Metode Iterasi Sederhana adalah metode yang digunakan untuk mencari akar dari persamaan kuadrat dengan memisalkan nilai y = 0, kemudian memisahkan nilai x satu dengan x yang lainnya sehingga memunculkan fungsi yang baru, misal :

Fungsi baru ini digunakan untuk mencari nilai x yang pertama. Kemudian nilai tersebut dimasukan kedalam fungsi x (f(x))

Tidak seperti pada metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang yang mengurung akar. Yang

diperlukan hanya sebuah tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Inilah

alasannya mengapa metode ini dinamakan metode terbuka. Hampiran akar sekarang pada hampiran akar

sebelumnya melalui prosedur lelaran. kadangkala lelaran konvergen ke akar sejati kadangkala divergen. Namun,

apabila lelarannya konvergen , konvergensinya berlangsung sangat cepat dibanding metode tertutup.

 Ciri-ciri Metode terbuka sebagai berikut :

1. Tidak memerlukan selang [a,b] yang mengandung akar.

2. Mencari akar melalui suatu lelaran yang dimulai dari sebuah tebakan (guest)awal.

3. Pada setiap lelaran kita menghitung hampiran akar yang baru.

4. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen),atau mungkin

juga menjauhi (divergen).

5. Karena itu ,metode terbuka tidak selalu menemukan akar ,kadang konvergen dan kadang

ia divergen

Yang    termasuk    ke    dalam    metode    terbuka    :        

1. Metode    lelaran    titik    tetap    (fixed    point    iteration).

2. Metode    Newton-‐Rhapson.

3. Metode    Secant.

Metode yang dibahas dalam makalah ini adalah metode lelaran titik tetap.

Metode lelaran titik tetap ( metode iterasi sederhana )

Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga

diperoleh : x = g(x).

Contoh :

x – ex = 0

x = ex atau g(x) = ex

Lalu, bentuklah menjadi prosedur lelaran    𝑥r+1 = 𝑔(𝑥r)

Dan terkalah sebuah nilai awal x0 , lalu hitung nilai x1 , x2, x3 ,...,

f(s) = 0 dan s = g(s).

Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila

│ 𝑥r+1  −    𝑥r  │   <   𝜀Atau bila menggunakan galat relatif hampiran

|xr+1−xr

xr+1|<δ

Dengan 𝜀  dan 𝛿 telah ditetapkan sebelumnya       

Perhatikan contoh berikut :        

Carilah akar persamaan f ( x )=x2−2x−3=0 dengan metode lelaran titik tetap. Gunakan

ε=0.000001.

Penyelesaian :     

Terdapat    beberapa    kemungkinan    prosedur    lelaran    yang    dapat    dibentuk        

(a) 𝑥2 − 2𝑥 – 3 = 0    𝑥2 = 2𝑥 + 3    

𝑥  =  √(2 x+3)         

Dalam hal ini, g ( x )=√2x+3 . Prosedur lelaran adalah xr+1=√(2 xr+3). Ambil terkaan

awal x0 = 4.

Tabel lelarannya :

Hampiran akar x = 3.000000

(b) 𝑥2 − 2𝑥 – 3 = 0    𝑥 (𝑥 – 2)  = 3    

𝑥  ¿ 3x−2

Dalam hal ini, g ( x )= 3x−2 . Prosedur lelarannya adalah xr+1 ¿

3xr−2 . Ambil terkaan awal x0

= 4.

Tabel lelarannya :

r xr | xr+1 – xr |

r xr | xr+1 – xr |

0 4.000000 -

1 3.316625 0.683375

2 3.103748 0.212877

3 3.034385 0.069362

4 3.011440 0.022945

5 3.003811 0.007629

6 3.001270 0.002541

7 3.000423 0.000847

8 3.000141 0.000282

9 3.000047 0.000094

10 3.000016 0.000031

11 3.000005 0.000010

12 3.000002 0.000003

13 3.000001 0.000001

14 3.000000 0.000000

0 4.000000 -

1 1.500000 2.500000

2 -6.000000 7.500000

3 -0.375000 5.625000

4 -1.263158 0.888158

5 -0.919355 0.343803

6 -1.027624 0.108269

7 -0.990876 0.036748

8 -1.003051 0.012175

9 -0.998984 0.004066

10 -1.000339 0.001355

11 -0.999887 0.000452

12 -1.000038 0.000151

13 -0.999987 0.000050

14 -1.000004 0.000017

15 -0.999999 0.000006

16 -1.000000 0.000002

17 -1.000000 0.000001

Hampiran akar x = -1.000000

( c ) 𝑥2 − 2𝑥 – 3 = 0

-2x = -x2+3

𝑥 ¿ x2−32

    

Prosedur lelarannya adalah xr+1 ¿xr

2−32

. Ambil terkaan awal x0 = 4.

Tabel lelarannya :

I xr | xr+1 – xr |

0 4.000000 -

1 6.500000 2.500000

2 19.625000 13.125000

3 191.070313 171.445312

4 18252.432159 18061.361847

. . .

Ternyata lelarannya divergen.

Teorema 3.2

Di dalam selang I = [s-h, s+h], dengan s titik tetap.

1. Jika 0 < g'(x) < 1 untuk setiap x ∈ I, maka lelaran konvergen monoton;

2. Jika -1< g'(x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka lelaran konvergen bersosilasi;

3. Jika g'(x) > 1 untuk setiap x ∈I, maka lelaran divergen monoton;

4. Jika g'(x) < -1 untuk setiap x ∈ I, maka lelaran divergen berosilasi.

Jenis-jenis kekonvergenan

Pertanyaan :

1. Dalam setiap soal apakah prosedur lelarannya selalu lebih dari satu? (Siska Noviah)

2. Kapan iterasinya harus berhenti? (Vivi Vathillah)

3. Bagaimana menentukan tebakan akarnya? (Ulfa Nadiyah)

4. Apakah maksud dari konvergen monoton, konvergen berosilsi, divergen monoton dan

divergen berosilasi? (Siska Wullandari)

5. Dalam soal x2 – 2x – 3 =0 terdapat 3 cara untuk menentukan x=g(x). Menurut kelompok

anda cara mana yang lebih efektif? (Titik Enggar Puriyanti)

Jawaban :

1. Tidak, tergantung pada f(x) = 0 yang terdapat pada soal tersebut.

2. Kondisi berhenti ketika |xr+1−xr|<ε atau|xr+1−xr

xr−1|<δ

3. Tebakan akar dilakukan secara bebas tetapi sebaiknya diambil dari akar yang mendekati

fungsi f(x).

4. Konvergen monoton : hasil dari |xr+1−xr| selalu turun dan mendekati akar

sejatinya.

Konvergen berosilasi : hasil dari |xr+1−xr| selalu naik turun tetapi mendekati

akar sejatinya.

Divergen monoton : hasil dari |xr+1−xr| selalu naik sehingga menjauhi

akar sejatinya.

Divergen berosilasi : hasil dari |xr+1−xr| selalu naik turun tetapi menjauhi

akar sejatinya.

5. i) x2 – 2x – 3 = 0

x2 = 2x + 3

x ¿√2x+3

ii) x2 – 2x – 3 = 0

x2 – 2x = 3

x (x – 2) = 3

x ¿ 3x−2

iii) x2 – 2x – 3 = 0

-2x = -x2 +3

x ¿ x2−32

Kita tidak bisa menentukan efektif / tidaknya suatu prosedur lelarannya sebelum kita

mencoba mensubstitusi tebakan akar ke dalam x = g(x) secara satu persatu.

Soal

Hitung akar f(x) = x2 – 2x – 3 dengan epsilon 0.000001.

x2 – 2x – 3 = 0

x ( x – 2 ) = 3

xr+1 ¿ 3xr−2

r xr | xr+1 – xr |

0 4.000000 -

1 1.500000 2.500000

2 -6.000000 7.500000

3 -0.375000 5.625000

4 -1.263158 0.888158

5 -0.919355 0.343803

6 -1.027624 0.108269

7 -0.990876 0.036748

8 -1.003051 0.012175

9 -0.998984 0.004066

10 -1.000339 0.001355

11 -0.999887 0.000452

12 -1.000038 0.000151

13 -0.999987 0.000050

14 -1.000004 0.000017

15 -0.999999 0.000006

16 -1.000000 0.000002

17 -1.000000 0.000001

Metode Iterasi Titik tetap kadang-kadang dinamakan metode iterasi sederhana atau metode

langsung atau metode substitusi beruntun. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan

prosedur iterasinya yang mudah dibentuk, yaitu kita ubah persamaan f (x) = 0 menjadi bentuk

x = g(x), kemudian dibentuk menjadi prosedur iterasi,

Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x) secara sederhana

dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin dicari

hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x)

bila g(x) = x dan f(x) = 0.

Prosedur Metode Titik Tetap :

Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya

atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x). Kemudian

tentukan nilai titik awal, misal x1. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x)

sedemikian sehingga g(x1) = x2, setelah itu titik x2 yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x)

sedemikian sehingga g(x2) = x3. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi

x1 (penetuan titik awal)

x2 = g(x1) (iterasi pertama)

x3 = g(x2) (iterasi kedua)

.

.

xn = g(xn-1) (iterasi ke-n)

Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup

kecil (|xn - xn-1| <