dF esercitata dal liquido su una superficie infinitesima dS ha una intensitaproporzionale a dS , ed e diretta secondo la normale a dS.

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La costante di proporzionalita P fra l’ intensita della forza e la superficie sucui agisce viene chiamata pressione

d~F = P d~S

e dipende solamente dal punto dove si trova l’ elemento di superficie d~S , non dacome essa e orientata.

Questo fatto va sotto il nome di PRINCIPIO DI PASCAL (Blaise Pascal,1623 − 1662). (vedi Fig.3)

Figure 3: Principio di Pascal. In un liquido perfetto la forza di pressione e sempreperpendicolare alla superficie considerata.

La validita del principio di Pascal risiede nel fatto che in liquido perfetto glistrati di liquido si muovono tra di loro senza attrito.

In questo caso il liquido puo solo esercitare una forza perpendicolare allasuperfice perche parallelamente non c’e attrito.

Consideriamo il prisma retto (vedi Fig.4) di dimensioni infinitesime dx, dy edz, posto in un punto interno al volume occupato dal fluido in quiete.

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Se il liquido contenuto nel prisma e in equilibrio, la somma vettoriale delleforze esterne che agiscono su di esso deve essere nulla, cioe la somma algebrica diciascuna delle tre componenti delle forze che agiscono sulle superfici deve esserenulla.

Figure 4: La pressione e la stessa in ogni direzione. La risultante delle forzeesterne e nulla.

Calcoliamo per esempio la risultante lungo l’ asse y.Poiche le forze sono ortogonali alle superfici, lungo questa direzione contribuis-

cono solo quelle che agiscono rispettivamente contro la faccia verticale, di lati dxe dz e contro la faccia obliqua. Indichiamo rispettivamente con Py e con P lepressioni che agiscono contro le due facce.

Per soddisfare la condizione di equilibrio deve essere

Py dxdz = P dx√

(dz)2 + (dy)2 sin θ

Si riconosce immediatamente che√

(dz)2 + (dy)2 sin θ = dz e quindi Py = P: le pressioni sulle due superfici considerate sono uguali.

Quanto detto vale qualunque sia l’orientamento del prisma retto, per cui si puodire che la pressione in un punto non dipende dall’ orientamento della superficie.

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Nel sistema di unita di misura internazionale (SI), dove la forza si misura innewton (N) e la superficie in metri quadri, la pressione si misura in N

m2

= pascal.Esistono altre unita di misura storiche ancora diffuse come, per esempio:

• 1 baria = 1dinecm2 unita di pressione nel sistema cgs = 0.1 pascal

• 1 bar = 106 barie

Le previsioni del tempo riportano pressioni atmosferiche dell’ordine d 1000mbar ovvero

1bar = 106barie = 105pascal (1000hectopascal) = 105 N

m2

circa

104Kgp

m2= 1

Kgp

cm2

Dimostriamo adesso che in un liquido in quiete in assenza di forze esterne, lapressione e ovunque la stessa.

Figure 5: In un liquido, in assenza di forze esterne come per esempio la gravita,e in condizioni di equilibrio, la pressione P e la stessa in ogni posizione

Consideriamo in un liquido (vedi Fig.5) due punti generici P1 e P2. Costru-iamo il cilindro avente come generatrice la congiungente i due punti e come basidue superfici circolari infinitesime dS1 e dS2 aventi lo stesso raggio dr, centraterispettivamente intorno a P1 e P2, ed ortogonali all’asse del cilindro.

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Applichiamo le solite considerazioni di statica al liquido contenuto nel cilindro:poiche esso e in quiete, la risultante delle forze esterne deve essere nulla.

Occupiamoci della componente della risultante delle forze lungo la direzionedefinita dalla generatrice del cilindro (orientata, per esempio, da P1 a P2).

Chiaramente la pressione sulla parete laterale del cilindro non ha componentelungo questa direzione, solo la pressione esercitata sulle due superfici di base puocontribuire a questa risultante, che vale

R = P1dS1 − P2dS2

Poiche R deve essere nulla, e le due superfici hanno la stessa area, la pressionenei due punti e la stessa.

Il funzionamento del TORCHIO IDRAULICO e basato su questo fatto. Essoconsente, per esempio, di sollevare oggetti molto pesanti, come per esempio unautomobile, ovvero di generare forze intense a partire da forze molto meno intense.(vedi Fig.6)

Figure 6: Il torchio idraulico. Essendo la pressione la stessa in ogni puntodel liquido, aumentando la superficie sulla quale il fluido preme si aumenta laforza totale esercitata dal liquido. Naturalmente lo spostamento della superficiediminuisce in modo che l’energia totale sia conservata.

Dato che la pressione nel liquido e la stessa, ( a parte effetti dovuti al campogravitazionale) usando la forza f sulla superficie s possiamo produrre sulla su-perficie S (con S >> s) una forza

F = PS = fS

s

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che puo essere anche molto maggiore di f pur di fare il rapporto delle superficitale che S

s>> 1.

E’ l’analogo della leva. Come nel caso di quest’ultima, durante il funziona-mento del torchio, se la forza f sposta il suo punto di applicazione di una quantitadx, allora, dato che il liquido e incompressibile e quindi il suo volume non puocambiare, la forza F sposta il suo punto di applicazione di dx s

S.

Il lavoro fatto dalla forza f e quello fatto dalla forza F risultano cosı uguali(principio dei lavori virtuali), l’energia meccanica si conserva.

Si puo infine, con un marchingegno (compressore) per certi versi simile altorchio, trasformare una pressione p in una pressione P ≫ p .

La macchina in questione e rappresentata nella Fig.7. Potete verificare che,anche in una macchina cosı fatta, l’energia meccanica si conserva.

Figure 7: Il compressore.

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1.5 Legge di Stevino

La legge di Stevino dice che, a causa della presenza della forza di gravita, lapressione in un liquido aumenta con la profondita perche gli strati inferiori, delliquido, devono sostenere quelli superiori.

Consideramo infatti il parallelepipedo di liquido rappresentato in Fig.8.

Figure 8: Legge di Stevino. La pressione aumenta con la profondita e sostiene ilpeso del liquido sovrastante in quiete.

Se la porzione di liquido e in equilibrio, la risultante delle forze agenti su diesso deve essere nulla.

La componente verticale della forza agente sulla superficie orizzontale piubassa deve essere uguale, all’equilibrio, alla forza di pressione agente sulla facciasuperiore P (z + dz) dx dy sommata al peso del liquido ρg dx dy dz compreso trale due superfici.

La forza di pressione sulla faccia inferiore P (z) dx dy e quindi tale che :

P (z + dz)dxdy + ρ(z)gdxdydz = P (z)dxdy

dalla qualeP (z + dz) − P (z) = −ρgdz

∂P

∂z= −ρ g

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che si integra immediatamente fornendo

P + ρgz = cost

dove ρ e la densita del liquido e g il modulo dell’accelerazione di gravita.Il valore di P + ρU , dove U e l’energia potenziale per unita di massa, non

cambia se lo valutiamo in punti diversi del liquido.Questo risultato e noto in generale come Legge di Stevino: essa afferma che in

un liquido in equilibrio idrostatico nel campo di gravita, la differenza di pressionefra due punti e data dalla pressione esercitata alla base da una colonna di quelliquido, avente altezza uguale al dislivello fra i due punti.

Se h e il dislivello ed S e l’area della base del cilindro, il peso della colonna diliquido vale

mg = ρghS

dunque la pressione alla base P = mg

S= ρgh , vedi Fig.9.

Figure 9: La pressione aumenta con la profondita e sostiene il peso del liquido inquiete.

Una dimostrazione sperimentale di questa legge fu suggerita da Blaise Pascalnel 1648, mostrando come si potesse provocare la rottura di una botte sem-plicemente collegandola ad un tubo verticale (di sezione qualsiasi) e riempiendoquest’ultimo d’acqua.

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Alla base del tubo e dunque sulla superficie interna della botte:

P = Patm + ρgh

dove h e l’altezza dell’acqua nel tubo (si trascura l’altezza della botte). Natu-ralmente, la pressione atmosferica e presente, anche all’esterno della botte, percui la quantita ρgh fornisce direttamente la differenza di pressione a cui e sot-tosposta la parete della botte. Basta allora, per esempio, che h = 10 m perchequesta differenza di pressione sia gia dell’ordine della pressione atmosferica, in-fatti ρgh = 1000 · 9.8 · 10 = 0.98 · 105 pascal.

Da questo risultato segue che la pressione a cui viene sottoposto un subacqueomentre scende nelle profondita marine, cresce di circa una atmosfera ogni 10 metridi discesa. Analogamente si deduce che non si puo aspirare acqua da un pozzoprofondo piu di 10 metri.

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1.6 Il barometro di Torricelli

Fu Evangelista Torricelli, allievo di Galileo, il primo ad utilizzare la legge diStevino per mettere in evidenza sia l’esistenza del vuoto che l’esistenza di unapressione esercitata dall’atmosfera presente intorno a noi.

Egli invento per questo uno strumento, oggi noto appunto come Barometrodi Torricelli, ovvero Barometro a mercurio. Si tratta semplicemente di un tubochiuso ad una estremita che, riempito preventivamente di mercurio, viene capo-volto in una bacinella ripiena dello stesso liquido, vedi Fig.10.

Figure 10: Il barometro di Torricelli. Il peso del Mercurio e sostenuto dallapressione atmosferica.

Il pelo libero del liquido nel tubo e la superficie libera nella bacinella nonstanno alla stessa altezza, la differenza di altezza h e dovuta al fatto che le duesuperfici libere del mercurio non si trovano alla stessa pressione.

Sulla superficie del mercurio nella bacinella si esercita infatti la pressioneatmosferica Pa , mentre il pelo libero nel tubo si trova a pressione nulla (nelvolume di tubo che si e vuotato del mercurio preesistente, la pressione residua e

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uguale alla tensione di vapore THg del mercurio a temperatura ambiente, moltoinferiore alla pressione atmosferica).

Dalla legge di Stevino, segue che

Pa − THg ≈ Pa ≈ ρHggh

dove ρHg e la densita del mercurio (13595.5Kg/m3), mentre g e l’accelerazionedi gravita.

Sperimentalmente risulta che, in condizioni normali e sul livello del mareh = 760 mm.

Una unita di misura di pressione legata direttamente a questa legge e il Torri-celli (Torr). Essa e definita come la pressione esercitata alla base da una colonnadi mercurio alta 1mm (per cui viene anche detta millimetro di mercurio, mmHg).Questa e l’unita attraverso la quale, per esempio, viene tutt’oggi espressa la pres-sione sanguigna.

Risulta

1Torr ≡ 1mmHg ≡ ρgh = 13.6103 Kgm−3×9.8 ms−2×10−3 m = 133.3 Nm−2 = 133.3 Pascal

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1.7 Paradossi idrostatici

Consideriamo i recipienti rappresentati nella figura riportata sotto (vedi Fig.11).

Figure 11: Legge di Stevino. La pressione aumenta con la profondita e sostieneil peso del liquido in quiete. Effetti sulle pareti dei recipienti.

Tutti hanno la stessa superficie di base S e sono riempiti di liquido fino allastessa altezza. Chiaramente non contengono la stessa massa di liquido eppure,per quanto ci assicura la legge di Stevino, la pressione che il liquido esercita sullebasi dei recipienti e la stessa nei tre casi.

Dunque la forza di pressione sulla base non puo coincidere necessariamentecon il peso del liquido, perche esso, nei tre casi e diverso !

D’altronde se dovessimo sostenere i recipienti, lo faremmo applicando alle lorobasi un forza uguale ed opposta al peso del liquido in essi contenuto (ammettiamo,per semplicita, di poter trascurare la massa del contenitore in confronto con quelladel liquido che contiene). Come si esce da questo apparente paradosso?

Occorre ricordare che le forze di pressione sono ortogonali alle superfici su cuiagiscono: e immediato notare che

• nel caso a), la pressione sulle superfici laterali non ha componente verticale,mentre le varie componenti orizzontali si elidono a vicenda;

• nel caso b) e c), la pressione sulle superfici laterali continua a produrre unaforza risultante sulle pareti che non ha componente orizzontale, ma, essendole superfici oblique, ha componente verticale.

E’ proprio questa componente verticale, che si origina sulle pareti laterali, chesommata algebricamente alla forza di pressione sul fondo, uguaglia il peso delliquido(!) qualunque sia la forma del recipiente!

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Per renderci conto quantitativamente che le cose stanno proprio cosı conside-riamo un recipiente qualsiasi riempito di un liquido (vedi Fig.12).

Figure 12: La pressione produce sul fondo del recipiente una forza uguale al pesototale del liquido.

Su ogni elemento di superficie d~S a contatto con il liquido, la colonna di liquidosovrastante, di altezza h, esercita una pressione che per la legge di Stevino vale:

P = ρgh

La forza risultante sulla superficie vale

d~F = P d~S

dove d~S e un vettore che ha per modulo l’area dS, per direzione quella dellanormale all’elemento di superficie considerato e come verso quello uscente dalvolume del liquido. Quest’ultima e la definizione di superficie orientata (vediFig.13).

Nel nostro problema siamo interessati alla componente verticale di d~F ,Introduciamo dunque il versore k = (0, 0, 1) dell’asse z.

Possiamo scrivere che la componente verticale di d~F nel modo seguente:

dFz = k · d~F = P k · d~S = ρ g h k · d~S

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Figure 13: La superficie orientata

Osserviamo che, pur di effettuare una opportuna rotazione intorno all’asse z,si puo sempre fare in modo che il versore normale alla superficie ~n si trovi nelpiano zy (vedi Fig. 13). Risulta allora evidente che

k · d~S = da db cos θ = da db cos θ = dx dy

fornisce il valore della proiezione della superficie d~S lungo k , cioe secondo laverticale.

Nel nostro caso, essa e dunque, semplicemente, l’area di base della colonna diliquido che stiamo considerando, misurata proprio nel piano di cui k e la normale,cioe nel piano orizzontale. L’elemento si superficie e stato proiettato sul pianoorizzontale.

Ne segue che la quantita hk · d~S non e altro che il volume dV del liquido checostituisce la colonna, per cui abbiamo

dFz = ρ g dV = g dm

dove dm e la massa di liquido contenuta nella colonna sovrastante la superficied~S.

Integrando allora su tutta la superficie del recipiente bagnata dal liquido, eccoche la componente verticale della forza dovuta alla pressione del liquido nei varipunti della superficie del recipiente, uguaglia il peso del liquido stesso.

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Per concludere questo argomento, verifichiamo anche che le forze di pressionesulle pareti del recipiente non possono produrre una risultante avente componenteorizzontale (infatti, non si e mai visto un recipiente pieno di liquido, appoggiatoad un tavolo orizzontale, accelerare a causa della pressione del liquido sulle suepareti!).

Consideriamo la figura 14 ed occupiamoci, per esempio, della componente ydella forza di pressione sulla parete del recipiente (vedi Fig.14).

Figure 14: La pressione produce sulle pareti del recipiente una forza totale concomponente orizzontale nulla.

Consideriamo la porzione di liquido compresa fra z e z + dz e suddividiamoancora tale porzione di liquido attraverso piani paralleli al piano z − y e distantifra di loro dx. Ognuno di questi parallelepipedi individua sulla superficie delrecipiente due superfici dS1 e dS2 rispettivamente con coordinata y1 < y2 .

La pressione agente su entrambe le superfici e la stessa, perche esse si trovanoalla medesima altezza z.

La componente della forza di pressione nella direzione y e data allora da:

dFy = P d~S1 · j + P d~S2 · j

dove j e il versore dell’asse y.

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Da quanto detto prima, circa il significato del prodotto scalare k · d~S ,risultaevidente che

j · d~S1 = −j · d~S2 = dx dz

Le due superfici dS1 e dS2 sul piano x− z sono quindi uguali e la componentey della forza di pressione agente sulla porzione di superficie del recipiente indi-viduata dal parallelepipedo infinitesimo considerato risulta identicamente nulla.

Integrando sulla coordinata x, abbiamo che anche la componente y della forzadi pressione agente sulla intera superficie del recipiente, compresa fra z e z +dz enulla. Integrando anche su z, concludiamo che non c’ e componente y della forzadi pressione sulla intera superficie del recipiente.

Analogamente possiamo procedere per la componente x, per cui resta di-mostrato che la pressione sulla parete di un recipiente qualsiasi non producecomponente orizzontale.

1.8 I vasi comunicanti

La legge di Pascal e i vasi comunicanti.Una conseguenza della legge di Stevino e la legge di Pascal. Questa stabilisce

che in un liquido in equilibrio, in presenza della forza di gravita, la pressione e lastessa in tutti i punti che si trovano alla stessa quota rispetto al suolo.

Da questa legge discende direttamente il Principio dei vasi comunicanti.Se diversi recipienti contenenti lo stesso liquido sono posti in comunicazione

fra di loro, (vedi Fig.15) le superfici libere, se aperte, o comunque se tutte incomunicazione diretta fra di loro, si trovano tutte allo stesso livello, indipenden-temente dalla forma e dalla capacita dei diversi recipienti.

Naturalmente, questo non e vero se i liquidi (immiscibili) sono di naturadiversa, come, per esempio, acqua e olio, benzina e acqua, mercurio e acqua, etc.In questo secondo caso, i liquidi si dispongono su altezze tali che la pressioneesercitata da una colonna, in un qualunque punto assegnato, coincide con lapressione esercitata in quello stesso punto dall’altra colonna (i.e., la pressione ecomunque una funzione continua.) .

1.9 Il Principio di Archimede

Consideriamo un corpo immerso in un liquido. La legge di Archimede dice cheun corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari alpeso del liquido spostato vedi Fig.16.

Iniziamo considerando un corpo che abbia forma di parallelepipedo rettangolo(vedi Fig.17). le forze di pressione sulle superfici laterali si elidono a vicenda.Invece le pressioni sulla base e sulla superficie ad essa corrispondente in alto (adistanza h dalla base) non sono uguali, ma differiscono, per la legge di Stevino,della quantita

∆P = ρgh

24

Figure 15: I vasi comunicanti e la legge di Pascal. I liquidi si dispongono sualtezze tali che la pressione esercitata da una colonna, in un qualunque puntoassegnato, coincide con la pressione esercitata in quello stesso punto dall’altracolonna.

ne segue che la risultante delle forze di pressione esercitate dal liquido sul corpoe una forza diretta verso l’alto (la pressione e maggiore in basso) che vale (leggedi Archimede):

F = S∆P = ρghS = ρgV = gM

dove V e il volume del parallelepipedo ed M la massa di liquido in esso contenuto.Questo risultato, ottenuto nel caso di un corpo avente una simmetria parti-

colarmente semplice, vale, come e noto, in generale. La dimostrazione e sempli-cissima. Consideriamo per questo un corpo solido di forma qualsiasi immerso inun liquido, per esempio acqua, come mostrato in Fig.16.

Chiamiamo S la sua superficie esterna. Immaginiamo che la superficie S,invece del corpo , racchiuda idealmente un corpo fatto dallo stesso liquido in cuie immerso. Risulta ovvio che il corpo sarebbe in equilibrio!

Questo significa che il peso del liquido viene equilibrato dalle forze di pressionedel liquido stesso, ovvero che le forze di pressione del liquido esercitano sullasuperficie S una forza esattamente uguale al peso del liquido racchiuso entro lasuperficie S.

Tuttavia, per lo studio della statica di un corpo solido (corpo rigido), nonbasta conoscere le forze che vi agiscono sopra, ma anche il loro punto di appli-cazione!

25

Figure 16: Il peso del liquido stesso e sostenuto dalla spinta di Archimde

Quale il punto di applicazione della spinta di Archimede? Il ragionamentofatto sopra circa il valore della spinta puo di nuovo aiutarci e portarci alla giustaconclusione. E’ infatti chiaro che il corpo, essendo in equilibrio indifferente nelliquido, non solo riceve una spinta uguale al suo peso, ma anche il momento diquesta spinta rispetto al baricentro deve essere nullo, cosı come e nullo quellodella forza peso.

In questo modo sul corpo non solo la risultante totale delle forze sara nulla,ma lo sara anche il loro momento (altrimenti il corpo ruoterebbe su se stesso).

Ne segue che la spinta di Archimede deve essere pensata applicata nel bari-centro del volume di liquido spostato (centro di galleggiamento).

Questo risultato e importante quando si consideri un corpo immobile, peresempio una nave, che galleggi in un liquido, vedi Fig.20.

All’equilibrio il baricentro B della nave ed il centro di galleggiamento C dellastessa saranno allineati secondo la verticale, in modo da non produrre nessunmomento complessivo (all’equilibrio sia la risultante delle forze che quella deimomenti devono essere nulle).

Se il baricentro si trova sotto il centro di galleggiamento, per piccole oscil-lazioni intorno al punto di equilibrio, il momento delle forze che viene ad origi-narsi tende, normalmente, a ripristinare l’equilibrio e, dunque, l’equilibrio e sta-bile. Ecco perche, in alcuni casi, si appesantisce la parte bassa della chiglia conmateriali di alta densita, per abbassare il baricentro del natante vedi Fig. 19.

Il caso in cui B e sotto C non e l’unico caso possibile di equilibrio stabile per

26

Figure 17: Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l’alto pari alpeso del liquido spostato.

un oggetto galleggiante. Infatti il problema della stabilita non e cosı immediatocome potrebbe sembrare perche mentre, se il corpo e rigido, il baricentro seguechiaramente lo spostamento del corpo, il centro di spinta, in genere non lo fapoiche, di solito cambia la forma della parte immersa (pur non cambiando ilvolume!).

Supponiamo che B si trovi sopra C (vedi Fig.20) Immaginiamo di spostarci dipoco dalla posizione di equilibrio: mentre B, ovviamente, non cambia posizionerispetto al natante, il nuovo centro di spinta C ′ , a causa della diversa geometriadel volume di liquido spostato, puo non coincidere, rispetto al natante, con ilprecedente centro di spinta C. Se la verticale che passa per C ′ incontra la rettadefinita dal baricentro B e dal centro di spinta C all’equilibrio in un punto Mche e sopra B, allora, di nuovo, abbiamo equilibrio stabile (ovvero il natante esoggetto ad una coppia che tende a riportarlo in equilibrio), altrimenti la nave sirovescia !

Il punto M e detto metacentro. Per piccole oscillazioni intorno all’equilibrio,i centri di spinta si trovano su un arco di circonferenza di cui M e il centro .

27

Figure 18: Se il centro di spinta e piu in alto del centro di massa l’equilirio estabile.

1.10 Elementi utili di algebra vettoriale

Alcune definizioni

• Grandezza scalare.Si dice che una grandezza fisica e scalare quando il suo valore non cambiaper rotazioni del sistema di riferimento. Sono scalari l’energia cinetica,l’energia potenziale, la temperatura ecc.

• Grandezza vettoriale.Una grandezza fisica e detta vettoriale quando, per rotazioni del sistemadi riferimento, si trasforma come la posizione di un punto materiale. Sonovettori la velocita, la forza, l’accelerazione, etc...In generale, fissato un riferimento cartesiano ortogonale, un vettore ~v ecompletamente individuato dalle sue componenti cartesiane vx, vy, vz

~v = (vx, vy, vz)

• Prodotto scalare.Si dice prodotto scalare o interno di due vettori ~A e ~B la quantita (per

28

Figure 19: Se il centro di spinta e piu in alto del centro di massa l’equilirio estabile.

convenzione, indici ripetuti si intendono sommati da 1 a 3):

~A · ~B = AxBx + AyBy + AzBz = AiBi = δijAiBj

dove δij e il simbolo di Kronecker e coincide con la matrice identita 3 × 3 .

Chiaramente il prodotto scalare e commutativo ~A · ~B = ~B · ~A.

• Prodotto vettoriale.Si chiama prodotto vettoriale o esterno di due vettori ~A e ~B il vettore :

~A ∧ ~B = ~A × ~B = ( AyBz − AzBy , AzBx − AxBz , AxBy − AyBx )

( ~A × ~B)i = ǫijkAjBk

dove ǫijk e il tensore a tre indici completamente antisimmetrico, che vale

1 se la terna ijk e una permutazione pari (ciclica) di 123,

−1 se si tratta di una permutazione dispari (permutazione ciclica + unainversione),

29

Figure 20: Per avere equilibrio stabile il Metacentro deve essere piu in alto delcentro di massa.

0 se almeno due indici sono uguali.

I soli suoi valori non nulli sono dunque:

ǫ123 = ǫ231 = ǫ312 = 1

ǫ213 = ǫ132 = ǫ321 = −1

Dalla definizione risulta che il prodotto vettoriale e antisimmetrico, i.e.

~A × ~B = − ~B × ~A

• Campo scalare.Si chiama campo scalare una funzione f(~x, t) a valori scalari, per esempioil campo di temperature in un corpo assegnato. Il campo e detto costantese non dipende dal tempo ed e detto uniforme se non dipende dal punto ~x.

• Campo vettoriale.Si dice campo vettoriale una funzione ~V (~x, t) a valori vettoriali, per esempio

30

il campo di velocita all’interno di un liquido in moto.Di nuovo, si parla di campo costante quando esso e indipendente dal tempoe di campo uniforme quando e indipendente dalle coordinate spaziali.

• Superficie chiusa.Una superficie si dice chiusa se racchiude un volume, come per esempioquella di una sfera, di un cubo, etc.

• Superficie aperta.E’ una superficie non chiusa, necessariamente essa e limitata da un bordoΓ.

• Superficie orientata.In ogni punto di una superficie descritta da un vincolo derivabile e definita laretta perpendicolare al piano tangente alla superficie nel punto dato. Se lasuperficie e chiusa, allora la normale alla superficie in un suo punto gener-ico e il versore diretto secondo la retta perpendicolare alla superficie nelpunto dato, orientato in modo che esca dal volume racchiuso dalla superfi-cie stessa. Se la superficie e aperta, occorre definire un verso (arbitrario) dicircolazione sul suo bordo Γ. Il verso della normale alla superficie e definitoin modo che un osservatore allineato secondo tale verso veda l’orientamentodefinito su Γ come antiorario.

• Flusso attraverso una superficie.Dato un campo vettoriale ~V ed una superficie orientata infinitesima d~S, sichiama flusso di ~V attraverso la superficie d~S il prodotto scalare:

dΦ = ~V · d~S

1.11 Operatori di campo

Si definiscono tre operatori che agiscono sui campi (scalari o vettoriali):

• Gradiente.E’ un operatore lineare che applicato ad un campo scalare genera un campovettoriale nel modo seguente:

grad(f(~x)) = ∇(f(~x)) =

= (∂f(~x)

∂x,∂f(~x)

∂y,∂f(~x)

∂z)

Quest’operatore si scrive in modo compatto definendo l’operatore ∇ (nabla):

∇ = (∂x, ∂y, ∂z) = grad f(~x) = ∇f(~x) = (∂if)

31

La direzione del grad f(~x) (calcolato in un punto x0, y0, z0) e quella nellaquale la derivata direzionale calcolata in quel punto e massima. Il valoremassimo della derivata direzionale e pari al modulo del gradiente.La derivata direzionale nella direzione del versore u , indicata con ∇uf(~x)e la variazione della funzione f(x, y, z) per unita di spostamento nella di-rezione di u. E’ la forma vettoriale della comune derivata e viene definitacome:

∇uf(~x) = ∇f(~x) · u = limh→0

f(~x + hu) − f(~x)

h

La derivata direzionale nella direzione u si scrive anche come:

d

du= u · ~∇ = ux∂x + uy∂y + uz∂z

Il vettore gradiente e perpendicolare alla curva di livello in x0, y0 se z =f(x, y) e perpendicolare alla superficie F (x, y, z) = 0.

• Divergenza.E’ un operatore differenziale che applicato ad un campo vettoriale generaun campo scalare:

div~V (~x) = ∂xVx(~x) + ∂yVy(~x) + ∂zVz(~x)

In termini dell’operatore nabla, la divergenza si scrive come prodotto scalare

div~V = ~∇~V = ∂iVi

• Rotazione.E’ un operatore differenziale che applicato ad un campo vettoriale generaun altro campo vettoriale nel modo seguente:

rot~V (~x)

= ( ∂yVz(~x) − ∂zVy(~x) , ∂zVx(~x) − ∂xVz(~x) , ∂yVx(~x) − ∂xVy(~x) )

che si puo scrivere come

rot~V = ~∇× ~V =⇒ (rot~V )i = ǫijk∂iVk

Un campo vettoriale e detto irrotazionale in un volume aperto Ω se la suarotazione e identicamente nulla in quel volume, cioe:

rot~V (~x) = 0

per ogni ~x elemento di Ω .

Un campo vettoriale ottenuto come gradiente di un campo scalare e sempreirrotazionale.

32

Questa condizione vale anche al contrario, nel senso che se ~V e un campovettoriale il quale, in un volume aperto e connesso Ω dato, ha rotazioneidenticamente nulla, allora esiste una funzione scalare F definita in quelvolume Ω , tale che il campo Ω ne e il gradiente.

La funzione F viene detta il potenziale del campo , per ragioni che appari-ranno chiare piu in seguito. Essa non e univocamente determinata, bensılo e a meno di una qualunque funzione che dipenda unicamente dal tempo.

33

1.12 Il Teorema di GAUSS

Il teorema afferma che il flusso di un campo vettoriale uscente da una qualsiasisuperficie chiusa e uguale all’integrale della divergenza del campo sul volumeracchiuso:

∫

Ωdiv~V dΩ =

∫

Σ

~V d~S

La divergenza di un campo vettoriale ~V e definita come:

div~V = limΩ→0

∫

S~V d~S

Ω

dove l’integrale superficiale e il flusso uscente dalla superficie S che racchiude ilvolume Ω, centrato nel punto in cui si calcola la divergenza. In parole si puo direche la divergenza e il flusso uscente dall’unita di volume, nel punto considerato.

Il flusso dΦ uscente da un volume infinitesimo dΩ si puo quindi scrivere come

dΦ = divV dΩ

Dimostrazione.Sia dato un campo vettoriale ~V (~x) ed una superficie chiusa infinitesima cubica

, vedi Fig.21, che racchiuda il volume infinitesimo dΩIl flusso del campo ~V uscente dal volume infinitesimo attraverso le superfici

laterali parallele al piano x − z e dato da

dx dz( Vy(~x + 1/2 dy~j) − Vy(~x − 1/2 dy~j))

il segno negativo del secondo termine e dovuto al fatto che la superficie e orientatacon versore uscente dal volume infinitesimo,

dx dz( Vy + 1/2∂yVydy) − dx dz(Vy − 1/2∂yVydy) = ∂yVydxdydz

Analogamente nella direzione dell’asse x e z:

∂xVx dxdydz

∂zVz dxdydz

si ha quindi che il flusso totale uscente dal volume infinitesimo e dato da

dφ = (∂xVx + ∂yVy + ∂zVz) dxdydz = div~V dxdydz =

~∇~V dxdydz = (∂iVi) dΩ

Si consideri un volume qualunque Ω interno ad una superficie chiusa Σ, cos-tituito dall’unione di infiniti volumetti infinitesimi, vedi Fig.22.

34

Figure 21: La Divergenza, calcolata in un punto, non e altro che il flusso uscenteda una superficie ininitesima chiusa diviso per il volume racchiuso.

La somma dei flussi uscenti da tutti volumetti e dato da:∫

Ωdiv~V dΩ

E’ importante notare che i flussi uscenti dalla faccie laterali dei volumi in-finitesimi interni al volume si cancellano in quanto uscendo da un volume entranoin quello adiacente. Ne risulta che solo i flussi uscenti dalla superficie esterna nonsono cancellati, vale quindi il teorema di Gauss:

L’integrale di volume della divergenza di un campo vettoriale e uguale al flussototale uscente dalla superficie che racchiude il volume:

∫

Ωdiv~V dΩ =

∫

Σ

~V d~S

35

Figure 22: Il teorema di Gauss

1.13 Il Teorema di STOKES

Il teorema di Stokes ( o della rotazione) afferma che data una qualsiasi superficie

aperta e orientata S immersa in un campo vettoriale ~V (vedi Fig.23) allora, dettoΓ il suo bordo orientato, si ha che:

∮

Γ

~V d~l =∫

Srot~V d~S

Dimostrazione.Si consideri il percorso infinitesimo, di lati dy e dz, centrato nel punto ~x,

perimetro della superficie d~S = dydz orientata come mostrato in Fig. 24.L’orientamento del sistema di riferimento e scelto in modo tale che la superficie

considerata sia nel piano y − z.Il verso (positivo) di percorrenza del perimetro e quello per il quale ruotando

la vite destrorsa (il cavatappi) avanza nella direzione di d~S.

Si calcoli l’integrale di linea del campo ~V sul percorso infinitesimo, comesomma dei contributi calcolati sui quattro lati:

• Lato 1∫

1

~V d~l = ~V (~x − 1/2~kdz)~jdy = (Vy(~x) + 1/2∂zVydz) dy

36

Figure 23: Teorema della circuitazione

• Lato 2∫

2

~V d~l = ~V (~x + 1/2~jdy)~kdz = (Vz(~x) + 1/2∂yVzdy) dz

• Lato 3∫

3

~V d~l = ~V (~x + 1/2~kdz) ~−jdy = −(Vy(~x) − 1/2∂zVydz) dy

• Lato 4∫

4

~V d~l = ~V (~x − 1/2~jdy) ~−kdz = −(Vz(~x) − 1/2∂yVzdy) dz

La somma dei quattro contributi e l’integrale cercato:

(∂zVy − ∂yVz) dz dy = (∇× ~V )x dy dz = (rot~V )x dy dz

L’integrale di linea sul percorso infinitesimo e quindi uguale al flusso delvettore rot~V attraverso la supeficie d~S. Questa relazione vale qualunque sial’orientamento della superficie e ovviamente non dipende da come sono orientatigli assi cartesiani.

Si consideri ora una superficie § aperta qualunque, vedi Fig.25Questa superficie puo essere considerata come costituita dall’insieme di infi-

nite superfici infinitesime, su ciascuna delle quali vale quanto detto precedente-mente.

37

Figure 24: Circuitazione infinitesima

Se si sommano tutti gli integrali sui circuiti infinitesimi i contributi sui latiadiacenti interni alla superficie si annullano perche vengono percorsi in sensoopposto, e quindi danno contributo totale nullo.

Solo i lati coincidenti con il perimetro esterno Γ della superficie § dannocontributo non nullo, vale quindi il teorema di Stokes:

∮

Γ

~V d~l =∫

Srot(~V ) · d~S

38

Figure 25: Il teorema di Stokes

1.14 Esercizi di calcolo vettoriale

• Dimostrare che:

~A · ( ~B × ~C) = ~B · ( ~C × ~A) =

= ~C · ( ~A × ~B)

Dimostrazione.

~A · ( ~B × ~C) = AiǫijkBjCk = ǫijkAiBjCk =

come sappiamo ǫijk = ǫjki, quindi

ǫijkAiBjCk = ǫjkiAiBjCk = BjǫjkiAiCk = ~B · ( ~C × ~A) =

come volevamo dimostrare.

• Dimostrare che:

~A × ( ~B × ~C) = ~B( ~A · ~C) − ~C( ~A · ~B)

Dimostrazione.

Calcoliamo la componente iesima del vettore risultato:

39

( ~A × ( ~B × ~C))i = ǫijkAj( ~B × ~C)k = ǫijkAjǫklmBlCm = ǫijkǫklmAjBlCm =

Consideriamo il prodotto ǫijkǫklm. Ruotando gli indici del primo termine siha

ǫijkǫklm = ǫkijǫklm = δilδjm − δimδjl

dove δij e la delta di Kronecker.

Applicando questa relazione si ha che

ǫijkǫklmAjBlCm = (δilδjm − δimδjl)AjBlCm =

= δilδjmAjBlCm−δimδjlAjBlCm = BiAjCj−CiAlBl = ( ~B( ~A· ~C)− ~C( ~A· ~B))i

come volevamo dimostrare.

• Dimostrare che se ~V e un campo vettoriale continuo e derivabile, allora:

grad(rot~V ) = 0

Dimostrazione:

div(rot~V ) = ∂i(rot~V )i = ∂iǫijk∂jVk = ǫijk∂i∂jVk =

dove la posizione delle derivate nei vari termini e ovviamente importante.Nella sommatoria di 27 termini cosı ottenuta solo quelli con i 6= j 6= k sonodiversi da 0.

Abbiamo quindi solo 6 termini raggruppati due a due come segue

k = 1 −→ ǫ231∂2∂3V1 + ǫ321∂3∂2V1 = ∂2∂3V1 − ∂3∂2V1 = 0

perche le derivate parziali miste sono uguali. La stessa cosa viene ripetutaper k = 2ek = 3.

La somma totale e quindi nulla, come dovevamo dimostrare.

• Analogamente si dimostra che rot(grad f(~x)) = 0, dove f e un camposcalare.

40

• Sia ~v(~x) un campo vettoriale continuo e derivabile, dimostrare che:

~v × rot(~v) = grad(1/2v2) − (~v · ~∇)~v

Dimostrazione.

Il risultato deve essere un vettore. Calcoliamone quindi la componenteiesima.

(~v × rot(~v))i = ǫijkvjǫklm∂lvm = (δilδjm − δimδjl)vj∂lvm = vj∂ivj − vl∂lvi =

= ∂i(1/2v2) − (~v · ~∇)vi = (grad(1/2v2) − (~v · ~∇)~v)i

come volevamo dimostrare.

• Provate voi a dimostrare che: rot(rot~(v)) = grad(div ~v) −∇2~v

41

2 Idrodinamica

2.1 Introduzione

Il compito dell’idrodinamica e quello di studiare il moto dei liquidi. Esistonosostanzialmente due modi per affrontare il problema:

• Punto di vista lagrangiano (Joseph Louis de Lagrange (1736-1813).Si considera un elemento infinitesimo di liquido: al tempo t0 esso si troveranel punto ~P0(x0, y0, z0). Al passare del tempo, questo elemento di liquidosi spostera, e le sue coordinate saranno funzioni del tempo:

x = X( ~P0, t0, t)

y = Y ( ~P0, t0, t)

z = Z( ~P0, t0, t)

Conoscendo le funzioni X, Y , Z per ogni ( ~P0, t0) , conosceremo natural-mente il moto di ogni elemento di liquido.

• Punto di vista euleriano (Leonhard Euler 1707-1783).Si fissa un sistema di riferimento e sia (x, y, z) un generico punto P . Ilmoto del liquido sara noto se conosceremo, ad ogni tempo, la funzionevettoriale ~v(x, y, z, t) che fornisce la velocita del volumetto infinitesimo dVche, al tempo t, si trova nel punto P . In questo caso non seguiamo ciascunaparticella di liquido durante il suo moto, bensı determiniamo, istante peristante e punto per punto, la legge di velocita del liquido. Noi adotteremoquesto secondo punto di vista.

La funzione ~v(x, y, z, t) e detta, in generale, campo di velocita, ed e un campovettoriale.

2.2 L’equazione di continuita

Consideriamo un liquido in movimento descritto dal campo di velocita euleriano~v(x, y, z, t).

La portata del fluido attraverso la superficie e definita come la quantita diliquido che attraversa la superficie nell’unita di tempo.

Sia data una superficie S all’interno di un liquido in movimento e consideri-amola costituita dall’insieme di tante superfici sufficientemente piccole (infinites-

ime) d~Si.La quantita, in volume, di liquido che attraversa una generica superficie in-

finitesima d~S(~x) posta nel punto ~x e data dal flusso moltiplicato per l’intervallodi tempo considerato dt:

d~S(~x) · ~v(~x, t)dt

42

Il volume di liquido che nel tempo dt fluisce attraverso l’intera superficie S edato dalla somma di tutti i contributi infinitesimi calcolati sulla superficie:

Q =∫

S~v(~x) · d~S

Accanto alla portata volumetrica Q si definisce talvolta la portata P (senzaaltri aggettivi) come la quantita di massa che attraversa la superficie assegnatanell’unita di tempo.

Evidentemente si ha P =∫

S ρ(~x)~v(~x) · d~S.Ricordando che in un liquido ideale la densita costante, risulta semplicemente

P = ρQ.Nel caso particolare in cui la superficie S sia chiusa, ovvero che racchiuda

un volume V , e evidente che se scegliamo l’orientamento della superficie secondola normale uscente al volume, il flusso ΦS del campo vettoriale ρ~v attraverso lasuperficie S fornira semplicemente la massa di liquido che, nell’unita di tempo,lascia il volume racchiuso dalla superficie S.

Il campo vettoriale ρ~v e detto densita di corrente del liquido, con ovvio signi-ficato.

La legge di conservazione della massa ci consente allora di affermare che, dettaM(t) la massa di liquido presente nel volume V , allora:

−dM

dt= −

d(∫

V ρdV )

dt=

∫

Sρ~v(~x) · d~S

Questa equazione e l’equazione di continuita in forma integrale.Essa afferma che l’integrale del flusso uscente dalla superfice e uguale alla

variazione totale della quantita di liquido contenuto all’interno dalla superficie.E’ il prototipo di ogni legge di conservazione e puo essere messa in forma

differenziale attraverso il Teorema di Gauss, valido per ogni campo vettoriale. Sipuo infatti scrivere per il campo della densita di corrente:

∫

Sρ~v d~S =

∫

Vdiv(ρ~v) dV

Essendo

−dM

dt= −

d(∫

V ρdV )

dt= ΦS =

∫

Vdiv(ρ~v)dV

per ogni superficie, segue che:

div(ρ~v) = −dρ

dt

Questa e la prima equazione fondamentale dell’idrodinamica. Esprime matem-aticamente il principio di conservazione della massa. Come si vede e una proprietalocale,valida in ogni punto ~x. La massa si conserva IN OGNI PUNTO!

43

Nel caso particolare di un liquido ideale la densita e costante:

−dρ

dt= 0 = div(ρ~v)

Il campo di velocita di un liquido ideale ha divergenza nulla.

44

2.3 Equazioni del moto e la legge di Stevino

(Leonhard Euler (1707 − 1783) fisico matematico di Basilea, allievo di JohannBeroulli)

Vogliamo scrivere l’equazione del moto per i liquidi perfetti.Per fare questo consideriamo un elemento del fluido contenuto in un volume

infinitesimo dV , come indicato in Fig.26. La massa di fluido in esso contenuto e

Figure 26: Legge del moto dei fluidi. Un elemento di fluido soggetto alle forzedi pressione ed alla forza peso.

data dal prodotto della densita per l’elemento di volume

dm = ρdV

La legge fondamentale della dinamica newtoniana collega l’accelerazione dellamassa alle forze totali esterne che agiscono su di essa

dm~a = d~F

dove ~F e la risultante delle forza esterne.Le forze esterne che agiscono sull’elemento di fluido dm, sono di due tipi

45

• le forze di pressione; sono quelle dovute alla presenza del liquido esternoal volume considerato. Queste forze agiscono sul fluido dm attraverso lapressione che, dall’esterno del volumetto, agisce sulle sei facce. Se le pres-sioni sulle sei facce sono sono diverse la risultante delle forze di pressione ediversa da zero.

• le forze di massa , come le forze del campo gravitazionale, per esempio. Inquesto caso, come sappiamo, la forza agente su dm e data da

d~F = −ρdV gradU(x, y, z)

dove U e il potenziale gravitazionale.

Calcoliamo ora la risultante delle forze di pressione supponendo di conoscere ilcampo scalare P (x, y, z). Consideriamo per esempio le forze agenti sulle superficiperpendicolari all’asse x, vedi Fig.27. Sappiamo che le forze di pressione, in un

Figure 27: La forza risultante di pressione che agisce su un elemento di fluidonel punto ~x, e dovuta alla variazione (spaziale) della pressione in quel punto.

liquido perfetto, sono perpendicolari alle superfici, e che le superici chiuse sonoorientate con i versori uscenti dal volume dV .

46

La risultante delle forze esterne di pressione, nella direzione x e data dalladifferenza di pressione tra le due superici opposte

dFx = P (x−1/2dx, y, z) dy dz−P (x+1/2dx, y, z) dy dz = −∂P (x, y, z)

∂xdx dy dz

Nelle altre direzioni si ottiene

dFy = P (x, y− 1/2dy, z) dx dz−P (x, y +1/2dy, z) dx dz = −∂P (x, y, z)

∂ydx dy dz

dFz = P (x, y, z− 1/2dz) dx dy−P (x, y, z +1/2dz) dx dy = −∂P (x, y, z)

∂zdx dy dz

Possiamo quindi scrivere la risultante delle forze di pressione come

d~F = −grad PdV

Per la legge di Newton vale quindi la relazione

ρ dV ~a = −grad(P )dV − ρgrad(U)dV

dove ~a e l’accelerazione istantanea del fluido contenuto nell’elemento di volumedV , l’accelerazione lagrangiana.

A questo punto e interessante osservare come da questa equazione possa esserederivata la legge di Stevino. In caso di equilibrio statico nel campo gravitazionalepossiamo scrivere:

0 = −grad(P ) − ρgrad(U)

Essendo grad(P ) parallelo al grad(U) si deduce, dato il significato del gradi-ente, che le superfici equipotenziali sono anche isobariche. Nel caso del campogravitazionale si ha anche che, all’equilibrio, ρg = grad(P ), cioe le superfici iso-bariche (ed equipotenziali) sono anche superfici di uguale densita.

Nella direzione verticale z (rivolto verso l’alto), essendo U = gz, si ha

0 = −∂P

∂z−

∂U

∂z

0 = −∂P

∂z− g

∂P

∂z= −g

che integrata da la legge di stevino:

P + gz = cost

47

2.4 Le equazioni del moto di Eulero

Come sappiamo il metodo che usiamo per la desrizione del moto del fluido e ilmetodo euleriano.

Come si collega l’accelerazione istantanea del liquido in un punto al campo divelocita euleriano?

Per definizione la massa dm che al tempo t si trova in ~x(x, y, z) ha velocita~v(x, y, z, t). Se aspettiamo un tempo dt essa si spostera in una nuova posizione~x′ legata a ~x dalla relazione

~x′ = ~x + ~vdt = (x + vxdt, y + vydt, z + vzdt)

La velocita di dm in questo punto sara data dal valore del campo di velocitaeuleriano nel punto ~x′ ma . . . al tempo t + dt.

Deve quindi essere

~adt = ~v(x + vxdt, y + vydt, z + vzdt, t + dt) − ~v(x, y, z, t) =

= vxdt∂~v

∂x+ vydt

∂~v

∂y+ vzdt

∂~v

∂z+ dt

∂~v

∂t

~a = vx

∂~v

∂x+ vy

∂~v

∂y+ vz

∂~v

∂z+

∂~v

∂t= (~v · ~∇)~v +

∂~v

∂t

Si possono quindi scrivere in forma vettoriale le equazioni del moto

ρ(~v · ~∇)~v + ρ∂~v

∂t= −grad(ρU) + gradP

L’equazione del moto ora scritta e l’equazione di continuita div~v = 0 per unliquido incomprimibile sono chiamate le equazioni di Eulero.

Usando la relazione vettoriale

vi∂i~v = 1/2grad(v2) − ~v × rot(~v)

si possono scrivere le equazioni del moto nella forma

−(∇U + ρ−1∇P ) = 1/2grad(v2) − ~v × rot~v + ∂t~v

ovvero

grad(1

2v2 + U + ρ−1P ) = ~v × rot~v − ∂t~v

Un liquido che si trovi in stato di moto irrotazionale (rot~v = 0), diremo chee soggetto ad un moto di potenziale. La ragione e che, come abbiamo dettoprecedentemente, se rot~v = 0 allora esiste una funzione scalare φ tale che ~v =gradφ. Cioe se il moto e irrotazionale allora il campo di velocita si ottiene dauna opportuna funzione scalare φ che viene chiamata potenziale.

48

Sostituendo nell’equazione di Eulero

grad(1/2v2 + U + ρ−1P ) = −∂t~v

si ottienegrad(1/2v2 + U + ρ−1P + ∂tφ) = 0

Sapendo che affinche una funzione di (x, y, z) possa avere gradiente identica-mente nullo, in un volume aperto e connesso, occorre e basta che essa sia uniforme(costante nello spazio). In questo caso si puo scrivere che

1/2v2 + U + ρ−1P + ∂tφ = f(t)

Ricordiamo che il potenziale φ non e univocamente determinato dalla con-dizione di avere il gradiente uguale al campo ~v. Gli si puo infatti sommare unaqualunque funzione del solo tempo, senza alterare il campo ~v. Si sceglie quindiquesta funzione in modo tale che il suo integrale nel tempo coincida con la fun-zione f(t).

Fatto questo l’equazione precedente si semplifica nel modo seguente

1/2v2 + U + ρ−1P + ∂tφ = 0

Nel caso in cui il liquido sia, per esempio, l’acqua di mare e si stia considerandola sua superficie , dove la pressione e costante rispetto al tempo ed alla posizioneed uguale alla presione atmoserica P0, possiamo assorbire il termine costante dipressione nel potenziale aggiungendovi il termine ρ−1P0t.

In questo modo, trascurando il termine quadratico della velocita, abbiamo

gz + ∂tφ = 0

Questa e l’equazione delle onde di un liquido in un campo gravitazionale,come le onde del mare.

Nel caso in cui il liquido si muova di moto irrotazionale e stazionario, cioecon anche ∂t~v = 0 allora l’equazione di Eulero si semplifica ulteriormente

grad(1

2v2 + U + ρ−1P ) = 0

Ovvero la quantita1/2v2 + U + P/ρ

risulta essere indipendente dalla posizione in cui viene calcolata, all’interno delliquido.

Siccome in un liquido ideale anche la densita e costante segue che in un liquidoomogeneo

1/2ρv2 + ρU + P = costante

nota come Equazione di Bernoulli.

49

2.5 Il teorema di Leonardo

(Leonardo da Vinci (1452-1519) genio universale)Introduciamo il concetto di linea di flusso e di tubo di flusso. Supponiamo di

essere in condizioni stazionarie; sia dato cioe un campo vettoriale ~v(x, y, z), nondipendente dal tempo.

Si definisce linea di flusso del campo ~v(x, y, z) passante per un dato qualunquepunto P , quella linea che passa per P ed ha, in ogni suo punto, la tangenteparallela al vettore ~v(x, y, z).,see Fig.28. Da questa definizione si deducono leequazioni che devono essere soddisfatte dalle linee di flusso:

dx

dy=

vx

vy

;dx

dz=

vx

vz

cioe , in generale

dx

vx(x, y, z, t)=

dy

vy(x, y, z, t)=

dz

vz(x, y, z, t)

In generale le linee di flusso cambiano in funzione del tempo. Se il campodelle velocit non dipende dal tempo il moto si dice stazionario. In questo caso lelinee di flusso coincidono con le traiettorie delle particelle di fluido. Le traiettorievecx(x, y, z, t) sono date dalle equazioni:

d~x

dt= ~v(x, y, z, t)

Diremo che un liquido si muove, in un dato volume, di moto non vorticoso se

rot~v = 0

in ogni punto del volume considerato. In questo caso all’interno del volumeconsiderato nessuna linea di flusso puo essere chiusa su se stessa. Questo sidimostra procedendo per assurdo.

Supponiamo che esista una linea di flusso Γ chiusa nel volume considerato. Inquesto caso l’integrale di linea di ~v sulla curva Γ:

∮

Γ~v ~dl 6= 0

perche in ogni punto ~v e parallelo a d~l. Essendo Γ completamente interna alliquido, esiste sempre una superficie S, anch’essa interna al liquido, che ha Γcome bordo. Per il Teorema di Stokes, tuttavia, deve anche essere

∮

Γ~v d~l =

∫

Σrot~v(~x) d~S

e quindi rot~v non puo essere identicamente nullo. Questo risultato chiarisce, fral’altro, l’origine del nome rotore per l’operatore differenziale ∇×.

50

Figure 28: Le linee di flusso sono sempre parallele alla velocita euleriana

Nel seguito, salvo diverso avviso, tratteremo il caso di moto non vorticoso(irrotazionale).

Data una superficie S, chiameremo tubo di flusso che si appoggia su S ilvolume definito dall’insieme delle linee di flusso che attraversano S. Chiameremopoi parete del tubo di flusso la superficie definita dalle linee di flusso che siappoggiano sul bordo della superficie S,

Osserviamo che, data la definizione di tubo di flusso, il liquido in moto nonpuo attraversare la parete laterale perche, sulla parete, la velocita del liquido nonha componente ortogonale.

Consideriamo allora due superfici S1 ed S2 che si appoggiano entrambe allostesso tubo di flusso. (vedi Figura 29). Consideriamo il volume V definito dallasuperficie S costituita da S1 ed S2 e dalla superficie laterale S del tubo di flussoche va da S1 ad S2.

Applichiamo a questo volume il teorema della divergenza del vettore densitadi corrente ~J = ρ~v:

0 =∫

Vdiv ~J dV =

∫

Vdiv(ρ~v) dV =

∫

STOT

ρ~v d~s =∫

S1

~J d~s +∫

S2

~Jd~s +∫

S

~Jd~s

per definizione di superficie laterale di tubo di flusso, l’integrale su S e nullo equindi:

∫

S1

~Jd~s +∫

S2

~Jd~s = 0

51

Figure 29: Il tubo di flusso ed il teorema di Leonardo

Osserviamo che nei due integrali rimasti l’orientamento delle due superficie quello definito dal Teorema di Gauss, ovvero secondo la normale uscente dalvolume V.

Il risultato ottenuto stabilisce quindi che la portata entrante il tubo di flussoin S1, dove il vettore ~v e opposto al vettore d~s, e uguale alla portata in uscitasulla superficie S2. Non e altro che la conservazione della massa del liquido.

Se il tubo di flusso e abbastanza stretto da poter assumere che la velocita delliquido sia la stessa nei vari punti della superfici d’ingresso ed uscita, allora si ha

~J1S1 = ~J2S2 −→ ρ~v1S1 = ρ ~J2S2 −→ ~v1S1 = ~J2S2

ovvero che, lungo un tubo di flusso (per esempio, lungo una condotta, un fiumeecc) la velocita media del liquido e inversamente proporzionale alla sezione deltubo. Questo risultato e noto come Teorema di Leonardo.

2.6 Il teorema di Bernoulli

Il Teorema di Bernoulli(Daniel Bernoulli (1700−1785), fisico e matematico olandese, figlio del matem-

atico Johann)Per capire meglio il significato fisico del risultato ottenuto, ripercorriamo la

strada storica che porto Bernoulli a formulare il suo Teorema, prima che Eulero(allievo del padre) giungesse alle sue equazioni.

52

Suppuniamo di essere in condizioni di moto stazionario, e consideriamo ungenerico tubo di flusso infinitesimo, che si appoggia su due superfici dS1 e dS2,ortogonali al tubo stesso, vedi Fig.30.

Figure 30: Il teorema di Bernouilli. La conservazione dell’energia meccanica.

Indichiamo con v1 la velocita del liquido quando attraversa dS1 (ortogonal-mente ad essa), con v2 la velocita del liquido quando attraversa dS2, lasciamopassare un tempo dt.

Il liquido si muove in un campo di forza esterne. Poiche, per ipotesi, nel liquidonon ci sono forze dissipative (di attrito) interno o viscosita, il lavoro meccanicofatto dalle forze esterne deve tradursi in una variazione di energia cinetica.

Osservando il sistema nell’intervallo di tempo tra t e t + dt si vede

• entrare da dS1 una massa d’acqua dm = ρ dS1 v1dt

• uscire da dS2 la stessa massa d’acqua dm = ρdS2v2dt

mentre tutto il resto e rimasto invariato (ipotesi di stazionarieta).Il lavoro delle forze di pressione sul liquido e dato da

dLP = P1 dS1 v1 dt − P2 dS2v2 dt = ρ−1 dm ( P1 − P2 )

53

Quello dovuto alla forza peso e stato, assumendo di spostarci nel campo grav-itazionale terrestre con accelerazione di gravita costante:

dLg = dm g h

Per il teorema dell’energia cinetica la somma di queste due quantita deveuguagliare la variazione di energia cinetica della massa dm.

Fissato un livello di riferimento arbitrario, possiamo scrivere il dislivello trale due superfici come differenza delle due altezze h = h1 − h2. In questo casopossiamo scrivere:

1

2dm(v2

2 − v21) = dm ρ−1 (p1 − p2) + dm g (h1 − h2))

ovvero:

p1 + ρ g h1 +1

2ρ v2

1 = p2 + ρ g h2 +1

2ρ v2

2

che esprime, appunto, il Teorema di Bernoulli. Esso e quindi niente altro chel’espressione della conservazione dell’energia meccanica nel moto di un liquidoideale.

Dividendo l’equazione di conservazione precedente per ρ g, otteniamo un’altraforma del Teorema di Bernoulli, cioe

(g ρ)−1p1 + h1 +1

2gv21 = costante

Dimensionalmente ciascun addendo ha le dimensioni di una lunghezza: laprima viene chiamata altezza piezometrica, la seconda altezza geometrica e laterza altezza cinetica : il Teorema di Bernoulli stabilisce che la somma algebricadi queste tre altezze e costante nel liquido in moto. Si noti che il Teorema diBernoulli stabilisce che la costante a cui e pari la somma delle tre altezze sopracitate e indipendente dalla posizione solo entro il tubo di flusso considerato.

Solamente nel caso in cui il moto sia anche irrotazionale oltreche stazionario,allora essa e indipendente dalla posizione nel liquido, come mostrato a partiredall’equazione di Eulero !

2.7 Il teorema di Torricelli

Il Teorema di Bernoulli implica un risultato che era gia noto a Torricelli, relativoalla velocita di un liquido che fuoriesce da un orifizio praticato in un contenitoredi sezione molto piu grande (per esempio dal rubinetto di una botte), vedi Fig.31.

Se l’altezza del liquido nel contenitore e h allora la velocita del liquido chefuoriesce vale

v =√

2gh

ovvero e la stessa come se il liquido cadesse direttamente dall’altezza della super-ficie di separazione liquido-aria.

54

Figure 31: Teorema di torricelli: La velocita di uscita del liquido e uguale a quelladella caduta libera da un’altezza h

Questo risultato e, come dicevamo, una conseguenza della conservazione dell’energiameccanica che, nei liquidi ideali, abbiamo visto essere descritta dal Teorema diBernoulli.

Come abbiamo visto, nel moto irrotazionale di un liquido ideale, in con-dizioni stazionarie, la somma delle altezze piezometriche, geometriche e cinetichee costante.

Osserviamo che al livello del pelo del liquido ed all’uscita dell’orifizio la pres-sione, e dunque anche l’altezza piezometrica, e la stessa (la pressione coincide inentrambi i casi con quella atmosferica, che, almeno se h non e troppo grande, ela stessa).

L’altezza cinetica e praticamente nulla in alto (grande sezione della botterispetto a quella del rubinetto), mentre quella geometrica e nulla in basso (pren-dendo quello del rubinetto come livello di riferimento): per il Teorema di Bernoulline segue che, se h e il dislivello fra il pelo liquido ed il rubinetto, e v la velocitadi uscita, risulta

h =v2

2g−→ v =

√

2gh

che, formalmente, e lo stesso risultato che otterremmo nel moto di caduta delliquido nel campo di gravita della Terra, partendo da fermo, da un’altezza h.

55

2.8 Il Tubo di Venturi

Un’altra applicazione del Teorema di Bernoulli e rappresentata dal cosiddettoTubo di Venturi , usato, per esempio, per misurare la portata di una condotta,vedi Fig.32.

Si tratta di un tubo orizzzontale, che presenta una strozzatura: la differenzadi pressione del liquido nella sezione normale e in qualla strozzata consente, notele due sezioni, di conoscere la portata della condotta. All’esterno di un aereo, peresempio, permette di misurare la portata dell’aria e, quindi, la velocita dell’aereorispetto all’aria.

Figure 32: L’effetto Venturi: la velocita aumenta e la pressione diminuisce

Ricordiamo che la portata volumica Q nella condotta vale (Teorema di Leonardo)

Q = S1v1 = S2v2

D’altronde, dal Teorema di Bernoulli abbiamo che, essendo l’altezza geomet-rica costante,

p1

gρ+

v12

2g=

p2

gρ+

v22

2g

p1 − p2 =1

2ρ(v2

2 − v12) =

1

2ρQ2 S1

2 − S22

S12S2

2

56

da cui si ricava che la portata volumetrica e data da

Q = S1S2

√

√

√

√

2(p1 − p2)

ρ(S12 − S2

2)

Un’altra interessante applicazione del tubo di Venturi e quella di usarlo perestrarre l’aria da recipienti chiusi fino ad avere pressioni dell’ordine di qualchemillesimo di pressione atmosferica. Puo essere usato come mostrato in figurausando semplicemente un flusso d’acqua (per esempio, di rubinetto).

2.9 Il moto di liquidi reali

Un liquido reale puo effettivamente considerarsi incomprimibile con ottima ap-prossimazione, ma presenta sempre una certa viscosita o attrito interno. Vedi-amo di definire, intanto, questa nuova grandezza, cioe la viscosita. Immaginiamodi avere del liquido compreso fra due lamine, e di traslare una lamina rispettoall’altra con una velocita fissa v0,vedi Fig33.

Figure 33: In una lamina di liquido viscoso, in moto laminare, la forza di attritoprodotta e proporzionale alla differenza di velocita tra il pelo superiore e quelloinferiore, alla superfice di contatto considerata, ed inversamente proporzionaleallo spessore della lamina. Il coefficiente di proporzionalita e, per definizione, laviscosita.

In assenza di viscosita non dovrebbe essere necessaria alcuna forza per man-tenere la lamina in movimento, invece osserviamo quanto segue:

57

• occorre applicare alla lamina una forza F nella direzione del moto, pro-porzionale alla superficie della lamina, proporzionale alla sua velocita einversamente proporzionale alla distanza fra le lamine

F =ηSv0

d

La costante di proporzionalita dipende dal liquido e si chiama coefficientedi viscosita dinamica, le sue dimensioni sono Kg (ms)−1

• Il liquido viene trascinato dalla lamina e la distribuzione di velocita decrescelinearmente dal valore di v0 fino a zero, passando dalla lamina in moto aquella ferma:

v(y) = v0y

d

Nel caso in cui la geometria non sia cosı semplice, purche pero il moto sia lam-inare, ovvero purche i vari strati di liquido scorrano uno sull’altro senza mesco-larsi, risulta che su una lamina di liquido dS agisce una forza di attrito (forza ditaglio, opposta alla velocita) che dipende dalla derivata della velocita del liquidonella direzione ortogonale alla superficie stessa),

dFi = ηd~S · grad(vi)

Vediamo, partendo da queste premesse, come cambia la legge di Eulero per ilmoto di un liquido viscoso. Per questo e necessario conoscere l’espressione dellaforza di origine viscosa su un generico elemento di volume dV di liquido.

Consideriamo un volume infinitesimo di lati dx, dy, dz e cominciamo col deter-minare la componente dFx della forza di origine viscosa che agisce sull’elementodi liquido considerato.

Consideriamo le due superfici parallele di area dydx la cui normale e direttasecondo l’asse z (quella di sopra in verso positivo, quella di sotto in verso nega-tivo): il loro contributo vale

dFx−y = −η dxdy ~k · gradvx(z) + η dxdy ~k · gradvx(z + dz) = ηdxdydz∂z∂zvx

Analogamene per le altre due coppie di superfici:

dFz−y = ηdxdydz∂x∂xvx

dFx−z = ηdxdydz∂y∂yvx

Quindi, in definitiva, la componente dFx della forza di origine viscosa cheagisce sull’elemento di liquido considerato vale:

dFx = η dV ∇2vx = η dV vx

58

dove dV e il valore del volume considerato dV = dxdydz e ∇2 = e l’operatorescalare laplaciano, definito come

∇2 = ∂x2 + ∂y

2 + ∂z2

Questo risultato, ottenuto per la componente dFx agente sul volumetto con-siderato, si generalizza banalmente alle altre componenti, per cui, in definitiva,la forza di origine viscosa agente su di esso vale

d~F = η dV ∇2~v

Questo risultato e indipendente dalla geometria del volume, e consente diarrivare immediatamente alla nuova forma dell’equazione di Eulero per i liquidiviscosi (incomprimibili). Ricordiamo a questo proposito la relazione di Eulero (lalegge di Newton per i liquidi):

d~F − dV gradP = dm~a

che consente di esprimere l’accelerazione del volume di liquido dV in termini dellaforza esterna agente su di esso e della forza dovuta alle forze di pressione.

Per i liquidi ideali sottoposti a un campo di forze di massa che ammettonopotenziale, questa equazione diveniva

ρdV~a = −dV (gradP + ρgradU)

Nel caso reale, in presenza di attrito interno, dobbiamo sommare al secondomembro anche la forza di origine viscosa, ovvero

ρdV ~a = −dV (gradP + ρgradU − η∇2~v)

dalla quale~a = −gradU − ρ−1 − ηρ−1∇2~v

Come sappiamo l’accelerazione ~a e legata al campo delle velocita eulerianodalla relazione

~a = (vi∂i)~v + ∂t~v

per cui abbiamo infine

∂t~v + vi∂i~v = −∇U − ρ−1∇P + ηρ−1∇2~v

Questa e l’equazione di Navier-Stokes.La quantita ηρ−1 = ν e detta coefficiente di viscosita cinematica e si misura

in m2/s .L’equazione di Navier-Stokes puo essere riscritta usando l’identita

(vi∂i)~v =1

2gradv2 − ~v × rot~v

59

Nel caso di un liquido viscoso in moto irrotazionale, ricordiamo che la densitadel liquido e costante per ipotesi, essa diventa

∂t~v = −grad(U + P −1

2gradv2) + ν∇2~v

Nel caso di moto stazionario si ha

grad(U + ρ−1P + 1/2~v2) = ν∇2~v

Questa relazione esprime ancora la conservazione dell’energia.Il primo mem-bro, per quanto visto a proposito del Teorema di Bernoulli, rappresenta la vari-azione dell’energia totale per unita di massa associata all’elemento di liquido,mentre il secondo membro e pari al lavoro fatto dalla forza viscosa.

2.10 Moto di un liquido viscoso in una condotta

Passiamo adesso a considerare il moto di un liquido reale in una condotta oriz-zontale e di sezione costante.

Se l’energia meccanica si conserva lungo la condotta, il Teorema di Bernoulli cidice che la pressione lungo la condotta resta costante. Sperimentalmente troviamoche essa diminuisce lungo il verso del flusso del liquido, ovvero che la condottapresenta una perdita di carico.

La perdita di carico e dovuta ad una perdita di energia meccanica dovuta allavoro fatto contro forze di attrito sia fra liquido e pareti che fra le varie parti delliquido.

Data la geometria della condotta che abbiamo scelto, una perdita di energialungo il moto del liquido non puo tradursi in una perdita di energia cinetica, vistoche l’incompressibilita del liquido e la sezione costante richiedono che la velocitamedia (poiche, come vedremo, essa non e la stessa nei vari punti della sezione,proprio a causa della viscosita) non cambi lungo la condotta; ne puo tradursi inuna perdita di energia potenziale, poiche l’altezza della condotta, per ipotesi, ecostante; per cui deve necessariamente tradursi in una diminuzione dell’altezzapiezometrica, come, in realta accade.

Supponiamo che il moto del liquido sia laminare , ovvero che la velocita delliquido su una qualsiasi sezione del flusso sia, in ogni punto, parallela ad unadirezione fissa. Questa condizione garantisce che i vari strati di liquido scorranouno sull’altro senza mescolarsi tra loro attraverso movimenti turbolenti.

In queste condizioni si osserva che, a sezione S e lunghezza L della condottafissate, la perdita di carico ∆P dipende linearmente dalla portata Q secondo larelazione ∆P = RQ, dove R rappresenta la resistenza offerta dalla condotta alpassaggio del liquido.

Valutiamo la potenza meccanica dissipata in una condotta di sezione costante,a causa della viscosita. Calcoliamo il lavoro fatto nel tempo dt contro le forze di

60

pressione per immettere una massa dm = ρSvdt = ρQdt nella condotta, esso vale

dLin = PinSv dt = PinQ dt

mentre il lavoro che ne ricaviamo all’uscita dalla condotta, dove la pressionee minore, vale soltanto

dLout = PoutQdt

ovvero c’e una perdita di energia meccanica nel tempo dt pari a

dLout − dLin = (Pout − Pin)Qdt

si ha quindi una dissipazione di potenza meccanica pari al lavoro delle forze didissipazione W = RQ2.

2.11 Equilibrio di un liquido in rotazione uniforme

Consideriamo un recipiente contenente un liquido, ed ammettiamo che il recipi-ente sia in rotazione con velocita angolare costante ω intorno ad un asse verticalez.

E’ un fatto che, dopo un po di tempo, appunto perche il liquido non e idealeed ha attrito interno, anche il liquido si mette in rotazione con la stessa velocitaangolare del contenitore, vedi Fig.34.

Se ci poniamo nel riferimento rotante rigido con il contenitore, in esso, oltrealla solita forza peso, compare un campo di forze centrifugo (ovvero diretto inverso opposto all’asse z), che cresce proporzionalmente alla distanza dall’asse eche e proporzionale alla massa su cui la forza agisce.

Essendo la forza radiale, questo campo di forze ammette un potenziale Uc(x, y, z)dato da

Uc(x, y, z) = −1/2ω2(x2 + y2)

A questo potenziale si deve aggiungere il consueto potenziale gravitazionale gz.Ne segue che, nel riferimento rotante, il potenziale complessivo per unita di

massa) valeU(x, y, z) = gz − 1/2ω2(x2 + y2)

In questo sistema di riferimento il liquido, naturalmente, e a riposo, per cuipossiamo applicare le conclusioni a cui siamo giunti circa la statica di un liquidoin un campo di forze che ammette potenziale, secondo le quali la superficie liberadel liquido (isobara) e una superficie equipotenziale.

L’equazione della superficie libera sara dunque la seguente

gz − 1/2ω2(x2 + y2) = cost −→ z − z0 =ω2

2g(x2 + y2) =

v2

2g

la quale e l’equazione di un paraboloide di rotazione intorno all’asse z, aventela concavita rivolta verso l’alto.

61

Figure 34: In un recipiente in rotazione uniforme il pelo dell’acqua ha una formaparabolica

Immaginiamo che il secchio abbia un diametro di 30cm e che ruoti a 1giro/secondo(quasi come in un vecchio giradischi): di quanto e pi alto il livello al bordo rispettoal centro del secchio?

Da quanto sopra, segue che, detto R il raggio del secchio,

z − z0 =ω2

2gR2

si ha che con ω = 2πrad/s = 6.28rad/s, g = 9.81m/s, R = 15cm

z − z0 =6.282

19.620.0225 = 0.045m = 4.5cm

2.12 Effetti della rotazione terrestre sulla superficie degli

oceani

Un altro caso di equilibrio di un liquido in rotazione, interessante da studiare, equello degli oceani sulla Terra stessa.

Come sappiamo, la superficie della Terra e per la maggior parte coperta diacqua. Supponiamo che la superficie del mare sia una superficie isobarica a livello

62

mondiale (vero solo in media ...), e che la densita dell’acqua sia costante ovunque(salinita costante). Ne segue che sulla superficie del mare il potenziale per unitadi massa, determinato dalla gravita e dal campo centrifugo dovuto alla rotazionediurna della Terra sul suo asse, deve avere un valore costante, ovvero la superficiedel mare deve essere una equipotenziale.

Circa la gravita, assumeremo anche, in prima approssimazione, che sia lecitotrattare il problema come se tutta la massa della Terra fosse concentrata nel suocentro. Come sappiamo questo e rigorosamente vero solo se la distribuzione dimassa della Terra ha simmetria sferica.

Chiamando allora ω la velocita angolare della Terra sul suo asse (vedi Fig.35)

Figure 35: Deformazione della superficie oceanica causata della rotazione terrestre

ω =2π

T=

2π

86400rad/s ≈ 7.272 10−5rad/s

indicando con G la costante di gravitazione universale

(G = (6.673 ± 0.01)10−11m3Kg−1s−2)

63

ed indicando con M la massa dell’intera Terra, in coordinate sferiche abbiamoche la superficie oceanica deve verificare l’equazione

−GM

R−

1

2ω2R2sin2(θ) = cost

L’equazione implicita

R = R(θ, φ)

che deriva dalla condizione precedente e l’equazione della superficie dell’oceano.Si osservi che, se la rotazione non ci fosse, l’ equazione fornirebbe R = cost

ovvero definirebbe una superficie sferica (com’ e ovvio !).Nel caso sia presente la rotazione invece, allo scopo di esplicitare l’equazione

precedente per la superficie oceanica, cominciamo con il definire la quantita R0 ≈

6400Km come la distanza tra tale superficie al polo (cioe per θ = 0 ) ed il centrodella Terra.

Dall’equazione precedente si ha allora

−GM

R−

1

2ω2R2sin2(θ) = cost = −

GM

R0

Osserviamo adesso che, nelle stesse approssimazioni, l’accelerazione di gravitasulla superficie terrestre vale g = GM

R2

0

, per cui risulta

GM

R0

= gR0 = 9.81 × 6.4 × 106 = 6.28 × 107(m/s)2

mentre risulta invece

1

2ω2R2

0 = 1.08 × 105(m/s)2

E’ dunque chiaro che possiamo trattare il termine centrifugo come una per-turbazione (piccola) a quello gravitazionale. Introduciamo per questo la quantita

δR = R − R0

e sviluppiamo al primo ordine in δRR0

l’ equazione della superficie equipoten-ziale. Essendo

1

R0 + δR=

1

R0(1 + δRR

)≈

1

R0−

δR

R20

e confondendo R con R0 (considerandoli uguali) nel termine 12ω2R2sin2(θ), risulta

−GM

R0+

δRGM

R20

−1

2ω2R2

0sin2(θ) = −

GM

R0

64

da cui si ottiene

δRg −1

2ω2R2

0sin2(θ) = 0

ovvero

δR

R0=

1

2gω2R0sin

2(θ) = Ksin2(θ)

dove abbiamo posto

K =1

2gω2R0 ≈ 1.725 × 10−3

Il fatto che K ≪ 1 conferma la liceita di fermarsi al primo ordine nello sviluppodi 1/(R + δR).

Da quanto abbiamo detto, segue quindi che

R(θ, φ) = R0(1 + Ksin2(θ))

Questa, a meno di termini in K2, e la superficie di un ellissoide di rotazioneintorno all’asse z, avente semiasse minore pari a R0 (distanza del polo dal centro)e semiasse maggiore pari a R0(1 + K), ovvero avente ellitticita K.

Ricordiamo infatti che l’equazione di un siffatto ellissoide ha la forma seguente:

z2

R20

+y2

(R0(1 + K))2+

x2

(R0(1 + K))2= 1

ovvero, in coordinate polari

(R

R0

)2cos2(θ) + (R

R0(1 + K))2sin2(θ) = 1

R2cos2(θ) +R2

(1 + K)2sin2(θ) = R2

0

R2 + R2(1

(1 + K)2− 1)sin2(θ) = R2

0

Al primo ordine perturbativo si ha

1

(1 + K)2≈ (1 − K)2 ≈ 1 − 2K

Quindi possiamo scrivere

65

R2 − 2KR2sin2(θ) ≈ R20 −→ R2(1 − 2Ksin2(θ)) ≈ R2

0

R2 ≈ R20(1 + 2Ksin2(θ)) −→ R ≈ R0(1 + Ksin2(θ))

L’ ellitticita K cosı trovata e circa la meta di quella reale ( 1298.3

= 3.3610−3).Una ragione sta nel fatto che la forma della Terra ad ellissoide modifica a

sua volta il potenziale gravitazionale (questa correzione la farebbe crescere di unfattore 5/2, ovvero otterremmo un valore 1.25 volte piu alto del vero...).

Un altro motivo e che la distribuzione della massa nella Terra non e radial-mente isotropa, bensı la parte piu densa si trova all’interno (questo rende la realtapiu simile al caso da noi studiato, ovvero tende a riabbassare il valore di K). In-vece l’effetto della nostra approssimazione sul raggio della Terra (6357 Km invecedi 6400 Km) trascurabile: perch ? provate a rispondere voi.........

66

2.13 Legge di Poiseuille

Vediamo adesso di legare la resistenza R al coefficiente di viscosita introdottoprima ed ai parametri geometrici della condotta.

Immaginiamo, per semplicita, che si tratti di una condotta a sezione circolare,per avere un sistema a simmetria cilindrica, e che il moto sia laminare.

Essendo il sistema a simmetria cilindrica ci aspettiamo che la velocita sia unafunzione di r e sia massima al centro della condotta.

Consideriamo la lamina di liquido di lunghezza L compresa nella corona cilin-drica di raggi r ed r + dr, vedi Fig.36. La superficie esterna della corona subisce,

Figure 36: Legge di Poiseuille.Moto di un liquido viscoso in una condotta.

a causa dell’attrito con il liquido esterno che si muove piu lentamente, una forzadiretta nel verso opposto al moto ( dv(r)

dre negativa perche la velocita decresce

con r), la cui componente e pari a

F (r + dr) = ηS(r + dr)dv

dr(r + dr)

La superficie interna, a sua volta, e spinta nella direzione del moto dalla forza

−F (r) = −ηS(r)dv

dr(r)

67

Occorre tenere presente che nel verso del moto e presente anche la forza chesi origina dalla differenza di pressione fra i due estremi della lamina, data da

∆P 2πrdr

Siccome il liquido non accelera, la somma di queste forze deve essere nulla,per cui

F(r + dr) − F(r) + ∆P 2πrdr = 0

da cui otteniamodF

dr= −∆P2πr

d’altrondedF

dr= η(

dS

dr

dv

dr+ S

d2v

dr2)

per cui otteniamo

η(dS

dr

dv

dr+ S

d2v

dr2) = −∆P 2πr

Essendo l’area interna della corona circolare al raggio r data da

S(r) = 2πrL

si ottiene

η(2πLdv

dr+ 2πrL

d2v

dr2) = −∆P 2πr

ovvero, dividendo per 2πηrL e ponendo A = ∆PL

(per quanto detto questagrandezza e indipendente la L e rappresenta appunto la perdita di carico), otte-niamo

1

r

dv

dr+

d2v

dr2= −

A

η

la cui soluzione che soddisfa la condizione al contorno v(r0) = 0 e

v(r) =A(r0

2 − r2)

4η

Dunque il profilo della velocita nel tubo e parabolico, con valor massimo

v(0) =Ar0

2

4η

Possiamo utilizzare adesso questo profilo di velocita per calcolare la portatadel tubo. Occorre integrare da r = 0 ad r = r0 la seguente funzione

Q =∫

2πrdrv(r) =2πA

4η

∫

rdr(r20 − r2)

68

d’altronde l’integrale vale∫

rdr(r20 − r2) =

r40

4

per cui abbiamo

Q =2πAr4

0

16η=

π∆Pr40

8ηL

Questo risultato e noto come legge di Poiseuille. Essa stabilisce che in con-dizioni di moto laminare, la portata di un tubo e direttamente proporzionale alladifferenza di pressione fra gli estremi del tubo, alla quarta potenza del raggio edinversamente proporzionale alla lunghezza del tubo ed al coefficiente di viscosita

Q =πr4∆P

8ηL

da cui segue che la resistenza opposta dalla condotta al moto del liquido vale

R =8ηL

πr4

69