1. エネルギ

2. ラグランジェ方程式

3. ラグランジェ方程式による解法

4. 倒立振子のモデリングと安定化

９-9. 倒立振子のモデリング(1)

q

J m2

y

x m1

l

f

2222

2

2

1

222

2

2

1

2

1cos2

2

1

2

1

2

1sincos

2

1

2

1

qqqq

qqqqq

Jlxlxmxm

JllxmxmT

運動エネルギ

ポテンシャルエネルギ

qcos2 lgmU

９-10. 倒立振子のモデリング(2)

fx

L

x

L

t

d

d

0d

d

qq

LL

t より、

ここで、平衡点近傍、すなわち、

とすると、以下の線型方程式が導かれる。

flmlmxmm qqqq sincos 2

2221

0sinsincos 22

222 qqqqq glmJlmxlmxlm

qq sin 1cos q 02 q 0qq

flmxmm q221

022

22 qq glmJlmxlm

(1)

(2)

９-11. 倒立振子の安定化(1)

前のスライドの式(1)より、

これを前のスライドの式(2)に代入する。

f = 0 の時の系の極は以下のようになる。

fmmmm

lmx

2121

2 1

q

f

mm

lmglm

mm

Jmmlmm

21

22

21

212

21

qq

Jmmlmm

mmglmp

212

21

212

q

正が含まれるため、不安定。

(3)

９-12. 倒立振子の安定化(2)

以下のようなフィードバック制御を行う。

この時、前のスライドの式(3)は以下のようになる。

よって、

ここで、

ならば、系を安定にすることができる。

qq 21 hhf

qqqq 2121

22

21

212

21 hhmm

lmglm

mm

Jmmlmm

02122212212

21 qqq glmmmlhmlhmJmmlmm

01 h gmmh 212

９-13. まとめ

ラグランジェ方程式について学習しました。

二重振子の運動方程式を導出しました。

倒立振子のモデリングを行いました。

モデリングを通じて，制御による倒立振子の安定化の方法を学習しました。

電磁サスペンション

ボールねじと電動モータで構成される電磁アクチュエータを 提案してきた。高効率、高応答性が期待できる。

10-14 最適制御のプラントモデル

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

21

1000

0100

m

c

m

c

m

k

m

k

m

c

m

c

m

k

m

kkA

T

umm

B

21

1100

x0

k2

x1

k1

m1

x2

m2

u c

T

wm

kB

000

1

1

10-15 最適制御器

0000

0000

001030

00008

Q

1R

LQ1

x2の制振に集中

LQ2

0000

0000

001030

0001098

8

Q

1R

x1の制振も考慮

10-16 最適制御の制振性能(1)

10-1

100

101

102

10-2

10-1

100

101

Frequency (Hz)

Gai

n (

x 2 / x

0)

10-1

100

101

102

10-2

10-1

100

101

Frequency (Hz)

Gai

n (

x 1 / x

0)

passiveLQ1LQ2

passiveLQ1LQ2

10-17 最適制御の制振性能(2)

10-1

100

101

102

100

101

102

103

Frequency (Hz)

Gai

n (

d2 x 2

/dt

2 /

x0)

passiveLQ3

dtRuuQYYJ TT

0

ここで，

uDCXY u

2

2

2

2

2

2

2

2

m

c

m

c

m

k

m

kC

5101Q

1R