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INSTITUCION EDUCATIVA TECNICO INDUSTRIAL
LUZ HAYDEE GUERRERO MOLINA
PROGRAMA MATEMTÁTICAS
TEMA: NÚMEROS RACIONALES ESTANDAR PENSAMIENTO NUMÉRICO:
1. Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decímales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.
2. Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.
COMPETENCIA:
1. Establezco diferencias entre los números enteros y los racionales e interpreto el número
racional como parte de un todo.
2. Utilizo las propiedades y relaciones de los números racionales para resolver problemas
en contextos matemáticos y no matemáticos.
1. IDENTIFICACIÓN DE LA GUÍA DE APRENDIZAJE
GUÍA No. 1 GRADO 7° PRIMER PERIDO
2
EL PROBLEMA DE MEDIR Y EL NÚMERO RACIONAL
OBJETIVO GENERAL
Acercar al estudiante por medio de una situación problema a la construcción del
concepto de número racional.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
A continuación se presenta la tabla No. 1 la cual contiene una recta numérica y
dos segmentos de rectas azules, se ha resaltado un segmento de la recta
numérica con color rojo, dicho segmento representa la unidad, la cual se ha
tomado como segmento patrón, es decir, como el segmento con el cual se va a
realizar toda la actividad. Con base en las tablas de la 1 a la 4 responda las
preguntas en el espacio asignado. Recuerde que es una situación problema, por
tanto, debe hacer uso de sus conocimientos previos.
La tabla No.1 contiene una recta numérica y dos segmentos azules, responde
las preguntas 1 a 7 con base en dicha tabla
1. El segmento rojo o el segmento patrón representa la unidad, si tomas el
segmento rojo y lo trasladas al segmento azul ¿Cuántas veces cabe el
segmento rojo en el segmento azul?
__________________________________________________________
2. ¿En el segmento azul que te sobró, te cabe un segmento rojo completo?
_________________________________________________________
3. ¿Cómo completarías el segmento azul?
_________________________________________________________
2. SITUACIÓN PROBLEMA
3
4. ¿Si el segmento rojo es igual a la unidad y la unidad representa un número
entero, entonces el segmento azul también representa un número entero?
______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
5. Observa el segundo segmento azul, ¿Cómo es dicho segmento con
respecto al segmento rojo?
__________________________________________________________
6. Si puedieras darle un valor numérico al segundo segmento azul, ¿Qué
número sería?______________________________________________
7. ¿Todos los números son enteros o existen otros números diferentes a los
enteros?___________________________________________________
_______________________________________________________________
8. ¿Qué número representa el segmento que se muestra en la tabla No. 2?
_____
9. ¿Qué número representa el segmento que se muestra en la tabla No. 3?
____
10. ¿Qué número representa el segmento que se muestra en la tabla No. 4?
_____
4
El hombre en su inicio se vio enfrentado a una necesidad de contar, medir y
repartir, debía resolver situaciones que facilitarán su vida y es ahí donde los
números juegan un papel importante, empezaron a utilizar los números
naturales, pues estos les permitían contar cantidades; después se dieron cuenta
por ejemplo, que al tener que repartir un pan entre varias personas, estos
números ya no eran suficientes y ahí es donde surgen la fracciones como una
expresión para demostrar la relación entre una parte y el todo.
Los números fraccionarios son utilizados desde la antigüedad, tal como lo
muestra el papiro de Rhind, que es el documento más antiguo que existe de la
matemática egipcia. En el aparecen operaciones aritméticas que incluyen
fracciones unitarias. 1
2,
1
3,
1
4, …
Pero no fueron los egipcios los únicos que trabajaron con esos números en la
antigüedad. Los babilonios, por ejemplo, trabajaron las fracciones que tenían
como denominador 60 y los romanos cuyo denominador era 12. Los números
fraccionarios dieron origen a un nuevo conjunto de números que se llama
racionales y que son una división de dos números enteros.
Vemos entonces como los matemáticos sistematizaron los números, formando
así los conjuntos numéricos que hoy conocemos y que son importantes para
resolver situaciones de nuestro diario vivir. Son tan importantes las matemáticas
que se han convertido en puente entre las humanidades y las ciencias de la
naturaleza, las cuales no habían podido sobrevivir sin la ayuda de ellas.
En el siguiente enlace https://www.youtube.com/watch?v=bBKF9dwGdWg
encontrarás la historia de los número racionales, haz un breve resumen acerca
de cómo surgieron y en la vida real en qué se aplican.
3. INTRODUCCIÓN
5
Como se observa en la situación problema, hay otros números distintos de los números enteros, estudiados en el curso anterior, pues se necesitan segmentos para completar la unidad denominada patrón. A estos números se les conoce como números racionales, los cuales se representan con la letra Q. Este número se logra a partir de la solución de problemas con la división de dos números enteros, la cual no siempre es exacta.
Por ejemplo el resultado de 5
2= 2,5, no se puede expresar con un número entero,
si se efectúa el cociente entre esas dos números enteros positivos se obtiene una parte entera (2) y una parte decimal (5).
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente entre dos números enteros, así:
𝑎
𝑏, donde a y b son números enteros y b es un número distinto de cero.
Por tanto, Q = {𝑎
𝑏 ̸ 𝑎 ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}
El conjunto de los números racionales contiene a los números enteros, ya que todo número entero puede escribirse como el cociente de dos números, donde
el denominador es 1. Esto se denota así: 𝑎
1= 𝑎, donde a es un número entero.
Ejemplo: 8
1= 8 o por ejemplo −
3
1= -3
El número racional por tanto, se puede interpretar como:
1. Una fracción 2. Una razón 3. Una división de dos enteros
NÚMERO RACIONAL COMO FRACCIÓN
Esta es la interpretación más elemental del número racional, por ejemplo si se tiene el siguiente diagrama circular, se observa que está dividido en 6 partes, pero de ellas solo se ha tomado una. Luego la fracción que representa
este diagrama es 1
6 y se lee un sexto.
La unidad sigue siendo la misma, pero se puede dividir en varias partes y se toman las que se quieran.
NÚMERO RACIONAL COMO UNA RAZÓN
4. CONCEPTUALIZACIÓN
6
Otra interpretación de los números racionales es como la razón de dos magnitudes, entendiendo magnitud como algo que se puede medir.
Por ejemplo un carro recorre 20 km en 3 horas, luego la razón dada está dada
por la distancia recorrida y el tiempo empleado, es decir, la razón se escribe
como un racional: 20𝑘𝑚
3ℎ.
Otro ejemplo de razón se de en términos de porcentaje, esto es, a un artículo se
le hace el 30% de descuento, este descuento se representa como la razón 30
100.
En las razones se debe tener en cuenta que ellas se escriben como racionales,
pero se leen de forma diferente, en el caso de los kilómetros horas, se leería 20
a 3.
NÚMERO RACIONAL COMO UNA DIVISIÓN
El número racional como división es el cociente entre dos números enteros, así:
12
3= 4, en este caso cuando se realiza la división se observa que el resultado de
esta división es exacto. Ahora bien, no todas las divisiones de dos enteros no
son exactas, por ejemplo 12
8= 1,5, este resultado tiene residuo diferente de cero
y el resultado es 2,4, lo que significa que hay una parte entera que es 1 y una parte decimal que es 5.
La anterior división se puede expresar como un número mixto, en este caso se resuelve la división
12 8
4 1
Una vez resuelta la división, se reescribe el resultado 1 4
8, el número 1 que
corresponde al cociente de la división es la parte entera y la fracción corresponde al residuo como numerador y al dividendo como denominador.
Luego 12
8= 1
4
8
Ejemplo 2
25 3
1 8 Luego 25
3= 8
1
3
7
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
Para representar un número fraccionario en la recta numérica, se divide la unidad
en tantas partes como indique el denominador y se toman las partes que indica
el numerador.
Ejemplo No.1
Representar en la recta numérica 3
2. Para representar
esta fracción se divide la unidad en dos partes iguales y
luego toma se toman tres partes de ella, tal como lo
muestra la figura.
Ejemplo No. 2
Representar en la recta numérica 4
5. En este caso, se
divide la unidad en cinco partes iguales y de ellas se
toman 4.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad numérica,
pero se escriben de forma diferente.
Se pueden obtener fracciones equivalentes de una fracción dada, multiplicando
el numerador y el denominador por un mismo número.
Ejemplo: Dada la fracción 1
2, de ella se pueden obtener varias fracciones
equivalentes 1
2𝑥
2
2=
2
4
Como se observa en la figura, los tres círculos
representan la misma cantidad, pero se
escriben de forma diferente. Si tomamos 2
4 y
realizamos un proceso de simplificación, se
obtiene 1
2, lo mismo sucede con
4
8; por tanto se
dice que estas fracciones son equivalentes.
8
ORDEN EN Q
Si se tienen las siguientes fracciones 3
2 y
4
5, ¿cómo se puede determinar cuál de
ellos es mayor que el otro?. Si tu respuesta es dibujar ambas fracciones en la
recta y determinar que la fracción que está a la derecha es mayor, se está en lo
correcto.
De lo anterior se puede concluir que si 𝑎
𝑏 y
𝑐
𝑑 son dos fracciones cualquiera, se
dice que 𝑎
𝑏 >
𝑐
𝑑 si y solamente si ad > bc
Entonces del ejemplo anterior 3
2 y
4
5 se tiene que 3x5>4x2 = 15>8
Ejemplo No. 2
Deteminar el orden en las siguientes fracciones 1
4 y
8
7
Al multiplicar las diagonales 1 x 7 y 4 x 8 se observa que los resultados son 7 y
32, por tanto se puede afirmar que 1
4 <
8
7
Ejemplo No. 3
Deteminar el orden en las siguientes fracciones 2
3 y
12
18
Al multiplicar las diagonales 2 x 18 y 3 x 12 se observa que los resultados son
36 y 36 son iguales, por tanto se puede afirmar que las dos fracciones son
equivalentes 2
3=
12
18
Si observas en el ejemplo, se dan dos
fracciones, 3
2 y
4
5, las cuales se han graficado en
la recta numérica, como se puede ver la unidad
sigue siendo la misma y al comparar las
ubicaciones de dichas fracciones podremos
darnos cuenta que 3
2 está a la derecha de
4
5,; por
tanto, 3
2 >
4
5.
9
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO. 1
1. Dados los siguientes números racionales, coloca al frente de cada uno de ellos si corresponde a una fracción a una razón o a una división. a. Luis se comió tres cuartas partes del pastel de su cumpleaños._____________ b. En el supermercado “La X” hay un anuncio que dice así: lleve 2 cremas Colgate por $ 2.300______________
c. La profesora le ha pedido a Laura que divida la unidad en 5 partes y tome dos de ellas.______________
d. Un equipo de futbol jugó 4 partidos y ganó uno_________________
e. Sandra compra un equipo de sonido y la empresa le otorga el 20% de descuento por compra en efectivo.___________________
2. María tiene 3
4 de pizza para repartir, si le da
3
8 de pizza a cada persona ¿a cuántas
personas alcanzó a darles pizza?
3. Exprese las siguientes divisiones en forma mixta
a. 10
3 b.
16
5 c.
9
6 d.
13
4
4. Ramón es un estudiante de nuestra institución educativa, el realiza las siguientes
actividades en un día normal
5:30 a.m. se levanta, 5:45 a.m se baña, 6:00 a.m desayuna, 6:15 a.m sale para el
colegio, 6:45 a.m llega al colegio, 7:00 a.m inicia clases, 9:45 a.m sale a descanso,
1:00 p.m termina clase, 1:45 p.m llega a la casa
a. Realiza una línea de tiempo de las actividades que Ramón realiza durante ese
lapso de tiempo.
b. ¿Si Felipe compañero de Ramón le pregunta al inicio de clase a qué hora se
levantó, cuál será la respuesta dada por él?
_____________________________________________________________________
c. Felipe le pregunta a Ramón en cuanto tiempo llega a su casa, este le responde
en 45 minutos, ¿existe otra forma de expresar dicho tiempo?, si la respuesta es
correcta como expresarías los tiempos de las dos respuestas dadas por Ramón.
____________________________________________________________________
10
5. Se realizó una encuesta a dos grupos de 40 y 20 estudiantes, sobre el deporte
que más practicaban, los resultados se muestran a continuación:
DEPORTE GRUPO 1 GRUPO 2
Atletismo 18 9
Natación 9 5
Ciclismo 10 4
Yudo 3 2
a. ¿Qué parte del total de estudiantes del grupo 1 prefiere la natación?____
b. ¿Qué parte del total de estudiantes encuestados prefiere yudo?____
c. ¿Qué parte del total de estudiantes encuestados prefiere atletismo? _____
d. ¿Qué parte del total de estudiantes del grupo 2 prefiere la ciclismo?____
6. Catalina y Andrés son vecinos, fueron juntos al Supermercado y compraron
algunos alimentos, coloca la relación (<,>, =) que corresponda de acuerdo a la
compra hecha.
a. Carne 2 5
8 b. Papa
13
6
1
2 c. Arvejas
5
8
15
3
7. Coloca en cada recta numérica el número racional que corresponda en el
espacio asignado
8. Representa los siguientes racionales en la recta numérica
a. 5
4, −
7
4, −
8
4,
11
4
b. −6
7,
1
7, −
38
7,
8
7
11
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO. 2
Recorta las fichas y arma grupo de 4 estudiantes y
resuelve en un octavo de cartulina el dominó fraccionario
que se presenta a continuación
12
Así como en los números enteros se realizan operaciones de suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y su inversa, lo mismo sucede con los
números racionales.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Algebraicamente la suma de números racionales se define así:
Ejemplo No. 1
Juan compra 3
4 de carne y decide comprar
5
4 más, como se observa los
denominadores son iguales, por lo tanto, para realizar la suma se coloca el
mismo denominador y se suman los numeradores.
3
4+
5
4=
3 + 5
4=
8
4= 2
Como se puede observar, 4 es el mismo denominador, por tanto se coloca 4 y
se suman los numeradores, el resultado es 2 porque se ha hecho un proceso de
simplificación en la operación.
Ejemplo No. 2
Si Juan en su segunda compra hubiese comprado 5
2, el proceso que se haría
para saber cuánta carne compró es el siguiente
3
4+
5
2=
3𝑥2 + 5𝑥4
4𝑥2=
6 + 20
8=
26
8=
13
4
Ejemplo No. 3
En un tanque había 17
5 m3 de agua y se gastan
8
3, cuánta agua quedó en el tanque,
en este caso se realiza una resta, cuyo proceso es el mismo que se realiza en la
suma.
17
5−
8
3=
17𝑥3 − 8𝑥5
5𝑥3=
51 − 40
15=
11
15
5. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
13
Como se observa es el mismo procedimiento para operaciones con
denominadores diferentes. También se observa que no hubo simplificación
porque no hay factores comunes.
PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Las propiedades de la adición de números naturales y enteros se extienden
también a los números racionales.
Estas propiedades son:
- Clausurativa: Al sumar dos números racionales se obtiene otro número
racional.
Ejemplo
−3
2+
5
4=
−12 + 10
8= −
2
4= −
1
2
- Asociativa: La adición de tres o más números racionales puede
efectuarse realizando distinta agrupaciones y la suma no se altera.
(a + b) + c = a + (b + c)
-
- Conmutativa: Al cambiar el orden de los sumandos la suma no se altera
a + b = b + a
Ejemplo
14
Ejercicio en clase
Realiza dos ejemplos por cada propiedad de la suma de números racionales.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Algebraicamente la multiplicación de números racionales se define así:
Consulta las propiedades de los números racionales
Ejemplo
Se tiene un área como muestra la figura, tres cuartos de ella no tiene baldosa y
se quiere colocar dos tercios de tapete al área sin baldosa, ¿Qué parte del área
del piso quedara con tapete?
DIVISIÓN DE NUMEROS RACIONALES
Algebraicamente la división de números racionales se define así:
𝑎
𝑏÷
𝑐
𝑑=
𝑎𝑥𝑑
𝑏𝑥𝑐
Ejemplo No. 1
5
3÷ (−
2
9) = −
5𝑥9
3𝑥2= −
45
6 Se puede realizar el proceso de simplificación
−45
6 = - −
15
2
2
3 𝑋
3
4=
2𝑋3
3𝑋4=
6
12
15
Ejemplo No. 2
Los 8
9 de los ahorros de Ricardo se han destinado para pagar cuatro cuotas del
carro que compró, ¿qué parte de lo ahorrado corresponde a una cuota?
8
9÷
4
1=
8𝑥1
4𝑥9=
8
36=
4
18=
2
9 luego dos novenos corresponde a una cuota de lo
ahorrado.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE LOS NÚMEROS RACIONALES
- Clausurativa: Al multiplicar dos números racionales se obtiene otro
número racional.
- Conmutativa: Al cambiar el orden de los productos la multiplicación no
se altera
- Asociativa: La multiplicación de tres o más números racionales puede
efectuarse realizando distinta agrupaciones y el producto no se altera.
- Modulativa: La multiplicación obtenida de un racional con uno es siempre
el mismo número racional.
- Anulativa: Al multiplicar todo número racional por cero el producto que se
obtiene es cero.
- Elemento Neutro: Al multiplicar u número racional por uno se obtiene el
mismo número racional.
a ·1 = a
- Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
1
8+
3
4=
4+24
32=
28
32=
7
8
16
Ejercicio en clase
Realiza dos ejemplos por cada propiedad de la multiplicación de los números
racionales.
POTENCIACIÑÓN DE NÚMEROS RACIONALES
En los racionales se definen la potenciación y la radicación como se definió en
los números enteros.
17
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO. 3
1. Carlos decide realizar una caminata diaria los
días lunes, miércoles y viernes, los siguientes son
los km que él recorrió: 8
5,
7
3,
1
2. ¿Cuántos km en
total recorrió Carlos?
2. Felisa fue a la mina y el día lunes extrajo un cuarto
del grano de platino y el día martes tres cuartos.
¿cuánto de platino extrajo Felisa en los dos días?
3. Cierta madrugada, la temperatura en Bogotá era
de −23
4 oC y, a la misma hora, en barranquilla era
79
3 oC. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las dos ciudades?
4. El jardín de María tiene dos quintas partes sembradas de rosas, un tercio
sembrada de claveles y el resto de gladiolos. ¿Qué parte del área de
María está sembrada de gladiolos?
5. En un colegio de 910 alumnos, los dos quintos tienen menos de 14 años.
¿Cuántos alumnos tienen menos de 14 años?
6. Resuelve las siguientes operaciones con números racionales
a. −5
2 +
4
3(−
6
9)
b. 1
2−
3
5+
2
7
c. 10
7 ÷(−
8
3)
d. 2
7 +
2
7 +
2
7
7. Escribe F o V y explica con ejemplos tu respuesta
a. El cuadrado de un racional negativo es un racional negativo____
b. Si un racional positivo se eleva a un exponente negativo, el resultado es
positivo____
c. Si un racional negativo se eleva a una potencia impar, el resultado es
positivo____
d. Nunca se puede hallar la raíz cuadrada de un racional negativo___
18
Conexiones matemáticas grado 6º y 7º grupo editorial norma, 2004
Ejemplos de preguntas analizadas Saber matemáticas grado 5 2012
http://www2.icfes.gov.co
Derechos Básicos de Aprendizaje v.2
www.colombiaaprende.edu.co
Documento No. 3: Estándares Básicos de Competencias. Ministerio de Educación Nacional.
Mayo de 2006.
Ejemplos de preguntas analizadas Saber matemáticas grado 5 2012
http://www2.icfes.gov.co
Matriz de Referencia
www.colombiaaprende.edu.co
Indicador/Categoría EXCELENTE BUENO INCOMPLETO DEFICIENTE VALOR
Comprensión del concepto de número racional
La explicación demuestra completo entendimiento del concepto de número racional como el cociente de dos números enteros
La explicación demuestra entendimiento parcial del concepto de número racional como el cociente de dos números enteros
La explicación demuestra algún entendimiento del concepto de número racional como el cociente de dos números enteros
La explicación demuestra poco entendimiento del concepto de número racional como el cociente de dos números enteros
Ubica números racionales en la recta numérica
Es capaz de ubicar números racionales en la recta numérica
Es capaz de ubicar parcialmente números racionales en la recta numérica
Tiene dificultad para ubicar números racionales en la recta numérica
No es capaz de ubicar números racionales en la recta numérica.
Utiliza las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas en contextos matemáticos y no matemáticos
Es capaz de utilizar las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas de su vida cotidiana
Utiliza parcialmente las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas de su vida cotidiana
Demuestra dificultad para utilizar las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas de su vida cotidiana
No es capaz de utilizar las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas de su vida cotidiana
6. RÚBRICA DE EVALUACIÓN
7. WEBGRAFÍA
