1

I. Функции комплексной переменной

§1. Комплексные числа и действия над ними. Определение 1. Комплексным числом z называется упорядоченная пара чисел

z=(x,y) с определенными операциями над ними.

x – действительная часть числа z: x=Rez

y – мнимая часть.

z1 = z2: => ⎩⎨⎧

==

21

21

yyxx

Действия над комплексными числами

Пусть z1(x1,y1), z2(x2,y2) и z3(x3,y3)

Сумма: z1 + z2 = (x1+x2,y1+y2) (1.1)

а) z1 + z2 = z2 + z1

б) (z1 + z2) + z3= z1 + (z2 + z3)

в) z1 – z2 = (x1–x2,y1–y2) – разность

г) Существует единственное комплексное число 0=(0,0) такое, что z + 0 = z

Произведение: z = z1 * z2 = (x1x2– y1y2 , x2y1+ x1y2) (1.2)

а) z1 * z2 = z2 * z1

б) (z1 * z2) * z3= z1 * (z2 * z3)

в) (z1 + z2) * z3= z1 z3 + z2 z3

Любое действительное число можно считать комплексным x=(x, 0)

г) умножение на действительную единицу не изменяет значения числа

z*(1,0)=z

Определение 2. Комплексное число вида z = (0, 1) называется мнимой единицей и

обозначается i = (0, 1). (В электротехнической литературе для мнимой единицы

используется обозначение j = (0, 1) ).

Очевидно: i * i = i2 = –1.

алгебраическая форма комплексного числа: y

x

z(x,y)

z*

z = x(1, 0) + y (0, 1) = x + i y (1.3)

Число z* = x − i y называется комплексно сопряженным (1.4)

Геометрически z* симметрично числу z относительно оси Ox. (x,-y)

2сли точку (x, y) на плоскости задать полярными координатами, то получим Е

тригонометрическую форму комплексного : ⎧

числа=⎩

⎨=

ϕρϕρ

siny

z = ρ(cosϕ+ i sinϕ) (1.5)

cosx =>

здесь ρ − модуль числа z: ρ = |z|= *22 zzyx ⋅=+

ϕ − аргумент числа z: ϕ = arg z = ϕ0 = arctg y/x

умножение: z1z2 = ρ1 ρ2[cos(ϕ 1+ ϕ 2) + isin(ϕ 1+ ϕ 2)] (1.6)

триго

Форм

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<=−>=<<+−

><+>

0,0,2/0,0,2/0,0

0,00

0

0

0

yxyxyx

yxx

ππ

ϕπϕπ

ϕ

деление: z1/z2 = ρ1/ρ2[cos(ϕ1− ϕ2) + isin(ϕ1− ϕ2)] (на основании

нометрических формул)

ула Эйлера αα sincos iei += α позволяет записать комплексное число в

показательной фор

z = ρ

ме. ϕie (1.7)

Возведение в целую ла Муавра. (положительную и отрицательную) степень. Форму

zn = z z …z = |z|n [cos(nϕ) + isin(nϕ)] (1.8)

z−n = (z*)n /|z|2n = 1/|z|2n [cos(nϕ) − isin(nϕ)] (1.8*)

Извлечение корней

Определение 2. Комплексное число w называется корнем n-ой степени из числа z,

если z =wn. Обозначают w= nn zz /1= . (1.9)

Получение формулы. Пусть sϕ+ i sinϕ) z = ρ(co

cos(nθ)+ i sin(nθ)] =>

θπϕρ

2 =>

w = r(cosθ+ i sinθ)

Согласно (1.9) z =wn => ρ[cosϕ+ i sinϕ] = rn[

⎩⎨⎧

=+=

nkr n

⎪⎩

⎪⎨⎧ =r ρ

+=

nk

n

πϕθ 2 (ρ − модуль, => ρ>0), т.о.

∞∞−=+

++

= ,),2sin2(cos kn

kin

kz nn πϕπϕρ (1.10)

Через k=n−1 значения корней начинают повторяться

тригонометрических функций, поэтому различных значений будет n, для

в силу периодичности

1,0 −= nk .

3

N

• Z

O y

(z) • z x

Рис. 1.19

Стереографическая проекция и z = ∞.

Рассмотрим точку z = ∞. Это число называется бесконечно и стью ил

бесконечно удалённой точкой. Комплексная плоскость с присоединённой

беско

ной плоскости в точке z = 0.

о во ож

о

ет определённая точка Z сферы – та, в

образом, между сферой (без точки N) и

рациях не участвует.

ая или замкнутая плоскость.

нечно удалённой точкой называется расширенной комплексной плоскостью в

отличие от конечной комплексной плоскости.

Наглядным представлением расширенной комплексной плоскости является сфера

Римана.

Рассмотрим сферу S, касающуюся

комплекс

Диаметральн проти пол ную точку

обозначим N. Точку N будем соединять

прямыми со всевозможными т чками

плоскости. Каждой точке z комплексной

плоскости при этом соответству вполне

которой прямая Nz пересекает сферу. Таким

точками плоскости установлено взаимно однозначное соответствие. При этом, если

⎢z ⎢ → ∞, то ее сферическое изображение приближается к точке N. Поэтому

естественно считать точку N сферическим изображением точки z = ∞. Такое взаимно

однозначное соответствие называется стереографической проекцией комплексной

плоскости на сферу.

Помнить! Операции с комплексными числами определены для конечных z, т.е. z = ∞

в арифметических опе

Совокупность всех конечных чисел z – конечная или открытая плоскость.

Совокупность всех чисел z и z = ∞ – это полн

Замечание. Поскольку комплексное число определяется как упорядоченная пара

теми же чисел (x, y), то множество комплексных чисел будет характеризоваться

свойствами, что и множество точек двумерного пространства (см. тему «функции

нескольких переменных», топологические понятия). Например: множество точек

комплексной плоскости, удовлетворяющих условию |z−z0| < ε, называется ε-

окрестностью точки z0 и обозначается C(z0,ε). Аналогично определяется ε-

окрестностью точки M0 двумерного пространства – плоскости. Поэтому перенесем

4все понятия и свойства множества точек n-мерного арифметического пространства

на множество комплексных чисел, за исключением z = ∞.

Окрестностью бесконечно удаленной точки z = ∞ называется внешность круга с

§2. Последовательность комплексных чисел.

центром в точке z = 0 радиуса R, т.е. множество точек комплексной плоскости,

удовлетворяющих условию |z|>R. Окрестностью точки z = ∞ будет достаточно мала,

если радиус R достаточно большой: |z|>1/ε.

Очевидно, для z = ∞ |z|=∞, но arg z – не определен.

Определение 3. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие

некоторое комплексное число zn, то говорят, что на множестве комплексных чисел

задана последовательность, отображающая множество N в C, и обозначают { zn }.

zn= xn+ iyn => { zn } = { xn } + i{ yn }.

Определение 4. Число z=x+iy называется пределом последовательности {zn} = {xn} +

∞→i{yn} и обозначается z = nzlim , если ∀ε>0 ∃ N(ε), что ∀n > N(ε) => |z − z

nn| < ε.

теорема 1.1. Последовательность { zn n } + i{ yn } имеет своим пределом } = { x

число z=x+iy тогда и только тогда, когда

nnxx

∞→= lim и nn

yy∞→

= lim

Это утверждение доказывается на основании определения 3 и определения модуля

§3. Определение функции комплексной переменной.

комплексного числа (Доказать самим).

Понятие функции Определение 5. Пусть на комплексной плоскости или сфере задано множество D.

и Если каждому комплексному числу z ∈ D поставлено в соответствие одно ил

несколько значений w (к ним может принадлежать и ∞=w ), то говорят, что на D

определена функция комплексного переменного z и запис т:

w = f(z) или f : z → w.

ываю

Множество D − область опреде

чений функции w = f(z).

ожество

E». При этом z называется независимым переменным или аргументом, или

прообразом, а w – зависимым переменным или функцией, или образом.

ления функции.

Совокупность E всех точек w = f(z) − область зна

Говорят: «функция w = f(z) осуществляет отображение множества D на мн

5Если каждому значению z соответствует только одно значение w, то функция w =

f(z) называется однозначной. Пример: w=z5+i.

В противном случае w = f(z) – многозначная функция. Пример: w= iz +

y

x

z(x,y)

w(u,v)

v

u

f

E

D

.

ых

v е и

y y), Im w = v(x, y).

енной во многом определяются

ных.

Задание w = f(z) эквивалентно заданию двух

вещественных функций от двух вещественн

переменных. Действительно, каждой паре

действительных чисел (x,y) из D ставится в

соответствие пара действительных чисел w =(u,v)

из E, т.е. u и − действительны функци двух

действительных переменных (x, y): u = u(x, y),

v = v(x, y). Или w = f(z) = u(x, y) + i v(x, ), Re w = u(x,

Поэтому свойства функции комплексной перем

свойствами функций двух действительных переменОсновные элементарные функции Таблица 1

w=f(z) w = u + iv

w = zn w = |z|n(cos nϕ + i sin nϕ)

w = ez w= ex eiy = ex(cos nϕ + i sin nϕ)

w = Lnz

w Lnz u iv i(Arg z) => Arg z = arg z + 2πk =>

ие логари

e = e = z => e e = |z| e⎩⎨⎧

==

zArgvzeu ||

,

w = Lnz =ln|z|+i(argz+2πk)

w = lnz =ln|z|+iargz − главное значен фма

w = zp, p∈ C w= )arg||(lnlnln zzpzpz eeep +==

w=sinz

w=cosz

=

Согласно формуле Эйлера

sinz iee zizi

2

−−= sinx chy+icosx shy; sinz= – i sh iz

cosz = 2

zizi ee −+= cosx chy–isinx shy; cosz= ch iz

w=tgz

w=ctgz tgz= zizi

zizi

e+cos eeei

zz

−

−−−=

sin; ctgz= zizi

zizi

eez −sineeiz

−

−+=

cos

6

w=shz

w=chz shz = 2

zz ee −−; chz = 2

zz ee −+

w=Arcsinz

osz

w= Arcsinz = −iLn(iz+

w=Arcc

21 z− )

ccosz = −iw= Ar Ln(z+ 12 −z )

w=Arctgz

w=Arcctgz w= Arctgz =

izizLni

−+

−112

; w= Arcctgz = izizLni

−+

−2

Вывод форм Arcsinz. Sinwулы для w= =z => zi2ee wiwi

=− −

=> izee wiwi 2=− − .

Пусть = t, тогда t2−2izt−1=0 => t = iz + wie 21 z−

2 2iw = Ln(iz + 1 z− ) => w = Arcsinz = −iLn(iz+ 1 z− )

Предел и непрерывность функции

П я w = f(z точки z0 роме, быть может, амой точки z0.

усть функци ) определена в окрестности , ксОпределение 6. Комплексное число называется пределом функции w = f(z) при

zz →

0w 0 , если 0>ε∀ ( ) 0>εδ∃ такое, что для всех z: ( )εδ<−< 00 zz , => ( ) ε<− 0wzf .

Записывается ( )zfw

zz 0

lim0→

= . (3.1)

Для ФКП пол м iy+ , ivuw ( ) ожи xz = 000 000 += . Тогда сущ предеествование ла zfzz 0

lim→

равносильно существованию двух пределов ( )yxuxx

,lim0

yy 0→→

0→

и ( )yxvxx

,lim0

для ∞≠0w , yy

→т. е.

( )( )

( )⎪⎨ =

⇔=→

→ ;,lim

,

lim0

00

0 vyxv

x

wzf yy

zz (3

⎪⎩

⎪⎪⎧ =

→→

→,lim 0

00

0

uyu

yyxx

xx

.2)

а также ( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔=

→

→

→ ,rg w для 00aarglim

,limlim

0

0

0

0

0

0 zf

wzfwzf

zz

zz

zz≠w (3.2*) и

Формально определение предела ФКП такой же как для ФНП. Следовательно, все теор пределов (х : − +) остаются в сил

∞≠0w .

емы для е. Опре 7. Пусть функция w = f(z) оп ена й её деление редел в точке и некоторо0z

окрестности. Функция w = f(z) называется непрерывной в точке 0z , если существует конечный предел ( )zf

zz 0

lim→

, и его значение совпадает с ( )zf , т. е. 0

( ) ( )00

lim zfzfzz

=→

. (3.3)

7Определение 7*. (В терминах ε− (ε)>0 та

юбого z: |z−z |< δ справедливо неравенство |f(z) − f(z )| < ε.

ласти D.

0

δ) Для любого ε>0 существует δ кое, что для

л 0 0

Замечание 1. Определение распространяется как на внутренние, так и на граничные

точки D.

Замечание 2. По определению функция считается непрерывной в изолированной

точке z0 об

Замечание 3. Понятие непрерывности f(z) в точке z ∈ D справедливо и для ∞=0z .

Определение 7**. (На языке приращений) z − z0 = z (приращение аргументаΔ )

f(z)−f(z ) = Δw (приращение функции) 0

Тогда условие (3.3) запишется 0lim =Δ w . →Δ z 0

Функция непрерывна в точке z0, если малому приращению аргумента соответствует

малое приращение функции.

Определение 8 Функция непрерывна на множестве Е, если она непрерывна в каждой

его точке.

Основные свойства непрерывных функций действительного аргумента остаются в

силе и для функций комплексного переменного.

сной переменной. Пусть функция w = f(z) определена в области D. §4. Дифференцирование функции комплек

Определение 8 Функция f(z) называется дифференцируемой или моногенной в точке

z ∈ D, если при 0→Δz ( zzz0 0−=Δ ) существует конечный предел разностного

отношения ( )zzf

Δ

−Δ+

Δ

)()( (4.1)

Этот предел нкции w = f(z) в точке z

fz

zfz

z′=

→0lim

называется производной фу 0 и обозначается ( )zf ′

Отступление. Центральная идея ТФКП возникает при формулировке понятия Ппроизводной . На первый взгляд это определение аналогично определению ФД ,

однако, приращение комплексного аргумента Δz характеризуется не только величиной |Δz |, но и направлением arg(Δz), а производная по определению от направления не зависит. Поэтому, дифференцируемость ФКП гораздо более редкое явление, чем дифференцируемость ФДП, а дифференцируемые ФКП − аналитические функции − обладают гораздо более единообразными свойствами, чем дифференцируемые функции действительного аргумента.

8Теорема 4.1 Условия Коши-Римана. (Необходимые условия дифференцируемости)

Если функция w = f(z) дифференцируема в точке z, то её действительная и мнимая

части обладают частными производными первого порядка, которые удовлетворяют

условиям Коши – Римана: yvu

∂x∂

∂∂ = ; x

vuy ∂

∂∂∂ −= . (4.2)

Доказательство. По теоремы я w = f(z) дифференцируема в условию функци

точке z, т. е. существует zw

z ΔΔ

→Δ 0lim , не зависящий от способа стремления 0→Δz .

Положим iyxz += , тогда ( ) ( )yyixz xz Δ++Δ+=Δ+ .

Имеем ( ) ( ) ( )yxivzf ,+ , тогда ( ) ( ) ( )yyxxivyyxu ,= yxxuzzf Δ+Δ++Δ+Δ+= , .

)

,+ Δ

Отсюда ( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )yΔ+= xxu + Δ −−Δ+=Δ yxuyyzfzzfw ,, + + viuxvyyxxvi + Δ + Δ Δ=− + Δ,, .

иеОтношен zw

ΔΔ примет вид: yix

viuzw

Δ+ΔΔ+Δ

ΔΔ = .

Рассмотрим два способа zΔ стремления к нулю.

1) пу

учае

сть 0=Δy , 0→Δx .

В этом сл ( ) xv

xu

xv

xu

xviu

zw iizf

xxxz ∂∂

∂∂

ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ+Δ

ΔΔ +=+===′

→Δ→Δ→Δ→Δ 0000limlimlimlim ;

Δy → 0.

z+Δz

y

xz

2) пусть Δx = 0,

yv

yu

yv

yu

yiviu

zw ii

yyyz ∂∂

∂Δ

ΔВ этом случае ( )zf ∂ΔΔ

ΔΔ

Δ+ ΔΔ +−=+−==

→Δ→Δ→ΔΔ 000limlimlim .

х рассмотренных случаях предел должен быть ин и

=′→0

lim

Так как в обои од

тот же, то должно выполняться равенство yv

yu

xv

xu ii ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ +−=+ .

Приравнивая друг другу действительные и п мнимые части, олучим условия Коши –

Римана: yv

xu

∂∂

∂∂ = , x

vyu

∂∂

∂∂ −= . чтд

Теорема е условия дифференцируемости) 4.2 (Достаточны

w = f(z) в точке z имеют

(x, y) и v(x, y) имеют в точке z

полн

Если действительная u(x, y) и мнимая v(x, y) части функции

полные дифференциалы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то функция

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) дифференцируема в точке z.

Доказательство. ♦ По условию функции u

ый дифференциал, значит, их полное приращение представимо в виде

yxyxu yu

xu Δβ+Δα+Δ+Δ=Δ ∂

∂∂∂ ,

yxyxv yv

xv Δβ+Δα+Δ+Δ=Δ ∂

∂∂∂

11 ,

где α, β, α1, β1 – б. м. при , 0→Δx 0→Δy . Преобразуем выражение αΔx + βΔy:

z+Δz

x

z

y

9

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛β+αΔ+Δ=Δβ+Δα

Δ+Δ

Δ

Δ+Δ

Δ2222

22

yx

y

yx

xyxyx ( ) ( )22 yx Δ+Δγ , где 0→γ при 00

→Δ→Δ

yx .

Аналогично ( ) ( )22111 yxyx Δ+Δγ=Δβ+Δα , где 01 →γ при

00

→Δ→Δ

yx .

Получаем ( ) ( )22 yxyxu yu

xu Δ+Δγ+Δ+Δ=Δ ∂

∂∂∂ ,

( ) ( )221 yxyxv y

vxv Δ+Δγ+Δ+Δ=Δ ∂

∂∂∂ , где 0→γ , 01 →γ при

00

→Δ→Δ

yx .

Тогда ( )

yix

zyxizyx

yixviu

zw y

vxv

yu

xu

Δ+Δ

Δγ+Δ+Δ+Δγ+Δ+Δ

Δ+Δ

Δ+Δ

Δ

Δ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==1 .

Учитывая условия Коши – Римана (3.2), получим ( ) ( ) ( )yix

ziyixiyix

zw x

vxu

Δ+Δ

Δγ+γ+Δ+Δ+Δ+Δ

Δ

Δ ∂∂

∂∂

= 1 .

Разделив почленно, найдём zi yixi

xv

xu

zw Δ++= Δ+Δ

γ+γ∂∂

∂∂

ΔΔ 1 . (4.3)

Очевидно, одновременно с 0→Δz00

→Δ→Δ

yx . Оценим по модулю слагаемое zyix

iΔΔ+Δ

γ+γ 1 :

( ) ( ) ( ) ( ) 021

22222 11 →γ+γ=Δ+Δ=Δ+ΔΔ+Δ

γ+γ

Δ+Δ

γ+γ

yix

i

yix

iyxyx при . 0→Δz

Итак, переходя к пределу при в равенстве (4.3), находим 0→Δz

0lim0

++= ∂∂

∂∂

ΔΔ

→Δ xv

xu

zw i

z, т. е. ( ) x

vxu izf ∂

∂∂∂ +=′ ,

значит, функция w = f(z) дифференцируема. чтд

На основании (4.2) ( ) xv

yv

yu

xu

yu

yv

xv

xu iiiizf ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ +=−=−=+=′ . (4.4)

Определение 9 Функция f(z) называется дифференцируемой в области D, если она

дифференцируема в каждой точке этой области.

Теорема 4.3 Эквивалентность условий Коши-Римана и условия 0*

=∂

∂

z

f.

Условия Коши-Римана и 0*

=∂

∂

z

f эквивалентны.

Доказательство. Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Выразим x и y через z и z*:

z=x+iy ; z*=x − iy => 2

,2

** zzzzyx

−+== . => ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+−+

=2

*,

2

*

2

*,

2

*)(

zzzziv

zzzzuzf , т.е.

формально f(z) – функция двух переменных z и z*. Найдем

10

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

***** z

y

y

v

z

x

x

vi

z

y

y

u

z

x

x

uz

f = ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂

y

v

ix

vi

y

u

ix

u 1

22

1

2

1 =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂

x

v

y

ui

y

v

x

u

22

1 . => Если 0*

=∂

∂

z

f, то y

vxu

∂∂

∂∂ = , x

vyu

∂∂

∂∂ −= . И наоборот.

Теорема дает более простой способ отыскания производной:

если 0*

=∂

∂

z

f, то

zd

fd

z

f=

∂

∂ (4.5)

Таким образом, производная получается формальным дифференцированием по z.

Замечание. На основании условия 0*

=∂

∂

z

f легко показать, что все элементарные

функции комплексной переменной (таблица 1) являются дифференцируемыми в

своей области определения.

§5. Понятие аналитической функции. Определение 10 Функция w = f(z), однозначная и дифференцируемая во всех точках

области D, называется аналитической в этой области.

Определение 10* Функция w = f(z) называется аналитической в точке z, если

существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична.

Обратите внимание! Условия дифференцируемости и аналитичности для

однозначной функции f(z) в области совпадают. Условие аналитичности функции в

точке содержит больше требований, чем условие дифференцируемости, т.к. для

аналитичности функции f(z) в точке необходимо, чтобы f(z) имела производную не

только в самой этой точке, но и в некоторой её окрестности. Свойства аналитических функций.

1. Если f1 и f2 − аналитичны, то их сумма (f1 + f2), произведение (f1 f2) также

аналитичны, а частное (f1/f2) − аналитично всюду, где . 02 ≠f

2. Если w=f(z) аналитическая в D, а в области ее значений аналитична функция

t=ϕ(w), то сложная функция t=ϕ( f(z)) является аналитичной в D.

3. Если в окрестности z0 определена аналитическая функция w=f(z) такая, что

, то в окрестности точки w0)(' 0 ≠zf 0 определена единственная обратная

функция z= ϕ( w), аналитическая в этой окрестности, и )('

1)('0zf

w =ϕ .

11Это свойство локально, т.к. из условия 0)(' 0 ≠zf для единственной функции

f(z) не следует единственность обратной функции.

4. Если f(z) аналитична в D и не постоянна в D, то ее модуль не достигает в D

наименьшего значения. Если f(z) в D не обращается в нуль, то ее модуль не

достигает наибольшего значения. Если при этом f(z) непрерывна на границе

D, то |f(z)| достигает наибольшего и наименьшего значения на границе.

5. Если w= f(z) аналитическая и ограниченная на всей комплексной плоскости,

то f(z) = const (теорема Лиувилля). Гармонические функции.

Определение 11 Уравнение вида 02

2

2

2=

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂

yx называется уравнением Лапласа.

Определение 11* Действительная функция двух действительных переменных ( )yx,ϕ ,

непрерывная в области D, имеющая непрерывные частные производные второго

порядка, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической в

области D.

Теорема 5.1 Действительная и мнимая части аналитической функции в области D

являются гармоническими в этой области. ДОКАЗАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

§6. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть задана аналитическая в точке z0 функция f(z), причем 0)(' 0 ≠zf . =>

z

f

zzf

Δ

Δ

→Δ=

00 lim)(' или )()(' 0 zzzff Δ+Δ=Δ α .

)()( 0zfzff −=Δ , 0zzz −=Δ => )()(')()(')( 0000 zzfzzfzzfzf Δ+−+= α .

Обозначим: azf =)(' 0 , bzfzzf =− )(')( 000 , тогда )()( zbzazf Δ++= α . Таким

образом, если ф. дифференцируема в z0 и 0)(' 0 ≠zf , то она отличается от линейной

функции w=az+b на б.м. )( zΔα порядка выше первого относительно zΔ .

Следовательно, в окрестности z0 отображение, осуществляемое дифференцируемой

функцией с неравной нулю производной с точностью до б.м. порядка выше первого

относительно , обладает свойством линейного отображения. Это отображение

зависит только от выбора точки z

zΔ

0.

12 Отсюда следует (геометрический смысл), что отображение f достаточно малой

окрестности точки z0 сводится к повороту на угол ϕ равный arg(f’(z0)) и к

преобразованию подобия с коэффициентом подобия k=|f’(z0)|.

Пояснение. Если в плоскости z выбрать два направления γ1 и γ2 исходящие из z0 под

углом θ, то при отображении f они перейдут в направления Г1 и Г2, но угол между

ними останется тот же. Это свойство сохранения углов. Любая дуга, проходящая

через z0, при отображении f изменится в k раз. Это свойство сохранения

коэффициента растяжения. Другая точка будет характеризоваться другими углом

поворота и коэффициентом растяжения.

Отображения, обладающие свойствами сохранения углов поворота и

коэффициентов растяжения называются конформными.

13

§7. Криволинейный интеграл второго рода. Рассмотрим пространство материальных точек, где на

каждую точку действует сила )M(F (векторное поле).

Вычислим работу, совершаемую силой F по

перемещению точки M вдоль кривой K (MN). Для этого

разобьем кривую на n произвольных частей точками

{М1, М2, …, Мn} в направлении от M к N. Обозначим

вектор Мi, Мi+1 = . Тогда работа силы isΔ )(MF вдоль дуги (Мi, Мi+1)

Ai ≈ ),( ii sF Δ

Пусть jyxYiyxXMF ),((),()( += , jyixs iii Δ+Δ=Δ , тогда

),( ii sF Δ = iiiiii yyxYxyxX Δ+Δ ),((),( и приближенно сила на всей кривой (MN)

A ≈ [ ]∑∑==

Δ+Δ=Δn

iiiiiii

n

iii yyxYxyxXsF

11),((),(),( (7.1)

Если существует предел суммы выражения (7.1) при isΔ →0, то этот предел

выражает работу силы F по перемещению точки М вдоль кривой K (MN) и этот

предел называют криволинейным интегралом II рода. Обозначают

А= (7.2) ∫ +K

ydyxYxdyxX ),(),(

Определение 12 Пусть дана кривая K (MN), пусть в каждой точке кривой определена

функция f(M).

а) Разобьем кривую K (MN) на n частей T{A1, A2, …, An},

б) выберем точки Mi∊(Ai, Ai+1)

в) составим произведение f(Mi) ixΔ , где xi − проекция (Ai, Ai+1) на ось Ox

г) обозначим d=max|Ai, Ai+1| максимальный диаметр элементарной дуги

д) составим сумму i

n

iiiii

n

ii xfxMf Δ=Δ= ∑∑

== 11),,()( ςηξσ

Если при d→0 σ имеет конечный предел ),(lim0

TMidσ

→, не зависящий от выбора

точки Mi и от способа разбиения А, то этот предел называется криволинейным

интегралом II рода от f(M)dx взятым по кривой (MN)

xi+Δxi

M

y

NМi

Мi+1

xi

Δ

Fi

siyi

yi+Δyi

М1

x

14

∫=K

xdMfI )( (7.3)

Аналогично строятся интегралы и ∫=K

ydMfI )(* ∫=K

zdMfI )(**

В общем случае, если на кривой K (MN) определены функции ),,( zyxP , ),,( zyxQ ,

),,( zyxR и существуют интегралы I, I*, I** то их сумму называют криволинейным

интегралом II рода общего типа

zdzyxRydzyxQxdzyxPMN

),,(),,(),,( ++∫ (7.4)

Свойства (6.4) аналогичны св. опр. инт., сформулируем только специфические

1.Если функция f(M) непрерывна на кривой (MN), то крив. интеграл существует.

2. Криволинейный интеграл II рода меняет знак при изменении направления кривой

∫∫ −=BAAB

xdMfxdMf )()(

Вычисление. Если (MN) задана явно y=y(x), то

dxyxyxyxQxdxyxPydyxQxdyxPx

xMN)('))(,())(,(),(),(

2

1

+=+ ∫∫

Если (MN) задана параметрически x=x(t), y=y(t), z=z(t) то

zdzyxRydzyxQxdzyxPMN

),,(),,(),,( ++∫ =

tdztztytxRtdytztytxQtdxtztytxPt

t'))(),(),(('))(),(),(('))(),(),((

2

1

++∫

Пример. Вычислить от M(1,1) до N(2,8) вдоль кривой y=x∫ +=N

MdyxyydxxI 22 106 3.

y’=3x2 => ( )∫∫ =+=+=2

1

952

1

22332 31323063)(106 dxxxdxxxxdxxxI

Интеграл по замкнутому контуру.

В этом случае начало и конец кривой совпадают, поэтому знание начальной и

конечной точки не определяют направления.

Для пространственной кривой направление указывается в каждом случае отдельно.

Для плоской кривой есть общее правило ориентации кривой.

Определение 13. Положительным направлением обхода замкнутого контура

называется то направление, при котором область внутри контура при движении

15вокруг контура остается слева от наблюдателя. (Правая ориентация – область

справа).

Теорема 6.1 Формула Грина (связь между двойным интегралом по области D и

криволинейным интегралом по контуру C, ограничивающему область D).

Пусть С – замкнутый контур, ограничивающий области D, D

– правильная область, снизу ограничена y1(x), сверху -- y2(x),

(a≤x≤b).

Пусть в D заданы )y,(xP , ),( yxQ , непрерывные со своими

частными производными. Рассмотрим ∫∫ ∂∂

Ddxdy

yyxP ),( =

dxdyy

yxPb

a

y

y∫ ∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂2

1

),( = [ ]dxxyxPxyxPdxyxP

b

a

b

a

yy ∫∫ −= ))(,())(,(),( 12

2

1 =

M

y

= = =dxxyxPdxxyxPb

a

b

a∫∫ − ))(,())(,( 12 ∫∫ −

MBNMANxdyxPxdyxP ),(),( ∫

MANBMxdyxP ),( = – ∫

C

xdyxP ),(

Аналогично рассмотрим ∫∫ ∂∂

Ddxdy

xyxQ ),( = ∫

C

ydyxQ ),( .

Вычитая два интеграла получим:

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

D

dxdyy

yxPx

yxQ ),(),( = ∫ +

CydyxQxdyxP ),(),( . (7.5)

Независимость от пути интегрирования.

Выясним, аковы у ловия независимости криволинейного инт

кривой. Рассмотрим dyxQxdyxP ),(),( +∫

к с еграла от формы

MN)(. y

Пусть . => yQdxPdyQdxPdMBNMAN

+=+ ∫∫)()(

0 = = = yQdxPdyQdxPdMBNMAN

+−+ ∫∫)()(

yQdxPdyQdxPdNBMMAN

+++ ∫∫)()(

∫ +MANM

yQdxPd = 0

Теорема 6.2. Пусть ),( yxP и ),( yxQ непрерывны вместе со своими частными

производными в области D. Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл по

любому замкнутому контуру был равен нулю ∫ +C

yQdxPd = 0, необходимо и

достаточно выполнения условия x

yxQy

yxP∂

∂=

∂∂ ),(),( во всех точках области D.

y2(x)

D

N

x

y1(x)

b

А

В

M

a

NА

В

16

Доказательство. Достаточность (<=) Пусть x

yxQy

yxP∂

∂=

∂∂ ),(),( .

Тогда по формуле Грина ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

Ddxdy

xyxQ

yyxP ),(),( = ∫ +

CydyxQxdyxP ),(),( = 0 чтд.

Необходимость (=>) Пусть ∫ +C

yQdxPd = 0 .

Предположим противное: xQ

yP

∂∂

≠∂∂ , для определенности 0>

∂∂

−∂∂

yP

xQ .

Проинтегрируем: 0>==>∂∂

−∂∂

∫∫∫∫∫∫ DDDD

SdxdydxdydxdyyP

xQ δδδ . Но по формуле

Грина dxdyyP

xQ

D∫∫ ∂

∂−

∂∂

= ∫ +C

yQdxPd = 0 – противоречие. => теорема доказана.

Таким образом, выполнение условия x

yxQy

yxP∂

∂=

∂∂ ),(),( ведет к независимости

интеграла от пути интегрирования. Но это условие равносильно тому, что

выражение yQdxPd + есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y). А

условие полного дифференциала (xuP

∂∂

= , yuQ

∂∂

= и xQ

yP

∂∂

=∂∂ ) мы доказали в теме

«ДУ в полных дифференциалах».

Таким образом, мы приходим к удобной для вычисления криволинейного интеграла

формуле

Теорема 6.3. Криволинейный интеграл от полного дифференциала функции U(x,y)

по любой кривой K, соединяющий точки M и N равен разности

значений функции U(x,y) в этих точках

∫ +=K

yQdxPdI

)()(),()(

MUNUyxduyQdxPdIN

MMN−==+= ∫∫ (7.6)

Доказательство. = ∫ +=)(MN

yQdxPdI ∫ ∂∂

+∂∂

)(MNyd

yuxd

xu . Пусть (MN) задана

параметрически: x=ϕ(t), y=ψ(t). Тогда ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=T

ttd

ty

yu

tx

xuI

0

, где t0 и T

17

соответствуют M и N, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

ty

yu

tx

xu

− полная производная dtdu . =>

∫=T

ttd

dtduI

0

= TtttU

0))(),(( ψϕ = ))(),(())(),(( 00 ttUTTU ψϕψϕ − = )()( MUNU − . чтд

В случае пространственной кривой интеграл также не зависит от

формы кривой, если

∫ ++K

zRdyQdxPd

dUzRdyQdxPd =++ . Выведем условие полного

дифференциала для этого случая, т.е. найдем функцию U(x,y,z), для которой

xuP

∂∂

= yuQ

∂∂

= zuR

∂∂

= =>

yxu

yP

∂∂∂

=∂∂ 2

zx

uzP

∂∂∂

=∂∂ 2

xyu

xQ

∂∂∂

=∂∂ 2

zy

uzQ

∂∂∂

=∂∂ 2

=> xQ

yP

∂∂

=∂∂

, xR

zP

∂∂

=∂∂

, yR

zQ

∂∂

=∂∂

(7.6)

xzu

xR

∂∂∂

=∂∂ 2

yzu

yR

∂∂∂

=∂∂ 2

т.о. если выполняются условия (6.6), то интеграл не зависит от

формы кривой K, а только от начальной и конечной точки

∫ ++K

zRdyQdxPd

BA

KMUzRdyQdxPd )(=++∫ = U(B)−U(A).

y

xa/2O

Пример. Вычислить , где

АО: x

∫ −+−=OA

xx ydpyexdpyyeI )cos()sin(

2+y2=ax, A(a,0), O(0,0). A

Обозначим Дополним кривую А

конт отрезком АО оси О тогда

pyyeP x −= sin , pyeQ x −= cos . О до замкнутого

ура х, ∫∫ +−+= ydxPdyQdxdI . AOK

QP

= = ∫∫D

ypdxd πρρϕϕπ

2cos

0

2/

0 8apddp

a=∫∫ p

yP

xQ

=∂∂

−∂∂ => по формуле Грина ∫ +

KyQdxPd

ОА: y=0 => dy=0, P=0 => = 0 => ∫ +AO

yQdxPd π2

8apI = .

18

§8. Интегрирование функции комплексной переменной. Понятие интеграла функции комплексной переменной

Пусть в области D задана однозначная и

непрерывная функция комплексной переменной

w = f(z) и пусть Г – произвольная кусочно-гладкая

ориентированная (а – начало, b – конец) кривая

(Г∊D).

1) Построим разбиение T{ }, обозначимbzzza n == ,...,, 10 .1−−=Δ kkk zzz

2) Выберем kζ произвольно, kζ ∈ kzΔ

3) Составим сумму называется комплексной интегральной суммой

функции f(z)

4) Обозначим d=

( )∑=

Δζ=n

kkkn zfS

1

. nS

knk

zΔ≤≤1

max .

Определение 14. Предел комплексной интегральной суммы при 0max1

⎯⎯⎯ →⎯Δ∞→≤≤ nknk

z

называется интегралом от функции f(z) вдоль кривой Г и обозначается

( ) ( ) k

n

kkz

zfdzzfk

k

Δζ= ∑∫=

→ΔΓ 1

0maxlim (8.1)

Замечание.

1. Определение интеграла от фкп сохранаяется и на случай замкнутой кривой.

2. Кривую Г, имеющую противоположное направление обозначают Г −.

3. Если кривая Г замкнута, то различают два направления обхода:

положительное − область, ограниченная контуром, остается слева и

отрицательное − область, ограниченная контуром, остается справа.

ζ3 Γ z3 • z3 zn-1 • b = zn

ζ2 •

z1

ζ1• • a = z0

Рис. 5.1

Теорема 7.1. (теорема существования) Если функция f(z) однозначна и непрерывна

на кусочно-гладкой ориентированной кривой Г, то предел комплексной

интегральной суммы сущ. и не зависит ни от способа разбиения кривой, ни от

выбора точек ζk.

Доказательство.

Обозначим , . Тогда ( ) ( ) ( )kkkkk ivuf ηξ+ηξ=ζ ,, kkk iyxz += kkk iη+ξ=ζ и

( ) −+=−=Δ − kkkkk iyxzzz 1 ( ) =+ −− 11 kk iyx ( ) ( ) .11 kkkkkk yixyyixx Δ+Δ=−+− −−

19

В (8.1): ( ) =Δζ= ∑ kkn zfS ( ) ( )[ ]=

n(

k 1

)Δ + Δηξ+ηξ∑ kkkkkk yixivu ,, ==

n

k 1

( ) ( )[ ]+Δ−Δ∑=

n

kkkkkkk yvxu

1, ηξηξ ( )[∑, ( ) ]

=

Δηξ+Δξ kkkkk xvy ,

интегральными суммами для

ηn

kkui

1

,

Но суммы в правой части равенства являются

действительных криволинейных интегралов dxu −∫ dyvΓ

и , для которых

о, что если функции u(x,y) и v(x,y) непрерывны на кусочно-гладкой кривой

х сумм в пра ествуют и н зависят ни от

∫Γ

+ dxvdyu

известн

Г, то пределы интегральны вой части сущ е

( )kk ηξ , . способа разбиения, ни от выбора точек

0max →Δ kzПереходя к пределу при , приходим к равенству

+ dxvdyuidyvdxudzzf . ( )ΓΓ

+−= чтд (8.1) ∫∫∫Γ

Свойства интегралов

. Следуе определения интеграла;

3) Свойство линейности: cdzzfcn

kk

n

kkk ∑ ∫∫ ∑

= ΓΓ =

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

11

аддитивности:

1) ( ) ( )dzzfdzzf ∫∫ −= т изΓΓ

2) 12

2

1

zzdzz

z

−=∫ , где 1z и 2z − начало и конец пути интегрирования;

−

( ) ( )dzzfk ;

( ) ( ) ( )dzzfdzzfdzzf ∫∫∫4) Свойство ΓΓΓ 21

+= , где Г – кривая, состоящая их двух

частей таких, что конец 1Γ совпадает с началом 2Γ , т.е. 21 ΓΓ=Γ U ;

5)

Р

Оценка интеграла по модулю.

ассмотрим ( )∑=

Δζ=n

kkkn zfS

1

( ) k

n

kk zf Δζ≤ ∑

=1

,

но kk lz Δ≤Δ , где klΔ – длина дуги ( )kk zz ,1− , kzΔ − длина стягивающей хорды, значит

( ) kn ≤n

k

lfSk

Δζ∑=1

. Переходя к пределу при ,0ma ⎯⎯ →⎯Δ∞→nz пол чим (x ⎯k у ) ( ) dlzfzzf ∫∫

ΓΓ

≤ .

6) Если функция

d

f(z) ограничена на Г, т.е. ( ) Mzf ≤ Γ∈∀z , то получим оценку

интеграла ( ) Mldzzf ≤∫Γ

, где l – длина кривой Г.

Теорема 7.2. (теорема Коши для односвязной области).

20Если функция итична в односвязной области D, а С – замкнутая, кусочно-

гладкая кривая, лежащая в области D, то

(8.2)

f(z) анал

( ) 0=∫C

dzzf .

Доказательство. Пусть f(z) − аналитическая функция, т.е. ∃ y

v

x

u

∂

∂

∂

∂, ,

x

v

y

u

∂

∂

∂

∂, .

CCC

По формуле Грина:

а) если для функций P(x,y) и Q(x,y)

По (8.1): vdxudyivdyudxdzzf . (*)

существуют непрерывные их частные

производные и

( ) ∫∫∫ ++−=

б) xQP

y ∂∂

∂∂ =

то QdyPdx = 0

оверим, выполн я (*).

Условие а) выполняется в силу аналитичности f(z),

,

∫ +C

Пр яются ли условия формулы Грина дл

y

v

x

u

∂

∂

∂

∂, ,

x

v

y

u

∂

∂

∂

∂, существуют и непр.

Условие б): vu ∂

y

vu ∂∂

x ∂=

∂,

xy ∂−=

∂

∂ выполняется, т.к. это условие Коши-Римана для аналит.

нулю. чтд => оба интеграла (*) равны

Справедлива обратная теорема: если f(z) непрерывна в D и для ЛЮБОГО

замкнутого контура С, лежащего в D ( ) 0=∫C

dzzf , то f(z) аналитична.

Теорема 7.3. (независимость интеграла от пути интегриров ). ания

ция в односвязной области D, то интеграл от неё

вдол не зависит от формы дуги L, а зависит только от начальной

точки а и конечной точки b пути интегрирования

Ра

ведущие от −+ 21 LL . Так ка

Если f(z) – аналитическая функ

DL ⊂ ь любой дуги

Доказательство. ссмотрим две произвольные дуги и

точки a в точку b. =C к f(z)

1L 2L ,

аналитична в D, то по теореме Коши ( ) 021

=∫−+LL

dxzf

По свойств алов

.

ам интегр ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫−+

−=LL L L

fdzzfdzzf =

21 1 2

0dzz => ( ) (∫ ∫=1 2L L

dzzfdzzf ) чтд.

a

bL2

L1

D

21

можно писать

Следствие 1. Для аналитической в D функции интеграл не зависит от формы дуги L,

а только от начальной и конечной точки и ( )∫L

dzzf =

На основании этой теоремы все методы интегрального исчисления функции

риров ния ана ческой

функции f(z), а именно

Следствие 2.Если

( )∫b

a

dzzf .

действительной переменной можно использовать и для интег а ли

–функция, для которой ( ) ( )zfz =Φ'( )zΦ , где – аналитическая, то ( )zf

справедлива формула ( ) ( ) ( ) ( )abzdzzfb

aab

Φ−Φ=Φ=∫ − аналог формулы Н-Л.

Теорема 7.4. (теорема Коши для многосвязной области).

и функция f(z) аналитична в многосвязной области G,

)∑∫=

=n

k CC k

dzdzzf1

0

.

бразу

в односвязную область G* с границей Г*, которая состоит

о кон ура С

7.1

Есл

то (∫ zf( )

Доказательство. Геометрически: проведем разрезы γ1, γ2,

… γn, и многосвязную область G с границей Г прео ем

из внешнег т 0, разрезов γk, и внутренних

контуров Сk. По теореме Коши ∫ =Γ

0)( dzzf , по свойству интегралов *

∫ =)( dzzf ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∫∑ ∫∫∫ =⎟⎞

⎜⎛

++n nn

dzzfdzzfdzzf 0 , т. кΓ

⎟⎜ +−−

dzzf . * = == ⎠⎝k kkCC kkk

1 110 γγ

( ) ( ) ( )∫∫γγ

−=−

kk

dzzfdzzf ,

то ( ) ( ) ⇒=+ ∑ ∫∫= −

010

n

k CC k

dzzfdzzf ( ) ( )∑ ∫∫=

=n

k CC k

dzzfdzzf1

0

.

Вычисление интеграла ( )∫ − n dzaz , где n – любое, С – прC

1) n>0, f(z)=(z-a)

оизвольный замкнутый контур.

n dzaz =0

те ема Коши не применима. По т.8.2 n dzaz = dzaz n , γ:|z-a|=R. Уравнение окружности в параметрическом виде:

C3 C0

γ3

γ1 γ2

n – везде аналитична => по теореме Коши 8.1 ( )∫C

2) n<0, f(z)=(z-a)

C1 C2

Рис. 5.6

−

n – не аналитична в z=a => ор

( )∫ −C γ

( )∫ −

22z − a = Reiϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Так как dz = Rieiϕdz, то

( ) ( ) ===− ∫∫∫ ++ ϕϕπ

ϕπ

ϕϕ deiRdRieeRdzaz niniinnn2

112

00

( )( )11

==+ in

eR 0211 −π+

+n

n . C

3) n=−1. Аналогично предыдущему случаю ∫ − azdz

= ∫π

ϕ

ϕϕ

2d

eRRie

i

i= i

C 0π2 .

⎧Таким образом ( )⎩⎨ −=π∫ .1 при,2 nizf

C

−≠= ,1 при,0 ndz

Теорема 7.5. (интегральная формула Коши).

Если функция f(z) аналитична в замкнутой односвязной области D и на ее границе

( )( )С, и 0z – внутренняя точка области D, то dz (8.3)

азательство. Подынтегральная функция

zf zf= 1

Czzi ∫ −π 0

0 2

Док ( )0zz

zf−

аналитична всюду в области D за

исключением точки z . Фиксируем число ε и опишем

окружность γ: |z − z |=ρ, лежащей в D столь малого радиуса ρ, что для любой ее

точки z |f(z) − f(z )|< . Тогда D будем рассматривать как двусвязную область. По

о б

с центром в точке z00

0

0 ε

теореме Коши двусвязной о ласти ( ) ( )∫∫ργ

−=

00 zzdzzf

zzdzzf

C

.

Преобразуем второй интеграл

−

: ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( )dzdzdz zfzfzfzfzf ∫∫∫ −dz zzzzzzzfzf

zz ∫ρρρρ γγγγ

−−−− +

− 0

0

00

00

0

Функция f(z) аналитична в z0, значит, непрерывна в этой точке. По

определению непрерывной функции для любого ε > 0 найдётся число δ(ε) > 0

такое, что для всех z ∈ γ выполняется неравенство ⎜f(x) − f(z0)⎜ < ε,если

только ⎜z − z0⎜< δ. Тогда подынт. функция

+== 0 .

( ) ( )0

0zz

zfzf

−

− ограничена и

( ) ( ) ( ) ( )ρ−− 00 zzzz

ε<=

−− 00 zfzfzfzf . Так как ε произвольное сколь угодно малое, то

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

0 =∫γ

−

−dz

zzzfzf и ( ) izfdzdzdz

zzzf

zzzf

zzzf

C

π=+== ∫∫∫γγ

−−−20 0

0

0

00 => ( )

ρ ρρ

( ) dzzfC

zzzf

i ∫ −π=0

0 21 чтд

альная формула Коши показывает, что многие свойства Выводы. 1) Интегр

аналитических функций определяются свойствами простейшей из них, например:

0

1),

0(

zzzzK

−= − ядро Коши.

23шь значениями f(z) на границе С

области D. Т.о. значения функции внутри области аналитичности задаются ее

значениями на границе. Формула Коши позволяет вычислить значения функции во

всех точках области, если известны граничные значения этой функции.

2) Интеграл Коши определяется ли

Производные высших порядков для аналитической функции

торая кусочно-гладкая кривая Г (не обязательно замкнутая) и на ней

вида

Пусть дана неко

( ) ( )zFdttзадана непрерывная функция f(z). Интеграл Г zt −

f

i=∫π2

1 , где z − любая

точка вне кривой Г, называется интегралом типа Коши.

Теорема 8.6.

Функция F(z), определенная интегралом па Коши, аналитична в любой

конечной точке z, не лежащей на кривой Г и ( )

ти

( )( )

dtzFzt

i ∫Γ −

= 22'

π.

Следствие 1. F(z) обладает производными любого порядка и

( )

tf1

( )( )

( ) dtzF = .

2. Любая аналитическая в замкнутой области D функция f(z)

и производными всех порядков, причем

nn

zt

tf

in

∫Γ

+−

12!π

обладает внутри этой област( )( )( )

( )∫

+−

=C

dtzt

fi

nzf n12

!π

(8.4)

n

t

С − граница области D.

24

§9. Ряды в комплексной плоскости. Числовые ряды

Определение 15. Пусть дана последовательность комплексных чисел a1, a2 … an .

ыражение вида KK ++++=∑∞

В=

aaaa (9.1)

,…,

nn

n 211

называется числовым рядом.

Введем

, – частичные суммы 11 aS = , 212 aaS += nn aaaS +++= K21

Определение 16. Если сходится последовательность { }nS частичных сумм, т. е.

= , то ряд (9.1) называется сходящимся число S − суммой ряда.

Если не существует или равен ∞, то ряд (9.1) называется расходящимся.

существует lim SSnn ∞→, а

nnS

∞→lim

Теорема 9.1. (Необходимый и достаточный признак сходимости ряда). Для

сходимости ряда ∑∞

схna , nnn ia βα += , <=> одимость рядов nα и ∑∑∞

=1n=1n

∞

.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму

=1nnβ

nn aaaS +++= K21 = ( ) ( )nn i βββααα +++++++ KK 2121 . Обозначим nn σααα =+++ K21 ,

nn τβββ =+++ K21 . Тогда nnn iS τσ += . Перейдём к пределу. По теореме 1.1 nnS

∞→lim

существует <=> существуют ждение теоремы. nnσ

∞→lim и nn

τ∞→

lim . Отсюда и следует утвер

Теорема 9.2. (Достаточный признак сходимости ряда).

сходится рядЕсли ∑=1n

na∞

, то и данный ряд сходится.

Доказательство. Пусть ряд

∑∞

=1nna

∑∞

=1nna сходится. Имеем 22

nnna βα += , => nnnn a=+≤ 22 βαα ,

nnnn a=+≤ 22 βαβ . Тогда по признаку сравнения ∑∞

=1nnα и ∑

∞

=1nnβ сходятся, => и

сходятся абсолютно, => по теореме 8.1 данный ряд сходится.

∑∞

=1nnα

∑∞

=1nnβ ∑ ∑

∞

=

∞

=

+=1 1n n

nnn ia βα

Определение 17. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ∑∞

=1nna ∑

∞

=1nna .

Свойства

25

. Чтобы ряд сходился абсолютно, необходимо и достаточно, чтобы ∑ ∑∞

=

∞

=

+=1 1n n

nnn ia βα 1

оба ряда ∑αn

∞

=и ∑

∞

=βn сходились абсолютно.

яд сх

1n 1n

2. Для того чтобы р одился условно, необходимо и достаточно, ∑ ∑∞

=

∞

=

+=1 1n n

nnn ia βα

чтобы оба ряда ∑∞

n=1αn и ∑

∞

nдились, причем хотя бы один из них условно.

=1βn схо

Функциональные ряды

Определение 18.Пусть в области D комплексных чисел на последовательность

функций f

зада

), f2(z) …n

ается

соответствующие .

Суммой ряда S(z) называется предел последовательности частичных сумм ряда

де = f1 fn(z).

Остатком ряда (9.2) называется разность

1(z fn(z), … Выражение вида ∑ )(fn z =f∞

=11(z)+ f2(z)+ …+ fn(z)+ …(9.2)

назыв функциональным рядом.

Областью сходимости функционального ряда (9.2) называется совокупность G точек

z таких, в которых числовые ряды сходятся

( ) ( )zSzS n= lim , г (z)+ fn ∞→

( )zSn 2(z)+ …+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++=−= ++ nnnn 21 zfzfzSzSzR .

Определение 19. Ряд ( )∑∞

=

называется равномерно сходящимся в области 1n

n zf

( )εG, если для 0>ε∀ можно указать такой номер = N , что для любого N Gz ∈ и

всех номеров выполняется неравенство Nn > ( ) ε<zR . n

Теорема 9.3. Вейерштрасса. (Достаточный признак равномерной сходимости)

1) n zSzS ≤− || 0 сходится равномерно G

2) , n=1,∞ и ∞

Если для всех z∊G

na , n=1,∞ и {a( ) ( ) n} ∞→n

, то {f→ n(z)} в области

∑( ) nn bzS ≤|| =

− сходится, то ряд ∞

1nnb ∑ ( )

=

сходится равномерно в G.

{an} − мажорирующая последовательность

1nn zf

∑= 1n

nb∞ й р − мажорирующи яд для ряда ( ). ∑

= 1nn zf

∞

Свойства равномерно сходящихся рядов.

26

ены ряда ∑∞

=1nnf

номе в G ется непрерывной функцией в G.

− функции

равномерно на Г, то он допускает почленное интегрирование вдоль Г

= n dzzfdzzS .

1. Если чл )z − функции непрерывные в области G и ряд сходится

рав рно , то сумма ряда S(z) явля

(

2. Если члены ряда непрерывные на кривой Г и ряд сходится ( )∑∞

=1nn zf

( ) ( )∑∫∫∞

= ΓΓ 1n

3. Если члены ряда ( )∑∞

=1nn zf − функции аналитические в G и ряд равномерно

сходится в любой замкнутой области GG ⊂* , то:

G,

а) сумма ряда S(z) аналитична в

b) ряд допускает почленное дифференцирование любое число раз, т. е

( ) ( ) ( ) ( ) ∞== ∑∞

=

,1 где, kzwzS kn

k и ( )

1n

( )∑∞

=

в любойkn zw равномерно сходятся GG ⊂* .

1n

Степенные ряды.

Определение 20. Степенным называется ряд вида

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=210

nnn K (9.3)

где – комплексные числа, z – комплексная переменная. Числа коэффициенты

ряда

−++−+−+=− 2n azcazcazccazc K +0n

ряда, a – центр .

ica, ic

Теорема 9.3. Аб о строении области сходимостеля ( и степенного ряда)

Если степенной ряд (3.1.) сходится в точке az ≠0 , то он

1. сходится абсолютно в круге ⎜z − a⎜ < ⎜z0 − a⎜,

2. равномерно с нутом

и степенн∞

ходится в замк круге ⎜z − a⎜ ≤ ρ, где ρ < ⎜z0 − a⎜

( )Есл ой ряд ∑=

nn zc чке , −

0na расходится в то то он расходится в области, 1z

определяемой неравенством azaz −>− 1 (внешность круга радиуса az −1 ).

Дока так же, к для степ. ряда действ. переменной.

Доказательство п.2 проводится по признаку Вейерштрасса.

зательство п.1 проводится точно ка

Доказать САМИМ.

27Определение

множество {z: |z−a|<R} называется кругом сходимости.

Замеч

Формула

21. Максимальное значение ρ=R называется радиусом сходимости, а

ание. Вопрос о сходимости на окружности |z−a|=R остается открытым.

для радиуса сходимости получается по признаку Даламбера или Коши:

|| 1+∞→ nn c||lim= ncR или

nnn c ||∞→

R 1lim= ( − коэффициент при )

Все свойства равномерно сходящихся рядов переносятся на степенные ряды. В

частности:

1) Сумма степенного ряда является функцией аналитической в его круге

сходимости. Степенной ряд можно дифференцировать почленно любое число раз.

Получ же с сходимости, что и

исход

2) Степен р

расположенной в его круге сходимости.

nc ( )naz −

ающиеся при этом ряды будут иметь тот радиу

ный ряд.

ной яд можно интегрировать почленно по любой кривой Г,

Ряды Тейлора.

Решим обратную задачу − покажем, что всякая аналитичная в круге функция может

быть в этом круге представлена в виде суммы степенного ряда.

Теорема 9.4. (О сходимости ряда к порождающей его функции) Если функция f(z)

аналитична в круге |z−a|<R, то в этом круге функция f(z) представима в виде суммы

степенного ряда.

( )∑ −=∞

=)( azzf (9.4)

Эт )

До я точка

круга |z−a|<R. Проведем внутри круга С окружность С’ с центром в точке а, так что

z∊C’. Тогда по интегральной формуле Коши

0 !n n

)( )( nn af

от ряд называется рядом Тейлора для функции f(z

казательство. Обозначим через С окружность |z−a|=R. Пусть z − люба

( ) ( ) dtzfzti ∫ −

= π21

(*). C

tf

Рассмотрим )()(11

azatzt −−−=

− =

at −−1

azat −⋅

−

11 .

28

Так как q = ∑∞

at

az

−

−<1, то

at −

az −−1

1 ==

трическая прогрессия. Этот ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−

−

0n

n

at

az как геоме

ряд мажорируется прогрессией ∑∞

=

тся

равномерно. Таким образом, имеем

0n

nr , 0<|q|≤r<1, а потому на C’ сходи

( ) zt −

1 = ( )

∑=

+−

∞

1n (**). Поскольку этот ряд

вномерно, его можно почленно интегрировать: Подставим (**) в (*)

−n

az

0n at

сходится ра

( )( )

∫ ∑( ) ∞1

= +−

−=' 0 1

)(2C

dtn n

at

naz

tfizf π = ( )

( )n

naz

C nat

dttfi −

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∑∞

=∫

+−0 ' 1

)(21π

.

Обозначим ( )

∫21

iπ=

+' 1

)(

Cnc

n

dttf . Тогда ( ) ( )∑ −=∞

= 0n

nn azczf

− at

( )∫ =−

= )()(

21

0af

at

dttfi

cπ

; 'C ( )

∫ ==!2

)('

2

)(21

1afdttf

ic

π; …

( )∫ =

+−

=

' !

)()(

1

)(21

C n

anf

nat

dttfin

cπ

−'C at, n=1,2… чтд

имеет место (9.4) можно расширять до тех пор, пока на его Круг |z−a|<R, где

границу не попадет точка, в которой f(z) теряет свойство аналитичности.

Теорема 9.5. (теорема единственности ряда Тейлора).

Любой сходящийся в круге |z−a|<R к функции f(z) степенной ря

( ) ( )∑ −=∞

= 0n

nn azczf является рядом Тейлора для своей суммы.

д

Доказательство. Пусть и n

лучим

меет место ( ) ( )∑ −== 0n

n azczf (∞

*).

)('1

afc = , !2

)(''2

afc =Тогда )(

0afc = . Дифференцируя (*) и полагая z=a по , …,

!

)()(

n

anfn

c = , …, т.е. (*) является рядом Тейлора для функции f(z).

Стандартные разложения элементарных функ в окрестносций в ряд Тейлора ти z0=0

получаются аналогичными как для функций действительной переменной.

c z

ez ln(1+z) Разложить и найти

chz shz область сходимости

sinz os

z+11 arctgz

29Ряды Лорана.

обобщ епенны рядов на с

Такие ряды применяются для изучения функций в окрестности ее точек

Рассмотрим ение ст х лучай целых отрицательных степеней.

неаналитичности.

Определение 22. Рядом Лорана называется ряд вида

( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )∑ ( ) (∞

−∞=+−+−

nzcazccaz 210

−∞ 1

−−

+−+−

−− +−++−++−+−+=− n

nn

nn

nn

n azcacazcazcazc KKKK 211

11

(9.5)

или ( ) ( ) ( )∑∑∑=−∞=−∞=

−+−=−0n

nn

n

nn

n

nn azcazcazc . ∞

Ряд называется правильной частью ряда Лорана сходимости

круг |z−a|<R (включая R=0, R=∞).

( )∑∞

=−

0n

nn azc . Область

Ряд−∞=

−=−1n

nn

nn azcazc (*) называется главной частью ряда Лорана. ( ) ( )∑∑

∞

=

−−

−1n

. Тогда (*) →∑∞

−t1

=

nntc (**). Этот ряд Об области сходимости. Обозначим z−a =

1n

сходится в круге |t|<r’, r’='

1r

. || )1( +−

∞→n

n c||

lim −nc . Тогда ряд (*) сходится в круге |z−a|>

Обознач м и'

1r

= r. = r> =||||

lim 1

n

nc

−

−− . Т.о. область сходимости ряда (9.5) является n c∞→

является кольцо r<|z−a|<R с центром в точке а.

Теорема 9.6. (о представлении аналит рядомической функции Лорана)

Всякая функция, аналитическая в кольце r<|z−a|<R может быть представлена в этом

рядом Лкольце орана ( )∑∞

nn −= nazczf )( , где

( )−∞=

∫=)(1 dttf

c

я окружность в кольце с центром в точке а.

+−' 12

C nat

in π(9.6),

С’ − люба

лу Коши,

Доказать. (аналогично ряду Тейлора)

Замечание. К интегралам (9.6) нельзя применять ни интегральную форму

ни формулу для производных.

Теорема 9.7. (единственности разложения функции в ряд Лорана)

Если ( )∑∞

n −∞=− n

n azc сходится к функции f(z) в кольце r<|z−a|<R, то ( )

∫+

=)(

21

n

dttfin

cπ

−' 1C at (С’

− лю а) (определяются однозначно). бая окружность в кольце с центром в точке

30Разложение функций в ряд Лорана в окрестности ∞.

у в с

Функция f(z) аналитична в окрестности ∞, если она аналитична в области |z|>R.

Если ф нкция f(z) разложена ряд Лорана по тепеням z

∑∑∞

=−∞= 0nn

−+=

1)( n

nn

n zczczf (9.6)

сходящийся к ней в кольце R<|z−a|<∞, то говорят, что функция разложена в ряд

Лорана в окрестности z= ∞.

= ∑−

−∞=

1

n

nnzc ∑

∞

=

−

1nnn

zc называется правильно частью ряда (9.6), при z→ ∞ его члены

ятся к нулю

ряда (8.6) в окрестности ∞.

Вычеты и их применен

Ряд

стрем .

∑ nn zc называется главной частью

∞

=0n

§10. ие. Особые точки.

Точка z=a называется особой для функции f(z), если ей нарушается в н

аналитичность f(z).

Точка z= изолированной особой для функции f(z), существует

х

Тип

az =

Поведение

a называется если

некоторая окрестность точки z=a в которой нет други особых точек кроме z=a.

Таблица типов особых точек (ТОТ)

особой точки Признак (без доказательства) функции

У.о.т. Лорановское разложение не содержит главной ча ( )

const=

=→

zfaz

lim (устранимая особая точка) ( ) ( )

сти

( ) ,10 KK +−++−+= nn azcazcczf Raz <−<0

( ) ∞=→

zflim Полюс Главная часть лорановского разложения содержит конечное число членов

( )порядка т az

++=−−

az

c

zzf 1

(++

−− −+−−

az

c

a

c

mm

mm

11

)()K ( )azc

n

nn −∑

∞Raz <−<

=0,

0где c

,

0≠−m

( )zfaz→

lim С.о.т. (существенно

Главная часть лорановского разложения содержит бесконеч

особая точка) ( ) (∑

ное число членов

∑∞

) ( )=

∞

=1 0n n

− −+− nn

n azca не существует −= n zczf

Нули функций.

Точка z=a, где a∊D − области определения функции f(z), называется нулем функции

ли f(а)=0. f(z), ес

Точка z=a называется нулем порядка m функции f(z), если в разложении (9.4) − в ряд

Тейлора в окрестности z=a коэффициенты с0=с1= …= сm-1=0, а сm≠0, т.е.

31f(z)= сm(z−a)m+ сm+1(z−a)m+1+…

ИЛИ если f(z) можно представить f(z)=(z-a)mφ(z). φ(a)≠0.

Свойство нуля функции: z=a является нулем порядка m

f(a)=f’(a)=f’’(a)=…=f(m−1)(a)=0, f(m)(a) ≠0. (10.1)

Правило для вычисления порядка полюса. Чтобы точка z=a была полюсом функции

но

( )

f(z) (порядка т) необходимо и достаточ , чтобы эта точка являлась нулём

кратности т функции ( )zf , аналитической в точке z=a. 1

Выче

Рассмотрим ф

ты.

ункцию f(z) аналитичную в кольце (К) Raz <−<0 (а – изолированная особая точка). Тогда имеет место разложение в ряд Лорана

1 0n n

Ряд Лорана допускает почленное интегрирование вдоль γ (

( ) ( ) ( )∑ ∑∞

−− −+−= n

nn

n azcazczf . =

∞

=

K⊂γ ). (почему).

∫= γ = γ

− −1 0n n

nnn dzaz .

nia

,1при,п

( )∫γ

dzzf ( )∑ ∫ ∑∞ ∞

− +−= n cdzazc ( )

Но ( )∫ ⎩⎨⎧ −≠=−

C

n ndzz2

,1ри,0 ⇒ −=π

( ) ( )∫ − =⇒π= dzzficdzzf 1112 . ∫

γ γ

− πc i2

( )Определение 23. Значение интеграла ∫γ

1 вдоль контура γ, обходящего в π dzzfi2

положительном направлении единственную особую точку az = функции f(z),

называется вычетом функции f(z) относительно т

Обозначают:

очки a.

( ) ( )∫=π

dzzfzfi2

1s . = γaz

re 1)

(10.

( ) 1res −=

= Czfaz

(10.2)

Способы вычисл чек

Согласно таблице ТОТ.

1) Если z=a – аним я особая точка, С–1=0 ⇒

ения вычетов относительно конечных особых то

устр а ( ) 1res −=

= Czfaz

=0.

2 – полюс порядка m. Тогда ) Если z=a

Умножим на (z − a)m: ( )( ) ( )

( ) ,101

11 KK +−+++++=

−−−−

−+−− azcczf

azc

az

c

az

cm

mm

m

( ) ( ) ( ) ++−+=− ( ) ( ) K+−+− −+−− Kazc mm 1czfaz m

− azcazc 01 , mm 1ρ<−< az0

Дифференцируя (m−1) раз полученное равенство, найдём

( )( )( ) ( ) ( ) K+−+−=− −−azcmcmazzf m

m

m

dz

d011

1!!1 , перейдем к пределу при az → , получим

−

32

( )( )( ) ( )1 1−m 1

1!lim −

−

−=− cmazzf mmd

→az dz

Отсюда = ( ) ( ) ( )( )( )mmazaz

azzfzfdz

dm −=

−→= − 1limres !1

1 m−1

(10.4)

В частности, если z=a – простой полюс (т=1), то ( ) ( ) ( )zfazzf −azaz

=→=

3) Если az = – существенно особая точка функции f(z), то для нахождения вычета

надо использовать формулу

limres .

( ) 1res −=

= czfaz

и разложить функцию f(z) в ряд Лорана.

Вычет в бесконечно удаленной особой точке.

) –аналитична в окрестности z=∞ за исключением z=∞, тогда z=∞

назы

Выполним преобразования

Пусть f(z

вается изолированной особой точкой f(z).

η1

=z , тогда при ∞→z 0→η и )(1 ηϕη

→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛f .

дение изолированной точки 0=η известно. Пове

+ (∑∞

=0n

nnc η R

10 << η= ∑∞

=

−−

1n

nnc ηРазложение Лорана функции ⎟

⎠⎝η⎞

⎜⎛ 1f известно: ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛η1f ).

( )zfВозвращаясь к старой переменной, имеем = ∑∞

=−

1n

nn zc + ∑

∞

=

−

0n

nnzc ( ∞<< zR ).

Тип особой точки

∞=

Введем классификацию особой точки z=∞ по аналогии с конечной особой точкой.

z Признак (без доказательства)

Поведение функции

У.о.т. (устранимая особая точка)

Лорановское разложение не содержит правильной части (положительных степеней)

∞<< zR

( ) =∞→z

zflim

const=

∑∞

=

−

0n

nn zc( ) =++++= −− KK n

n10 zczcczf 1

( )Содержит конечное число еней положительных степ ∞=∞→

zfzlim

Полюс порядка т ( ) ++++= −

−−

+−−1

11

1 zczczczf mm

mm K ∞<<∑

∞

=n 0zRzc n

n , , где 0≠−mc

( )zfz ∞→lim С.о.т.

о особая

ержит бесконечное число положительных степеней Разложение сод

(существенн( ) ∑ ∑

∞ ∞

точка) = =

−

1 0n n

nn z

− += nn czczf не

существует

Для Лорановского разложения в окрестности z=∞ обычно используют другое

обозначение ( ) ∑ ∑∞

=

∞

=

−−+=

1 0k k

kk

kk zbzbzf .

( )∫γ

π dzzfi21 Определение 24. Значение интеграла вдоль контура γ,

точку отрицательно ), ся вычето

функции f(z) относительно бесконечно у

обходящего особую

z=∞ функции f(z) (в м направлении называет м

даленной точки.

33Аналогично, вычет равен и первой отрицательной степени

разложения Лорана функции f(z) в кольце

коэффициенту пр

∞<< zR со знаком «–».

( ) 1res −∞=

−=zfz

b (10.4)

Теорема 10.1 Основная теорема о вычетах.

Если f(z ункция, аналитическая в замкнутой области ) – ф Γ= UGG , за исключением

нечного числа изолированны чек, лежащих в области G (но не на Г), то ко х особых то

особые точки функции f(z). Опишем

окружности

интеграл равен ( ) ( )∫ ∑π=n

zfizf res2 .(10.5). Γ =

=k

az k

Док-во. Пусть naaaa ,,,, 321 K – изолированные

1

nγγγ ,,, 21 K 2 с центрами в точках 1 K и столь малых радиусов,

чтобы они ались и все лежали в области G. Тогда ф f(z) аналитична в

те и для многосвязной области

k 1γ

ое

naaa ,,,

не пересек

многосвязной области G. По ореме Кош

( ) ( )∑ ∫∫ =n

k

dzzfdzzf . Но каждое слагаем=Γ

( ) ( )zidzzfaz =

⋅ r2πγ

⇒

π= zfizf res2 .

f=∫ es

n

( ) ( )∫ ∑Γ =

=k

az k1

Теоре 0.2

Если f(z) – функция, аналитическая комплексной плоскости,

и неч ло изолированных особых точек z0=∞, z1, z2, …, zn то сумма

всех ее вычетов z=∞, равна нулю

ма 1

в расширенной

сключая ко ное чис

относительно особых точек, включая ( ) 0res0

=∑= =

n

k zzzf

k

Д ишем окружность С: {|z|=R} так, чтобы все z1, , zn оказались внутри

С теореме о вычетах (10.1) k az

zfizfk

res2π . С другой стороны,

ок-во. Оп z2, …

. Тогда по ( ) ( )∫ ∑= =

=C

n

1

( ) ( )∫−

=⎟⎟⎞

⎜⎜ +∑ zfzfiπ или =∑

∞=−=

Cz

zfizf res2π . Вычитая эти два равенства, получаем

⎛ n( ) ( ) 0resres2

1 ⎠⎝ ∞== = zk az k 0 ( ) 0res

= =

n

k zzf

k

.

z