20.4 正方形的判定

授课人：黄 爽

华师版 八年级下册

红红火火过大年

正方形福字

正方形窗花

回顾

小明剪完后， 比较了边的长度，发现 4 条边是相等 .

小兵剪完后， 他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的 .

小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4 条线段，发现它们是相等的．

需要一张正方形彩纸

菱形

四边形

矩形

回顾正方形的定义：

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 .有一个角是直角的平行四边形

矩 形

一组邻边相等的矩形是正方形 .

回顾正方形的定义：

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 .

菱 形

一个角是直角的菱形是正方形 .

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 .

一组邻边相等的矩形是正方形 .

一个角为直角的菱形是正方形 .

正方形的判定方法正方形的判定方法

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 .

例 如图 ，△ ABC 中，∠ ACB＝ 90° ， CD 平分∠ ACB ， DE⊥BC ， DF⊥AC ，垂足分别为 E 、 F ．

求证： 四边形 CFDE 是正方形．

例题精讲例题精讲

2211

证明： ∵ CD 平分∠ ACB ， DE⊥BC ， DF⊥AC ，∴ DE ＝ DF.又∵ ∠ DEC ＝∠ ECF ＝∠ CFD ＝ 90° ，∴ 四边形 CFDE 是矩形 .∴ 四边形 CFDE 是正方形 .

例题精讲例题精讲

判定方法： 有一组邻边相等的矩形是正方形．

（方法一）

证明 : ∵ CD 平分∠ ACB ， ∠ ACB ＝ 90°, ∴∠1 ＝∠ 2 ＝ 45°. ∵ DE⊥BC ， DF⊥AC ,

即∠ DEC ＝∠ CFD ＝ 90°, ∴∠3 ＝∠ 4 ＝ 45°. ∴ DE ＝ CE ， CF ＝ DF.

易知∠ 2 ＝∠ 4. ∴ DE ＝ CE =CF ＝ DF.

∴ 四边形 CFDE 是菱形 .∴ 四边形 CFDE 是正方形．

例题精讲例题精讲

判定方法：

有一个角是直角的菱形是正方形．

（方法二）

讨论

归纳：

既是 又是 的四边形一定是正方形 .

矩形 + 菱形 正方形 矩形 + 菱形 正方形

矩形 菱形

有一个角是直角的平行四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是矩形．

思考： 的菱形是正方形 .

归纳：

有一个角是直角的菱形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形 .

矩形 + 菱形 正方形 矩形 + 菱形 正方形

回顾矩形判

定

有一组邻边相等的平行四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．四条边都相等的四边形是菱形．每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．

归纳：

有一组邻边相等的矩形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形 .

菱形 + 矩形 正方形 菱形 + 矩形 正方形

思考： 的矩形是正方形 .

回顾菱形判定

有一个角是直角的平行四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是矩形．

有一组邻边相等的平行四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．四条边都相等的四边形是菱形．每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．

思考 : 的平行四边形是正方形 .

矩形判

定

菱形判定

矩形 + 菱形 正方形 矩形 + 菱形 正方形

讨论

第二关

关 羽张 飞

勇者闯关勇者闯关

魏 延 诸葛亮

第一关

第四关

第三关

（一）判断下列说法是否正确

1. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 . （错）

巩固新知巩固新知

（一）判断下列说法是否正确

2. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 . （错）

巩固新知巩固新知

（一）判断下列说法是否正确

3. 有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形 .

（正确）

巩固新知巩固新知

（一）判断下列说法是否正确

4. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 .

（错）

巩固新知巩固新知

（一）判断下列说法是否正确

5. 有一角是直角且对角线互相垂直的平行四边形是正方形 .

（正确）

巩固新知巩固新知

（二）判断下列说法是否正确

1. 四个角相等的四边形是正方形 .

（错）

拓展提高拓展提高

（二）判断下列说法是否正确

2. 四条边相等的四边形是正方形 .

（错）

拓展提高拓展提高

（二）判断下列说法是否正确

3. 既是矩形又是菱形的四边形是正方形 .

（正确）

拓展提高拓展提高

（二）判断下列说法是否正确

4. 一组对边平行且相等，一组邻边相等的四边形是正方形 . （错）

拓展提高拓展提高

（二）判断下列说法是否正确

5. 两组对角分别相等，对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 .

（正确）

拓展提高拓展提高

（二）判断下列说法是否正确

6. 两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 . （错） 不一定是平行四边形

拓展提高拓展提高

（三） 1. 填空：

（ 1 ）对角线 的矩形是正方形．

（ 2 ）对角线 的菱形是正方形．

（ 3 ）对角线 的平行四边形是正方形 .

（ 4 ）对角线 的四边形是正方形．

互相垂直平分且相等

相等

互相垂直

互相垂直且相等

综合运用综合运用

2. 在四边形 ABCD 中， O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）

A ． AC=BD ， AB∥CD ， AB=CD.

B ． AD∥BC ，∠ BAD=∠BCD.

C ． AO=BO=CO=DO ， AC⊥BD.

D ． AO=CO ， BO=DO ， AB=BC.

C

综合运用综合运用

小明剪完后， 比较了边的长度，发现 4 条边是相等 .

小兵剪完后， 他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的 .

小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4 条线段，发现它们是相等的．

菱形

四边形

矩形

解决问题解决问题 需添加什么条件

（ 1 ）在矩形彩纸上裁出一个正方形纸片 .

（ 2 ）如果是矩形木板，又如何从中裁出一个正方形木板呢？

动手操作动手操作

（可以利用你手里的工具，刻度尺、三角板、圆规等， 并说说你剪裁的理由 . ）

（ 3 ）如果是不规则的木板，又如何从中裁出一个正方形木板呢？

结束寄语

因疑惑而学习，

因学习而思索，

因思索而解惑，

因解惑而快乐！——黄老师