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目 錄
摘 要-------------------------------------------- 1
研究動機-------------------------------------------- 2
研究目的-------------------------------------------- 2
名詞解釋-------------------------------------------- 3
研究過程-------------------------------------------- 3
研究結果------------------------------------------- 27
應 用------------------------------------------- 28
未來展望------------------------------------------- 28
參考資料------------------------------------------- 28
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1
摘 要
本研究是以正三角形、正方形及正六邊形為生成單元圖形，探討以邊連接邊的情形下所產生
的衍生圖形，其外圍邊長數在何種排列方式下可以有最大值與最小值。以下是我的研究發現：
一、生成單元數( n )與邊長數( l )最大值的關係式為：
正三角形 正方形 正六邊形
2l n 2 2l n 4 2l n
二、最少邊數的衍生圖形其排列方式為由內而外，層層繞圈排出與原圖形相似的正多邊形。
三、生成單元增加時，同一邊上的增加過程，其 l值不變，在每個轉角會產生 l值增加的現象。
四、若衍生圖形為完整的正多邊形， n 與 l的關係式如下：
正三角形 正方形 正六邊形
2
6
ln
2
48
ln
2 12 48
48
l ln
五、我可以解決：
(一)給定 n 值，找出所能排出衍生圖形的最少邊長數及排法。
(二)給定 l值，找出衍生圖形所能包含最多數量的生成單元。
-
2
一、研究動機
我在閱讀有關「計程車幾何街道平面」的文章時，有遇到這樣的問題：在以等距的鉛直
線及水平線所交織而成的街道平面上，計程車的行走路線都是以水平及鉛直線段進行，如何
能以最少的水平及鉛直線段，圍出最大的區域面積呢？我嘗試畫了一些圖形，發現盡量圍成
正方形可以讓區域面積最大，但是我想如果不是以鉛直線及水平線所圍成的矩形街道時，又
要如何安排路線，才能讓所圍成的區域面積最大呢？於是我開始以下的研究。
二、研究目的
從原始的文章所規定的等寬矩形街道來看，我可以將圖形簡化成以相同正方形為基本單
位所連接而成的圖形，原始問題是要探討如何排列這些正方形，使得外圍的周長具有最小值。
如果我將基本圖形改成正三角形或是其他圖形，街道的形狀也隨之改變，但是考慮到圖形的
選擇要能鋪滿整個平面，所以圖形的選擇是以正多邊形且能鋪滿平面為主，因此我的研究對
象是以正三角形、正方形及正六邊形為基本圖形。利用所選定的基本圖形，我要討論以下的
幾個問題：
(一) 以正三角形為生成單元時，衍生圖形邊長數的最大值及最小值為何？衍生圖形的排列方式
有何規律？
(二) 以正方形為生成單元時，衍生圖形邊長數的最大值及最小值為何？衍生圖形的排列方式有
何規律？
(三) 以正六邊形為生成單元時，衍生圖形邊長數的最大值及最小值為何？衍生圖形的排列方式
有何規律？
(四) 研究架構圖如右
正三角形 正方形 正六邊形
討論排列方式
如何產生
最多邊長數
不同生成單元
各種衍生圖形
如何產生
最少邊長數
-
3
三、名詞解釋
(一) 生成單元：就是基本圖形，因為是一個一個增加進行討論，所以我稱它為生成單元，數量
以 n表示。
(二) 衍生圖形：以生成單元進行連接所排列而成的圖形。
(三) 邊長數：衍生圖形的外圍線段總和，衍生圖形內部的生成單元連接邊不列數計算，數量以
l表示。
(四) 圖形連接的規定：單元圖形之間需以邊連接邊，而不能只以頂點連接頂點(如下圖)。
邊連接邊 只以頂點連接頂點
5
1
2
3 4
5
6 7
89
10
12
34
四、研究過程
(一) 以正三角形為生成單元
1、討論衍生圖形邊長數的最大值
若要衍生圖形的邊長數越大，則每次連接邊就必須與前一個圖形僅有一個邊相連，以下為
幾個衍生圖形的連接方式及其邊長數。
1n 2n 3n 4n 5n
3
21
43
2
1
5
1
2
3 4
2
1
6 5
4
3
1
3
7 6
2
5
4
由上表可以歸納出生成單元數( n )與邊長數( l )最大值的關係式為： 2l n
2、討論衍生圖形邊長數的最小值
(1)若要衍生圖形的邊長數越小，則每次連接就必須盡量與前一個圖形有最多邊相連。當生成
單元數 6n 時，雖然衍生圖形會有所不同，但邊長數( l )卻都相同(如下圖，以 5n 為例)。
5n 5n 5n
1
3
7 6
2
5
4
7 6 5
4
32
1
1 43
5
6
7
2
-
4
(2)當生成單元數 6n 時，邊長數( l )的最小值才會因為衍生圖形不同，而有所不同，以下為幾
個衍生圖形不同的連接方式及其邊長數。
(a)比較 5 6n n 的情形：當第 6 個三角形填補掉 5n 的圖形空隙時，最小邊長數會出現
減少的現象，所以如果要讓衍生圖形的邊長數能有最小值，要盡量將圖形組合成正六邊形。
5n 6n
1 43
5
6
7
2
1
2
3
4
5
6
(b)進行數量的推廣：
當 7,8,9n 時，可利用原來的正六邊形做排列(如下圖)，其他連接方式所得到的衍生圖形
邊長數最小值並沒有不同。
7n 8n 9n
7
2
1
6
5
4
3
8
2
1
7
6
34
5
9
2
1
8
7
5
6
3
4
當 10n 時，可排成塗色部分的形狀(如下圖)，此時會出現與原圖形再組合成正六邊形的情
形，可讓邊長數有最小值。
當 11,12n 時，可與原來的圖形做以下的排列，其他連接方式所得到的衍生圖形邊長數最
小值並沒有不同。
當 13n 時，可排成塗色部分的形狀(如下圖)，此時也會出現與原圖形再組合成正六邊形的
情形可讓邊長數有最小值。
10n 11n 12n 13n
8
2
1
7
6
5
3
4
9
2
1
8
7
3
4
6
5
10
2
1
9
8
3
4
5
7 6
9
2
1
8
3
4
5
6
7
此時要再連接下一個生成單元時，情況與 10n 時相同，可再仿照 11,12,13n 的連接方式，
在 16n 時，因為可用 3 個生成單元排成一個梯形，所以會出現邊長數有變小的情形。
-
5
依此類推，從圖 2 到圖 3 時，每增加 3 個生成單元，就可以再與原圖形組合成正六邊形，
有最少邊長數，因此接下來都是以增加 3 為變化規律；但是從圖 6 到圖 7 時，僅需增加 2
個生成單元，就可以再與原有的圖形組合成正六邊形，此時會形成第二層的正六邊形。
圖 1 圖 2 圖 3 圖 4
1
2
3
4
5
6
6
3
4
5
1
2
7
8
7
68
3
4
5
1
2
9
8 7
69
10
3
4
5
1
2
圖 5 圖 6 圖 7
8 7
6
10
11
1
9
3
4
5
2
8 7
6
10
11
12
9
3
4
5
1
2
8 7
6
10
11
12
9
3
4
5
1 2
此時再繼續增加數量，由前面的討論可知， n從 24 開始增加時，當 28n 時，會出現與原
圖形再組合成正六邊形的情形可讓邊長數有最小值， 25, 26, 27n 時，邊長數則每次增加
1；與第二層增長規律不同的是，此時只要再增加 2 個生成單元，就又可以組合成正六邊形，
讓邊長數變小，所以 30n 時，邊長數會因為組合成正六邊形，而出現為增加或變小的狀
況；接著 n值再增加 3 時，會出現邊長數較小的情形，以此類推，我發現會衍生圖形因為
組合正六邊形，產生邊長數不變或變小的情形，在 n值的增加規律上有以下的特性：
4 2 3 2 ，但是在最後完成第三層正六邊形的衍生圖形 ( 54n )時，生成
單元則只需要增加 1 個(如下表所整理的圖形變化)。
28n 30n 33n
-
6
35n 38n 40n
43n 45n 48n
50n 53n 54n
我繼續研究第四層正六邊形的衍生圖形規律討論，由前面的結果可知，如果沒有出現可與
前面圖形連接產生正六邊形，則每增加 1 個生成單元，邊長數會增加 1，而會連接成正六
邊形的情形，在 n值的變化上有以下的規律：
4 2 2 3 2 2 3 2 1
從衍生圖形的排列上，我觀察到幾個特別的地方：
(1) 第一次產生邊長有變小的情形，不論是第二層、第三層還是第四層，都是在形成正六
邊形之後，增加 4 個生成單元時發生。
(2) 只要生成單元的增加量是可以連接在邊上的(如紫色與灰色區域)，則每增加 2 個生成
單元時，會產生邊長有變小的情形。
(3) 遇到正六邊形的轉角時(如橘色區域)，增加 3 個生成單元才能形成正六邊形，讓邊長
有變小的情形。
(4) 最後繞成正六邊形時，只要增加 1 個生成單元(如藍色區域)。
-
7
推廣上述觀察結果，可以推算第五層正六邊形會出現邊長因與原圖組合型成正六邊形，而
出現邊長變小或不變的生成單元增加變化規律為：
4 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1
(c)歸納生成單元增加時，衍生圖形最少邊數的變化規律：
層數變化 生成單元增加時，衍生圖形最少邊數的變化規律
第一層到
第二層 4 3 3 3 3 2
第二層到
第三層 5 :+2 +34 2 3 2 3 1
組
第三層到
第四層 5 :+2 +2 +34 2 2 3 2 2 3 +2 1
組
第四層到
第五層 5 :+2 +2 +2 +34 2 2 2 3 2 2 2 3 +2 +2 1
組
第 k 層到
第 1k 層
1 +2
1 +2 1 +2 2 +2
5 : 2 2 3
4 2 2 3 2 2 3 +2 +2 1
k
k k k
個
個 個 個
組
衍生圖形最少邊數的變化過程
+4 +2 +2
+3 +2 +2
-
8
+3 +2 +2
+3 +2 +2
+3 +2 +2
+3 +2 +1
-
9
(3)討論生成單元數量與衍生圖形最少邊長數的關係
從前面的討論我已經知道生成單元增加規律與衍生圖形如何排列可以產生邊長數最少，
所以我想進一步探討生成單元數量 n與最少邊長數 l的關係。
(a)當1 6n 時(第一層正六邊形)
n 1 2 3 4 5 6
l 3 4 5 6 7 6
n l 2 2 2 2 2 0
(b)當7 24n 時(第二層正六邊形)
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15
l 7 8 9 8 9 10 9 10 11
n l 0 0 0 2 2 2 4 4 4
n 16 17 18 19 20 21 22 23 24
l 10 11 12 11 12 13 12 13 12
n l 6 6 6 8 8 8 10 10 12
(c)當 25 54n 時(第三層正六邊形)
n 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
l 13 14 15 14 15 14 15 16 15 16 15 16 17 16 17
n l 12 12 12 14 14 16 16 16 18 18 20 20 20 22 22
n 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
l 16 17 18 17 18 17 18 19 18 19 18 19 20 19 18
n l 24 24 24 26 26 28 28 28 30 30 32 32 32 34 36
(d)當55 96n 時
n 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
l 19 20 21 20 21 20 21 20 21 22 21 22 21 22
n l 36 36 36 38 38 40 40 42 42 42 44 44 46 46
n 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
l 21 22 23 22 23 22 23 22 23 24 23 24 23 24
n l 48 48 48 50 50 52 52 54 54 54 56 56 58 58
n 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
l 23 24 25 24 25 24 25 24 25 26 25 26 25 24
n l 60 60 60 62 62 64 64 66 66 66 68 68 70 72
-
10
從上表中的數據我發現以下的規律：
(1)當衍生圖形為正六邊形時，2
6
ln
n 26 6 1 224 6 2 254 6 3 296 6 4
l 6 6 1 12 6 2 18 6 3 24 6 4
(2)生成單元每增加 1 個，最小邊長數也會增加 1，當生成單元再增加 1 個會符合生成單元增
加規律，則此時最小邊長數則會減少 1。
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15
l 7 8 9 8 9 10 9 10 11
(3)進入下一層正六邊形的衍生圖形排列時，第一次與原圖組成正六邊形為生成單元增加 4
個，此時最少邊長數較正六邊形的最少邊長數增加 2。
n 6 10 24 28 54 58
l 6 8 12 14 18 20
(4)符合生成單元增加規律的 n值及 l值之差，會形成公差 2 的等差數列(下表中標示紅色部分)。
n 6 10 13 16 19 22 24 28 30 33 35 38 40
l 6 8 9 10 11 12 12 14 14 15 15 16 16
n l 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
n 43 45 48 50 53 54 58 60 62 65 67 69 72
l 17 17 18 18 19 18 20 20 20 21 21 21 22
n l 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
n 74 76 79 81 83 86 88 90 93 95 96
l 22 22 23 23 23 24 24 24 25 25 24
n l 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72
(5)從第 k 層正六邊形衍生至第 1k 層正六邊形的過程中，在同一個正六邊形邊上的衍生過
程，其 l值相同，進入下一個正六邊形邊上的衍生過程，其 l值會增加 1，最後排成正六邊
形時， l值則會減少 1。如上表色塊所標示的區域，從第三層正六邊形衍生至第四層正六邊
形的過程中，其生成單元增加規律為：
5 :+2 +2 +3
4 2 2 3 2 2 3 +2 1
組
， 3 ，所以可將每邊分組為：
4 2 2 、 3 2 2 、…、、 3 2 ，共 6 組，觀察其 l值在同一組時皆相同，
不同組之間，依序增加 1，最後因為可填滿形成完整的正六邊形，所以 l值會減少 1。
-
11
(6)延續(5)的想法，若只挑每組的第 1 個數據整理如下表，可以發現從第 k 層正六邊形衍生至
第 1k 層正六邊形的過程中， l值在填滿完整的正六邊形之前， l值依序增加 1，最後填
滿完整正六邊形時， l值會減少 1。
n 6 10 13 16 19 22 24 28 33 38 43
l 6 8 9 10 11 12 12 14 15 16 17
n l 0 2 4 6 8 10 12 14 18 22 26
n 48 53 54 58 65 72 79 86 93 96
l 18 19 18 20 21 22 23 24 25 24
n l 30 34 36 38 44 50 56 62 68 72
綜合上面的討論與規律的發現，我歸納出以下的步驟來解決以下兩個問題
(1) 由給定 n值，找出所能排出衍生圖形的最少邊長數
1、 利用 226 6 1k n k ，確認 n值出現在第 1k 層
2、 求出 26 k 的最少邊長數為6 k
3、 計算
2
1
6 4 2 2 2 3k
n k p q
個
4、 當0 4p 時
(1) 若 q為 2或 2 2 或…或 2 1k 中的某一數，則邊數為 6 2k p
(2) 若 1
2 2 2 2 2 2k m k m
q
個 個
，則邊數為 6 2 1k p
(3) 若 1
2 2 2 3k
q
個
，則邊數為 6 2 1k p
(4) 若 1 1
2 2 2 2 2 2 3k k
q
個 個
，則邊數為依序為 6 2 1k p 及
6 2 2k p
5、 當 5p 時，此時不論 q值為何，邊數皆為 6 2 1k p 。
-
12
舉例說明：
84n ，
2 26 3 84 6 4 出現在第四層，先計算 254 6 3n 的最少邊數為6 3 18
84 54 4 2 2 3 3 5
2 2 5 2 2 3
6 3 2 3 1 24l
120n ，
2 26 4 120 6 5 出現在第五層，先計算 296 6 4n 的最少邊數為6 4 24
120 96 4 2 2 2 3 2 2
2為 2、2 2 、 2 2 2 中的某一數
6 4 2 2 28l
(2) 由給定 l值，找出衍生圖形能包含最多數量的生成單元
1、 利用 6 6 1k l k ，確認 l值出現在第 1k 層
2、 求出 6l k 的正六邊形生成單元數量 26 k
3、 則
2
1 1
6 4 6 2 2 2 2 3 2 2 2k k
k l k
個 個
為所求
4、 當 6l k 時，則最多數量的生成單元必為 26 k
舉例說明：
15l ，
6 2 15 6 3 15l 出現在第三層，先計算6 2 12
15 6 2 2 2 3 2 7
26 2 4 7 35 ，最多可包含 35 個生成單元。
34l ，
6 5 34 6 6 34l 出現在第六層，先計算6 5 30
34 6 5 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 30
26 5 4 30 184 ，最多可包含 184 個生成單元。
-
13
小結：
我發現如果以正三角形為生成單元，利用直線排列方式可以讓衍生圖形具有最多的邊長
數；若要讓衍生圖形具有最少的邊長數，則排列方式為繞圈圍成正六邊形，而且我能計算
當給定 n值的情況下，最小的 l值是多少，或是當給定 l值的情況下，最大的 n值是多少。
(二) 以正方形為生成單元
1、討論衍生圖形邊長數的最大值
若要衍生圖形的邊長數越大，則每次連接邊就必須與前一個圖形僅有一個邊相連，以下為
幾個衍生圖形的連接方式及其邊長數。
1n 2n 3n 4n 5n
1
2
4
3
1
2
6
4
3
5
1
2
8
4
3
7 5
6
1
2
10
3
9 7
8
5
4
6
1
2
12
3
11 9
10
4
8
5
7
6
由上表可以歸納出生成單元數( n )與邊長數( l )最大值的關係式為： 2 2l n
2、討論衍生圖形邊長數的最小值
(1)若要衍生圖形的邊長數越小，則每次連接邊就必須盡量與前一個圖形有最多邊相連。
當 1n 到 3n 時，排法並不會影響邊長數，當生成單元數 4n 時，排成正方形會讓衍生
圖形的邊長數有最小值 8，此結果與正三角形排成正六邊形時會有邊長數最小值相同。
1n 2n 3n 4n
1
2
4
3
1
2
6
4
3
5
1
2
8
4
3
7 5
6
1
2
4
3
5
6
8
7
(2)進入第二層正方形的排列討論，下表中的圖表示 5n 到 16n 的過程中，能讓邊長數最小
的排法，從圖形的變化過程中可以觀察到一個排列的特性：就是從原本的正方形的某一邊
開始，依序將正方形一個一個排進去，並完成繞原本的正方形一圈，此時就形成第二層的
正方形，邊長數最小為 16。
-
14
5n 6n 7n
1
2 3
7
8
10
9
4
6
5
1
2 3
8
10
9
4
5
7
6
1
2 3
10
12
11
4
5
6
9 7
8
8n 9n 10n
1
2 3
12
11
4
5
6
7
8
10
9
1
2 3
12
4
5
6
7
8910
11
1
2 3
14
4
5
6
7
8910
13
12
11
11n 12n 13n
1
2 3 4
5
6
7
8910
12
11
13
14
2 3 4
5
6
7
8910
12
11
13
14
1
2 3 4
5
6
7
8910
12
11
13
14
16
15 1
14n 15n 16n
3 4
5
6
7
8910
12
11
13
14
16
15 2
1
4
5
6
7
8910
12
11
13
14
16
15
1
3
2
5
6
7
8910
12
11
13
14
16
15
1 2
4
3
此時，我將生成單元個數 n及最小邊長數 l列表如下進行觀察
n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
l 8 10 10 12 12 12 14 14 14 16 16 16 16
我發現以正方形為生成單元時，當所增加的正方形在同一條邊上時，l值並不會因為 n值增加
而增加，遇到正方形轉角時， l值會增加 2，接下來雖然 n值有增加，但是因為同一條邊上，
-
15
l值仍然維持不變，直到下一個轉角出現，l值會再增加 2，因此 l值共有 3 次增加 2 的情形。
另外，同一條邊上維持 l值不變可增加的正方形個數，以第二層正方形的形成過程而言，為數
列 2,3,3,3 ，因為第一個邊是以第一層正方形為基礎，所以只有 2 個位置可以用來增加生成
單元，進入第一個轉角後，每一個邊就都會有 3 個位置可以用來增加生成單元，而最後一個
則是完成第二層正方形所需的生成單元，也與前一個生成單元在同一條邊，所以 l值也不變。
(3)利用上面的討論來推算第三層正方形的形成過程：
16n 時， 16l ，
增加 1 個生成單元時， 17n ， l值會增加 2，且此時同一條邊上有 4 個位置( 17n 至 20n )
可以用來增加生成單元，其 l值皆為 16+2=18(如圖 1)。
進入第一個轉角時，l值會再增加 2，此時同一條邊上有 5 個位置( 21n 至 25n )可以用來增
加生成單元，其 l值皆為 16+2+2=20(如圖 2)。
進入第二個轉角， l值再增加 2，此時同一條邊上仍各有 5 個位置( 26n 至 30n )可以用來
增加生成單元，其 l值皆為 16+2+2+2=22(如圖 3)。
進入第三個轉角，l值再增加 2，此時同一條邊上仍各有 5 個位置( 31n 至 35n )可以用來增
加生成單元，其 l值皆為 16+2+2+2+2=24(如圖 4)。
最後填入 1 個生成單元，讓衍生圖形形成第三層完整的正方形，此時 36n ， 24l (如圖 5)。。
圖 1 圖 2 圖 3
圖 4 圖 5
-
16
(4)歸納以正方形為生成單元時，其增加變化規律及最少邊數的關係
我先列表整理數據如下表：
第 k 層到
第 1k 層 第一條 l值
不變的邊
第二條 l值
不變的邊
第三條 l值
不變的邊
第四條 l值
不變的邊
完成第 1k
層正方形
第一層到
第二層
8 2l
2 個生成
單元變化
8 4l
3 個生成
單元變化
8 6l
3 個生成
單元變化
8 8l
3 個生成
單元變化
8 8l
1 個生成
單元變化
第二層到
第三層
6 21l
4 個生成
單元變化
6 41l
5 個生成
單元變化
6 61l
5 個生成
單元變化
6 81l
5 個生成
單元變化
6 81l
1 個生成
單元變化
第三層到
第四層
4 22l
6 個生成
單元變化
4 42l
7 個生成
單元變化
4 62l
7 個生成
單元變化
4 82l
7 個生成
單元變化
4 82l
1 個生成
單元變化
第 k 層到
第 1k 層
8 2l k
2k個生成
單元變化
8 4l k
2 1k 個生
成單元變化
8 6l k
2 1k 個生
成單元變化
8 8l k
2 1k 個生
成單元變化
8 8l k
1 個生成單
元變化
從前面的討論我歸納出以下幾個共通點：
(a) 每一層的完整正方形其外圍邊數必為 8 的倍數，且 n與 l的關係式為：2
48
ln
(b) 生成單元增加過程中，l值的變化皆以+2 為變化單位，且產生變化的關鍵位置出現在正方
形的轉角處，也就是邊與邊的轉換處。
(c) 在正方形同一邊上的生成單元數量增加過程，其 l值皆不變，而正方形共有 4 個邊，所以 l
值在同一層正方形的生成過程中，會出現 4 種值： 2l 、 4l 、 6l 、 8l 。
(d) 同一邊上 l值不變的生成單元數量，由第 k 層進入第 1k 層時，其數量為2k個，進入邊
與邊的轉換時，同一邊上 l值不變的生成單元數量為 2 1k 個，這種現象會出現 3 次，最
後再填入 1 個即可完成第 1k 層的正方形。
-
17
(e) 實際驗證上面的規律，我將 4n 到 100n 的最少邊數列表整理如下：
n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
l 8 10 10 12 12 12 14 14 14 16 16 16 16 18
n 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
l 18 18 18 20 20 20 20 20 22 22 22 22 22 24
n 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
l 24 24 24 24 24 26 26 26 26 26 26 28 28 28
n 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
l 28 28 28 28 30 30 30 30 30 30 30 32 32 32
n 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
l 32 32 32 32 32 34 34 34 34 34 34 34 34 36
n 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87
l 36 36 36 36 36 36 36 36 38 38 38 38 38 38
n 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
l 38 38 38 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40
(5)綜合上面的討論與規律的發現，我歸納出以下的步驟來解決以下兩個問題
(a)由給定 n值，找出所能排出衍生圖形的最少邊長數
1、 利用 224 4 1k n k ，確認 n值出現在第 1k 層
2、 求出 24 k 的最少邊長數為8 k
3、 計算 24n k p
(1) 當0 2p k 時， 8 2l k 。
(2) 當 2 2 2 1k p k k 時， 8 4l k 。
(3) 當 2 2 1 2 2 1 2k k p k k 時， 8 6l k 。
(4) 當 2 2 1 2 2 2 1 3 1k k p k k 時， 8 8l k 。
-
18
舉例說明：
84n ，
2 24 4 84 4 5 出現在第五層( 4k )，先計算 264 4 4n 的最少邊數為8 4 32
計算： 84 64 20
2 4 2 4 1 20 2 4 2 4 1 2 8 4 6 38l
136n ，
2 24 5 136 4 6 出現在第六層( 5k )，先計算 2100 4 5n 的最少邊數為8 5 40
計算： 136 100 36
2 5 2 5 1 2 36 2 5 2 5 1 3 1 8 5 8 48l
(b)由給定 l值，找出衍生圖形能包含最多數量的生成單元
1、 利用 8 8 1k l k ，確認 l值出現在第 1k 層
2、 求出 8l k 的正方形生成單元數量 24 k
3、 則 8 2l k p ， 1,2,3,4p
(1) 當 1p 時， n值最大 24 2k k
(2) 當 2p 時， n值最大 24 2 2 1k k k
(3) 當 3p 時， n值最大 24 2 2 1 2k k k
(4) 當 4p 時， n值最大 24 2 2 1 3 1k k k
舉例說明：
28l ，
8 3 28 8 4 15l 出現在第四層，先計算 24 3 36
28 8 3 2 2
24 3 2 3 2 3+1 49 ，最多可包含 49 個生成單元。
-
19
62l ，
8 7 62 8 8 34l 出現在第八層，先計算 24 7 196
62 8 7 2 3
24 7 2 7 2 7+1 2 240 ，最多可包含 240 個生成單元。
(三) 以正六邊形為生成單元
1、討論衍生圖形邊長數的最大值
若要衍生圖形的邊長數越大，則每次連接邊就必須與前一個圖形僅有一個邊相連，以下為
幾個衍生圖形的連接方式及其邊長數。
1n ， 6l 2n ， 10l 3n ， 14l 4n ， 18l
由上表可以歸納出生成單元數( n )與邊長數( l )最大值的關係式為： 4 2l n
2、討論衍生圖形邊長數的最小值
(1)若要衍生圖形的邊長數越小，則每次連接邊就必須盡量與前一個圖形有最多邊相連，從圖
形觀察得知，連接邊最多可能為 2 邊或 3 邊，我依此規則得到下表為 1n 到 7n 最少邊數
排法，當生成單元數 7n 時，生成單元繞原正六邊形排成第二層的正六邊形，此時衍生圖
形的邊長數有最小值 18，此結果與正三角形及正方形的衍生圖形排列規律相同。
1n 2n 3n 4n
6
5
4
3
2
1
10
9
8
2
1
5
6
7
3
4
12
11
10
1
7
8
9
6
3
4
5
2
14
13
1
7
8
6
3
4
5
2
12
11
10
9
-
20
5n 6n 7n
16
1
7
8
6
3
4
5
2
11
10
9
15
14
13
12
1
7
8
6
3
4
5
2
11
10
9
14
13
1215
16
17
18
7
8
6
3
4
5
11
10
9
14
13
1215
16
17
2
1
18
此時，我將生成單元個數 n及最小邊長數 l列表如下進行觀察
n 1 2 3 4 5 6 7
l 6 10 12 14 16 18 18
我發現以正六邊形為生成單元時， 1n 到 2n 時，符合 4 2l n ，所以邊長數增加 4， 2n
到 6n 時，每增加 1 個生成單元，邊長數就會增加 2，最後填入第 7 個正六邊形，剛好增加
3 邊又覆蓋掉 3 邊，所以邊長數不變。
(2)進入第三層正六邊形的排列討論，下表中的圖表示 8n 到 19n 的過程中，能讓邊長數最
小的排法，從圖形的變化過程中可以觀察到一個排列的特性：從第二層正六邊形的某一個
可連接 2 個邊的凹口開始，依序將正六邊形一個一個排進去，並完成繞原本的正六邊形一
圈，此時就形成第三層的正六邊形，邊長數最小為 30。
8n 9n 10n
11n 12n 13n
-
21
14n 15n 16n
17n 18n 19n
此時，我將生成單元個數 n及最小邊長數 l列表如下進行觀察
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
l 18 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 30 30
我發現以正六邊形為生成單元時，會出現兩個一組，l值不因 n值增加而增加的情形，原因是
同一組的第二個生成單元會與前一個衍生圖形有 3 個邊相連接，所以 l值維持不變，進入下一
組時，生成單元會與前一個衍生圖形有 2 個邊相連接，所以 l值會增加 2，依此類推，最後當
19n 時，因為所填入的生成單元會圍成第三層正六邊形，所以 l值維持不變。我將第三層的
12 個生成單元依照 l值的變化過程分解成數列： 1,2,2,2,2,2,1 。
(3)利用上面的討論來推算第四層正六邊形的形成過程(如圖 1 至圖 7)：
19n 時， 30l ，
增加 1 個生成單元時， 20n ， l值會增加 2， 30 2l
21n 時，生成單元會與前一個衍生圖形有 3 個邊相連接，所以 l值維持不變
22n 時，生成單元會與前一個衍生圖形有 2 個邊相連接， l值會增加 2， 30 2 2l
23, 24n 時與 21n 時情況相同，所以 l值維持不變。
-
22
依此類推，每 3 個 n值一組，都與 22n 到 24n 的情形相同，每一組的第一個 l值會增加 2，
後 2 個 l值維持不變。
最後當 37n 時，所填入的生成單元會圍成第四層正六邊形，所以 l值維持不變。
以下是我整理的表格
n 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
l 32 32 34 34 34 36 36 36 38 38 38 40 40 40 42 42 42 42
我將第四層的 18 個生成單元依照 l值的變化過程分解成數列： 2,3,3,3,3,3,1 。
圖 1 圖 2 圖 3
圖 4 圖 5 圖 6
圖 7
-
23
(4)歸納以正六邊形為生成單元時，其增加變化規律及最少邊數的關係
從前面的討論我歸納出以下幾個共通點：
(a) 每一層的完整正六邊形的生成單元數為
第一層 第二層 第三層 第四層 第五層
1 7=1+6 19=1+6+12 37=1+6+12+18 61=1+6+12+18+24
依照上面的規律可推出第 k 層完整正六邊形的生成單元數為：
21 6 1 2 1 3 3 1k k k
(b) 每一層的完整正六邊形的外圍邊數為
第一層 第二層 第三層 第四層 第五層
6 18=6+12 30=6+12+12 42=6+12+12+12 54=6+12+12+12+12
依照上面的規律可推出第 k 層完整正六邊形的外圍邊數為： 6 12 1 6 2 1k k
此時可推得生成單元數 n與最少邊數 l的關係式：2 12 48
48
l ln
1 1
6 2 1 16 2 12 2
l ll k k
又2 2
2 12 483 3 1 3 3 112 12 48
l l l ln k k
(c) 生成單元增加過程中， l值的變化皆以+2 為變化單位，且產生變化的關鍵位置與正方形的
情況相類似，如果將每個正六邊形的中心點連線，可形成一個新的正六邊形，產生變化的
關鍵位置即為此新正六邊形的轉角處。
(d) 在新正六邊形同一邊上的生成單元數量增加過程，其 l值皆不變，而新正六邊形共有 6 個
邊，所以 l值在同一層正六邊形的生成過程中，會出現 6 種值： 2l 、 4l 、 6l 、 8l 、
10l 、 12l 。
(e) 將每一層生成單元的增加量依照 l值的變化進行分割，以數列表示整理如下：
第二層增加量 第三層增加量 第四層增加量 第五層增加量
6 12 18 24
1,1,1,1,1,1 1,2,2,2,2,2,1 2,3,3,3,3,3,1 3,4,4,4,4,4,1
數列中的最後一項皆為 1，代表填入此生成單元可形成完整的正六邊形，其 l值與前一組
相同。除第二層增加量外，第 k 層生成單元增加量依照 l值變化的分割數列皆可表示成：
2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1k k k k k k
-
24
(f) 實際驗證上面的規律，我將 7n 到 61n 的最少邊數列表整理如下：
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
l 18 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30
n 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
l 30 30 32 32 34 34 34 36 36 36 38
n 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
l 38 38 40 40 40 42 42 42 42 44 44
n 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
l 44 46 46 46 46 48 48 48 48 50 50
n 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
l 50 50 52 52 52 52 54 54 54 54 54
(5)綜合上面的討論與規律的發現，我歸納出以下的步驟來解決以下兩個問題
(a)由給定 n值，找出所能排出衍生圖形的最少邊長數
1、 利用 223 3 1 3 1 3 1 1k k n k k ，確認 n值出現在第 1k 層
2、 求出第 k 層的最少邊長數為 6 2 1k
3、 計算 23 3 1n k k p
(1) 當 0 1p k 時， 6 2 1 2l k 。
(2) 當 1 1k p k k 時， 6 2 1 4l k 。
(3) 當 1 1 2k k p k k 時， 6 2 1 6l k 。
(4) 當 1 2 1 3k k p k k 時， 6 2 1 8l k 。
(5) 當 1 3 1 4k k p k k 時， 6 2 1 10l k 。
(6) 當 1 4 1 5 1k k p k k 時， 6 2 1 12l k 。
-
25
舉例說明：
34n ，
2 23 3 3 3 1 34 3 4 3 4 1 出現在第四層( 3k )，先計算 23 3 3 3 1 19n 的
最少邊數為 6 2 3 1 30
計算： 34 19 15
3 1 3 4 15 3 1 3 5 1 6 2 3 1 12 42l
85n ，
2 23 5 3 5 1 85 3 6 3 6 1 出現在第六層( 5k )，先計算 23 5 3 5 1 61n 的
最少邊數為 6 2 5 1 54
計算： 85 61 24
5 1 5 3 24 5 1 5 4 6 2 5 1 10 64l
(b)由給定 l值，找出衍生圖形能包含最多數量的生成單元
1、 利用 6 2 1 6 2 1 1k l k ，確認 l值出現在第 1k 層
2、 求出 6 2 1l k 的正六邊形生成單元數量 23 3 1k k
3、 則 6 2 1 2l k p ， 1, 2,3, 4,5,6p
(1) 當 1p 時， n值最大 23 3 1 1k k k
(2) 當 2p 時， n值最大 23 3 1 1k k k k
(3) 當 3p 時， n值最大 23 3 1 1 2k k k k
(4) 當 4p 時， n值最大 23 3 1 1 3k k k k
(5) 當 5p 時， n值最大 23 3 1 1 4k k k k
(6) 當 6p 時， n值最大 23 3 1 1 5 1k k k k
-
26
舉例說明：
28l ，
6 2 2 1 28 6 2 3 1 28l 出現在第三層( 2k )，先計算 23 2 3 2 1 7
28 6 2 2 1 2 5
23 2 3 2 1 2 1 2 4 16 ，最多可包含 16 個生成單元。
62l ，
6 2 5 1 62 6 2 6 1 28l 出現在第六層( 5k )，先計算 23 5 3 5 1 61
62 6 2 5 1 2 4
23 5 3 5 1 2 1 2 3 68 ，最多可包含 68 個生成單元。
-
27
五、研究結論
綜合前面對於正三角形、正方形及正六邊形的討論，我得到以下的研究結論：
(一) 若要衍生圖形的邊長數越大，則每次連接邊就必須與前一個圖形僅有一個邊相連，歸納生
成單元數( n )與邊長數( l )最大值的關係式為：
正三角形 正方形 正六邊形
2l n 2 2l n 4 2l n
(二) 不論是生成單元正三角形、正方形或是正六邊形，要排出衍生圖形的最少邊數，其排列方
式皆為由內而外，一層一層繞圈排出與原圖型相似的正多邊形。
(三) 生成單元在繞圈增加的過程中，出現在正多邊形同一邊長上的增加過程，其最少邊數 l不
會改變，遇到正多邊形轉角處才會依序在每個轉角產生 l值增加的現象，我將第 k 層生成
單元增加量依照 l值變化的分割數列整理如下：
正三角形
( l值依序+1)
1 +2
1 +2 1 +2 2 +2
5 : 2 2 3
4 2 2 3 2 2 3 +2 +2 1
k
k k k
個
個 個 個
組
正方形
( l值依序+2) 2 , 2 1 , 2 1 , 2 1 ,1k k k k
正六邊形
( l值依序+2) 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,1k k k k k k
(四) 利用我在研究過程所擬定的步驟，我可以回答此三種正邊形的以下兩種問題：
1、 給定生成單元數 n值，可以找出所能排出衍生圖形的最少邊長數及其排法
2、 給定邊長數 l值，可以找出衍生圖形所能包含最多數量的生成單元
(五) 若衍生圖形完整的正多邊形，則其最少邊長數與生成單元數具有以下關係：
正三角形 正方形 正六邊形
2
6
ln
2
48
ln
2 12 48
48
l ln
-
28
六、應用
這個研究結果可以應用在兩種問題的解決上：
(一) 如果現在有海上有油汙要處理，此時可以將吸汙油的材料以最多邊長數連接方式排列，這
樣可以與油汙有最多接觸邊，吸油效果也會最好。也可以反向思考，當我已知需要多少邊
長數時，利用我所推出來的公式可以推算最少需要多少個生成單元。
(二) 考慮一般電氣線路鋪設或是要將區域外圍做一些布線的安排，如果想要利用最少的邊長圍
出最大的區域面積，利用本研究結果可知，盡量以繞圈的方式安排，可以節省最多的材料。
七、未來展望
(一) 在本次研究中，我只有討論邊長數的最多與最少，對於給定生成單元個數時，其所有排列
方式共有多少種並未進行討論，希望接下來能將這個問題進行探討。
(二) 如果將不同生成單元進行搭配組合，在同樣可以鋪滿平面的前提下，外圍邊長數的最少與
最多將會有何規則？且排列方式又為何？
八、參考資料
一、伊凡．莫斯科維奇。謬靜芬、黃柏瑄 譯。計乘車怎麼走比較快？玩具發明家的生活數學
遊戲。一版。台灣。究竟出版社。p24-36。2007。
二、國二數學課本。數列單元。康軒版。2014。
