Matematika 1

3 dalis

Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės.

2

• Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A yra vektoriaus pradžia, o taškas B – jo galas, tai vektorius žymimas

• Vektorius žymimas ir viena mažąja raide su rodykle viršuje, pvz.,

• Vektoriaus ilgiu arba moduliu vadinamas atkarpos AB ilgis. Žymima

• Jei taškai A ir B sutampa, tai vektorius vadinamas nuliniu. Jo ilgis yra nulis, o kryptis neapibrėžta.

Vektoriai

a

|⃗AB|, |⃗a|

A⃗A= o⃗ , |⃗o|=0.

AB

3

• Vektoriai, turintys tą pačią kryptį ir vienodus ilgius vadinami lygiais.

• Iš apibrėžimo išplaukia, kad erdvėje vektorius galima lygiagrečiai perkelti.

• Du nenuliniai vektoriai vadinami kolineariais, jei jie yra lygiagrečiai vienai tiesei. Nulinis vektorius yra laikomas kolineariu bet kuriam vektoriui.

• Vektorius, kurio kryptis yra priešinga vektoriaus krypčiai, ir kurio ilgis lygus vektoriaus ilgiui, vadinamas vektoriaus priešinguoju vektoriumi ir žymimas

Vektoriai

a=b

−aa

aa

4

• Du nekolinearūs vektoriai apibrėžia lygiagretainį; jų suma yra vektorius, einantis to lygiagretainio įstrižaine.

• Ši taisyklė vadinama lygiagretainio (arba trikampio) taisykle.

Vektorių sudėtis

5

• Dviejų vektorių skirtumu vadinama suma

Vektorių atimtis

a−b=a−b

6

• Komutatyvumas:

• Asociatyvumas

Vektorių sudeties savybės

ab=ba

abc=abc

a−a=o

ao=a

7

• Jei k yra skaičius, o vektorius, tai sandauga yra vektorius, kurio ilgis

o kryptis sutampa su kryptimi, jei k > 0, ir priešinga jei k < 0.Jei k = 0, ši sandauga yra nulinis vektorius.

Vektoriaus daugyba iš skaičiaus

∣k a∣=∣k∣∣a∣,

a k a

aa

8

• Komutatyvumas:

• Asociatyvumas

• Distributyvumas

Vektorių daugybos iš skaičiaus savybės

a=a

a =a

a=aa , ab=ab

1⋅a=a , −1⋅a=−a

9

• Taško A projekcija ašyje L vadinamas toks taškas A', kurio ši ašis kertasi su statmeniu, nuleistu iš A į ašį L.

• Vektoriaus projekcija ašyje L vadinamas atkarpos A'B' ilgis su pliuso ženklu, jei kampas φ tarp ašies ir vektoriaus yra smailusis, ir su minuso ženklu, jei kampas φ yra bukasis.

• Vektoriaus projekcija ašyje žymima

• Stačiajame trikampyje matyti, kad

Vektoriaus projekcija

AB=a

a pr La

pr La=∣a∣cos

10

•

•

Vektorių projekcijų savybės

Jei a=b , tai pr La=pr Lb ,

pr L a = prLa ,

pr L ab=pr L a prL b.

11

• Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje vektoriaus projekcijos koordinačių ašyse Ox, Oy, Oz žymimos ax, ay, az ir vadinamos vektoriaus koordinatėmis. Rašoma

• Vektoriaus sudaromas kampas su ašimi Ox žymimas α, su Oy – β, su Oz ašimi – γ, taigi

• Dydžiai cos α, cos β, cos γ apibrėžia vektoriaus kryptį ir vadinami krypties kosinusias.

Vektoriaus koordinatės

a

a=a x , a y , az

prOx a=ax=∣a∣cos , prOy a=a y=∣a∣cos , prOza=az=∣a∣cos .

a

12

• Vektoriaus ilgis apskaičiuojamas pagal tokią formulę:

• Kadangi

tai

Vektoriaus koordinatės

∣a∣=ax2ay2az2 .

cos=a x∣a∣, cos=

a y∣a∣, cos=

az∣a∣,

cos2cos2

cos2=1.

13

Pritaikę projekcijų savybės gausime tokius teiginius:

• Jei du vektoriai yra lygūs, tai ir jų koordinatės yra lygios (ir atvirkščiai)

• Dauginant vektorių iš skaičiaus, iš to skaičiaus padauginamos vektoriaus koordinatės:

• Sudedant du vektorius, sudedamos atitinkamos jų koordinatės:

• Atimant du vektorius, atimamos atitinkamos jų koordinatės:

Vektoriaus koordinatės

a=a x , a y , az= a x ,a y ,az

ab=ax , ay , azbx , b y , bz=axbx , ayby , azbz

a−b=ax , ay , az−bx , b y , bz=ax−bx , ay−by , az−bz

14

Erdvės taško A koordinatės x1, y1, z1 sutampa su vektoriaus koordinatėmis:

• Šis vektorius vadinamas taško A spinduliu vektoriumi. Taško B(x1, y1, z1) spindulys vektorius yra

todėl vektorius koordinatės apskaičiuojamos taip:

• Taigi vektoriaus koordinatės gaunamos iš jo galo taško koordinačių atėmus pradžios taško koordinates.

Vektoriaus koordinatės

OA=x1, y1, z1.

AB=OB−OA= x2, y2, z2−x1, y1, z1=x2−x1, y2− y1, z2−z1.

OA

OB=x2, y2,z 2 ,AB

15

Du nenuliniai vektoriai ir yra kolinearūs tada ir tik tada, kai yra toks skaičius k, su kuriuo galioja lygybė

• Lygių vektorių atitinkamos koordinatės yra lygios, todėl gauname

arba

Trys nenuliniai vektoriai vadinami komplanariais, jei jie yra lygiagrečiai vienai plokštumai. Jei vienas iš trijų yra nulinis, tai tie trys vektoriai laikomi komplanariais.

Kolinearūs vektoriai

b=k a arba bx , by ,bz=k a x , a y , az=k a x , k ay , k az.

a b

bx=ka x , by=ka y , bz=kaz

bxax=b ya y=bzaz=k .

16

Plokštumoje bet kurį vektorių galima išreikšti tiesiniu dviejų nekolineariųjų vektorių darinių:

• Erdvėje bet kurį vektorių galima išreikšti tiesiniu trijų nekomplanariųjų vektorių darinių:

• Vienetiniai vektoriai, kurių kryptis sutampa su koordinačių ašių Ox, Oy, Oz kryptimi, vadinami koordinačių ašių ortais ir žymimi

• Vektoriai ir nėra kolinearūs, o vektoriai nėra komplanarūs, todėl jais galima išreikšti bet kokį vektorių.

Vektoriaus išraiška Dekarto koordinačių sistemoje

c=x a y b.

d= xa y bzc .

i ,j ,k .

i j kj ,i ,

17

Pagal lygiagretainio taisyklę:

• Erdvėje gauname

• Remiantis šia išraiška,

• Vektoriaus ortu vadinamas toks vienetinis (jo ilgis lygus 1) vektorius kurio kryptis sutampa su kryptimi. Orto koordinatės yra jo krypties kosinusai:

Vektoriaus išraiška Dekarto koordinačių sistemoje

a x ia yj=a .

a=ax ia y jazk

i=1,0 ,0 ; j=0,1 ,0; k=0,0 ,1.

aao , a

ao=cos ,cos ,cos.

18

Jeigu žinomos atkarpos AB galų koordinatės A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), o taškas C dalija atkarpą AB žinomu santykiu λ = |AC|/|CB|, tai taško C koordinatės x1, y0, z0 apskaičiuojamos iš lygybės

• Kadangi lygių vektorių atitinkamos koordinatės yra lygios, tai

Atkarpos dalijimas žinomu santykiu

AC=CB arbax0−x1, y0− y1, z0−z1= x2−x0, y2− y0, z2−z0.

x0=x1 x2

1, y0=

y1 y2

1, z0=

z1 z2

1.

19

Dviejų nenulinių vektorių skaliarinė sandauga vadinamas skaičius

čia φ – kampas tarp vektorių (0 ≤ φ ≤ π). Jei bent vienas iš vektorių yra nulinis, tai skaliarinė sandauga lygi nuliui.

Skaliarinė vektorių sandauga

a⋅b=∣a∣∣b∣cos;

20

Komutatyvumas

• Distributyvumas

Skaliarinės sandaugos savybės

a⋅b=b⋅a

a⋅b0, jei 0/ 2

a⋅b0, jei /2

a⃗⋅⃗b=0 ⇔ ϕ=π/2 , kai a⃗ ,b⃗≠0⃗ .

a2=a⋅a=∣a∣∣a∣cos 0=∣a∣2

ab⋅c=a⋅cb⋅c

k a⋅b=a⋅k b=k a⋅b

21

Vektoriaus proekcijos vektoriuje ir skaliarinės sandaugos ryšys

prab=∣b∣cos ,

Kadangi

tai

• Todėl

a⋅b=∣a∣∣b∣cos=∣a∣prab .

prab=

a⋅b∣a∣

.

22

Skaliarinės sandaugos koordinatinis pavidalas Dviejų vektorių skaliarinė sandauga lygi atitinkamų koordinačių sandaugų sumai:

Įrodykime.

• Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo gaunama formulė vektorių sudaromo kampo kosinusui apskaičiuoti:

a⃗⋅⃗b=a x bx+a yb y+azbz

cos=a⋅b

∣a∣∣b∣=

ax bxa ybyazbz

ax2a y2az2bx2by2bz2.

23

Vektorinė vektorių sandauga

Trys nenuliniai vektoriai vadinami komplanariais, jei jie yra lygiagrečiai vienai plokštumai.

Tarkime, kad vektoriai , ir nėra komplanarūs, ir vektorius nukreiptas aukštyn vektorių ir apibrėžiamos plokštumos atžvilgių.

• Sakysime, kad vektoriai , ir sudaro dešininį trejetą, jei vektoriaus mažesniojo posūkio iki vektoriaus kryptis yra teigiama, t. y. prieš laikrodžio rodyklę.

• Jei mažesniojo posūkio kryptis yra neigiama (t. y. pagal laikrodžio rodyklę), tai vektorių trejetas vadinamas kairiniu.

• Pakeitus vieno vektoriaus kryptį priešinga, dešininis trejetas virsta kairiniu, ir atvirkščiai.

a⃗ b⃗ c⃗ c⃗a⃗ b⃗

a⃗ b⃗ c⃗ a⃗

b⃗

b⃗

24

Vektorinė vektorių sandauga Dviejų nekolineariųjų vektorių ir vektorinė sandauga vadinamas vektorius , tenkinantis sąlygas:

1) vektoriaus modulis yra lygus vektorių ir apibrėžiamo lygiagretainio plotui S: 2) vektorius statmenas vektoriams ir : t. y. jų apibrėžiamai plokštumai;

3) vektoriai , ir sudaro dešininį trejetą;

Jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, tai vektorinė sandauga yra nulinis vektorius.

|⃗c|=|⃗a× b⃗|=S=|a⃗||b⃗|sin (θ).

a⃗ b⃗c⃗= a⃗×b⃗

b⃗c⃗

a⃗

c⃗ a⃗ b⃗c⃗⊥ a⃗ , c⃗⊥ b⃗ ,

a⃗ b⃗ c⃗

25

Vektorinės sandaugos savybės 1)

2)

3)

4)

5)

6)

a×b=−b×a ,

a×b=o a≠o ,b≠o ⇔ a∥b ,

a×a=o ,

a×b=a×b=a×b.

ab×c=a×cb×c ,

c×ab=c×ac×b ,

26

Vektorinės sandaugos koordinatinis pavidalas Jei taia=a x , a y , az , b=bx , by , bz ,

a×b=ax iay jazk ×bx iby jbzk =∣i j kax a y azbx b y bz

∣

27

Mišrioji vektorių sandauga Trijų nekolineariųjų vektorių mišriąja sandauga vadinamas skaičius

kuri žymėsime

● Jei vektoriai yra komplanarūs, tai mišrioji sandauga lygi nuliui.

● Mišriosios sandaugos modulis lygus gretasienio, kurį apibrėžia sandaugos vektoriai, tūriui.

● Mišriąja sandauga galima apskaičiuoti ir piramidės tūrį -jis lygus šeštadaliuigretasienio tūrio:

(a⃗× b⃗)⋅c⃗=a⃗⋅(b⃗× c⃗) ,

V G=∣abc∣.

V P=16∣a b c∣.

a⃗ b⃗ c⃗ arba (a⃗ , b⃗ , c⃗) .

28

Mišriosios sandaugos savybės1) Sukeitus du gretimus dauginamuosius vietomis, pakinta sandaugos ženklas:

2) Nenulinių vektorių mišrioji sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai sandaugos vektoriai yra komplanarūs.

Mišriosios sandaugos koordinatinis pavidalas:

a bc=−bac=bc a=−cba

a bc=∣a x a y azbx by bzcx c y cz

∣