Embed Size (px)
Citation preview
А1. Как построить цилиндр? Надо провести прямую OO1, которую мы назовём осью цилиндра. На
расстоянии R от оси проведём отрезок длиной h, параллельный оси. Совершим вращение этого отрезка
вокруг оси (один оборот) и у нас образуется фигура, которая называется цилиндр. Отрезок, который мы
вращали вокруг оси, называется образующим.
Цилиндр состоит из двух оснований – параллельных кругов радиусом R, центры которых лежат на оси,
и боковой поверхности.
Осевым сечением цилиндра называется прямоугольник, сторонами которого являются два
параллельных диаметра оснований и две образующие.
Очевидно, что образующая цилиндра равна его высоте.
Объём цилиндра равен произведению площади основания цилиндра на его высоту ОСНV S h , где
площадь основания (круга) равна 2RSОСН .
Если боковую поверхность цилиндра разрезать вдоль образующей и развернуть, то получится
прямоугольник. Одна сторона прямоугольника – это высота h, а вторая – это длина окружности
основания, равная 2L R
Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна площади данного прямоугольника, то есть
2БОКS R h , а полная поверхность цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности и двух
оснований 22 2S R h R .
Вернёмся к нашей задаче. Если осевым сечением цилиндра является квадрат, то высота цилиндра равна
диаметру основания. Площадь этого квадрата равна 102 h , откуда высота равна 10h .
Ответ: 1.
А2. На рисунке изображена часть графика функции y = sin x (весь график неограниченно продолжается
влево и вправо).
Множество значений функции – это все значения зависимой переменной данной функции.
Обозначается Е(у).
Проще всего находить область значения функции, если график функции уже построен. Глядя на график,
перечисляют все значения переменной у от наименьшего до наибольшего, то есть снизу вверх.
Областью значений функции y = sin x является закрытый промежуток от –1 до 1: 1;1yE .
Из предложенных ответов только дробь 1
2принадлежит этому промежутку.
Ответ: 3.
А3. Пропорцией называется выражение вида d
c
b
a . Основное свойство пропорции: произведение
крайних членов a и d пропорции равно произведению её средних членов b и с (другими словами, надо
перемножить крест – накрест и приравнять произведения). Получаем a d b c .
В данной задаче 5,72,0503,0 x . Тогда х = 10.
Ответ: 3.
А4. Купили 9 кг яблок по цене 3000 р. за килограмм – значит, потратили 27000 рублей.
Один процент (1%) – это одна сотая часть числа, а 10% числа равно десяти сотым числа, то есть одной
десятой части числа.
Снижение цены на 10% означает, что от цены надо отнять её десятую часть, то есть 300 рублей. Новая
цена яблок 2700 рублей за килограмм. Так как у нас 27000 рублей, то мы сможем купить 10 кг яблок.
Ответ: 3.
А5. Решим пример, анализируя предложенные ответы. Так как a>b, то ответы 2 и 3 не подходят.
Остались ответы 1, 4, 5. Так как a<d, то ответы 4 и 5 е подходят. Остался ответ 1, который
удовлетворяет и условию c>d.
Ответ: 1.
А6.
20
3
20
3
20
6
20
3
10
3
20
33,0
7
3
7
20
20
3
7
62
20
3
7
4
7
2
1
2
14
10
5
4
10
14:
5
44,1:
5
4
17
4
7
3
Ответ: 2.
А7. Проведём диагонали четырёхугольника АС и ВD. Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок MN
является средней линией этого треугольника, а значит, отрезок MN параллелен АС.
Рассуждая аналогично для треугольника АDС, получим, что РТ параллелен АС. Тогда отрезки MN и РТ
параллельны друг другу.
Несложно показать, что отрезки MР и NТ также параллельны друг другу.
Мы получили четырёхугольник с попарно параллельными сторонами, то есть параллелограмм.
Ответ: 4.
А8. Проведём преобразования в каждом из неравенств
091027
0327
xx
xx
Тогда
073
010
x
x
Значит
73
10
x
x
Помним, что при умножении или делении левой и правой части неравенства на отрицательное число,
знак неравенства меняется на противоположный.
3
7
10
x
x
Покажем штриховкой полученные результаты и получаем, что решением неравенства является
промежуток 7
;103
. В этот промежуток входят целые числа от 3 до 9. Наименьшим из них является
число 3.
Ответ: 3.
А9. Для нахождения площади четырёхугольника надо догадаться от площади прямоугольника ABCD
вычесть площади двух прямоугольных треугольников ABE и ECF.
Площадь прямоугольника равна 6×10 = 60.
Вспомним, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Тогда площадь треугольника ABE равна 1/2×6×2 = 6, а треугольника ECF равна 1/2×8×4 = 16.
Тогда искомая площадь четырёхугольника равна 60 – 6 – 16 = 38.
Ответ: 2.
А10. Увидим в числителе первой дроби разность квадратов, а в знаменателе квадрат разности
x
x
x
x
x
xx
31
5
32
13
13
32322
После сокращения получим
13
23
13
532
13
5
13
32
31
5
13
32
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
Ответ: 5.
А11. Равносильные уравнения, уравнения, имеющие одно и то же множество корней (совпадающие
корни). Так как корнем уравнения 5х – 40 = 0 является х = 8, то среди предложенных уравнений будем
искать такое, в котором есть единственный корень х = 8.
Решаем пять предложенных уравнений.
1) 3log 2x , получаем х = 9 – не подходит
2) 2 9 8 0x x , получаем х = 1 и х = 8 – не подходит
3) 2 128x , получаем х = 7 – не подходит
4) 16
8x , получаем х = 2 – не подходит
5) 2 4x x , получаем х = 2 и х = 8, но вспомним, что при решении таких уравнений надо проверить,
чтобы и та часть уравнения, которая НЕ находится под корнем была неотрицательной (ОДЗ: 4 0х ).
Это означает, что х = 2 – не является корнем, а х = 8 – является. Значит, в уравнении 2 4x x есть
единственный корень х = 8 и это уравнение равносильно уравнению 5х – 40 = 0.
Ответ: 5.
А12. Мы советуем в таких примерах превращать сумму степеней в произведение чисел с одинаковым
основанием, а разность степеней в частное чисел с одинаковым основанием.
yx
yxxyx
yx
yxxyx
2020
22251010
20
22510
Теперь раскладывайте основания на простые множители
2
2 2
22
2 2
2 5 2 5 5 2 210 25 2 10 10 25 2 2
20 20 20 2 5 2 5
2 5 2 5 5 2 25
2 5 2 5
xx y x yx y x x y x y x x y
x yx y x y
x x y y x x yx
x x y y
Можно было решить этот пример иначе, но этот способ позволяет «не думая» прийти к правильному
ответу.
Ответ: 5.
А13. При внесении под корень или вынесении из–под корня множителя главное не поменять знак всего
выражения и следить, чтобы под корнем четной степени сохранялось неотрицательное выражение.
Подкоренное выражение у – х должно быть больше нуля, тогда выражение перед корнем
х – у отрицательно. Вывод: когда мы закончим преобразования, перед корнем должен быть знак минус.
xyxy
xy
xyxy
xyyx
211
Ответ: 4.
А14. Очень важно! Возводите в квадрат сумму, так как сумма неотрицательных выражений
всегда неотрицательна. Возводя в квадрат разность, которая может оказаться отрицательной, Вы
рискуете получить лишние корни.
Решить уравнение 2 8 2 2x x
Переносим 2x в правую часть, так как 2 8 2x x может быть меньше 0, а возводить в квадрат
можно, если обе части уравнения неотрицательны.
2 8 2 2x x
Возводим в квадрат обе части уравнения 2 8 4 4 2 2x x x
После упрощения получаем
2 4 2x x , ОДЗ: 2 8 0
2 0
x
x
Обратите внимание, что в ОДЗ надо учесть, что подкоренные значения должны быть больше или
равны нуля. Также перед возведением в квадрат надо учесть, что выражение, НЕ находящееся
под корнем, должно быть неотрицательно (в данном примере получилось, что выражение х+2, НЕ
находящееся под корнем, совпадает с выражением, находящемся под корнем).
Возводим обе части уравнения в квадрат
2 4 4 16 2x x x
После упрощения получаем 2 12 28 0x x
х = –2 и х = 14 оба корня подходят по ОДЗ. Среднее арифметическое этих корней равно 6.
Ответ: 2.
А15. Сначала вспомним теорию построение графика функций из РТ 2.
Рассмотрим некоторые закономерности при преобразовании графиков функций.
Рассмотрим графики функций y = x2 и y = –x
2. В этом случае значение функции у изменяется на
противоположное.
y = x
2 y = –x
2
Это утверждение справедливо для любых двух графиков функций у = f(x) и у = –f(x).
у = f(x) у = –f(x)
Если знак перед всей функцией заменить на противоположный, то график функции надо
симметрично отобразить относительно оси абсцисс ОХ.
Рассмотрим графики функций y = x2
и y = x2
+ 2. В этом случае значение функции у для каждой из
точек графика увеличивается на 2, а весь график функции y = x2
поднимается на 2 единицы. При
построении графика функции y = x2 – 2, график функции y = x
2 опускается на 2 единицы.
y = x
2 + 2 y = x
2 –2
Это утверждение справедливо для любых графиков функций у = f(x) и у = f(x) + а и у = f(x) – а.
у = f(x) у = f(x) + а у = f(x) – а.
Если к значению функции прибавить число, то график функции надо «поднять» на указанное
число единичных отрезков, а если от значения функции вычесть число, то график функции надо
«опустить» на указанное число единичных отрезков.
Рассмотрим графики функций y = x2 и
y = (x +1)
2. Значение второй функции будет равно значению
первой функции при меньших на 1 значениях аргумента х. Например, у = 0 при х = 0 у первой функции
и при х = –1 у второй функции; у = 4 при х1 = –2 и х2 = 2 и при х1 = –3 и х2 = 1 у второй функции.
Итак, если к аргументу функции прибавляется число, то весь график сдвигается влево на указанное
число единичных отрезков.
Очевидно, что при вычитании числа от аргумента функции, то весь график сдвигается вправо на
указанное число единичных отрезков. Например, график функции y = (x – 1)2 сдвигается относительно
графика функции y = x2 на 1 вправо.
y = (x – 1)
2 y = (x + 1)
2
Конечно же, все эти рассуждения справедливы для графиков функций у = f(x), у = f(x+а) и у = f(x–а).
у = f(x), у = f(x+а) у = f(x–а).
Разумеется, от Вас может потребоваться совершить сразу несколько преобразований графика.
Для построения графика функции y x рассмотрим два случая, в первом из которых подмодульное
выражение больше или равно нуля, а во втором случае подмодульное выражение меньше нуля
при 0
при 0
y x, х
y x, х
.
Сначала строим график функции у = х для неотрицательных значений аргумента х. Отметим, что у = х –
линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой нам достаточно знать
две точки, через которые эта прямая проходит.
Например
x 0 1
y 0 1
Точнее мы построим не прямую, а луч, так как функция у = х определена только для неотрицательных
значений аргумента х (луч, в отличие от прямой, имеет начало в некоторой точке).
Теперь строим график функции у = –х для отрицательных значений аргумента х. Отметим, что у = –х –
линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой нам достаточно знать
две точки, через которые эта прямая проходит.
Например
x –1 –2
y 1 2
Мы опять построим не прямую, а луч, так как функция у = –х определена только для отрицательных
значений аргумента х.
График функции y x надо симметрично отобразить относительно оси абсцисс Ох.
Опустим график вдоль оси ординат Оy на 1, чтобы получить график функции 1y x
Чтобы сместить график вправо на 1 вдоль оси абсцисс Ох, надо вычесть из аргумента х число 1.
Мы получим формулу у = – |х – 1| – 1.
Ответ: 4.
А16. Используем для левой части формулу суммы синусов и получим
sin3 sin7 2sin5 cos2x x x x
Вернёмся к уравнению
2sin5 cos2 2sin5x x x
Не вздумайте сократить на sin5x – вы потеряете корни уравнения. Переносим всё в левую часть и
вынесем sin5x за скобки
2sin5 cos2 2sin5 0x x x
2sin5 cos2 1 0 sin5 0 или cos 2 1 0x x x x
Сначала решим уравнение sin5 0x
5 ;x n n Z ;5
nx n Z
Теперь решим двойное неравенство для нахождения корней, которые удовлетворяют условию
05
n
0 1
5
n 0 5n
Так как n может быть только целым числом, то целыми числами, удовлетворяющими этому условию,
являются: 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Значит, в уравнении 6 корней, которые мы найдём, подставляя в равенство ;5
nx n Z
числа 0; 1; 2;
3; 4; 5.
Получаем, что 1 0x , 25
x
, 3
2
5x
, 4
3
5x
, 5
4
5x
, 6
5
5x
.
Теперь решим уравнение cos2 1 0x
cos2 1x 2 2 ;x m m Z ;x m m Z
Теперь решим двойное неравенство для нахождения корней, которые удовлетворяют условию
0 m 0 1m
Так как n может быть только целым числом, то целыми числами, удовлетворяющими этому условию,
являются: 0; 1.
Значит, в уравнении 2 корня, которые мы найдём, подставляя в равенство ;x m n Z числа 0; 1.
Получаем, что 1 0x , 2x , но эти корни мы уже получили, решая первое уравнение.
Поэтому количество различных корней равно 6.
Ответ: 2.
А17. Преобразуем числитель, в котором мы увидели квадрат разности 22 6 9 3x x x .
Преобразуем знаменатель. Для этого используем формулу разложения квадратного трёхчлена на
множители
)()( 21
2 xxxxacbxax ,
где 1x и 2x – корни уравнения 02 cbxax .
Решим уравнение 2 4 5 0x x и найдём корни 1 5x и 2 1x . Тогда
2 4 5 5 1x x x x
Кстати, мы могли также преобразовать и числитель, решив уравнение 2 6 9 0x x . Мы получим, что
дискриминант равен нулю. Это означает, что в уравнении два совпадающих корня 1 2 3x x . Тогда
22 6 9 3 3 3x x x x x
Итак, получаем
23
05 1
x
x x
.
Для решения этого неравенства будем использовать метод интервалов.
Найдем значения переменной x, при которой каждый из множителей числителя и знаменателя будет
обращаться в ноль.
1
2
3
3 0 3
5 0 5
1 0 1
x x
x x
x x
Нанесём эти числа на числовую ось, причём все точки должны быть выколоты, так как неравенство
строгое. Тем самым, находим, в каких точках левая часть неравенства МОЖЕТ поменять знак.
Перед переменной x в каждом из множителей знак плюс, значит, в крайнем правом интервале ставим
знак плюс, так как при всех х, больших 5, каждый из множителей больше нуля. При любом x < 5
значение выражения 5x будет отрицательным. Следовательно, и все выражение
23
5 1
x
x x
будет отрицательным (происходит смена знака выражения). В точке 3 выражение 2
3x обращается в
ноль, однако при x < 3 выражение 2
3x будет все равно положительным, так как оно в четной
степени. Поэтому выражение
23
5 1
x
x x
не поменяет знак и останется отрицательным. В точке –1
выражение 1x обращается в ноль. При любом x < –1 выражение 1x будет отрицательным.
Поэтому выражение
23
5 1
x
x x
опять поменяет свой знак (станет положительным).
Если более коротко, то в данном случае: точка 5 – из множителя нечетной степени, поэтому знак "+"
меняем на знак "–"; точка 3 – из множителя четной степени – знак "–" сохраняем; точка –1 – из
множителя нечетной степени – меняем знак "–" на знак "+".
Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков ( 1;3) (3;5) .
Ответ: 4.
А18. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на
два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.
Доказать это утверждение легко. Пусть ВС = FK = а, AD = b. Тогда AF + KD = b – a. С учётом того, что
AF = KD, получаем b a
AF2
. Тогда
b a b aFD b
2 2
, то есть этот отрезок равен средней линии
трапеции.
По теореме Пифагора для треугольника FBD найдём, что FD = 62
a b .
Теперь найдём площадь трапеции 182
a bS h
.
Ответ: 2.
В1. Линейная функция задается уравнением y kx b . Мы знаем, что график функции проходит через
точки А (1;1) и В (2;5). Напомним Вам, что на первом месте стоит значение абсциссы (координата х), на
втором – значение ординаты (координата y). Подставим 1 1 2 21, 1и 2, 5x y x y в формулу y kx b
и получим систему уравнений:
1 1 ,
5 2 .
k b
k b
Решая эту систему, получаем:
4,
3.
k
b
Следовательно, данная функция записывается уравнением 4 3y x
Тогда значение функции при 3x равно
4 ( 3) 3 15y .
Ответ: 15 .
В2. Вспомним теорему о трех перпендикулярах. Если прямая,
проведенная на плоскости через основание наклонной,
перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к
наклонной. Верно и обратное утверждение. Если прямая,
проведенная на плоскости через основание наклонной,
перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её
проекции. В данной задаче МА – наклонная. АО – прямая,
проведенная на плоскости, через основание наклонной (точку
А), АР – проекция наклонной.
Имеем: 7MA MB , 5MP , 60AOB .
Рассмотрим треугольник MPA – прямоугольный. По теореме
Пифагора 2 2 49 25 2 6AP MA MP .
Аналогично треугольник MPB – прямоугольный и 2 6BP .
Рассмотрим треугольники OAP и OBP – прямоугольные. Они равны, так как отрезок OP у них общий,
а AP BP . Тогда 30POA POB . Значит, гипотенуза треугольников OAP и OBP равна
2 4 6OP AP , поскольку катеты AP BP лежат напротив углов 30 .
Из прямоугольного треугольника OPM находим искомое расстояние: 2 2 96 25 11OM OP MP .
Ответ: 11.
В3. Воспользуемся формулой m
n m na a и преобразуем выражение: 4 3 4
3 4 1 2 20,6 15 5 155 15 3 5 5
1 23 51 23 5
x x x xx x
x xx x
.
По условию 2
15 4x
. Возведем левую и правую часть равенства в степень 5
2 . Получаем
5
2 5 52 552 1 51 1 55 2 25 224 4 4 4 2 32x x x x x x
.
Ответ: 32.
В4. Рассмотрим треугольник BOA – равнобедренный. Тогда 30OBA OAB .
Рассмотрим треугольник ABC . Угол 35C по условию, 90 30 120CBA – тупой угол. Это
так, потому что сторона CB есть касательная к окружности, а касательная к окружности всегда
перпендикулярна радиусу. Тогда 90CBO . Находим угол при вершине А треугольника ABC :
180 35 90 30 25CAB .
Если из точки А, лежащей на окружности, проведены хорды AD и AB, то угол между этими хордами
есть половина дуги DB. Тогда 50DOB .
Рассмотрим треугольник BOD – равнобедренный. Тогда 180 50
652
BDO DBO
.
Осталось сложить углы АВО и DBO. Получим угол ABD, равный 95о.
Ответ: 95.
В5. Преобразуем выражение. Важно не забыть, что при четной степени N выражение
log logN
a ab N b . Часто в последнем выражении теряют модуль и допускают ошибку.
Имеем:
2
2 2
1log log (7 ) 3
2x x .
НЕ ЗАБУДЬТЕ ПРО ОДЗ!!! Подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля.
Получаем:
0,
7.
x
x
Число 3, стоящее в правой части уравнения, можем записать как 2log 8 . Тогда:
2 2 2log log 7 log 8x x
Используя свойство log log loga a ax y xy , получаем
2 2log 7 log 8x x 7 8x x .
Рассмотрим различные случаи:
1) 7x . Тогда
( 7) 8x x 2 7 8 0x x 1x или 8x .
С учетом условия 7x и ОДЗ подходит корень 8x .
2) 7x . Тогда
(7 ) 8x x 2 7 8 0x x
7 17
2x
или
7 17
2x
.
Оба корня удовлетворяют условию 7x и ОДЗ.
Тогда произведение корней уравнения равно 7 17 7 17
8 642 2
.
Кстати, можно было найти произведение корней с использованием теоремы Виета. Так, произведение
корней второго квадратного уравнения 2 7 8 0x x равно 8. А у первого уравнения есть один
подходящий корень 8x . Их произведение равно 64. Но! Все равно нам пришлось бы определить все
корни каждого уравнения, чтобы убедиться, что они входят в ОДЗ!
Ответ: 64.
В6. Преобразуем выражение, используя формулы приведения:
3 5 2 cos 2cos2 cos 2cos 2 sin 2sin2 8 2 88 8 8 8 2(1 2)tg
1 1 1 8cos cos cos
8 8 82 2 2
.
Для вычисления tg8
применим формулу половинного аргумента
2 1 costg
2 1 cos
.
Тогда:
2
22
21 cos 1 2 22 2 6 4 24 2tg 3 2 2 2 1
8 4 22 2 2 2 2 2 21 cos 14 2
.
Отсюда с учетом того, что угол 8
лежит в первой четверти, следовательно, tg 0
8
, получаем:
tg 2 18
.
Тогда значение искомого выражения есть:
3 52 cos 2cos
8 8 2(1 2)tg 2(1 2)( 2 1) 21 8
cos82
.
Можно было применить и другой, менее рациональный способ преобразования. Запишем формулы
половинного аргумента для косинусов и синусов. Тогда:
2
3 21 cos 1
3 2 24 2cos8 2 2 4
.
Угол 3
8
лежит в первой четверти, следовательно,
3cos 0
8
. Тогда
3 2 2cos
8 2
.
Далее:
2
5 21 cos 1
5 2 24 2cos8 2 2 4
.
Угол 5
8
лежит во второй четверти, следовательно,
5cos 0
8
. Тогда
5 2 2cos
8 2
.
Далее:
2
21 cos 1
2 24 2cos8 2 2 4
.
Угол 8
лежит в первой четверти, следовательно, cos 0
8
. Тогда
2 2cos
8 2
.
Дальнейшие рутинные вычисления можете провести самостоятельно.
Ответ: 2.
В7. Преобразуем уравнение 5 9 4 4 3 1 52 3 7 504x x x x , разложив на множители основание степени в
правой части: 3 2504 2 3 7 .
Тогда уравнение примет вид:
5
5 9 4 4 3 1 3 22 3 7 2 3 7x
x x x
5 9 4 4 3 1 3 15 2 10 52 3 7 2 3 7x x x x x x .
Разделим обе части выражения на член, стоящий в правой части: 5 9 4 4 3 1
3 15 2 10 5
2 3 71
2 3 7
x x x
x x x
2 6 2 6 2 62 3 7 1x x x 2 642 1x 2 6 0x 3x .
Ответ: 3.
В8. В задачах на высоты важно понять, где находится точка их пересечения: внутри треугольника или
снаружи от него. Если заранее определить это не удается, то требуется считать, что высоты
пересекаются внутри треугольника, решать задачу, а если при решении получается абсурд (например,
катет длиннее гипотенузы, часть отрезка длиннее самого отрезка, отрезок с отрицательной длиной),
следует прекратить решение и перерешать задачу сначала, считая, что высоты пересекаются вне
треугольника.
Итак, предположим, что высоты пересекаются внутри треугольника в точке О. Известно, что высота ВР,
опущенная на основание равнобедренного треугольника, является его биссектрисой и высотой. Тогда
4AP .
Из прямоугольного треугольника APB по теореме Пифагора имеем: 2 2 17 16 1BP AB AP .
Пусть угол ABP x . Тогда 90BAC BCA x . Поскольку треугольник AMC прямоугольный,
то 90MAC BCA x .
Рассмотрим прямоугольные треугольники APB и APO . Они подобны по трем равным углам. Тогда
OP AP
AP BP
4
4 1
OP 16OP .
Получилось, что отрезок OP BP , что абсурдно.
Поэтому решаем задачу, заново, считая, что высоты пересекаются вне треугольника.
Решение будет дословно таким же, просто теперь очевидно, что если 1BP , а 16OP , то искомый
отрезок 15OB .
Кстати, в данной задаче можно было сразу понять, что высоты пересекаются вне треугольника.
Действительно, если рассчитать по теореме косинусов угол В, то получим: 2 2 2 17 17 64 15
cos2 172 17 17
AB BC ACB
AB AC
.
Поскольку косинус отрицателен, то угол В тупой, следовательно, высоты пересекаются вне
треугольника.
Ответ: 15.
В9. Рекомендую скачать у меня с сайта www.repet.by тему «Уравнения» (она в свободном доступе) и
внимательно изучить все темы, разобранные в ней.
Уравнение в условии относится к так называемым однородным уравнениям. Они имеют вид: 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0A f x B f x g x C g x ,
где А, В и С – числа, не равные нулю, а ( )f x и ( )g x – выражения с переменной х.
Их решают, выполняя деление на 2 ( )g x (можно делить и на
2 ( )f x , решение от Вашего выбора не
изменится) и получая уравнение
2
0f f
A B Cg g
.
В этом уравнении производят замену переменных: f
tg
и решают квадратное уравнение
2 0A t B t C . Далее подставляют все значения t в уравнение f
tg
.
Итак, преобразуем уравнение: 2 2 2
2
4 4 166 5 11
3 3 9
x x x
x x x
2 24 4 ( 4)( 4)
6 5 11 0.3 3 ( 3)( 3)
x x x x
x x x x
ОДЗ этого уравнение имеет вид: 3x . Разделим обе части уравнения на
24
3
x
x
. Получим:
2 24 3 ( 3)( 4)
6 5 11 0.3 4 ( 4)( 3)
x x x x
x x x x
В этом уравнении проведем замену
( 3)( 4)
( 4)( 3)
x xt
x x
.
Тогда
26 11 5 0t t 1t или 5
6t .
Рассмотрим оба случая.
1) 1t . Тогда
( 3)( 4)1
( 4)( 3)
x x
x x
0x .
2) 5
6t . Тогда
( 3)( 4) 5
( 4)( 3) 6
x x
x x
12x или 1x .
Мы получили, что меньший корень уравнения равен –12, а
количество корней равно 3.
Ответ: 36 .
В10. Имеем: 56 3AD , 21 3BC , 49 3SO , 60BAD .
Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его
противоположных углов равны 180 . Тогда
180BAD BCD . Поскольку 180BAD ABC по
свойству трапеции, то 120ABC DCB ,
60BAD CDA , а трапеция ABCD равнобедренная.
Опустим перпендикуляр BK из вершины В на основание AD.
Отрезок 35 3
2 2
AD BCAK
. Тогда из прямоугольного
треугольника ABK найдем гипотенузу AB:
35 335 3
1cos602
2
AKAB
.
Важно понять, что если окружность описана около четырехугольника, то она описана вокруг
любого из треугольников, составленных из вершин четырехугольника. И радиус этой окружности
следует находить именно как радиус окружности, описанной около треугольника!
Рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем две его стороны AB и AD и угол между ними. Найдем третью
сторону по теореме косинусов:
2 2 2 cos60BD AB AD AB AD 2 2 1
56 3 35 3 2 56 35 32
BD .
При вычислениях такого типа важно не пытаться героически все перемножить, просуммировать и
рассчитать. Надо раскладывать на множители. Имеем: 2 256 3 35 3 56 35 3BD
2 23 56 35 56 35BD ,
23 56 (56 35) 35BD 23 56 21 35BD ,
3 7 8 7 3 7 7 5 5BD 3 7 8 3 5 5BD 3 7 49BD 49 3BD .
Площадь треугольника ABD есть
1sin 60
2ABDS AB AD
1 335 3 56 3
2 2ABDS 35 14 3 3ABDS .
Тогда радиус окружности, описанной около треугольника ABD, он же радиус окружности, описанной
около трапеции ABCD, он же радиус основания конуса, равен:
4 ABD
AB BD ADR
S
35 3 49 3 56 349
4 35 14 3 3R
.
Поскольку трапеция ABCD вписана в окружность, то все ее вершины равноудалены от центра
окружности О.
Сейчас полезно будет вспомнить некоторые свойства пирамиды.
Если все боковые ребра пирамиды равны, то:
около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в
её центр;
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды
проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Значит, все боковые ребра пирамиды SABCD наклонены к плоскости основания под равными углами.
Тогда все треугольники AOS, BOS, COS, DOS равны. Рассмотрим, например, треугольник AOS –
прямоугольный. По теореме Пифагора 2 2 2 249 49 3 49 2 98AS AO OS .
Ответ: 98.
В11. Поскольку задача находится в части В, понятно, что ответ – целое число секунд. Пусть оно равно
n. Тогда первое тело пройдет путь 1 9S n .
Второе тело проходит за первую секунду путь 3 м, а за каждую последующую путь на 4 метра больше,
чем за предыдущую. Тогда пути, проходимые вторым телом за последовательные секунды
представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом 1 3a и разностью 4d . Полный
путь второго тела за n секунд есть сумма n первых членов арифметической прогрессии с первым
членом 1 3a и разностью 4d . Эта сумма равна
12 ( 1)
2
a n dS n
.
Тогда путь второго тела равен
2
2
6 ( 1) 42
2
nS n n n
.
Тела встретятся, когда вместе (в сумме) пройдут путь 600 м. Значит,
1 2 600S S 29 2 600n n n
2 5 300 0n n 15n или 20n .
Очевидно, что промежуток времени не может быть отрицательным. Кстати, если Вы не увидели в
задаче арифметическую прогрессию или не смогли догадаться, как найти путь второго тела, задачу
можно было без особых усилий решить подбором, просто подставляя времена в условие.
Ответ: 15.
В12. Рассмотрим исходное неравенство
25 log (30 ) 126x x .
Сразу отметим, что решить его (найти точное множество всех значений переменной x ) с помощью
стандартных преобразовании нельзя. Но границы этого множества можно определить приближенно.
Рассмотри функцию 2( ) 5 log (30 )xf x x . Проанализируем ее. Во–первых, область определения
функции задается неравенством
30 0x 30x .
Во–вторых, функция ( )f x убывает на всей области определения. Это так, потому что и функция 5 x, и
функция 2log (30 )x убывают на всей области определения, а произведение убывающих функций есть
убывающая функция.
В–третьих, функция ( )f x однозначная на всей области определения. То есть каждому значению
переменной x соответствует единственное значение функции ( )f x и наоборот.
Значит, график функции 2( ) 5 log (30 )xf x x пересекает горизонтальную прямую 126y в одной
точке, а во всех точках правее точки пересечения график функции проходит ниже этой прямой, то есть
выполняется неравенство 25 log (30 ) 126x x .
От нас требуется найти количество целых решений неравенства 25 log (30 ) 126x x , то есть
количество целых значений переменной x , входящих в область определения функции
2( ) 5 log (30 )xf x x и лежащих правее точки пересечения графика функции с прямой 126y . Точно
найти эту точку не получится, но можно утверждать, что она лежит между прямыми 3x и 2x .
Действительно, значения функции при соответствующих значениях аргумента равны
3 5
2 2 2( 3) 5 log (30 3) 125 log 33 125 log 2 1f .
Поскольку 5
25 log 2 1 6 , то 5
2125 5 125 log 2 1 125 6 , то есть
625 ( 3) 750f .
Очевидно, что ( 3) 126f .
Аналогично 2 5
2 2 2( 2) 5 log (30 2) 25 log 32 25 log 2 125f .
Очевидно, что ( 2) 126f .
Как мы догадались проверить именно эти точки? Если хотите, то практически наугад. Можно было
проверять и любые другие точки, но обязательно надо было найти два ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
целых числа n и 1m n , таких, что ( ) 126f n , а ( ) 126f m .
Итак, нам удалось установить, что абсцисса точки пересечения графика функции 2( ) 5 log (30 )xf x x
и прямой 126y лежит в пределах 3 2x . Тогда целыми решениями исходного неравенства
являются все числа, лежащие на числовой оси правее числа 2 , включая само это число, и
ВХОДЯЩИЕ В ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 2( ) 5 log (30 )xf x x , то есть 30x .
Количество таких чисел равно 32.
Ответ: 32.
