1

1. Na koliko naˇcina se moˇze popuniti listi´c sportske prognoze ako ima trinaest parova a za svaki par se moˇze predvidjeti jedan od tri tipa: 1,2 ili X?

2. Osam kandidata polaˇze jedan po jedan usmeno ispit iz Vjerojatnosti. Prvog dana polaˇze pet kandidata. Na koliko razliˇcitih naˇcina se moˇze napraviti raspored polaganja ispita prvog dana?

3. U kutiji se nalazi 10 kuglica numeriranih brojevima redom od 1 do 10. Istovremeno izvlaˇcimo tri kuglice. Koliko ima razliˇcitih rezultata izvlaˇcenja?

4. U bubnju se nalaze 10 kuglica sa brojevima redom od 1 do 10. Koliki broj mogu´cih kombinacija se moˇze napraviti od ˇcetiri broja ako se poslije izvlaˇcenja svakog broja kuglica vra´ca u bubanj?

5. Za ˇsahovsku ekipu fakulteta prijavilo se pet studenata. Koliko je moguq’ce formirati troˇclanih ekipa od prijavljenih uˇcenika?

6. Putniˇcka agencija u svoj asortiman uvrstila je ponudu za izlet na Plitviˇcka jezera. Ta ponuda ukljuˇcuje i ˇcetiri neobavezna izleta u Ogulin Slunj, Karlovac i Petrovu goru. Martina i njezina prijateljica Irena od neobaveznih izleta ˇzele i´ci na bilo koja tri. Na koliko naˇcina ih mogu odabrati?

7. Luka igra LOTO 7/39 i uvijek zaokruˇzuje dva jednakoznamenkasta broja tri od 10 do 29, te preostala dva ve´ca od 29. Na koliko naˇcina Luka moˇze ispuniti listi´c?

8. Iz snova od 52 karte biramo dvije ali tako da se nakon izbora svake karte zapiˇse njezina vrijednost i karta se vrati u snop. Na koliko naˇcina se moˇze odabrati: (a) dvije karte iste boje; (b) dvije karte iste jakosti

9. Trgovina u ponudi vo´ca ima jabuke, kruˇske i ˇsljive. Na koliko naˇcina moˇzemo kupiti 4kg vo´ca ako kupujemo po pola kilograma ponudeno vo´ce? Neku vrstu vo´ca ne moramo kupiti.

10. U trgovini se prodaje pet vrsta kave. Svaka vrsta je pakriana u paketi´ce od 200g. Na koliko naˇcina kupac moˇze kupiti kilogram kave u toj trgovini?

11. U skupu od 27 proizvoda sedam je neispravnih. Kolika je vjerojatnost da izaberemo uzorak koji se sastoji od pet dobrih i tri neispravna?

12. Kolika je vjerojatnost da se prilikom dvostrukog bacanja kocke pojavi broj 1?

13. Kolika je vjerojatnost da se prilikom dvostrukog bacanja kocke pojavi zbroj 7?

14. Kolika je vjerojatnost da se prilikom trostrukog bacanja kocke pojavi najmanji ili najve´ci zbroj?

15. U kutiji su tri bijele i deset crnih kuglica. Iz kutije izvlaˇcimo dvije kuglice odjednom. Kolika je vjerojatnost da ´cemo izv´ci obje bijele?

16. U kutiji se nalazi 5 bijelih, 8 plavih i 7 crnih kuglica. Iz kutije izvlaˇcimo tri kuglice jednu po jednu s vra´canjem. Kolika je vjerojatnost da ´cemo izvu´ci sve tri crne?

17. U kutiji se nalazi 5 bijelih, 8 plavih i 7 crnih kuglica. Iz kutije izvlaˇcimo tri kuglice jednu po jednu s vra´canjem. Kolika je vjerojatnost da ´cemo izvuv´i sve tri kuglice razliˇcitih boja?

18. Student na ispit znaju´ci rijeˇsiti 15 od ukupno 20 zadataka. Ispit sadrˇzi 5 zadataka. Kolika je vjerojatnost da ´ce student rijeˇsiti svih 5 zadataka?

19. Student na ispit znaju´ci rijeˇsiti 15 od ukupno 20 zadataka. Ispit sadrˇzi 5 zadataka. Kolika je vjerojatnost da ´ce student rijeˇsiti 2 zadatka?

20. Student na ispit znaju´ci rijeˇsiti 15 od ukupno 20 zadataka. Ispit sadrˇzi 5 zadataka. Kolika je vjerojatnost da ´ce student rijeˇsiti bar 2 zadatka?

21. Prilikom dvostrukog bacanja kocke dobiven je zbroj 10. Kolika je vjerojatnost da se pojavio broj 6?

22. Prilikom dvostrukog bacanja kocke pojavio se broj 2. Kolika je vjerojatnost da je dobiven zbroj 6?

23. Proizvodi tvornice dolaze na kontrolu ispravnosti kod dva kontrolora s vjerojatnostima 0.6 i 0.4. Vjerojatnost da ´ce proizvod biti proglaˇsen ispravnim kod prvog kontrolora je 0.94 a kod drugog0.98. Proizvod je bio ispravan. Kolika je vjerojatnost da je kontrolu proveo prvi kontrolor.

24. U grupi od 10 nogometaˇsa, 8 koˇsarkaˇsa i 6 rukometaˇsa vjerojatnost da ´ce pogodak posti´ci nogometaˇs je 0.6, koˇsarkaˇs 0.8 a rukometaˇs 0.75. Kolika je vjerojatnsot da ´ce sluˇcajno odabrani sportaˇs posti´ci pogodak. Kolika je vjerojatnost da je odabrani sportaˇs koˇsarkaˇs?

Sluˇcajne varijable:

25. Bacamo kocku 7 puta. Kolika je vjerojatnost da ´cemo dva puta dobiti peticu? Kolika je vjerojatnost da ´cemo 3 puta dobiti peticu?

26. Tvornica proizvodi ˇcepove od kojih je 0.065% loˇsih. Kolika je vjerojatnost da tvorniˇcko pakiranje od 10 000 ˇcepova sadrˇzi 5 loˇsih ˇcepova?

27. U koˇsari se nalazi 5 nektarina li 6 smokvi. Na sluˇcajan naˇcin uzimamo iz koˇsare 3 vo´cke. Neka je X sluˇcajna varijabla koja broji izvuˇcene smokve. Odredite zakon razdiobe od X te prosjeˇcan broj izvuˇcenih smokvi.

28. U koˇsari se nalazi 1 zelena i 7 crvenih jabuka. Na sluˇcajan naˇcin vadimo jednu jabuku te ju zatim vratimo natrag u koˇsaru. Izraˇcunajte vjerojatnost da je u 10 takvih izvlaˇcena zelena jabuka izvuˇcena toˇcno 2 puta.

29. Telefonska centrala ima prosjeˇcno po minuti 5 zahtjeva za uspostavljanjem telefonske veze. Centrala moˇze u minuti ostvariti maksimalno 10 veza. Kolika vjerojatnost da ´ce centrala biti preoptereq’cena u toku proizvoljne minute?

30. Tvornica u jednoj smjeni proizvede 10000 komada nekog proizvoda. Vjerojatnost da je proizvod neispravan je 0.05. Izraˇcunati vjeorjatnost da u jednoj smjeni broj ispravnih proizvoda bude ve´ci od 9450 a manji od 9520.

2

1. Proizvodi tvornice dolaze na kontrolu ispravnosti kod dva kontrolora s vjerojat- nostima 0.6 i 0.4. Vjerojatnost da će proizvod biti proglašen ispravnim kod prvog kontrolora je 0.94 a kod drugog 0.98. Proizvod je bio ispravan. Kolika je vjerojatnost da je kontrolu proveo prvi kontrolor.

2. U grupi od 10 nogometaša, 8 košarkaša i 6 rukometaša vjerojatnost da će pogodak postići nogometaš je 0.6, košarkaš 0.8 a rukometaš 0.75. Kolika je vjerojatnost da će slučajno odabrani sportaš postići pogodak?

3. Od četiri igraće kockice tri su normalne a četvrta ima na tri strane šesticu. Nasumice biramo kocku i bacamo jednom. Kolika je vjerojatnost da je pala šestica?

4. U skupini od 10 strijelaca nalaze se tri izvrsna i sedam dobrih. Vjerojatnost pogotka za izvrsne strijelce je 0.9, a za dobre 0.7. Iz skupine na sreću biramo jednog strijelca. Kolika je vjerojatnost da će on pogoditi metu?

5. Od četiri igraće kockice tri su normalne a četvrta ima na tri strane šesticu. Nasumice odabrana kockica bačena je 10 puta i svaki put je pala šestica. Kolika je vjerojatnost da je odabrana kockica sa tri šestice?

6. Dvije su kutije pune kuglica. U prvoj ima 20 žutih i 50 plavih kuglica, a u drugoj je 10 žutih i 40 plavih kuglica. Nasumce uzimamo jednu kuglicu iz proizvoljne kutije i odabrana bude žuta kuglica. Kolika je vjerojatnost da smo žutu kuglicu uzeli iz prve kutije?

7. U jednoj firmi je 80% muškaraca od kojih je 42% završilo fakultet, dok je žena sa završenim fakultetom 37%. Ako je slučajno odabrana osoba završila fakultet, kolika je vjerojatnost da je to žena?

8. Bacaju se dvije pravilne kocke 155 uzastopno. Kolika je vjerojatnost da će se zbroj 8 pojavititi više od 24 i manje od 30 puta?

9. Prema podacima tehničke kontrole tvornice za izradu satova kod 2% satova po- trebno je izvršiti dopunsko reguliranje. Kolika je vjerojatnost da se na 290 od 300 slučajeva odabranih satova ne izvršava dopusnko reguliranje. Ako se kod 300 satova u paketu nađe najmanje 11 kod kojih treba izvršiti dopunsko reguliranje cijeli paket se otpisuje. Kolika je vjerojatnost da se paket ne otpiše?

10. Vjerojatnost da je jedan proizvod neispravan je 0.01. Iz velikog skladišta se uzima 100 proizvoda kolika je vjerojatnost da među njima bude 5 neispravnih.

11. Prilikom trostrukog bacanja kocke pojavio se broj 1. Kolika je vjerojatnost da je dobiven zbroj 7? Kolika je vjerojatnost da je dobiven zbroj 13?

12. Prilikom trostrukog bacanja kocke pojavila su se tri različita broja. Kolika je vje- rojatnost da se pojavio broj 4? Kolika je vjerojatnsot da su sva tri dobivena broja manja od 4?

13. Tvornica proizvodi čepove od kojih je 0.065% loših. Kolika je vjerojatnost da tvor- ničko pakiranje od 10 000 čepova sadrži 5 loših čepova?

14. U košari se nalazi 5 nektarina li 6 smokvi. Na slučajan način uzimamo iz košare 3 voćke. Neka je X slučajna varijabla koja broji izvučene smokve. Odredite zakon razdiobe od X te prosječan broj izvučenih smokvi.

15. U košari se nalazi 1 zelena i 7 crvenih jabuka. Na slučajan način vadimo jednu jabuku te ju zatim vratimo natrag u košaru. Izračunajte vjerojatnost da je u 10 takvih izvlačena zelena jabuka izvučena točno 2 puta.

16. Telefonska centrala ima prosječno po minuti 5 zahtjeva za uspostavljanjem telefon- ske veze. Centrala može u minuti ostvariti maksimalno 10 veza. Kolika vjerojatnost da će centrala biti preoptereq’cena u toku proizvoljne minute?

17. Marko dolazi kući i pokušava otključati ulazna vrata. Na privjesku ima 5 sličnih ključeva koje on ne razlikuje. Da bi otvorio vrata on isprobava ključeve jedan za drugim i ostavlja ih sa strane. Odrediti zakon razdiobe slučajne varijable koja broji pokušaje.

18. Strijelci Josip, Ðuro i Hrvoje gađaju po jednom u cilj nezavisno jedan od drugog pogađajući ga s vjerojatnostima redom 0.6, 0.5, 0.4. Ustanovljeno je da je cilj pogođen 2 puta. Što je vjerojatnije da ga je Hrvoje pogodio ili promašio?

19. Vjerojatnost da se rode blizanci istog spola je 0.64. Vjerojatnost da se rodi dječak je 0.51. U slučaju rađanja djece različitih spolova oba redosljeda su isto vjerojatna. Kolika je vjerojatnost da je drugi blizanac dječak ako je ako je prvi bio dječak?

20. Istraživanjem je dobiveno da na svakih 1000 novorođenčadi ima 515 dječaka i 485 djevojčica. U obitelji s četvero djece odrediti vjerojatnost da među njima nema više od dvije djevojčice.

21. U hotelu se dnevno 0.5% gostiju žali bezrazločno na kvalitetu usluge. Kolika jevjerojatnost da se bezrzazložno žli troje ili više gostiju ukoliko u hotelu trenutno boravi 200 gostiju?

22. Šef recepcije iz iskustva zna da vjerojatnost da gost traži sobu s pogledom na more iznosi 0.7. Budući da ju u hotelu slobodno još 20 soba s pogledom na more a očekuje se dolazak autobusa s 50 gostiju kolika je vjerojatnost da će šef recepcije moći udovoljiti zahtjevima svih gostiju za sobom s pogledom na more.

23. Neka je X slučajna varijabla sa standardnom normalnom distribucijom N (0, 1). Odrediti a ako je: (a) P (0 ≤ X ≤ a) = 0.4236; (b) P (X ≤ a) = 0.7967, (c) P (a ≤ X ≤ 2) = 0.1.

24. Zadana je slučajna varijabla X N (28, 9). U kojem području simetrično oko očeki- vanja leži 95% vrijednosti varijabli?

25. Otpor otpornika je normalno distribuirana slučajna varijabla X s µ = 1000Ω i σ = 50Ω. Odrediti P (970 < X < 1010). Kolika je vjerojatnost da od 5 takvih otpornika bar dva imaju otpor u granicama od 970 do 1010 Ω.

26. Ispravan novčić je bačen 400 puta. Kolika je vjerojatnost da se broj glava koje se pojavljuju razlikuju od 200 za više nego 10?

27. Kino prima 529 gledatelja i dva ulaza i pored svakog se nalazi garderoba s m vješa- lica. Posjetitelji ulaze neovisno jedan od drugog i jednako vjerojatno na oba ulaza. Koliki mora biti najmanji broj vješalica tako da s vjerojatnošću od 0.95 bude mjesta za sve jakne svih posjetitelja baš u garderobi pored ulaza na koji je posjetitelj ušao?

28. Na državnoj maturi rješava se 40 zadataka i za svaki su ponuđena 4 odgovora od kojih je jedan točan. Za točno zaokružen odgovor dobije se 15 bodova, aza pogrešno zaokružen se gubi 5 bodova. Kolika je vjerojatnost da se slučajnim odabirom ponu- đenih odgovora prod´je prag od 120 bodova?

29. Prosjak dobije novčić od prolaznika s vjerojatnošću 0.05. Koliko prolaznika treba proći ulicom da bi prosjak sakupo barem 150 nočića s vjerojatnošću 0.95?

30. Kolika je vjerojatnost da među 1000 novorođenčadi bude barem 490 dječaka ako je za svako novorođenče jednako vjerojatno da bude dječak ili djevojčica?

31. Pretpostavite da je vrijeme putovanja nekog studenta od kuće do fakulteta približno normalno distribuirano s očekivanjem 40 minuta i standardnom devijacijom od 7 minuta. Student želi stići na predavanje koje počinje u 12,15h. Ako je student krenuo od kuće u 11,30 kolika je vjerojatnost da on zakasni na predavanje?

32. Pretpostavite da je vrijeme putovanja nekog studenta od kuće do fakulteta približno normalno distribuirano s očekivanjem 40 minuta i standardnom devijacijom od 7 minuta. Student želi stići na predavanje koje počinje u 12,15h. Kada bi student trebao krenuti od kuće da s vjerojatnošću od barem 0.95 bude siguran da će stići na vrijeme na predavanje?

33. Vijek trajanja automobilske gume normalno je distribuiran s očekivanjem 34 000 km i standardnom devijacijom od 4000 km. Kolika je vjerojatnost da guma traje više od 40 000km?

34. Vijek trajanja automobilske gume normalno je distribuiran s očekivanjem 34 000 km i standardnom devijacijom od 4000 km. Ako je guma prešla 30 000 km kolika je vjerojatnost da će guma trajati još 10 000 km?

35. Za normalnu razdiobu s očekivanjem E[X] = 7 i vjerojatnošću P (4 < X < 10) = 0.8 odrediti varijancu.

36. Za normalnu razdiobu s varijancom V [X] = 4 i vjerojatnošću P (X ≥ 8) = 0.4565 izračunati očekivanje.

37. Za normlanu slučajnu varijablu vrijedi V [X] = 2 i P (X < 6) = 0.3375. Kolika je vjerojatnost da X poprimi vrijednost veću od 10?