GI – Mathématiques

1. Intégrale : définitions

1.1 Exemple d’approche

E = P.∆∆∆∆t ( ).= ∫E dP

b

a

t t

Pmoy =E

b - a

GI – Mathématiques

1. Intégrale : définitions

1.3 Définition mathématique

s = [ f(x0)+f(x1)+f(x2)+f(x4) ].∆∆∆∆x

( ).db

a

f x x∫

S = [ f(x1)+f(x2)+f(xS)+f(x3) ].∆∆∆∆x

1.

R = [ f(λλλλ1)+f(λλλλ2)+f(λλλλ3)+f(λλλλ4) ].∆∆∆∆xλλλλ1 λλλλ2 λλλλ3 λλλλ4

GI – Mathématiques

1. Intégrale : définitions

1.3 Définition mathématique

( ) ( ) ( ). . .d d db c b

a a cf x x f x x f x x= +∫ ∫ ∫

2.

propriétés immédiates

encadrement

relation de Chasles

( ) ( )( ) ( ) ( ). . .d d db b b

a a af x g x x f x x g x x+ = +∫ ∫ ∫somme

linéarité ( ) ( )( ) ( ) ( ). . . . . . .d d db b b

a a af x g x x f x x g x xλ µ λ µ+ = +∫ ∫ ∫

3.

GI – Mathématiques

1. Intégrale : définitions

1.3 Définition mathématique propriétés immédiates

signe

GI – Mathématiques

1. Intégrale : définitions

1.4 Valeur moyenne d’une fonction

( ).1

db

af x x

b aµ =

− ∫4.

valeur moyenne de f

sur [a, b] :

( ) ( ).db

af x x b aµ= −∫

GI – Mathématiques

1. Intégrale : définitions

1.4 Valeur moyenne d’une fonction

( ).0

0

T1d

T

x

moy xf f x x

+= ∫

5.

valeur moyenne de f :

fonctions périodiques

( ).0

0

T2

eff

1d

T

x

xf f x x

+= ∫

6.

valeur efficace de f :

Calculer les valeurs moyenne et

efficace de la fonction sinus.

( )sin . cos cos2

moy0

1 1d 2 0 0

2 2f x x

π= = − π + =

π π∫

cossin . .

sin

2 22

0 0

2

0

1 1 1 2d d

2 2 2

1 2 1

2 2 4 2

eff

xf x x x

x x

π π

π

−= =π π

= − = π

∫ ∫

GI – Mathématiques

2. Primitives d’une fonction continue

2.1 Définition et résultat immédiat

( ) ( )F x f x′ =

F0 : x → 3x² - 5x

f (x) = 6x - 5

F4 : x → 3x² - 5x + 4

F-2,5 : x → 3x² - 5x -2,5

Les primitives de f sont les

fonctions F + k où k est un réel

quelconque fixé et F une

primitive de f.

f F

GI – Mathématiques

2. Primitives d’une fonction continue

2.2 Primitives de fonctions usuelles

f F

xα

α réel ≠ -1

xk

α

α

+

++

1

1

x

1

u

u

′

ax b+e1

eax b ka

+ +

xa( )ln

xak

a+

( )cos ax b+ ( )sin ax bk

a

++

( )sin ax b+ ( )cos ax bk

a

− ++

7.

ln|x| + k

ln|u| + k

7.

GI – Mathématiques

2. Primitives d’une fonction continue

2.3 Lien entre primitive et intégrale

( ) ( ) ( ) ( )

I

. , I.b

a

F f

f x x F b F a a b

⇔

= −∫

est une primitive de sur

d pour tout couple de

8.

notation : ( ) ( ) ( ) b

aF b F a F x− =

GI – Mathématiques

2. Primitives d’une fonction continue

2.4 Utilisation de symétries, de la périodicité

9. f (x) = sinx

sin . sin .x x x xπ π

π= =∫ ∫2

02

d 1 d sin . sin .x x x xππ

= =∫ ∫ 2

0 0d 2 d 2

sin . sin .x x x xπ−

π− −π= = −∫ ∫

02

2

d d 1 sin . sin .x x x xπ

−π= − = −∫ ∫

0

0d d 2

GI – Mathématiques

3. Procédés d’intégration

( )( ) ( )( )

( )1

1. .d

g b

g aI f g t g t t

−

−′= ∫

3.1 Le changement de variable

10.

11.* différentielle

du = 1/x.dx

* expression

cos(ln(x)) = cos u

* bornes

x = 1 : u = 0 ; x = eπ : u = π

( )( )

( )

cos ln.

ln

e

1d

avec

xI x

xu x

π

=

=

∫

( )( ) ( )

( ) [ ]

cos ln. cos .

cos . sin

e

1 0

00

dd

d 0

u

u

u

u

x xI x u

x x

u u u

π =π

=

=π π

=

= =

= = =

∫ ∫

∫

GI – Mathématiques

3.1 Le changement de variable

12.* différentielle

du = 2x.dx

* expression

x/(1+x²) = x/u

* bornes

x = 0 : u = 1 ; x = 1 : u = 2

. .

ln.

1 2

20 1

2

1

dd

1 2

1 1 2d

2 2

u

u

x x uI x

x u x

uu

=

=

= =+

= =

∫ ∫

∫

. ,1

2

2

0

d 11

x

x

xI x u x

x

=

=

= = ++∫

3. Procédés d’intégration

GI – Mathématiques

3.2 L’intégration par parties

13

14

sans bornes : recherche d’une primitive de f

avec bornes : calcul d’une intégrale de f

( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . . .d df x x u x v x u x v x x k′= − +∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . . .d db bb

aa af x x u x v x u x v x x′= − ∫ ∫

3. Procédés d’intégration

GI – Mathématiques

3.2 L’intégration par parties

15.

u = arctan x

u’ =

v =

v’ = x

1/(1+x²)

[ ]

[ ]

arctan .

. arctan

11 12 21

20

0 00

11

2 0

0

1

2 2 1

1 1 11

8 2 1 8 2

2

4

x xI uv u v x dx

x

dx x xx

′= − = − +

π π = − − = − − +

π −=

∫ ∫

∫

.arctan .1

0

dI x x x= ∫

x²/2

3. Procédés d’intégration

GI – Mathématiques

3.3 Intégrales doubles

16.

domaine rectangulaire

3. Procédés d’intégration

( ) ( ), . . , . .d d d dx b y d y d x b

x a y c y c x aI f x y y x I f x y x y

= = = =

= = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫

dc

b

a

x

y

dx

dy

GI – Mathématiques

3.3 Intégrales doubles

17.

3. Procédés d’intégration

sin .cos . .2

0 0d d

y x

y xI x y x y

π= =π

= == ∫ ∫Exemple 1

( ) ( )sin .cos . . cos sin . .2 2

0 0 0 0d d d d

y x y x

y x y xI x y x y y x x y

π π= =π = =π

= = = == =∫ ∫ ∫ ∫

( )cos cos cos . cos .2 2

0 00 d 2 d

y y

y yI y y y y

π π= =

= == − π + =∫ ∫

sin sin2 0 22

Iπ = − =

domaine rectangulaire

GI – Mathématiques

3.3 Intégrales doubles

18.

3. Procédés d’intégration

Exemple 2 ( ).cos . .1

2

0 0d d

y x

y xI y xy x y

π= =

= == ∫ ∫

( )( ) ( )sincos . . .

11

2 2

0 0 00

d d d

xy x y

y x yx

xyI y xy x y y y

y

=π π= = =

= = ==

= =

∫ ∫ ∫

sin. sin . cos cos2 2

0 0d d 0 1

2

y y

y y

yI y y y y

y

π π= =

= =

π= = = − + =∫ ∫

domaine rectangulaire

GI – Mathématiques

3.3 Intégrales doubles

19.

3. Procédés d’intégration

Exemple .23

21 1

1.d d

x y x

x yx y

y

= =

= =∫ ∫généralisée

. .

2

23 3

21 1 11

1 1.d d d

y xx y x x

x y xy

y x xy y

== = =

= = ==

−=

∫ ∫ ∫

.3

3

211

1 1 41 d

3

x

xx x

x x

=

=

− = + = + = ∫

91

3

1

x

y

GI – Mathématiques

3.4 Intégrales triples

20.

3. Procédés d’intégration

Exemple [ ] [ ], , ,0 0 2 02

x a y zπ ∈ ∈ π ∈

.cos .sin . . .3 d d dD

I x z z x y z= ∫∫∫

. cos .sin .2

3 2

0 0 0d d d

x a y z

x y zI x x y z z z

π= = π =

= = =

= ∫ ∫ ∫

[ ] sin4 2 4 422

0

0 0

12

4 2 4 2 4

ax z a a

I y

π

π π= = π =

GI – Mathématiques

3.5 Complément : intégrales multiples et changement de variable

3. Procédés d’intégration

x1 = φ1(u1, u2, … , un) , x2 = φ2(u1, u2, … , un) , … , xn = φn(u1, u2, … , un)

...

...

... ... ... ...

...

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

n

n

n n n

n

u u u

u u u

u u u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

J

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

dx1.dx2. … .dxn

= det(J) . du1.du2. … .dun

GI – Mathématiques

21.

3. Procédés d’intégration

Exemple ( ). .21 1

2 2

1 0d d

x y x

x yx y x y

= = −

=− =+∫ ∫

3.5 Complément : intégrales multiples et changement de variable

cos

sin

x

y

ρ θρ θ

==

cos sin

sin cos

θ ρ θθ ρ θ

− =

J

( ). cos sin . . . .2 2d d d d d dx y ρ θ ρ θ ρ θ ρ ρ θ= + =

GI – Mathématiques

22.

3. Procédés d’intégration

Exemple ( ). .21 1

2 2

1 0d d

= = −

=− =+∫ ∫

x y x

x yx y x y

( ). . . . .21 1 1

2 2 2

1 0 0 0d d d d

= = − π

=− = = =+ =∫ ∫ ∫ ∫

x y x

x yx y x y

ρ θρ ρ ρ θ

( ). .1

41 1

3 3

0 0 00

d d d4 4

π

= = =

π= = π = π =

∫ ∫ ∫ρ θ ρ

ρρ θ ρ ρ ρ

3.5 Complément : intégrales multiples et changement de variable

0 R

r

dr r+

GI – Mathématiques

4. Quelques applications

4.1 Longueurs, aires, volumes aire du disque

2πr

dS = 2πr.dr

aire élémentaire : un anneau

.0 0

d 2 dr R R

r

S S r r=

== = π∫ ∫

.2 2 2

2

00

02 d 2 2

2 2 2

R

R r RS r r R

= π = π = π − = π

∫

aire du disque :

23.

r

GI – Mathématiques

4. Quelques applications

4.1 Longueurs, aires, volumes aire du disque

0 RdS = R2/2.dθ

aire élémentaire : un secteur

.2

2 2

0 0d d

2

RS S

= π π

== =∫ ∫

θ

θθ [ ]

2 22 2

02

2 2

R RS R

π= = π = πθ

aire du disque :

θdθ

Rdθaire d’un triangle :

base × hauteur /2R

GI – Mathématiques

4. Quelques applications

4.1 Longueurs, aires, volumes aire du disque

d2S = r.dr.dθ

aire élémentaire : un rectangle

. .2 2

2

0 0 0 0

d d d

r R r R

r r

S S r r

= π = = π =

= = = =

= =∫ ∫ ∫ ∫θ θ

θ θ

θ

rdθdr

. . .2 2 2

0 0 0

d d d2

r R

r

RS r r

= π = = π

= = =

= =

∫ ∫ ∫

θ θ

θ θ

θ θ

24.

aire du disque : θd+θ θ

0 R

rdr r+

. . .2

0 0 0

d d 2 d

r R r R

r r

S r r r r

= = π =

= = =

= = π

∫ ∫ ∫

θ

θ

θ25.

GI – Mathématiques

4. Quelques applications

4.1 Longueurs, aires, volumes aire de la sphère

dS = 2πR2cosθ.dθ

aire élémentaire : une bande sphérique

aire de la sphère :

Rdθ

dS

θ

d+θ θ

0 R

cosR θ

2πRcosθ

[ ]cos . sin2 22 2

2 2

2 d 2S R R

π π

π π− −= π = π∫ θ θ θ

26.

( )( )2 22 1 1 4S R R= π − − = π

Rcosθ

0 R

r

r dr+

GI – Mathématiques

4. Quelques applications

4.1 Longueurs, aires, volumes volume de la boule

dV = 4πr2.dr

volume élémentaire : une « sphère » d’épaisseur dr

volume de la boule :

Aire : 4πr2

27.

r

.2

0 0d 4 d

r R R

r

V V r r=

== = π∫ ∫

3 3 32 3

00

0 44 d 4 4

3 3 3 3

R

r R

r

r RV r r R

=

=

= π = π = π − = π

∫

GI – Mathématiques

4. Quelques applications

4.2 Autres mesures physiques masse d’un cône de gaz

dV = πr2.dz

masse élémentaire : celle d’un cylindre

dz

28.

r or 1z z−= = −r H

R H H

d’où dV = πR2(1-z/H)2.dzAinsi, dm = µ.dV = πR2(4,5 - 0,6z)(1 - z/H)2.dz

,, , , , .3 20 8

0 64 2 8 6 6 4 5 d3

z z z z = π − + − +

, , ,, , , , .

1 5 1 5

3 2

0 0

0 8d 0 64 2 8 6 6 4 5 d

3z z z z

=

=

= = π − + − +

∫ ∫z

z

m m

,,

, , , , ,1 5

34 2

0

0 20 64 2 8 3 3 4 5 4 298 kg

3 3

zz z z

= π − + − + ≈

GI – Mathématiques

4. Quelques applications

4.2 Autres mesures physiques centre de gravité

f (x) = x²29.

( )( )

. . .

. .

1 13

0 0G 1 1

2

0 0

d d 3

4d d

x f x x x xx

f x x x x= = =∫ ∫

∫ ∫

( )

( )

. .

. .

1 12 4

0 0

G 1 12

0 0

1 1d d

32 2

10d d

f x x x xy

f x x x x= = =∫ ∫

∫ ∫