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Caracterización de la comprensión de conceptos económicos a través de la relación función-derivada: una aproximación desde

la métrica FUZZY Angel Luis Ariza Jiménez. Universidad de Alicante.

angelariza@ua.es

1. Objetivosopropósitos:Lacomprensióndelasrelacionesentrelafunciónysufunciónderivadaestáeneltrasfondo de muchos conceptos económicos y es fundamental para entender elanálisis marginal en el que se basa la disciplina económica en general ymicroeconómicaenparticular.Las investigacionesqueanalizanlarelacióndelosconceptos matemáticos y económicos desde la óptica de los profesores (García,Azcarate&Moreno,2006),desdelosresultadosdelospropiosalumnos,ydesdelaestructuracióndeloslibrosdetexto(Akihito,2006),indicanquealgunasveceslosconceptoseconómicossemanejansinunabuenacomprensióndelossignificadosmatemáticos que los organizan. El hecho de que algunos conceptos demicroeconomíaesténmodelizadosporlarelaciónentreunafunciónysuderivadapone de manifiesto la necesidad de centrar la atención en estos aspectos. Enparticular,elconceptomatemáticodefunciónderivadaaparecedeformahabitualyfrecuenteeneltratamientodeconceptoseconómicos,especialmenteenaquellospertenecientesalcampodelaMicroeconomía. Porotraparte,losestudiosqueanalizanlaimportanciadelosregistrosderepresentaciónenelaprendizajedeconceptoseconómicos,proponeninformacióncontrovertida en el sentido de que la utilización del registro gráfico es esencialpara aprenderMicroeconomía (Hey, 2005) o planteando sus limitaciones (Cohn,2001). Sin embargo, existen argumentos para pensar que el registro gráfico esimportanteenelaprendizajedelaeconomíacomoloeseneldelasmatemáticas(Boyd,1998). El objetivo de este trabajo es caracterizar la comprensión de la relaciónentreunafuncióneconómicaysuderivadaporpartedealumnosuniversitarios,yapartirdelamismaestablecerpautasparaavanzaraunniveldedesarrollodelacomprensióndelosconceptoseconómicosmásavanzado.

2. Marcoteórico:Unesquemasedesarrollaatravésdetresniveles:INTRA,INTERyTRANS(Piaget&García,1983/1989).ElnivelINTRAsecaracterizaporlarealizacióndeaccionesconsiderando demanera aislada los elementosmatemáticos, sin coordinación o

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apariciónde relaciones lógicasentre losmismos,y siempredentrodeunmismoregistro de representación. Por ejemplo, cálculo formal de la expresión de laderivadadeunafunciónenelregistroalgebraico.EnelnivelINTERseestablecenrelaciones lógicas entre los distintos elementos generalmente en un registro derepresentación. Por ejemplo, la obtención de la representación gráfica de laderivada a partir de la representación gráfica de la función. Mientras que en elnivelTRANSesasrelacionesserealizansinrestriccionesyestableciendolasíntesis(obtencióndeladerivadaenambosregistros).Elmecanismoporelcualelindividuosetrasladadeunnivelaotroesdenominado“abstracciónreflexiva”(Piaget&García,1983/1989).Estaabstracciónreflexivahadeentenderseenundoblesentido:laproyeccióndelaexistenciadeconocimientodentrodeunnivel depensamiento superior, esto es, trascender y construir unanueva y más compleja estructura de conocimiento, y la reorganización ycombinación de elementos estructurales para conseguir un objetivo dado(organización estructural). En relación a la proyección, el modo en el que laorganizaciónestructuraldeacciones,procesosyobjetosesllevadoacaboatravésdeuncambioenlosusos,ounaaplicaciónimplícitaparaunobjetivodeterminado,yaconceptualizaresloquesedenominatematización.Latransicióndesdeunusoimplícitoaunusoconscientedeloselementosmatemáticosyelestablecimientodealgún tipo de relación entre ellos es lo que se ha llamado una proyección delconocimiento aunnivel depensamiento superiorpor abstracción reflexiva, estoes, el proceso por el cual una estructura más compleja de conocimiento esconstruida.Lareorganizacióndelconocimientoesvistaporestosautorescomolaposibilidad de que un esquema pueda ser tematizado para convertirse en otroobjetocognitivoalosqueaccionesyprocesoslespuedanseraplicados.

3. Metodología:Los instrumentos de recogida de datos fueron un cuestionario formado por 5tareasconuntotalde12 ítemsrelacionadosconceptoseconómicosen losque laderivada aparece implícita o explícitamente y 25 entrevistas clínicassemiestructuradas.Latabla1muestrasobrequéconceptoseconómicosversabanlas tareas y la equivalencia existente entre ellos en cuanto a la relación función-derivada:

Función Funciónderivada

FuncióndeDemanda Elasticidad-precio de laDemanda

FuncióndeProducción FuncióndeProductoMarginalFunciónCosteTotal FunciónCosteMarginal

FuncióndeUtilidad Relación Marginal deSustitución

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Tabla1:ConceptoseconómicosutilizadosysignificadomatemáticodecadaunoPara obtener la puntuación de cada estudiante a cada una de las tareas hemosusado la noción de espacio métrico fuzzy (George & Veeramani, 1994),considerandolamétricafuzzyestándarinducidaporlamétricaeuclídea,d,sobreelconjuntoX,quevienedadaporlafórmula

( )yxdtttyxFd ,

),,(:+

=

La puntuación hace referencia al grado de adquisición del elementocorrespondiente Lamétrica o distancia fuzzy, Fd, puede interpretarse comounavaloración de la distancia euclídea, d(x,y), en términos cualitativos. Si d(x,y)=0,entonces se tiene que Fd = 1, lo que se interpreta como “cercanía extrema”. Amedidaqued(x,y)sehacegrande,Fdsevaacercandoacero,esdecir,setiendeala“extremalejanía”,valorquesealcanzaenellímitecuandod(x,y)tiendea+∞,seacualseaelvalordet>0.Acontinuación,determinamosdosvaloresfuzzyquenosindiquen la medida frontera entre INTRA-INTER y entre INTER-TRANS. Paradeterminar los puntos frontera INTRA-INTER e INTER-TRANS elegimos unestudiante, para cada caso, y conjeturaremos sus puntuaciones al cuestionario apartir de lo que se supone seria capaz de hacer en el nivel superior,transcendiendoasíelinferior.Asílomuestranlastabla2:

DistanciaEuclídead(Q,I)

MedidaFuzzy

( )IQdIQFd ,32

32)32,,(:+

=

do(Q,I)=[(1-1)²+(1-1)²+(1-1)²+(1-1)²]½=0 13/23/2)32,,(0 ==IQFd

d1(Q,I) = [(1-1)² + (1-1)² + (1-0,5)² + (1-0,5)² +(1-

0,5)²]½= 75,0 435,0

75,03/23/2

)32,,(1 =+

=IQFd

d2(Q,I)=[(1-0,435)²+(1-0,25)²+(1-0,25)²+(1-0)²+(1-

0)²]½= 201,3 0,27

3,2012/32/33)2I,(Q,F 2d =+

=

DistanciaEuclídead(Q,I)

MedidaFuzzy

( )I,Qd3232)32,I,Q(Fd +

=

do(Q,I)=[(1-1)²+(1-1)²+(1-1)²+(1-1)²]½=0 13/23/2)32,,(0 ==IQFd

d1(Q,I) = [(1-1)² + (1-1)² + (1-0,5)² + (1-0,5)² +(1-0,5)²]½= 75,0

435,075,03/2

3/2)32,,(1 =+

=IQFd

d2(Q,I)=[(1-0,435)²+(1-0,5)²+(1-0,5)²+(1-0.5)²+(1-

0.5)²]½= 38,1 0,36

1,382/32/33)2I,(Q,F 2d =+

=

Tabla2.DeterminacióndelospuntofronteraIntra-IntereInter-Trans

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4. Resultadosy/oconclusiones

• CaracterísticasdelosalumnosenelnivelINTRA

Losalumnosencuadradosenestenivel,quetienenunamedidafuzzymenora0.27,

secaracterizanfundamentalmenteporestablecerlasrelacionesentreunafunción

y su derivada en ambos registros de modo incorrecto. A modo de ejemplo, el

protocolo de respuesta de la figura 1 muestra relaciones incorrectas entre las

funciones económicas Función de Producción o Producto Total y Producto

Marginal (función y su derivada respectivamente) y también entre las funciones

económicasCosteTotalyCosteMarginal(funciónysuderivada).Enelprimerode

loscasoselalumnorepresentalafuncióndeProductoMarginalcomounafunción

crecientecuandodebeserdecrecientedada la funcióndeProductoTotal.Porsu

parte en el segundo caso este alumno representauna funcióndeCosteMarginal

constante cuandodebe seruna funcióncrecientedada la funcióndeCosteTotal.

Además el alumno no construye las expresiones algebraicas que podrían

corresponderseconlasfuncionesdadasgráficamente.

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Figura 1. Relaciones incorrectas entre el PT y su derivada (PM) y entre el CT y suderivada(CM)

• CaracterísticasdelosalumnosenelnivelINTERLosalumnosencuadradosenestenivel,quetienenunamedidafuzzymayoroigual

a0.27peromenorque0.36,secaracterizanfundamentalmenteporestablecerlas

relacionesentreunafunciónysuderivadaenambosregistrosdemodocorrecto.A

modo de ejemplo, el protocolo de respuesta de la figura 2 muestra relaciones

correctasentrelasfuncioneseconómicasFuncióndeProducciónoProductoTotal

yProductoMarginal(funciónysuderivadarespectivamente)ytambiénentrelas

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funcioneseconómicasCosteTotalyCosteMarginal(funciónysuderivada).Enel

primerodeloscasoselalumnorepresentalafuncióndeProductoMarginalcomo

unafuncióndecreciente.Porsuparteenelsegundocasoestealumnorepresenta

una función de Coste Marginal creciente y lineal. Además el alumno construye

expresiones algebraicas correctas que podrían corresponderse con las funciones

dadasgráficamente,ycalculasegundasderivadasalgebraicamente,peronoexplica

elsignificadoeconómicodelaconcavidadyconvexidad.

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Figura 2. Relaciones correctas entre el PT y su derivada (PM) y entre el CT y suderivada(CM)

• CaracterísticasdelosalumnosenelnivelTRANS

Losalumnosasignadosaestenivel,cuyamedidafuzzyesmayoroiguala0.36,se

caracterizanpor,ademásdeestablecerrelacionesentreunafunciónysuderivada

correctamenteen funcioneseconómicas, aplicar correctamente la relacióncon la

segunda derivada y entender el significado de concavidad o convexidad de una

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funcióneconómica.Porejemplo,enlarespuestadelafigura3,elalumnoademás

de representar correctamente la función de Producto Marginal (derivada) y

construirexpresionesalgebraicasparaéstaylafunciónorigendeProductoTotal,

argumenta a través del cálculo de la segunda derivada que la función origen es

cóncavayafirmaqueeconómicamentelaconcavidadimplicaquelafuncióncrece

cadavezmenos

Figura3.Explicacióndelsignificadoeconómicodelaresoluciónalgebraicadelasegundaderivadadeunafunción.

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Estascaracterísticasindicanpautasparapasardeunnivelaotro,loquenospermitedefinirunatrayectoriadecambiodenivel.ParasuperarelnivelIntraysituarseenelInterestaspautasson:Aprehenderamanejarelconceptodela1ªderivadaenelregistrográficofundamentalmenteyconconversionesdelregistrográficoalalgebraico.Calcularla2ªderivadaenelregistroalgebraico. Porsuparte,paraavanzardelnivelInteralTranslosalumnosdeben:Entenderlossignificadosdeconcavidadyconvexidadenlassituacioneseconómicasyponerlosenrelaciónconelcálculoalgebraicodela2ºderivada.

5. Contribucionesysignificacióncientíficadeestetrabajo:Estetrabajopretendeserundiagnósticodelniveldecomprensiónquemanifiestanalumnos universitarios sobre los conceptos económicos, bajo la óptica de ladidáctica de la matemática. Creemos que un adecuado proceso de enseñanza yaprendizajede lasmatemáticasengeneralyde lasmatemáticasparticularizadasen materias como la Microeconomía en particular genera unos niveles dedesarrollode lacomprensiónde losconceptoseconómicosmásavanzados,comoasíhamostradoestetrabajo.

6. BibliografíaAkihito,A.(2006).TeachingMarginalAnalysis:Ontheimportanceofemphasising

thesecond-ordercondition.InternationalReviewerofEconomicsEducation,5(1),46-59

Boyd, D. (1998). On the Use of Symbolic Computation in Undergraduate

MicroeconomicsInstruction.JournalofEconomicEducation,29(3),227-246Cohn,E.(2001).DoGraphsPromoteLearninginPrinciplesofEconomics?Journal

ofEconomicEducation,32(4),299-310García, L., Azcárate, C. y Moreno, M. (2006). Creencias, concepciones y

conocimiento profesional de profesores que enseñan cálculo diferencial aestudiantesdecienciaseconómicas.RevistaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa,9(1),85-116.

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George,A.yVeeramani,P.V.(1994).Onsomeresultsinfuzzymetricspaces.FuzzySetsandSystems,64,395-39

Hey,J.D.(2005).ITeachEconomics,NotAlgebraandCalculus.JournalofEconomic

Education.36(3),292-304Piaget, J. y García, R. (1983, 1989).Psicogénesis e historia de la ciencia.Madrid,

España:SigloVeintiunoEditores