1. MATRIKS1. MATRIKS2. METODE ELIMINASI GAUSS2. METODE ELIMINASI GAUSS3. METODE ITERASI GAUSS 3. METODE ITERASI GAUSS

SEIDELSEIDEL4. METODE DEKOMPOSISI LU4. METODE DEKOMPOSISI LU

PERTEMUAN 5

MATRIKS

Definisi MatriksAdalah kumpulan bilangan yang

disajikan secara teratur dalam baris dan kolom.

Notasi Matriks

A = --

a11 a12 …. a1n

a21 a22 …. a2n

.

.am1 am2 …. amn

Ukuran Matrik atau Ordo Matrik A adalah

m x n

dimana :

m = banyak baris

n = banyak kolom Elemen matrik aij artinya elemen baris

ke-I dan kolom ke-j pada matrik A

Jenis-jenis matriks

1.Vektor adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris dan satu kolom

- jika matriks [A] hanya mempunyai satu baris maka disebut vektor baris

- jika matriks [A] hanya mempunyai satu baris maka disebut vektor baris

2.Matriks bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m = n

3. Matriks Nol adalah matriks yang elemen elemennya nol

4. Matriks diagonal adalah matriks yang hanya elemen-elemen diagonal tidak sama dengan nol

5. Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks diagonal dimana elemen-elemen diagonalnya sama dengan nol

6. Matriks segitiga adalah suatu matriks persegi dikatakan

sebagai matriks segitiga jika elemenelemen yang ada di

bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak

kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yangada di

bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai

matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang

ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut

sebagai matriks segitiga bawah.

Penambahan matriksPenambahan matriks

Sesuatu matriks boleh Sesuatu matriks boleh ditambah jika kedua matriks ditambah jika kedua matriks mempunyai susunan yang mempunyai susunan yang sama.Begitu juga dengan sama.Begitu juga dengan pengurangan matriks, pengurangan matriks,

Contoh 1 penambahan Contoh 1 penambahan matriks:matriks:

Contoh 2 Pengurangan Contoh 2 Pengurangan MatriksMatriks

Perkalian Skalar

k A =

ka11 ka12 …. ka1n

ka21 ka22 …. ka2n

.

...

kam1 kam2 …. kamn

Contoh 3 perkalian skalarContoh 3 perkalian skalar

Perkalian matriks dengan matriks

Dua buah matriks A(m x n) dan B(n x k) dapat dikalikan apabila memenuhi syarat:

• Jika dan hanya jika jumlah kolom matrik A sama dengan jumlah baris matriks B

• Ordo matriks hasil perkalian A dan B adalah ( m x k )

Contoh 4 perkalian matriks Contoh 4 perkalian matriks dengan matriksdengan matriks

Contoh 4Contoh 4

Determinan Matriks

Jika suatu matriks adalah matriks bujur sangkar maka mempunyai nilai determinannya

Determinan matriks A di dinotasikan dengan | A |

Cara menghitung determinan tergantung ordo matriks tersebut

Determinan matriks ordo 2 x 2

A =

det.A = |A| = a11a22 - a21a12

a11 a12

a21 a22

Determinan matriks ordo 3 x 3

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Determinan matrik A ( 3 x 3 ) dihitung menggunakan metode SARRUS:

| A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32

- a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12

Contoh 5 determinan Contoh 5 determinan

Matriks 2x2Matriks 2x2

Contoh 5 Matriks 3x3Contoh 5 Matriks 3x3

Matriks Invers

Sebuah matriks A dikatakan mempunyai invers apabila matriks A adalah matriks Non singular, yaitu matriks bujur sangkar yang determinannya tidak sama dengan nol, ditulis dengan A- 1 sehingga berlaku:

A-1 A = A A-1 = Idimana I adalah matriks identitas

Menentukan matriks invers

Menggunakan metode Adjoin:

A- 1 = Adjoin A

Det. A

Adjoin A adalah transpose dari matrik kofaktor-kofaktor dari matrik A

Adjoin A =

A11

A12

.

.A1n

... An1

An2

.

.Ann...

Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana :

Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j |

Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan kolom ke – j pada A

Contoh 6 Matriks inversContoh 6 Matriks invers

Contoh 6Contoh 6

KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks adalah sama jika mempunyai susunan yang

sama dan unsur sepadan yang sama.

Contoh 7:

Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss yaitu menghilangkan atau Metode Eliminasi Gauss yaitu menghilangkan atau

mengurangi jumlah variable sehingga dapat mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas diperoleh nilai dari suatu variable bebas

matrik diubah menjadi augmented matrik :matrik diubah menjadi augmented matrik :

nnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

...

...

............

...

...

2

1

2n1

22221

11211

Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss

ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan segitiga bawah dengan menggunakan OBEOBE ((Operasi Baris ElementerOperasi Baris Elementer).).

nnnnnn

n

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

...

..................

...

...

...

321

33333231

22232221

11131211

nnn

n

n

n

dc

dcc

dccc

dcccc

...000

..................

...00

...0

...

3333

222322

11131211

Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss Sehingga penyelesaian dapat diperoleh Sehingga penyelesaian dapat diperoleh

dengan:dengan:

n

n

1nnnnnn

n

nn

nn

xcx3cxcdc

=x

xcxcxcdc

=x

d+xcc

=x

c

d=x

1n13212111

1

2n424323222

2

1,11,

1

...1

...1

.....................................

1

Contoh 1:Contoh 1:

Selesaikan sistem persamaan berikut:Selesaikan sistem persamaan berikut:

Augmented matrik dari persamaan linier simultan Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :tersebut :

1022

22

6

321

321

321

xxx

xxx

xxx

10212

2121

6111

Contoh 1 :Contoh 1 :

Lakukan operasi baris elementer Lakukan operasi baris elementer

13

12

2BB

BB

2010

4210

6111

23 BB

6200

4210

6111

Contoh 1:Contoh 1:

Penyelesaian :Penyelesaian :

13261

1

23)2(41

1

32

6

1

2

3

x

x

x

Algoritma Eliminasi GaussAlgoritma Eliminasi Gauss

Algoritma Eliminasi GaussAlgoritma Eliminasi Gauss

Metode Iterasi Gauss-SeidelMetode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode

yang menggunakan proses iterasi hingga yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. diperoleh nilai-nilai yang berubah.

Bila diketahui persamaan linier simultan Bila diketahui persamaan linier simultan

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + .. . + a1n xn ¿ b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + .. . + a2n xn ¿ b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + .. . + a3n xn ¿ b3

. .. .. . .. . . .. . .. . . . .. . . . . .. . .. . . .. . .. . .. . . . .. .an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + .. . + ann xn ¿ bn

Metode Iterasi Gauss-Metode Iterasi Gauss-SeidelSeidel

Berikan nilai awal dari setiap xBerikan nilai awal dari setiap xii (i=1 s/d n) (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:dituliskan menjadi:

x1=1a11

(b1−a12 x2−a13 x3−. . ..−a1n xn )

x2=1a

22

(b2−a21 x1−a23 x3−.. . .−a2n xn )

. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

xn=1ann

(bn−an1 x1−an2 x2−. . ..−ann−1 xn−1)

Metode Iterasi Gauss-Metode Iterasi Gauss-SeidelSeidel

Dengan menghitung nilai-nilai Dengan menghitung nilai-nilai xxii (i=1 s/d n) (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xixi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai x(i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai x ii pada pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. dari persamaan linier simultan tersebut.

Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai bila selisih nilai xxi i (i=1 s/d n) dengan nilai (i=1 s/d n) dengan nilai xxii pada pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.yang ditentukan.

Untuk mengecek kekonvergenanUntuk mengecek kekonvergenan

Contoh 1:Contoh 1:

Jawab Jawab ::

Contoh 1Contoh 1

Nilai iterasi ke-7 sudah tidak berbeda jauhdengan nilai iterasi ke-6 Maka proses dihentikandan diperoleh penyelesaian:

Algoritma Eliminasi Gauss Algoritma Eliminasi Gauss SeidellSeidell

Alogoritma Eliminasi Gauss Alogoritma Eliminasi Gauss SeidellSeidell

Metode Dekomposisi LUMetode Dekomposisi LU

Jika matriks A non singular ( matriks yang Jika matriks A non singular ( matriks yang mempunyai invers ), maka ia dapat mempunyai invers ), maka ia dapat difaktorkan difaktorkan

( diuraikan atau dikekomposisi ) menjadi ( diuraikan atau dikekomposisi ) menjadi matriks segitiga bawah, L (Lower) dan matriks segitiga bawah, L (Lower) dan matriks segitiga atas, U (Upper) dengan matriks segitiga atas, U (Upper) dengan cara melakukan sejumlah transformasi cara melakukan sejumlah transformasi elementer pada baris seperti contoh elementer pada baris seperti contoh sebelumnya, A = LU.sebelumnya, A = LU.

Perubahan tersebut dapat Perubahan tersebut dapat digambarkan sebagai digambarkan sebagai berikutberikut

A Transf.elementer

pada baris

U

L

Pada matriks segitiga bawah, L, semua elemen Pada matriks segitiga bawah, L, semua elemen diagonal utamanya berharga 1, sedangkan pada diagonal utamanya berharga 1, sedangkan pada matriks segitiga atas, U tidak ada aturan khusus matriks segitiga atas, U tidak ada aturan khusus pada elemen diagonal utamanya. Setelah pada elemen diagonal utamanya. Setelah pemfaktoran matriks A menjadi matriks L dan pemfaktoran matriks A menjadi matriks L dan matriks U, maka kedua matriks tersebut dapat matriks U, maka kedua matriks tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = B, yaitu sebagai berikut. Tinjau SPL AX linier AX = B, yaitu sebagai berikut. Tinjau SPL AX = B, kemudian faktorkan A menjadi L dan U, = B, kemudian faktorkan A menjadi L dan U, sehingga A = LU, sehingga LUX = B. Misalkan UX sehingga A = LU, sehingga LUX = B. Misalkan UX = = yy, maka L, maka Lyy = B. Untuk memperoleh , kita = B. Untuk memperoleh , kita gunakan teknik substitusi maju ( forward gunakan teknik substitusi maju ( forward substitution ), sbb,substitution ), sbb,

Dan untuk memperoleh solusi SPL, , kita Dan untuk memperoleh solusi SPL, , kita gunakan teknik substitusi mundur ( back gunakan teknik substitusi mundur ( back substitution ) sbb,substitution ) sbb,

Contoh 1Contoh 1

Tentukan X1,X2,X3 dan X4 dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan metode dekomposisi LU

CONTOH 1CONTOH 1

CONTOH 1CONTOH 1

CONTOH 1CONTOH 1

CONTOH 1CONTOH 1

Algoritma Metode Algoritma Metode Dekomposisi LUDekomposisi LU

1. Mendapatkan matriks [L] dan [U].1. Mendapatkan matriks [L] dan [U].2. Menyelesaikan [L]{z} = (b).2. Menyelesaikan [L]{z} = (b).3. Menyelesaikan [U]{x} = {z}3. Menyelesaikan [U]{x} = {z}

Soal :Soal :

1. Selesaikan persamaan berikut 1. Selesaikan persamaan berikut dengan metode Eliminasi Gaussdengan metode Eliminasi Gauss

Soal :Soal :

2. Selesaikan persamaan berikut 2. Selesaikan persamaan berikut dengan metode Eliminasi Gauss dengan metode Eliminasi Gauss SeidellSeidell

Soal :Soal :

3. Selesaikan matriks berikut dengan 3. Selesaikan matriks berikut dengan metode Dekomposisi LUmetode Dekomposisi LU