Autor: Ivan LjubičićAutor: Ivan LjubičićPotvrdio stručnost: Mario Biličić, nastavnik matematikePotvrdio stručnost: Mario Biličić, nastavnik matematike

Irena Brdar, mag. matematikeIrena Brdar, mag. matematike

Izračunaj površinu kvadrata kojemu je duljina stranice jednaka 5 cm.

P=5cm ∙ 5cm= 25 cm2

odnosno

P= 5cm ∙ 5cm= 52 cm2=25 cm2

5 cm

Postupak u kojem se neki broj množi sa samim sobom naziva se kvadriranje.

a a2

1 1

-1 1

0 0

2 4

-2 4

Kao što je vidljivo u tablici, za svaki racionalni broj a vrijedi:

(-a)2= (-a) ∙ (-a) = a ∙ a = a2

(a∙b)2= (a ∙b ) ∙ (a ∙b)= = a ∙b ∙a ∙b= = a ∙a ∙b ∙b= a2b2

Kvadrat umnoška jednak je umnošku kvadrata faktora zadanog umnoška. Vrijedi i obrat:

a2b2 = (a∙b)2

Primjer(10 ∙ (-15))2 =

(a∙b)2 = a2b2

102 ∙ (-15)2 = 100 ∙ 225 = 22500

2

22

b

a

bb

aa

b

a

b

a

b

a

Kvadrat količnika jednak je količniku kvadrata djeljenika i djelitelja. Vrijedi i obrat:

Primjer

2

2

2

b

a

b

a

2

5

100

2

22

b

a

b

a

2

25

)100( 25

10000400

(a+b)2 = (a+b)∙(a+b) =

= (a+b)∙a+(a+b)∙b == a∙a+b∙a+a∙b+b∙b == a∙a+a∙b+a∙b+b∙b== a2+2∙a∙b+b2

Kvadrat zbroja dvaju brojeva jednak je zbroju kvadrata tih brojeva uvećanim za dvostruki umnožak tih brojeva. Vrijedi i obrat:

a2+2∙a∙b+b2=(a+b)2

Primjer

(40 + 10)2=

(a + b)2 = a2 + 2∙ a ∙ b + b2

402+2∙40∙10+102= 1600+800+100 = 2500

(a-b)2=(a-b)∙(a-b) == (a-b)∙a-(a-b)∙b == a∙a-b∙a-a∙b+b∙b == a∙a-a∙b-a∙b+b∙b == a2-2∙a∙b+b2

Kvadrat razlike dvaju brojeva jednak je zbroju kvadrata tih brojeva umanjenim za dvostruki umnožak tih brojeva.Vrijedi i obrat

a2-2∙a∙b+b2=(a-b)2

Primjer

(40 - 10)2=

(a - b)2 = a2 - 2∙a∙b + b2

402-2∙40∙10+102= 1600-800+100 = 900

a2-b2 = a2-a∙b+a∙b-b2 == (a-b)∙a+(a-b)∙b == (a-b)∙(a+b)

Razlika kvadrata dvaju brojeva jednaka je umnošku razlike a-b i zbroja a+b tih brojeva. Vrijedi i obrat:

(a-b)∙(a+b) = a2-b2

Primjer

402 - 102 =

a2-b2 = (a-b)∙(a+b)

(40 - 10) ∙ (40 + 10) =30∙50 = 1500